材料力学5
材料力学课件第5章
M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
工程力学--材料力学(第五、六章)经典例题及讲解
P
A
0.5 m
C D
0.4 m 1m
B
20
40
解：C点的应力 σ C = E ε = 200 × 10 3 × 6 × 10 − 4
= 120M Pa
C截面的弯矩
M C = σ C W z = 640 N ⋅ m
由 M C = 0.5 R A = 0.5 × 0.4 P = 0.2 P = 640 N ⋅ m 得 P = 3.2kN
度减小一半时，从正应力强度条件考虑， 该梁的承载能力将是原来的多少倍？ 解： 由公式
σ max
M max M max = = 2 Wz bh 6
可以看出：该梁的承载能力将是原来的2 可以看出：该梁的承载能力将是原来的2倍。
例4：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD AB，跨度为l 采用加副梁CD
的方法提高承载能力， 的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料 相同，截面尺寸相同， 相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度 a为多少？ 为多少？
2 2
2
bh b( d − b ) Wz = = 6 6
2 2 2
∂ Wz d 2 b 2 = − =0 ∂b 6 2
d 由此得 b = 3
d
2 2
h
h = d −b =
h = 2 ≈3:2 b
2 d 3
b
例12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示,已知材料许用拉、 12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示 已知材料许用拉、 的铸铁梁受力如图示,
10 kN / m
200 2m 4m 100
10 kN / m
200
2m
Fs( kN ) 25 Fs(
45 kN
4m
100
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第五章
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
材料力学第五版课后习题答案
材料力学第五版课后习题答案1. 弹性力学基本概念。
1.1 什么是应力？什么是应变？应力是单位面积上的内力，是描述物体内部受力情况的物理量；而应变则是物体单位长度的形变量，描述了物体在受力作用下的形变情况。
1.2 什么是胡克定律？胡克定律是描述弹性体在弹性变形范围内应力与应变成正比的关系，即应力与应变成线性关系。
1.3 什么是弹性模量？弹性模量是描述物体在受力作用下的变形程度的物理量，通常用E表示，单位是帕斯卡（Pa）。
2. 线弹性力学。
2.1 什么是轴向力？什么是轴向变形？轴向力是指作用在物体轴向的力，轴向变形是指物体在受到轴向力作用下的形变情况。
2.2 什么是泊松比？泊松比是描述物体在轴向受力作用下，横向变形与轴向变形之间的比值，通常用ν表示。
2.3 什么是弯曲应力？什么是弯曲变形？弯曲应力是指物体在受到弯矩作用下的内部应力情况，弯曲变形是指物体在受到弯矩作用下的形变情况。
3. 弹性力学的能量法。
3.1 什么是弹性势能？弹性势能是指物体在受力变形后，能够恢复原状时所具有的能量，通常用U表示。
3.2 什么是弹性线性势能？弹性线性势能是指物体在弹性变形范围内，弹性势能与形变量成线性关系的势能。
3.3 什么是弹性势能密度？弹性势能密度是指单位体积或单位质量物体所具有的弹性势能，通常用u表示。
4. 弹塑性力学。
4.1 什么是屈服点？屈服点是指物体在受力作用下，开始出现塑性变形的临界点。
4.2 什么是屈服应力？屈服应力是指物体在受力作用下开始发生塑性变形时所具有的应力大小。
4.3 什么是塑性势能？塑性势能是指物体在受到超过屈服应力的作用下，发生塑性变形所具有的能量。
5. 薄壁压力容器。
5.1 什么是薄壁压力容器？薄壁压力容器是指壁厚相对于容器直径而言很小的压力容器。
5.2 薄壁压力容器的内、外压力对容器的影响有哪些？内压力会使容器产生膨胀变形，而外压力会使容器产生收缩变形。
5.3 薄壁压力容器的应力分布情况是怎样的？薄壁压力容器内外表面的应力分布情况是不均匀的，通常集中在壁厚的两侧。
材料力学第5章弯曲应力
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
材料力学第五章
xC
Sy A
n
x C
Ai
i 1
n
Ai
i 1
n
yC
Sx A
i 1 n
y C
Ai
Ai
i 1
第五章 平面图形的几何性质
270
30
y [例1] 已知：图形尺寸如图
Ⅱ
所示。
求：图形的形心。
50
C2
Ⅰ
C C1
yc
z
解：1、将图形分解为 简单图形的组合
第五章 平面图形的几何性质
静矩与形心坐标之间的关系
S y
zdA
A
S z
ydA
A
Sy AzC
Sz AyC
yC
Sz A
ydA
A
A
zC
Sy A
zdA
A
A
已知静矩可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标可以确定静矩
第五章 平面图形的几何性质
构件截面的图形往往是由矩形、圆形等简单图形 组成，称为组合图形。
xc
A
G
A At g
, yc
A
G
A At g
由于是均质等厚度，t、 、g为常量，故上式可改写为
xdA
ydA
xc
A
A
, yc
A
A
第五章 平面图形的几何性质
1. 静矩的定义
对 z 轴静矩 对 y 轴静矩
Sz
ydA
A
Sy
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10
C点：
4FRD=20×3－10×2×1
t max
M C yc 26.4 MPa Iz
FRD＝10kN
例： 以F力将置放于地面的钢筋提起。若钢筋单位 长度的重量为q，当b=2a时，试求所需的F力。
FS
FS
FS
槽钢（开口薄壁截面）：
FS
弯曲中心：截面上弯曲剪应力向某点化简，若合力矩
为零，则该点为弯曲中心。 弯曲中心的性质：
i) 与材料载荷无关，仅与截面形状有关。
ii) 载荷只有作用在弯曲中心才只发生弯曲。
iii) 载荷不作用在弯曲中心，将发生弯曲与扭转的组合 变形。
弯曲中心：
若横向力作用平面不是纵向对称面，
2
max
ql / 8 3ql 2 bh / 6 4bh2
2
ql / 2 3ql 3 max 2 bh 4bh
[τ]=(0.5~1)[σ]
max / max l / h
§5.6 提高弯曲强度的措施
弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素， 提高弯曲强度的方法：降低σ F一定，减小M；M一定，增大Wz 合理安排梁的受力情况 设计合理的截面 等强度梁的概念
即使是形心主惯性平面，杆件除弯曲变形 外，还将发生扭转变形。 只有当横向力通过截面内某一特定点A 时，杆件才只有弯曲而无扭转变形。这一 特定点叫做弯曲中心或剪切中心，简称弯 心。
常见薄壁截面弯曲中心的位置：
三、圆截面
FS
• 切应力分布及方向 • 最大切应力： 中性轴
max
Fs Fs 4 4 = 3 πR 2 3 A
M
M+dM
τ´ x dx
FN 2
* A dA M dM A y 1dA M dM S z 1 1 Iz Iz
z y τ´ y1 x
沿轴向平衡： FN1 F N 2 b dx 0
τ
dx b y
σdA
dM 剪应力互等： I z b dx I zb
3. 强度条件：
max [ ] 正应力起控制作用，优先考虑：
剪应力一般可满足，校核
需校核剪应力的情况：
max [ ]
i) 短跨度梁或载荷在支座附近。 ii）腹板薄而高的型钢。 iii）复合梁的结合面。
求：σmax/τmax 解： Mmax＝ql2/8
q l
b
h
Fsmax=ql/2
y )d
Me
(bb bb) / bb
( y )d d y d
Me
• 推导
y
2）物理方程： 3）平衡方程：
E Ey /
M ydA
F N dA 0
3）平衡方程：
Ey /
F N dA E ydA 0 S z ydA 0
2 ( h 2 d ) * Sz b [h2 (h 2d )2 ] d [ y2 ] 8 2 4
max min
F s bh 2 1 2 ( b d )( h 2 d ) I zb 8 8 Fs b (h d )d I zb 2
§5.4 弯曲剪应力
• 对于横力弯曲情况，FS不为零，截面上必然存 在剪应力τ，分别对不同形状截面进行讨论。 一、 矩形截面 假定： a） τ平行于FS b） τ仅沿高度变化
FS
推导：
* F N1 A dA M A y 1dA M S z 1 Iz 1 Iz
My1 左侧： M I z ( M dM ) y1 右侧：M+dM Iz
F1=9kN
F2=4kN y1
B
需校核： B：σc、 σt C： σt
例: 把直径 d=1mm的钢丝绕在直径为2m的卷筒上，试 计算该钢丝中产生的最大应力。设E=200GPa。
解：(1)
y
E
max E d / 2 100 MPa
(2)
1 ＝M EI
max M EI E d / 2 100MPa W W
200×30×(215－yc) =200×30×(yc-100)
yc=157.5mm
I zc 1 20 3 3 (4.25 1.5) 2 20 3 1 3 20 3 5.75 2 20 3 12 12
Izc=6013cm4
B点：
yc=157.5mm
yc2=230-yc=72.5mm
＝M
W
W d 32
3
200 F II III υ85 υ95 I 110 A F MI
950 υ88
F 115
IV F B
MIV
FRA1265=P1065+P115 MI=FRA0.2=4.72kNm
FRA=23.6kN
FRB=27kN
MIV=FRB0.115=3.11kNm
FRA FRB 已知： 80 20 z y2 [σt]=30MPa 120 A B C [σc]=160MPa 1m 1m 1m M 2.5 Iz=763cm4 (kNm) x y1=52mm 校核强度 4 FRA=2.5kN 解： FRA2=91-41 MC=FRA 1=2.5(kNm) MB=-F2 1=-4(kNm) C
F
Fb=q(a+b)2/2
b=2a
F=2.25qa
例 简支梁在跨中受集中载荷F =30kN，l=8m，[σ]=120 MPa。 （1）试为梁选择工字钢型号。 （ 2 ）当提高为 40kN 时，原工字钢型号不变，试问采 取什么措施使梁仍能满足强度条件
F F
Fl 4
F (l - a ) 4
1）合理安排支承：
各截面中最大切应力：
max
矩形：k=3/2
Fs k A
圆形：k=4/3
工字形：k=1
最大切应力统一公式：
max
* F s max S z max
I zb
四、切应力强度条件
max [ ]
max
* F s max S z max
I zb
[ ]
梁的强度条件小结 1. 应力公式：
ql2/8
x
MII
MI
x 最佳：
3 2 2 2 2 1 ql 0.02145 ql 2 l 0.2071l M I M II 8 2
x 0.2l M I
1 2 ql 0.025 ql 2 40 M原
M II
1 2 ql 0.02 ql 2 50
1 2 ql 0.125 ql 2 8
铸铁：[σc]>[σt] 用T形截面 注意：如何放置
等强度梁的概念: 使各截面σmax=[σ]，变截面梁W(x)
max
M ( x) [ ] W ( x)
M ( x) W ( x) [ ]
Fs A
A——腹板的面积
2. 翼缘板中的切应力 （ 1 ）由于上、下自由表面没有 ，而且翼缘很薄壁， 平行FS的剪应力就是有，也一定很小 ； （2）平行翼缘长边的切应力是主要的，但最大切应力 小于腹板上的最大切应力，所以一般不求。
FS
的方向改变象连通管里的液流一样，称之为“剪流” 。
My 正应力： Iz
M 最大值在距中 max 性轴最远处: W
剪应力：
* Fs S z
I zb
Fs 最大值在 max k 中性轴处: A
2. 危险截面： 对于正应力σ：
i） Mmax处， ii）截面突然变化处
iii） 铸铁：正负Mmax处 对于剪应力τ： i） Fsmax处， ii）截面突然变化处
例 : 当 20号槽钢受纯弯曲变形时，测出 A、 B两点间 长度的改变为 Δl=27×10¯3mm ，材料的 E=200GPa 。 试求梁截面上的弯矩M。
50 M 5 M y0
y0=1.95cm
I=144cm4
y=1.45cm
ε=Δl/l=0.54 ×10－3 M=10.7kNm
My E I
2）分散载荷：
F F/l F
l/2
l Pl/4
l
Pl/8
l Fl/8
Fl/8
3）载荷靠近支座：
F
l/6 5l/6
5Fl/36
1）提高W/A 由表5.1可查得不同截面的W/A，从正 应力考虑，相同高度，材料远离中性 轴为好。 2）利用材料拉压强度不同的特性
t max y1 [ t ] c max y2 [ c ]
z 轴通过形心——中性轴过形心
M ydA E y 2 dA EI z /
1 M EI z
My EI z
My Iz
E E M y z dA yzdA I yz 0 ——y为主惯轴
总结：
• 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
o
a b M
• 纵向纤维间无正应力
c d
§5.2 纯弯曲时的正应力
• 建立坐标系： x轴——轴线
y轴——对称轴（向下） z轴——中性轴（未定） 设 ρ——中性层的曲率半径 （未定）
Me
• 推导
1）变形几何关系： 变形前：
bb dx oo oo d
变形后： bb ( 应变：
二、工字截面梁的剪应力 1. 腹板的剪应力
d
h
腹板 d
y