影响线练习题

四、例题解析（一）概念题例3-2荷载处于某一最不利位置时，按梁内各截面的弯矩值竖标画出的图形，称为简支梁的弯矩包络图。

（）（大连理工1999）答案：×。

例3-3简支梁绝对最大弯矩值是：（）（天津大学1997）A、梁中某截面的最大弯矩值；B、梁跨度中点附近某截面的弯矩值；C、梁中各截面最大弯矩中的最大值；D、梁中间截面的最大弯矩值。

答案：C。

例3-4静定结构中任何量值的影响线都是由直线段组成。

（）（西南交大1997）答案：×。

静定结构的位移影响线是曲线。

例3-5 用静力法作影响线，影响线方程中的变量代表截面位置的横坐标。

（）（华中理工1999）答案：×。

代表单位力的位置。

例3-6 图3-4所示结构BC杆轴力影响线应画在BC杆上。

（）（华中理工2000）图3-4答案：×。

影响线的作用范围是单位荷载的移动范围，应画在AB杆上，而不是在BC 杆。

例3-7简支梁跨中截面C弯矩影响线的物理意义是荷载F P＝1作用在截面C的弯矩图。

（）（湖南大学2005）答案：×。

例3-8 结构上某截面剪力的影响线，在该截面处必定有突变。

（）（中南大学2005）答案：×。

提示：间接荷载下的剪力影响线在该截面处不一定有突变。

例3-9 作影响线时，只需考虑单位集中荷载，不需要考虑结构上的实际荷载。

（）（中南大学2007）答案： 。

例3-10 影响线仅用于解决活载作用下结构的计算问题，不能用于恒载作用下的计算。

（）（西安交大2003）答案：×。

例3-11 图3-5所示结构，M A影响线（下侧受拉为正）D处的纵标为：( )（西南交大2002）A、0；B、l；C、－l；D、-2.236l/2。

图3-5答案：C。

提示：根据影响线的概念，本题实际是求荷载移动至D点时，M A的值。

例3-12 机动法作静定结构内力影响线的依据是：（）（西安交大2005）A、刚体体系的虚力原理；B、变形体的虚功原理；C、刚体体系的虚位移原理；D、变形体的虚位移原理。

答案：C。

例3-13 图3-6a所示结构a杆的内力影响线如图b所示。

（）（天津大学2005）(a)(b)图3-6答案： 。

提示：桁架的每一节间影响线都是直线，故可将单位荷载分别作用在结点，求出a杆的轴力，再连成直线。

例3-14 图3-7所示结构，某截面剪力影响线已作出如图所示，则竖标y C表示：（）(浙江大学2005)A、F P=1在B时，C截面的剪力值；B、F P=1在C时，C截面的剪力值；C、F P=1在C时，时，B截面右侧的剪力值。

图3-7答案：C。

例3-19 图3-12a所示梁的最大弯矩发生在距支座A m225.6处。

（）（四川大学2005）(a)60kN图3-12答案：×。

提示：当第二个力和合力分布于中点两侧时，第二个力下的弯矩最大，此时，距支座A为5.875m。

例3-20 什么是影响线？影响线的作用？（中国地震局工程力学研究所2006）答案：详见一“基本概念”和三“影响线的应用”。

例3-21 举例说明弯矩图和弯矩影响线的区别。

（四川大学2007）答案：详见一“基本概念”（二）求作影响线例3-23 F P=1在上层梁移动，试用静力法作图3-14a所示结构的F QD左，M F的影响线。

（北京工业大学2006）DP=1(b)y2lx21= -2lx21= -2l x21= -(d)1/4(e)M F的影响线l/32图3-14解：（1）求F QD左的影响线。

取上层梁分析，上层梁为两端有悬挑的伸臂梁。

设C为坐标原点，x、y轴方向如图b所示：对C点取矩(图b) F RD⋅l＝1×x⇒F RD＝lxx∈(454ll，-）对D点取矩(图b) F RC⋅l＝1×(l-x) ⇒F RC＝1-lxx∈（454ll，-）当F P＝1在D点以左移动时，F QD左＝-F RD= -lxx∈（ll，4-）当F P＝1在D点以右移动时，F QD左＝F RC=1-lxx∈（45ll，）F QD左的影响线见图d。

（2）求M F的影响线（设M F下侧受拉）。

取下层梁分析（图c）。

M F＝F RB×4l＝88xl-x∈（454ll，-）M F的影响线见图e。

例3-25 有单位力在AB、CD杆上移动(图3-16a)，作F RA及F QF的影响线。

（天津大学2007）DDD(d)的影响线F RA F QF 的影响线图3-16解：(1)求F RA 的影响线。

去约束后体系发生的虚位移图见图b 。

取出AB 和CD 段的位移图放于同一坐标系中，即得F RA 的影响线如图d 。

（注意，虚位移图并非由F RA 引起，而是由于体系缺少约束而产生的，因此CD 段不发生位移，因为不缺少约束。

）（2）同理可绘出F QF 的影响线，见图d 。

例3-26 图3-17a 所示结构F P =1在DG 上移动，作F RD 、F NCE 、M C 和F QC 右的影响线。

(华南理工2006)(a)(c)(c')3/2的影响线的影响线M C (d')F NCE的影响线F QC 右图3-17解： 撤去F RD 对应的约束，用一反力来代。

令体系沿F RD 的正方向发生单位位移（图b ），则杆DEFG 的位移图就是F RD 的影响线(图b ′)。

同理，F NCE 、M C 和F QC 右的影响线如图c′~e ′所示。

例3-27 作图3-18a 所示结构A 点的弯矩和剪力影响线。

（东南大学2005）的影响线F QA(c)图3-18解：用机动法，过程略，虚位移图和影响线见图b 、c ，影响线中的虚线为直接荷载下的影响线。

例3-28 当F P =1沿AC 移动时，作图3-19a 所示结构中F RB 、M K 的影响线。

（华南理工2007）(d)1/2l/8虚位移图K RB图3-19解：用机动法作影响线。

去掉相应的约束，F RB 、M K 的方向示于图b,c 中，画出虚位移图，影响线见图d 。

过程略。

例3-29 求出图3-20a 所示结构F QC 、F QB 的影响线，单位荷载F P =1在E~F 间移动。

（华中科技大学2005）F QC 的影响线(b)主梁的虚位移图（一）QB 左1/41/4(c)主梁的虚位移图（二）1/21的影响线F QB 右主梁的虚位移图（三）(d)图3-20解：用机动法。

先作直接荷载下的影响线，再将结点向下投影所得的竖标连成直线即得所求影响线。

注意：F QB 应分为B 左和B 右两个截面分别计算。

例3-30 图3-21a 所示结构，单位荷载F P ＝1在HIJ 杆上移动，试作支座C 反力F RC （向上为正）和截面B 的弯矩M B （下侧受拉为正）的影响线。

(浙江大学2004)虚位移图二(d)27/8H的影响线F RC 图3-21解：用机动法（1）求F RC 的影响线，撤除F RC 的约束，体系虚位移如图b ，F RC 的影响线如图d 。

（2）求M B 的影响线，去除约束后，体系的虚位移如图c ，M B 的影响线如图d 。

例3-32 作图3-23a 所示结构杆a 内力F N a 的影响线，单位荷载F P ＝1在下弦杆移动。

(浙江大学2007)F F x11(b)(d)ABC的影响线F Na图3-23解：用静力法。

本题几何组成为三刚片规则，求支座反力应解联立方程，先取图b 分析。

由()1212012112120111xF F x F F M y RA y RA O -=+⇒=-⨯=⨯+⨯⇒=∑ (a) 再取左半部分分析（图c ），当F P ＝1在C 点左侧移动时，由0=∑CM得：()061261=-⨯-⨯+⨯x F F x RA ()606261≤≤-=+⇒x xF F x RA(b)当F P ＝1在C 点右侧移动时，由()12602601≤≤=+⇒=∑x F F M x RA C (c)联立求解（a ）、（b ）和（a ）、（c ）可得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤≤=1262823608211x x F x x F N N 。

又由结点平衡条件知1N Na F F =，故Na F 的影响线如图d 。

例3-35 当单位荷载F P 在垂直于AB 、BC 、CE 杆的外围移动时，求图3-26a 所示结构指定截面D 的弯矩与剪力影响线。

（D 点弯矩以使CE 杆外围受拉为正，剪力以使所研究单元顺时针转动为正）。

(北京航空航天大学2004)(a)(b)(c)P L/2L/2(e)图3-26解：用机动法，先分别去掉M D 、F QD 的约束，画出相应机动体系的虚位移图（见图b 、图c ）。

再由虚位移图画出影响线如图d 、e 。

注意：画影响线时，应先假设好坐标系中的正方向（与单位荷载相反的方向为y 轴的正方向，见图b ），若位移图在y 轴正向，则影响线为正号，否则为负号。

例3-37 对图3-28a 所示结构：（1）作CD 梁上截面C 处M C 的影响线；（2）作AB 梁上支座B 竖向反力F RB 及梁中点E 竖向位移ΔEV 的影响线（梁的刚度为EI ）。

F P =1在A-C-D 上移动（M C 以下侧受拉为正）。

(北京交大2004，西南交大2002)C D(d)的影响线∆E V图3-28解：(1)求M C和RBF的影响线。

撤去与CM有关的约束，令体系沿CM正方向产生虚位移，CM的影响线如图b所示。

同理作RBF的影响线（图c）。

注意：作RBF的影响线时，C 点为定向结点，其连接的上下两根杆件发生位移后应保持平行。

（2）ΔEV的影响线。

根据位移互等定理，求E点竖向位移的影响线相当于求单位力作用在E点时，ACD段的位移图(见图d)。

其中，E点的位移用图乘法可求，为EIl6/3；CD 段的位移为竖向平移，ΔEV的影响线如图d。

例3-38 试作图3-29a所示结构的M K、QKF、QCF的影响线。

（四川大学2004）M K的影响线的影响线0.5F QK QC图3-29解：用机动法求解。

M A假设下侧受拉。

虚位移图和影响线分别如图b，c，d。

例3-48试求图3-39a所示移动荷载组作用时C截面上的最大弯矩M C(max)。

（同济大学2004）2×100kN 20kN100kN 20kNF P1F P2F P4F P5F P3(b)20kN 100kN 20kN2×100kN图3-39解：（1）用机动法画出M C 的影响线(图b)。

（2）求临界荷载经分析，F P1、F P5不是临界荷载，只需分析其余三个荷载。

当F P2位于影响线顶点E ，荷载左移12202100410020+⨯>+，右移12203100420+⨯<，故F P2是临界荷载。

当F P3位于影响线顶点, 荷载左移1220100420020+>+，右移12202100410020+⨯>+，故F P3不是临界荷载。