秦九韶算法
秦九韶算法介绍和实例分析
秦九韶算法介绍和实例分析具体而言，秦九韶算法通过构建一个累加器，用来存储每一次迭代计算的结果。
首先，将多项式的最高次项系数存入累加器中。
然后，通过迭代计算，将每一个次高次项的系数与上一次迭代的结果相乘，并加上该项的常数部分。
依次迭代计算，直到将所有的项都计算完毕。
最终，累加器中的值即为多项式的求值结果。
下面以一个实例来说明秦九韶算法的应用。
假设我们要求解如下多项式的值：P(x)=2x^4+3x^3-5x^2+6x-4首先，我们可以将多项式表示为累加的形式：P(x)=(((2x+3)x-5)x+6)x-4然后，我们可以使用秦九韶算法进行计算。
首先，将最高次项系数2存入累加器中。
累加器=2接下来，进行迭代计算。
首先，将累加器乘以x，并加上次高次项的常数部分3，得到结果5x+3累加器=(5x+3)然后，将累加器再次乘以x，并加上次高次项的常数部分-5，得到结果-5x^2+(5x+3)。
累加器=(-5x^2+5x+3)依次类推，进行下一次迭代计算。
最终，得到累加器的值为-4累加器=(-4)因此，多项式P(x)在x=1处的值为-4通过以上实例分析，我们可以看到，秦九韶算法通过使用累加的方式进行计算，大大减少了乘法和加法运算的次数，提高了算法的效率。
在实际应用中，秦九韶算法常用于求解多项式的值，例如在计算机图形学中，可用于求解曲线上的点的坐标。
同时，该算法还可以用于多项式的除法和求导等运算中。
总结起来，秦九韶算法是一种用于求解多项式的高效算法，通过使用累加的方式进行计算，减少了乘法和加法运算的次数。
该算法在实际应用中具有广泛的应用价值，可以提高计算效率，同时也为其他相关运算提供了基础。
秦九韶算法公式及结论
秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。
在西方被称作霍纳算法。
秦九韶（约公元1202年－1261年），字道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东曲阜一带人）。
计算方法
一般地，一元n次多项式的求值需要经过(n+1)*n/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。
在人工计算时，一次大大简化了运算过程。
把一个n次多项式
改写成如下形式：
求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
V1=an*x+a n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。
结论：对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法。
秦九韶算法进制转换
秦九韶算法进制转换
秦九韶算法是一种高精度算法，用于进行高精度的大数运算。
对于进制转换，秦九韶算法也可以实现，但通常不使用它进行进制转换，而是使用更简单的方法。
进制转换通常是将一个数字从一个进制转换为另一个进制。
例如，将十进制数字转换为二进制或十六进制。
可以使用以下方法进行进制转换：
1. 除法取余法：将给定的数字除以目标进制的基数，取余数作为最低位，然后将商再次除以目标进制的基数，取余数作为次低位，以此类推，直到商为0为止。
将所有余数按顺序排列即可得到目标进制的表示。
2. 乘法取整法：将给定的数字乘以目标进制的基数，取整数部分作为最低位，然后将小数部分再次乘以目标进制的基数，取整数部分作为次低位，以此类推，直到小数部分为0为止。
将所有整数按顺序排列即可得到目标进制的表示。
使用秦九韶算法进行进制转换的基本思路是将给定的数字表示为多项式的系数，然后将其转换为另一个进制的系数多项式。
具体实现方法可以参考相关的算法书籍或资料。
需要注意的是，秦九韶算法是一种高精度算法，需要进行大量的运算和存储，因此对于小数字的进制转换来说，使用简单的除法取余法或乘法取整法更为高效。
对于大数字的进制转换，可以考虑使用秦九韶算法或其他高精度算法。
§75秦九韶算法
§75秦九韶算法§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法三大语言三结构五种语句三案例高考主流是框图循环结构是重点辗转相除法与更相减损术进位制秦九韶算法注4：注1：自然语言框图程序设计语言注2：顺序结构条件结构循环结构输入语句注3：赋值语句输出语句条件语句循环语句───求最大公约数───求多项式的值框图的画法是次要的重点是要能看懂框图2.辗转相除法1.短除法求最大公约数的方法3.更相减损术数字较小短除法公质因数连续除除到所有商互质除数连乘是答案大除小余换大辗转除何时停0或11互质0除数即答案大减小差换大连续减何时停两相等即答案若可半可省功注：辗转相除法与更相减损术的异同点1.辗转相除法以除法运算为主3.两法本质上都是递推，都可用循环结构编程更相减损术以减法运算为主2.辗转相除法当除法运算余数为O或1时终止运算更相减损术当减法运算差为O时终止运算§75秦九韶算法──求多项式的值一、泰勒定理简介二、求多项式值的求法三、秦九韶算法1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法1.步骤2.编程复杂函数多项式函数泰勒定理先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表4.其他法递推公式法人工系数表法常见的多项式（整式）函数我省的大压轴题，每年都是以三次函数来说事2013年的全国Ⅰ卷的小压轴题，是四次函数泰勒中值定理一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理②n越大越精确①阶乘的概念：参课本P：32练习2麦克劳林公式一、泰勒定理简介复杂函数多项式函数泰勒定理1.直接法2.累乘法3.秦九韶算法最多n(n+1)/2次乘法，n次加法最多n次乘法，n次加法xn=(xn-1)xxn-1=(xn-2)xxn-2=(xn-3)x…二、求多项式值的求法4.其他法例如当n=10时……引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值直接法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=3125＋625＋125＋25＋5＋１=3906累乘法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１＋5＋１□=＋□＋□＋□251253125625=3906引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值秦九韶算法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=5×(5４＋5３＋5２＋5＋１)＋１=5×(5×(5３＋5２＋5＋１)＋１)＋１=5×(5×(5×(5２+5+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×(5+１)+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×(5×6+１)+１)+１)+１=5×(5×(5×31+１)+１)+１=5×(5×156+１)+１=5×781+１=3906先改后算迭代法降幂提因○补缺由内到外逐层算人工递推系数表后算先改可以看出，该算法是：将求一个5次多项式f(x)的值转化成了求5个一次多项式的值的方法引例.求f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值1.直接法2.累乘法f(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１3.秦九韶算法4.其他法5５，5４，5３，5２，5，１应用等比数列的求和公式最简洁吧秦九韶算法：设是一个n次的多项式先对该多项式按下面的方式进行改写：先改后算两大步降幂提因○补缺由内到外逐层算如何求该多项式的值呢？最后一项Vn是所求值秦九韶算法是将求一个n次多项式f(x)的值转化成了，求n个一次多项式的值的方法。
秦九韶算法
秦九韶算法
秦九韶算法为我国古代数学著作，又称《数书九章》、《数书九章》或《数书九章海镜》。
是世界上最早使用十进位值制记数和进行数字
运算的书籍之一。
原本有两卷，现存于北京图书馆。
该书主要讲述分数的乘除及开方等问题，所谓开方就是指一个数的立方根，它的意义在现代看来已经非常接近于“幂”了，而这种运算对于古人来说却不啻是神奇般地跳跃性发展！故在今天被认为是极富创造性的成果。
在文献的检索上，此算法一直受到世界各大图书馆和数学史家们的重视。
其原因很简单，因为他打破了“三位数乘以三位数等同四位数乘以四位数”的定论。
如何证明？
- 1 -。
秦九韶算法课件
(2)已知一个五次多项式f(x)＝2x5－4x3＋3x2 －5x＋1，用秦九韶算法求这个多项式当x＝3 是的值．
秦九韶算法课件
[探究] 1.用秦九韶算法求多项式的值时，几 次多项式就做几次乘法运算，对吗？
2．用秦九韶算法求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn －1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ…＋a1x＋a0在x＝x0时的值时，v0是什么？ v1呢？
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[规律总结] 用秦九韶算法时要正确将多项 式的形式进行改写，然后由内向外依次计 算．当多项式函数中间出现空项时，要以系 数为零的齐次项补充．
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用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋ 4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．
[探究] 解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋ 1)x的形式，其次再弄清v0，v1，v2，…，v7 分别是多少，再针对这些式子进行计算．
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用更相减损术检验： 80－36＝44， 44－36＝8， 36－8＝28， 28－8＝20， 20－8＝12， 12－8＝4， 8－4＝4. 故80和36的最大公约数是4.
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[规律总结] 更相减损术与辗转相除法都能
求两个数的最大公约数，二者的区别与联系
求出其中两个数的最大公约数，再求这个最 大公约数与第三个数的最大公约数，所得的 结果就是这三个数的最大公约数．
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[解析] 先求175与100的最大公约数： 175＝100×1＋75,100＝75×1＋25，
75＝25×3， ∴175与100的最大公约数是25. 再求25与75的最大公约数：
39， 42＝39×1＋3,39＝3×13， ∴288和123的最大公约数是3.
编程用秦九韶算法计算多项式的值
编程用秦九韶算法计算多项式的值秦九韶算法（又称秦九韶快速幂算法）是一种用于计算多项式的值的高效算法。
该算法的思想是将多项式的计算过程进行优化，减少重复的计算。
多项式可以表示为：P(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n 普通的计算方法是按照上述公式逐项计算每一项相乘再相加的结果。
然而，这种方法在项数较多时，计算量会急剧增加，效率低下。
秦九韶算法通过一系列的优化，可以极大地提高计算效率。
秦九韶算法的核心思想是通过重复平方的方式，快速地计算多项式的值。
具体过程如下：Step 1: 将多项式的系数存储在一个数组中。
例如，多项式P(x) = 2 + 3x + 4x^2可以表示为：coefficients = [2, 3, 4]Step 2: 设定一个初始值result为0Step 3: 从n=0开始，遍历coefficients数组，对每个系数进行以下操作：- 将result乘以x的n次幂。
初始情况下，x的幂为1，乘以coefficients[0]得到r0 = coefficients[0]。
之后，将x平方，得到x^2，依次类推。
- 将上述结果与result相加，得到新的result。
例如，r0 + coefficients[1]*x + coefficients[2]*x^2 + ... +coefficients[n]*x^n = resultStep 4: 返回result作为多项式P(x)的值。
以以上示例的多项式P(x)=2+3x+4x^2为例，假设x=2，那么应用秦九韶算法的计算过程如下：Step 1: coefficients = [2, 3, 4]Step 2: result = 0Step 3: 遍历coefficients数组-第一次迭代：- result = result * x + coefficients[0] = 0 * 2 + 2 = 2-第二次迭代：- result = result * x + coefficients[1] = 2 * 2 + 3 = 7-第三次迭代：- result = result * x + coefficients[2] = 7 * 2 + 4 = 18Step 4: 返回result = 18，即多项式P(x) = 2 + 3x + 4x^2在x=2时的值为18通过秦九韶算法，我们可以在O(n)的时间复杂度内计算多项式的值，极大地提高计算效率。
多项式计算之秦九韶算法
多项式计算之秦九韶算法多项式求值与秦九韶算法⼀、引⾔ 多项式函数常常⽤于描述现实世界的各种规律，⽽在⽤计算机计算多项式的值的时候，不同算法的计算时空复杂度通常不⼀样。
如⼀个n次多项式 f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0],我们的常规计算办法是，直接计算，这样我们的时间复杂度为:O(n^2)下⾯我们介绍秦九韶算法：其核⼼思想：后⾯每⼀次计算都依赖于前⾯计算的结果，这样以减少重复的计算。
简单引例:计算 x^8 直接算将算8次乘法，⽽这8次都是必要的吗？显然不是，当我们知道x^2的值后，计算x^4只需要⽤x^2*x^2即可。
秦九韶算法正是这样来减少计算量的。
⼀、推导 a0--->an依次是最⾼项，到常数项系数 从⽽bn就是所求的解三、算法描述由以上推导知，bn就是我们所求的值，要求bn就得逆推到b0,由于b0=a0我们就可以求出b1依次下去就可以求出bn。
数据结构:1.数组1.a[]⽤于保存系数ps:⼀般做法还需要保存b[],我们这⾥只是⽤到前⼀项，所以⼀个常数即可c++实现：#include <iostream>using namespace std;inline double calculate(double x, double* a, int n)/*x:f(x)中的x。
a是系数数组*/{double b = a[0];for (int i = 1 ; i <= n; i++){b = b * x + a[i];}return b;}int main(int argc, char const *argv[]){double x = 0;int n = 0;cout << "最⾼项幂:";cin >> n;double* a = new double[n+1];cout << "\n请输⼊个项系数（系数为0输⼊0）："; for (int i = 0; i <= n; i++){cin >> *(a + i);}cout<<"\n要计算的x:";cin>>x;double res = calculate(x, a, n);cout << res << endl;return0;}。
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求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次 多项式的值，即
v1 = anx + an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v2 = v1x + an-2 v3 = v2x + an-3 ∙∙∙ vn = vn-1x + a0
已知n次多项式 Pn ( x) a0 xn a1 xn1 ... an1 x an
如果在一种算法中, 计算x0k (k 2, 3, 4, ..., n) 的值需要k 1次乘法, 计算P3( x0 )的值共需要9次 运算(6次乘法, 3次加法), 那么计算Pn ( x0 )的值共 需要 ______ 次运算.
已知n次多项式 Pn ( x) a0 xn a1 xn1 ... an1 x an
如果在一种算法中, 计算x0k (k 2, 3, 4, ..., n) 的值需要k 1次乘法, 计算P3( x0 )的值共需要9次 运算(6次乘法, 3次加法), 那么计算Pn ( x0 )的值共 需要 ______ 次运算.
开始
输入n, an , x的值
v=an i=n-1
i=i-1 v=vx+ai
输入ai i≥0？
否
输出v
结束
开始
输入n, an , x的值
v=an i=n-1
i=i-1 v=vx+ai
输入ai i≥0？
否
输出v
结束
INPUT “n=”; n INPUT “an=”; a INPUT “x=”; x v=a i=n-1 WHILE i>=0
下面给出一种减少运算次数的算法: P0( x) a0 , Pk1( x) xPk ( x) ak1(k 0, 1, 2, ..., n 1), 利 用该算法, 计算计算P3( x0 )的值共需要6次运算, 计算Pn( x0 )的值共需要______ 次运算.
我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202-1261) 在 他的著作《数书九章》中提出了下面的算法.
把一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+∙∙∙+a1x+a0 改写成如下形式：
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ∙∙∙ + a1x + a0 = ( anxn-1 + an-1xn-2 + ∙∙∙ + a1 ) x + a0 = ( ( anxn-2 + an-1xn-3 + ∙∙∙ + a2 ) x + a1 ) x + a0 = ∙∙∙
这样, 求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.
【例1】 已知一个5次多项式为
f ( x) 4x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7 x 0.8 , 用秦九韶算法求这个多项式当x 5时的值.
用秦九韶算法求n次多项式 f(x) = anxn + an-1xn-1 + ∙∙∙ + a1x + a0 当x = x0(x0是 任意实数)时的值, 需要多少次乘法运算，多少 次加法运算？
PRINT “i=”; i INPUT “ai=”; a v=v*x+a i=i-1
WEND
PRINT v
END
【例2】
阅读下列程序，说明它解决的实际问题 是什么？
INPUT “x=”; x n=0 y=0 WHILE n<5
y=y+(n+1)*x^n n=n+1 WEND PRINT y END