补充例题
第五节特殊交易在合并财务报表中的会计处理【补充例题】【2016·综合题】甲公司为境内上市公司，专门从事能源生产业务。
2×15年，甲公司发生的企业合并及相关交易或事项如下：（1）2×15年2月20日，甲公司召开董事会，审议通过了以换股方式购买专门从事新能源开发业务的乙公司80%股权的议案。
2×15年3月10日，甲公司、乙公司及其控股股东丙公司各自内部决策机构批准了该项交易方案。
2×15年6月18日，证券监管机构核准了甲公司以换股方式购买乙公司80%股权的方案。
2×15年6月30日，甲公司以3：1的比例向丙公司发行6 000万股普通股，取得乙公司80%股权，有关股份登记和股东变更手续当日完成；同日，甲公司、乙公司的董事会进行了改选，丙公司开始控制甲公司，甲公司开始控制乙公司。
甲公司、乙公司普通股每股面值均为1元，2×15年6月30日，甲公司普通股的公允价值为每股3元，乙公司普通股的公允价值为每股9元。
2×15年7月16日，甲公司支付为实施上述换股合并而发生的会计师、律师、评估师等费用350万元，支付财务顾问费1 200万元。
【手写板】（2）甲公司、乙公司资产、负债等情况如下：2×15年6月30日，甲公司账面资产总额17 200万元，其中固定资产账面价值4 500万元，无形资产账面价值1 500万元；账面负债总额9 000万元；账面所有者权益（股东权益）合计8 200万元，其中：股本5 000万元（每股面值1元），资本公积1200万元，盈余公积600万元，未分配利润1 400万元。
2×15年6月30日，甲公司除一项无形资产外，其他资产、负债的公允价值与其账面价值相同，该无形资产为一项商标权，账面价值1 000万元，公允价值3 000万元，按直线法摊销，预计尚可使用5年，预计净残值为零。
2×15年6月30日，乙公司账面资产总额34 400万元，其中固定资产账面价值8 000万元，无形资产账面价值3 500万元；账面负债总额13 400万元；账面所有者权益（股东权益）合计21 000万元，其中，股本2 500万元（每股面值1元），资本公积500万元，盈余公积1 800万元，未分配利润16 200万元。
2×15年6月30日，乙公司除一项固定资产外，其他资产、负债的公允价值与其账面价值相同，该固定资产为一栋办公楼，账面价值3 500万元，公允价值6 000万元，按年限平均法计提折旧，预计尚可使用20年，预计净残值为零。
其他有关资料如下：合并前，丙公司、丁公司分别持有乙公司80%和20%股权，甲公司与乙公司、丙公司、丁公司不存在任何关联方联系；甲公司和乙公司均按照年度净利润的10%计提法定盈余公积，不计提任意盈余公积。
企业合并后，甲公司和乙公司没有向股东分配利润。
甲公司和乙公司适用的企业所得税税率均为25%。
甲公司以换股方式购买乙公司80%股权的交易适用特殊税务处理规定，即，收购企业、被收购企业的原有各项资产和负债的计税基础保持不变，甲公司和乙公司合并前的各项资产、负债的账面价值与其计税基础相同，不存在其他未确认暂时性差异所得税影响的事项。
甲公司和乙公司预计未来年度均有足够的应纳税所得额用以抵扣暂时性差异。
除所得税外，不考虑增值税及其他相关税费，不考虑其他因素。
要求：（1）根据资料（1）、资料（2）及其他相关资料，判断该项企业合并的类型及会计上的购买方和被购买方，并说明理由。
（2）根据资料（1）、资料（2）及其他相关资料，确定该项企业合并的购买日（或合并日），并说明理由。
（3）根据资料（1）、资料（2）及其他相关资料，计算甲公司取得乙公司80%股权投资成本，并编制相关会计分录。
（4）根据资料（1）、资料（2）及其他相关资料，计算该项企业合并的合并成本和商誉（如有）。
（5）根据资料（1）、资料（2）及其他相关资料，计算甲公司购买日（或合并日）合并资产负债表中固定资产、无形资产、递延所得税资产（或负债）、盈余公积和未分配利润的列报金额。
【答案】（1）合并类型：反向购买。
会计上的购买方：乙公司；被购买方：甲公司。
理由：2×15年6月30日，甲公司以3：1的比例向丙公司发行6000万股普通股，取得乙公司80%股权，有关股份登记和股东变更手续当日完成；同日，甲公司、乙公司的董事会进行了改选，丙公司开始控制甲公司，甲公司开始控制乙公司，构成反向购买。
（2）购买日：2×15年6月30日。
理由：2×15年6月30日，甲公司以3：1的比例向丙公司发行6000万股普通股，取得乙公司80%股权，有关股份登记和股东变更手续当日完成；甲公司、乙公司的董事会进行了改选。
实质上购买方取得对被购买方的控制权。
（3）甲公司取得乙公司80%股权投资的成本=6 000×3=18 000（万元）。
相关会计分录为：借：长期股权投资18 000贷：股本 6 000资本公积——股本溢价12 000借：管理费用 1 550贷：银行存款 1 550（4）合并成本：企业合并后，乙公司原股东丙公司持有甲公司的股权比例为：6 000/（6 000+5 000）=54.55%；假定乙公司发行本公司普通股对甲公司进行企业合并，在合并后主体享有同样的股权比例，乙公司应当发行的普通股股数为2 500×80%/54.55%-2 500×80%=1 666.67（万股）或5 000/3=1 666.67（股）。
企业合并成本=1 666.67×9=15 000（万元）。
企业合并商誉=15 000-（8 200+2000×75%）=5 300（万元）。
（5）固定资产的列报金额=4 500+8000=12 500（万元）无形资产的列报金额=[1 500+（3 000-1 000）]+3 500=7 000（万元）递延所得税负债的列报金额=（3 000-1 000）×25%=500（万元）盈余公积的列报金额=600+1 800×80%-600=1 440（万元）未分配利润的列报金额=1 400+16 200×80%-1 400=12 960（万元）。
【2018·综合题】甲公司为一上市集团公司,持有乙公司80%股权,对其具有控制权；持有丙公司30%股权,能对其实施重大影响。
20×6年及20×7年发生的相关交易或事项如下；其他有关资料：第一，本题所涉销售或购买的价格是公允的，20×6年以前，甲公司与子公司以及子公司相互之间无集团内部交易，甲公司及其子公司与联营企业无关联方交易。
第二，甲公司及其子公司按照净利润的10%计提法定盈余公积，不计提任意盈余公积。
第三，甲公司及其子公司，联营企业在其个别财务报表中已按照企业会计准则的规定对上述交易或事项分别进行了会计处理。
第四，不考虑税费及其他因素（1）20×6年6月8日，甲公司将生产的一批汽车销售给乙公司,销售价格为600万元,汽车已交付乙公司,款项尚未收取。
该批汽车的成本为480万元，20×6年12月31日，甲公司对尚未收回的上述款项计提坏账准备30万元，20×7年9月2日，甲公司收到乙公司支付的上述款项600万元，乙公司将上述购入的汽车，作为行政管理部门的固定资产于当月投入使用，该批汽车采用年限平均法计提折旧，预计使用6年，预计无净残值。
（2）20×6年7月13日，丙公司将成本为400万元的商品以500万元的价格出售给甲公司，货物已交付，款项已收取，甲公司将上述购入的商品向集团外单位出售，其中50%商品在20×6年售完，其余50%商品的在20×7年售完。
在丙公司个别财务报表上，20×6年度实际的净利润为3 000万元；20×7年度实际的净利润为3 500万元。
（3）20×6年8月1日，甲公司以9 000万元的价格从非关联方购买丁公司70%股权，款项已用银行存款支付，丁公司股东的工商变更登记手续已办理完成。
购买日丁公司可辨认净资产的公允价值为12 000万元（含原未确认的无形资产公允价值1 200万元），除原未确认的无形资产外，其余各项可辨认资产、负债的公允价值与账面价值相同。
上述无形资产系一项商标权，采用直线法摊销，预计使用10年，预计无残值，甲公司根据企业会计准则的规定将购买日确定为20×6年8月1日。
丁公司20×6年8月1日个别资产负债表中列报的货币资金为3 500万元（全部为现金流量表中所定义的现金），列报的所有者权益总额为10 800万元，其中实收资本为10 000万元，盈余公积为80万元，未分配利润为720万元，在丁公司个别利润表中，20×6年8月1日起至12月31日止期间实际净利润180万元，20×7年度实际净利润400万元。
（4）20×7年1月1日，甲公司将专门用于出租办公楼租赁给乙公司使用，租赁期为5年，租赁期开始日为20×7年1月1日，年租金为50万元，于每年末支付，出租时，该办公楼的成本为600万元，已计提折旧400万元，甲公司对上述办公楼采用年限平均法计提折旧，预计使用30年，预计无净残值。
乙公司将上述租入的办公楼专门用于行政管理部门办公，20×7年12月31日，乙公司向甲公司支付每年租金50万元。
要求一，根据资料（2）计算甲公司在20×6年和20×7年个别财务报表中应确认的投资收益。
要求二，根据资料（3），计算甲公司购买丁公司的股权产生的商誉。
要求三，根据资料（3），说明甲公司支付的现金在20×6年度合并现金流量表中列报的项目名称，并计算该列报项目的金额。
要求四，根据资料（4），说明甲公司租赁给乙公司的办公楼在20×7年12月31日合并资产负债表中列报的项目名称，并陈述理由。
要求五，根据上述资料，说明甲公司在其20×6年度合并财务报表中应披露的关联方名称。
分别不同类别的关联方简述应披露的关联方信息。
要求六，根据上述资料，编制与甲公司20×7年度合并资产负债表和合并利润表相关的调整分录和抵消分录。
【答案】（1）甲公司20×6年个别报表中应确认投资收益=[3 000-（500-400）×（1-50%）]×30%=885（万元）；甲公司20×7年个别报表中应确认投资收益=[3 500+（500-400）×50%）]×30%=1 065（万元）。
补充例题-企业合并
企业合并【例2.1】A公司取得B公司100% 的股权比例，形成同一控制下的控股合并。
合并日B公司的资产、负债以及所有者权益情况如下表所示：【例】A、B公司分别为P公司控制下的两家子公司。
A公司于20×6年3月10日自母公司P处取得B公司l00%的股权，合并后B公司仍维持其独立法人资格继续经营。
为进行该项企业合并，A公司发行了1 500万股本公司普通股〔每股面值l元〕作为对价。
假定A、B公司采用的会计政策相同。
合并日，A公司及B公司的所有者权益构成如下：表1 单位：万元A公司在合并日应进行的会计处理为：【拓展】①在合并工作底稿中，应编制以下调整分录：借：资本公积30 000 000贷：盈余公积l0 000 000未分配利润20 000 000②在编制合并日合并资产负债表时编制的抵销分录：借：股本 1 500资本公积500盈余公积 1 000未分配利润 2 000贷：长期股权投资 5 000【例2.3】20X7年6月30日，P公司向S公司的股东定向增发1 000万股普通股〔每股面值为1元，市价为10.85元〕对S公司进行吸收合并，并于当日取得S公司净资产。
当日，P公司、S公司资产、负债情况如表2-1所示。
表2-1 资产负债表〔简表〕【例2.4】A公司取得B公司100% 的股权比例，形成非同一控制下的控股合并。
购买日B【例2.5】20X7年1月1日，P公司收购了S公司的全部资产，并承担S公司的全部负债。
假定P公司和S公司的合并属于非同一控制下的企业合并。
S公司20X7年1月1日的资产和负债的账面价值和公允价值见下表。
S公司的资产和负债的账面价值和公允价值〔1〕假定P公司以支付现金800 000元、发行普通股100 000股的方式换取S公司的净资产，P公司普通股每股账面价值为10元，每股市价为20元。
P公司以现金支付发行股票发生的手续费、佣金100 000元，合并过程中发生审计费用100 000元，法律服务费50 000元。
电学—补充例题
例3：如图所示电路，电源电压 保持不变，当滑动变阻器的滑 片向右滑动时，电压表V1示数 ，电压表V2示数 ，电流表示数 。（“变大”、 “变小”、“不变”） 例4：如图所示电路，电源电压 保持不变，当滑动变阻器的滑 片向左滑动时，电压表示数 ，电流表示数 。（“变大”、 “变小”、“不变”）
例5：如下图是甲、乙两个电阻的电流 I与电压U的关系图象，将它们并连接 入电路，下列说法正确的是（ ） A．通过甲的电流大于通过乙的电流 B．通过甲的电流小于通过乙的电流 C．甲、乙并联的总电阻随它们两端 电压的升高而减小 D．甲、乙并联的总电阻随它们两端 电压的升高而增大 例6：常温下，两条长度相等．横截面积不同的同 种材料制成的电阻丝，粗电阻丝的电阻 细电 阻丝的电阻；把它们并联在电路中，通过粗电阻 丝的电流 通过细电阻丝的电流．（选填“大 于”、“等于”或“小于”）
例9：在图3 所示的电路中，电源电压为 12V，滑动变阻器R1的滑片在滑动变阻器 中间。闭合开关后，电流表的示数为 0.4A，电压表的示数为8V，则电阻R2的 阻值是。将滑动变阻器R1的滑 片向左移动，电压表的示数将变， 电压表的示数为。 例10：如图是利用滑动变阻器控制电流的 电路，其中电阻R为100欧姆，它与滑动变 阻器串联在电路中，通过电阻R的电流可 在10毫安～100毫安范围内调节。 (1)、选用电源的电压应为多大？ （2）、变阻器的总电阻为多大？额定电流 至少要多大？ （3）、上述电路能否使电阻R两端的电压 调为零？请说明理由。
例1：如图所示，电源电压 3V，当滑动变阻器在最左端 时，电流表示数为0.3A ；当 滑动变阻器在最右端时，电 流表示数为0.1A ，求灯泡电 阻和滑动变阻器的最大阻值。
例2：如图所示电路，电源电压 保持不变，当滑动变阻器的滑 片向右滑动时，电压表示数 ，电流表示数 。（“变大”、 “变小”、“不变”）
将竖式补充完整例题
选择题在竖式计算中，如果个位上的数相加满十，应该如何处理？A. 向十位进一B. 向百位进一C. 个位直接写结果，不考虑进位D. 放弃计算，重新列竖式A（正确答案）下列哪个竖式中的计算是错误的？A. 4523————68B. 7819————87（正确答案）C. 6721————88D. 5432————86在竖式减法中，如果被减数的个位小于减数的个位，应该如何处理？A. 从十位退一，个位加十再减B. 直接用个位减，不管结果是否为负C. 放弃计算，重新列竖式D. 个位直接写0，十位照减A（正确答案）下列哪个竖式中的计算是正确的？A. 9247————55（正确答案）B. 8329————64C. 7634————32D. 6128————43在进行竖式乘法时，乘数的哪一位与被乘数相乘，积的末位就应该与哪一位对齐？A. 乘数的个位B. 乘数的十位C. 乘数的当前位（正确答案）D. 乘数的最高位下列哪个竖式中的乘法计算是错误的？A. 12x 3————36B. 24x 2————48C. 43x 5————205（正确答案）D. 11x 9————99在进行竖式除法时，如果除到被除数的某一位不够除，应该如何处理？A. 在这一位上写0，然后继续除下一位B. 放弃计算，说明不能整除C. 在这一位上商1，然后余数与被除数的下一位合成新的被除数继续除D. 在这一位上直接写余数，然后继续除下一位A（正确答案）下列哪个竖式中的除法计算是正确的？A. 48 ÷ 6 = 8（正确答案）B. 55 ÷ 7 = 8C. 32 ÷ 4 = 7D. 72 ÷ 9 = 7在竖式计算中，如果需要借位，通常是从哪一位借？A. 从个位向十位借B. 从十位向百位借C. 从高位向低位借（正确答案，通常是从十位向个位借）D. 从低位向高位借。
关税补充例题及作业答案
⏹例1：上海某进出口公司从美国进口货物一批，货物以离岸价格成交，成交价折合人民币为1410万元（包括单独计价并经海关审查属实的，向境外采购代理人支付的买方佣金10万元，但不包括使用该货物而向境外支付的软件费50万元、向卖方支付的佣金15万元），另支付货物运抵我国上海港的运费、保险费等35万元。
假设该货物适用关税税率为20%，增值税税率为17%，消费税税率为10%。
⏹要求：请分别计算该公司应纳关税、增值税、消费税。
1）关税完税价格=1410-10+50+15+35=1500万元2）进口关税=1500*20%=300万元3）组成计税价格=（1500+300）/（1-10%）= 2000万元4）进口应纳增值税=2000*17%=340万元5）进口应纳消费税=2000*10%=200万元⏹例2：某企业海运进口一批银首饰，海关审定货价折人民币6970万元，运保费无法确定，海关按同类货物同程运输费估定运费折价人民币9.06万元，该批货物进口关税税率为15%。
⏹要求：请计算进口环节应纳税金。
1）按海关有关法规规定：如果进口货物运费无法确定或未实际发生，海关应按照运输行业公布的运费率计算运费，并按照（货价+运费）×3‰计算保险费。
运费=9.06万元保险费=（6970+9.06）*3‰=20.94万元2）关税完税价格=6970+9.06+20.94=7000万元3）关税=7000*15%=1050万元4）组成计税价格=7000+1050=8050万元5）进口应纳增值税=8050*17%=1368.5万元⏹进口关税由海关负责征收，纳税人应在海关填发税款缴款书之日起15日内向指定银行缴纳税款；⏹进口环节增值税由海关代征，纳税人应在海关填发税款缴款书之日起15日内向指定银行缴纳税款。
⏹例3：某公司进口货物一批，CIF（到岸价格）成交价格为人民币600万元，含单独计价并经海关审核属实的进口后装配调试费用30万元，该货物进口关税税率为10%，海关填发税款缴款书日期为2007年1月10日，该公司于1月25日缴纳税款。
关税补充例题及作业答案
⏹例1：某进出口公司从美国进口货物一批，货物以离岸价格成交，成交价折合人民币为1410万元（包括单独计价并经海关审查属实的，向境外采购代理人支付的买方佣金10万元，但不包括使用该货物而向境外支付的软件费50万元、向卖方支付的佣金15万元），另支付货物运抵我国港的运费、保险费等35万元。
假设该货物适用关税税率为20%，增值税税率为17%，消费税税率为10%。
⏹要求：请分别计算该公司应纳关税、增值税、消费税。
1）关税完税价格=1410-10+50+15+35=1500万元2）进口关税=1500*20%=300万元3）组成计税价格=（1500+300）/（1-10%）= 2000万元4）进口应纳增值税=2000*17%=340万元5）进口应纳消费税=2000*10%=200万元⏹例2：某企业海运进口一批银首饰，海关审定货价折人民币6970万元，运保费无法确定，海关按同类货物同程运输费估定运费折价人民币9.06万元，该批货物进口关税税率为15%。
⏹要求：请计算进口环节应纳税金。
1）按海关有关法规规定：如果进口货物运费无法确定或未实际发生，海关应按照运输行业公布的运费率计算运费，并按照（货价+运费）×3‰计算保险费。
运费=9.06万元保险费=（6970+9.06）*3‰=20.94万元2）关税完税价格=6970+9.06+20.94=7000万元3）关税=7000*15%=1050万元4）组成计税价格=7000+1050=8050万元5）进口应纳增值税=8050*17%=1368.5万元⏹进口关税由海关负责征收，纳税人应在海关填发税款缴款书之日起15日向指定银行缴纳税款；⏹进口环节增值税由海关代征，纳税人应在海关填发税款缴款书之日起15日向指定银行缴纳税款。
⏹例3：某公司进口货物一批，CIF（到岸价格）成交价格为人民币600万元，含单独计价并经海关审核属实的进口后装配调试费用30万元，该货物进口关税税率为10%，海关填发税款缴款书日期为2007年1月10日，该公司于1月25日缴纳税款。
《高等数学》(一)(2)补充例题及练习题
第八章 空间解析几何与向量代数（6学时）§8.1 向 量 及 其 线 性 运 算一、补充例题例1 已知向量)1,5,3(-=a ，)3,2,2(=b ，)3,1,4(--c，求c b a 432+-。
例2 在yOz 面上，求与三点)2,1,3(A 、)2,2,4(--B 和)1,5,0(C 等距离的点。
例3 已知两点)1,3,2(-A 和)0,2,1(-B ，求与方向相同的单位向量e。
例4 已知两点)2,1,1(-A 和)3,1,0(B ，计算向量的模、方向余弦和方向角。
例5 一向量的终点在点)7,1,2(-B ，它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，4-和7。
求这向量的起点A 的坐标。
二、练习1312-p 习题8-1 4，5，15，17§8.2 向量的数量积与向量积一、补充例题例1 已知j i a += ，k i b += ，求b a ⋅，∧),(cos b a 及a j bPr 。
例2 已知四点)1,2,2(A 、)2,1,0(B 、)1,1,1(C 、)2,3,3(D ，求AB j CDPr ，∧),(cos 。
例3 记)0,1,3(-=a，)1,2,1(-=b，求b a⨯。
例4 已知ABC ∆的三个顶点为)2,0,3(A ，)1,3,5(B ，)3,1,0(-C ，（1）求垂直于这个三角形所在平面的单位向量；（2）求ABC ∆的面积。
解 （1）因为a ⨯= 垂直于向量与，所以a是一个垂直于三角形ABC 所在平面的向量。
而)1,3,2(-=，)1,1,3(--=，所以k j i kj i a72113132++=---=⨯=。
63712222=++=a ，)7,1,2(631=a e。
所以垂直于三角形ABC 所在平面的单位向量为)7,1,2(631±。
（2）因为ABC ∆的面积S 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形面积的一半，所以6237122121222=++===a S 。
《数论》第一章补充例题
整除理论补充例题∗彭道意†September 27,2013整除性理论是初等数论的基础.本章要介绍带余数除法,辗转相除法,最大公约数,最小公倍数,算术基本定理以及它们的一些应用.1整数的整除性例1设A ={d 1,d 2,···,d k }是n 的所有约数的集合,则B ={n d 1,n d 2,···,n d k}也是n 的所有约数的集合.解由以下三点理由可以证得结论:(i)A 和B 的元素个数相同;(ii)若d i ∈A ,即d i |n,则n d i |n,反之亦然;(iii)若d i =d j ,则n d i =n d j .例2以d (n )表示n 的正约数的个数,例如:d (1)=1,d (2)=2,d (3)=2,d (4)=3,···.问:d (1)+d (2)+···+d (1997)是否为偶数?解对于n 的每个约数d ,有n =d ·n d ,因此,n 的正约数d 与n d 是成对地出现的.只有当d =n d ,即d =n 2时,d 和n d 才是同一个数.故当且仅当n 是完全平方数时,d (n )是奇数.因为442<1997<452,所以在d (1),d (2),···,d (1997)中恰有44个奇数,故d (1)+d (2)+···+d (1997)是偶数.问题d 2(1)+d 2(2)+···+d 2(1997)被4除的余数是多少?例3证明:存在无穷多个正整数a ,使得n 4+a (n =1,2,3,···)都是合数.∗例题中引用的定理或推论可以在教材相应处找到.本文仅供参考,不足与错误难免,请同学们批评指正!†Email:daoyi123@解取a=4k4,对任意的n∈N,有n4+4k4=(n2+2k2)2−4n2k2=(n2+2k2+2nk)(n2+2k2−2nk).由n2+2k2−2nk=(n−k)2+k2 k2,所以,对于任意的k=2,3,···以及任意的n∈N,n4+a是合数.例4设a1,a2,···,a n是整数,且n∑k=1a k=0,n∏k=1a k=n,则4|n.解如果2 n,则n,a1,a2,···,a n都是奇数.于是a1+a2+···+a n是奇数个奇数之和,不可能等于零,这与题设矛盾,所以2|n,即在a1,a2,···,a n中至少有一个偶数.如果只有一个偶数,不妨设为a1,那么2 a i(2 k n).此时有等式a2+···+a n=−a1,在上式中,左端是(n−1)个奇数之和,右端是偶数,这是不可能的,因此,在a1,a2,···,a n中至少有两个偶数,即4|n.例5若n是奇数,则8|n2−1.解设n=2k+1,则n2−1=(2k+1)2−1=4k(k+1),在k与k+1中有一个偶数,所以8|n2−1.2带余数除法例1设a,b,x,y是整数,k和m是正整数,并且a=a1m+r1,0 r1<m,b=b1m+r2,0 r2<m,则ax+by和ab被m除的余数分别与r1x+r2y和r1r2被m除的余数相同.特别地,a k与r k1被m除的余数相同.解由ax+by=(a1m+r1)x+(b1m+r2)y=(a1x+b1y)m+r1x+r2y可知,若r1x+r2y被m除的余数是r,即r1x+r2y=qm+r,0 r<m,则ax+by=(a1x+b1y+q)m+r,0 r<m,即ax+by被m除的余数也是r.例2设a1,a2,···,a n为不全为零的整数,以y0表示集合A={y|y=a1x1+···+a n x n,x i∈Z,1 i n}中的最小正数,则对任何的y∈A,y0|y;特别地,y0|a i,1 i n.解设y0=a1x′1+···+a n x′n,∀y∈A,由带余除法,∃q,r0∈Z,使得y=qy0+r0,0 r0<y0.因此r0=y−qy0=a1(x1−qx′1)+···+a n(x n−qx′n)∈A.如果r0=0,那么,因为0<r0<y0,所以r0是A中比y0还小的正数,这与y0的定义矛盾.所以r0=0,即y0|y.显然a i∈A(1 i n),所以y0整除每个a i(1 i n).例3任意给出的五个整数中,必有三个数之和被3整除.解设这五个数是a i,i=1,2,3,4,5,记a i=3q i+r i,0 r i<3,i=1,2,3,4,5.分别考虑以下两种情形:(i)若r1,r2,···,r5中数0,1,2都出现,不妨设r1=0,r2=1,r3=2,此时a1+a2+a3=3(q1+q2+q3)+3可以被3整除;(ii)若r1,r2,···,r5中数0,1,2至少有一个不出现,这样至少有三个r i要取相同的值,不妨设r1,r2,r3=r(r=0,1或2),此时a1+a2+a3=3(q1+q2+q3)+3r可以被3整除.例4设a0,a1,···,a n∈Z,f(x)=a n x n+···+a1x+a0,已知f(0)与f(1)都不是3的倍数,证明:若方程f(x)=0有整数解,则3|f(−1)=a0−a1+a2−···+(−1)n a n.证对任意整数x,都有x=3q+r,r=0,1或2,q∈Z.(i)若r=0,即x=3q,q∈Z,则f(x)=f(3q)=a n(3q)n+···+a1(3q)+a0=3Q1+a0=3Q1+f(0),其中Q1∈Z,由于f(0)不是3的倍数,所以f(x)=0;(ii)若r=1,即x=3q+1,q∈Z,则f(x)=f(3q+1)=a n(3q+1)n+···+a1(3q+1)+a0=3Q2+a n+···+a1+a0=3Q2+f(1),其中Q2∈Z.由于f(1)不是3的倍数,所以f(x)=0.因此若f(x)=0有整数解x,则必是x=3q+2=3q′−1,q′∈Z,于是0=f(x)=f(3q′−1)=a n(3q′−1)n+···+a1(3q′−1)+a0=3Q3+a0−a1+a2−···+(−1)n a n.其中Q3∈Z.所以3|f(−1)=a0−a1+a2−···+(−1)n a n.例5设n是奇数,则16|n4+4n2+11.证我们有n4+4n2+11=(n2−1)(n2+5)+16.由上节例题知道,8|n2−1,由此及2|n2+5得到16|(n2−1)(n2+5).例6证明:若a被9除的余数是3,4,5或6,则方程x3+y3=a没有整数解.证∀x,y∈Z,记x=3q1+r1,y=3q2+r2,0 r1,r2<3.则存在Q1,R1,Q2,R2∈Z,使得x3=9Q1+R1,y3=9Q2+R2,其中R1和R2被9除的余数分别与r31和r32被9除的余数相同,即R1=0,1或8,R2=0,1或8.因此x3+y3=9(Q1+Q2)+R1+R2.(2.1)又由式(2.1)可知,R1+R2被9除的余数只可能是0,1,2,7或8,所以,x3+y3不可能等于a.例7证明:方程a21+a22+a23=1999(2.2)无整数解.证若a1,a2,a3都是奇数,则存在整数A1,A2,A3,使得a21=8A1+1,a22=8A2+1,a23=8A3+1,于是a21+a22+a23=8(A1+A2+A3)+3.由于1999被8除的余数是7,所以a1为奇数.由式(2.2),a1,a2,a3中只有一个奇数,设a1为奇数,a2,a3为偶数,则存在整数A1,A2,A3,使得a21=8A1+1,a22=8A2+r,a23=8A3+s,于是a21+a22+a23=8(A1+A2+A3)+1+r+s,其中r和s是整数,而且只能取值0或4.这样a21+a22+a23被8除的余数只可能是1或5,但1999被8除的余数是7,所以这样的a1,a2,a3也不能使式(2.2)成立.3最大公约数例1(105,140,350)=(105,(140,350))=(105,70)=35.例2证明:若n是正整数,则21n+414n+3是既约分数.证由辗转相除法得到(21n+4,14n+3)=(7n+1,14n+3)=(7n+1,1)=1. 4辗转相除法例1用辗转相除法求(125,17),以及x,y,使得125x+17y=(125,17).解作辗转相除法:125=7×17+6,q1=7,r1=6,17=2×6+5,q2=2,r2=5,6=1×5+1,q3=1,r3=1,5=5×1,q4=5.由推论1.1,(125,17)=r3=1.利用定理1计算(这里n=3)P0=1,P1=7,P2=2·7+1=15,P3=1·15+7=22,Q0=0,Q1=1,Q2=2·1+0=2,Q3=1·2+1=3,取x=(−1)3−1Q3=3,y=(−1)3P3=−22,则125·3+17·(−22)=(125,17)=1.例2在m个盒子中放若干个硬币,然后以下述方式往这些盒子里继续放硬币:每一次在n(n<m)个盒子中各放一个硬币.证明:若(m,n)=1,那么无论开始时每个盒子中有多少个硬币,经过若干次放硬币后,总可使所有盒子含有同样数量的硬币.证由于(m,n)=1,所以存在整数x,y,使得mx+ny=1.因此对于任意的自然数k,有1+m(−x+kn)=n(km+y),这样,当k充分大时,总可找出正整数x0,y0,使得1+mx0=ny0.上式说明,如果放y0次(每次放n个),那么在使m个盒子中各放x0个后,还多出一个硬币.把这个硬币放入含硬币最少的盒子中(这是可以做到的),就使它与含有最多硬币的盒子所含硬币数量之差减少1.因此经过若干次放硬币后,必可使所有盒子中的硬币数量相同.5素数与算术基本定理例1写出51480的标准分解式.解我们有51480=2·25740=22·12870=23·6435=23·5·1287=23·5·3·429=23·5·32·143=23·32·5·11·13.例2设a,b,c是整数,证明:(i)(a,b)[a,b]=ab;(ii)(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)].证为了叙述方便,不妨假定a,b,c是正整数.(i)设a=pα11pα22···pαk k,b=pβ11pβ22···pβk k,其中p1,p2,···,p k是互不相同的素数,αi,βi(1 i k)都是非负整数.由推论3.3,有(a,b)=pλ11pλ22···pλk k,λi=min{αi,βi},1 i k,[a,b]=pµ11pµ22···pµk k,µi=max{αi,βi},1 i k.由此知(a,b)[a,b]=k∏i=1pλi+µii=k∏i=1p min{αi,βi}+max{αi,βi}i=k∏i=1pαi+βii=ab;(ii)设a=k∏i=1pαii,b=k∏i=1pβii,c=k∏i=1pγii,其中p1,p2,···,p k是互不相同的素数,αi,βi,γi(1 i k)都是非负整数.由推论3.3,有(a,[b,c])=k∏i=1pλii,[(a,b),(a,c)]=k∏i=1pµii,其中,对于1 i k,有λi=min{αi,max{βi,γi}},µi=max{min{αi,βi},min{αi,γi}},不妨设βi γi,则min{αi,βi} min{αi,γi},所以µi=min{αi,γi}=λi,即(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)].。
应用随机过程第1章补充例题及作业
例 3 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为：
e x f ( x, y ) 0
（1）问变量 X 与 Y 是否相互独立？ （2）求条件分布密度函数 fY | X ( y | x) ； （3）计算条件期望 E (Y | X ) 。
0 y x other
Y 0 1 2
X
0 0.25 0.05 0.05
10 0.05 0.15 0.10
20 0.05 0.05 0.25
（1）研究吸烟数量多与健康状态差有无关联？要求利用条件分布说明； （2） 研究每天吸 x 支烟 （x = 0,10,20） 的人的平均健康状态值， 并写出条件期望 E (Y | X ) 的分布律。 5. 已知 X
N (0,1) ，U 与 X 相互独立， P{U 0} P{U 1}
1 ，令 2
X Y X
证明： Y
U 0 U 1
。
N (0,1) ，但 ( X , Y ) 不服从二维正态分布。
isX itY
注：( X , Y ) 的二维特征函数为： XY ( s, t ) E (e 为： (t ) exp(i t
1 2
1
（3）计算 E ( X | X Y n) 。 ) 的二项分布。
4. 为研究吸烟与身体健康之间的关系，以 X 表示每人每天吸烟的数量，分为 3 类：0 支、10 支和 20 支；以 Y 表示人的健康状态，分为 3 等：好、中、差，分别表示为 Y=0、Y=1 和 Y=2。在某地区随机抽样调查得到 X 与 Y 的联合分布如下表所示。
1/ 2 1/ 6 1/ 3
2 / 6 1/ 3 0
则有：Y (Y1 , Y2 , Y3 ) K ( X1 , X 2 , X 3 ) KX ，其中 X ( X1 , X 2 , X 3 ) 是三维正态随 机变量。而正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量，即 Y (Y1,Y2,Y3) 是三维正态随机 变量，其均值向量与协方差矩阵为： Y K X (0,0,0) ， Y K Y K I 。 所以有 Y1 , Y2 , Y3 相互独立并且都服从标准正态分布。 例 5 假设 E ( X | Y ) EX ，证明随机变量 X 与 Y 不相关。
财务管理第二章课后补充习题及课堂例题及答案(学生版)
第二章财务管理的价值观念课后补充计算题：1、某人希望以8%的年利率，按每半年付款一次的方式，在3年内等额偿还现有的6 000元债务，问每次应偿还多少?2、一农户购置了一台新收割机，他估计新机器头两年不需要维修，从第3年末开始的10年中，每年需支付200元维修费，若折现率为3%，问10年维修费的现值为多少?3、某人在2000年1月1日存入银行1000元，年利率为10%。
要求计算：（1）每年复利一次，2003年1月1日存款账户余额是多少？（2）每季度复利一次，2003年1月1日存款账户余额是多少？（3）若1000元，分别在2000年、2001年、2002年和2003年1月1日存入250元，仍按10%利率，每年复利一次，求2003年1月1日余额？（4）假定分4年存入相等金额，为了达到第一问所得到的账户余额，每期应存入多少金额？（5）假定第三问为每季度复利一次，2003年1月1日余额是多少？（6）假定第四问改为每季度复利一次，每年应存入多少金额？4、某人拟明年年初借款42000元，从明年年末开始，每年年末还本付息6000元，连续10年还清，设预定最低借款利率为8%，问此人是否能按计划借到款项？5、有人在今后五年中每年末借给你2 500元，要求你在随后的10年中，每年末归还2 500元于他，若年利率为5%，问你是否接受这笔借款?6、某工商管理研究生计划从银行借款10 000元，利率12%，半年计息一次。
这笔借款在四年内分期等额摊还，每半年还款一次。
第一次还款是从今天起的6个月后，问：（1）贷款的实际年利率是多少？（2）计算每半年应付的偿还额。
（3）计算第二个半年所付的本金和利息。
7、某公司准备投资开发新产品，现有三个方案可供选择。
根据市场预测，三种不同市场状况的预计年报酬率如下表：试计算投资开发各种新产品的风险大小。
8、某公司去年支付的股利为每股1元，一位投资者预计公司股利按固定比率5%增长，该公司股票的β系数为 1.5，无风险利率为8% ，所有股票的平均报酬率为15%。
苏教版六年级上册数学补充习题答案
苏教版六年级上册数学补充习题答案第一章数与式1. 小数的加法和减法1.1 加法•例题1: 0.3 + 0.6 = 0.91.2 减法•例题2: 1.2 - 0.7 = 0.52. 分数2.1 分数的大小比较•例题1: 比较大小：1/3 ___ 1/2–答案：1/3 < 1/22.2 分数的加法和减法•例题2: 1/4 + 1/3 = 7/123. 乘法和除法3.1 乘法•例题1: 2.5 × 3 = 7.53.2 除法•例题2: 3.6 ÷ 1.2 = 3第二章数量关系1. 分组与配对1.1 分组问题•例题1: 有24个小朋友，分成4组，每组有几个？–答案：每组有6个小朋友。
1.2 配对问题•例题2: 有18支铅笔，可以配对几次？–答案：可以配对9次。
2. 比例与倍数2.1 比例•例题1: 如果2本书的价格是15元，4本书的价格是多少？–答案：4本书的价格是30元。
2.2 倍数•例题2: 6是12的几倍？–答案：6是12的1/2倍。
第三章几何图形1. 角与三角形1.1 角的分类•例题1: 判断角的大小：锐角、直角、钝角–答案：锐角 < 直角 < 钝角1.2 三角形的特性•例题2: 判断三角形的类型：等边三角形、等腰三角形、直角三角形–答案：等边三角形、等腰三角形、直角三角形2. 线段与圆2.1 线段的概念•例题1: 判断线段AB与线段CD的长度大小：AB > CD–答案：AB的长度大于CD2.2 圆的相关知识•例题2: 判断圆O与圆P的大小关系：O包围P–答案：圆O包围圆P第四章数据与图表1. 统计与概率1.1 数据的收集和整理•例题1: 将以下数据按升序排列：5, 8, 1, 3, 7–答案：1, 3, 5, 7, 81.2 概率的计算•例题2: 掷一枚骰子，统计点数为6的概率是多少？–答案：点数为6的概率是1/62. 图表的分析与应用2.1 条形图与折线图•例题1: 根据以下数据，绘制条形图或折线图：–数据：A: 10, B: 15, C: 8, D: 12–答案：（根据题目提供的实际数据，绘制条形图或折线图）2.2 饼图与扇形图•例题2: 根据以下数据，绘制饼图或扇形图：–数据：A: 30%，B: 20%，C: 15%，D: 35%–答案：（根据题目提供的实际数据，绘制饼图或扇形图）以上是苏教版六年级上册数学的补充习题答案，希望对您的学习有所帮助！。