影响线

2d Z
A


Z
B
d Z 3
C 2d P ( x) M 3 Z C
P图
虚功方程为:
M C M C P P ( x ) 0 M C ( ) P P ( x) 0 M C Z P P ( x ) 0 P ( x) MC Z
(2)对于给定的移动荷载组，简支梁AB上哪个 截面的弯矩当移动荷载在什么位臵时取得最大 值？该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问题。 此外，还要讨论简支梁和连续梁的内力包络 图的画法等问题。
为求解以上问题，首先要讨论结构影响线的 求解。实际移动荷载是由若干集中力及均布荷 载组成的，而且每个集中力的大小也不同。但 我们首先要讨论的是具有共性的问题，即单个 移动荷载P=1在结构上移动时结构内力和位移的 变化规律。
Y 0
N 2 RB
4h2 d 2 4h2 d 2 0 QEF 2h 2h
当P=1在结点F右侧，取截面I-I以左为隔离体：
Y 0
N 2 RA
4h 2 d 2 4h2 d 2 0 QEF 2h 2h
0 ——相应简支梁节间EF的剪力。 QEF
4h2 d 2 2h
1 Z 3
Z
A
P 1
2 Z 3
C
1 Z 3
P ( x)
B
1 Z 3
QC
虚功方程为:
P图
Z
1 2 Q C ( Z Z ) P P ( x ) 0 3 3 Q C Z P P ( x ) 0 P ( x) QC Z
K D B (2)在结点荷载作用下，当移动荷载P=1作用在 C﹑D截面之间时，根据叠加原理可得（图b)： x P=1 x d x b) d d K C D d
MK
d x x yC yD d d y D yC yC x d
x 可见， M是 的一次函数，也是 x的一次函数。所 K 以，MK影响线在结点C、D之间是一直线。 结点荷载作用下 MK影响线如下图c)所示：
d l
l
QA右影响线
d l
容易求得QA左及MA左影响线见下图。 d 1
MA左影响线 QA左影响线
小结： 伸臂梁简支段AB某截面弯矩和剪力的 影响线在AB段与简支梁相同，伸臂段图形则是 简支段图形的延伸。
8-3 结点荷载作用下梁的影响线
如图简支梁AB，荷载P =1在上部纵梁上移动， 纵梁支在横梁上，横梁由主梁支承。求主梁AB 某截面内力Z的影响线。 P=1 x
3 4h 2 d 2 10h
h d/2
4h2 d 2 2
E
4h d 10h
2 2
A
F
N2影响线（下承）
B
4h2 d 2 2h
8-5 机动法作静定梁的影响线
机动法作影响线的原理和步骤
机动法作静定结构影响线是应用虚功原理把求 影响线的静力平衡问题转化为作刚体位移图的几 何问题。 对于单跨或多跨梁，由于刚体位移图很容易确 定，所以影响线的求解十分简捷。
C B
当P=1在CE段时，取DC段作隔离体(图b)：
M 0 M R a (a x l d ) Y 0 Q R (a x l d )
C C A C A
MC及QC影响线如下图示：
ab l
bd l
d l
b l
ad l MC影响线
a l
d l
QC影响线
（3） 作QA右及A左截面内力影响线
先作QA右影响线。
当P=1在DA段，取AE段作隔离体（图a)： A右
M A右
l
QA右
B
d
RB
E
M A右
D b)
d
RA
A右
Q A右
a)
Q A右 R B
d x 0
(0 x l d )
当P=1在AE段，取DA段作隔离体（图b)：
QA右 R A
QA右影响线如下图示。
RA P 1 y1 P 2 y2
y
1 y1 y2 P1 A P2
RA影响线
x
B
二、 影响线定义
当单位集中移动荷载P=1在结构上移动时，表 示结构指定截面的某量值Z变化规律的曲线， 称为Z的影响线。 量值Z可以是截面内力或位移，也可以是支座 反力。 影响系数 Z 是Z与P的比例系数，即：
Z PZ Z Z P
1 4
1 A
RB影响线
5 4
B
例8-2
用机动法求下图所示伸臂梁MC及QC的 影响线。 x A P=1 B
d
解：
d
C
2d
d
（1） 作MC的影响线 将C截面变为铰结，暴露出弯矩 M C；令该机 构产生刚体位移，使C左、右截面相对转角与M C 同向，就得到 P 图，见下页图。
P 1
2d Z 3
4h2 d 2 2
N 2 RA
4h2 d 2 2h
4h 2 d 2 4h2 d 2 0 QCD 2h 2h
4h2 d 2 4h
C
3 4h d 20h
2 2
B
4h2 d 2 2h
A
D
N2影响线(上承)
求N2的影响线（下承） 当P=1在结点E左侧，取截面I-I以右为隔离体：
2
2
2
RB 0
2 2 2
h d/2
4h2 d 2 2
N 2 RB
4h d 4h d 0 QCD 2h 2h
0 ——相应简支梁节间CD的剪力。 QCD
当P=1在结点D右侧，取截面I-I以左为隔离体：
Y 0
N2 h 2 4h 2 d 2 RA 0
h d/2
MF 0
0 MF
1 0 N 1 ( R A 2d ) M F /h h
相应简支梁F截面的弯矩。 E F 6d/5h
N1影响线（下承）
A
2d/h
B
3d/h
（3) 求N2的影响线（上承） 当P=1在结点C左侧，取截面I-I以右为隔离体：
Y 0
N2 h 2 4h d
8-4 静力法作桁架的影响线
平面桁架只承受结点荷载，单位移动荷载 P=1通过纵梁﹑横梁（横梁放臵在结点上）系 统传给桁架结点，如同前面讨论的简支梁受结 点荷载的情况一样。因此，桁架任一杆的轴力 影响线在两结点之间是一直线。 求桁架杆件轴力的影响线时，把单位移动荷 载P=1依次作用在各结点上，用结点法或截面 法求出杆件的轴力即可。
P1 P2
P3 a2
P4 a3 a4
q b
a1
在移动载荷作用下，结构任意截面的内力（M 、 Q 、 N）和位移（△、θ）及支座反力均随移动 荷 载 在 结 构 上 的 位 臵 变 化 而 变 化 。 结构在移动荷载作用下，主要讨论下述问题： (1)对于给定截面C，其位移或内力（例如Mc） 当给定的移动荷载在什么位臵时得到最大值？该 问题是求移动荷载的最不利位臵问题。
A
截面C弯矩和剪力影响线如下图示。
ab l
a
b
MC影响线
l
b l
a l
l
QC影响线
二、伸臂梁的影响线 作伸臂梁的影响线时，先画出简支梁的影 响线，然后延伸至悬臂段。 （1） 支座反力影响线 D 由 MB 0 及
x P=1
A
d
M
A
0 得：
RA
l
a
l
C
B
b d
E
RB
d l
l
lx x RA RB l l (d x l d )
令
Z 1 则 MC P ( x)
上式表明，在 P 图中，令 Z 1并反号，就 可求得MC影响线。
2d 3 d 3
2d 3
MC影响线
（2） 作QC的影响线
将C截面改为滑动连结，暴露出剪力Q ；令 C 该机构产生刚体位移，使C左、右截面位移方 向与 QC 相同，就得到 P 图，见下页图。
d 1 l
d l
RA影响线
RA及RB的影响线如 右图示。
RB影响线
d 1 l
（2） C截面弯矩及剪力影响线 当P=1在DC段时，取CE段作隔离体(图a)： C
QC
MC
b
B
d
E
D
A
MC
C
QC
d
RA
C B
a
b)
a)
RB
C
M 0 M R b (d x a ) Y 0 Q R ( d x a )
Z 与Z 的量纲不同，它们相差一个荷载P的量 纲。
8-2 静力法作静定单跨梁影响线
一、简支梁的影响线 x A P=1 B l
RA
（1） 支座反力影响线
M
B
0
lx RA (0 x l ) l
x M A 0 RB l
(0 x l )
1 1
RA影响线 RB影响线
（2） 弯矩和剪力影响线 当P=1在AC段，取CB段作隔离体：
A
C
K
D
B
由下面的证明可以得出结论： 在结点荷载作用下，主梁截面K某内力Z的影响 线在相邻结点之间是一条直线。下面以MK为例加 以证明。
证明： (1)在直接移动荷载作用下，MK的影响线已经画 出。当P=1在截面C或D时，可得（见图a) ） M K yc 或 M K yd 。 y yd c a) A M 影响线（直接荷载） C K
上式中， 与P同向为正，反向为负。 Z Z恒为正； （ ） P x 乘积 P（ 的正负号由 （ 的正负号调整。 ） ） P x P x