工程数学习题集(含部分湖大版《大学数学5》课后答案)
工程数学练习题及答案
工程数学练习题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 极限的概念中，函数在某点的极限值是该点的（）。
A. 函数值B. 函数值的极限C. 函数值的近似值D. 函数值的导数2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + 1B. f(x) = x^3 - xC. f(x) = x^2 - x + 1D. f(x) = x^3 + x^23. 积分中的基本定理指出，函数的定积分等于（）。
A. 被积函数的原函数在积分区间的差值B. 被积函数的原函数在积分区间的和值C. 被积函数的导数在积分区间的差值D. 被积函数的导数在积分区间的和值4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...D. 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...5. 矩阵A的行列式为0，这意味着矩阵A（）。
A. 可逆B. 不可逆C. 行向量线性相关D. 列向量线性无关二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1的导数为_________。
7. 函数f(x) = e^x的不定积分为_________。
8. 函数f(x) = sin(x)的原函数为_________。
9. 函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分为_________。
10. 矩阵A = [1, 2; 3, 4]的行列式为_________。
三、解答题（每题10分，共20分）11. 计算极限lim(x->0) [sin(x)/x]，并说明其意义。
12. 证明函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是凹函数，并求其最小值。
四、证明题（每题15分，共30分）13. 证明：对于任意实数x和y，有|f(x) - f(y)| ≤ M|x - y|，其中M为常数，f(x)为连续函数。
工程数学(本)形考1-5参考答案
参考答案1（数学里面公式只能以图片形式显示）
参考答案2（数学里面公式只能以图片形式显示）试题
1：
试题
2：
参考答案3（数学里面公式只能以图片形式显示）
参考答案4（数学里面公式只能以图片形式显示）
试题10答案：
证明：（A+A′）′=A′+(A′) ′=A′+A=A+A′
∴A+A′是对称矩阵
试题11答案：
证明：∵A是n阶方阵，且AA′=I
∴|AA′|=|A||A′|=|A|2=|I|=1
∴|A|=1或|A|= -1
试题12答案：
证明：设AX=B为含n个未知量的线性方程组
该方程组有解，即R（?）= R（A）=n
从而AX=B有唯一解当且仅当R（A）=n
而相应齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是R(A)=n
∴AX=B有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX=0只有零解
参考答案5（数学里面公式只能以图片形式显示）。
国开电大 工程数学(本) 形考任务1-5答案 (2)
国开电大工程数学(本) 形考任务1-5答案任务1答案在工程数学中，任务1通常包括对于给定的函数或方程求解、求导或求积分等基本运算。
以下是对任务1的答案：1.1 求解方程对于给定的方程，求解意味着找到使方程成立的变量的值。
解方程的一般步骤如下：1.将方程移项，整理为标准形式；2.根据运算法则，对方程进行简化；3.通过合适的代数运算，解出变量的值。
例如，对于方程2x+5=15，我们可以按照以下步骤求解：1.将方程移项得到2x=15−5；2.简化方程为2x=10；3.通过除法运算解出x的值，得到 $x = \\frac{10}{2}= 5$。
因此，方程2x+5=15的解为x=5。
1.2 求导求导是对给定函数的导数进行计算。
函数的导数反映了函数在每个点上的变化率。
求导的一般步骤如下：1.根据导数的定义，写出函数的导数表达式；2.使用导数的基本运算法则，对函数进行求导。
例如，对于函数x(x)=3x2+2x+1，我们可以按照以下步骤求导：1.写出函数x(x)的导数表达式为x′(x)=6x+2；2.使用导数的基本运算法则得到x′(x)=6x+2。
因此，函数x(x)=3x2+2x+1的导数为x′(x)=6x+2。
1.3 求积分求积分是对给定函数的积分进行计算。
函数的积分表示了函数在指定区间上的面积或曲线长度。
求积分的一般步骤如下：1.根据积分的定义，写出函数的积分表达式；2.使用积分的基本运算法则，对函数进行积分。
例如，对于函数x(x)=3x2+2x+1，我们可以按照以下步骤求积分：1.写出函数x(x)的积分表达式为 $\\int{(3x^2 + 2x +1)dx}$；2.使用积分的基本运算法则得到 $\\int{(3x^2 + 2x +1)dx} = x^3 + x^2 + x + C$，其中x为常数。
因此，函数x(x)=3x2+2x+1的积分为 $\\int{(3x^2 +2x + 1)dx} = x^3 + x^2 + x + C$。
《高等工程数学》科学出版社版习题答案(第五章)
《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第五章）（此习题答案仅供学员作业时参考。
因时间匆忙，有错之处敬请指正，谢谢！） （联系地址：yangwq@ ） P113 1．11100110210010103050010110101010111()()010305010035201011101500152022T TT T T TA A FG F F GG A M P A G GG F F F +--⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)的满秩分解是： 的广义逆是：111210301012121062565105652101()()0161021211432541621438T TT T T TB B FG F F GG B M P B G GG F F F +---⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(2) 的满秩分解是： 的广义逆是：2．11111010,,0100011000101111()000100P A Q PAQ A A Q A P PAQ +-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤==≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦取则有：3． （1）自己验证M-P 广义逆的四个条件即可(2) 因为rank(A)= rank(AA +A)≤rank(AA +)≤rank(A +)= rank(A +A A +)≤rank(A +A) ≤rank(A) 所以命题成立4．（1）因为rank （A|b ）＝rank （A ）所以是相容方程组1111112110111001211033211()3611362121()212622002111()()2226011211()031H H H H H HA A FG GG F F A G GG F F F x A b I A A t ----+--++⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢=+-=⎢⎢⎣⎦的满秩分解为：通解为：124123134134222321226223t t t t t t t t t t t t --⎡⎤⎢⎥-++⎢⎥⎥+⎢⎥⎥+-⎢⎥⎥--+⎣⎦ （2）因为rank （A|b ）＝rank （A ）所以是相容方程组[]111111101201()551()551021()()204255211()102525H H H H H H A A FG GG F F A G GG F F F c x A b I A A t c ----+--++⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦====⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+-=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦的满秩分解为：通解为：（3）因为rank （A|b ）＝rank （A ）所以是相容方程组11123()()10545652101101626102121141432381396311()10642141419321H H H HA G GG F F F t x A b I A A t t t +--++=⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦通解为：5． 自己验证广义逆的四个条件 6．1111111000(1)000000000000000000000000(2)000000000000000HH H HH HH H HG V UAGA U V V U U V U V U V A GAG V U U V V U V -------⎡⎤∑=⎢⎥⎣⎦∑∑⎡⎤∑⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑⎡⎤∑⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑⎡⎤⎡⎤∑∑⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑⎡⎤⎡∑∑⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣记1111110000000(3)000000000()000000(4)000000000()00000H HH H H r H HH H Hr H HU V U G AG U V V U U U I U U AG GA V U U V V V I V V GA A V ------+⎤⎡⎤∑==⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦∑∑⎡⎤⎡⎤∑∑⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑⎡⎤⎡⎤∑∑⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡∑=⎣所以HU⎤⎢⎥⎦。
工程数学练习习题
综合练习一、单项选择题1．设为阶矩阵，则下列等式成立的是（）．A．B．C．D．正确答案：A2．方程组相容的充分必要条件是（），其中，．A．B．C．D．正确答案：B3．下列命题中不正确的是（）．A．A与有相同的特征多项式B．若是A的特征值，则的非零解向量必是A对应于的特征向量C．若=0是A的一个特征值，则必有非零解D．A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量正确答案：D4．若事件与互斥，则下列等式中正确的是(）．A．B．C．D．正确答案：A5．设是来自正态总体的样本，则检验假设采用统计量U =(）．A．B．C．D．正确答案：C6．若是对称矩阵，则等式()成立．A.B。
C.D。
正确答案：B7．( ）．A。
B。
C。
D。
正确答案：D8．若（)成立，则元线性方程组有唯一解．A。
B。
C。
D。
的行向量线性相关正确答案：A9. 若条件(）成立，则随机事件,互为对立事件．A.或B。
或C。
且D。
且正确答案：C10．对来自正态总体（未知）的一个样本，记,则下列各式中（）不是统计量．A。
B。
C.D.正确答案: C二、填空题1．设，则的根是．应该填写：1，—1，2，—22．设4元线性方程组AX=B有解且r（A)=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有个解向量．应该填写:33．设互不相容，且，则．应该填写:04．设随机变量X ~ B(n，p），则E（X)= ．应该填写：np5．若样本来自总体,且，则．应该填写：6．设均为3阶方阵,，则．应该填写：87．设为n阶方阵，若存在数λ和非零n维向量，使得，则称为相应于特征值λ的特征向量．应该填写：8．若，则．应该填写：0.39．如果随机变量的期望，,那么．应该填写：2010．不含未知参数的样本函数称为．应该填写：统计量三、计算题1．设矩阵，求．解：由矩阵乘法和转置运算得利用初等行变换得即2．求下列线性方程组的通解．解利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即→→→方程组的一般解为：，其中,是自由未知量．令，得方程组的一个特解．方程组的导出组的一般解为：，其中，是自由未知量．令,,得导出组的解向量；令，，得导出组的解向量．所以方程组的通解为：，其中，是任意实数．3．设随机变量X ~ N（3，4）．求：（1）P（1< X〈7);（2）使P(X〈a）=0。
《大学数学》习题及答案最新最全面(完整版)
《大学数学》习题及答案最新最全面(完整版)大学数学习题及答案最新最全面(完整版)一、应用问题1. 问题描述：某米粮库储存了200吨小麦，每小时消耗2吨，每小时补充5吨。
问：经过多少小时，库存的小麦数量将为0？解答：设时间t（小时），库存小麦数量为N（吨）。
根据问题描述，可列出方程：200 - 2t + 5t = 0简化方程：3t = 200解得：t = 200/3 ≈ 66.67 （小时）答案：经过约66.67小时，库存的小麦数量将为0。
2. 问题描述：一块冰在温度为-30°C的环境中，开始以每秒2°C的速度升温。
问：经过多少时间，冰的温度将达到0°C？解答：设时间t（秒），冰的温度为T（°C）。
根据问题描述，可列出方程：-30 + 2t = 0简化方程：2t = 30解得：t = 30/2 = 15（秒）答案：经过15秒，冰的温度将达到0°C。
二、代数问题1. 问题描述：已知a = 3，b = 5，求a² - 2ab + b²的值。
解答：代入已知的a和b值，得到：a² - 2ab + b² = 3² - 2(3)(5) + 5²= 9 - 30 + 25= 4答案：a² - 2ab + b²的值为4。
2. 问题描述：已知方程x² + px + q = 0有两个实数根，且其中一个根为-3，求p和q的值。
解答：根据已知条件，可列出方程：x² + px + q = 0由于-3为其中一个实数根，带入方程：(-3)² + p(-3) + q = 0简化方程：9 - 3p + q = 0又因为方程有两个实数根，意味着判别式D大于等于0：p² - 4q ≥ 0由此得到方程组：9 - 3p + q = 0p² - 4q ≥ 0解方程组得到：p = 3，q = 0答案：p的值为3，q的值为0。
工程制图习题集第五版答案
工程制图习题集第五版答案工程制图是工程技术领域中的一项基本技能，它要求学生不仅要掌握绘图的基本原理和方法，还要能够熟练运用各种绘图工具进行实际操作。
《工程制图习题集》第五版是一本广泛使用的教材，它包含了大量的练习题和实例，帮助学生加深对工程制图知识的理解和应用能力。
以下是该习题集的部分答案解析，供参考：工程制图习题集第五版答案解析一、基础绘图技能1. 直线和曲线的绘制：- 直线：使用直尺和绘图笔，确保线条笔直且粗细一致。
- 曲线：使用曲线板或徒手绘制，注意曲线的平滑和自然。
2. 圆和圆弧的绘制：- 圆：使用圆规，确保半径一致，圆周平滑。
- 圆弧：确定圆心和半径后，绘制圆弧，注意圆弧的起始点和终止点。
二、视图和剖视图1. 三视图的绘制：- 正视图：展示物体的正面视图。
- 侧视图：展示物体的侧面视图。
- 俯视图：展示物体的顶面视图。
2. 剖视图的绘制：- 选择适当的剖面线，展示物体内部结构。
三、尺寸标注1. 线性尺寸：- 确保尺寸线与被标注的线平行，尺寸数字清晰可读。
2. 角度尺寸：- 使用角度尺或量角器，确保角度准确。
3. 半径和直径尺寸：- 使用圆规或直径尺，确保尺寸准确无误。
四、复杂图形的绘制1. 对称图形：- 利用对称性，先绘制一半，然后镜像复制另一半。
2. 组合图形：- 将图形分解为基本图形，逐一绘制，最后组合。
五、工程图的应用1. 零件图：- 展示零件的详细尺寸和公差。
2. 装配图：- 展示多个零件如何组合在一起。
3. 焊接图：- 展示焊接点的位置和类型。
六、习题解答技巧1. 审题：- 仔细阅读题目要求，明确绘图目的和要求。
2. 绘图步骤：- 按照先整体后局部的原则，逐步完成绘图。
3. 检查与修正：- 完成绘图后，仔细检查尺寸和图形是否符合要求，及时修正错误。
请注意，以上内容仅为示例性答案解析，实际习题集的答案可能包含更多的细节和具体题目的解答。
建议学生在练习时，结合具体题目和教材内容，进行深入学习和实践。
国开电大 工程数学(本) 形考作业五答案
工程数学作业答案（第五次）(满分100分)第6章 统计推断（一）单项选择题(每小题2分，共6分)⒈ A ⒉ D 3. C（二）填空题(每小题2分，共14分)1．不含未知参数的样本的函数 2．点估计和区间估计, 矩估计法和最大似然估计法3．无偏性，有效性 4．/X U nσ=5．弃真错误, 即事件{当0H 为真时拒绝0H } 6．U 检验量 7．12[(,,,)]n E x x x ϕθ=（三）解答题(每小题10分，共80分)1． 3.6x =, 102211( 3.6) 2.8329k k s x ==-=∑ ． 2． 222221ˆˆ3,(0.150.15)0.152x s μσ====+= ． 3．101()(1)2E X x x dx θθθθ+=+=+⎰, 令ˆ1ˆ2X θθ+=+, 得的矩估计量为12ˆ1X X θ-=- ; 似然函数121()(1)(1)()n n i n i L xx x x θθθθθ==+=+∏, 1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++∑, 令 1ln ()ln 01n i i d L n x d θθθ==+=+∑, 得最大似然估计量为1ˆ1ln n ii n xθ==--∑． 4．ˆ110x μ==, 522211ˆ(110) 1.8754k k s x σ===-=∑ ． ⑴ 当时, 的置信度为0.95的置信区间为:0.975110 1.96110 1.386x z ±=±=±；⑵当未知的情况下，的置信度为0.95的置信区间为:0.025(4)110 2.7764110 1.7x =±=±． 5．所求置信区间为0.025(9)20 2.262220 1.1311x =±=± ． 6．取检验统计量~(0,1)X U N =，0.975||3 1.96U z ==>=, 故拒绝0H ．7．设20:20,20.05,0.67H x s μ=== ,取检验统计量~(7)X t t =, 则0.025||0.173 2.3646(7)t t =<=, 故接受0H , 认为用新材料做的零件平均长度没有起变化．8．设20:100,999.88,10.038H x s μ=== ,取检验统计量~(4)t t =, 则0.0250.12||0.083 2.7764(4)1.44t t ===<=, 故接受0H , 认为这批食盐重量的平均值为1000g ．。
工程数学习题加答案
一、 论述用单纯形方法解LP 问题的基本思想、步骤，并证明主要结论。
考虑标准形式的LP 问题min ..0T z c x s t Ax b x ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩设r (A )=m ，A 的前m 列为线性无关。
(注意各向量、矩阵的维数)将A 分为左右两块，左边m 列为可逆方阵B ，右边记为N 。
(左面m 列是不是一定可逆？)对应将价值向量c 和决策向量x 的前m 行与后n -m 行分开，[,]A B N =，,[,]B T T T B N N c c c c c c ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，,[,]B T TT B N N x x x x x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦[,]B B N N x Ax b B N b Bx Nx b x ⎡⎤=⇒=⇒+=⎢⎥⎣⎦11B N x B b B Nx --=-111111[,]()()[0,0,,0,]B T T T T TB N B B N N N T T B N N NT T T B B N NB T T T BBNN x z c x c c c x c x x c B b B Nx c x c B b c B N c x x c B b c B N c x ------⎡⎤===+⎢⎥⎣⎦=-+=--⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，令1[0,0,,0,]TT T B N c B N c ζ-=- ，则1T T B z c B b x ζ-=-，且111111[,][,][,][,]T T T T T B B B N T T T T B B B N T T B T TB c B B c c B N c c B B c B N c c c B B N c c B A c ζ------=--=-=-=-。
原LP 问题变形为111min ..0T T B B N z c B b xs t x B b B Nx x ζ---⎧=-⎪=-⎨⎪≥⎩若取0N x =，则1,B x B b -=得一个满足等式约束的解10B b x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其对应的指标值为 1T T B z c x c B b -==。
工程数学--线性代数课后题答案_第五版2
必要性: 因为 AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以
AB=(AB)T=BTAT=BA. 10. 求下列矩阵的逆矩阵:
(1) ⎜⎝⎛12 52⎟⎠⎞ ;
解 A=⎜⎝⎛12 52⎟⎠⎞ . |A|=1, 故 A−1 存在. 因为
A*
=⎜⎝⎛
A11 A12
A21 A22
⎟⎠⎞
=
⎜⎛ ⎝
5 −2
2 1
−14⎟⎠⎞⎜⎝⎛03
−11⎟⎠⎞⎜⎝⎛11
02⎟⎠⎞
=1 12
⎜⎛ ⎝
6 3
06⎟⎠⎞⎜⎝⎛11
02⎟⎠⎞
=
⎛ ⎜⎜ ⎝
1 1 4
1⎞
0⎟⎟ ⎠
.
(4) ⎜⎜⎝⎛ 010
1 0 0
100⎟⎟⎠⎞X ⎜⎜⎝⎛001
0 0 1
100⎟⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛ 112
−4 0 −2
−031⎟⎟⎠⎞ .
⎛ 35 ⎞ =⎜⎜⎝469⎟⎟⎠ .
(2) (1 2 3)⎜⎜⎝⎛123⎟⎟⎠⎞ ;
解 (1 2 3)⎜⎜⎝⎛123⎟⎟⎠⎞ =(1×3+2×2+3×1)=(10).
⎛2⎞ (3)⎜⎜⎝13⎟⎟⎠(−1 2) ;
解
⎜⎜⎝⎛132⎟⎟⎠⎞(−1
2)
= ⎜⎛ 12××((−−11))
⎜ ⎝
3×(−1)
⎜⎝1 −1 1 ⎟⎠⎜⎝ 0 5 1⎟⎠ ⎜⎝2 9 0⎟⎠ 1. 计算下列乘积:
(1) ⎜⎜⎝⎛ 154
3 −2 7
013⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛172⎟⎟⎠⎞ ;
解
⎛4 ⎜⎜⎝15
3 −2 7
1⎞⎛7⎞ 03⎟⎟⎠⎜⎜⎝12⎟⎟⎠
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习题一1.用复数的代数形式a+ib表示下列复数.①解②解：③解：④解：2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy )R);①：∵设z=x+iy则∴,．②解：设z=x+iy∵∴,．③解：∵∴,．④解：∵∴,．⑤解：∵．∴当时，，；当时，，．3.求下列复数的模和共轭复数①解：．②解：③解：．④解：4、证明：当且仅当时，z才是实数．证明：若，设，则有，从而有，即y=0∴z=x为实数．若z=x，x∈ ，则．∴．命题成立．5、设z,w∈ ，证明：证明∵∴．6、设z,w∈ ，证明下列不等式．并给出最后一个等式的几何解释．证明：在上面第五题的证明已经证明了．下面证．∵．从而得证．∴几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式①解：其中．②解：其中．③解：④解：.∴⑤解：解：∵．∴8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i的三次根．解：∴．⑵-1的三次根解：∴⑶的平方根．解：∴∴．9.设. 证明：证明：∵∴，即．∴又∵n≥2．∴z≠1从而11.设是圆周令,其中.求出在a 切于圆周的关于的充分必要条件.解：如图所示．因为={z : =0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA ⊥．过C作直线平行，则有∠BCD=β，∠ACB=90°故α-β=90°所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.解：(1)、argz=π．表示负实轴．(2)、|z-1|=|z|．表示直线z =．(3)、1<|z+i|<2解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
（4）、Re(z)>Im z．解：表示直线y=x的右下半平面5、Im z>1，且|z|<2．解：表示圆盘内的一弓形域。
习题二1. 求映射下圆周的像.解：设则因为,所以所以,所以即，表示椭圆.2. 在映射下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设或.（1）；（2）;(3) x=a, y=b.(a, b为实数)解：设所以(1) 记，则映射成w 平面内虚轴上从O到4i的一段，即(2) 记，则映成了w 平面上扇形域，即(3) 记，则将直线x=a 映成了即是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了即是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.3. 求下列极限.(1) ;解：令,则.于是.(2) ;解：设z=x+yi ，则有显然当取不同的值时f(z)的极限不同所以极限不存在.（3）；解：=.（4）.解：因为所以.4. 讨论下列函数的连续性：(1) 解：因为,若令y=kx,则,因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.(2)解：因为,所以所以f(z)在整个z平面连续.5. 下列函数在何处求导？并求其导数.(1) (n为正整数)；解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导..(2) .解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在处不可导.从而f(z)除外可导.(3) .解：f(z)除外处处可导，且.(4) .解：因为.所以f(z)除z=0外处处可导，且.6. 试判断下列函数的可导性与解析性. (1) ;解：在全平面上可微.所以要使得，,只有当z=0时,从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(2) .解：在全平面上可微. 只有当z=0时,即(0,0)处有,.所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.(3) ;解：在全平面上可微.所以只有当时，才满足C-R方程.从而f(z)在处可导，在全平面不解析.(4) .解：设，则所以只有当z=0时才满足C-R方程.从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数.(1) ;证明：因为，所以,.所以u,v为常数，于是f(z)为常数.(2) 解析.证明：设在D内解析,则而f(z)为解析函数，所以所以即从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数. (3) Ref(z)=常数.证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1,因为f(z)解析，C-R条件成立。
故即u=C2从而f(z)为常数.(4) Imf(z)=常数.证明：与（3）类似，由v=C1得因为f(z)解析，由C-R 方程得,即u=C2所以f(z)为常数.5. |f(z)|=常数.证明：因为|f(z)|=C，对C进行讨论.若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.若C0，则f(z) 0,但，即u2+v2=C2则两边对x,y分别求偏导数，有利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有所以所以即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.(6) argf(z)=常数.证明：argf(z)=常数，即,于是得C-R条件→解得，即u,v为常数，于是f(z)为常数.8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因为f(z)解析，从而满足C-R条件.所以.9. 试证下列函数在z平面上解析，并求其导数.(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上满足C-R方程，处处可导，处处解析..(2).证明：处处可微，且所以,所以f(z)处处可导，处处解析.10. 设求证：(1) f(z)在z=0处连续．(2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方程．(3)f′(0)不存在．证明.(1)∵而∵∴∴同理∴∴f(z)在z=0处连续．(2)考察极限当z沿虚轴趋向于零时，z=iy，有．当z沿实轴趋向于零时，z=x，有它们分别为∴∴满足C-R条件．(3)当z沿y=x趋向于零时，有∴不存在．即f(z)在z=0处不可导．11. 设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f(z)在区域D内解析，求证在区域D1内解析．证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D内解析．所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程，即．，得故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R 条件从而在D1内解析13. 计算下列各值(1) e2+i=e2∙ei=e2∙(cos1+isin1)(2)(3)(4)14. 设z沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f(z)=z+ez的极限．解：令z=reiθ，对于θ，z→∞时，r→∞．故．所以．15. 计算下列各值．(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16. 试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性．解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续．设z=x+iy ，在复平面内可微．故g(z)=|z|在复平面上处处不可导．从而f(x)=|z|+lnz在复平面上处处不可导．f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续．17. 计算下列各值．(1)(2)(3)18. 计算下列各值(1)(2)(3)(4)(5)(6)19. 求解下列方程(1) sinz=2．解：(2)解：即(3)解：即(4)解：．20. 若z=x+iy，求证(1) sinz=sinxchy+icosx∙shy证明：(2)cosz=cosx∙chy-isinx∙shy证明：(3)|sinz|2=sin2x+sh2y证明：(4)|cosz|2=cos2x+sh2y证明：21. 证明当y→∞时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大．证明：∴而当y→+∞时，e-y→0，ey→+∞有|sinz|→∞．当y→-∞时，e-y→+∞，ey→0有|sinz|→∞．同理得所以当y→∞时有|cosz|→∞．习题三1. 计算积分,其中C为从原点到点1+i的直线段.解设直线段的方程为,则. 故2. 计算积分，其中积分路径C为(1) 从点0到点1+i的直线段;(2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i的弧段. 解(1)设.(2)设.3. 计算积分，其中积分路径C为(1) 从点-i到点i的直线段;(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i;(3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i到点i.解(1)设.(2)设. 从到(3) 设. 从到6. 计算积分,其中为.解∵在所围的区域内解析∴从而故7. 计算积分,其中积分路径为（1）（2）（3）（4）解：（1）在所围的区域内，只有一个奇点.（2）在所围的区域内包含三个奇点.故（3）在所围的区域内包含一个奇点,故（4）在所围的区域内包含两个奇点,故10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分.(1)(2)(3)(4)(5)(6)解(1)(2)(3)(4)(5)(6)11. 计算积分,其中为(1)(2)(3)解(1)(2)(3)16. 求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1.(1) (2) (3)解(1)(2)(3)17. 计算积分,其中积分路径为(1)中心位于点,半径为的正向圆周(2) 中心位于点,半径为的正向圆周解：(1) 内包含了奇点∴(2)内包含了奇点,∴19. 验证下列函数为调和函数.解(1) 设,∴从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.(2) 设,∴从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数,都是调和函数,但不是解析函数证明:∴,从而是调和函数.∴,从而是调和函数.但∵∴不满足C-R方程,从而不是解析函数.22.由下列各已知调和函数,求解析函数(1)(2)解(1)因为所以令y=0,上式变为从而(2)用线积分法，取（x0,y0）为(1,0)，有由，得C=0 23.设,其中各不相同，闭路C不通过,证明积分等于位于C内的p(z)的零点的个数.证明: 不妨设闭路C 内的零点的个数为k, 其零点分别为24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式):设f(z)在闭路C及其外部区域D内解析，且，则其中G为C所围内部区域.证明：在D内任取一点Z，并取充分大的R，作圆CR: ，将C与Z包含在内则f(z)在以C 及为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有因为在上解析，且所以，当Z在C外部时，有即设Z在C内，则f(z)=0，即故有：习题四1. 复级数与都发散,则级数和发散.这个命题是否成立?为什么?答.不一定．反例:发散但收敛发散收敛.2.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1)(2)(3)(4) (5)解(1)因为发散,所以发散(2)发散又因为所以发散(3)发散,又因为收敛,所以不绝对收敛.(4)因为所以级数不绝对收敛.又因为当n=2k时, 级数化为收敛当n=2k+1时, 级数化为也收敛所以原级数条件收敛(5)其中发散,收敛所以原级数发散.3.证明:若,且和收敛,则级数绝对收敛.证明:设因为和收敛所以收敛又因为,所以且当n充分大时,所以收敛而收敛，收敛所以收敛，从而级数绝对收敛.4.讨论级数的敛散性解因为部分和，所以，，不存在.当而时（即），cosnθ和sinnθ都没有极限,所以也不收敛．.故当和时, 收敛.5.幂级数能否在z=0处收敛而在z=3处发散.解：设，则当时，级数收敛，时发散.若在z=0处收敛,则若在z=3处发散, 则显然矛盾,所以幂级数不能在z=0处收敛而在z=3处发散6.下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.7.若的收敛半径为R,求的收敛半径。