一元线性回归模型(20200619065502)
第二章一元线性回归模型
Y
60 40 20
0 -20 -40 -60
-60 -40 -20 0 20 40 60 X
相关系数为： 4.24E-18
(四)相关分析的特征
⑴.两个变量是对等关系，不分彼此，不 反 映任何自变量和因变量的关系，互换顺序是 一样的，是双向的关系。
⑵. 相关系数的范围是 -1≤r≤1，其值大小反 映两变量间相关的密切程度，正负号表示正 相关或负相关，其值的大小与尺度无关。
英国著名统计学家卡尔·皮尔逊（Karl Pearson） 1890年设计了一个用于测定两个变量之间线性相关 程度和相关方向的指标—简单相关系数,也称为 Pearson相关系数。 （1）相关系数的定义 （2）相关系数的计算 （3）根据相关系数初步判定变量之间的关系 （4）简单相关系数的缺陷
（1）相关系数的定义
X 2 2X X X 2
X 2 2X X nX 2
X 2
2nXБайду номын сангаас
X
2
nX
n
X 2 2n X 2 n X 2
X 2 nX 2
n X 2 X 2
n
同理：
y2
2
Y Y
Y 2 nY 2 n
（3）简单相关系数只适用于两个变量之间的相 关关系，所以称为简单相关系数若变量为三个或 三个以上时，就要用复相关系数计算。
（4）偏相关系数
大千世界中复杂的、多种因素存在相互关联。为 了描述其间的关联，这里定义的相关系数虽然比 协方差指标优越，但是仍然存在不足之处：它裹 胁了其它变量的影响或者它们之间的关系乃是其 它变量的变化所致.
XY XY
计量经济学第二章--一元线性回归模型
2 、同方差假定：每一个随机误差项的方差为常数，即:
经 济
Var(Yi ) Var(i ) 2 (常数)
学
该假定表明：给定X对应的每个条件
分布都是同方差的，每个Y值以相同
的分布方式在它的期望值E(Y)附近波
动
10
3、无自相关假定：任意两个随机误差项之间不相关，用数学
形式表示为：
Cov(i, j ) E (i E(i ))( j E( j )) 0
)
xiYi Y xi2
xi
xi 0
bˆ1
xiYi xi2
(bˆi
x12
x1Y1 x22
xn2
x12
x2Y2 x22
xn2
...
x12
xnYn x22
xn2
)
19
令
ki
xi xi2
则
bˆi
kiYi
(1) k i
(
xi xi2
)
xi xi2
0
计 量 经 ki的性质 济 学
2 n
2k1k21 2
2kn1kn n1 n
)
量
经
k12
E
(12
)
k22
E
(
2 2
)
kn2
E
(
2 n
)
2k1k2
E
(1
2
)
2kn
1kn
E
(
n1
n
)
济
学 由古典线性回归模型的假定可知，对每一个随机变量，有
E(i2) 2, E(i j ) 0(当i j时)
Var(bˆ1)
k12 E (12
一元线性回归模型
一元线性回归模型1．一元线性回归模型有一元线性回归模型（统计模型）如下，y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t之间的真实关系。
其中y t 称被解释变量（因变量），x t称解释变量（自变量），u t称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。
上模型可以分为两部分。
（1）回归函数部分，E(y t) = β0 + β1 x t,（2）随机部分，u t。
图2.1 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，收入与支出的关系；如脉搏与血压的关系；商品价格与供给量的关系；文件容量与保存时间的关系；林区木材采伐量与木材剩余物的关系；身高与体重的关系等。
以收入与支出的关系为例。
假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。
但实际上数据来自各个家庭，来自各个不同收入水平，使其他条件不变成为不可能，所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。
随机误差项u t中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。
所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。
回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容，（1）非重要解释变量的省略，（2）人的随机行为，（3）数学模型形式欠妥，（4）归并误差（粮食的归并）（5）测量误差等。
回归模型存在两个特点。
（1）建立在某些假定条件不变前提下抽象出来的回归函数不能百分之百地再现所研究的经济过程。
（2）也正是由于这些假定与抽象，才使我们能够透过复杂的经济现象，深刻认识到该经济过程的本质。
通常线性回归函数E(y t) = β0 + β1 x t是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t) = β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。
在对回归函数进行估计之前应该对随机误差项u t做出如下假定。
(1) u t 是一个随机变量，u t 的取值服从概率分布。
一元线性回归模型的参数估计
斜率（β1）
表示 x 每变化一个单位，y 平均变化的数量。
一元线性回归模型的假设
线性关系
因变量 y 和自变量 x 之间存在线性关系。
误差项独立
误差项 ε 之间相互独 立，且与 x 独立。
误差项的正态性
误差项 ε 的分布是正 态的。
误差项的无偏性
误差项 ε 的期望值为 0，即 E(ε) = 0。
有限的方差
回归分析的分类
一元回归分析
研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
多元回归分析
研究多个自变量和一个因变量之间的关系。
线性回归模型
线性回归模型是一种常用的回归分析方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系，即可以用一条 直线来描述它们之间的关系。
在一元线性回归模型中，自变量和因变量之间的关系可以表示为一条直线，即 y = ax + b，其中 a 是斜 率，b 是截距。
确定样本数据
收集用于估计参数的样本数据。
构建估计量
根据模型和样本数据构建用于估计参数的统计量。
计算估计值
通过计算统计量的值得到参数的估计值。
评估估计质量
通过统计检验和图形方法评估估计的质量和可靠性。
05 模型的评估与检验
模型的拟合度评估
决定系数（R^2）
衡量模型解释变量变异程度的指标，值越接 近1表示模型拟合度越好。
数据整理
将数据整理成适合进行统计分析 的格式，如表格或图形，以便后 续分析。
建立一元线性回归模型
确定自变量和因变量
根据研究问题选择合适的自变量和因变量，确 保它们之间存在一定的关联性。
散点图分析
绘制散点图，观察自变量和因变量之间的关系， 初步判断是否适合建立一元线性回归模型。
一元线性回归模型PPT课件
b1、b2
Yi B1 B2 Xi ui
ei
第18页/共67页
3.3 参数的最小二乘估计
• 参数估计：普通最小二乘法（OLS）
• 普通最小二乘法就是要选择参数 ，使得残差平方和（residual sum of squares, RSS） 最小。
•即
b1、b2
ei2
Q ei2
Yi Yˆi 2
Xi 也称 自变量（independent variable）
称为 参数（parameter）
B , B 1 称2为 随机扰动项（random error term）
ui
第13页/共67页
3.2 随机扰动项的来源
• 上式如何解释？
• 可以认为，在给定家庭收入水平 上，第i个学生的数学分数可以表达为两部分之和：
第14页/共67页
3.2 随机扰动项的来源
•
第15页/共67页
3.2 随机扰动项的来源
• 性质1：扰动项代表了未纳入模型变量的影响。例如个人健康状况、居住区域等等。 • 性质2：反映了人类行为的内在随机性。即使模型中包括了决定数学分数的所有变量，其内在随机性也
不可避免，这是做任何努力都无法解释的。 • 性质3：还代表了度量误差，例如收入的数据可能不等于真实值。 • 性质4：“奥卡姆剃刀原则”——即描述应该尽可能简单，只要不遗漏重要的信息，此时可以把影响Y
第8页/共67页
3.1 回归的涵义
• 样本回归函数（sample regression function, SRF） • 可用样本回归函数（SRF）表示样本回归线：
其中， 总体条件均值
的估计量；
Yˆi b1 b2 Xi
Yˆ E Y X • 并非所有样本数据都准确地i落在样本回归线上，因此建立随机i 样本回归函数：
一元回归线性模型
一元回归线性模型
一元线性回归模型，又称为简单线性回归模型，是机器学习中常
用的回归模型，它是利用一个自变量X来预测因变量Y的结果。
一元
线性回归模型将样本数据映射为一条直线，如y=ax+b，其中a是斜率，b是截距，也就是说，一元线性回归模型中的参数是斜率和截距，而拟
合的直线就是根据样本数据估计出来的最佳拟合直线。
目标函数是求解参数 a 和 b，使得误差平方和最小，具体来说，
目标函数的表达式为：J（a,b）=Σi(yi-f(xi))^2,其中f（x）=ax+b，yi为观测值，xi为观测值对应的自变量。
对于一元线性回归模型，求解参数 a 和 b 的最优方法要么是直
接用梯度下降法求解，要么是用最小二乘法求解。
梯度下降法求解时，需构造损失函数，使用梯度下降法迭代更新参数，直到获得最优结果；而最小二乘法求解时，通过求解参数关于损失函数的导数，便可解出
模型参数，从而得到最优结果。
一元线性回归模型在实际应用中有很多优点，其中最重要的就是
它易于拟合和解释，它求解简单，可以很大程度上减少了计算复杂度，而且可以很好地预测因变量的值，也可以用来检验变量之间的关系。
一元线性回归模型ppt课件
差e的原因.
例1.（多选）在如图所示的四个散点图，适合用一元线性回
归模型拟合其中两个变量的是( AC ).
例2．在一元线性回归模型中，下列关于Y＝bx＋a＋e的说法正确的是( C )
A．Y＝bx＋a＋e是一次函数
B．响应变量Y是由解释变量x唯一确定的
C．响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这
Y bx a e
(1)
2
E (e ) 0，D(e ) .
追问3.对于父亲身高为xi的某一名男大学生，他的身高yi一定是bxi+a吗？
对于父亲身高为的某一名男大学生，他的身高 并不一定为
bxi+a ，它仅是该子总体的一个观测值，这个观测值与均值有一个误
差项ei=yi -(+a).
相关程度较高.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
父亲身高/cm 174
170
173
169182172180172168
166
182
173
164
180
儿子身高/cm 176
176
170
170
185
176
178
174
170
168
178
172
165
182
问题2.根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以
参数；e是Y与bx+a之间的随机误差. 模型中的Y也是随机变量，其值虽不能由变
量x的值确定，但却能表示为bx+a与e的和，前一部分由x所确定，后一部分是随
计量经济学一元线性回归模型PPT课件
习题答案
• （1）收入、年龄、家庭状况、政府的相关政策等也是 影响生育率的重要的因素，在上述简单回归模型中， 它们被包含在了随机扰动项之中。有些因素可能与增 长率水平相关，如收入水平与教育水平往往呈正相关、 年龄大小与教育水平呈负相关等。
• （2）当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中 的教育水平educ相关时，上述回归模型不能够揭示教 育对生育率在其他条件不变下的影响，因为这时出现 解释变量与随机扰动项相关的情形，基本假设4不满足。
存在原因
一般用希腊字母 或 表示
第一，人类的经济行为本身带有随机性； 第二，通常一个变量总是受众多因素的影响； 第三，任何函数反映经济变量之间的关系都只是一种简化反映； 第四，经济数据来源于调查统计，而非严格的控制实验；
第22页/共162页
二、随机误差项
结论
一个经济变量通常不能被另一个经济变量完全精确地决定，需要 引入随机误差项来反映各种误差的综合影响，主要包括：
i 1
（2-3）
相关系数的取值介于1—1之间， 取值为负表示两变量之间存在负相关关系； 取值为正表示两变量之间存在正相关关系； 取值为1表示两变量之间存在完全负相关关系； 取值为0表示两变量不相关； 取值为1表示两变量之间存在完全正相关关系。
第14页/共162页
例如：
函数关系：
圆面积 f ,半径 半径2
主要内容
得到回归方程； 3）对回归方程中的变量、方程进行显著性检验，推求参数
的置信区间、模型的预测置信区间；
4）利用回归模型解决实际经济问题。
第16页/共162页
4. 相关分析与回归分析之间的关系
联系：
1）都是对存在相关关系的变量的统计相关关系的研究； 2）都能测度线性相关程度的大小； 3）都能判断线性相关关系是正相关还是负相关。