第二版 工程数学-概率统计简明教程-第二章-事件的概率
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。
–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。
–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。
–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。
2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。
–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。
–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
《概率论与数理统计(第二版)》第二章随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
解 当x<-1时,因为事件{X≤x}=⌀,所以 F(x)=0 当-1≤x<0时,有 F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)=0.3 当0≤x<1时,有 F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0) =0.3+0.6=0.9
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
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随机变量与数字特征
第二章 随机变量与数字特征 2.1两类随机变量 例1 在10件同类型产品中,有3件次品,现任取2件,用一个变量X表示“2件中的次品数”,X的取值是随机的,可能的取值有0,1,2.显然“X=0”表示次品数为0,它与事件“取出的2件中没有次品”是等价的.可以看出,“X=1”等价于“恰好有1件次品”,“X=2”等价于“恰好有2件次品”.于是由古典概率可以求出:
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
2.3分布函数与函数的分布 2.3.1 随机变量的分布函数 定义2.3 设X是一个随机变量,称函数 F(x)=P(X≤x) 为随机变量X的分布函数.分布函数也记作FX(x).
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
随机变量与数字特征
例3 在“测试电子管寿命”这一试验中,用Z表示它的寿命(单位为小时),则Z的取值随着试验结果的不同而在连续区间(0,+∞)上取不同的值,当试验结果确定后,Z的取值也就确定了. 上面三个例子中的变量X,Y,Z具有下列特征: (1)取值是随机的,事前并不知道取到哪一个值; (2) 所取的每一个值,都相应于某一随机现象; (3) 所取的每个值的概率大小是确定的.
(完整版)工程数学概率统计简明教程第二版同济大学数学系编课后习题答案(全)
习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}4. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
工程数学-概率统计简明教程答案
习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件� A (1) 抛一枚硬币两次�观察出现的面�事件}{两次出现的面相同�A � (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数�事件{�A 一分钟内呼叫次数不超过次}� 3(3) 从一批灯泡中随机抽取一只�测试其寿命�事件{�A 寿命在到小时之间}。
20002500解(1) )},(),,(),,(),,{(����������� )},(),,{(�����A .(2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数�则 },2,1,0|{������k k X � }3,2,1,0|{���k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命�单位�小时��则 )},0({�����X � )}2500,2000({��X A . 2. 袋中有10个球�分别编有号码1至10�从中任取1球�设�A {取得球的号码是偶数}��B {取得球的号码是奇数}�{取得球的号码小于5}�问下列运算表示什么事件� �C (1)�(2)B A �A B �(3)�(4)A C A C �(5)C A �(6)C B ��(7)C A �. 解(1) 是必然事件� ��B A � (2) ��A B 是不可能事件� (3) {取得球的号码是2�4}� �A C (4) �A C {取得球的号码是1�3�5�6�7�8�9�10}� (5) �C A {取得球的号码为奇数�且不小于5}�{取得球的号码为5�7�9}� (6) ��C B C B ��{取得球的号码是不小于5的偶数}�{取得球的号码为6�8�10}�(7) ���C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6�8�10} 3. 在区间上任取一数�记]2,0[���������121x x A ����������2341x x B �求下列事件的表达式�(1)�(2)B A �B A �(3)B A �(4)B A �. 解(1) ���������2341x x B A �;(2) ������������B x x x B A �21210或����������������2312141x x x x �;(3) 因为B A ��所以��B A � (4)������������223410x x x A B A 或��������������223121410x x x x 或或 4. 用事件的运算关系式表示下列事件� C B A ,,(1) 出现�都不出现�记为�� A C B ,1E (2) 都出现�不出现�记为�� B A ,C 2E (3) 所有三个事件都出现�记为�� 3E(4) 三个事件中至少有一个出现�记为�� 4E(5) 三个事件都不出现�记为�� 5E (6) 不多于一个事件出现�记为�� 6E (7) 不多于两个事件出现�记为�� 7E (8) 三个事件中至少有两个出现�记为�。
(完整版)工程数学概率统计简明教程第二版同济大学数学系编课后习题答案(全)
习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}4. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案本文为《概率论与数理统计第二版》课后答案的整理。
课后答案旨在帮助读者加深对概率论与数理统计的理解，并通过解答问题来巩固所学知识。
以下是第二版课后答案的部分内容。
第一章概率论导引1.1 随机现象与概率习题1.11.在一个班级中，男生和女生比例大致相等，如何用随机试验来模拟随机选择一个学生？解：将每个学生用同样大小的纸片标记，然后将这些纸片放入一个个相同的盒子中，对这些纸片进行充分搅拌，最后随机选择一个盒子并从中抽取一个纸片，即可模拟随机选择一个学生。
2.如果一个正六面体骰子抛掷一次，出现偶数的概率是多少？解：正六面体骰子一共有6个可能的结果，其中有3个是偶数（2、4、6）。
所以出现偶数的概率为3/6，即1/2。
习题1.21.在计算机制造厂中，产生的某种计算机上装有一个铁丝网，现检查x台计算机，如果有1台计算机中的铁丝网损坏则停工维修。
如随机抽查检查到有1台计算机中的铁丝网损坏，求实际损坏率是多少？解：设实际损坏率为p，由于是随机抽查检查，所以随机抽查检查到有1台计算机中的铁丝网损坏的概率为${x \\choose 1} \\cdot p \\cdot (1-p)^{x-1}$。
根据题意可知该概率等于1，即${x \\choose 1} \\cdot p \\cdot (1-p)^{x-1} = 1$。
解得p=1−(1−p)x−1，实际损坏率等于1−(1−p)x−1。
2.一枚硬币连续抛掷三次，记事件A为第一次出现正面朝上，事件B为第二次出现正面朝上，事件C为至少有一次出现正面朝上。
求事件A、B、C的概率。
解：根据硬币抛掷的性质可知，每个事件的概率都是1/2。
所以P(A)=P(B)=P(C)=1/2。
第二章随机变量及其分布2.1 一维随机变量与分布函数习题2.11.一枚骰子抛掷一次，将点数相乘，求该随机变量的分布函数。
解：一枚骰子共有6个可能的点数，将点数相乘的结果为1、2、3、4、5、6。
工程数学概率 第二章(二)-精品PPT
0
1
x
例4 设二维随机变量(X ,Y) 的概率密度为
f(x,y) x21 3xy,
0x1， 0y2, y
2
0,
others.
试求概率 PXY1．
1
解 积分区域如右图所示
PXY1 f(x,y)dxdy 0 xy1
1
x
x y 1
(x2
1xy)dxdy
1
dx
2
(x2xy)dy
65
G1
3
0 1x
Y的边缘分布函数。 { X x } { X x } { Y } { X x , Y }
则 FX(x) P{Xx} P {Xx,Y }F(x,) 同理可得 FY(y)F(,y)
研究问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。
例1: 已知 (X ,Y)的分布函数为
F(x,y) (1e2x)(1e3y),
第一讲 二维随机变量
定义1 设随机试验 E 的样本空间是{e},设XX(e) 和Y Y(e)是定义在上的随机变量，则由它们构成的一
个向量( X ,Y ) 称为二维随机变量或二维随机向量。 定义2 设 ( X ,Y )是二维随机变量，对于任意实数 x , y ,
二元函数 F ( x ,y ) P { X ( x ) ( Y y )} P { X x ,Yy }
F ( x 2 , y 2 ) F ( x 1 , y 2 ) F ( x 2 , y 1 ) F ( x 1 , y 1 )
y
y 2 ( x1, y2 )
(x2, y2)
y 1 ( x1, y1 ) 0 x1
( x2 , y1) x
x2
联合分布函数的性质： ① F (x, y)是变量 x 和 y 的不减函数，即
工程数学教学大纲总纲工程数学包括两部分内容
工程数学教学大纲一、总纲《工程数学》包括两部分内容：第一部分“积分变换”，提供一点复变函数的基本知识，并为信号的处理和分析提供必备的数学工具，第二部分“概率统计”，提供概率论的一些基本知识，并为数据的处理和分析提供必备的数学工具。
本课程是广播电视大学工科各专业的必修基础课之一（机械、土建只修概率统计）。
二、内容第一部分复变函数与积分变换第一章复变函数1、复数与复变函数2、可导与解析3、积分概念与积分公式4、极点和留数第二章积分变换1、付氏级数的复数形式2、付氏积分与付氏变换3、付氏变换的性质4、拉氏变换及其性质5、常用拉氏变换公式6、拉氏反变换的求法第二部分概率与数理统计第三章概率基础1、事件与概率随机现象，随机事件，事件的概率，加法公式。
2、条件概率与独立性条件概率，乘法公式，独立性。
3、随机变量概念，概率分布与分布密度。
4、几种常见的分布二项分布与泊松分布，均匀分布与指数分布，正态分布（正态分布密度，正态分布函数，查表方法）。
5、联合分布与独立性联合分布，边缘分布，随机变量的独立性。
6、期望与方差期望值，方差，期望、方差的性质。
7、大数定律与中心极限定理切比雪夫不等式，大数定律，中心极限定理。
第四章统计推断1、基本概念总体、样本，直方图，统计量。
2、参数估计最大似然估计，无偏估计，区间估计（正态总体已知方差的均值估计）。
3、假设检验（正态总体）已知方差的均值检验，未知方差的均值检验（t检验），方差的检验（x2检验），两个下态总体的比较。
4、1→1回归概念，最小二乘估计。
5、检验与预测平方和分解，F检验，预测。
大纲说明一、课程的目的和任务《工程数学》是电大工科各专业（机械和土建只修概率统计）的必修基础课，是为培养适应四个现代化需要的大专层次的应用型工程技术和工程管理人才而设置的目的定为学习电工原理、电路分析、自动控制原理、系统管理工程、工程规划与设计等专业基础课提供必备的基础数学知识和分析方法。
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加法定理的推广
P(AU BU C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
A
B
C
加法定理的推广
对任意 n 个事件 A1, A2 ,L , An ，有
n
n
U P( Ak ) P(Ak )
P( Ai Aj ) L
盒子中，其球在盒子的分布总数为 (r 1)n j ，因而有利于 B 的样
本点数为
n j
(r
1)n
j
.最后得到
PB
n j
(r
1)n
j
rn
.
古典概率的计算：生日问题
某班有30 个同学，求他们生日“无重复”的概率。 （一年按365天计算，并设人在一年内任一天出生是等可能的）
例3 女士品茶问题. 一味常饮牛奶加茶的女士称：她能从一 杯冲好的饮料中分辨出先放茶还是先放牛奶。并且她在10次 实验中都能正确的辨别出来，问该女士的说法是否可信？ 解 假定该女士的说法不可信，她是蒙对的，
则每次蒙对的概率是0.5，于是10次都能蒙对的概率
这是小概率事件,一般在一次试验中不会发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立, 从而推断接待时间是有规定的.
第二步 计算事件包含的样本数
第一次取次品有30种可能，第二次次品29种，A有m＝30 ×29
第一次取次品有30种可能，第二次正品70种，B有m＝30 ×70
P( A)
m n
30 29 100 100
0.088.
P(B) 1300017000＝0.21.
小概率事件 ——
若P(A) ≤ 0.01 , 则称A为小概率事件.
古典概率的计算：抽签
10个学生抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取10张外观 相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A={第五个学生抽到入场 券}的概率。
基本事件总数 n 10!
第五个学生抽 到入场券
有利于A的基本事件数 mA C31 9!
另外9个学生抽 取剩下9张
P( A) mA C31 9! 3 n 10! 10
例4 某班有20 个同学，采取抽签的方式分配三张音乐会门票, 求同学甲抽到门票的概率.
解：制作 20 张外观无差异的纸签， 其中三张代表门票。 20 个同学抽签共有 20！种方式，
同学甲抽到门票有 C31 种抽法，
其它同学抽取余下的签有 19！种方式。
原来不必 争先恐后！
故所求的概率是：PA
319! 20!
当人数为 50 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.03
第三节 几何概型
第三节 几何概型
几何概型 保留等可能性，允许试验的结果有无限多个
设样本空间为有限区域 , 若样本点落入 内任何区
域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内
的概率为
P(
A)
G的测度 的测度
如样本空间为数轴上的区间，则 表示区间长度； 如样本空间为平面上的区域，则 表示区域面积；
10分钟
7:25 7:30 10分钟
7:00
7:15
7:30
P(等待超10分) 10 1 30 3
第四节 概率的公理化定义
第四节 概率的公理化定义
.
给定一个随机试验，Ω是它的样本空间，对于 任意一个 事件Ａ，赋予一个实数 P( A) ，如果 P() 满足下列三条公理， 那么，称 P( A) 为事件Ａ的概率．
k 1
k 1
1i jn
(1)k1
P( Ai1 L Aik ) L (1)n1 P( A1...An )
1i1 i2 ...ik n
例8 已知P(A)＝0.9，P(B)=0.8，试证：P(AB) 0.7
解：由性质5得： P(AU B) P(A) P(B) P(AB) 且 P(AU B) 1 即 0.7 0.8 P(AB) 1
m n
古典概型的计算步骤
1、确定试验的基本事件总数
2、确定事件A包含的基本事件数
3、代入公式求概率
P(
A)
有利于A的样本点数 样本点总数
m n
难点：确定事件的个数需要理顺事件，还需要排列组合的知识。 不是重点，只要求会常见的几类问题
排列组合有关知识复习
可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地(有放回地） 取
i 1
i 1
i 1
i n 1
n
P( Ai ) i 1
性质3 逆事件的概率
P( A) 1 P( A)
A
A
性质4 差事件的概率
若 A B，则 P (B － A) = P(B) － P(A)且P(A) ≤P(B)
BA
B AU (B A)
AI (B A)
P(B A) P(B) 0.6
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有A B P(A B) P() 0
P(B A) P(B) P(A) 0.3
例 10 据资料获悉某市居民私房拥有率为 63% ，私车拥有率为 27%，而既无房也
无车的占 30%，求任意抽查一户，恰为既有房又有车的概率. 解 分别记事件
fn
(
A)
事件A出现次数m 试验总次数n
频率=概率 吗？频率有什么规律？
抛掷硬币的试验
历史纪录
抛 掷 次 数 出现正面的次数 试验者
n
m
德.摩 根
2048
1061
蒲丰
4040
2048
皮尔逊
12000
6019
皮尔逊
24000
12012
维 尼 30000
14994
出现正面的频率 m/n 0.518
(B) P(AU (B A)) P(A) P(B A)
P (B － A) = P(B) － P(A)
推广 对任意两个事件A, B, 有
P(B A) P(B) P( AB)
A
AB
B=AB+(B – A)
B – AB=B-A B
P(B)=P(AB)+ P(B – AB)
P An P( An ) n1 n1
第二节 古典概型
第二节 古典概型
定义 如果试验具有下面两个特征： 有限性 试验的所有可能发生的结果只有有限个 等可能性 每一种可能结果发生的可能性相同
则称次试验为古典概型
P(
A)
有利于A的样本点数 样本点总数
所以，由以上可证命题成立。
例9 已知P(A)=0.3， P(B)=0.6,试在下列两
种情形下分别求出P(A-B)与P(B-A) (1) 事件A,B互不相容
(2) 事件A,B有包含关系
解 (1) 由于AB ,因此 A B A, B A B
P(A B) P(A) 0.3
例 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是 整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率
分析 打开收音机时，位于一天中任意两个整点之间的概率 是相等的，不妨设打开时位于9点到10点之间。
在9点到10点之间任意时刻都是等可能的，所以样本空 间是60分钟。而只有在9:50-10:00之间，他等待报时的时间 短于十分钟，即时间对应的区间长度是10分钟。
3 20
例5 (占位问题) n个球随机落入r 个不同的盒子中(n≤r)，
假设每个盒子足够大，容纳的球数是不限的，于是n个球
在r 个盒子中的分布(一共有rn种)是等可能的，求：
(1) 没有一盒有超过1个球的概率；
.
(2) 每一盒恰好有j个球的概率(1≤j≤n) ；
解 记问题（1）、（2）涉及的随机事件分别为 A , B .
第二章 事件的概率
第一节、 概率的概念 第二节、古典概率 第三节、几何概型 第四节、概率的公理化定义结
第一节 概率的概念
随机试验的结果虽然不确定，但其某一种结果的可 能性是有规律的，可研究。称事件A发生的可能性的大小 为事件A的概率
做一个随机试验：抛掷一枚均匀的硬币 设将硬币抛掷n次，出现正面m次。
性质5 加法定理
对任意两个随机事件Ａ、Ｂ ，有 P(AU B) P(A) P(B) P(AB)
A
B
AU B AU (B A)
B ABU (B A) AI (B A) ABI (B A)
P(AU B) P(A) P(B A)
P(B) P(AB) P(B A)
解: 容易验证满足古典概型的要求 记A={两件都是次品}， B ={第1件次品，第2件正品}.
有放回情况：
第一步 计算样本点总数
每次抽取均有100种可能结果， 依原理，一共有n＝100 × 100＝10,000种可能结果 第二步 计算事件包含的样本数
因为有30件次品，每次抽取到次品均有30种可能结果， 依原理，A一共有m＝30 × 30＝900种可能结果
1 A 发生当且仅当不同的球落入不同的盒子，因此有利于 A 的样
本点数为不可重复排列数 r r 1 r n 1。所以
P A
r r 1
r n 1 ；
rn
2
第一盒的
j
个球来自
n
个球的总体，一共有
n j
种不同选择；
当第一盒的 j 个球选定后，剩下的 n j 个球落入剩下的 r 1个
P(
A)