第六章 线性变换.
此时,称是零向量,记为: 0
例５：
令V是F 上向量空 间 , 取定k F,令 ( ) k( )。
则是V 到V 的一个线一个线性
(0) 0
性质6.1.2、线性映射保持线性组合与线性关系式的不 变，即：
(a11 ann ) a1 (1) an (n )
定义6.2.1 设是V 到 W 的一个线性映射，如果V ' V 则： { () | V '} W是W 的一个子集，叫 V '在 之下 的象记作 (V ')。
(2) 是单射ker( )={0}.
证明：
（1）若 是满满射。 W , $ V , ' ( ) = Im( ) 又 Im( ) W , ∴Im( ) = W
反之 : 若Im = W，即 W ，有 ， ( ) . V \是满射.
（2）若 是单射， V ，有 ( ) (),
❖ 第六章 线性变换
教学要求
1、了解向量空间之间的联系是通过线性变换实现。
2、把握L(V)与Mn(F)的一一对应关系和结论的互相转
换。
3、掌握线性变换与矩阵的对应关系，会求线性变换 的矩阵。
4、掌握坐标变换公式及应用。
5、灵活应用特征多项式及有关性质，会求特征根， 特征向量。
6、掌握值域与核的定义、求法，线性变换与它的 象、核的关系。
现在证明： (V ) 是W的子 空间
, (V ), 则$ , V , ' ( ) , () ,
∵ 是线性变换， a, b F，有 :
a b a ( ) b () (a b) (V )
\ (V )是W的子空间.
说明:
①线性映射把子空间映成子空间，如果象是子空间， 则原象也是子空间。
是 V到 W的一个线性映射：
(1) , V , ( ) ( ) ()
说明(2：) ①定a 义中F,（1）（V2,）称(a为 )映射a的 线(性) 性
质。②定义中（1）（2）成立
a,b F, , V ,有（a b） a ( ) b ();
（加以说明）
性质6.1.1、线性映射把零向量映成零向量，即 ：
证明：显然 是R2 到R3 的一个映射。
( ) 又 a, b R, x1,x 2 , (y1, y2 ) R2 ,
(a b) a ( ) b () 由 (a b) (a ) (b) a ( ) b ()
∴ 是R2 到R3 的一个线一个线性
例2．
令 H是V3中经经过原点的一个平面, 对于V3的每每一个向 ，
证明：
x1 y1
.
. xn
,
. .yn
F
n
,
a,
b
F
由 (a b) (a ) (b) a ( ) b ( );
例4 :
令V 和W是 F上向量空间， V，令W中的零向量与它对应,即： ： 0， 则 是V 到W 的一个线性映射。
证明：
a,b F, , V ,有 :
(a b ) a ( ) b ( );
即: :V U, :U W;
则证明 ， ，是 V到W 的一个线性映射
事实实上令 .， 则 V，有 ( ) . ( )唯一。
∴是V到W的一个线性影射
又a, b F, V, 有 : (a b) a( ) b()
∴ 是V到W的一个线性影射。
说明：
❖推广： 若 , , 都是线是线性映
另一方面，设W ‘ W，则{ V | ( ) W ‘}是V的一个子集， 叫 W ‘在 之下的原象。
定理6.1.1
设V和W是F上的向量空间， 是V到W的一个线性映射. 则V的任意子空间在 之下的象是W 的一个子空间,而W
的任一子空间在之下的原象是 V 的一个子空间.
证明 :
设V 是V的一个子空间,
又 ( ) 0 (0)
\ 0 即 ker( ) (),
反之： V ，且()()， 则( -) 0， \ - 0
与已知 矛盾。
∴ 是单射
说明：
是双射 (1) Im( ) (V),
(2) ker( ) {0}
定理6.1.3：
❖ 两个线性映射的乘积还是线性映射。
证明：
设， ,分别是V 到U和U 到W的线性映射。
则 ( )也是线是线性映 且 ( ) ( )。
定理6.1.4
❖ 如果线性映射有映射，则逆映射也是线性映射。
证明：
设是V 到 W的一个线一个线性映 -1存在，
则 : -1是 到的一个映射，
又 , W , a, b F,
则 : -1 ( )V ,且 : a -1 ( ) b 1 ( )V ,于是 :
② ¢特 别 V在之下的象(V)是的一个子空间一个 的象， 记作Im()..即Im() (V)。
另一方面W，的零子空间{0}在 之下的原象是V的一个子空间一
它叫做 的核。记核ker( ) = { V | () 0}。
注意 : Im( ) W , ker( ) V.
定理6.1.2：
设 是 V W 的一个线性映射，则： (1) 是满射 Im( ) W;
7、掌握可以对角化条件及具体方法。
重点 难点
教学重点：线性变换及其矩阵，值域与核的性质，特 征根、征向量，可以对角化矩阵。
教学难点：值域与核的性质及其应用，特征根、特征 向量的求法及其应用。
§6.1线性映射
定义6.1.1 设V、W是数域，设 F上的两个向量空间，是
V到 W的一个映射 。如果下列条件被满足，则称
( ) a 1 , 得到 :
a -1 ( ) b -1 ( ) -1 (a b )
\ -1 是 W到V的线线性映射
二、例子
例1．对于R 2每一个向量到 (x1 x2 )，定义 ( ) (x1 x2 , x1 x2 ) R3 则 是 R 2 到 R3的一个线一个线性
令 ( )表示 在平面H上的Z 射影。
证明是V3 V3 的一个线性映射.
证明：由射影性质：
( ) ( ) ( ); (a ) a( );
∴是V3 V3的一个线性映射
例3 :
x1
令A 是 F上一个m n 矩阵阵，对n列空间F n
的每一向量
=
. .xn
，
规定 ( ) F n， 是F n 到F n 的一个线一个线性
例５：
令V是F 上向量空 间 , 取定k F,令 ( ) k( )。
则是V 到V 的一个线一个线性
(0) 0
性质6.1.2、线性映射保持线性组合与线性关系式的不 变，即：
(a11 ann ) a1 (1) an (n )
定义6.2.1 设是V 到 W 的一个线性映射，如果V ' V 则： { () | V '} W是W 的一个子集，叫 V '在 之下 的象记作 (V ')。
(2) 是单射ker( )={0}.
证明：
（1）若 是满满射。 W , $ V , ' ( ) = Im( ) 又 Im( ) W , ∴Im( ) = W
反之 : 若Im = W，即 W ，有 ， ( ) . V \是满射.
（2）若 是单射， V ，有 ( ) (),
❖ 第六章 线性变换
教学要求
1、了解向量空间之间的联系是通过线性变换实现。
2、把握L(V)与Mn(F)的一一对应关系和结论的互相转
换。
3、掌握线性变换与矩阵的对应关系，会求线性变换 的矩阵。
4、掌握坐标变换公式及应用。
5、灵活应用特征多项式及有关性质，会求特征根， 特征向量。
6、掌握值域与核的定义、求法，线性变换与它的 象、核的关系。
现在证明： (V ) 是W的子 空间
, (V ), 则$ , V , ' ( ) , () ,
∵ 是线性变换， a, b F，有 :
a b a ( ) b () (a b) (V )
\ (V )是W的子空间.
说明:
①线性映射把子空间映成子空间，如果象是子空间， 则原象也是子空间。
是 V到 W的一个线性映射：
(1) , V , ( ) ( ) ()
说明(2：) ①定a 义中F,（1）（V2,）称(a为 )映射a的 线(性) 性
质。②定义中（1）（2）成立
a,b F, , V ,有（a b） a ( ) b ();
（加以说明）
性质6.1.1、线性映射把零向量映成零向量，即 ：
证明：显然 是R2 到R3 的一个映射。
( ) 又 a, b R, x1,x 2 , (y1, y2 ) R2 ,
(a b) a ( ) b () 由 (a b) (a ) (b) a ( ) b ()
∴ 是R2 到R3 的一个线一个线性
例2．
令 H是V3中经经过原点的一个平面, 对于V3的每每一个向 ，
证明：
x1 y1
.
. xn
,
. .yn
F
n
,
a,
b
F
由 (a b) (a ) (b) a ( ) b ( );
例4 :
令V 和W是 F上向量空间， V，令W中的零向量与它对应,即： ： 0， 则 是V 到W 的一个线性映射。
证明：
a,b F, , V ,有 :
(a b ) a ( ) b ( );
即: :V U, :U W;
则证明 ， ，是 V到W 的一个线性映射
事实实上令 .， 则 V，有 ( ) . ( )唯一。
∴是V到W的一个线性影射
又a, b F, V, 有 : (a b) a( ) b()
∴ 是V到W的一个线性影射。
说明：
❖推广： 若 , , 都是线是线性映
另一方面，设W ‘ W，则{ V | ( ) W ‘}是V的一个子集， 叫 W ‘在 之下的原象。
定理6.1.1
设V和W是F上的向量空间， 是V到W的一个线性映射. 则V的任意子空间在 之下的象是W 的一个子空间,而W
的任一子空间在之下的原象是 V 的一个子空间.
证明 :
设V 是V的一个子空间,
又 ( ) 0 (0)
\ 0 即 ker( ) (),
反之： V ，且()()， 则( -) 0， \ - 0
与已知 矛盾。
∴ 是单射
说明：
是双射 (1) Im( ) (V),
(2) ker( ) {0}
定理6.1.3：
❖ 两个线性映射的乘积还是线性映射。
证明：
设， ,分别是V 到U和U 到W的线性映射。
则 ( )也是线是线性映 且 ( ) ( )。
定理6.1.4
❖ 如果线性映射有映射，则逆映射也是线性映射。
证明：
设是V 到 W的一个线一个线性映 -1存在，
则 : -1是 到的一个映射，
又 , W , a, b F,
则 : -1 ( )V ,且 : a -1 ( ) b 1 ( )V ,于是 :
② ¢特 别 V在之下的象(V)是的一个子空间一个 的象， 记作Im()..即Im() (V)。
另一方面W，的零子空间{0}在 之下的原象是V的一个子空间一
它叫做 的核。记核ker( ) = { V | () 0}。
注意 : Im( ) W , ker( ) V.
定理6.1.2：
设 是 V W 的一个线性映射，则： (1) 是满射 Im( ) W;
7、掌握可以对角化条件及具体方法。
重点 难点
教学重点：线性变换及其矩阵，值域与核的性质，特 征根、征向量，可以对角化矩阵。
教学难点：值域与核的性质及其应用，特征根、特征 向量的求法及其应用。
§6.1线性映射
定义6.1.1 设V、W是数域，设 F上的两个向量空间，是
V到 W的一个映射 。如果下列条件被满足，则称
( ) a 1 , 得到 :
a -1 ( ) b -1 ( ) -1 (a b )
\ -1 是 W到V的线线性映射
二、例子
例1．对于R 2每一个向量到 (x1 x2 )，定义 ( ) (x1 x2 , x1 x2 ) R3 则 是 R 2 到 R3的一个线一个线性
令 ( )表示 在平面H上的Z 射影。
证明是V3 V3 的一个线性映射.
证明：由射影性质：
( ) ( ) ( ); (a ) a( );
∴是V3 V3的一个线性映射
例3 :
x1
令A 是 F上一个m n 矩阵阵，对n列空间F n
的每一向量
=
. .xn
，
规定 ( ) F n， 是F n 到F n 的一个线一个线性
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第六章 线性空间与线性变换
（7） (k + l)α＝kα＋lα , k,l ∈ F ； （8） k(lα )＝(kl)α ，
其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别 地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
第 4 页 共 19 页
第六章 线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
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第六章 线性空间与线性变换
其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别 地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
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第六章 线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
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第六章 线性空间与线性变换
6.6 线性变换的值域与核
1 0
证：设A是n维线性空间V的一个线性变换 在一 组基 1 , 2 , , n 下的矩阵，即
1 , 2 , , n , ( 1 , 2 , , n , ) A
由
A A,
2
知
2
.
任取 (V ), 设 ( ), V , 则 ( ) ( ( )) ( ) ( )
2
从而
1
2 / 3
1
0,
1
2
0
1
1 2 1 2 / 3 2 3 ,
2 1 2 2 4
是
( 0 ) 的一组基.
1
( 0 ) L 1 , 2 .
再求 (V ). 由于 的零度为2 ，所以 的秩为2， 即 (V )为2维的. 又由矩阵A，有
( 1 ) 1 2 3 2 4
( 2 ) 2 2 2 3 2 4
所以， ( 1 ), ( 2 ) 线性无关， 从而有
(V ) L ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 )
因此， (V ) L ( 1 ), ( 2 ), , ( n ) .
2）由1）， 的秩等于基象组 ( 1 ), ( 2 ), , ( n )
的秩，又
( 1 ), ( 2 ), , ( n ) ( 1 , 2 , , n , ) A .
由第六章§5的结论3知， ( 1 ), ( 2 ), , ( n ) 的秩 等于矩阵A的秩. ∴ 秩( ) ＝秩 ( A ).
线性代数第六章第二节二次型化为标准型的三种方法
用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变．
问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标 准形？
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
用正交变换能够化实二次型为标准型，这种方法是根据实 对称矩阵的性质，求出二次型 的特征值和规范正交的特征向量， 条件要求较强，当研究一般数域P上的二次型(包括实二次型) 的标准型时，可以用拉格朗日配方法，这种方法不用解矩阵特征 值问题，只需反复利用以下两个初等公式
零多项式，故 可化为标准型.
含有平方项，这归结为情形1，
推论1 任意n阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同. 证明 由定理4，存在非退化线性变换X=CY，使得
右端标准型的矩阵为
新旧变量二次型的矩阵A与B满足CTAC=B，即A与对角形矩阵 B合同.
3 初等变换法 根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.
只作列 变换
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
2、二次型的标准形是否唯一？
3、二次型的平方和和标准形主要区别 是什么？
4、在实数域里考虑，正交变换法和配
平方法没有改变二次型的那些特征？
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
时,解方程组
得基础解系
当
时,解方程组
得基础解系
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵
由
构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面. 注意：化f为标准形的正交变换不唯一.
问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标 准形？
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
用正交变换能够化实二次型为标准型，这种方法是根据实 对称矩阵的性质，求出二次型 的特征值和规范正交的特征向量， 条件要求较强，当研究一般数域P上的二次型(包括实二次型) 的标准型时，可以用拉格朗日配方法，这种方法不用解矩阵特征 值问题，只需反复利用以下两个初等公式
零多项式，故 可化为标准型.
含有平方项，这归结为情形1，
推论1 任意n阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同. 证明 由定理4，存在非退化线性变换X=CY，使得
右端标准型的矩阵为
新旧变量二次型的矩阵A与B满足CTAC=B，即A与对角形矩阵 B合同.
3 初等变换法 根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.
只作列 变换
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
2、二次型的标准形是否唯一？
3、二次型的平方和和标准形主要区别 是什么？
4、在实数域里考虑，正交变换法和配
平方法没有改变二次型的那些特征？
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
时,解方程组
得基础解系
当
时,解方程组
得基础解系
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵
由
构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面. 注意：化f为标准形的正交变换不唯一.
第六章 线性变换
ξ = x1α 1 + x 2α 2 + ⋯ + x nα n
σ (ξ )仍是 的一个向量，设 仍是V的一个向量 的一个向量，
过标坐标来 刻画
σ (ξ ) = y1α 1 + y2α 2 + ⋯ + ynα n
σσ
−1
= σσ
−1
=t
§6.3 线性变换和矩阵
教学目标：渗透现代代数学同构、 教学目标：渗透现代代数学同构、代数表示论的思 和化归的数学思想方法， 想，和化归的数学思想方法，让学生了解 向量空间的线性变换关于基的矩阵之间的 关系，理解矩阵相似这一重要概念， 关系，理解矩阵相似这一重要概念，掌握 线性变换关于基的矩阵和线性变换作用下 的向量关于基的坐标的计算方法。 的向量关于基的坐标的计算方法。 重 线性变换关于基的矩阵之间的关系， 点：线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵 相似概念， 相似概念，线性变换关于基的矩阵和线性 变换作用下的向量关于基的坐标的计算。 变换作用下的向量关于基的坐标的计算。 线性变换关于基的矩阵之间的关系， 点：线性变换关于基的矩阵之间的关系，矩阵 相似概念。 相似概念。
证明：显然 σ是R 2 到R 3 的一个映射。
σ (aξ + bη ) = aσ (ξ ) + bσ (η ) ∵由σ (aξ + bη ) = σ (aξ ) + σ (bη ) = aσ (ξ ) + bσ (η )
∴ σ是R 2 到R 3 的一个线一个线性
又 ∀a, b ∈ R, ∀ξ = (x 1, x 2 ),η = ( y1 , y 2 ) ∈ R ,
从而一个线性变换的任何非负整数幂都有意义
设f ( x) = a 0 + a1 x + ... + a n x ,
工程数学第六章 线性变换
第六章
工
程
数
学
例5. 下列变换：
σ1:(a1, a2, …, an) →(a1, 0, 0, …, 0); σ2:(a1, a2, …, an) →(a1, a2, a3, …, an−1, 0); σ3:(a1, a2, …, an) → k(a1, a2, a3, …, an); σ4:(a1, a2, …, an) → ( ∑ b1 j a j , ∑ b2 j a j ,L, ∑ bnj a j )
= k1σ (α1 ) + k 2σ (α 2 ) + L + k sσ (α s );
(3) 若α1, α2, …, αs 线性相关，则 σ (α1 ), σ ( α2), …, σ ( αs)也线性相关.
第六章
工
程
数
学
§2 线性变换和矩阵
R2 中变换σ (x, y)=(2x+y, x−3y) 是一个线性变换.
x' cosθ = y ' sin θ
象的坐标
− sin θ x cos θ y
原象的坐标 第六章
工
程
数
学
二、象与原象的坐标变换公式
设 ξ∈V, ξ 在基α1, α2, …, αn下的坐标为(x1, x2, …, xn ), 设 σ (ξ )在基 α1, α2, …, αn下的坐标 为 (y1, y2, …, yn ), 则
y1 y2 M =A y n
σ(α)
的 坐 标
x1 x2 M x n
α
的 坐 标 第六章
σ
的 矩 阵
工
程 定理1 定理
工
程
数
学
例5. 下列变换：
σ1:(a1, a2, …, an) →(a1, 0, 0, …, 0); σ2:(a1, a2, …, an) →(a1, a2, a3, …, an−1, 0); σ3:(a1, a2, …, an) → k(a1, a2, a3, …, an); σ4:(a1, a2, …, an) → ( ∑ b1 j a j , ∑ b2 j a j ,L, ∑ bnj a j )
= k1σ (α1 ) + k 2σ (α 2 ) + L + k sσ (α s );
(3) 若α1, α2, …, αs 线性相关，则 σ (α1 ), σ ( α2), …, σ ( αs)也线性相关.
第六章
工
程
数
学
§2 线性变换和矩阵
R2 中变换σ (x, y)=(2x+y, x−3y) 是一个线性变换.
x' cosθ = y ' sin θ
象的坐标
− sin θ x cos θ y
原象的坐标 第六章
工
程
数
学
二、象与原象的坐标变换公式
设 ξ∈V, ξ 在基α1, α2, …, αn下的坐标为(x1, x2, …, xn ), 设 σ (ξ )在基 α1, α2, …, αn下的坐标 为 (y1, y2, …, yn ), 则
y1 y2 M =A y n
σ(α)
的 坐 标
x1 x2 M x n
α
的 坐 标 第六章
σ
的 矩 阵
工
程 定理1 定理
线性空间及线性变换
i
是V1的一组基, 1 , 2 , , l 是V2的一组基.
(1) V1+V2的基与维数. 令矩阵 A ( 1 , 2 , , k , 1 , 2 , , l ) ,求A的秩,则 V1+V2的维数等于A的秩r,A中r个线性无关的列即为 V1+V2的基. (2) V1∩V2的基与维数. 令 x 1 1 x 2 2 x k k y 1 1 y 2 2 y l l ,解这 个方程组求它的一个基础解系: (xi1,xi2,…,xik,yi1,yi2,…,yil)/,i=1,2,…,d,d=k+l-r,则 z y i=1,2,…,d是V1∩V2的一组基, V1∩V2的维数等于 d=k+l-r. 4.线性变换的值域与核 线性变换/A的值域 / AV { y | y V , y / A , V } ,/A的 核/A-1(0)={y|y∈V,/Ay=0}.
二、基本方法 1.V1,V2是线性空间V的两个子空间,证明V=V1△V2 只要证明以下两点: (1)V1∩V2={0}; (2)dimV=dimV1+dimV2. 2.求线性空间V的基与维数,可先找到V的一个生成 元组 , , , ,然后证明 , , , 线性无关.
f ( ) ( 1 ) ( 2 )
r1 r2
生成
( s )
rs
则V可分解为A的不变子空间的直和
V=V1 △V2△…△Vs,其中: V i
是A属于 i 的根子空间.
{ X | ( i I A) i X 0, X V }
r
2.子空间的性质 我们用dimV表示线性空间V的维数. (1) 设V1和V2是线性空间V的子空间,则 dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2). (2) 设V1,V2,…,Vm是线性空间V的真子空间,则必存 在 V ,使 V ,1 i m , (3) 设V1=L(u1,u2,…,um),v1,v2,…,vr是V1中的r个线性 无关的向量,且r<m,则可以从u1,u2,…,um中去掉r个向 量,使剩下的m-r个向量与v1,v2,…,vr合在一起仍生成 子空间V1. 3.子空间的和与交的基与维数的求法 设V1和V2是线性空间V的子空间, 1 , 2 , , k
是V1的一组基, 1 , 2 , , l 是V2的一组基.
(1) V1+V2的基与维数. 令矩阵 A ( 1 , 2 , , k , 1 , 2 , , l ) ,求A的秩,则 V1+V2的维数等于A的秩r,A中r个线性无关的列即为 V1+V2的基. (2) V1∩V2的基与维数. 令 x 1 1 x 2 2 x k k y 1 1 y 2 2 y l l ,解这 个方程组求它的一个基础解系: (xi1,xi2,…,xik,yi1,yi2,…,yil)/,i=1,2,…,d,d=k+l-r,则 z y i=1,2,…,d是V1∩V2的一组基, V1∩V2的维数等于 d=k+l-r. 4.线性变换的值域与核 线性变换/A的值域 / AV { y | y V , y / A , V } ,/A的 核/A-1(0)={y|y∈V,/Ay=0}.
二、基本方法 1.V1,V2是线性空间V的两个子空间,证明V=V1△V2 只要证明以下两点: (1)V1∩V2={0}; (2)dimV=dimV1+dimV2. 2.求线性空间V的基与维数,可先找到V的一个生成 元组 , , , ,然后证明 , , , 线性无关.
f ( ) ( 1 ) ( 2 )
r1 r2
生成
( s )
rs
则V可分解为A的不变子空间的直和
V=V1 △V2△…△Vs,其中: V i
是A属于 i 的根子空间.
{ X | ( i I A) i X 0, X V }
r
2.子空间的性质 我们用dimV表示线性空间V的维数. (1) 设V1和V2是线性空间V的子空间,则 dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2). (2) 设V1,V2,…,Vm是线性空间V的真子空间,则必存 在 V ,使 V ,1 i m , (3) 设V1=L(u1,u2,…,um),v1,v2,…,vr是V1中的r个线性 无关的向量,且r<m,则可以从u1,u2,…,um中去掉r个向 量,使剩下的m-r个向量与v1,v2,…,vr合在一起仍生成 子空间V1. 3.子空间的和与交的基与维数的求法 设V1和V2是线性空间V的子空间, 1 , 2 , , k
线性代数课件 第六章 线性空间与线性变换——第1节
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律， 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 上的向量空间（或线性空间）． 么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．
设α , β , γ ∈ V ; λ , µ ∈ R
(1) α + β = β + α ;
( 2) (α + β ) + γ = α + ( β + γ );
例７ n 个有序实数组成的数组的全体
S n = x = ( x1 , x2 ,⋯, xn ) x1 , x2 ,⋯ , xn ∈ R 对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 λ ( x1 ,⋯, xn )T = (0,⋯ ,0) 不构成线性空间． 不构成线性空间． n S 对运算封闭. 但1 x = o, 不满足第五条运算规律 .
（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运 一个集合， 算不是通常的实数间的加乘运算， 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律． 否满足八条线性运算规律． 正实数的全体， 例６ 正实数的全体，记作 R + ，在其中定义加法 及乘数运算为 a ⊕ b = ab, λ a = a λ , (λ ∈ R, a , b ∈ R + ). 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 验证 R + 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 证明 ∀a , b ∈ R + , ⇒ a ⊕ b = ab ∈ R + ;
线
性
代
数
第六章 线性空间与线性变换
一、线性空间的定义
线性空间是线性代数最基本的概念之一， 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 线性空间是为了解决实际问题而引入的， 某一类事物从量的方面的一个抽象， 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间， 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题． 问题．
第六章信号线性变换
6.2 电压/电流变换器（VCC） 和电流/电压变换器（CVC）
6.2.1 电压/电流变换器（VCC）
电压/电流变换器（VCC）用来将电压信号变换为与 电压成正比的电流信号。
用途：
① 常用作传感器或其他检测电路中的基准（参考）恒流源， ② 在磁偏转的示波装置中常用来将线性变化电压变换成扫 描用的线性变化电流 ③ 在控制系统中作为可控电流源驱动某些执行装置，如记 录仪记录笔的偏转和电流表的偏转。
第6章 信号线性变换
6.1 概述 6.2电压/电流变换器（VCC）
和电流/电压变换器（CVC）
6.3波形变换
6.4电压/频率变换（VFC）
与频率/电压变换（FVC）
本章学习要点
1. 信号线性变换的条件与结果； 2. 信号线性变换的应用； 3. 各种电压/电流变换电路的特点与设计； 4. 各种电流/电压变换电路的特点与设计； 5. 波形变换电路的设计及应用； 6. 电压/频率变换与频率/电压变换的原理、 电路设计与应用。
6.4.1 电压/频率变换电路 （VFC）
1 VI T1 VB R1C1
T T1 T2 T1 R1C1
VB VI
f0
V1 1 T R1C1VB
6.4.2频率/电压变换电路 （FVC）
V0 T1VR f i
AD650
二、负载接地型电压/电流变换器
uO u I RF R u L (1 F ) R1 R1
R2 // Z L R3 ( R2 // Z L )
u L i L Z L uO
uI iL
RF R1
R3 R Z L F Z L R3 R2 R1
若取
RF R3 R1 R2
线性变换
例1. 设V是数域P上的线性空间,c是数域P中的一个常 数，定义变换
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
A : ∀α ∈ V Aα = cα
则 A为V的一个变换。通常称为数乘变换 。 当 c = 1 时，称上面的数乘变换为恒等变换。并记为 ε 当 c = 0 时，称上面的数乘变换为零变换。并记为θ
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
第六章
线
性
变
换
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2006年制作
第六章 线性变换 线性变换
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
内容
1．线性变换的概念 线性变换的概念 2．线性变换与矩阵 线性变换与矩阵 3．线性变换的特征子空间﹑值域和核 线性变换的特征子空间﹑ 线性变换的特征子空间 4．欧氏空间的正交变换和对称变换 欧氏空间的正交变换和对称变换
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二、线性变换与矩阵 线性变换与矩阵
（2）
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
由
x1 x1 + x2 A1 x2 = x3 有： x x 3 1 2 2 3 A1α1 = 0 , A1α 2 = 0 , A1α 3 = 1 2 1 1
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一、线性变换的概念 线性变换的概念
例2 . 设 V = P[ x]是实数域R上的全体一元实系数多项 式组成的实线性空间，定义微分变换
LINEAR LINEAR ALGEBRA ALGEBRA
第六章线性变换及若当标准形
又对于任意的v??有????????2121???????????mm??????但对任意的j有ommj??????????2211????因此mmm????????????kerkerker212211????????故omm?????????2211????也即???2211mm?????????所以mv???imimim21?????
91
（1）充分条件 定理 11 若数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换 有 n 个不同的特征值，则 可对角化。 定理 12 若数域 P 上 n 阶矩阵 A 的特征多项式 f ( ) 有 n 个单根，则 A 可对角 化。 （2）充要条件 关于线性变换： 定理 13 数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换 可对角化的充要条件是 有 n 个线性无关的特征向量。 定理 14 数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换 可对角化的充要条件是 V 可 以分解成不同特征值的特征子空间的直和：
的属于特征值 i 的线性无关的特征向量， i 1,2,, s ，则 11 , 12 , , 1k ,
1
21 , 22 , , 2 k ,, s1 , s 2 , , sk 线性无关。
2i s
6．特殊矩阵的特征值 （1） 上（下）三角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素； （2） 幂零矩阵的特征值全为零； （3） 幂等矩阵的特征值全是 0 或 1； （4） （5） （6） （7） 对合矩阵的特征值全是 1 或 1 ； 实对称矩阵的特征值全为实数； 实反对称矩阵的特征值是 0 或纯虚数； 正交矩阵的特征值的模为 1。
92
1
E A 的所有不同的根，即 A 的所有特
第三步：将上述每一个齐次线性方程组的基础解系作为矩阵 P 的列向量，则 P 是可逆矩阵，且 P AP 为对角矩阵。
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（1）充分条件 定理 11 若数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换 有 n 个不同的特征值，则 可对角化。 定理 12 若数域 P 上 n 阶矩阵 A 的特征多项式 f ( ) 有 n 个单根，则 A 可对角 化。 （2）充要条件 关于线性变换： 定理 13 数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换 可对角化的充要条件是 有 n 个线性无关的特征向量。 定理 14 数域 P 上 n 维线性空间 V 的线性变换 可对角化的充要条件是 V 可 以分解成不同特征值的特征子空间的直和：
的属于特征值 i 的线性无关的特征向量， i 1,2,, s ，则 11 , 12 , , 1k ,
1
21 , 22 , , 2 k ,, s1 , s 2 , , sk 线性无关。
2i s
6．特殊矩阵的特征值 （1） 上（下）三角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素； （2） 幂零矩阵的特征值全为零； （3） 幂等矩阵的特征值全是 0 或 1； （4） （5） （6） （7） 对合矩阵的特征值全是 1 或 1 ； 实对称矩阵的特征值全为实数； 实反对称矩阵的特征值是 0 或纯虚数； 正交矩阵的特征值的模为 1。
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E A 的所有不同的根，即 A 的所有特
第三步：将上述每一个齐次线性方程组的基础解系作为矩阵 P 的列向量，则 P 是可逆矩阵，且 P AP 为对角矩阵。