余数与除数的关系
余数和除数的关系
余数和除数的关系
1、在有余数的除法里，余数和除数之间的关系是：商×除数＋余数=被除数。
2、余数必然小于除数
例：6÷3=2……0，余数0小于除数3。
余数性质
1、如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c 整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
2、a与b的和除以c的余数（a、b两数除以c在没有余数的情况下除外），等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
3、a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5
的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于
3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
有余数的除法-复习
3、看图写算式
÷ ÷ = （
=
（
）…… （
（ ）
）
）……
考点二、有余数除法的简单应用 1、 李老师买来70本故事书， 每班分8本， 可以分给几个 班？还剩多少本？ 2、养鸭专业户有鸭蛋38千克，每5千克装1箱，能装多少 箱?还剩多少千克?
考点三、至少至多的问题 1、34名同学坐船玩，每条船最多坐5个人，至少要租多少 条船？
六、有余数除法解决问题 考点一、看图写算式 1、回忆：平均分我们用除法！ 比如： 15个苹果分成3分每份（ ）个。 列式： 15个苹果5个一份，一共有（ ）份。列式： 【注意点商的单位是要求的单位，余数的单位是原来数的单位】 2．填空
（ ）÷（ ）＝______（束）……______ （朵） （ ）÷（ ）＝ ______（朵）……______ （朵）
2、成成借一本45页的书，借期为一个星期，成成每天看6 页，能按期还书吗？
3、小明买来13个苹果，平均分给奶奶、爸爸、妈妈，余下 的给自己，小明自己还有 多少个苹果?
考点五、用余数解决问题 1、有一串珠子，按“三黑二白”排列。（如图）想一想， 第28个珠子是黑的还是白的？ ●●●○○●●●○○●●●○○……
2、张老师把1—50的卡片按顺序发给李平、赵强、张虎、刘 红四位同学，第35号卡片发给了哪位同学？ 3、小白熊的饭店门前有一串彩灯，每串彩灯都是按4个红灯、 2个黄灯、3个蓝灯的规律排列。请你算一算，第39盏彩灯是 什么颜色？第50盏呢？
练习十七
1、幼儿园买来40个梨，至少拿走 几个，才能使9个小朋友能分得一 样多？ 2、一个绳子长52米，剪下同样长 的6段，还剩下4米，那么这根绳子 每段有多长？
练习十八
1、花店花的数量：
余数与被除数的关系
余数与被除数的关系
吴凯 2013-11-06
在有余数的除法里，余数比除数小，那么，余数与被除数之间的关系又是怎样的呢？
被除数÷除数＝商……余数，其中被除数、除数、商均为正整数，余数为非负整数，且被除数≥除数＞余数≥0（当余数为0时表示除尽）。
则有：除数×商＋余数＝被除数，
又因为：余数＜除数，且商为正整数，
所以：余数＜除数≤除数×商，
即有：余数＜除数×商，
余数＋余数＜除数×商＋余数＝被除数，
2×余数＜被除数， 余数＜
12
×被除数， 综合为：余数＜12×被除数，被除数＞2×余数。
推论1，对于给定余数，当商为1（即被除数＝除数＋余数）且除数仅比余数大1时有最小的被除数，即有，被除数（最小）＝2×余数＋1。
推论2，对于给定被除数，当商为1（即被除数＝除数＋余数）时，余数可能最大。
（1）当被除数是奇数时，能分解成一个奇数与一个偶数，这时除数仅比余数大
1，这说明被除数＝2×余数＋1，余数（最大）＝2
被除数-1。
（2）当被除数是偶数时，能分解成一个奇数与一个奇数或者一个偶数与一个偶数，这时除数仅比余数大2，这说明被除数＝2×余数＋2，余数（最大）＝2
被除数-2。
推论整理为：2122⎛⎫ ⎪⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭给定余数，被除数（最小）＝余数＋被除数-1给定被除数（奇数），余数（最大）＝被除数-2给定被除数（偶数），余数（最大）＝。
二年级数学下册《余数和除数的关系》教学设计
二年级数学下册《余数和除数的关系》教学设计【教学目标】1、知识与技能：知道余数一定要比除数小。
会口算简单的有余数的除法。
2、过程与方法：经历操作、观察、讨论的过程，体会余数比除数小的道理。
3、情感态度与价值观：(1)在探索余数和除数关系的过程中，学习简单的数学思考。
(2)在学习的过程中，对学生渗透《中华人民共和国消费者权益保护法》，让学生知道，作为消费者有哪些权益？在以后的生活中，会用法律的手段来保护自己和他人。
（3）让学生能在具体情境中借助已有的经验和知识展开学习，激发学生的学习热情和兴趣，感受数学学习的价值。
【教学重点】进一步体会有余数除法的意义，认识余数小于除数。
【教学难点】在观察、操作、推理、验证、归纳的过程中发现余数和除数之间的关系，并理解应用其关系。
【教学准备】小棒、课件。
【教学过程】一、复习引入：1、师：同学们，你们爱吃草莓吗？学生可能会说：爱吃。
2、师：老师也爱吃，昨天老师去买草莓的时候遇到了一些问题，同学们愿意帮老师解决吗？（学生可能会说：愿意）课件出示题目及图片。
草莓每斤6元，老师带了20元钱，能买几斤草莓？谁能用除法算式来解决。
学生可能会说：20÷6=3（斤）……2（元）师：这个算式表示什么意思？2表示什么？20、6、3表示什么？指名学生回答。
3、复习除法算式各部分的名称。
师：谢谢同学们帮我解决了这个问题，我还有一个问题想听听同学们的意见，我昨天付了20元钱就走了，忘了拿找回的2元钱了，你们说，我该不该找他去要那2元钱呢？学生可能会说2元钱就算了，也可能有学生说应该去要回2元钱来。
师：同学们，虽然只是2元钱，但那也是我们的财产啊，作为消费者，我们是有权拿回属于我们的东西的，这是受法律保护的，根据《中华人民共和国消费者权益保护法》，第二章消费者的权利第七条消费者在购买、使用商品和接受服务时享有人身、财产安全不受损害的权利。
消费者有权要求经营者提供的商品和服务，符合保障人身、财产安全的要求。
余数和除数的关系课件
系。
03
求解方法
在给定被除数和除数的情况下，我们可以通过长除法或者短除法求得商
和余数。这些方法依赖于余数和除数之间的关系，以及整数除法的运算
规则。
在日常问题中的应用
时间计算
在日常生活中，我们经常使用余数来计算时间。例如，当我们需要计算某个事件持续了多 少小时多少分钟时，我们可以将总时间除以60，得到的商是小时数，余数是分钟数。
性质
余数总是非负的，并且小 于除数。
除数的定义
定义
除数是整数除法中的一 ÷ b = c ... d 中，b 称为除数 。
性质
除数不能为0，否则除法无意义。
余数和除数的简单例子
例子1
17 ÷ 5 = 3 ... 2。在这个例子中，17 是被除数，5 是除数，3 是商，2 是余数 。我们可以看到，17 除以 5 后，余数为 2。
例子2
23 ÷ 8 = 2 ... 7。在这个例子中，23 是被除数，8 是除数，2 是商，7 是余数 。这表示 23 除以 8 后，余数为 7。
02
CATALOGUE
余数与除数的基本关系
如何得到余数
定义
余数是在整数除法运算中，被除 数减去除数与商的乘积后的结果 。
计算方法
计算余数的公式为：余数 = 被除 数 - （除数 × 商）。在除法运算 过程中，当被除数不是除数的整 数倍时，就会产生余数。
05
CATALOGUE
例题与解析
基础例题解析
01
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例题1
给定一个数a，除以b得到的 余数是多少？
• 解析
通过简单的除法运算，我们可 以得到a除以b的商和余数。 余数可以通过a减去b乘以商
除法整除和余数的概念
除法整除和余数的概念除法是数学中常见的运算之一，用于计算一个数能被另一个数整除的次数以及剩余的部分。
在学习除法的过程中，我们常常会遇到两个概念，即整除和余数。
本文将对这两个概念进行详细的介绍和解释。
一、整除的概念在进行除法运算时，如果被除数恰好被除数整除，即没有余数，我们就称之为整除。
简而言之，整除就是没有余数的除法运算。
例如，如果我们用8除以2，那么8被2整除，结果为4，没有余数。
在数学符号中，如果a能被b整除，我们可以用a被b整除的形式表示为：a÷b。
在这个表示法中，a是被除数，b是除数，÷表示除法运算，称为除号。
举例来说，8被2整除可以表示为8÷2=4。
除法运算中的整除概念在实际生活中应用广泛。
比如，在分糖果的时候，如果有8个糖果要平均分给2个小朋友，每个小朋友就可以得到4个糖果，没有多余的糖果。
二、余数的概念余数是指在除法运算中，被除数不能整除时所剩下的部分。
简单来说，余数就是除法运算中的剩余部分。
例如，如果我们用9除以4，商为2余1，其中1就是余数。
在数学符号中，我们用r表示余数。
对于除法运算a÷b来说，r表示a÷b的余数。
举例来说，9÷4=2余1，其中2是商，1是余数。
余数在实际生活中也有很多应用。
比如，我们要将13本书平均分给4个人时，每个人能分到3本书，但还剩下1本书无法平分。
三、除法整除和余数的关系在除法运算中，整除和余数是密切相关的。
我们可以通过整除和余数的关系，来描述除法运算的结果。
对于除法运算a÷b来说，可以表示为：a =b ×商 + 余数其中，a表示被除数，b表示除数，商表示整除的结果，余数表示除法运算的剩余部分。
以之前的例子来解释，8÷2=4，其中8是被除数，2是除数，4是商。
根据上述关系式，我们可以得到：8 = 2 × 4 + 0再以9÷4=2余1为例，9是被除数，4是除数，2是商，1是余数。
《余数和除数的关系》教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“余数和除数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.教学难点
-对余数和除数关系的理解，尤其是当除数接近被除数时，学生容易混淆余数与除数的大小关系；
-在解决实际问题时，学生可能会在将问题抽象成数学模型的过程中遇到困难，不明确如何设定除数和被除数；
-在小组合作交流中，学生可能难以பைடு நூலகம்确表达自己的思考过程，或者在倾听他人意见时不能有效吸收和理解。
举例解释：
2.加强对重点难点的讲解，通过多种方式帮助学生深入理解；
3.鼓励学生提问，及时解答他们的疑惑，关注每个学生的学习进度；
4.增加课堂互动，培养学生的团队协作能力和表达能力；
5.注重课后反思，及时调整教学方法，提高教学质量。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得非常顺利。他们通过合作交流，共同解决了与余数和除数相关的问题。这一环节不仅巩固了他们对知识的理解，还培养了他们的团队协作能力和动手操作能力。
在学生小组讨论环节，我发现学生们能够围绕主题展开热烈的讨论，并能够提出自己的观点和想法。作为引导者，我尽量提出开放性的问题，激发学生的思考。从学生的讨论成果来看，他们已经能够将所学知识应用到实际生活中。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对余数和除数的关系这一概念表现出很大的兴趣。在导入新课环节，通过日常生活中的实例引起学生的好奇心，他们积极参与讨论，提出了很多有价值的问题。这让我意识到，将数学知识与实际生活相结合，能够激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
余数与除数的关系--教学设计
《余数和除数的关系》教学设计欧红燕教学目标：1、巩固对有余数除法的认识和理解。
2、让学生通过操作、观察、比较、分析等活动，发现余数和除数的关系。
3、使学生经历发现知识的过程，培养学生的观察、概括能力，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：发现并理解“余数一定比除数小”。
教学难点：结合情境理解余数为什么一定比除数小。
教学准备：多媒体课件，小棒等。
教学过程：一、创设情境，激趣引入ppt出示猜一猜情境图：20颗星形珠子串成一串手链，按红、黄、蓝、紫的顺序排列。
谈话：同学们，你看，这串手链每颗珠子上都有号码，只要告诉我珠子的号码，我马上就能说出它是什么颜色的，信不信？谁来考考老师？激趣：老师为什么能这么快猜出珠子的颜色呢？想知道吗？学习了今天的知识,你也一定能像老师一样，很快地猜出珠子的颜色。
(板书课题：余数和除数的关系)二、探究新知教学例2，课件展示学生用小棒摆正方形情景图。
1、摆一摆，说一说。
用8根小棒摆正方形。
师：同学们请看，这些小朋友正在用小棒摆正方形，几根小棒能摆一个正方形？（4根）那用8根小帮能摆几个这个的正方形？2、小组合作：探究余数和除数的大小关系。
师：8根小棒能摆2个正方形，如果有9根、10根、11根、12根，每次会出现什么结果呢？接下来就请大家分别摆一摆，并用算式表示出来。
课件出示要求：同桌合作，一人摆，一人记录，完成后收好学具。
（1）学生动手操作，师巡视。
（2）操作完毕后，交流汇报。
板书： 9÷4=2（个）……1根10÷4=2（个）……2根11÷4=2（个）……3根12÷4=3（个）（3）延伸师：现在我们不动手摆小棒，有13根、14根、15根，可以摆几个正方形？剩余几根？要求学生在练习本上写出算式，然后再汇报。
13÷4=3（个）……1（根）14÷4=3（个）……2（根）15÷4=3（个）……3（根）3、观察余数和除数的关系（1）请你们认真观察这些算式，你发现什么特别的地方？（2）再请你们来找找，在这些算式中余数都有哪些？（余数有1、2、3、）余数有没有4、5、6、7……？那余数为什么不可能是4、5、6、7、8……？（3）质疑。
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问题：1. 用8根小棒，你能摆几个这 样的 正方形？请你动手摆一摆。
2. 能用除法算式表示你摆的意 思吗？
3. 如果用9根、10根、11根、 12根、13根、14根、15根、16根小 棒来摆呢？
要求： 一人数小棒、摆正方形，一人结合摆的过程
填写记录单。
记录单：
8根
8 ÷4 ）…… 1（根） 10÷4=2（个）…… 2（根） 11÷4=2（个）…… 3（根） 12÷4=3（个） 13÷4=3（个）…… 1（根） 14÷4=3（个）…… 2（根） 15÷4=3（个）…… 3（根）
16÷4=4（个） 17÷4=4（个）…… 1（根）
余数和谁有很密切的关系？ 是什么关系？
182根÷6=2（个） 193根÷6=2（个）…… 1（根） 1104根÷6=2（个）…… 2（根） 1115根÷6=2（个）…… 3（根） 1126根÷6=2（个）…… 4（根） 1137根÷6=2（个）…… 5（根） 1148根÷6=3（个） 1159根÷6=3（个）…… 1（根）
16根
17根
余数 < 除数
÷64 = （个）…… ( )根 余数最大是（5），最小是（1）。
÷（ ）=
…… 7
除数最小是（8 ）。
12 3 4 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
12 3 4 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
9根
□÷□ =□（个）……□（根）
10根
□÷□ =□（个）……□（根）
11根
□÷□ =□（个）……□（根）
12根
□÷□ =□（个）
8根 9根 10根 11根 12根 13根 14根 15根 16根 17根
8÷4=2（个） 9÷4=2（个）…… 1（根） 10÷4=2（个）…… 2（根） 11÷4=2（个）…… 3（根） 12÷4=3（个） 13÷4=3（个）…… 1（根） 14÷4=3（个）…… 2（根） 15÷4=3（个）…… 3（根） 16÷4=34（个）…… 4（根） 17÷4=43（个）…… 51（根）