第1章补充例题

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《数论》第一章补充例题

《数论》第一章补充例题

《数论》第一章补充例题整除性理论是初等数论的基础.本章要介绍带余数除法,辗转相除法,最大公约数,最小公倍数,算术基本定理以及它们的一些应用.1整数的整除性例1设A={d1,d2,···,dk}是n的所有约数的集合,则}{nnn,,···,B=d1d2dk也是n的所有约数的集合.解由以下三点理由可以证得结论:(i)A和B的元素个数相同;(ii)若di∈A,即di|n,则(iii)若di=dj,则问:d(1)+d(2)+···+d(1997)是否为偶数?n解对于n的每个约数d,有n=d·n,因此,n的正约数d与是成对地出现的.只有n2当d=n,即d=n时,d和才是同一个数.故当且仅当n是完全平方数时,d(n)是奇数.nini|n,反之亦然;=nj.例2以d(n)表示n的正约数的个数,例如:d(1)=1,d(2)=2,d(3)=2,d(4)=3,···.因为442<1997<452,所以在d(1),d(2),···,d(1997)中恰有44个奇数,故d(1)+d(2)+···+d(1997)是偶数.问题d2(1)+d2(2)+···+d2(1997)被4除的余数是多少?例3证明:存在无穷多个正整数a,使得n4+a(n=1,2,3,···)都是合数.??例题中引用的定理或推论可以在教材相应处找到.1解取a=4k4,对任意的n∈N,有n4+4k4=(n2+2k2)2?4n2k2=(n2+2k2+2nk)(n2+2k2?2nk).由n2+2k2?2nk=(n?k)2+k2??k2,所以,对于任意的k=2,3,···以及任意的n∈N,n4+a是合数.例4设a1,a2,···,an是整数,且n∑k=1ak=0,n∏k=1ak=n,则4|n.解如果2??n,则n,a1,a2,···,an都是奇数.于是a1+a2+···+an是奇数个奇数之和,不可能等于零,这与题设矛盾,所以2|n,即在a1,a2,···,an中至少有一个偶数.如果只有一个偶数,不妨设为a1,那么2??ai(2??k??n).此时有等式a2+···+an=?a1,在上式中,左端是(n?1)个奇数之和,右端是偶数,这是不可能的,因此,在a1,a2,···,an 中至少有两个偶数,即4|n.例5若n是奇数,则8|n2?1.解设n=2k+1,则n2?1=(2k+1)2?1=4k(k+1),在k与k+1中有一个偶数,所以8|n2?1.2带余数除法例1设a,b,x,y是整数,k和m是正整数,并且a=a1m+r1,0??r1<m,b=b1m+r2,0??r2<m,则ax+by和ab被m除的余数分别与r1x+r2y和r1r2被m除的余数相同.特别地,ak与k被m 除的余数相同.r1解由ax+by=(a1m+r1)x+(b1m+r2)y=(a1x+b1y)m+r1x+r2y可知,若r1x+r2y被m除的余数是r,即r1x+r2y=qm+r,0??r<m,2则ax+by=(a1x+b1y+q)m+r,0??r<m,即ax+by被m除的余数也是r.例2设a1,a2,···,an为不全为零的整数,以y0表示集合A={y|y=a1x1+···+anxn,xi∈Z,1??i??n}中的最小正数,则对任何的y∈A,y0|y;特别地,y0|ai,1??i??n.′解设y0=a1x′1+···+anxn,?y∈A,由带余除法,?q,r0∈Z,使得y=qy0+r0,0??r0<y0.因此′r0=y?qy0=a1(x1?qx′1)+···+an(xn?qxn)∈A.如果r0=0,那么,因为0<r0<y0,所以r0是A中比y0还小的正数,这与y0的定义矛盾.所以r0=0,即y0|y.显然ai∈A(1??i??n),所以y0整除每个ai(1??i??n).例3任意给出的五个整数中,必有三个数之和被3整除.解设这五个数是ai,i=1,2,3,4,5,记ai=3qi+ri,0??ri<3,i=1,2,3,4,5.分别考虑以下两种情形:(i)若r1,r2,···,r5中数0,1,2都出现,不妨设r1=0,r2=1,r3=2,此时a1+a2+a3=3(q1+q2+q3)+3可以被3整除;(ii)若r1,r2,···,r5中数0,1,2至少有一个不出现,这样至少有三个ri要取相同的值,不妨设r1,r2,r3=r(r=0,1或2),此时a1+a2+a3=3(q1+q2+q3)+3r可以被3整除.例4设a0,a1,···,an∈Z,f(x)=anxn+···+a1x+a0,已知f(0)与f(1)都不是3的倍数,证明:若方程f(x)=0有整数解,则3|f(?1)=a0?a1+a2?···+(?1)nan.证对任意整数x,都有x=3q+r,r=0,1或2,q∈Z.(i)若r=0,即x=3q,q∈Z,则f(x)=f(3q)=an(3q)n+···+a1(3q)+a0=3Q1+a0=3Q1+f(0),3其中Q1∈Z,由于f(0)不是3的倍数,所以f(x)=0;(ii)若r=1,即x=3q+1,q∈Z,则f(x)=f(3q+1)=an(3q+1)n+···+a1(3q+1)+a0=3Q2+an+···+a1+a0=3Q2+f(1),其中Q2∈Z.由于f(1)不是3的倍数,所以f(x)=0.因此若f(x)=0有整数解x,则必是x=3q+2=3q′?1,q′∈Z,于是0=f(x)=f(3q′?1)=an(3q′?1)n+···+a1(3q′?1)+a0=3Q3+a0?a1+a2?···+(?1)nan.其中Q3∈Z.所以3|f(?1)=a0?a1+a2?···+(?1)nan.例5设n是奇数,则16|n4+4n2+11.证我们有n4+4n2+11=(n2?1)(n2+5)+16.由上节例题知道,8|n2?1,由此及2|n2+5得到16|(n2?1)(n2+5).例6证明:若a被9除的余数是3,4,5或6,则方程x3+y3=a没有整数解.证?x,y∈Z,记x=3q1+r1,y=3q2+r2,0??r1,r2<3.则存在Q1,R1,Q2,R2∈Z,使得x3=9Q1+R1,y3=9Q2+R2,3和r3被9除的余数相同,即其中R1和R2被9除的余数分别与r12R1=0,1或8,R2=0,1或8.因此x3+y3=9(Q1+Q2)+R1+R2.(2.1)又由式(2.1)可知,R1+R2被9除的余数只可能是0,1,2,7或8,所以,x3+y3不可能等于a .例7证明:方程22a21+a2+a3=1999(2.2)无整数解.证若a1,a2,a3都是奇数,则存在整数A1,A2,A3,使得22a21=8A1+1,a2=8A2+1,a3=8A3+1,于是22a21+a2+a3=8(A1+A2+A3)+3.4由于1999被8除的余数是7,所以a1为奇数.由式(2.2),a1,a2,a3中只有一个奇数,设a1为奇数,a2,a3为偶数,则存在整数A1,A2,A3,使得22a21=8A1+1,a2=8A2+r,a3=8A3+s,于是22a21+a2+a3=8(A1+A2+A3)+1+r+s,22其中r和s是整数,而且只能取值0或4.这样a21+a2+a3被8除的余数只可能是1或5, 但1999被8除的余数是7,所以这样的a1,a2,a3也不能使式(2.2)成立.3最大公约数例1(105,140,350)=(105,(140,350))=(105,70)=35.21n+4例2证明:若n是正整数,则是既约分数.14n+3证由辗转相除法得到(21n+4,14n+3)=(7n+1,14n+3)=(7n+1,1)=1.??4辗转相除法例1用辗转相除法求(125,17),以及x,y,使得125x+17y=(125,17).解作辗转相除法:125=7×17+6,17=2×6+5,6=1×5+1,5=5×1,q1=7,r1=6,q2=2,r2=5,q3=1,r3=1,q4=5.由推论1.1,(125,17)=r3=1.利用定理1计算(这里n=3)P0=1,P1=7,P2=2·7+1=15,P3=1·15+7=22,Q0=0,Q1=1,Q2=2·1+0=2,Q3=1·2+1=3,取x=(?1)3?1Q3=3,y=(?1)3P3=?22,则125·3+17·(?22)=(125,17)=1.例2在m个盒子中放若干个硬币,然后以下述方式往这些盒子里继续放硬币:每一次在n(n<m)个盒子中各放一个硬币.证明:若(m,n)=1,那么无论开始时每个盒子中有多少个硬币,经过若干次放硬币后,总可使所有盒子含有同样数量的硬币.5证由于(m,n)=1,所以存在整数x,y,使得mx+ny=1.因此对于任意的自然数k,有1+m(?x+kn)=n(km+y),这样,当k充分大时,总可找出正整数x0,y0,使得1+mx0=ny0.上式说明,如果放y0次(每次放n个),那么在使m个盒子中各放x0个后,还多出一个硬币.把这个硬币放入含硬币最少的盒子中(这是可以做到的),就使它与含有最多硬币的盒子所含硬币数量之差减少1.因此经过若干次放硬币后,必可使所有盒子中的硬币数量相同.5素数与算术基本定理例1写出51480的标准分解式.解我们有51480=2·25740=22·12870=23·6435=23·5·1287=23·5·3·429=23·5·32·143=23·32·5·11·13.例2设a,b,c是整数,证明:(i)(a,b)[a,b]=ab;(ii)(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)].证为了叙述方便,不妨假定a,b,c是正整数.(i)设a=pααβ11pα22···p1β2βkk,b=p1p2···pkk,其中p1,p2,···,pk是互不相同的素数,αi,βi(1??i??k)都是非负整数.由推论3.3,有(a,b)=pλ11pλ22···pλkk,λi=min{αi,βi},1??i??k,[a,b]=pμ11pμ22···pμkk,μi=max{αi,βi},1??i??k.由此知∏k(a,b)[a,b]=pλi+μi∏kαi=pmin{αi,βi}+max{αi,βi}∏ki=pii+βi=ab;i=1i=1i=1(ii)设a=∏kpα∏kii,b=∏kpβii,c=pγii,i=1i=1i=1其中p1,p2,···,pk是互不相同的素数,αi,βi,γi(1??i??k)都是非负整数.由推论3.3,有(a,[b,c])=∏kpλii,[(a,b),(a,c)]=∏kpμii,i=1i=16其中,对于1??i??k,有λi=min{αi,max{βi,γi}},μi=max{min{αi,βi},min{αi,γi}},不妨设βi??γi,则min{αi,βi}??min{αi,γi},所以μi=min{αi,γi}=λi,即(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)].7。

《流体力学与流体机械》计算题及答案

《流体力学与流体机械》计算题及答案

Q v1A1 v2 A2
Q
v2 A2
4
0.12
3
0.0234 m3
/
s
v1
4Q
d12
4 0.0234
0.152
1.3
3
6 m
/
s
编辑ppt
• 习题3-15 判断流动 ux = xy;uy = -xy 是否满足不可压缩流动的连续性条件 。 • 解: 因为 ux = xy;uy = -xy 与时间无关,所以流动定常,根据定常不可压微分形式连续方程,

图示为一轴流风机,已测得进口相对压力p1= -103 Pa,出口相对压力p2 = 150 Pa。设截面
1-2间压力损失 100Pa,求风机的全压P ( P为风机输送给单位体积气体的能量 ) 。
• 解:
p1
1
2
v12
z2
z1 ga
p
p2
2
2
v22
ghw
1000 0 p 150100
P 1250 Pa
第一章 流体及其物理性质

• 例1-2 相距为h=10 mm的两固定平板间充满动力粘度μ=1.49 Pa·s的甘油, 若两板间甘油的速度分布为u=4000y(h-y)

(1) 若上板的面积A=0.2 m2,求使上板固定不动所需的水平作用力F;

(2) 求y=h/3和2h/3处的内摩擦应力,
并说明正负号的意义。
有一圆桶,半径R=1m,高H=3.5m,桶内盛有高度h=2.5m的水。圆桶绕中心
轴匀速旋转。问水恰好开始溢出时,转速ω为多少?而此时距中心线r=0.4m处桶底 面上A点的压力是多少?
• 解:(1) 求旋转速度ω

新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题

新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题

新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题本文介绍了八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》的知识点及典型例题。

其中,三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形;按边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。

文章还介绍了三角形的内角和定理、角平分线、重要线段中线和高线的定义、命题和证明步骤。

此外,文章还讲解了全等三角形、尺规作图、线段垂直平分线和角平分线的性质,以及如何利用这些知识点计算角度和线段长度。

最后,文章列举了八个考点,包括判断三条线段能否组成三角形、求三角形的某一边长或周长的取值范围、证明三角形全等等。

例题部分也包括了两个问题的解答。

1、正确画出AC边上的高的是(C)。

2、工人师傅砌门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,这样做的根据是(B)三角形具有稳定性。

3、不能唯一作出直角三角形的是(C)已知一锐角及其邻边。

4、已知AD、BE、CF是△ABC的三条中线,相交于点O,设△BDO面积为1,则S△ABC=(6)。

5、在图中,由于AB=CD。

AD=BC,所以△ABO≌△CDO,△ABO与△CDO的对应顶点分别为AO和CO,所以全等三角形的对数为1,选项A。

6、根据中线定理可知,DF=EF=BF=AF=1/2AC,所以四边形DCEF是平行四边形,面积为AC的一半,即22.5cm,选项B。

7、根据角平分线定理可知,BP/PC=AB/AC,所以BP/AB=PC/AC,由此可得△BPC与△ABC相似,所以∠BPC=2∠A,选项A。

8、由于BD是BC边上的垂直平分线,所以BD=DC=4,由勾股定理可得AD=3,所以AB=5,所以ΔABD的周长为12,选项D。

9、将三角形按照图中的方式编号,可以发现只有第3块的形状与原来的三角形相同,所以应该带第3块去。

10、以B为顶点的外角为∠ABC=180°-∠A=130°,以C为顶点的外角为∠ACB=180°-∠A=130°,由于外角和等于360°,所以两个外角的平分线的夹角为130°/2=65°,选项A。

(完整版)经济法第一章习题有答案

(完整版)经济法第一章习题有答案

第一章总论习题第一单元法律基础一、法的本质与特征【例题1·多选题】关于法的本质与特征的下列表述中,正确的有()。

(2009年)A.法由统治阶级的物质生活条件所决定B.法体现的是统治阶级的整体意志和根本利益C.法是由国家制定或认可的行为规范 D。

法由国家强制力保障其实施【答案】ABCD【解析】(1)选项AB:属于法的本质;(2)选项CD:属于法的特征。

【例题2·多选题】根据我国法律制度的规定,法的特征包括()。

A.国家强制性B.国家意志性C.明确公开性 D。

规范性【答案】ABCD二、法律关系【例题1·单选题】下列公民中,视为完全民事行为能力人的是()。

(2017年)A.赵某,9岁,系某小学学生B。

王某,15岁,系某高级中学学生C。

张某,13岁,系某初级中学学生D.李某,17岁,系某宾馆服务员,以自己劳动收入为主要生活来源【答案】D【解析】16周岁以上的未成年人,以自己的劳动收入为主要生活来源的,视为完全民事行为能力人。

【例题2·多选题】下列各项中,属于法律关系客体的有()。

(2015年)A。

法人 B。

发明 C.行为 D.荣誉称号【答案】BCD【解析】选项A:属于法律关系的主体。

【例题3·多选题】下列可成为法律关系的客体的有()。

(2016年)A。

土地 B。

荣誉称号 C。

人民币 D.天然气【答案】ABCD【例题4·单选题】甲公司与乙公司签订买卖合同,向乙公司购买了一台设备,价款8万元,该买卖合同的法律关系的主体是().(2017年)A。

买卖合同 B.设备 C.8万元价款 D.甲公司与乙公司【答案】D【例题5·多选题】非物质财富可以成为法律关系的客体,下列各项中,属于非物质财富的有( )。

(2017年)A.著作B.嘉奖表彰C.发明D.荣誉称号【答案】ABCD三、法律事实、【例题1·单选题】下列各项中,会直接引起法律关系发生、变更、消灭的是()。

南开大学大学物理重点例题

南开大学大学物理重点例题

重点例题第一章·书中的例题1.1, 1.4(P.6;P.15)一质点作匀速圆周运动,半径为r,角速度为ω,·书中例题:1.2, 1.6(p.7;p.17)(重点)直杆AB两端可以分别在两固定且相互垂直的直导线槽上滑动,已知杆的倾角φ=ωt随时间变化,其中ω为常量。

求:杆中M点的运动学方程。

·习题指导P9. 1.4(重点)在湖中有一小船,岸边有人用绳子跨过一高处的滑轮拉船靠岸,当绳子以v 通过滑轮时, 求:船速比v 大还是比v 小? 若v 不变,船是否作匀速运动? 如果不是匀速运动,其加速度是多少?·书中例题1.3, 1.5, 1.7(p.7;p.16;p.18)已知:运动学方程:x = -0.31t 2+7.2t +28 y = 0.22t 2-9.1t +30 求:t =15s 时的位置矢量和方向。

·例题:已知:a =100-4t 2,且t =0时,v =0,x =0 求:速度v 和运动学方程x第二章·例题:飞机着陆时受到的阻力为F=-ct,(c为常数)且t=0时,v=v0。

求:飞机着陆时的速度。

·例题:(重点)质量为m的物体以速度v0投入粘性流体中,受到阻力f=-cv (c为常数)而减速,若物体不受其它力,求:物体的运动速度。

·例题:(重点)光滑的桌面上一质量为M,长为L的匀质链条,有极小一段被推出桌子边缘。

求:链条刚刚离开桌面时的速度。

·例:有一个小球通过一根细线挂在车顶,当车静止时小球铅直向下,当车以加速度a开动时与铅垂线夹角θ。

求:加速度与θ之间的关系。

典型例题·书中例题 2.9(p76 )(非质点问题的处理方法)试证明在圆柱形容器内,以匀角速度ω绕中心轴作匀速旋转的流体表面为旋转抛物面。

y·书中例题P82,例2.14 (变质量,变力问题)长为L质量为M的均匀柔绳,盘绕在光滑的水平面上,从静止开始,以恒定加速度a竖直向上提绳,当提起的高度为l时,作用在绳端力的大小是多少?当以恒定速度v竖直向上提绳,当提起的高度为l时,作用在绳端力的大小又是多少?第三章·书中例题3.1 (P.95)已知:F=6x;cosθ=0.70-0.02x求:质点从x1=10m到x2=20m过程中F所作的功。

高中化学必修一第一章物质及其变化知识总结例题(带答案)

高中化学必修一第一章物质及其变化知识总结例题(带答案)

高中化学必修一第一章物质及其变化知识总结例题单选题1、钛(Ti)被称为“生物金属”,由TiO 2制取Ti 的主要反应为:①TiO 2 + 2Cl 2 + 2C 高温TiCl 4 + 2CO ,②TiCl 4 + 2Mg 高温2MgCl 2 + Ti ,下列说法不正确的是A .反应①②都是氧化还原反应B .反应②是置换反应C .反应①中TiO 2是氧化剂D .反应②中每生成1 mol Ti 转移4 mol 电子 答案:CA .分析题干反应①②可知,两反应中均有元素的化合价发生改变,故都是氧化还原反应,A 正确;B .置换反应是指一种单质和一种化合物生成另一种单质和另一种化合物的反应,故反应②是置换反应,B 正确;C .经分析可知,反应①中TiO 2中Ti 和O 的化合价均没有发生改变,故TiO 2既不是氧化剂也不是还原剂,C 错误;D .反应②中Ti 的化合价由+4价变为0价,故每生成1 mol Ti 转移4 mol 电子,D 正确; 所以答案是:C 。

2、M 是一种可溶性结晶水合物,为了确定M 的组成,取少量M 溶于水配成容液进行如下实验:下列有关M 的推断正确的是A.由实验(1)(2)的现象知,M含Fe2+B.由实验(3)(4)的现象知,该气体显碱性C.由实验(6)的现象知,白色沉淀可能是BaCO3D.由上述实验推知,M可能是(NH4)2Fe(SO4)2⋅6H2O答案:A分析:实验(1)加入KSCN溶液无现象说明无Fe3+,实验(2)加入氯水溶液变红色,说明亚铁离子被氧化生成Fe3+,可推知M溶液含Fe2+;由实验(4)现象可知气体为NH3,说明M中含NH4+,由实验(5)和(6)现象说明M中含SO42-;A.实验(1)加入KSCN溶液无现象说明无Fe3+,实验(2)加入氯水溶液变红色,说明亚铁离子被氧化生成Fe3+,可推知M溶液含Fe2+,A正确;B.由实验(4)现象可知气体为NH3,氨气无碱性,是氨气溶于水得到氨水呈碱性,B错误;C.由实验(5)加入稀盐酸无现象,可排除M中不存在CO32−,根据(6)现象说明M中含SO42-,白色沉淀是BaSO4,C错误;D.由上述实验推知,M含有Fe2+、NH4+、SO42-,但无法确定结晶水的数目,D错误;故选:A。

《高等数学》(一)(2)补充例题及练习题

《高等数学》(一)(2)补充例题及练习题

第八章 空间解析几何与向量代数(6学时)§8.1 向 量 及 其 线 性 运 算一、补充例题例1 已知向量)1,5,3(-=a ,)3,2,2(=b ,)3,1,4(--c,求c b a 432+-。

例2 在yOz 面上,求与三点)2,1,3(A 、)2,2,4(--B 和)1,5,0(C 等距离的点。

例3 已知两点)1,3,2(-A 和)0,2,1(-B ,求与方向相同的单位向量e。

例4 已知两点)2,1,1(-A 和)3,1,0(B ,计算向量的模、方向余弦和方向角。

例5 一向量的终点在点)7,1,2(-B ,它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4,4-和7。

求这向量的起点A 的坐标。

二、练习1312-p 习题8-1 4,5,15,17§8.2 向量的数量积与向量积一、补充例题例1 已知j i a += ,k i b += ,求b a ⋅,∧),(cos b a 及a j bPr 。

例2 已知四点)1,2,2(A 、)2,1,0(B 、)1,1,1(C 、)2,3,3(D ,求AB j CDPr ,∧),(cos 。

例3 记)0,1,3(-=a,)1,2,1(-=b,求b a⨯。

例4 已知ABC ∆的三个顶点为)2,0,3(A ,)1,3,5(B ,)3,1,0(-C ,(1)求垂直于这个三角形所在平面的单位向量;(2)求ABC ∆的面积。

解 (1)因为a ⨯= 垂直于向量与,所以a是一个垂直于三角形ABC 所在平面的向量。

而)1,3,2(-=,)1,1,3(--=,所以k j i kj i a72113132++=---=⨯=。

63712222=++=a ,)7,1,2(631=a e。

所以垂直于三角形ABC 所在平面的单位向量为)7,1,2(631±。

(2)因为ABC ∆的面积S 是以AB ,AC 为邻边的平行四边形面积的一半,所以6237122121222=++===a S 。

应用随机过程第1章补充例题及作业

应用随机过程第1章补充例题及作业
第 1 章补充例题及作业
例 3 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为:
e x f ( x, y ) 0
(1)问变量 X 与 Y 是否相互独立? (2)求条件分布密度函数 fY | X ( y | x) ; (3)计算条件期望 E (Y | X ) 。
0 y x other
Y 0 1 2
X
0 0.25 0.05 0.05
10 0.05 0.15 0.10
20 0.05 0.05 0.25
(1)研究吸烟数量多与健康状态差有无关联?要求利用条件分布说明; (2) 研究每天吸 x 支烟 (x = 0,10,20) 的人的平均健康状态值, 并写出条件期望 E (Y | X ) 的分布律。 5. 已知 X
N (0,1) ,U 与 X 相互独立, P{U 0} P{U 1}
1 ,令 2
X Y X
证明: Y
U 0 U 1

N (0,1) ,但 ( X , Y ) 不服从二维正态分布。
isX itY
注:( X , Y ) 的二维特征函数为: XY ( s, t ) E (e 为: (t ) exp(i t
1 2
1
(3)计算 E ( X | X Y n) 。 ) 的二项分布。
4. 为研究吸烟与身体健康之间的关系,以 X 表示每人每天吸烟的数量,分为 3 类:0 支、10 支和 20 支;以 Y 表示人的健康状态,分为 3 等:好、中、差,分别表示为 Y=0、Y=1 和 Y=2。在某地区随机抽样调查得到 X 与 Y 的联合分布如下表所示。
1/ 2 1/ 6 1/ 3
2 / 6 1/ 3 0
则有:Y (Y1 , Y2 , Y3 ) K ( X1 , X 2 , X 3 ) KX ,其中 X ( X1 , X 2 , X 3 ) 是三维正态随 机变量。而正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量,即 Y (Y1,Y2,Y3) 是三维正态随机 变量,其均值向量与协方差矩阵为: Y K X (0,0,0) , Y K Y K I 。 所以有 Y1 , Y2 , Y3 相互独立并且都服从标准正态分布。 例 5 假设 E ( X | Y ) EX ,证明随机变量 X 与 Y 不相关。
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I1
1 R1 ( 3) 3 5V R1 1 4
e
( 4) 1 ( 3) 3 1 R 2 3 0 R2 10
在回路aecda中,利用KVL和欧姆定 律
图1.22
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基尔霍夫定律
求电压 u ed , u b d
[例1.1] 在图1.6(a)中,选c点为参考 点时,已知 V a 30 V , V b 5V , V d 10 V 求:(1)
U ab , U ad , U b c
(2)选择b点为参考点时,求其他 三点的电位值。

(1)
以C点为电位参考点
U ab Va Vb 30V 5V 25V
1.8(a)
U4 U5
I1
1
U1
4
I3
5
I2
解:
为负值的电压、电流,表明其实际 方向与参考方向相反。
U2
3
U3
2
电路图 1.8(b)标出了元件的实 际方向,电压也可以用箭头 表示极性由“+”指向“-”
(b)
U4
1.2 电路的基本物理量 功率 例1.3 利用图1.8(a)计算各功率: U
5
4
I1
5
I3
2、求开路电压
I1 20 10 8 10 0 . 556 m
U oc 15 . 56 V
返回
4-6 戴维南定理
a I 8K 8K
RO
10 8 10 8
4 . 45 K
+ + - -
10K 10K + + 12KV
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1.3 理想电路元件 理想电流源

计算图示电路各元件的功率。
i 解
2A
i iS 2A
5V
u
_
_
满足:P(发)=P(吸)
返回
+
+
u 5V
发出
P2 A iS u 2 5 10W
P V uS i 5 (2) 10 W 吸收 5
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1.4 例1.7
基尔霍夫定律 (KCL)
I 2 1A

图1.18中已知 I 6 4 A 求电流 I 1 ,
I 4 3A
I1
I2
I3
1
I4
I3 , I5
的值。
I6
[解] :
对节点1有KCL方程:
I1 I 6 I 4

2
I5
I1 I 4 I 6 3 4 1A I1 I 3 I 2
I2

P U1I1 20 (2)W 40W(提供) 1
U2
1
U1
3
2
U3
P U 2 I 2 14 1W 14W(提供 2
1.8(a)
P U 3 I 3 12 3W 36W(吸收) 3
P U 4 I1 8 (2)W 16W(吸收) 4
求各支路电流。
[解] : 首先设定各支路电流的参考方向 如图1.19所示,由于U U 10 V 根据欧姆定律,有
ab S


I1 I2
U ab R1 U ab R2

10
A 5A
图1.19 例1.8电路图
2 10 A 2A 5
由KCL,节点a的电流方程有
I1 I 2 I 3 0 I 3 I1 I 2 5A (2)A 7A
∵ U ab 25V ∴ U ab Va 0 Va 25V ∵ U ad Va Vd 40V ∴
V d V a 40 25V 40 V 15V
结论

U bc V b V c 0 V c 5V

V c 5V
电路中电位参考点可任意选择;参考点一经选定,电路中 各点的电位值就是唯一的;当选择不同的电位参考点时, 电路中各点电位值将改变,但任意两点间电压保持不变。
p ui 8 sin t 2 sin t 16 sin t W
2
从0到t期间电阻吸收的电能(W)为
W

t 0
1 1 2 p d 1 6 sin d 1 6 sin 2 0 4 2 0
t
t
8 t 4 sin 2 t J
返回
U ad Va Vd 30V (10V) 40V
U bc V b V c 5V 0 V 5V
图1.6(a)
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1.2 电路的基本物理量 电压

(2)
以b点为电位参考点 V 0 b
U ab Va Vb , 任意两点的电压不变
对封闭面有:
3
I 3 I 2 I1 1 1 0A ( ) ( )
对节点3有KCL方程
I5 I3 I6 I 5 I 6 4A
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1.4 例1.8
基尔霍夫定律 (KCL)
R2 5
R 在图1.19所示电路中, 1 2
U S 10 V
(2) u S1 10 V u S 2 5 V (3)
解:
u S1 2 0 co s t V
u S 2 1 5 sin 2 t V
求电压u
画出分电路图

u H 1u S 1 u H 2 u S 2 2 3 1 2 3 0 .5 2 0 .5
根据叠加定理得
isc i 2 i3 iS 2
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(2)再求 R o
( R1 R 2 ) R 3 R1 R 2 R 3
Ro
(3)画出诺顿等效电路
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【例1】 汽车照明用12V蓄电池来供60W车灯, 若蓄电池的额定值为 (安时),求蓄电池 kW h 的能量? 解: P / U 60 / 12 5A I 100 A h (安时)表明提供5A可使用20h,因 此储存能量为
W (60 20 60 60)J 4.32 10 J
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1.4
基尔霍夫定律
R1 , R 2
例1.10 在图1.22所示电路中, 求 [解] : 在节点a,利用KCL
和电压 u ed , u b d
I 1 5A ( 4)A 1A
在节点e,利用KCL

I 2 1A ( 4)A 3A

在回路becb中,利用KVL和欧姆定 律 a
PE 2 E 2 I 2 8 ( 1.25) W 10 W
(负值表示吸收功率,即电池充电)
1.2 电路的基本物理量 电压 4. 电位
为了分析的方便,常在电路 中选某一点为参考点,把任 一点到参考点的电压称为该 点的电位(potential), 参考点的电位一般选为零, 所以,参考点也称为零电位 点。
在假想回路ecde中,利用KVL和欧姆定律
u ed ( 3) 3 1 R
, ,
2
9 V 1 0 V 1V u b d 1 R u ed
1
1 4 V 1V 1 5 V
图1.22
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叠加定理的应用
已知
(1)
u S1 5V u S 2 1 0 V
- -
4、将待求支路接入等效电路, 由此电路计算待求量I
I a b
12K
3、求等效电阻
a
4.45K 8K Ro 10K
15.56V
+
I 15 . 56 4 . 45 12
0 . 946 m
b
例11
求图 (a)所示单口网络的诺顿等效电路。
解:
(1)先求 i s c
R1 R1 R 2 iS1 uS R3 iS 2
U bd R 3 I 3 1 2 0 .7 5 V 9 V
V b U bd 9 V
故 (2)
U ab R1 I 1 0 .5 2 V 1V
U bc R 2 I 2 0.8 ( 1.25)V 1V
(3) PE1 E1 I 1 10 2 W 20 W
6
【例2】 图1.6电路中,d为电位参考点,各元件的参数值及电压、 电流的参考方向如图所示,并知 I 1 2 A , I 2 1.25A , I 3 0.75A , I 3 0.75A 。试求:(1) a、b、c各点的电位 V a 、 V b 、 V c ;(2) PE 1、 PE 2 。 电压 U ab 、 U b c ;(3) 输出的功率 解:(1) V a E 1 1 0 V V c E 2 8 V , ,根据欧姆定律
u
R2 R4
R4 R2 R4
iS
( u S R 2 iS )
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u u u
例10、电路如图,求通过电阻R3的电流I 。
a I 8K 10K
+
20V
+ -
12K
+
R3
8K I1
20V
10K
+
10V
Uoc
10V
-
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