高次方程韦达定理_学案
教案韦达定理
教案韦达定理TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】教案：韦达定理（一）王伟光一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．x2+2x﹣4=0 3x2+2x﹣6=0 2x2﹣5x﹣3=0x 1+x2=? x1+x2=? x1+x2=?x 1x2=? x1x2=? x1x2=?问题1：对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？x1+x2=-，x1·x2=，如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．∴aacbbx2421-+-=，aacbbx2422---=.()042≥-acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理三：韦达定理内容：韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b cx +x =x x =a a-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212bc x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
四：韦达定理应用：韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
金鼎培训将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用等。
高次方程的韦达定理
高次方程的韦达定理1. 引言在数学中，高次方程是指其中最高次项的次数大于1的代数方程。
解决高次方程一直是数学研究的重要课题之一，而韦达定理则是解决高次方程的重要工具之一。
韦达定理，也称为韦达方程，是由法国数学家韦达（François Viète）于16世纪提出的。
本文将详细介绍高次方程的韦达定理，包括其定义、推导过程、应用以及相关例题分析等内容。
通过阅读本文，读者将能够全面了解和掌握韦达定理在解决高次方程中的应用。
2. 定义韦达定理：对于一个n 次方程a n x n +a n−1x n−1+⋯+a 1x +a 0=0其根为x 1,x 2,⋯,x n ，则有以下关系成立：{ x 1+x 2+⋯+x n =−a n−1a n x 1x 2+x 1x 3+⋯+x n−1x n =a n−2a n ⋯x 1x 2⋯x n =(−1)n a 0a n3. 推导过程为了推导韦达定理，我们先来观察一个二次方程的特例：ax 2+bx +c =0这个方程的根为x 1,x 2，则根据求根公式可得：x 1+x 2=−b ax 1x 2=c a我们可以将这个特例推广到n 次方程。
假设n 次方程的根为x 1,x 2,⋯,x n ，我们可以将该方程表示为以下形式：(x −x 1)(x −x 2)⋯(x −x n )=0展开上述等式后，可以得到一个n 次方程。
通过展开和比较系数，我们可以得到韦达定理中的各个关系。
具体地，我们将(x −x i )展开后得到多项式p i (x )。
则有：p i (x )=(x −x i )=x n−1+a i,n−2x n−2+a i,n−3x n−3+⋯+a i,0其中a i,j 表示p i (x )中x j 的系数。
因此，我们可以得到以下关系：{p 1(x )+p 2(x )+⋯+p n (x )=0p 1(x )p 2(x )+p 1(x )p 3(x )+⋯+p n−1(x )p n (x )=0⋯p 1(x )p 2(x )⋯p n (x )=0通过将p i (x )展开，我们可以得到韦达定理中的具体表达式。
韦达定理教案
教师一对一个性化教案学生姓名年级科目授课教师日期时间段课时授课类型新课/复习课/作业讲解课教学目标教学内容个性化学习问题解决教学重点、难点及考点分析教学过程求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程方程的求解特殊的二元二次方程组根公式二次三项式的因式分解【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠，如果方程有两个实数根12,x x，那么1212,b cx x x xa a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12bx xa+=-的负号与b的符号的区别根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例若12,x x是方程2220070x x+-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x+；(2)1211x x+；(3)12(5)(5)x x--；(4)12||x x-．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x+=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x+=+-=---=(2) 121212112220072007x xx x x x+-+===-(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x--=-++=---+=-(4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x-=-=+-=---=说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：教学过程222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。
初中数学韦达定理教案
教案：初中数学韦达定理教学目标：1. 理解并掌握韦达定理的内容及应用。
2. 能够运用韦达定理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 韦达定理的内容及应用。
2. 运用韦达定理解题的方法和技巧。
教学难点：1. 理解并掌握韦达定理的推导过程。
2. 灵活运用韦达定理解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示韦达定理的推导过程和应用实例。
2. 准备一些练习题，用于巩固学生的理解和应用能力。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾一元二次方程的解法，例如因式分解、配方法等。
2. 提问：解一元二次方程时，我们能否直接得到方程的根与系数之间的关系呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍韦达定理的背景和意义。
2. 推导韦达定理的公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0），如果方程有两个实数根x1、x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
3. 解释韦达定理的推导过程，引导学生理解并掌握。
三、实例讲解（15分钟）1. 通过具体的例子，展示如何运用韦达定理解题。
2. 引导学生观察方程的根与系数之间的关系，并运用韦达定理进行解答。
四、练习与讨论（15分钟）1. 让学生独立完成一些练习题，巩固对韦达定理的理解和应用能力。
2. 鼓励学生相互讨论，共同解决问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调韦达定理的重要性和应用范围。
2. 提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解和掌握韦达定理的内容及应用。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，鼓励他们提出问题和解决问题。
同时，通过练习题的设置，检验学生对韦达定理的理解和应用能力。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导。
对于学习有困难的学生，可以适当给予个别辅导，帮助他们理解和掌握韦达定理。
(完整版)韦达定理教学案例
教学环节
教师活动
预设学生行为设计Βιβλιοθήκη 图问题引探解下列方程：
2x2+5x+3=0 3x2-2x-8=0
并根据问题2和以上的求解填写下表
请观察上表，你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？
问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。
学情分析
1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。
2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，
3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力
3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。
4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。
学生交流探讨
本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。
韦达定理教案范文
韦达定理教案范文一、教案概述本教案针对高中数学课程中的韦达定理进行讲解和练习。
韦达定理是高中数学的重要内容之一，它是用来求解二次方程根的一种方法。
本教案以理论讲解和例题演练相结合的方式，旨在帮助学生深入理解韦达定理的原理和应用。
二、教学目标1.理解韦达定理的定义和原理；2.掌握使用韦达定理解二次方程的方法；3.能够灵活运用韦达定理求解实际问题。
三、教学内容1.韦达定理的定义和原理；2.韦达定理的应用；3.实际问题的解决方法。
四、教学步骤及教学方法1.引入新课(5分钟)通过引入类比，向学生介绍韦达定理，让学生从直观的例子中理解韦达定理的定义和原理。
2.理论讲解(25分钟)通过讲解例题和解题思路，详细阐述韦达定理的应用方法和步骤，包括如何列方程、如何计算韦达定理的公式、如何求解根等。
3.例题演练(15分钟)以课本上的习题为例，分组演练韦达定理的应用，教师抽取几道题目，引导学生进行讨论和解答，同时解答学生在解题过程中出现的疑惑和问题。
4.进一步拓展(10分钟)通过提供一道拓展习题，引导学生思考如何将韦达定理应用于实际问题的解决。
5.小结与作业布置(5分钟)对本节课的重点内容进行小结，鼓励学生进行课后练习，并布置相应的作业。
五、教学手段及教具教学手段：讲解、演练、互动探究。
教具：教师课件、习题、实物类比。
六、教学评估1.在课堂上观察学生的主动参与情况；2.检查学生在例题演练中的解题思路和结果；3.对学生的课堂表现进行口头评估。
七、教学资源教师课件、学生课本、习题集。
八、教学反思通过对学生课后作业的批改和教学评估，进一步了解学生对韦达定理的掌握情况。
在下节课中，可以根据学生的学习情况，进一步引导学生应用韦达定理解决更加复杂的实际问题。
同时，在讲解过程中，要注意与学生的互动，鼓励学生积极思考和提问，培养学生的解决问题的能力。
(第6次课学案)韦达定理
x2 (2m 1) x m2 3 0 的根，则 m 等于(
A． 3 B． 5
C． 5或பைடு நூலகம் 3
D． 5或3
4．若实数 a b ，且 a , b 满足 a2 8a 5 0, b2 8b 5 0 ，则代数式 A． 20 B． 2 C． 2或 20
C． k 2
D． k 2, 且k 1 )
2．若 x1 , x2 是方程 2 x 6 x 3 0 的两个根，则 A． 2 B． 2
1 1 的值为( x1 x2
1 2
)
C．
D．
9 2
3 ． 已 知 菱 形 ABCD 的 边 长 为 5 ， 两 条 对 角 线 交 于 O 点 ， 且 OA 、 OB 的 长 分 别 是 关 于 x 的 方 程
10．已知关于 x 的一元二次方程 x2 (4m 1) x 2m 1 0 ． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为 x1 , x2 ，且满足
1 1 1 ，求 m 的值． x1 x2 2
11. 若 x1 , x2 是方程 x 2 x 2007 0 的两个根，试求下列各式的值：
2
(k 3) x2 kmx m2 6m 4 0 有实数根．
13、若 x1 , x2 是关于 x 的方程 x2 (2k 1) x k 2 1 0 的两个实数根，且 x1 , x2 都大于 1． (1) 求实数 k 的取值范围； (2) 若
x1 1 ，求 k 的值． x2 2
2
(1) x12 x22 ；
(2)
1 1 ； x1 x2
(3) ( x1 5)( x2 5) ；
高次方程的韦达定理
高次方程的韦达定理【原创实用版】目录1.高次方程的韦达定理的概念和背景2.韦达定理在高次方程中的推广3.高次方程的韦达定理的实际应用4.结论正文一、高次方程的韦达定理的概念和背景韦达定理是代数学中的一个重要定理，它最初是由法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现的。
韦达定理给出了一元二次方程的两个根与系数之间的关系，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0，它的两个根 x1 和 x2 满足以下关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
随着数学的发展，韦达定理被推广到了高次方程中。
对于一个 n 次方程 AiXi0，它的根记作 X1,X2,Xn，我们有 Xi(-1)1A(n-1)/A(n)XiXj(-1)2A(n-2)/A(n) Xi(-1)nA(0)/A(n)，其中求和和求积的符号分别表示求和和求积。
二、韦达定理在高次方程中的推广在高次方程中，韦达定理的推广形式如下：对于一个 n 次方程 AiXi0，它的根 X1,X2,Xn 满足以下关系：1.Xi(-1)1A(n-1)/A(n)2.XiXj(-1)2A(n-2)/A(n)3.Xi(-1)nA(0)/A(n)这些关系式揭示了高次方程的根与系数之间的深层次关系，对于解决高次方程的根的问题有着重要的指导意义。
三、高次方程的韦达定理的实际应用高次方程的韦达定理在实际中有广泛的应用，例如在物理、化学、生物学等领域，常常需要解决一些高次方程的问题。
通过使用韦达定理，我们可以更方便地求解这些问题，进而更好地理解现象和规律。
四、结论总的来说，韦达定理是代数学中的一个重要定理，它不仅揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系，而且被推广到了高次方程中，有着广泛的应用。
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高次方程韦达定理
学习目标
1. 掌握高次方程韦达定理的一般形式
2. 能应用韦达定理及其逆定理解题
引例 若实数,x y 满足
3333
12017201520172016x y
+=-- ⑴
3333
12014201520142016x y
+=-- ⑵
试求x y +.
（2017年清华大学中学生标准学术能力测试，原题是选择题）
思路分析 规范解答
一般地，在复数域内，设关于x 的n 次方程()11000n
n
n n n a x a x a x a a -++++=≠ 的n 个根
是()1i x i n ≤≤，则有韦达定理（根与系数关系）如下：
()()121211
2
110111k k n
n i i n n i j
i j n n
k n k
i i i i i i n n n n i i n a x a a x x a a x x x a a x a -=-≤<≤-≤<<<≤=⎧
=-⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎪
⎪
⎪⎪=-⎪⎩
∑∑∑∏ ⑶
韦达定理的逆定理也成立，即：若()1i x i n ≤≤满足（3）式，则()1i x i n ≤≤一定是关于x 的方程()11000n
n
n n n a x a x a x a a -++++=≠ 的n 个根.
特别地，设一元三次方程()3
2
00ax bx cx d a +++=≠的三个根分别为123,,x x x ，则有：
123122331123
,,
,b x x x a c x x x x x x a d x x x a ⎧
++=-⎪⎪
⎪
++=⎨⎪
⎪
=-⎪⎩
⑷
例1 设
2222222
1
123456a b c d e f k k k k k k k +++++=++++++⑸
对1,2,3,4,5,6k =均成立，试求a b c d e f +++++. 思路分析 规范解答
例2 已知方程2017
10z
-=的所有复数根为()1,2,,2017i z i = ，则下列关于2017
1
1
2i i
z =-∑
的判断中，一定正确的有（ ）.
A. 是比
2017
2
大的实数 B. 是比
2017
2
小的实数
C. 是有理数
D. 是虚数
（2017年清华大学优秀中学生文科冬令营试题）
思路分析 规范解答
例3 若实系数多项式()3
2
f x x ax bx c =+++有三个非负零点，求证：3297a c ab +<. ⑹
（2014年北京大学优秀中学生暑期体验营）
思路分析 规范解答
例4 设实数123123,,,,,a a a b b b 满足{}{}123123
122331122331123123min ,,min ,,a a a b b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b ++=++⎧⎪
++=++⎨⎪≤⎩
⑺
求证：{}{}123123max ,,max ,,a a a b b b ≤.
（2008年北京大学自主招生试题）
思路分析 规范解答
例5 实数,,a b c 和正数λ使得32
0x ax bx c +++=有三个实数根123,,x x x ，且21x x λ-=，
12
32
x x x +>
. 求证：332279a c ab λ+-≤（全国高中数学联赛试题）
思路分析 规范解答
课后思考
1. 若两两不同的实数,,x y z 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（ ）
A. 1
-
B. 0
C. 1
D. 前三个都不对
（2016年北京大学博雅计划试题）
2. 定义区间两端点之差的绝对值为区间的长度. 若不等式
1235
1234
x x x ++≥---的解集是互不相交的若干区间的并集，求这个解集的所有区间的长度之和.
（高中数学联赛湖北省预赛试题）
3. 若实数,a b 使得方程3
2
0x ax bx a -+-=有三个正实根，求32331
a a
b a
b -++的最小值.
（第十届东南地区奥林匹克竞赛试题）
4. 设关于x 的方程231231n n n n n n x a x a x a x a x ----+++++= 有n 个非负实数根，
求证：2
3
23202221n
n
n n a a a n -⎛⎫
≤+++≤+ ⎪⎝⎭
.
（亚太地区奥林匹克竞赛试题）。