初二数学第六讲多边形及其内角和(学案)

学习过程1一、复习预习M.C.埃舍尔（M. C. Escher，1898~1972），荷兰科学思维版画大师，20世纪画坛中独树一帜的艺术家。

作品多以平面镶嵌、循环等为特点，兼具艺术性与科学性。

1957年他写了一篇关于镶嵌图形的文章，其中评论道："在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了，难道这意味着它只是一个严格的数学的问题吗？按照我的意见, 它不是。

数学家们打开了通向一个广阔领域的大门，但是他们自己却从未进入该领域。

从他们的天性来看他们更感兴趣的是打开这扇门的方式，而不是门后面的花园。

"无论这对数学家是否公平, 有一点是真实的：他们指出了在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正方形，和正六边形能被用于镶嵌。

但许多其他不规则多边形平铺后也能形成镶嵌，例如有许多镶嵌就使用了不规则的五角星形状。

人们发现，埃舍尔30年前作品中的视觉模拟和今天的虚拟三维视像与数字方法是如此相像，而他的各种图像美学也几乎是今天电脑图像视觉的翻版，充满电子时代和中世纪智性的混合气息。

因此，有人说，埃舍尔的艺术是真正超越时代，深入自我理性的现代艺术。

也有人把他称为三维空间图画的鼻祖。

在他之前，从未有艺术家创作出同类的作品，在他之后，迄今为止也没有艺术家追随他发现的道路。

二、知识讲解1．多边形（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

①从n-条对角线，将多边形分成n--2个三角形.②n 边形n边形的一个顶点出发，可以画()32一共有()32n n-条对角线。

（3）多边形的内角和公式：n边形的内角和为()2180n-⋅（n≥2）。

（4）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°。

2．平面镶嵌（1）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）。

（2）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形。

（3）能否镶嵌成一个平面的关键是看：拼接在同一个顶点的各个角的和恰好等于360°（用于判断几种多边形的拼接问题）。

所以说：在仅用一种正多边形镶嵌只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可以。

考点/易错点1注意：各个角都相等、各个边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可。

如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.考点/易错点2内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数。

外角和定理的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角或外角度数。

考点/易错点3平面镶嵌归纳：①拼接在同一点的各个角的和等于360°；②只用正三、四、六边形可3以镶嵌.其他正多边形不能镶嵌；③任意全等的三角形一定可以镶嵌；④任意全等的四边形一定可以镶嵌。

探究正整数解，得出不同的组合方式：利用代数式：x n + y m = 360°（其中n、m为正多边形的内角度数，x、y为正整数.）正三角形和正方形（两种拼法）、正三角形和正六边形（两种拼法）、正三角形和正十二边形、正四边形和正八边形。

正五边形和正十边形内角（108°+108°+144°）可以构成360°，但不能进行平面镶嵌。

三、例题精析【例题1】【题干】以线段a=7，b=8，c=9，d=11为边作四边形，可作（）【答案】D．解：四条线段组成的四边形可有无数种变化．【解析】根据四边形具有不稳定性，可知四条线段组成的四边形可有无数种变化．【变式1】若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原多边形的边数可能为（）【答案】A．一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16．4【解析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．【变式2】如图，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，……，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为．【答案】∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=3×4，②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4×5，③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=5×6，④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=6×7，∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．【解析】首先要正确数出这几个图形的边数，从中找到规律，进一步推广．正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．【例题2】【题干】如图所示，我们可以按照如下方法求一个多边形的对角线条数5图（1）()33132⨯--=0条；图（2）()44142⨯--=2条；图（3）()55152⨯--=5条；图（4）()66162⨯--﹣6=9条．若按以上方法求二十边形的对角线条数，可列式子为，求得该多边形的对角线条数为．【答案】由题意得二十边形的对角线条数，可列式子为()20201202⨯--=170。

【解析】熟记多边形的边数与对角线的条数之间的关系式是解决此类问题的关键．【变式1】2003年世界女排锦标赛上，中国女排以11战全胜获得冠军，在这次锦标赛上共有12支球队，采用单循环制（即每两个球队打一场），则主办单位共安排了场比赛．【答案】12支球队举行单循环比赛，则主办单位共安排总场数为：12×12×（12﹣1）=66．【解析】根据多边形对角线的计算方式可得出，m支球队举行比赛，若每个球队与其他队比赛（m﹣1）场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛12m（m﹣1）．【变式2】将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（）【答案】D．∵六边形ABCDEF有6个顶点，且用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，∴只能通过同一个顶点作三条对角线（如图1），这种分法有6种，也从一个顶点作两6条对角线（如图2），这种分法有2种，如图3，中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线，这种分法有6种，故各种不同的剖分方法有14种．【解析】要用对角线将六边形ABCDEF剖分成互不重叠的4个三角形，①通过同一个顶点作三条对角线，所以有六种作法．②从一个顶点作两条对角线；③中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线．【例题3】【题干】一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为（）A．1620°B． 1800°C．1980°D．以上答案都有可能【答案】D．1800÷180=10，∴原多边形边数=10+2=12，∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，可能加1，∴即新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°．【解析】考查了多边形的内角和与外角和，注意：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，可能加1．根据多边形的内角和定理求出原多边形的边数是解题的关键．7【变式1】六边形ABCDEF纸片剪去一个角∠BGD后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=430°，则∠BGD=（）A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】B．∵六边形ABCDEF内角和=180°×（6﹣2）=720°，且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=430°，∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°﹣430°=290°，∴∠G=360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）=70°．【解析】此题考查了多边形的内角和公式．此题难度不大，注意掌握整体思想的应用．【变式2】实践与探索：①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成个三角形；②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成个三角形；③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外个顶点连线可以把n边形分成个三角形（用含n的代数式表示）．④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？请说明你的理由．【答案】①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成4﹣1=3个三角形；②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成5﹣1=4个三角形；③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外（n﹣2）个顶点连线可以把n 边形分成（n﹣2）个三角形（用含n的代数式表示）．④在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形，这（n﹣1）个三角形的内角和等于（n﹣1）•180°，以P为公共顶点的（n﹣1）个角的和是180°，所以n边形的8内角和是（n﹣1）•180°﹣180°=（n﹣2）•180°．【解析】解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决，在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形．【例题4】【题干】（2012•东城二模）若一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是（）A．四边形B．六边形C．八边形D．十边形【答案】C．解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°=3×360°，解得n=8．【解析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．【变式1】如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A．60米B．100米C．90米D．120米【答案】C．∵小陈从O点出发当他第一次回到出发点O时正好走了一个正多边形，∴多边形的边数为360°÷20°=18，∴他第一次回到出发点O时一共走了18×5=90米．【解析】主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．9【变式2】一个凸n边形的内角中，恰有四个钝角，则n的最大值是（）【答案】B．凸n边形的内角中，恰有四个钝角，即外角中有四个锐角，这四个角最小，另外的外角接近直角时n的值最大，360÷90=4，则：n=4+4﹣1=7，n的最大值是7．【解析】本题主要理解在哪种情况下n的值最大．【例题5】【题干】正三角形、正方形、正五边形和正六边形四种图形中，能够单独铺满平面的有（）【答案】B．正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；正方形的每个内角是90°，4个能密铺；正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．【解析】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．【变式1】一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成的，其中的两个分别是正方形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是．【答案】由于正方形和正十二边形内角分别为90°、150°，∵360°﹣（150°+90°）=120°，又∵正六边形内角为120°，∴第三个正多边形的边数是6．【解析】图形镶嵌成平面的关键：绕一点拼在一起的多边形内角加在一起恰组成一个周角．10【变式2】用正三角形和正方形作覆盖平面，在拼接点处有m个正三角形和n个正方形，则m=，n=．【答案】设用m个正三角形，n个正四边形能进行平面镶嵌．由题意，有60m+90n=360，解得m=6﹣32n，当n=2时，m=3．故边长相同的正方形和正三角形共同作平面镶嵌，在一个顶点周围，有3个正三角形和2个正方形．【解析】此题主要考查了平面镶嵌（密铺）．四、课堂运用【基础】1.从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（）2.多边形的每个内角都等于150°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有（）3.若一个n边形的所有内角与某个外角的和等于1350°，则n为（）11124.多边形的边数由7边增加到8边，它的内角和增加多少度（ ）5．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（ ）个三角形．6.从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（ ）7.一个凸多边形的内角中，最多有 个锐角．8.现有8个好友聚会，每两人握手一次，共握手 次．9.若凸n 边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是 ． 10.（1）从n 边形任意一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点（相邻顶点除外），得到 条线段，可把这个n 边形分割成 个三角形；（2）从n 边形的一条边上任意一个点出发（顶点除外），分别连接这个点与其余各顶点（左右两个相邻顶点除外），得到 条线段，可把这个n 边形分割成 个三角形；（3）从n 边形的内部任意一个点出发，分别连接这个点与其余各顶点，得到条线段，可把这个n边形分割成个三角形．【巩固】1.如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，……那么组成第6个黑色形的正方形个数是（）A．22 B．23 C．24 D．252.一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形的内角和是2340°，原多边形边数是（）A．14 B．16 C．14或16 D．14，15或163.将一个长方形剪去一个角后所得的多边形的内角和为（）度．A．540 B．360 C．180 D．540或360或1804.如图，在五边形ABCDE中，AE⊥DE，∠BAE=120°，∠BCD=60°，∠CDE﹣∠ABC=30°．（1）求∠D的度数；（2）AB∥CD吗？请说明理由．135.在多边形边上或内部取一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形，图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形．（1）请按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出每种方法得到的小三角形的个数；（2）当多边形为n边形时，按上述方法进行分割，写出每种分法得到的小三角形的个数．14【拔高】1.连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线．思考下列问题：（1）如图2，n边形A1A2A3A4…A n中，过顶点A1可以画条对角线；过顶点A2可以画条对角线，过顶点A3可以画条对角线．（2）过顶点A1的对角线与过顶点A2的对角线有相同的吗？过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线有相同的吗？（3）在此基础上，你能发现n边形的对角线条数的规律吗？（4）在此基础上，推导出n边形的内角和．2.凸多边形中，除∠A外，其余各角的和是1000°，这个多边形的边数是（）A．6B．7C．8D．9153.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和．课程小结1.多边形的性质2.多边形的对角线3.多边形内角和与外角和4.平面镶嵌问题课后作业1617【基础】1.（2013•湛江）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）2.（2009•乌鲁木齐）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）3.（2006•临沂）多边形的内角中，锐角的个数最多有（ ）4.从n 边形的一个顶点出发一共可引6条对角线，则这个n 边形的内角和等于（ ）5.多边形的内角和不可能是下列中的（ ）6.如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）7.（2011•丰南区一模）小亮从A点出发前进10米，向右转60°，又前进10米，又向右转60°，……，这样一直走下去，当他第一次回到出发点A时，一共走了多少米（）A．30米B．60米C．80米D．100米8.某装饰市场有四种型号的地砖，准备用同一型号的正多边形地砖密铺．每种地砖的内角度数分别是90°、120°、135°、150°．这些地砖中，可以使用的是．9.4支排球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为场．10.求出下列图中x的值．【巩固】1.若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．182.小明在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少计算了一个内角，结果得1345°，则未计算的内角的大小为（）A．80°B．85°C．95°D．100°3.某单位的地板由三种边长相等的正多边形铺成，三种多边形是按1：1：1来排列，设这三种正多边形的边数分别为x，y，z，求111x y z++的值．4.已知：如图，四边形ABCD中，∠D=90°，∠B=∠C=70°，AE平分∠BAD，交BC于点E，EF⊥AE，交CD于点F．（1）求∠BAE的度数；（2）写出图中与∠AEB相等的角并说明理由．195.某同学计算多边形内角和时，得到的答案是5243°，老师指出他把某一个外角也加了进去，他计算的是几边形的内角和？这个多边形一定有一个内角是多少度？【拔高】1.（2010•自贡）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）202.（2008•凉山州）一个多边形内角和与其一个外角的和为570°，则该多边形的边数为（）3.多边形中，不算其中两个最大的内角，其余内角的和为1100°，则此多边形的边数为（）错题总结古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子21读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明22访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。