河北省唐山一中2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
C． y x2 1 x
3
D．
2
（）
D． y x2 1
5．已知 a 0.32 ； b 0.31.5 ； c 20.3 ，则
（）
A． b c a
B． b a c
C． c a b
D． a b c
6．“ a 1 ”是“关于 x 的方程 x2 3x a 0 有实数根”的
（）
（1）求 A I B 及 ðR A U B ；
（2）若集合 C {x R | a x 2a, a 0} ， C B ，求实数 a 的取值范围.
18．已知二次函数 f (x) x2 kx 1(k R) . （1）若 f (x) 在区间[2, ) 上单调递增，求实数 k 的取值范围； （2）若 f (x) 0 在 x (0, ) 上恒成立，求实数 k 的取值范围.
A． 1 1 ab
B． ac2 bc2
C． b a ab
D． a2 ab b2
10.（多选题）下列计算正确的是
（）
A． 12 (3)4 3 3
B．（a
2
3b
1
11
2）(3a 2b 3
)
(1
a
1
6b
5 6
)
9a
a 0,b 0
3
C． 3 9 3 3
D．已知 x2 x2 2 ，则 x x1 2
f x 0 ，则函数 f x 满足
（）
A． f (0) 0
C． f (x) 在m, n 上有最大值 f (n)
B． y f (x) 是奇函数
D． f (x 1) 0 的解集为 ,1
高一年级数学试卷
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卷Ⅱ(非选择题 共 90 分)
二．填空题（共 4 小题，每题 5 分）
13.若函数 y
③已知函数 f x b 3 ，满足 f 2 x f x 2 0 .
xa
（1）证明 g x 在 1,1 上的单调性；
（2）解不等式 g t 1 g 2t 0 .
22. 现对一块边长 8 米的正方形场地 ABCD 进行改造，点 E 为线段 BC 的中点，点 F 在线
段 CD 或 AD 上（异于 A，C），设| AF | x （米），AEF 的面积记为 S1 f (x)（平方米），
1 ax 19.已知函数 f(x)＝ 2 ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)．
(1)求 a 的值 ；
(2)若 g(x) 1 x 2 ，且 g(x)＝f(x)，求满足条件的 x 的值． 4
高一年级数学试卷
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20.已知幂函数 f x xm2 4m （实数 m Z ）的图像关于 y 轴对称，且 f 2 f 3 . （1）求 m 的值及函数 f x 的解析式；
g(x) x2 2x m ，如果对于任意 x1 2, 2 ，存在 x2 2, 2 ，使得 g x2 f x1 ，
则实数 m 的取值范围是
（）
A．[7, 4]
B．[5, 2]
C． , 11
D．[5, 3]
9.（多选题）已知 a，b，c 为实数，且 a b 0 ，则下列不等式正确的是（ ）
其余部分面积记为 S2 （平方米）.
（1）当 x 10 （米）时，求 f (x) 的值；
（2）求函数 f (x) 的最大值；
9
25
（3）该场地中 AEF 部分改造费用为 S1 （万元），其余部分改造费用为 S2 （万元），记
总的改造费用为 W（万元），求 W 取最小值时 x 的值.
高一年级数学试卷
16.若函数 f x 为定义在 R 上的奇函数,且在 0, 为减函数,若 f 2 0 ,则不等式
x 1 f x 1＜0的解集为
三．解答题（共 6 小题，17 题 10 分，其他题目每题 12 分）
17．已知全集U R ，集合 A x R | 2x 1 30 ，集合 B x R 1 x 2 .
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（2）若 f a 2 f 1 2a ，求实数 a 的取值范围.
21.已知函数
g
x
xb 2x2 a
，x
1,1
，从下面三个条件中任选一个条件，求出
a, b
的
值，并解答后面的问题.
①已知函数 f x x2 ax 4 ，若 f x 1 在定义域b 1,b 1 上为偶函数；
②已知函数 f x ax ba 0, a 1 在1, 2 上的值域为2, 4 ；
C． x R ， x | x | 0
D． x R ， x | x | 0
3．已知函数
f
(x)
x 1(x 1) x 3(x 1)
，则
f
(
f
( 5)) 2
等于
（）
A． 1 2
5
B．
2
9
C．
2
4．下列函数中，与函数 y x 1 是同一个函数的是
A． y ( x 1)2 B． y 3 x3 1
唐山一中 2020—2021 学年度第一学期期中考试
高一年级 数学试卷
命题人：刘月洁 审核人：王倩倩
说明： 1.考试时间 120 分钟，满分 150 分。2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案用黑 色字迹的签字笔书写在答题卡上。
卷Ⅰ(选择题 共 60 分)
一．选择题（共 12 小题，每小题 5 分，计 60 分。1-8 题为单选，每小题 5 分；9-12 题 为多选，全对得 5 分，部分正确得 3 分，选错得 0 分）
1．已知集合
A
{x
| 1＜2 x
16}，B
{x
|x 1 x6源自0} ，则A CRB
＝
（）
A．{x|1＜x≤4}
B．{x|0＜x≤6}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|4≤x≤6}
2．“ x R ， x | x | 0 ”的否定是
（）
A． x R ， x | x | 0
B． x R ， x | x | 0
11.（多选题）设 a 1， b 1且 ab a b 1，那么
（）
A． ab 有 2 2 2 最小值
B． ab 有最大值 2 2 2
C． ab 有最小值 3 2 2
D． ab 有最大值1 2
12.（多选题）定义在 R 上的函数 f x 满足 f x y f x f y ，当 x 0 时，
A．充分不必要条件
高一年级数学试卷
B．必要不充分条件
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C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
7．函数
f
(
x)
1 2
x2 x2
的单调递增区间为
（）
A． (, 1]
B．[2, )
C．
,
1 2
D．
1 2
,
8.已知 f (x) 是定义在2, 2 上的奇函数，当 x 0, 2 时， f (x) 2x 1 ，函数
f (x) 的定义域是0, 2 ，则函数 g(x)
f (2x 1)
的定义域是
x 1
14．已知幂函数 f (x) kx 的图象过点 2, 4 ，则 k =__________.
15．已知函数 f (x) ax3 bx c 3 ，若 f (t) 4 ，则 f (t) ________. x
唐山一中2020-2021学年度第一学期高一数学期中考试
唐山一中2020-2021学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷命题人：王海涛 郝刚说明：1．考试时间120分钟，满分150分。
2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。
3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。
卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，选对的得5分，选错或不答的得0分）1、已知全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合{}6,4,2=A ，集合{}7,5,3,1=B 则)(B C A U 等于（ ）A ．{}6,4,2B ．{}5,3,1 C ．{}5,4,2 D ．{}5,22、下列各图像中，不可能是函数()x f y =的图像的有几个 （ ）（ A ．1个 B ．.2个 C ．3个 D ．4个3、函数y =的值域为 （ ） A ．{|3}x x ≤ B ．{|03}x x ≤≤ C ．{|3}x x ≥ D ．{|3}x x ≤- 4、若函数23()(23)mf x m x -=+是幂函数，则m 的值为 （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25、设3.0log ,3.0,2223.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系为 （ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<①②③ ④6、设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧ <⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(2)]f f 的值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37、计算()20lg 5lg 2lg 5lg 2+⋅+的值 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．38、已知关于x 的方程420(0)xxa b c a ⋅+⋅+=≠中，常数,a b 同号，,b c 异号，则下列结论中正确的是 （ ）A ．此方程无实根B ．此方程有两个互异的负实根C ．此方程有两个异号实根D ．此方程仅有一个实根 9、若函数()x bf x x a-=-在区间(,4)-∞上是增函数，则有 （ ） A ．4a b >≥ B ．4a b ≥> C ．4a b ≤< D ．4a b ≤<10、函数()log |1|a f x x =+，当(1,0)x ∈-时，恒有()0f x >，有 （ ） A ．()f x 在(,1)-∞-上是增函数 B ．()f x 在(,0)-∞上是减函数 C ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 D ．()f x 在(,)-∞+∞上是减函数11、求函数3()231f x x x =-+零点的个数为 （ ） A.1 B ．2 C ．3 D ．412.若函数⎩⎨⎧≤+->=1,1)32(1,)(x x a x a x f x 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,32(B ．)1,43[C ．]43,32(D ．),32(+∞卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，13～16小题5分，计20分） 13、函数21()1log (8)f x x =--的定义域是14、若函数(1)()()x x a f x x++=是奇函数，则a =15、不等式012<--ax ax 的解集为R ，则实数a 的取值范围是16、()a x f x x ⋅++=321在(]1,∞-上总有意义，求a 的取值范围____________ 考号______________三．解答题（共6小题，17小题10分，18～22小题12分，计70分） 17、（10分）记函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =B（1）求AB ；（2）若{|40},C x x p C A =+<⊆，求实数p 的取值范围。
河北省唐山市第一中学2021-2022高一数学上学期期中试题(含解析).doc
唐山市第一中学2021-2022高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则=（）A. B.C. D.2.若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（）A. B. C. D.3.函数y=的图象是（）A. B. C. D.4.幂函数在时是减函数，则实数m的值为A. 2或B.C. 2D. 或15.若函数y=f（x）的定义域是（0，4]，则函数g（x）=f（x）+f（x2）的定义域是（）A. B. C. D.6.在下列区间中，函数的零点所在的区间为A. B. C. D.7.已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，，则当x＜0时，f（x）表达式是（）A. B. C. D.8.函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝-1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )A. B. C. D.9.已知函数f（x）=|lg x|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）A. B. C. D.10.若函数,且满足对任意的实数都有成立,则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.若在区间上递减，则a的取值范围为A. B. C. D.12.已知函数则函数的零点个数为（）A. 1B. 3C. 4D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.方程x2-2mx+m2-1=0的一根在（0，1）内，另一根在（2，3）内，则实数m的取值范围是______．14.若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是______ ．15.当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是______ ．16.已知函数的定义域为D，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是______.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算下列各式的值：（1）0.064-（-）0+160.75+0.01；（2）．18.已知集合A={x|m-1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（-x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．19.已知函数f（x）=log a（x+1）-log a（1-x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的解集．20.已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）当时，f（kx2）＋f（2x－1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．21.“绿水青山就是金山银山”，随着我国经济的快速发展，国家加大了对环境污染的治理力度，某环保部门对其辖区内的一工厂的废气排放进行了监察，发现该厂产生的废气经过过滤排放后，过滤过程中废气的污染物数量P千克/升与时间t小时间的关系为，如果在前5个小时消除了10%的污染物，（1）10小时后还剩百分之几的污染物（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1小时）参考数据：ln2=0.69，ln0.9=-0.1122.设函数是增函数，对于任意x，都有．求；证明奇函数；解不等式．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查二交等式的求解及指数函数的性质,同时考查集合的补集，属于基础题.根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得．【解答】解：因为A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，B={x|2x+1＞1}={x|x+1>0}={x|x＞-1}，则=[3，+∞).故选A．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数函数以及指数函数的性质，是一道基础题．根据对数函数以及指数函数的性质求出a，b，c的大小即可．【解答】解：a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，则a＜c＜b，则选：C．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．利用函数的奇偶性排除选项，特殊点的位置判断即可．【解答】解：函数y=是奇函数，排除A，C；当x=时，y=ln＜0，对应点在第四象限，排除D.故选B．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查幂函数的定义和性质应用，属于基础题．根据幂函数的定义及其单调性建立不等式，解出不等式即可求解.【解答】解：由于幂函数在（0，+∞）时是减函数，故有，解得m =-1，故选B．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件.根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键.根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.【解答】解：∵函数f(x)的定义域为(0,4],∴由,得,即0＜x≤2,则函数g(x)的定义域为(0,2],故选:A.6.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数零点存在性定理，属于基础题.若函数f(x)在[a,b]上是连续的，如果函数f(x)满足f(a)f(b)<0，则f(x)在(a,b)上至少存在一个零点.【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x-3在上连续，且f（0）=e0-3=-2＜0，f（）=+2-3=-1=-e0＞0，∴f（0）f（）＜0，∴函数f（x）=e x+4x-3的零点所在的区间为（0，）.故选C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性在求解析式的应用，即利用负号把x转化到已知的范围内，再利用奇（偶）函数的定义求出f（x）．由题意设x＜0，则-x>0，利用给出的解析式求出f（-x），再由奇函数的定义即f（x）=-f（-x）求出f（x）．【解答】解：设x＜0，则-x>0，∵当x≥0时，，∴f（-x）=-x（1+）=-x（1-），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x），∴f（x）=x（1-），故选D．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，属于基础题.由题干函数的单调性及奇偶性，可将不等式-1≤f（x-2）≤1化为-1≤x-2≤1，即可解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，若f（1）=-1，则f（-1）=-f（1）=1，又∵函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，-1≤f（x-2）≤1，∴f（1）≤f（x-2）≤f（-1），∴-1≤x-2≤1，解得：1≤x≤3，所以x的取值范围是[1，3].故选D．9.【答案】C【解析】【分析】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，属于中档题.由题意f（a）=f（b），求出ab的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，确定a+2b的取值范围．【解答】解：因为f（a）=f（b），所以|lg a|=|lg b|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数g（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以g（a）＞g（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选C．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键，属于中档题．根据函数单调性的定义，由＞0恒成立，得到f(x)单调递增，则分段f(x)在各段上都是递增，且衔接处非减，得到不等式求解即可．【解答】解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，∴函数f（x）=在上单调递增，∴，解得a∈[4，8），故选D．11.【答案】A【解析】解：令u=x2-2ax+1+a，则f（u）=lg u，配方得u=x2-2ax+1+a=（x-a）2 -a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上单调递减，又真数x2-2ax+1+a＞0，二次函数u=x2-2ax+1+a在（-∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2-2ax+1+a＞0，则x∈（-∞，1]时，真数x2-2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．由题意，在区间（-∞，1]上，a的取值需令真数x2-2ax+1+a＞0，且函数u=x2-2ax+1+a 在区间（-∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的原则．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数零点的问题，以及分段函数的问题，属于中档题.令f（x）=1得x1=-，x2=1，x3=5，再画出f（x）的图象，结合图象可得答案．【解答】解：令f（x）=1，当时，,解得x1=-，x2=1，当时，,解得x3=5，综上f（x）=1解得x1=-，x2=1，x3=5，令g（x）=f[f（x）]-1=0，作出f(x)图象如图所示：由图象可得当f（x）=-无解，f（x）=1有3个解，f（x）=5有1个解，综上所述函数g（x）=f[f（x）]-1的零点个数为4，故选C.13.【答案】（1，2）【解析】解：设f（x）=x2-2mx+m2-1，则f（x）=0的一个零点在（0，1）内，另一零点在（2，3）内．∴，即，解得1＜m＜2．故答案为（1，2）设f（x）=x2-2mx+m2-1，则f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＜0，f（3）＞0本题考查了二次函数的根的分布与系数的关系，结合函数图象找到f（0），f（1），f （2），f（3）的函数值得符号是关键．14.【答案】[-1，0）【解析】【分析】本题主要考查指数函数及其性质，函数图象的应用和函数的零点与方程根的关系，属于中档题.利用指数函数的性质，求出函数的值域，利用数形结合的方法即可得到答案．【解答】解：作出函数的图象如下图所示，由图象可知0＜g（x）≤1，则m＜g（x）+m≤1+m，即m＜f（x）≤1+m，要使函数的图象与x轴有公共点，则，解得-1≤m＜0．故答案为[-1，0）．15.【答案】（-∞，-5）【解析】解：∵解：利用函数f（x）=x2+mx+4的图象，∵x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，∴，即，解得m＜-5．∴m的取值范围是（-∞，-5）．故答案为：（-∞，-5）．利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立的条件，再求解即可．本题考查不等式在定区间上的恒成立问题．利用一元二次函数图象分析求解是解决此类问题的常用方法．16.【答案】[5，+∞）【解析】【分析】本题考查函数的最值的求法，换元法的应用，不等式恒成立问题，属于一般题．求出函数的定义域，利用换元法结合函数的性质，求解实数m的取值范围．【解答】解：函数的定义域为D=（-∞，2]，令t=≥0，可得2x=4-t2，所以可令g（t）=f（x）=5-t2-t，t≥0，是关于t开口向下的二次函数，可得g（t）≤5，当x∈D时，f（x）≤m恒成立，则实数m的取值范围是：m≥5．故答案为：[5，+∞）．17.【答案】解：（1）原式===；-----------（6分）（2）原式===log39-9=2-9=-7．----（6分）【解析】（1）自己利用指数的运算法则，求出表达式的值即可．（2）利用对数的运算法则求解即可．本题考查有理指数幂的运算法则，对数的运算法则，考查计算能力．18.【答案】解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|-2＜x＜4}，则A∪B={x|-2＜x≤7}，又∁R A={x|x＜1或x＞7}，则（∁R A）∩B={x|-2＜x＜1}；（2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B，分2种情况讨论：①当A=∅时，有m-1＞2m+3，解可得m＜-4，②当A≠∅时，若有A⊆B，必有，解可得-1＜m＜，综上可得：m的取值范围是：（-∞，-4）∪（-1，）．【解析】本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.（1）根据题意，由m=2可得A={x|1≤x≤7}，由并集定义可得A∪B的值，由补集定义可得∁R A={x|x＜1或x＞7}，进而由交集的定义计算可得（∁R A）∩B，即可得答案；（2）根据题意，分析可得A⊆B，进而分2种情况讨论：①、当A=∅时，有m-1＞2m+3，②当A≠∅时，有，分别求出m的取值范围，进而对其求并集可得答案．19.【答案】解：（1）要使函数有意义，则，解得-1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（-1，1）；（2）函数的定义域关于坐标原点对称，∵f（-x）=log a（-x+1）-log a（1+x）=-[log a（x+1）-log a（1-x）]=-f（x）∴f（x）是奇函数．（3）若a＞1时，由f（x）＞0得log a（x+1）＞log a（1-x），则，求解关于实数x的不等式可得0＜x＜1，故不等式的解集为（0，1）．【解析】（1）结合真数大于零得到关于x的不等式组即可求得函数的定义域；（2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性；（3）结合函数的单调性得到关于x的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．本题考查函数的单调性，函数的奇偶性，函数定义域的求解等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．20.【答案】解：（1）∵f（x）在定义域R上是奇函数，所以f（0）=0，即，∴b=1，经检验，当b=1时，原函数是奇函数．（2）f（x）在R上是减函数，证明如下：由（1）知，任取x1，x2∈R，设x1＜x2，则，∵函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，∴，又，∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），∴函数f（x）在R上是减函数．（3）因f（x）是奇函数，从而不等式f（kx2）+f（2x-1）＞0等价于f（kx2）>-f（2x-1）=f（1-2x），由（2）知f（x）在R上是减函数，由上式推得kx2＜1-2x，即对任意，有恒成立，由，令，则可设g（t）=t2-2t，，∴g（t）min=g（1）=-1，∴k＜-1，即k的取值范围为（-∞，-1）．【解析】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．（1）利用奇函数的性质令f（0）=0，求解b即可．（2）利用函数的单调性的定义证明即可．（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可．21.【答案】解：（1）由题意可知P0e-5k=0.9P0，故e-5k=0.9，∴e-10k=0.81，即t=10时，P=0.81P0．故10小时后还剩81%的污染物．（2）令e-kt=0.5可得（e-5k）=0.5，即0.9=0.5，∴=log0.90.5，即t=5log0.90.5===≈32．故污染物减少50%需要花32小时．【解析】（1）根据条件可得e-5k=0.9，从而有e-10t=0.81，得出结论；（2）令e-kt=（e-5k）=0.5，取对数得出t的值．本题考查了函数值的计算，考查对数的运算性质，属于中档题．22.【答案】解：（1）由题设，令x=y=0，恒等式可变为f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0；（2）证明：令y=-x，则由f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函数；（3）∵，，即，又由已知f（x+y）=f（x）+f（y）得：f（x+x）=2f（x），∴f（x2-3x）＞f（2x），由函数f（x）是增函数，不等式转化为x2-3x＞2x，即x2-5x＞0，∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．【解析】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．（1）利用已知条件通过x=y=0，直接求f（0）；（2）通过函数的奇偶性的定义，直接证明f（x）是奇函数；（3）利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等式f（x2）-f（x）＞f （3x）的解集即可．。
2020-2021学年唐山一中高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年唐山一中高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）1. 对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ={a,b ，c ，d}具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当{a =1b 2=1c 2=b时，b +c +d 等于( )A. 1B. −1C. 0D. i 2. 已知集合A ={x|x 2−3x −4>0}，B ={x|x >1}，则∁R A ∩B =( )A. φB. (0,4]C. (1,4]D. (4,+∞) 3. 对于实数a >0，“1x <a ”是“x >1a ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有( )A. 12种B. 18种C. 24种D. 96种 5. 设数列{x n }的各项都为正数且x 1=1，△ABC 内的点P n (n ∈N ∗)均满足△P n AB 和△P n AC 的面积比为2：1，若P n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12x n+1P n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(2x n +1)P n C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则x 5的值为( )A. 15B. 17C. 29D. 31 6. 函数f(x)=(x 2−x)e x 的图象大致是( )A. B.C. D.7. 如图，在三棱锥S −ABC 中，SA 丄平面ABC ，SA =3，AC =2，AB 丄BC ，点P 是SC 的中点，则异面直线SA 与PB 所成角的正弦值为( )A. √1313B. 313C. 2√1313D. 3√1313 二、多选题（本大题共5小题，共25.0分）8. 已知f′(x)是f(x)的导函数，且f(x)=x 3−f′(0)x 2−x +1，则( )A. f(−1)=0B. f′(0)=−1C. f(x)的图象在x =−1处的切线的斜率为0D. f(x)在[0,1]上的最小值为19. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7=a 4，则下列等式一定成立的是( )A. a 1+a 3=0B. a 3+a 5=0C. S 3=S 4D. S 4=S 5 10. 设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2−y 2b =1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，若△ABF 1为正三角形，则( ) A. b =2B. C 的焦距为2√5C. C 的离心率为√3D. △ABF 1的面积为4√311. 下列命题中正确的是( ) A. 已知a ，b 是实数，则“(13)a <(13)b ”是“log 3a >log 3b ”的必要不充分条件B. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若A =45°，a =14，b =16，则△ABC 有两解C. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若acosA =bcosB ，则△ABC 为直角三角形D. 已知A ，B 都是锐角，且A +B ≠π2，(1+tanA)(1+tanB)=2，则A +B =π412. 如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度ℎ(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度为3米的时间可能是( ) A. 7B. 13C. 14D. 19三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该三棱柱的体积为√3，AB =2，AC =1，BC =√3，则此球的表面积为______ ．14. 二项式(x +1)10的展开式中，x 4的系数为______ ．15. 已知命题“若，则”，则命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是 ．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 过点M(1,1)作斜率为−12的直线与椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)相交于A ，B ，则直线AB 的方程 (1) ；若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 (2) ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在中，角所对的边分别为，设，，记． (1)求的取值范围； (2)若与的夹角为，，，求的值．18. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2−4n −5．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ．19. 济南外国语学校要用三辆校车把教师从高新区管委会接到遥墙校区，已知从高新区管委会到遥墙校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；校车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1−p.若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．(1)若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为716，求走公路②堵车的概率；(2)在(1)的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望．20.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年．在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体．如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC．(Ⅰ)求证：四棱锥B−A1ACC1为阳马；并判断四面体B−A1CC1是否为鳖臑，若是，请写出各个面的直角(只要求写出结论)．(Ⅱ)若A1A=AB=2，当阳马B−A1ACC1体积最大时，求二面角C−A1B−C1的余弦值．21.已知函数f(x)=mlnx+12x2−2x，m∈R．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)且f(x1)−ax2≥0恒成立，求实数a的取值范围．22.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，且F2(√7,0)，上顶点为(0,√2)．(1)求椭圆的标准方程；(2)点P在椭圆上，若|PF1|=4，求∠F1PF2的大小．【答案与解析】1.答案：B解析：解：由题意，可取a=1，b=−1，c2=−1，c=i，d=−i，或c=−i，d=i，所以b+c+d=−1+i+−i=−1，故选B．直接求解比较麻烦，它是选择题可以取特殊值验证．本题属创新题，考查复数与集合的基础知识；一般结论对于特殊值一定成立．2.答案：C解析：解：A={x|x<−1，或x>4}；∴∁R A={x|−1≤x≤4}；∴∁R A∩B=(1,4]．故选：C．可求出集合A，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．3.答案：B解析：解：不妨令x=−1，a=2，由1x <a”推不出“x>1a”，不是充分条件，若a>0，由x>1a 得：x>0，故a>1x，是必要条件，故选：B．根据特殊值判断不是充分条件，根据不等式的性质判断是必要条件即可．本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．4.答案：B解析：解：∵由题意知种子甲必须试种，∴要从其他几种种子中选两种和甲一起试种，∴不同的试种方法共有C32A33=18，故选B．由题意知本题需要先从除甲外的三种种子中选两种，选出的两种和甲一起在三个位置进行全排列，可以看做一个分步计数问题．。
2020-2021学年第一学期期中考试数学试卷答案
唐山一中2020—2021学年度第一学期期中考试高三年级 数学试卷答案一、选择题：1-4：BCBB ； 5-8：CACA二、选择题：9、ABD ；10、ABCD ；11、BC ；12、BCD三、填空题：13、；14、10；15、4355，；16、①②. 四、解答题17.【解析】 （1）选①，由正弦定理得sin sin B A = ∵sin 0A ≠cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0πB <<，∴ππ5π666B -<-<， ∴ππ66B -=，∴π3B =. ··········································5分 选②，∵2sin tan b A a B =，sin 2sin cos a B b A B=， 由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos B B A A B=⋅， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =， ∵()0,πB ∈，∴π3B =. ·················································5分 选③，∵()()sin sin πsin A BC C +=-=，由已知结合正弦定理可得()22a c a c b -+=， ∴222a cb ac +-=，∴2221cos 222a c b ac B ac ac +-===， ∵()0,πB ∈，∴π3B =. ·················································5分 （2）∵()22222cos 3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，即2316ac b =-， ∴221632a c b +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得2b ≥，当且仅当2a c ==时取等号，∴min 2b =，ABC 周长的最小值为6，此时ABC的面积1sin 2S ac B ==. ··········10分 92π18.19.20.【解析】（1）证明：∵SO 垂直于圆锥的底面，AP ⊂圆锥的底面，∵SO AP ⊥，∵AO 为M 的直径，∵PO AP ⊥，,SO PO ⊂面SOP ，SO PO O ⋂=，∵AP ⊥平面SOP ， ∵AP ⊂平面SAP ，∵平面SAP ⊥平面SOP . ············································5分（2）解：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，∵圆锥的侧面积122S rl rl ππ=⨯=侧，底面积2S r π=底， ∵依题意22r rl ππ=，∵2l r =，∵2r ，∵4l ，············6分 则在ABS 中，4AB AS BS ===，∵2223SO AS AO -= 在底面作O 的半径OC ，使得OA OC ⊥，∵，SO OC ⊥，以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，()2,0,0A ，()2,0,0B -，(0,0,23S ， ···········7分 在S APO -中，∵23SO =∵AOP 面积最大时，三棱锥S APO -的体积最大，此时MP OA ⊥，·······8分 ∵M 的半径为1，∵()1,1,0P ，()1,1,0AP =-，()3,1,0BP =，(1,1,23SP =-， 设平面SAP 的法向量(),,n a b c =， 则0230n AP a b n SP a b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1a =，得31,1,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面SBP 的法向量(),,m x y z =，则30230m BP x y m SP x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1x =-，得3m ⎛=- ⎝⎭，·····················10分 设二面角A SP B --的平面角为θ，由图得θ为钝角，∵1132173cos 73133n mn m θ-++⋅=-=-=⋅⋅∵二面角A SP B --的余弦值217-分21.22.。
【精准解析】河北省唐山市第一中学2021届高三上学期期中考试数学试卷
唐山一中2020—2021学年度第一学期期中考试高三年级数学试卷说明：1．考试时间120分钟，满分150分.2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上，将卷Ⅱ答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上.卷Ⅰ（选择题 共60分）一、选择题（共8小题，每小题5分，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有1个选项符合题意）1. 复数11i -的共轭复数为（ ） A. 1122i + B. 1122i -C. 1122i -- D. 1122-+i 【答案】B 【解析】 【分析】先将复数化简，再利用共轭复数的定义即可求得正确答案. 【详解】()()11111111222i i i i i i ++===+--+, 所以共轭复数为1122i -， 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念，属于基础题. 2. 已知集合{|}2＝302A x x x ->-，集合{|}2＝4B x Z x x ∈≤，则()RA B ⋂＝（ ）A. {}|03x x ≤≤B. {﹣1，0，1，2，3}C. {0，1，2，3}D. {1，2}【答案】C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式，根据代表元所满足的条件，求得集合A 和集合B ，之后利用补集和交集的定义求得结果.【详解】集合2{230}A x x x =-->{|3x x =>或1}x <-，{}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13RA x x =-≤≤，故(){}0,1,2,3R AB ⋂=故选：C ．【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有解一元二次不等式求集合，集合的补集和交集的运算，属于简单题目.3. 已知数列{}n a 满足1sin n n a a +=，*N n ∈，则“10a ≥”是“对任意*n ∈N ，都有1n n a a +≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()sin f x x x =-，利用导数分析函数的单调性，并得出当0x >时，()(0)0f x f <=；当0x <时，()(0)f x f >，利用特殊值法以及逻辑推证法，结合充分条件、必要条件的定义判断即可【详解】构造函数()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，所以，函数()y f x =在R 上是减函数，则当0x >时，()(0)0f x f <=；当0x <时，()(0)f x f >， 取132a π=，则21sin 1a a ==-，322sin sin11a a a ==->-=， 所以，充分性不成立若对任意*n ∈N ，都有1n n a a +≤，则21a a ≤，即11sin a a ≤，即()10f a ≤，10a ∴≥， 所以，必要性成立 故选：B ，【点睛】本题考查必要不充分条件判断，涉及导数的应用，考查推理能力，属于中等题， 4. 高一（1）班某组有5人，组长安排值日生，其中1人负责擦黑板，2人负责教室内地面卫生，2人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有（ ） A. 20种B. 30种C. 90种D. 120种【答案】B 【解析】 【分析】先从5人中选出1人擦黑板，再从剩余的4人中选出2人负责教室内地面卫生，最后从剩余的2人中选出2人负责卫生区卫生，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，从5人中选出1人擦黑板，有155C =种选法，从剩余的4人中选出2人负责教室内地面卫生，有246C =种选法， 从剩余的2人中选出2人负责卫生区卫生，有221C =种选法， 由分步计数原理，可得不同的安排方法有56130⨯⨯=种安排方法. 故选：B.【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及组合的应用，其中解答中熟练应用组合的知识和分步计数原理求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 5. 如图，在ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）A.911B.511C.311D.211【答案】C 【解析】 【分析】平面内三点,,A B C 共线的充要条件为：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，且1λμ+=.求得811AP mAB AN =+，从而可得结果. 【详解】由13AN NC =，可得4AC AN =，所以281111AP mAB AC mAB AN =+=+， 又,,B P N 三点共线，由三点共线定理，可得：8111m +=，311m ∴=， 故选C.【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 6. 函数sin ()x xx xf x e e --=+在[],ππ-上的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】构造函数()sin g x x x =-，证明当[]0,x π∈时，()()0g x g ≥，即sin 0x x -≥，从而当[]0,x π∈时，()0f x ≥，排除B ，C ，D ，即可得解.【详解】记()sin g x x x =-，[],x ππ∈-，()1cos 0g x x '=-≥，∴()g x 在[],ππ-上单调递增，又()00g =，∴当[]0,x π∈时，()()0g x g ≥，即sin 0x x -≥，又0x x e e -+>，∴当[]0,x π∈时，()0f x ≥，故排除B ，C ，D. 故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的判断以及利用导数证明不等式，考查了转化能力，属于中档题.7. 已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是（ ）A. ()()10f ef >，()()202020200f ef < B. ()()10f ef >，()()211f e f >-C. ()()10f ef <，()()211f e f <- D. ()()10f ef >，()()202020200f e f >【答案】C 【解析】 【分析】构造新函数()()xf xg x e=，求导后易证得()g x 在R 上单调递减，从而有(1)(0)g g <，(2020)(0)g g <，(1)(1)g g <-，故而得解．【详解】设()()x f x g x e=， 则()()()xf x f xg x e''-=， ()()f x f x '<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，∴(1)(0)g g <，即0(1)(0)f f e e<， 即(1)e (0)f f <，故选项A 不正确；(2020)(0)g g <，即20200(2020)(0)f f e e<，即2020(2020)(0)f ef <，故选项D 不正确；(1)(1)g g <-，即1(1)(1)f f e e--<，即2(1)(1)f e f <-． 故选项B 不正确； 故选：C ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8. 如图1，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O .点E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE △，BCF △，CDG ，ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE △，BCF △，CDG ，ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥P ABCD -(如图2).当四棱锥P ABCD -的侧面积是底面积的2倍时，异面直线PB 与CD 所成角的余弦值为（ ）5 B.222523【答案】A 【解析】 【分析】设底面正方形边长为a ，由面积关系求得斜高，得侧棱长，从而通过解PBA △得异面直线所成的角．【详解】如图，正四棱锥P ABCD -中，O 是底面对角线交点，PO 是棱锥的高，取AD 中点M ，连接PM ，则PM AD ⊥，设AB a ，则21242a a PM =⨯⋅，PM a =，∴侧棱长为221522PA a a a⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∵//CD AB，∴PBA∠是异面直线PB和CD所成的角或其补角，PBA△是等腰三角形，152cos52aPBAa∠==，∴异面直线PB和CD所成的角的余弦值为5．故选：A．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，考查棱锥的侧面积，求异面直线所成角时一般需作出异面直线所成的角并证明，然后再在三角形中求角．二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9. 设{}n a是等差数列，n S为其前n项和，且78S S<，8910S S S=>，则下列结论正确的是（）A. 0d< B.9a= C.117S S> D.8S、9S均为n S的最大值【答案】ABD【解析】【分析】利用结论：2n≥时，1n n na s s-=-，结合题意易推出89100,0,0a a a>=<，然后逐一分析各选项.【详解】解：由78S S<得12377812a a a a a a a a+++⋯+<++⋯++，即8a>，又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++， 90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>， 由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：ABD.【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式和n S 的最值问题，熟练应用公式是解题的关键.10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且122=PF PF ，若12sin F PF ∠=，则对双曲线中a ，b ，c ，e 的有关结论正确的是（ ）A. e =B. 4e =C. b =D. b =【答案】ACD 【解析】 【分析】根据122=PF PF ，结合双曲线定义得到21,PF PF ，然后在12PF F △中，结合12sin 4F PF ∠=利用余弦定理求解. 【详解】122PF PF =，∴由双曲线定义可知：1222PF PF PF a -==，14PF a ∴=，由12sin F PF ∠=121cos 4F PF ∠=±，在12PF F △中，由余弦定理可得：2221241641cos 2244a a c F PF a a +-∠==±⨯⨯，解得，224c a =或226c a=，2c a ∴=或c =，b ∴=或b =，2ce a∴==或， 故选：ACD ．【点睛】本题主要考查双曲线的定义，离心率的求法以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11. 在ABC 中，已知cos cos 2b C c B b +=，且111tan tan sin A B C+=，则（ ）A. a 、b 、c 成等比数列B. sin :sin :sin 2A B C =C. 若4a =，则ABC S =△D. A 、B 、C 成等差数列【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据已知条件化简得到2a b =，2c ab =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】因为cos cos 2b C c B b +=，所以()sin cos sin cos sin sin 2sin B C C B B C A B +=+==，即2a b =. 又因为111tan tan sin A B C+=， 所以()sin cos cos sin cos cos sin sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B A B B A B A C A B A B A B A B C+++====， 即2sin sin sin C A B =，2c ab =.对选项A ，因为2c ab =，所以a 、c 、b 成等比数列，故A 错误.对选项B ，因为2a b =，2c ab =，所以::2a b c =，即sin :sin :sin 2A B C =B 正确. 对选项C ，若4a =，则2b =，c =则22242cos B +-==， 因为0Bπ<<，所以sin 8B =.故142ABC S =⨯=△，故C 正确. 对选项D ，若A 、B 、C 成等差数列，则2B A C =+. 又因为A B C π++=，则3Bπ=.因为::2a b c =2a k =，b k =，c =，0k >，则()22221cos 82k k B +-==≠，故D 错误.故选：BC【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.12. 已知2()12cos ()(0)3f x x πωω=-+＞，下面结论正确的是（ ）A. 若f (x 1)=1，f (x 2)=1-，且12x x -的最小值为π，则ω=2B. 存在ω∈(1，3)，使得f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称 C. 若f (x )在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是4147[,)2424D. 若f (x )在[,]64ππ-上单调递增，则ω的取值范围是(0，23]【答案】BCD 【解析】 【分析】由二倍角公式和诱导公式化简函数式，然后根据正弦定理的性质周期性、奇偶性、零点、单调性分别判断各选项．【详解】由题意2()cos 2sin 236f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A ．题意说明函数相邻两个最值的横坐标之差为π，周期为2π，2212πωπ==，12ω=，A错；B ．f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象解析式是(12)()sin 2sin 2666g x x x ππωπωω⎛⎫-⎛⎫⎡⎤=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，2ω=时，()sin 4cos 42g x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，是偶函数，图象关于y 轴对称，B 正确；C ．[0,2]x π时，2,4666x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，()f x 在[0,2]π上有7个零点，则7486ππωππ≤+<，解得41472424ω≤<，C 正确； D ．f (x )在[,]64ππ-上单调递增，则26622462πππωπππω⎧⎛⎫⨯-+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩，又0>ω，故解得203ω<≤，D正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦型函数的周期性、奇偶性、零点、单调性，考查二倍角公式、诱导公式等，考查了学生的逻辑推理能力，运算求解能力．卷Ⅱ（非选择题共90分）三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在直三棱柱111–ABC A B C 中，2AB =，AC =30BAC ∠=︒，1AA 外接球体积是______． 【答案】92π【解析】 【分析】由题可知直三棱柱111–ABC A B C 的外接球即为长宽高分别为由此可求出半径，得到体积.【详解】在ABC 中，2AB =，AC =30BAC ∠=︒，由余弦定理2222cos 43221BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯=， 满足222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥,则直三棱柱111–ABC A B C 的外接球即为长宽高分别为 设外接球的半径为R ，则23R ==，即32R =， 所以其外接球体积是3439322ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭. 故答案为：92π. 【点睛】本题考查几何体外接球体积的计算，属于基础题.14. 在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________. 【答案】10 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可求解.【详解】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r rr T C C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =. 所以2x 的系数为15210C ⨯=. 故答案为：10.【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式，需熟记公式，属于基础题.15. 已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O '，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C .如图椭圆中心为O ，球与地面的接触点为E ，OE=3.若光线与地面所成角为θ，则sin θ=______________，椭圆的离心率e=___________.【答案】 (1). 45 (2). 35【解析】 【分析】连接OO '，由锐角三角函数可得4sin 5O E OO θ'=='，在平行光线照射过程中，椭圆的短半轴长是圆的半径，如图，椭圆的长半轴长是AC ，过A 向BC 做垂线，垂足是B ，得到一个直角三角形，得到AC 的长，从而得出要求的结果．【详解】解：连接OO '，则O OE θ'∠=，因为4O E '=，3OE =，所以2222345OO O E OE ''=+=+=所以4sin 5O E OO θ'==' 在照射过程中，椭圆的短半轴长b 是圆的半径R ，4b ∴=，如图．椭圆的长轴长2a 是AC ，过A 向BC 做垂线，垂足是B ， 由题意得：28AB R ==，4sin sin 5ACB θ∠==， 又4sin 5AB θAC == 所以10AC = 即210a =，5a =，∴椭圆的离心率为22255316c a b e a --===故答案为：45；35.【点睛】本题考查圆锥曲线的实际背景及作用，解决本题的关键是看清楚在平行光线的照射下，投影时球的有关量中，变与不变的量，属于中档题． 16. 已知函数()||||1x x f x e =+，()()2,02,0f x xg x x x a x ⎧≤=⎨-+>⎩，且()10g =，则关于x 的方程()()10g g x t --=实根个数的判断正确的是_________．①当2t <-时，方程()()10g g x t --=没有相异实根②当110t e-+<<或2t =-时，方程()()10g g x t --=有1个相异实根 ③当111t e <<+时，方程()()10g g x t --=有2个相异实根④当111t e -<<-+或01t ≤＜或11t e=+时，方程()()10g g x t --=有4个相异实根【答案】①② 【解析】 【分析】先依据题意求出()g x 的解析式，然后将复合函数进行分解，令()m g x t =-，则()10g m -=，求解出m ，再研究()g x t m -=即可．【详解】当0x 时，||||()11x x x f x xe e=+=-+， 因为g （1）0=，所以120a -+=，所以1a =，所以21,0()21,0x xe x g x x x x ⎧-+=⎨-+>⎩，图象如图所示：当0x 时，0x -，0x e >，则11x xe -+，当且仅当0x =时等号成立，()(1)x x x g x e xe x e '=--=-+，所以函数()g x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减； 当0x >时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 故()(1)0g x g -=恒成立．故()g x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 令()m g x t =-，则()10g m -=， 解得：0m =或2m =，当0m =即()0g x t -=时，()g x t =， 当2t <-时，()2g x <-，无解， 当2m =即()2g x t -=时，()2g x t =+， 当2t <-时，()0<g x ，无解，故方程(())10g g x t --=没有相异实根，故①正确； 当2t =-时，由A 可知：()0g x =，解得1x =， 当110t e-+<<时，12(1t e +∈+，2)，由上可知()f x 在1x =-时取得极大值为1(1)1g e-=+，结合图象可知，此时2y t =+与()g x 有且仅有一个交点，故②正确； 当111t e<<+时，()g x t =或()2g x t =+，若()g x t =，结合图象可知()g x 与y t =有三个不同的交点， 若()2g x t =+，12(3,3)t e+∈+，此时()g x 与y t =有一个交点，故方程(())10g g x t --=有4个相异实根，故③错误； 当111t e-<<-+时，()2(1g x t =+∈，11)e +，由③可知此时有三个不等实根， 当01t <时，()g x t =或()2g x t =+， 当()g x t =时，由图可知有两个不等实根， 当()2g x t =+时，由图可知有一个实根， 当11t e=+时，()g x t =或()2g x t =+， 当()g x t =时，由图可知有两个不等实根， 当()2g x t =+时，由图可知有一个实根，故此时方程(())10g g x t --=共有9个不等实根，故④错误． 故答案为：①②．【点睛】方法点睛：函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得零点个数）；（2）图象法（直接画出函数()f x 的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令()=0f x 重新构造()()g x h x =，再分析(),()g x h x 的图象得解）.要根据具体的数学情景选择合适的方法解答. 四、解答题（本题共6小题，共70分）17. 在①b a =，②2sin tan b A a B =，③()()sin sin sin ac A c A B b B -++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______. （1）求角B ；（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积.【答案】（1）π3B =；（2【解析】 【分析】（1）分别选三个条件，都可用正弦定理解出；（2）由余弦定理可得2316ac b =-，利用基本不等式可求出b 的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积.【详解】（1）选①，由正弦定理得sinsin B A =∵sin 0A ≠cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0πB <<，∴ππ5π666B -<-<， ∴ππ66B -=，∴π3B =.选②，∵2sin tan b A a B =，sin 2sin cos a Bb A B =，由正弦定理可得sin 2sin sin sin cos BB A A B=⋅，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =，∵()0,πB ∈，∴π3B =. 选③，∵()()sin sin πsin A B C C +=-=， 由已知结合正弦定理可得()22a c a cb -+=，∴222a cb ac +-=，∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，∵()0,πB ∈，∴π3B =. （2）∵()22222cos 3163b a c ac B a c ac ac =+-=+-=-，即2316ac b =-，∴221632a c b +⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，解得2b ≥，当且仅当2a c ==时取等号， ∴min 2b =，ABC 周长的最小值为6，此时ABC的面积1sin 2S ac B ==. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，考查三角形面积公式，属于基础题.18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a 、n a 、n S 成等差数列，且432a S =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若2212231log log n n n b a a ++=⋅，{}n b 的前n 项和为n T ，求使71n T <成立的最大正整数n的值．【答案】（1）2nn a =；（2）8．【解析】 【分析】（1）本题首先可根据1a 、n a 、n S 成等差数列得出12n n a S a =+以及1112n n a S a --=+，然后两式相减，得出12n n a a -=，最后根据432a S =+求出12a =，即可求出{}n a 的通项公式； （2）本题可根据题意得出1(21)(23)n b n n =++并将其转化为11122123n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，然后通过裂项相消法求和得出3(23)n n T n =+，最后根据71n T <得出713(23)nn <+，通过计算即可得出结果.【详解】（1）因为1a 、n a 、n S 成等差数列，所以12n n a S a =+， 当2n ≥，有1112n n a S a --=+，两式相减，可得1122n n n n n a a S S a ---=-=，即12n n a a -=，由题意易知10a ≠，故{}n a 是公比为2的等比数列，()121nn S a =-，因为432a S =+，所以()3311221a a =-，解得12a =， 故{}n a 的通项公式为2nn a =.（2）因为2212231log log n n n b a a ++=⋅，2nn a =，所以1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故111111111123557212323233(23)n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 因为71n T <，所以713(23)nn <+，解得9n <，故71n T <成立的最大正整数n 的值为8.【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查等差中项以及等比数列前n项和公式的应用，常见的裂项有()11111n n n n =-++、()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭、=.19. 2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID -9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1）求一个接种周期内出现抗体次数k分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元. 比较随机变量X 和Y 的数学期望的大小.【答案】（1）分布列答案见解析.（2）()()E X E Y >【解析】 【分析】（1）由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3311()(0,1,2,3)22k kk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后列出分布列即可（2）根据题意分别算出X 和Y 的期望即可.【详解】（1）由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3311()(0,1,2,3)22kkk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则k 的分布列为（2）①设一个接种周期的接种费用为ξ元，则ξ可能的取值为200，300，因为1(200)4P ξ==，3(300)4P ξ==， 所以13()20030027544E ξ=⨯+⨯=.所以三个接种周期的平均花费为()3()3275825E X E ξ==⨯=. ②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，311()882P A =+=. 所以1(300)()2P Y P A ===， 1(600)[1()]()4P Y P A P A ==-⨯=， 1(900)[1()][1()]14P Y P A P A ==-⨯-⨯=， 所以111()300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯=.所以()()E X E Y >.【点睛】本题考查二项分布以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题. 20. 如图所示，圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，线段AB 为圆锥底面O 的直径，在底面内以线段AO 为直径作M ，点P 为M 上异于点A ，O 的动点.（1）证明：平面SAP ⊥平面SOP ；（2）当三棱锥S APO -的体积最大时，求二面角A SP B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）217. 【解析】 【分析】（1）推导出SO AP ⊥，PO AP ⊥，从而AP ⊥平面SOP ，由此能证明平面SAP ⊥平面SOP ；（2）设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，推导出2l r =，OA OC ⊥，SO OA ⊥，SO OC ⊥，以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A SP B --的余弦值.【详解】（1）证明：∵SO 垂直于圆锥的底面，AP ⊂圆锥的底面， ∴SO AP ⊥， ∵AO 为M 的直径，∴PO AP ⊥，∵,SO PO ⊂面SOP ，SO PO O ⋂=， ∴AP ⊥平面SOP ， ∵AP ⊂平面SAP ， ∴平面SAP ⊥平面SOP .（2）解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，∴圆锥的侧面积122S rl rlππ=⨯=侧，底面积2S rπ=底，∴依题意22r rlππ=，∴2l r=，∵2r，∴4l，则在ABS中，4AB AS BS===，∴2223SO AS AO=-=，如图，在底面作O的半径OC，使得OA OC⊥，∵SO OA⊥，SO OC⊥，∴以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OS为z 轴，建立空间直角坐标系，()2,0,0A，()2,0,0B-，(0,0,23S，在三棱锥S APO-中，∵3SO=AOP面积最大时，三棱锥S APO-的体积最大，此时MP OA⊥，∵M的半径为1，∴()1,1,0P，()1,1,0AP=-，()3,1,0BP=，(1,1,23SP=-，设平面SAP的法向量(),,n a b c=，则230n AP a bn SP a b c⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1a=，得31,1,3n⎛=⎝⎭，设平面SBP的法向量(),,m x y z=，则30m BP x y m SP x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1x =-，得1,3,3m ⎛=- ⎝⎭，设二面角A SP B--的平面角为θ，由图得θ为钝角，∴1cos 7n m n mθ-⋅=-=-=⋅，∴二面角A SP B --的余弦值31-. 【点晴】（1）证明面面垂直时，需先在这两个平面内的一个平面内找一条直线，证明这条直线垂直于另外一个平面，进而证明两个平面垂直；（2）第二问考利用空间向量求二面角的平面角，需先证明三条直线两两垂直，才能建立空间直角坐标系，再利用公式计算即可，注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角的方法. 21. 已知函数()()ln 1f x mx x x x >＝－． （1）讨论()f x 的极值；（2）若m 为正整数，且()2f x x m <+恒成立，求m 的最大值．（参考数据：ln 4139≈．，ln5161≈．）【答案】（1）当1m 时()f x 无极值，当1m 时()f x 有极大值为1m e -，无极小值；（2）4 【解析】 【分析】（1）利用函数极值的定义对m 进行讨论即可；（2）将()f x 代入()2f x x m <+，利用分离参数法，分离出m ，构造函数()ln 21x x xh x x +=-，对()h x 进行求导，再令()ln 3g x x x =--，对()g x 进行求导，利用零点存在性定理求出()g x 的零点，进而得到()h x 的单调性，求出()h x 的最小值，即可求出m 的最大值．【详解】解:（1）()()ln 1f x mx x x x >＝－，()1ln f x m x '∴=--，当10m -≤，即1m 时，() 0f x '<对1x >恒成立，()f x ∴在()1,+∞上单调递减，()f x 无极值，当10m ->，即1m 时，令()0f x '=，得1m x e -=， 由()0f x '>，解得：11e m x -<<， 由()0f x '<，解得：1e m x ->，()f x ∴在1m x e -=处取得极大值，且极大值为()()1111e e 1e e m m m f m m ----=--=，综上所述，当1m 时，()f x 无极值； 当1m 时，()f x 有极大值为1m e -，无极小值； （2）当1x >时，()2f x x m <+，∴当1x >时，ln 2mx x x x m -<+，即ln 21x x xm x +<-对1x >恒成立，令()ln 21x x x h x x +=-，得()()2ln 31x x h x x --=-'， 令()ln 3g x x x =--，则()11g x x'=-， ∵1x >， ∴()110g x x'=->，()g x 是增函数， ∵()44ln 431ln 41 1.390.390g =--=-≈-=-<，()55ln532ln52 1.610.390g =--=-=-=>，∴()14,5x ∃∈，使()10g x =， 由()111ln 30g x x x =--=， 得：11ln 3x x =-，当()11,x x ∈，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()1,x x ∈+∞，()0h x '>， ()h x 单调递增，∴1x x =时， ()h x 取得最小值，为()1h x ，∴()2111111111ln 211x x x x x m h x x x x +-<===--， 又∵m 为正整数， ∴4m ≤，∴正整数m 的最大值为4.【点睛】方法点睛：(1)可导函数()y f x ＝在点0x 处取得极值的充要条件是()00f x '＝，且在0x 左侧与右侧()f x '的符号不同．(2)若()f x 在()a b ，内有极值，那么()f x 在()a b ，内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．22. 已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点．（1）点P 的坐标为1(1,)3，若MP PN =，求直线l 的方程；（2）若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，且点M 在第一象限，求23(MA NB MA k k k -、NB k 分别为直线MA 、NB 的斜率）的取值范围． 【答案】（1）931412y x =-+；（2）[3,0).4-【解析】 分析】（1）利用点差法，求直线的斜率，再求直线方程；（2）直线的斜率不存在时，求点,M N 的坐标，得到NB MA k k 的值，以及当斜率存在时，直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系求NBMAk k 的值，并将23MANB kk -表示为MA k 的二次函数，并求取值范围.【详解】解：（1）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由题意可得P 为线段MN 的中点，由22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减可得 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=，而1(1,)3P ，即有122x x +=，1223y y +=， 则12122()2()049x x y y --+=，可得121294y y x x -=--， 故直线l 的方程为19(1)34y x -=--， 即931412y x =-+； （2）由题意可得(2,0)A -，(2,0)B ，(1,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，3(1,)2M ，3(1,)2N -，12MA k =，332M NB A k k ==．当直线l 的斜率存在时，则l 的斜率不为0，设直线l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，与椭圆方程223412x y +=联立， 可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k-=+， 所以2121121212112121212(1)(2)2()23·2(1)(2)()2NB MA k y x k x x x x x x x k x y k x x x x x x x +-+++--===----++- 22211222222112224128121822333434343412846()2343434k k k x x k k k k k k x x k k k---+⋅---+++===----+--+++， 所以3NB MA k k =，因为M在第一象限，所以MA k ∈，所以2221333333()[244MA NB MA MA MA k k k k k -=-=--∈-，0)． 【点睛】思路点睛：1.一般涉及中点弦问题时，采用点差法求解；2.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题.。
河北省唐山一中2021届高三上学期期中考试(数学)
河北省唐山一中2021届高三上学期期中考试数 学说明：1.考试时间120分钟，满分150分。
2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上。
卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共8小题，每小题5 分，计40分。
在每小题给出的四个选项中，只有1 个选项符合题意）1．复数11i -的共轭复数为 （ ）A. 1122i +B. 1122i -C. 1122i --D. 1122i -+2．已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()RA B =（ ）A.{}03x x ≤≤ B.{}1,0,1,2,3- C.{}0,1,2,3 D.{}1,23．已知数列{}n a 满足1sin n n a a +=,*n N ∈,则“10a ≥”是“任意*n N ∈,都有1n n a a +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．高一（1）班某组有5人，组长安排值日生，其中1人负责擦黑板，2人负责教室内地面卫生，2人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有 （ ） A ．20种 B ．30种 C ．90种 D ．120种 5．如图，在ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ）A ．911B ．511C ．311D ．2116．函数sin ()x xx xf x e e --=+在[],ππ-上的图象大致为 （ ）A. B. C. D.7．已知()f x 是可导的函数，且()()f x f x '<，对于x ∈R 恒成立，则下列不等关系正确的是 （ ） A. ()()10f ef >，()()202020200f ef < B. ()()10f ef >，2(1)(1)f e f >-C. ()()10f ef <，2(1)(1)f e f <-D. ()()10f ef >，()()202020200f e f >8．如图1，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ．点E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥P ﹣ABCD （如图2）．当四棱锥P ﹣ABCD 的侧面积是底面积的2倍时，异面直线PB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.设{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和,且78S S <,8910S S S =>,则下列结论正确的是（ ） A. 0d < B. 90a = C. 117S S > D. 8S 、9S 均为n S 的最大值10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上一点且122PF PF =，若1215sin F PF ∠=则对双曲线中,,,a b c e 的有关结论正确的是（ ）A ．6e =B ．2e =C ．5b a =D ．3b a =11．在△ABC 中，已知cos cos 2b C c B b +=，且111tan tan sin A B C+=，则 （ ）A.,,a b c 成等比数列B.sin :sin :sin 22A B C =C.若4a =，则7ABC S △D.,,A B C 成等差数列 12．已知2()12cos ()(0)3f x x πωω=-+＞，下面结论正确的是 （ ）A ．若f (x 1)=1，f (x 2)=－1，且12x x -的最小值为π，则ω=2B ．存在ω∈(1，3)，使得f (x )的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称 C ．若f (x )在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是4147[,)2424D ．若f (x )在[,]64ππ-上单调递增，则ω的取值范围是(0，23]卷Ⅱ(非选择题 共90分)三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝2，AC 3BAC ＝30°，AA 15外接球体积是 ． 14．在522()x x+的展开式中，2x 的系数是 （用数字作答）． 15．已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O ＇，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C ．如图椭圆中心为O ，球与地面的接触点为E ，OE=3．若光线与地面所成角为θ，则sin θ=__________________，椭圆的离心率e =_____________________．（本题第一空2分，第二空3分）16. 已知函数()1e x xf x =+，2(), 0()2, 0f x x g x x x a x ≤⎧=⎨-+>⎩，且(1)0g =，则关于x 的方程(())10g g x t --=实根个数的判断正确的是_________.①当t ＜﹣2时，方程(())10g g x t --=没有相异实根 ②当11e-+＜t ＜0或t ＝﹣2时，方程(())10g g x t --=有1个相异实根 ③当1＜t ＜11e+时，方程(())10g g x t --=有2个相异实根 ④当﹣1＜t ＜11e -+或0＜t ≤1或t ＝11e+时,方程(())10g g x t --=有4个相异实根四、解答题（本题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）在①b a =，②2sin tan b A a B =，③()()sin sin sin ac A c A B b B -++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______. （1）求角B ；（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值，并求出此时ABC 的面积.18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a ，n a ，n S 成等差数列，且432a S =+. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若n b ＝2212231log log n n a a ++⋅，{}n b 的前n 项和为n T ，求使71n T <成立的最大正整数n 的值.2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID －19病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验. 已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体. 试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期. 已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1）求一个接种周期内出现抗体次数k 的分布列.（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元. 比较随机变量X 和Y 的数学期望的大小.20.（本小题满分12分）如图所示，圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，线段AB 为圆锥底面O 的直径，在底面内以线段AO 为直径作M ，点P 为M 上异于点A ，O 的动点. （1）证明：平面SAP ⊥平面SOP ；（2）当三棱锥S APO -的体积最大时，求二面角A SP B --的余弦值.已知函数f (x )＝mx －x ln x (x >1). （1）讨论f (x )的极值； （2）若m 为正整数，且f (x )<2x ＋m 恒成立，求m 的最大值.(参考数据：ln4≈1.39，ln5≈1.61)22.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为A ，B ，直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点。
河北省唐山市第一中学2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试题 含答案
21.已知函数
g
(
x)
=
x+b 2x2 + a
，x (−1,1)
，从下面三个条件中任选一个条件，求出
a,b 的
值，并解答后面的问题.
①已知函数 f ( x) = x2 − ax + 4 ，若 f ( x +1) 在定义域b −1,b +1 上为偶函数；
g(x) = x2 − 2x + m ，如果对于任意 x1 −2, 2，存在 x2 −2, 2，使得 g ( x2 ) = f ( x1 ) ，
则实数 m 的取值范围是
（）
A．[−7, −4]
B．[−5, −2]
C． (−, −11
D．[−5, −3]
9.（多选题）已知 a，b，c 为实数，且 a b 0 ，则下列不等式正确的是（ ）
C． y = x2 +1 x
（）
D． 3 2
（）
D． y = x2 +1
5．已知 a = 0.32 ； b = 0.31.5 ； c = 20.3 ，则
A． b c a
B． b a c
C． c a b
6．“ a 1 ”是“关于 x 的方程 x2 − 3x + a = 0 有实数根”的
（）
f ( x) 0 ，则函数 f ( x) 满足
（）
A． f (0) = 0
B． y = f (x) 是奇函数
2
C． f (x) 在m, n 上有最大值 f (n)
D． f (x −1) 0 的解集为(−,1)
卷Ⅱ(非选择题 共 90 分)
【精准解析】河北省唐山市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷
唐山一中2020—2021学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷一．选择题1. 已知集合1{|1216}{|0}6xx A x B x x -=≤=≥-＜，，则R A C B ⋂＝（ ） A. {x |1＜x ≤4} B. {x |0＜x ≤6}C. {x |0＜x ＜1}D. {x |4≤x ≤6}【答案】A 【解析】 【分析】化简集合,A B ，按照补集定义求出R C B ，再按交集定义，即可求解. 【详解】{|1216}{|04}xA x x x =<=<≤≤,1{|0}{|16x B x x x x -=≥=≤-或6}x >， {|16}R C B x x =<≤，R A C B ⋂4{|}1x x <≤=.故选:A.【点睛】本题考查集合的混合运算，解题要注意正确化简集合，属于基础题. 2. “x R ∃∈，||0x x +<”的否定是（ ） A. x R ∃∈，||0x x +≥ B. R x ∀∈，||0x x +≥ C. R x ∀∈，||0x x +< D. R x ∃∈，||0x x +≤【答案】B 【解析】 分析】特称命题的否定是全称命题【详解】因为特称命题的否定是全称命题所以“x R ∃∈，||0x x +<”的否定是“R x ∀∈，||0x x +≥” 故选：B【点睛】本题考查的是命题的相关知识，较简单.3. 已知()1,?1,3,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩那么52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A.32B.52 C.92D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可.【详解】∵函数f (x )=()()1,13,1x x x x ⎧+≤⎪⎨-+>⎪⎩， ∴5513222f ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭∴52f f ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=12+1=32，故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，基础题． 4. 下列函数中，与函数1y x =+表示同一个函数的是（ ）A. 2y =B. 21x y x=+C. 1yD.1y【答案】C 【解析】 【分析】分析各选项中函数的定义域，并化简函数解析式，可得出合适的选项. 【详解】函数1y x =+的定义域为R .对于A 选项，函数2y =的定义域为{}1x x ≥-，A 选项中的函数与函数1y x =+不相等；对于B 选项，函数21x y x=+的定义域为{}0x x ≠，B 选项中的函数与函数1y x =+不相等；对于C 选项，函数1y 的定义域为R ，且11y x =+，C 选项中的函数与函数1y x =+相等；对于D 选项，函数1y =的定义域为R ，且11y x ==+，D 选项中的函数与函数1y x =+不相等. 故选：C.【点睛】判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同.5. 已知20.3a =； 1.50.3b =；0.32c =，则（ ） A. b c a >> B. b a c >> C. c a b >> D. a b c <<【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的性质可得1c b a >>>，即可得解. 【详解】函数0.3xy =为减函数，2 1.50>>，故2 1.500.30.30.31a b =<=<=， 又函数2xy =为增函数，0.30>， 故0.30221c =>=， 故1c b a >>>. 故选：D ．6. “1a <”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根可得0∆≥，从而解得a 的取值范围；由推出关系可确定结果. 【详解】当方程230x x a -+=有实数根可得：940a ∆=-≥，解得：94a ≤914a a <⇒≤，94a ≤1a <∴“1a <”是“关于x 的方程230x x a -+=有实数根”的充分不必要条件故选A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够根据一元二次方程有实数根求得a 的取值范围.7. 函数1()2f x ⎛=⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A. (,1]-∞-B. [2,)+∞C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数、指数函数的单调性结合复合函数的单调性运算即可得解. 【详解】令220x x --≥可得2x ≥或1x ≤-，所以函数1()2f x ⎛=⎪⎝⎭的定义域为{2x x ≥或}1x ≤-，因为函数2y x x 2=--在(],1-∞-上单调递减，所以函数y =(],1-∞-上单调递减，又函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以函数1()2f x ⎛= ⎪⎝⎭单调递增区间为(,1]-∞-.故选：A.8. 已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+，如果对于任意[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数m 的取值范围是（ ） A. [7,4]--B. [5,2]--C. (],11-∞- D. [5,3]--【答案】B 【解析】 【分析】利用()f x 的奇偶性及指数函数的单调性求出当[]12,2x ∈-时()f x 的值域A ，由二次函数的单调性求出()g x 在[]2,2-上的值域B ，由题意知A B ⊆，列出不等式组求解即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，210)],3((xf x =-∈，因为()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，所以(0)0f =，当[]12,2x ∈-时，11()21[3,3]xf x =-∈-，记[3,3]A =-，2()(1)1g x x m =-+-，对称轴为1x =，函数()g x 在[2,1)-上单调递减，在(1,2]上单调递增，所以max ()(2)8g x g m =-=+，min ()(1)1g x g m ==-， 即当[]22,2x ∈-时，2()[1,8]g x m m ∈-+，记[1,8]B m m =-+，对于任意[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，使得()()21g x f x =等价于A B ⊆， 所以1383m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得[5,2]m ∈--.故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性与值域，指数函数、二次函数的单调性，属于中档题. 9. （多选题）已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A.11a b< B. 22ac bc >C.b aa b> D.22a ab b >>【答案】AD 【解析】 【分析】根据所给条件，结合不等式的性质，判断选项. 【详解】A.1y x =在()0,∞+上单调递减，所以当0a b >>时，11a b<，故A 正确； B.当0c时，22ac bc >不成立，故B 不正确；C.当0a b >>时，22a b >，两边同时除以ab 得，a bb a>，故C 不正确； D. 当0a b >>时，两边同时乘以a 得，2a ab >，或两边同时乘以b 得，2ab b >，所以22a ab b >>，故D 正确.故选：AD10. （多选题）下列计算正确的是（ ）A. =B.2115113366221390,03a b a b a b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷=->> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C.= D. 已知222x x -+=，则12x x -+=【答案】BC 【解析】 【分析】根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断.【详解】A. ==B. 21152111151133663262362213993a b a b a b ab a +-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷=-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故正确；C.()1112636933====D. 因为()222122x x x x --+=+-=，所以()214x x -+=，则12x x -+=±，故错误；故选：BC11. （多选）设1a >，1b >且()1ab a b -+=，那么（ ）A. +a b 有最小值2+B. +a b 有最大值2+C. ab 有最大值1D. ab 有最小值3+【答案】AD 【解析】 【分析】先利用()212a b ab a b +⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭可求出+a b 有最小值2+，再1=2ab a b ab 可得ab 有最小值3+【详解】由()1ab a b -+=得：()212a b ab a b +⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭（当且仅当1a b =>时取等号），即()()2440a b a b +-+-≥且2a b +>，解得：2a b +≥+a b ∴+有最小值2+，知A 正确；由()1ab a b -+=得：1=2ab a bab （当且仅当1a b =>时取等号），即10ab -≥且1ab >，解得：3ab ≥+，ab ∴有最小值3+，知D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查基本基本不等式的应用，属于中档题.12. （多选）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则函数()f x 满足（ ） A. (0)0f =B. ()y f x =是奇函数C. ()f x 在[],m n 上有最大值()f nD. (1)0f x ->的解集为(),1-∞【答案】ABD 【解析】 【分析】先研究函数的奇偶性，可以先令x =y =0求得f (0)的值，再令y =-x ，代入原式，可得奇偶性；然后结合单调性的定义判断单调性，最后判断函数在[],m n 上的最值情况以及根据单调性求解不等式(1)0f x ->即可.【详解】令x =y =0，则f (0)=f (0)+f (0)，所以f (0)=0，故A 正确；再令y =-x ，代入原式得f (0)=f (x )+f (-x )=0，所以f (-x )=-f (x )，故该函数为奇函数，故B 正确；由f (x +y )=f (x )+f (y )得f (x +y )-f (x )=f (y )，令x 1<x 2，再令x 1=x +y ，x 2=x ，则y =x 1-x 2<0，结合x <0时，f (x )>0，所以f (x 1)-f (x 2)=f (x 1-x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以原函数在定义域内是减函数，所以函数f (x )在[],m n 上递减，故f (n )是最小值，f (m )是最大值，故C 错误；又(1)0f x ->，即(1)(0)f x f ->，结合原函数在定义域内是减函数可得，10x -<，解得1x <，故D 正确.故选ABD.【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性以及利用单调性求最值和解函数不等式的方法，综合性较强，合理赋值是解决抽象函数问题的常用手段，属中档题.二．填空题13. 若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()g x =______． 【答案】31,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域的求法，结合函数()g x =. 【详解】由题意，函数()y f x =的定义域是[0,2]，即02x ≤≤， 则函数()g x =021210x x ≤-≤⎧⎨->⎩，解得312x <≤， 即函数()g x =31,2⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】求抽象函数定义域的方法：1、已知函数()f x 的定义域为[],a b ，求复合函数()[]f g x 的定义域时：可根据不等式()a g x b ≤≤解得x ，则x 的取值范围即为所求定义域；2、已知复合函数()[]f g x 的定义域为[],a b ，求函数()f x 的定义域，求出函数()y g x =([,])x a b ∈的值域，即为()y f x =的定义域.14. 已知幂函数()f x kx α=的图象过点()2,4，则k α+=__________. 【答案】3 【解析】 【分析】先由幂函数定义1k =，再代入点的坐标即可求解.【详解】解：由幂函数定义知，1k =，又过()2,4，所以422,αα==，3k α+=， 故答案为：3【点睛】考查幂函数定义的应用，基础题. 15. 已知函数3()3=+++cf x ax bx x，若()4f t =，则()f t -=________. 【答案】2 【解析】 【分析】得出()()6f x f x +-=即可【详解】因为3()3cf x ax bx x--=--+ 所以()()6f x f x +-=即()()6f t f t +-=，因为()4f t =，所以()2f t -= 故答案为：2【点睛】若()f x 是奇函数，则()()g x f x a =+的图象关于()0,a 对称，满足()()2g x g x a -+=.16. 若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在(0,)+∞为减函数，若(2)0f =，则不等式(1)(1)0x f x --<的解集为______．【答案】(,1)(3,)-∞-+∞【解析】 【分析】由函数的单调性和奇偶性可得(1)0f x ->、(1)0f x -<的解，转化不等式为10(1)0x f x ->⎧⎨-<⎩或10(1)0x f x -<⎧⎨->⎩，即可得解. 【详解】由题意，函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在(0,)+∞为减函数，(2)0f =， 所以函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且(2)0f -=， 则当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >；当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <； 所以(,1)(1,3)x ∈-∞-⋃时，(1)0f x ->；当(1,1)(3,)x ∈-+∞时，(1)0f x -<；不等式(1)(1)0x f x --<等价于10(1)0x f x ->⎧⎨-<⎩或10(1)0x f x -<⎧⎨->⎩，解得(,1)(3,)x ∈-∞-⋃+∞.所以不等式(1)(1)0x f x --<的解集为(,1)(3,)-∞-+∞.故答案为：(,1)(3,)-∞-+∞.三．解答题17. 已知全集U =R ，集合{}0213A x Rx =∈-≤∣，集合{12}B x Rx =∈-<≤∣． （1）求AB 及()R A B ；（2）若集合{2,0}C x Ra x a a =∈≤<>∣，C B ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{11}A B xx ⋂=-<≤∣，(){1}RA B x x ⋃=>-∣；（2）01a <≤.【解析】 【分析】（1）解出集合A 中的不等式，化简集合A 即可. （2）由条件C B ⊆建立不等式即可.详解】（1）由02131-≤=x 得1x ≤，所以{1}A xx ∣=≤，R{1}A x x =>∣由{12}B xx =-<≤∣ 所以{11}A B xx ⋂=-<≤∣所以(){1}RA B x x ⋃=>-∣ （2）因C B ⊆，且0a >所以2a ≤2，1a ≤所以a 的取值范围为：01a <≤【点睛】本题为基础题，考查集合的运算. 18. 已知二次函数2()1()=-+∈f x x kx k R ．（1）若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，求实数k 的取值范围； （2）若()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）4k ≤；（2）k 2≤. 【解析】 【分析】（1）解不等式22k≤即得解； （2）化为1≤+k x x在(0,)x ∈+∞恒成立，令1()g x x x =+，求出函数()g x 的最小值即可.【详解】（1）若()f x 在(2,)x ∈+∞单调递增，则22k≤，所以4k ≤；（2）因为()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立， 所以210-+≥x kx 在(0,)x ∈+∞恒成立， 即1≤+k x x在(0,)x ∈+∞恒成立 令1()g x x x =+，则1()2=+≥=g x x x ，当且仅当1x =时等号成立 所以k 2≤.【点睛】方法点睛：处理参数的问题常用的方法有：（1）分离参数法（先分离参数转化为函数的最值）；（2）分类讨论法（对参数分类讨论求解）.19. 已知函数f (x )＝12ax⎛⎫ ⎪⎝⎭，a 为常数，且函数的图象过点(－1，2).（1）求a 的值；（2）若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值.【答案】（1）1；（2）1-. 【解析】 【分析】（1）直接代入求值即可；（2）由（1）知()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又g (x )＝f (x )，代入整理可得112042xx⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求t 即可得出结果. 【详解】（1）由已知得122a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得a ＝1.（2）由（1）知()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又g (x )＝f (x )，则4－x－2＝()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 112042x x⎛⎫⎛⎫∴--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则t >0，t 2－t －2＝0， 即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即122x⎛⎫= ⎪⎝⎭， 解得x ＝－1，故满足条件的x 的值为－1.【点睛】本题主要考查了指数与指数函数和函数与方程.属于较易题. 20. 已知幂函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >.（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2m =，()4f x x -=； （2）111(,)(,3)322-. 【解析】 【分析】（1）由()()23f f >，得到240m m -<，从而得到04m <<，又由m Z ∈，得出m 的值和幂函数的解析式；（2）由已知得到122a a -<+且120,20a a -≠+≠，由此即可求解实数a 的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >，所以在区间(0,)+∞为单调递减函数， 所以240m m -<，解得04m <<， 又由m Z ∈，且函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，所以24m m -为偶数，所以2m =， 所以()4f x x -=.（2）因为函数()4f x x -=图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞为单调递减函数，所以不等式()()212+<-f a f a ，等价于122a a -<+且120,20a a -≠+≠，解得1132a -<<或132a <<，所以实数a 的取值范围是111(,)(,3)322-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求解，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，熟练应用幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 21. 已知函数()22x bg x ax +=+，()1,1x ∈-，从下面三个条件中任选一个条件，求出,a b 的值，并解答后面的问题. ①已知函数()3f x b x a=+-，满足()()220f x f x -++=； ②已知函数()()0,1xf x a b a a =+>≠在[]1,2上的值域为[]2,4 ③已知函数()24f x x ax =-+，若()1f x +在定义域[]1,1b b -+上为偶函数.（1）证明()g x 在()1,1-上的单调性； （2）解不等式()()120g t g t -+<.【答案】选法见解析；2a =，0b =；（1）证明见解析；（2）103t <<. 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性，定义域和值域，奇偶性计算得到2a =，0b =，再求导证明单调性. （2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式得到答案.【详解】（1）①由()()220f x f x -++=得()f x 对称中心为()2,0即得2a =，0b =； ②(i )当1a >时，()xf x a b =+在[]1,2上单调递增，则有224a b a b +=⎧⎨+=⎩得220a a --=， 得2a =，0b =；(ii )当01a <<时，()xf x a b =+在[]1,2上单调递减，则242a b a b +=⎧⎨+=⎩得220a a -+=，无解，所以2a =，0b =；③由()24f x x ax =-+得()()2125f x x a x a +=+-+-，因为()1f x +在[]1,1b b -+上是偶函数，则202a -=，且()()110b b -++=， 所以2a =，0b =；由①或②或③得()222xg x x =+，()1,1x ∈-，()()222121x g x x -'=+， 由11x -<<得()0g x '>，则()g x 在()1,1-上单调递增. （2）因为()()222xg x g x x --==-+，则()g x 为奇函数.由()()120g t g t -+<即()()21g t g t <-又因为()g x 在()1,1-上单调递增，则121,111,21,t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪<-⎩解得103t <<.【点睛】本题考查了函数对称性，奇偶性，单调性，函数的定义域和值域，解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.22. 现对一块边长8米的正方形场地ABCD 进行改造，点E 为线段BC 的中点，点F 在线段CD 或AD 上（异于A ，C ），设||=AF x （米），AEF 的面积记为1()S f x =（平方米），其余部分面积记为2S （平方米）.（1）当10x =（米）时，求()f x 的值； （2）求函数()f x 的最大值； （3）该场地中AEF 部分改造费用为19S （万元），其余部分改造费用为225S （万元），记总的改造费用为W （万元），求W 取最小值时x 的值. 【答案】（1）20（2）32（3）6x =或x =【解析】 【分析】 （1）当108x =>米时，点F 在线段CD 上，利用12ABCDABCDABEECFADFS S S SS S S=-=---算出即可（2）分两种情况讨论，分别求出最大值，再作比较 （3）()12121292592564+⎛⎫=+=+⨯ ⎪⎝⎭S S W S S S S ，利用基本不等式可求出其取得最小值时124=S ，然后再分两种情况讨论【详解】（1）由题知：当108x =>米时，点F 在线段CD 上，||6==DF所以12ABCDABCDABEECFADFS SS SSSS=-=---所以1(10)641642420==---=S f （平方米） （2）由题知，当8x <（米）时，点F 在线段AD 上 此时：132<=ADES S（平方米）当8x ≥（米）时，点F 在线段CD上，∈x ，令||[0,8)==t DF所以12ABCDABCDABEECFADFS SS SSSS=-=---所以1()64162(8==---S f x32322=-=-t因为[0,8)∈t ，所以132232=-≤S t ，等号当且仅当0t =时，即8x =时取得 所以()f x 最大值为32（3）因为1264+=S S ，所以：()12121292592564+⎛⎫=+=+⨯ ⎪⎝⎭S S W S S S S21121925134[3416464⎡⎤⎛⎫=⨯++≥⨯+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦S S S S （万元） 等号当且仅当21121292564,+==S S S S S S 时取得，即124=S 时取得 当8x <（米）时，点F 在线段AD 上，1424==S x ，6x =当8x ≥（米）时，点F 在线段CD上，13224=-=S，x =综上的W 取最小值时6x =或x =【点睛】1.求复杂函数的最值时，要善于通过换元转化为常见函数 2.基本不等式是求最值时常常用到的.。
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河北省唐山一中高一上学期期中考试试题（数学）说明：1． 考试时间1，满分150分。
2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。
3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。
卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。
每题只有一个选项正确） 1. (缺)2.函数y = ）A 、(,9]-∞B 、(0,27]C 、(0,9]D 、(,27]-∞ 3. 三个数20.60.6,ln 0.6,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A.a c b <<B.a b c <<C.b a c << D ．b c a <<4.集合{}1,2A =-，{}10B x mx =+=，若A B B ⋂=，则m 的值组成的集合是（ ） A 、{}1,2- B 、1,0,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C 、11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D 、11,0,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭5. 幂函数2223(1)mm y m m x --=--当(0,)x ∈+∞时为减函数，则实数m 值为（ ）A.1B.2C.3 D .-1 , 26.已知函数21()()log 3xf x x =-，若0()0f x =且100x x <<，则1()f x 的值（ ）A.等于0B.不大于0C. 恒为正值 D ．恒为负值 7. 若2()2f x x ax =-+与1()(1)xg x a -=+(1a >-且0)a ≠在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是( )A. (1,0)-B.(0,1]C.（0，1）D. (1,0)(0,1)-⋃ 8.为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点( ) A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度9. 定义：符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[3.8]3=，[ 2.3]3-=-，[6]6=等，设函数()[]f x x x =-，则下列结论中不正确．．．的是 （ ） A.11()22f -=B.()()()f x y f x f y +=+C.(1)()f x f x +=D.0()1f x ≤<10．设3log 2x =，则333333x xx x----的值等于（ ）A ．214B ．214-C ．174D ．13411.若)(x F =-)(x f )(1x f ，且)(lg x f x =，则)(x F 是( )A ．偶函数 B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数12.已知函数y=f(x)1212+-⋅=x x x (x R ∈),则对于1x <0,2x >0,21x x <,有（ ）Ａ.f(–x 1)>f(–x 2) B.f(–x 1)< f(–x 2) C.–f(x 1) >f(–x 2) D.–f(x 1) < - f(x 2)卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每个小题5分，计13．函数1212xxy -=+的值域为14．若函数22log (3)y x ax a =-+在[2,)+∞是增函数，则实数a 的取值范围为15.函数(1)(3)1)x x y +-=的单调递增区间是16．下列说法：①若2()(2)2f x ax a b x =+++ (其中[21,4]x a a ∈-+)是偶函数, 则实数2b =；②()f x =是奇函数又是偶函数；③已知()f x 是定义在R 上的奇函数,若当[0,)x ∈+∞时, ()(1)f x x x =+, 则当x R ∈时,()(1||)f x x x =+；④已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数, 且对任意的,x y R ∈都满足()f xy xf=（y ）+yf(x), 则()f x 是奇函数. 其中所有正确．．．．说法的序号是 __. 三．解答题（6小题。
河北省唐山市第一中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题
唐山一中2021—2022学年度第一学期期中考试高一年级 数学试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分。
2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上。
卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共8小题，每小题5 分，计40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1.已知全集U Z =，集合{1,2,3}A =−，{3,4}B =，则()U C A B ⋂= （ ）A.{4}B.{3}C.{1,2}D.∅2.下列函数是幂函数且在(0,)+∞上是减函数的是 （ ）A.2y x =B.13y x =C.1y x x −=+D.23y x−=3.命题“x R ∀∈，都有210x x ++>”的否定是 （ ）A.不存在x R ∈，210x x ++>B.存在0x R ∈，20010x x ++>C.存在0x R ∈，20010x x ++…D.对任意的x R ∈，210x x ++…4.已知函数()f x 的图像如右图所示，则函数(||)y f x =−的图像为 （ ）A.B.C.D.5.已知3()4f x ax bx =+−，其中,a b 为常数，若(2021)2f −=，则(2021)f = （ ）A.10−B.2−C.10D.26.若1a b <<−，0c >，则下列不等式中一定成立的是 （ ）A.11a b a b−>− B.11a b b a −>− C.b b ca a c−>− D.()()c c ab b a>7.二次函数2()f x ax a =+是区间2[,]a a −上的偶函数，若函数()(2)g x f x =−，则4()3g ，3()2g ，(3)g 的大小关系为 （ ） A.34()()(3)23g g g << B.43()()(3)32g g g <<C.34()(3)()23g g g <<D.34(3)()()23g g g <<8.已知函数⎩⎨⎧>−≤−=3,63,2)(2x x x x x x f ，若)(e d c b a e d c b a <<<<、、、、满足4题图)()()()()(e f d f c f b f a f ====，则)()()()()(e ef d df c cf b bf a af M ++++=的取值范围是 （ ）A.)10,9(B.)10,0(C.(0,9)D.)9,1(二．多项选择题（共4小题，每小题5分，计20分。