五年级奥数追及问题和环形行程问题
五年级奥数行程环形跑道教师版
五年级奥数行程环形跑道教师版The document was prepared on January 2, 2021本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。
是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。
一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和=相遇时间×速度和 路程差=追及时间×速度差 二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
环线型同一出发点直径两端同向：路程差 nS nS +相对(反向)：路程和nS【例 1】一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米．经过几分钟才能相遇【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆【题型】解答例题精讲知识框架环形跑道【解析】黄莺和麻雀每分钟共行6659125+=（千米），那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即500(6659)5001254÷+=÷=（分钟）．【答案】4分钟【巩固】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。
已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。
在他们第10次相遇后，王老师再走米就回到出发点。
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆【题型】填空【解析】几分钟相遇一次：480÷（55＋65）=4（分钟）10次相遇共用：4×10=40（分钟）王老师40分钟行了：55×40=2200（米）2200÷480=4（圈）……280（米）所以正好走了4圈还多280米，480－280=200（米）答：再走200米回到出发点。
五年级下册奥数行程问题
两车第二次相遇时，它们共行了三倍全程。 两车第二次相遇时，它们共行了三倍全程。 小明每分钟走100米，小红每分钟走80米，两人同时同地向相反方向走去。 李比赵也早出发2小时，先走了4x2=8 (千米)，赵要追上8千米，需要8÷(6-4) =4(小时)， 8+4=12 (时)，因此，赵追上李的时间是中午12点。 答:从出发时开始到返回再次相遇共花了10小时 从出发时开始到返回再次相遇一共花 了多少小时?
在行程问题中，有时要讨论两个或几个运动物体行进的关系。 答:从出发时开始到返回再次相遇共花了10小时 两车第二次相遇时，它们共行了三倍全程。
小明转向追小红，当小明追上小红时，两 5分钟后小明转向追小红，当小明追上小红时，两人各走了多少米?
小明和小红分别行的时间: 45+5=50 (分钟) 答:至少经过10分钟两人才能相遇。
李比赵也早出发2小时，先走了4x2=8 (千米)，赵要追上8千米，需要8÷(6-4) =4(小时)， 8+4=12 (时)，因此，赵追上李的时间是中午12点。 小明跑的圈数: 5-1 =4 (圈) 两人同时同地同向出发，至少要经过几分钟两人才能相遇?相遇时各跑了几圈?
果同时到达一个地点，就是相遇； 从出发时开始到返回再次相遇一共花 了多少小时?
甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑14米，则 甲跑7秒钟可追上乙；若甲让乙先跑4秒钟，则 甲跑8秒钟就能追上乙。甲、乙二人的速度各 0小时 小明跑的圈数: 5-1 =4 (圈)
举一反三-追及和环形行程问题
1、一辆快车和一辆慢车同时从甲地开往乙地。
快车每小时行108千米，慢车每小时行72千米，慢车比快车迟1小时到达乙地，求甲、乙两地间的距离。
2、爷爷坐汽车，小华骑自行车，同时从A地去B地，汽车每小时行40千米，是自行车速度的2.5倍，结果爷爷比小华提前3小时到达B地。
A、B两地间距离是多少千米？3、小军家离少年宫4800米，小军从家出发，以每分钟60米的速度步行去少年宫，爸爸在15分钟后骑自行车从家里出发去追赶小军，自行车的速度是每分钟240米。
爸爸追上小军后又去少年宫，然后返回，过了不久又与小军相遇，那么相遇处离少年宫多远？4、甲、乙两人同时、同地出发去同一目的地，甲每小时走9千米，乙每小时走7千米。
甲动身时，乙已经走出了15千米，甲追乙3小时后，又以每小时10千米的速度追乙，那么在经过几个小时甲能追上乙？5、一辆货车以每小时40千米的速度从甲地驶往乙地，出发1小时后，一辆面包车以每小时60千米的速度也从甲地驶往乙地，结果比货车早半个小时到达乙地，求甲、乙两地之间的距离？6、王叔叔和李叔叔同时从运动场的同一地点出发，同向绕运动场跑道赛跑。
王叔叔每分钟跑300米，李叔叔每分钟跑280米，过了20分钟，王叔叔追上李叔叔，问跑道一圈多少米？7、小红和小玲绕一环形跑道骑自行车。
她们同时从同一地点背向行进。
小红每分钟行200米，小玲每分钟行160米。
已知环形跑道一周的长为1080米。
她们第8次相遇时，小红走了多少米？8、甲、乙两人绕周长为1000米的环形广场竞走，已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍。
现在甲在乙的后面250米处，乙追上甲需要多少分钟？9、小明和小亮同时绕周长为720米的环形跑道行走，小明每分钟行90米，小亮每分钟行80米，他们同时从A点绕跑道顺时针行走。
他们最少要用多少分钟在A点相遇？10、小王和小许分别从圆形花圃直径的两端同时出发，绕周长为200米的花圃同向跑步，小王每分钟跑120米，小许每分钟跑80米，在半小时内，小王追上小许多少次？11、小强和小刚绕一条长2400米的环形公路跑步，他们同时从同一地点反向而行，经过10分钟后两人相遇。
五年级奥数学第10讲行程问题
相遇次数： 1， 2， 3， 4 两人所走走程和;S， 3S， 5S， 7S 则甲乙两地相距：1.4*3-0.6=3.6千米（？） 第4次相遇时，2人共走了7S，那么小赵的路程是 1.4*7=9.8 9.8/3.6=2……2.6（即9.8除以3.6等于2，余数是2.6， 即，小赵从甲地走到乙地，又回到甲地，又走了2.6千 米），也就是距离甲地2.6千米。
4．行程问题的电梯问题
电梯问题核心公式: 异向：电梯级数=（人速-电梯速）*时间， 同向：电梯级数=（人速+电梯速）*时间
• 例1 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个 孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男 孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯 级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。 则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有： A.80级 B.100级 C.120级 D.140级 • 解析:若设电梯匀速时的速度为X，可列方程： (X+2)×40=(X+3/2)×50 解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数= （2+0.5）1千米又逆流航行4
千米，第二天在同一河道中顺流航行12千米， 逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等，假 设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船 速与逆水船速之比是： A.2.5：1 B.3：1 C.3.5：1 D.4：1
解析：典型流水问题。如果设逆水速度为 V，设
2011湖南选调：
• 电梯速：(2*50-16/6*30)/(50-30)=1 • 电梯级数=（2-1）*50=（X-1)*20
5.环形运动问题：
例1 甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行
800米跑比赛，当甲跑1圈时，乙比甲多跑1/7圈。 丙比甲少跑1/7圈。若他们各自跑步的速度始终 不变，则当乙到达终点时，甲在丙前面：
2024年小学五年级行程问题奥数题及答案
观察可知，老母牛一开始在火车的中心的左端。在相遇过程中，火车走了：2个桥长-1英尺;母牛走了：0.5个桥长-5英尺;在追及过程中：火车走了：3个桥长-0.25英尺;母牛走了：0.5个桥长+4.75英尺。则在相遇和追及过程中：火车共走了5个桥长-1.25英尺;同样的时间，母牛走了1个桥长-0.25英尺。所以火车的速度是母牛狂奔时的5倍。母牛的速度为90÷5=18英里/小时。又根据2个桥长-1英尺=2.5个桥长-25英尺所以0.5个桥长=24英尺。1个桥长=48英尺。
答案
1.解答：假设AB两地之间的距离为480÷2=240 (千米)，那么总时间=480÷48=10 (小时)，回来时的速度为240÷（10-240÷4）=60 (千米/时)。
2.解答：设赵伯伯每天上山的路程为12千米，那么下山走的路程也是12千米，上山时间为12÷3=4 小时，下山时间为12÷6=2 小时，上山、下山的平均速度为：12×2÷（4+2）=4 （千米/时），由于赵伯伯在平路上的速度也是4 千米/时，所以，在每天锻炼中，赵伯伯的平均速度为 4千米/时，每天锻炼3 小时，共行走了4×3=12 （千米）=12000 （米）。
答案解析：
第一次提前20分钟是因为张工程师自己走了一段路，从而导致汽车不需要走那段路的来回，所以汽车开那段路的来回应该是20分钟，走一个单程是10分钟，而汽车每天8点到张工程师家里，所以那天早上汽车是7点50接到工程师的，张工程师走了50分钟，这段路如果是汽车开需要10分钟，所以汽车速度和张工程师步行速度比为5:1，第二次，实际上相当于张工程师提前半小时出发，时间按5:1的比例分配，则张工程师走了25分钟时遇到司机，此时提前(30-25)x2=10(分钟)。
2024年小学五年级行程问题奥数题及答案
(完整)五年级奥数行程问题五大专题
行程问题---多人相遇问题及练习板块一多人从两端出发——相遇问题【例1】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米?【例2】（2009年四中入学测试题）在公路上，汽车A、B、C分别以80km/h,70km/h,50km/h的速度匀速行驶，若汽车A从甲站开往乙站的同时，汽车B、C从乙站开往甲站，并且在途中，汽车A在与汽车B相遇后的两小时又与汽车C相遇，求甲、乙两站相距多少km？【巩固】甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙.求A,B两地的距离．【巩固】小王的步行速度是5千米/小时，小张的步行速度是6千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后30分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？【巩固】甲、乙两车的速度分别为52千米／时和40千米／时，它们同时从A地出发到B地去，出发后6时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1时后乙车也遇到了这辆卡车。
求这辆卡车的速度。
【巩固】甲、乙、丙三人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．甲从东村，乙、丙从西村同时出发相向而行，途中甲、乙相遇后3分钟又与丙相遇．求东西两村的距离．【例3】甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，丙每分钟走60米，甲、乙两人从A、B地同时出发相向而行，他们出发15分钟后，丙从B地出发追赶乙。
此后甲、乙在途中相遇，过了7分钟甲又和丙相遇，又过了63分钟丙才追上乙，那么A、B 两地相距多少米？【例4】甲乙丙三人沿环形林荫道行走，同时从同一地点出发，甲、乙按顺时针方向行走，丙按逆时针方向行走。
已知甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，1小时后甲、丙二人相遇，又过了10分钟，丙与乙相遇，问甲、丙相遇时丙行了多少千米？【例5】一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正向北步行。
五年级奥数之《环形道路上的行程问题》+配套练习题 覆盖面广,条理性好,针对性强,提升效果快
五年级奥数
环形道路上的行程问题
在环形道路上的行程问题，本质上讲就是追及问题或相遇问题。
当两人（或物）同向运动时就是追及问题，追及距离就是两人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当两人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是两人从出发到相遇所行路程和。
例1：
如图,两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑.甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米.两人同时同向同地出发,45分钟后甲追上了乙.如果两人同时同地反向而跑,经过多少分钟后两人相遇？
例2：
如图，是一个圆形的中央花园,A、B是直径的两端.小军在A点,小勇在B点，同时出发相向而行.他俩第1次在C点相遇,C点离A点有50米;第2次在D点相遇，D点离B点有30米.这个花园一周长多少米？
随堂练习1
1、甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上同向竞走.已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍,甲在乙前面100米处.几分钟后,甲第一次追上乙？
2、如图，A、B是圆直径的两端点,亮亮在点A,明明在点B,相向而行.他们在C点第一次相。
五年级奥数-环形道路上的行程问题
第五讲环形道路上的行程问题一、知识要点和基本方法1．行程问题中的基本数量关系式： 速度×时间＝路程；路程÷时间＝速度； 路程÷速度＝时间． 2．相遇问题中的数量关系式：速度和×相遇时间＝相遇路程； 相遇路程÷速度和＝相遇时间； 相遇路程÷相遇时间＝速度和． 3．追及问题中的数量关系式：速度差×追及时间＝追及距离； 追及距离÷速度差＝追及时间； 追及距离÷追及时间＝速度差． 4．流水问题中的数量关系式：顺水速度＝船速十水速； 逆水速度＝船速一水速；船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2； 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2． 5．应该注意到：（1）顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似； （2）在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似，因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题．二、例题精讲例1 李明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200米，是王林每分钟所跑路程的89．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇？分析 由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差＝追及时间”． 解 追及距离＝400米；返及时的速度差＝200÷89－200．由公式列出追及时间＝400÷（200÷89－200）＝400 ÷（225－200） ＝400 ÷ 25 ＝16（分）．答 至少经过16分钟两人才能相遇．例2 如图5－1，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D 点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长．图5-1分析第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两个人合起来又走了一圈，所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．也就是说，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，也就是每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的3倍，所以从A到D（A→C→B→D）的距离应该是从A到C（A直接到C）的距离的3倍．于是有解法如下．解 A 到D（A→C→B→D）的距离：100 × 3＝300（米）．半个圆圈长：300－80＝220（米）．整个圆圈长：220 × 2＝440（米）．答这个圆的周长是440米．例3 一个圆的周长为1．44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．l分钟后它们都调头而行，再过3分钟，他们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬行5．5厘米和3．5厘米．那么经过多少时间它们初次相遇？再次相遇需要多少时间？分析半圆的周长是÷．．（米）=72（厘米）．1442=072先不考虑往返的情况，那么两只蚂蚁从出发到相遇所花时间为÷（．．）=8（分）．7255+35再考虑往返的情况，则有表5－1．表5－1经过时间（分） 1 3 5 7 9 11 13 15 16在上半圆爬行时间 1 3 5 7 8在下半圆爬行时间 2 4 6 8此可求出它们初次相遇和再次相遇的时间．解由题意可知它们从出发到初次相遇经过时间＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（分）．第一次相遇时，它们位于下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟，此时，爬行在下半圆的时间仍为8分钟（与上次在下半圆爬行时间相同），爬行在上半圆的时间应为9（＝17－8）分钟，但在上半圆（相向）爬行8分钟就会相遇，此时总时间又用去了16（＝8＋8）分钟，因此，第二次相遇发生在第一次相遇后又经过了16分钟（从总时间计算则为64＋16＝80（分））．此时，相遇位置在上半圆．答它们经过时分钟初次相遇，再经过16分钟再次相遇，例4 一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，用以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？图5－2分析根据题意画出示意图5－2．观察示意图可知：甲共行了70－30＝40（厘米），所需时间是40÷4＝10（秒）．在10秒内，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了15＋30＝45（厘米），假如全按原速走，乙10秒共走15＋45÷2＝37．5（厘米），由此可求出乙原来的速度．解（70－30）÷4＝40 ÷ 4＝10（秒），［（30＋15）÷2＋15］÷ 10．÷10＝375?．（厘米/秒）．＝375?答爬虫乙原来的速度是每秒爬3．75厘米例5 如图5-3，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？图5-3分析这是环形追及问题．这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环形”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上．解设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方3 × 90＝270（米），故有72x ＝65x ＋ 270， 解得x ＝2707在这段时间内乙走了72×2707＝277717由于正方形边长为90米，共四条边，所以由277717＝3 0× 90＋7717＝（4× 7＋2）×90＋7717，可以推算出这时甲和乙应在正方形的AD 边上．答 当乙第一次追上甲时在正方形的AD 边上．例6 150人要赶到90千米外的某地去执行任务．已知步行每小时可行10千米．现有一辆时速为70千米的卡车，可乘50人．请你设计一种乘车及步行的方案，能使这150人在最短的时间内全部赶到目的地．其中，在中途每次换车（上、下车）时间均忽略不计．解 显然，只有人、车不停地向目标前进，车一直不停地往返载人，最后使150人与车同时到达目的地时，所用的时间才会最短．由于这辆车只能乘坐50人，因此将150分为3组，每组50人来安排乘车与步行．图5－4中，实线表示汽车往返路线（AE →EC →CF →FD →DB ），虚线表示步行路段．显然每组乘车、步行的路程都应一样多．所以图5-4AE ＝CF ＝DB ，且AC ＝CD ＝EF ＝FB ． 若没AE ＝CF ＝DB ＝x ，AC ＝CD ＝EF ＝FB ＝y ，则290x y +=．且因为汽车在AE 十EC 上所用的时间与步行AC 所用时间相同，所以 ()7010x x y y+-= 解方程组290x y +=()7010x x y y+-=得60,15x y ==．则150人全部从A 到B 最短时间为602156370107⨯+=小时 答 方案是50人一组，共分3组，先后分别乘60千米车，先后分段步行30千米，由A 同时出发，最后同时到B ，最短时间是637小时．例7 甲、乙二人沿椭圆形跑道作变速跑训练：他们从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。
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行程问题
追及问题
1、张明、李军和赵琪三人都要从甲地到乙地，早上6时，张、李两人一起从甲地出发，张明每小时走5千米，李军每小时走4千米，赵琪上午8时才从甲地出发，傍晚6时赵、张两人同时到乙地，问：
xx什么时候追上xx？
2、家与公园之间的距离为4.8千米，如弟弟从家出发，以每分60米的速度步行公园，哥哥在15分钟后骑自行车从家出发去追赶弟弟，自行车的速度是每分240米，哥哥在离家多远的地方追上弟弟？哥哥追上弟弟后到达公园又折回，过不久与弟弟相遇，那么相遇处离公园多远？
3、张大伯和李叔叔同时从张村去李村，李叔叔到李村后立即返回，在距李村1.8千米处与张大伯相遇，已知张大伯每小时行12千米，李叔叔每小时行15千米，问张村与李村相距多少千米？
4、甲、乙两人骑自行车同时同地从村里出发去上学，明明每小时行15千米，丽丽每小时行10千米，出发半小时后，明明因事又返回村里，并在村里耽误了半小时，然后动身去追丽丽问几小时能追上？
5、甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时68千米和45千米，它们同时出发从A到B地,出发5小时后,甲遇到迎面开来的小轿车,1小时后乙车也遇到了这辆小轿车,求这辆小轿车的速度.
环行行程问题
6、甲、乙两运动员在周长是800米的环形跑道上竞走，已知乙的速度是平均每分160米，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙的前面200米。
问甲第二次追上乙时一共用了多少分？
7、两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟后甲追上乙。
如果两人同时同地返向出发，经过多少分两人相遇？
火车行程问题
8、两列火车，车长都是270米，从甲、乙两地都以每小时54千米的速度相对开出，两列火车从相遇到相离，要几秒钟？
9、一列慢车车身长125米，每秒行驶17米；一列快车车身长140米，车速是每秒22米，慢车在前面行驶，快车与它同向行驶，从后面追上到完全超过需要多少秒？
10、长90米的列车速度是每小时行54千米，它追上并超过长50米的列车用了14秒。
如果这两列火车相向而行，从相遇到完全离开要用多少时间？
11、一列特快客车和一列直快客车相向而行，特快客车车长228米，直快客车的车长342米，坐在特快客车上的旅客看见直快客车驶过的时间是9秒钟，那么坐在直快客车上的人看见特快客车驶过的时间是多少秒？
12、王晓坐在行驶的一列客车上，发现从迎面开来的货车通过他的窗口用7秒，后来又看到这列客车通过一座162米的桥用9秒，已经这列货车长238米。
求货车每小时的速度。
流水行程问题
13、一艘轮船在两个码头间航行，顺流需要4小时，逆流需要5小时，已知水流的速度是每小时2千米，求两个码头之间的距离。
14、一架飞机所带的燃料最多可用6小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500千米，飞加时逆风，每小时可以飞1200千米。
这架飞机最多飞出多少千米，要往回飞？
15、某人畅游长江，逆流而上，在A处丢失一只水壶,他又向前游了20分钟后,才发现了丢了壶,立即返回追寻.在离A处2千米的地方追到,他返回追寻用了多少分?(返回时速度不变)。