《课题学习 最短路径问题》同步练习题
人教版八年级数学上册《13-4 课题学习 最短路径问题》作业同步练习题及参考答案
13.4 课题学习最短路径问题1.已知点A(-2,1),B(3,2),在x 轴上求一点P,使AP+BP 最小,下列作法正确的是( ).A.点P 与O(0,0)重合B.连接AB 并延长,交x 轴于点P,点P 即为所求C.过点A 作x 轴的垂线,垂足为P,点P 即为所求D.作点A 关于x 轴的对称点A',连接A'B,交x 轴于点P,点P 即为所求2.如图,OA,OB 分别是线段MC,MD 的垂直平分线,MD=5 cm,MC=7 cm,CD=10 cm,一只小蚂蚁从点M 出发爬到OA 边上任意一点E,再爬到OB 边上任意一点F,然后爬回点M 处,则小蚂蚁爬行的路径最短可为( ).A.12 cmB.10 cmC.7 cmD.5 cm3.如图,牧童在A 处放牛,其家在B 处,A,B 到河岸的距离分别为AC 和BD,且AC=BD,若点A 到河岸CD 的中点的距离为500 m,则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家,所走的最短路程是m.4.如图,l 为河岸(视为直线),要想开一条沟将河里的水从A 处引到田地里去,应从河边l 的何处开口才能使水沟最短,找出开口处的位置并说明理由.5.如图,在四边形ABCD 中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E,F 分别是BC,DC 上的点,当△AEF 的周长最小时,∠EAF 的度数为( ).A.50°B.60°C.70°D.80°6.如图,某公路(视为x 轴)的同一侧有A,B,C 三个村庄,要在公路边建一货栈(即在x 轴上找一点)D,向A,B,C 三个村庄运送农用物资,路线是:D→A→B→C→D(或D→C→B→A→D).试问在公路上是否存在D 使送货路程之和最短?若存在,请在图中画出D 所在的位置;若不存在,请说明理由.7.某中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图所示的两直排(图中的AO,BO),AO 桌面上摆满了橘子,BO 桌面上摆满了糖果,站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D 处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短.答案与解析夯基达标1.D2.B 当CD 与OA 的交点为E,与OB 的交点为F 时,路径最短.因为OA,OB 分别是线段MC,MD 的垂直平分线,所以ME=CE,MF=DF,所以小蚂蚁爬行的路径最短为CD=10 cm,故选B.3.1 0004.解过A 向直线l 作垂线段,与l 相交于B,从B 处开口可满足要求.图略.理由:垂线段最短. 培优促能5.D 作点A 关于BC 和CD 的对称点A',A″,连接A'A″,交BC 于点E,交CD 于点F,则A'A″即为△AEF 周长的最小值.作DA 的延长线AH.∵∠C=50°,∴∠DAB=130°.∴∠HAA'=50°.∴∠AA'E+∠A″=∠HAA'=50°.∵∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,∴∠EAA'+∠A″AF=50°.∴∠EAF=130°-50°=80°.故选D.6.解存在D 使所走路线D→A→B→C→D 的路程之和最短.作法:(1)作点A 关于x 轴的对称点A';(2)连接A'C 交x 轴于D.则D(3,0)就是所要建货栈的位置,如图.创新应用7.解如图.作法:①作点C 关于OA 的对称点C1,点D 关于OB 的对称点D1;②连接C1D1,分别交OA,OB 于点P,Q,连接CP,DQ,小明沿C→P→Q→D 的路线行走时,所走的总路程最短.。
人教版八年级数学上册课题学习最短路径问题同步练习
13.4 课题学习最短路径问题要点感知在解决最短路径问题时,我们通常利用_____、_____等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择.预习练习已知，如图,在直线l的同侧有两点A，B.(1)在图1的直线上找一点P使PA+PB最短；(2)在图2的直线上找一点P,使PA-PB最长.知识点路径最短问题1.如图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( )A.7 cmB.5 cmC.8 cmD.10 cm2.如图,在等腰Rt△ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E的位置.3.如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠CAB,N点是AB上的一定点,M是AD上一动点,要使MB+MN最小,请找点M 的位置.5.(兰州中考改编)如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M，N,使△AMN 周长最小时,求∠AMN+∠ANM的度数.挑战自我6.(济宁中考)如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是坐标轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是( )A.(0，0)B.(0，1)C.(0，2)D.(0，3)参考答案课前预习要点感知轴对称平移预习练习(1)作点B关于直线l的对称点C,连接AC交直线l于点P,连接BP.点P即为所求.图略.(2)连接AB并延长,交直线l于点P.图略.当堂训练1.C2.作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB的交点为E点.图略.3.①过点A作AP⊥a,并在AP上向下截取AA′,使AA′=河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D作DE ∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置.图略.课后作业4.连接NC与AD的交点为M点.点M即为所求.图略.5.作A关于BC和CD的对称点A′，A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH.∵∠DAB=120°,∴∠HAA′=60°.∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°.∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°.6.D先制定阶段性目标—找到明确的努力方向每个人的一生,多半都是有目标的,大的目标应该是一个十年、二十年甚至几十年为之奋斗的结果,应该定得比较远大些,这样有利于发挥自己的潜能。
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人教新版八年级上学期《13.4 课题学习最短路径问题》同步练习卷一．选择题（共6小题）1．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC 的最小值是（）A．4+3B．2C．2+6D．42．如图，∠ABC＝30°，点D、E分别在射线BC、BA上，且BD＝2，BE＝4，点M、N 分别是射线BA、BC上的动点，当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为（）A．20B．26C．32D．363．如图．已知△ABC．∠ACB＝30°，CP为∠ACB的平分线，且CP＝6，点M、N分别是边AC和BC上的动点，则△PMN周长的最小值为（）A．4B．6C．6D．104．△ABC中，∠ABC＝97.5°，P、Q两点在AC边上，PB＝2，BQ＝3，PQ＝，若点M、N分别在边AB、BC上，当四边形PQNM的周长最小时，（MP+MN+NQ）2的值为（）A．18+8B．24+8C．22+6D．31+5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝6，过点D作DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，点F，G分别在AC，BC上，则AG+FG的最小值为（）A．2B．C．2D．36．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E是AB和BC上的动点，连接CD，DE，则CD+DE的最小值为（）A．8B．C．D．二．填空题（共14小题）7．已知：如图，直线MN和直线l相交于点O，其中两直线相交所构成的锐角等于45°，且OM＝6，MN＝2，若点P为直线l上一动点，那么PM+PN的最小值是．8．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP 的最小值为2，则BC＝．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为．10．如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F 的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为11．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝135°，点P是菱形内部一点，且满足S△PCD ＝，则PC+PD的最小值是．12．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E 分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是．13．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝120°，点P是底边AC上一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为4，则△ABC的周长是．14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．AC与网格线交于点D，点P，Q分别为线段BC，AB上的动点．（I）线段CD的长为；（Ⅱ）当PD+PQ取得最小值时，用无刻度的直尺．画出线段PD，PQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC＝4，CD ＝1，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PC+PE的最小值为．16．已知A（﹣2，0），B（0，2），P是x轴上动点，将B绕P点顺时针旋转90°得到点C，则AC+CP的最小值是．17．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+ PC的最小值为；PD+4PC的最小值为．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD平分∠ACB交AB于点D．点E为CD的中点．在BC上有一动点P，则PD+PE的最小值是19．如图，在正方形ABCD中，BC＝2，对角线AC与BD交于点O，P、Q为BD的两个动点，且BP＝OQ，则△APQ的周长的最小值是．20．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值．三．解答题（共30小题）21．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．22．如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC＝3，DK＝2，BK＝4．（1）若CD＝6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；（2）若CD＝，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB 的最小值．23．如图，△ABC中，D是BC上的一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，（1）求△ABC的面积；（2）如图②，BH为∠ABC的角平分线，点O为线段BH上的动点，点G为线段BC上的动点，请直接写出OC+OG的最小值．24．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．（1）求出AB的长．（2）求出△ABC的周长的最小值？25．已知△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，CD为AB边上的高．动点P从点A 出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为ts．（1）求CD的长；（2）t为何值时，△ACP为等腰三角形？（3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由．26．如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．27．已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，则∠GOH＝；②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△P AB的周长最小时，求∠APB的度数．28．在如图所示的网格中，线段AB和直线l如图所示：（1）借助图中的网格，在图1中作锐角△ABC，满足以下要求：①C为格点（网格线交点）；②AB＝AC．（2）在（1）的基础上，请只用直尺（不含刻度）在图（1）中找一点P，使得P到AB、AC的距离相等，且P A＝PB．（友情提醒：请别忘了标注字母！）（3）在图2中的直线l上找一点Q，使得△QAB的周长最小，并求出周长的最小值是．29．用三角板和直尺作图．（不写作法，保留痕迹）如图，点A，B在直线l的同侧．（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小．（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大．30．如图，∠XOY内有一点P，试在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．31．在如图所示的方格中，点A，B，C，D都在格点上，且AB＝BC＝2CD＝4，P是线段BC上的动点，连结AP，DP．（1）设BP＝x，用含字母x的代数式分别表示线段AP，DP的长，求x＝2时，AP+DP的值；（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值．（3）根据（2）中的结论，请构图求出代数式+的最小值．32．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0），直线a为过点D（0，﹣1）且平行于x轴的直线．（1）直接写出点B关于直线a对称的点E的坐标；（2）若P为直线a上一动点，请求出△PBA周长的最小值和此时P点坐标．33．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P 三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．34．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝3，BD＝15，设BC＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C在什么位置时，AC+CE的值最小，求出这个最小值；（3）根据（2）中的规律和结论，作出图形并求出代数式+的最小值．35．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，BC边上的中线AD＝8．（1）证明：△ABC为等腰三角形；（2）点H在线段AC上，试求AH+BH+CH的最小值．36．如图所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值．37．已知：三点A（a，1）、B（3，1）、C（6，0），点A在正比例函数y＝x的图象上．（1）求a的值；（2）点P为x轴上一动点．①当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时，求点P的坐标；②当∠APB＝20°时，求∠OAP+∠PBC的度数．38．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）试求AC+CE的最小值．39．如图，点A是半圆上的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径是1，问点P在直线MN上什么位置是（在图中标注），AP+BP的值最小？并求出最小值．40．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝1，E为AB的中点，AC是ED 的垂直平分线．（1）求证：DB＝DC；（2）在图（2）的线段AB上找出一点P，使PC+PD的值最小，标出点P的位置，保留画图痕迹，并求出PB的值．41．如图，把两个全等的腰长为8的等腰直角三角形沿他们的斜边拼接得到四边形ABCD，N是斜边AC上一动点．（1）若E、F为AC的三等分点，求证：∠ADE＝∠CBF；（2）若M是DC上一点，且DM＝2，求DN+MN的最小值；（注：计算时可使用如下定理：在直角△ABC中，若∠C＝90°，则AB2＝AC2+BC2）（3）若点P在射线BC上，且NB＝NP，求证：NP⊥ND．42．如图等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，其中AD＝2，BC＝5．（1）尺规作图，作等腰梯形ABCD的对称轴a；（2）在直线a上求作一点P，使PD+PC和最小；并求此时PD：PC的值．43．如右图，∠POQ＝20°，A为OQ上的点，B为OP上的一点，且OA＝1，OB＝2，在OB上取点A1，在AQ上取点A2，设l＝AA1+A1A2+A2B，求l的最小值．44．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（﹣2，0），B（8，0），以AB 为直径的半圆与y轴交于点M，以AB为一边作正方形ABCD．（1）求C，M两点的坐标；（2）连接CM，试判断直线CM是否与⊙P相切？说明你的理由；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得△QMC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．45．如图，正方形ABCD边长为4，DE＝1，M，N在BC上，且MN＝2．求四边形AMNE 周长的最小值．46．如图，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法．47．如图，在铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在铁路边建一个货场C，货场应建在什么地方，才能使A、B两厂到货场C的距离之和最短？48．如图，已知点M是以AB为直径的半圆上的一个三等分点，点N是弧BM的中点，点P 是直径AB上的点．若⊙O的半径为1．（1）用尺规在图中作出点P，使MP+NP的值最小（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求MP+NP的最小值．49．已知△ABC中，BC＝a，AB＝c，∠B＝30°，P是△ABC内一点，求P A+PB+PC的最小值．50．如图，五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河，l1∥l2表示小河甲，l3∥l4表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大门，为方便人员来往，要在两条小河上各建一座桥，桥面垂直于河岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直距离为40米，B到乙河垂直距离为20米，两河距离100米，A、B两点水平距离（与小河平行方向）120米，为使A、B两点间来往路程最短，两座桥都按这个目标而建，那么，此时A、D两点间来往的路程是多少米？人教新版八年级上学期《13.4 课题学习最短路径问题》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC 的最小值是（）A．4+3B．2C．2+6D．4【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE 的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴P A+PB+PC＝P A+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，P A+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝2，故选：B．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．如图，∠ABC＝30°，点D、E分别在射线BC、BA上，且BD＝2，BE＝4，点M、N 分别是射线BA、BC上的动点，当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为（）A．20B．26C．32D．36【分析】如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB 有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．再证明∠HBG＝90°，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．根据对称的性质可知：BD＝BG＝2，BE＝BH＝4，DM＝GM，EN＝NH，∴DM+MN+NE的最小值为线段GH的长，∵∠ABC＝∠GBM＝∠HBC＝30°，∴∠HBG＝90°，∴GH2＝BG2+BH2＝20，∴当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为20，故选：A．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．3．如图．已知△ABC．∠ACB＝30°，CP为∠ACB的平分线，且CP＝6，点M、N分别是边AC和BC上的动点，则△PMN周长的最小值为（）A．4B．6C．6D．10【分析】作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小．【解答】解：作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小．由对称的性质可知，∠ACP＝∠ACE，∠PCB＝∠BCF，CP＝CE＝CF＝6，∵∠ACB＝30°，∴∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝CE＝6，∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF＝6，故选：B．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．4．△ABC中，∠ABC＝97.5°，P、Q两点在AC边上，PB＝2，BQ＝3，PQ＝，若点M、N分别在边AB、BC上，当四边形PQNM的周长最小时，（MP+MN+NQ）2的值为（）A．18+8B．24+8C．22+6D．31+【分析】如图，作点P关于AB的对称点P′，点Q关于BC的对称点Q′，连接P′Q′交AB于M，交BC于N，此时四边形PQNM的周长最小．作PH⊥BQ于H．【解答】解：如图，作点P关于AB的对称点P′，点Q关于BC的对称点Q′，连接P′Q′交AB于M，交BC于N，此时四边形PQNM的周长最小．作PH⊥BQ于H．∴PH2＝PB2﹣BH2＝PQ2﹣HQ2，∴22﹣BH2＝（）2﹣（3﹣BH）2，解得BH＝，∴PH2＝4﹣2＝2，∴PH＝，∴PH＝BH＝，∴∠PBQ＝45°，∵∠ABP＝∠ABP′，∠CBQ＝∠CBQ′，∴∠P′BQ′＝2（∠ABC﹣∠PBQ）+∠PBQ＝2∠ABC﹣∠PBQ＝150°，作Q′K⊥P′B于K．在Rt△BKQ′中，∠KBQ′＝30°，BQ′＝BQ＝3，∴KQ′＝，BK＝，在Rt△P′Q′K中，KP′＝2+，KQ′＝，∴P′Q′2＝（2+）2+（）2＝22+6，∴（MP+MN+NQ）2P′Q′2＝22+6．故选：C．【点评】本题考查轴对称最短问题、解直角三角形、勾股定理、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，根据直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝6，过点D作DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，点F，G分别在AC，BC上，则AG+FG的最小值为（）A．2B．C．2D．3【分析】作点A关于BC的对称点M，连接CM，作AH⊥CM于H，交BC于G，作GF⊥AC于F，此时AG+GF的值最小，最小值＝AH的长．想办法证明∠DAE＝30°即可解决问题；【解答】解：作点A关于BC的对称点M，连接CM，作AH⊥CM于H，交BC于G，作GF⊥AC于F，此时AG+GF的值最小，最小值＝AH的长．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵DE⊥AC，AE＝3CE，设EC＝a，则AE＝3a，∴∠AED＝∠DEC＝90°，∴a+3a＝6，∴a＝，∴EC＝，AE＝，∵∠DAE+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠DAE＝∠EDC，∴△ADE∽△DCE，∴DE2＝AE•EC，∴DE＝，∴tan∠DAE＝＝，∴∠DAE＝30°，∵AD∥CB，∴∠DAE＝∠ACB＝∠BCM＝30°，∴∠ACH＝60°，∴AH＝AC•sin60°＝3，故选：D．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．6．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E是AB和BC上的动点，连接CD，DE，则CD+DE的最小值为（）A．8B．C．D．【分析】如图，作∠ABG＝∠ABC，CF⊥BG于F，交AB于D，作DE⊥BC于E，此时DC+DE 的值最小，最小值＝CF的长．再利用相似三角形的性质求出CF即可．【解答】解：如图，作∠ABG＝∠ABC，CF⊥BG于F，交AB于D，作DE⊥BC于E，此时DC+DE的值最小，最小值＝CF的长．取AB中点T，连接CT，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，AB＝＝4，∴CH＝＝．CT＝AB＝2，∵TC＝TB，∴∠TBC＝∠TCB＝∠ABG，∵∠ADC＝∠TBC+∠TCB＝2∠DBC，∠CBF＝2∠DBC，∴∠CTH＝∠CBF，∴sin∠CTH＝sin∠CBF，∴＝，∴＝，∴CF＝，故选：D．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、勾股定理、相似三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．二．填空题（共14小题）7．已知：如图，直线MN和直线l相交于点O，其中两直线相交所构成的锐角等于45°，且OM＝6，MN＝2，若点P为直线l上一动点，那么PM+PN的最小值是10．【分析】作点M关于直线l的对称点M'，连接NM'，交直线l于P，连接NP，则MP＝M'P，依据轴对称的性质，即可得到OM＝OM'＝6，∠NOM'＝90°，再根据勾股定理即可得到PM+PN的最小值．【解答】解：如图，作点M关于直线l的对称点M'，连接NM'，交直线l于P，连接NP，则MP＝M'P，∴PM+PN的最小值等于线段M'N的长，∵OM＝OM'，OP＝OP，PM＝PM'，∴△OPM≌△OPM'（SSS），∴∠POM＝∠POM'＝45°，OM＝OM'＝6，∴∠NOM'＝90°，∴Rt△NM'O中，M'N＝＝＝10，∴PM+PN的最小值是10，故答案为：10．【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题和勾股定理等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．8．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP 的最小值为2，则BC＝﹣．【分析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．首先证明当M，G，P，C共线时，P A+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，想办法求出AC的长即可解决问题；【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，∵P A＝P A，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC＝PB，∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等边三角形，∴P A＝PG，∴P A+PB+PC＝CP+PG+GM，∴当M，G，P，C共线时，P A+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM＝2，∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2，作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，∴BC＝＝＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题，属于中考常考题型．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为2．【分析】首先由S△P AB＝S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l 上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即P A+PB的最小值．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝5＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2，即P A+PB的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．10．如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F 的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为【分析】作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，推出DE＝FM，推出DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根据BM＝计算即可．【解答】解：如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM＝＝∴DE+BF的最小值为．故答案为．【点评】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题．11．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝135°，点P是菱形内部一点，且满足S△PCD ＝，则PC+PD的最小值是2．【分析】如图在BC上取一点E，使得EC＝BC＝2，作EF∥AB，作点C关于EF的对称点C′，CC′交EF于G，连接DC′交EF于P，连接PC，此时此时S△PDC＝，PD+PC的值最小．【解答】解：如图在BC上取一点E，使得EC＝BC＝2，作EF∥AB，作点C关于EF的对称点C′，CC′交EF于G，连接DC′交EF于P，连接PC，此时此时S△PDC＝，PD+PC的值最小．PC+PD的最小值＝PD+PC′＝DC′，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝135°，∴∠B＝∠CEG＝45°，∠BCD＝135°∵∠CGE＝90°，CE＝2，∴CG＝GE＝GC′＝，∴∠GCE＝45°，∠DCC′＝90°，∴DC′＝＝2，故答案为2．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．12．如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E 分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是10．【分析】点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″（7，6），连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段C′C″．【解答】解：如图，点C关于OA的对称点C′（﹣1，0），点C关于直线AB的对称点C″，∵直线AB的解析式为y＝﹣x+7，∴直线CC″的解析式为y＝x﹣1，由解得，∴直线AB与直线CC″的交点坐标为K（4，3），∵K是CC″中点，∴可得C″（7，6）．连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC周长最小，△DEC的周长＝DE+EC+CD＝EC′+ED+DC″＝C′C″＝＝10．故答案为10．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点D、点E位置，属于中考常考题型．13．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝120°，点P是底边AC上一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为4，则△ABC的周长是8+4．【分析】本题首先要明确P点在何处，通过M关于AC的对称点M′，根据勾股定理就可求出MN的长，根据中位线的性质及三角函数分别求出AB、BC、AC的长，从而得到△ABC的周长．【解答】解：作M点关于AC的对称点M′，连接M'N，则与AC的交点即是P点的位置，∵M，N分别是AB，BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AC，∴＝1，∴PM′＝PN，即：当PM+PN最小时P在AC的中点，∴MN＝AC∴PM＝PN＝2，MN＝2∴AC＝4 ，AB＝BC＝2PM＝2PN＝4，∴△ABC的周长为：4+4+4 ＝8+4 ．故答案为：8+4．【点评】本题考查等腰三角形的性质和轴对称及三角函数等知识的综合应用．正确确定P 点的位置是解题的关键．14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．AC与网格线交于点D，点P，Q分别为线段BC，AB上的动点．（I）线段CD的长为；（Ⅱ）当PD+PQ取得最小值时，用无刻度的直尺．画出线段PD，PQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的作DQ′⊥BE于Q′交BC于P，作PQ⊥AB于Q，根据垂线段最短可知，此时PD+PQ＝PD+PQ′＝DQ′最短．．【分析】（I）添加辅助线，构造相似三角形即可解决问题；（Ⅱ）作DQ′⊥BE于Q′交BC于P，作PQ⊥AB于Q，根据垂线段最短可知，此时PD+PQ ＝PD+PQ′＝DQ′最短；【解答】解：（I）作DF∥AB交BC于F，作CH⊥AB于H，交DF于G．∵DF∥AB，∴△CDF∽△CAB，∴＝，∴＝，∴CD＝，故答案为．（Ⅱ）如图构造边长为5的菱形ABEC，作DQ′⊥BE于Q′交BC于P，作PQ⊥AB于Q，根据垂线段最短可知，此时PD+PQ＝PD+PQ′＝DQ′最短．故答案为：作DQ′⊥BE于Q′交BC于P，作PQ⊥AB于Q，根据垂线段最短可知，此时PD+PQ＝PD+PQ′＝DQ′最短．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理、菱形的性质、垂线段最短就、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC＝4，CD ＝1，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PC+PE的最小值为．【分析】作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P，连接PE，此时PE+PC的值最小，作E′H⊥AC于H，DG⊥AB于G．设BD＝x，BG＝y．成本法求出E′H，CH，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P，连接PE，此时PE+PC 的值最小，作E′H⊥AC于H，DG⊥AB于G．设BD＝x，BG＝y．∵DA平分∠CAB，DG⊥AB，DC⊥AC，∴DG＝DC，∵AD＝AD，∴Rt△ADG∽Rt△ADC，∴DG＝DC＝1，AG＝AC＝4，∵△BGD∽△BCA，∴＝＝，∴＝＝，∴x＝，y＝，∵E′H∥BC，∴＝＝，∴E′H＝，AH＝，∴CH＝4﹣＝，∴PE+PC的最小值＝CE′＝＝．故答案为＝．【点评】本题考查轴对称最短问题、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．16．已知A（﹣2，0），B（0，2），P是x轴上动点，将B绕P点顺时针旋转90°得到点C，则AC+CP的最小值是2．【分析】如图，在x轴上取一点M（2，0），连接CM交y轴于N．首先证明△OBP∽△MBC，推出∠MBC＝∠BOP＝90°，推出点C在直线CN上运动，因为BC＝PC，可得AC+ PC＝CA+CB，延长BM到B′，使得MB′＝BM，连接AB′交CN于C′，此时AC′+BC′的值最小，最小值＝线段AB′的长；【解答】解：如图，在x轴上取一点M（2，0），连接CM交y轴于N．∵A（﹣2，0），B（0，2），M（2，0），∴OA＝OB＝OM＝2，∴△OBM，△PBC都是等腰直角三角形，∴∠OBM＝∠CBP＝45°，∴∠OBP＝∠MBC，∵＝＝，∴△OBP∽△MBC，∴∠MBC＝∠BOP＝90°，∴点C在直线CN上运动，∵BC＝PC，∴AC+PC＝CA+CB，延长BM到B′，使得MB′＝BM，连接AB′交CN于C′，此时AC′+BC′的值最小，最小值＝线段AB′的长，∵A（﹣2，0），B′（4，﹣2），∴AB′＝＝2，故答案为2．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+ PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【分析】①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．只要证明△PBE∽△CBE，可得＝＝，推出PD+PC＝PD+PE，再根据三角形的三边关系PE+PD≤DE即可解决问题；②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．只要证明△PBE∽△DBP，可得＝＝，推出PE＝PD，推出PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），根据三角形的三边关系PE+PC≤EC即可解决问题；【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．∵PB2＝4，BE•BD＝×4＝4，∴BP2＝BE•BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．【点评】本题考查轴对称最短问题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会根据相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD平分∠ACB交AB于点D．点E为CD的中点．在BC上有一动点P，则PD+PE的最小值是【分析】构建如图坐标系，利用一次函数构建方程组求出点D、E坐标，作点E关于BC的对称点E′，连接DE′交BC于P，此时PD+PE的值最小，最小值为DE′的长；【解答】解：根据如图坐标系：由题意：A（0，6），B（8，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6，∵CD平分∠ACB，∴直线CD的解析式为y＝x，由，解得，∴D（，），∵CE＝DE，∴E（，），作点E关于BC的对称点E′（，﹣），连接DE′交BC于P，此时PD+PE的值最小，最小值为DE′的长，∵DE′＝，∴PD+PE的最小值为，故答案为．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，利用一次函数解决问题，属于中考常考题型．19．如图，在正方形ABCD中，BC＝2，对角线AC与BD交于点O，P、Q为BD的两个动点，且BP＝OQ，则△APQ的周长的最小值是+．【分析】BP＝OQ＝x．易知△APQ的周长＝++，欲求△QP A周长的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到E（0，）和F（，）的距离之和的最小值，作点E关于x轴的对称点E′，连接FE′交x轴于M，此时ME+MF的值最小，求出直线E′F的解析式即可；【解答】解：设BP＝OQ＝x．∵四边形ABCD是正方形，BC＝2，∴OB＝OA＝OD＝OC＝，∵BP＝OQ，∴PQ＝OB＝，∴△APQ的周长＝++，欲求△QP A周长的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到E（0，）和F（，）的距离之和的最小值，作点E关于x轴的对称点E′，连接FE′交x轴于M，此时ME+MF的值最小，∵E′（0，﹣），F（，），∴直线FE′的解析式为y＝2x﹣，∴M（，0），∴x＝时，∴△P AQ的周长最小，最小值＝+．故答案为+．【点评】本题考查轴对称最短问题、正方形的性质、勾股定理、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．20．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值2．【分析】如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．首先证明EK ＝CD，可得CD+BE＝EK+EB≥BK，推出CD+BE的最小值为BK的长；【解答】解：如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．∵CK∥AB，∴∠KCE＝∠A，∵CK＝CA，CE＝AD，∴△CKE≌△CAD，∴CD＝KE，∵CD+BE＝EK+EB≥BK，∴CD+BE的最小值为BK的长，在Rt△BCG中，∵∠G＝90°，BC＝8，∴CG＝BC＝4，BG＝4，在Rt△KBG中，BK＝＝＝2．故答案为2．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共30小题）。
2022年人教版八年级上册《课题学习最短路径问题》同步练习(附答案)
13.4 课题学习最短路径问题根底稳固1．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．2．，如下图，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规那么如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．假设甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？3．如下图，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．4．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，那么小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?能力提升5．公园内两条小河MO，NO在O处集合，两河形成的半岛上有一处景点P(如下图)．现方案在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．6．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，假设A到河岸CD的中点的距离为500 m.(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由；(2)最短路程是多少？参考答案1．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，那么点E就是所求的点．2．解：如下图，(1)分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2；(2)连接P1P2，与OA，OB分别相交于点M，N.因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M处，丙必须站在OB上的N处才能使传球所用时间最少．3．解：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′；(2)连接P′Q，交BC于点R，那么点R就是所求作的点(如下图)．4．解：如图，作小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交OP于点B，那么小明行走的路线是小明→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.5．解：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，那么P′Q＝PQ，PR＝P″R，那么Q，R就是小桥所在的位置．理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，那么PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q ′＋Q ′R ′＋R ′P ″＞P ′Q ＋QR ＋RP ″，所以△PQR 的周长最小，故Q ，R 就是我们所求的小桥的位置．6．解：(1)作法：如图作点A 关于CD 的对称点A ′；连接A ′B 交CD 于点M .那么点M 即为所求的点．证明：在CD 上任取一点M ′，连接AM ′，A ′M ′，BM ′，AM ， 因为直线CD 是A ，A ′的对称轴，M ，M ′在CD 上，所以AM ＝A ′M ，AM ′＝A ′M ′，所以AM ＋BM ＝A ′M ＋BM ＝A ′B ， 在△A ′M ′B 中，因为A ′M ′＋BM ′＞A ′B ，所以AM ′＋BM ′＝A ′M ′＋BM ′＞AM ＋BM ，即AM ＋BM 最小． (2)由(1)可得AM ＝A ′M ，A ′C ＝AC ＝BD ，所以△A ′CM ≌△BDM ， 即A ′M ＝BM ，CM ＝DM ，所以M 为CD 的中点，且A ′B ＝2AM ，因为AM ＝500 m ，所以A ′B ＝AM ＋BM ＝2AM ＝1 000 m ．即最短路程为1 000 m.4.1 一元二次方程1. 以下方程是一元二次方程的是 〔 〕A.2135032x x -+= B. 2134x x x+= C. 2110x x--=D.2111x x =+- 2. 一元二次方程的一般形式是 〔 〕A. ax 2＋bx ＋c ＝0B. ax 2＋bx ＋c (a ≠0)C. ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)D. ax 2＋bx ＋c ＝0(b ≠0)3. 假设px 2－3x ＋p 2－p ＝0是关于x 的一元二次方程，那么 〔 〕A. p ＝1B. p ＞0C. p ≠0D. p 为任意实数 4. 关于x 的一元二次方程〔3－x 〕〔3＋x 〕－2a 〔x ＋1〕＝5a 的一次项系数为 〔 〕A. 8aB. －8aC. 2aD. 7a －95. 假设〔m 2－4〕x 2＋3x －5＝0是关于x 的一元二次方程，那么 〔 〕A. m ≠2B. m ≠－2C. m ≠－2，或m ≠2D. m ≠－2，且m ≠2 6. 把方程x (x ＋1)＝2化为一般形式为 ，二次项系数是 .7. 0是关于x 的方程〔m ＋3〕x 2－x ＋9－m 2＝0的根，那么m ＝ .8. 某小区有一块等腰直角三角形状的草坪，它的面积为8m 2，求草坪的周长是多少. 设直角边长为x m ，根据题意得方程 . 〔不解〕9. 假设关于x 的方程kx 2＋3x ＋1＝0是一元二次方程，那么k . 10. 当m 时，方程〔m －1〕x 2－(2m －1)x ＋m ＝0是关于x 的一元一次方程；当m 时，上述方程才是关于x 的一元二次方程.x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个根，且a ≠b ，求2222a b a b--的值.12. 如下图，有一个面积为120m 2的长方形鸡场，鸡场一边靠墙〔墙长18m 〕，另三边用竹篱笆围成，假设所围篱笆的总长为32m ，求鸡场的长和宽各为多少米. 〔只列方程〕13. 如果x2＋3x＋2与a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c是同一个二次三项式的两种不同形式，你能求出a，b，c的值吗？参考答案1. A[提示：抓住一元二次方程的三个特征：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2. ] 2. C3. C[提示：二次项系数不为0. ]4. C[提示：首先把方程整理为一般形式为x 2＋2ax ＋7a －9＝0，其中一次项系数为2a . 应选C. ]5. D[提示：二次项系数m 2－4≠0. ]6. x 2＋x －2＝0 1[提示：∵x(x ＋1)＝2，∴x 2＋x －2＝0. ]7. ±3[提示：此题分两种两种考虑. 当m ＋3＝0时，方程化为一元一次方程；当m ＋3≠0时，方程化为一元二次方程. ] 8.2182x =[提示：S 等腰直角三角形＝12⨯两腰乘积. ] 9. ≠0[提示：一元二次方程成立的条件为二次项系数不为0. ]10. ＝1 ≠1[提示：考查一元一次方程、一元二次方程成立的条件. ]11. 提示：此题综合考查一元二次方程解的概念和分式的化简及整体代入思想. 解：把x ＝1代入一元二次方程ax 2＋bx －40＝0，得a ＋b －40＝0，∴2222a b a b-=-()()2()a b a b a b +-=- 4020.22a b +== 12. 解：设平行于墙的边长为x m ，那么垂直于墙的边长为322x -m ，由题意得x ·322x-＝120，即x 2－32x ＋240＝0.13. 解：能，根据题意得x 2＋3x ＋2＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ，即x 2＋3x ＋2＝ax 2＋(2a ＋b )x＋(a ＋b ＋c )，123,2,a a b a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，∴解得11,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，。
人教版八年级数学上册同步练习13.4 课题学习 最短路径问题(word版,含答案解析)
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径问题一、选择题（共16小题；共80分）1. 如图，直线是一条河，，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是A. B.C. D.2. 如图，四边形是直角梯形，，，点是腰上的一个动点，要使最小，则点应该满足A. B.C. D.3. 四边形中，，，在，上分别找一点，，使三角形周长最小时，则的度数为A. B. C. D.4. 如图，直线外存在不重合的两点，，在直线上求作一点，使得的长度最短，作法为：① 作点关于直线的对称点；②连接与直线相交于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是A. 转化思想B. 三角形的两边之和大于第三边C. 两点之间，线段最短D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角5. 如图，牧童在处放牛，其家在处，，到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A. 米B. 米C. 米D. 米6. 如图，已知直线，且与之间的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，．试在直线上找一点，在直线上找一点，满足且的长度最短，则此时A. B. C. D.7. 如图，正的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是A. B. C. D.8. 如图，在中，，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是A. B. C. D.9. 如图，在四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小，此时，A. B. C. D.10. 如图，，内有一定点，且，在上有一动点，上有一动点．若周长最小，则最小周长是A. B. C. D.11. 如图，四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为A. B. C. D.12. 如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为A. B. C. D.13. 如图，在中，，，，为上一点，且，平分交于．若是上的动点，则的最小值等于A. B. C. D.14. 如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为A. C. D.15. 如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为A. B. C. D.16. 如图，，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，若周长的最小值是，则的值是A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）17. 与的最小公倍数是．18. 如图，在中，是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，且，，则的周长的最小值为．19. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使，，三点构成的的周长最小，则的周长最小值为．20. 已知，点在的内部，点是边上任意一点，点是边上任意一点，连接，，当的周长最小时，的度数为．21. 如图，是等腰直角三角形，，，为上的动点，则的最大值为．三、解答题（共3小题；共45分）22. 如图，已知直线及其同侧两点，，在直线上找一点，使得的长度最小．23. 如图，点，在的内部，为射线上的一个动点，为射线上的一个动点，求作点，，使得的长最短．作法：24. 如图，，两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向，两镇供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少?答案第一部分1. D2. D 【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于，连接．根据轴对称的性质，得，根据对顶角相等知，所以．3. C4. D5. B6. B7. A 【解析】如图所示.过点作的对称点，连接，与的延长线交于点 .此时，为最小值 .点在线段上，点在点处.的最小值为．8. B 【解析】如图连接，，，，，，，，，共线时，的值最小，最小值为的长度．9. D10. B【解析】设，则，作与相交于，并将延长一倍到，即，作与相交于，并将延长一倍到，即，连接与相交于，与相交于，再连接，，连接，，则即为周长最短的三角形，是的垂直平分线，；同理，是的垂直平分线，，的周长，，且，是等边三角形，，即在保持的条件下的最小周长为．11. D 【解析】作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线 .，...，，..12. C 【解析】连接．是等腰三角形，点是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，的长为的最小值，13. D 【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小，作于．，，，，，，，，，故选：D．14. D 【解析】如图：将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，．15. B【解析】分别作点关于，的对称点，，连接，分别交，于点，，如图所示：此时的周长取最小值．，，，，，，，．16. B第二部分17.18.19.【解析】如图，连接．，，的值最小时，的周长最小，垂直平分线段，，，的最小值为，的周长的最小值为．20.【解析】如图，过点作关于，的对称点，，连接，与，相交与点，，则此时的周长最小，为线段的长度；，，，，，，，，，，，解得：；故答案为：．21.第三部分22. 过点作直线的垂线，垂足为点，截取，连接，则与的交点就是点．23. 作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点交于，交于，则最短．24. 作关于的对称点，连接交于，点即为所求作的点，则可得：（千米），所以（千米），所以（千米），总费用为万元．。
最短路径问题同步练习题一
最短路径问题同步练习题一LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】课题学习 最短路径问题（一） 知识点：1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3．利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．同步练习：1.如图所示，点A ，B 分别是直线l 异侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时点C 是直线l 与AB 的交点．2.如图所示，点A ，B分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，3..在图中直线l 上找到一点M ，使它到A ，B 两点的距离和最小．4. 如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．A B l(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？5. 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？6.(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？7.如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．参考答案：1.2.这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点．为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C ′，连接AC ′，BC ′，B ′C ′，证明AC ＋CB ＜AC ′＋C ′B .如下：证明：由作图可知，点B 和B ′关于直线l 对称，所以直线l 是线段BB ′的垂直平分线．因为点C 与C ′在直线l 上，所以BC ＝B ′C ，BC ′＝B ′C ′.在△AB ′C ′中，AB ′＜AC ′＋B ′C ′，所以AC ＋B ′C ＜AC ′＋B ′C ′，所以AC ＋BC ＜AC ′＋C ′B .3. 解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′；(2)连接AB ′交直线l 于点M .(3)则点M 即为所求的点．4.解：(1)如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 画AB 的垂线，交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．5.解：(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．6.解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C 1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．7.解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。
人教版初中数学八年级上册《13.4 课题学习 最短路径问题》同步练习卷(含答案解析
人教新版八年级上学期《13.4 课题学习最短路径问题》同步练习卷一．选择题（共2小题）1．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是（）A．15 km B．16 km C．17 km D．18 km2．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB 上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．15C．20D．30二．解答题（共18小题）3．如图，一个牧童在距离小河岸南400米的A处牧马，而他的家正位于牧马处A的东800米（BC=800米），南700米，（AC=700米）处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？4．为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则，，则问题即转化成求AC+CE的最小值．（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于，此时x=；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值．5．如图，A、B两个小集镇在河流的同侧，分别到河岸L的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米2万元，请你在河岸L上选择水厂的位置M（作图并标注出来），使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？6．如图，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A，B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？7．如图，铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在路边建一个货物站C，使A、B 两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出你找的点C来．8．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、BC，已知AB=5，DE=2，BD=12，设CD=x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为．（2）请问点C在BD上什么位置时，AC+CE的值最小？为什么？并求出最小值．（3）根据（2）中规律和结论，请构图求出代数式的最小值．9．如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB边放一行球，参赛者从起点C 起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？为什么？10．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，请分别在边AB，AC上找到点E，F，使四边形PEFQ的周长最小．11．如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B，两村要在河上合修一座便民桥，桥修在什么地方可以使桥到两村的距离之和最短？12．如图，直线l同侧有A、B两点，请利用直尺和圆规在直线l上求作一点P，使AP+BP值最小．（不写作法，保留作图痕迹）13．如图，已知A、B两点在直线l的同一侧，根据题意，尺规作图．（1）在（图1）直线l上找出一点P，使PA=PB．（2）在（图2）直线l上找出一点P，使PA+PB的值最小．（3）在（图3）直线l上找出一点P，使|PA﹣PB|的值最大．14．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=400米，BD=200米，CD=800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少．15．高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km，BB′=4km，且A′B′=8km，要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短，求这个最短距离．16．著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？17．如图，在旷野上，一个人骑着马从A到B，半路上他必须先到河岸l的P点去让马饮水，然后再让马到河岸m的Q点再次饮水，最后到达B点，他应该如何选择饮马地点P、Q，才能使所走路程AP+PQ+QB为最短（假设河岸l、m 为直线）．18．如图，角形铁架∠M0N小于60°，A，D分别是0M，0N上的点，为实际设计的需要，需在OM和0N上分别找出点C，B，使AB+BC+CD最短，问应如何找，并在图上表示出来．19．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？20．解答题①已知：如图，在△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，AD⊥BC，D是垂足．求：AD的长．②如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？人教新版八年级上学期《13.4 课题学习最短路径问题》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是（）A．15 km B．16 km C．17 km D．18 km【分析】先作出点A关于小河MN的对称点A′，连接A′B，交河岸MN于点P，则A′B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程．在Rt△A′DB中，利用勾股定理即可求解．【解答】解：如图，作出A点关于小河MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程．在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B===17km．则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．故选：C．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题及两点之间线段最短的性质，并运用了勾股定理求解．2．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB 上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．15C．20D．30【分析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．【解答】解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF．∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10．故选：A．【点评】本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．二．解答题（共18小题）3．如图，一个牧童在距离小河岸南400米的A处牧马，而他的家正位于牧马处A的东800米（BC=800米），南700米，（AC=700米）处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【分析】作出A点关于小河岸南的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．【解答】解：作A点关于小河岸南的对称点A′，连接BA′交河岸于点P，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短．在△A′BC中，∠C=90°，BC=800，A′C=AA′+AC=400×2+700=1500，∴A′B==1700（米）．故他要完成这件事情所走的最短路程是1700米．【点评】此题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用．4．为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则，，则问题即转化成求AC+CE的最小值．（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于10，此时x=；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值．【分析】（1）根据两点之间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度．过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点．在Rt△AEF中运用勾股定理计算求解．（2）由（1）的结果可作BD=12，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式的最小值．【解答】解：（1）过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点，根据题意，四边形BDEF为矩形．AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8．∴AE==10．即AC+CE的最小值是10．=10，∵EF∥BD，∴=，∴=，解得：x=．（2）过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，根据题意，四边形ABDF为矩形．EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12．∴AE==13．即AC+CE的最小值是13．【点评】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．5．如图，A、B两个小集镇在河流的同侧，分别到河岸L的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米2万元，请你在河岸L上选择水厂的位置M（作图并标注出来），使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？【分析】此题的关键是确定点M的位置，需要首先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l于点M，M即所求作的点．根据轴对称的性质，知：MA+MB=A′B．根据勾股定理即可求解．【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点为M，点M即为所求作的点．则可得：DK=A′C=AC=10千米，∴BK=BD+DK=40千米，∴AM+BM=A′B==50千米，总费用为50×2=100万元．【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题的知识点，解答本题的关键是找出点M的位置，此题难度不大．6．如图，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A，B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？【分析】作点A关于l的对出现A′，则MA=A′M，故此AM+BM=A′M+BM，然后依据两点之间线段最短的性质解答即可．【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点M，则点M 即为所求点．【点评】本题主要考查的是轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．7．如图，铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在路边建一个货物站C，使A、B 两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出你找的点C来．【分析】作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交l于点C，则点C即为所求点．【解答】解：如图所示：点C即为所求点【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．8．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、BC，已知AB=5，DE=2，BD=12，设CD=x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为+．（2）请问点C在BD上什么位置时，AC+CE的值最小？为什么？并求出最小值．（3）根据（2）中规律和结论，请构图求出代数式的最小值．【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE ＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（3）由（1）（2）的结果可作BD=24，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式的最小值．【解答】解：（1）AC+CE=+．故答案是：+；（2）当点C是AE和BD交点时，AC+CE的值最小．∵AB∥ED，AB=5，DE=2，∴==，又∵BC+CD=BD=12，则BC=CD，CD=BC，∴CD+CD=12，解得：CD=．BC+BC=12，解得：BC=，CD=．故点C在BD上距离点B的距离为时，AC+CE的值最小；（3）如右图所示，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，DB=24，连接AE交BD于点C，∵AE=AC+CE=，∴AE的长即为代数式的最小值．过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=4，AF=BD=24．所以AE===25，即AE的最小值是25．即代数式的最小值为25．【点评】本题主要考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．9．如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB边放一行球，参赛者从起点C 起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？为什么？【分析】可过点D作关于AB的对称点D′，连接CD′与AB交于点E，即为所求．【解答】解：如图，参赛者应向E点跑，因为AB所在直线是DD′的垂直平分线，所以ED=ED′，C，D′两点之间CE+ED′是最短的（两点之间线段最短），所以CE+ED是最短的．【点评】能够利用两点之间线段最短求解一些简单的实际问题．10．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，请分别在边AB，AC上找到点E，F，使四边形PEFQ的周长最小．【分析】根据轴对称图形的作法得出对称点，进而解答即可．【解答】解：分别作P关于AB，Q关于AC的对称点P'Q'，连接P'Q'，交AB于E，交AC于F，则E，F即为所求．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．11．如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B，两村要在河上合修一座便民桥，桥修在什么地方可以使桥到两村的距离之和最短？【分析】如图作点A关于河岸的对称点C，连接BC交河岸于点P，点P就是桥的位置．【解答】解：如图作点A关于河岸的对称点C，连接BC交河岸于点P，点P就是桥的位置．理由：两点之间线段最短．【点评】本题考查轴对称﹣线段最短问题，两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用对称找到点P（桥）的位置，属于中考常考题型．12．如图，直线l同侧有A、B两点，请利用直尺和圆规在直线l上求作一点P，使AP+BP值最小．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′即可．【解答】解：作A点关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P点为所求．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，关键是正确画出图形，题型较好，难度适中．13．如图，已知A、B两点在直线l的同一侧，根据题意，尺规作图．（1）在（图1）直线l上找出一点P，使PA=PB．（2）在（图2）直线l上找出一点P，使PA+PB的值最小．（3）在（图3）直线l上找出一点P，使|PA﹣PB|的值最大．【分析】（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线，交直线l于点P，则点P即为所求；（2）作A关于l的对称点A'，连接BA′，线段BA′与l交于P，则P就是所求点．也可作B关于l的对称点B′；（3）过点A，B作直线AB与l交于P，则P就是所求点．【解答】解：（1）如图1所示：此时：PA=PB，如图所示：（2）此时：PA+PB最小；（3）如图所示：此时：|PA﹣PB|最大．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，关键是正确画出图形，题型较好，难度适中．14．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=400米，BD=200米，CD=800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少．【分析】作点B关于河岸的对称点B′，连接AB′交CD于点P，过点B′作B′E⊥AC，垂足为E，由轴对称的性质和两点之间线段最短可知AB′的长度即为最短路程．【解答】解：作点B关于河岸的对称点B′，连接AB′交CD于点P，过点B′作B′E ⊥AC，垂足为E．由轴对称的性质可知：PB=PB′，DB′=DB．∴PA+PB=AP+PB′．由两点之间线段最短可知；当点A、P、B′在一条直线上时，PA+PB最短．在Rt△AEB′中，AB′===1000．【点评】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用，明确当点A、P、B′在一条直线上时PA+PB最短是解题的关键．15．高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km，BB′=4km，且A′B′=8km，要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短，求这个最短距离．【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．【解答】解：如图所示：作A点关于直线MN的对称点C，再连结CB，交直线MN于点P，则此时AP+PB最小，过点B作BD⊥CA延长线于点D，∵AA′=2km，BB′=4km，A′B′=8km，∴AC=4km，则CD=6km，在Rt△CDB中，CB==10（km），则AP+PB的最小值为：10km．【点评】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．16．著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解答】解：作B点与河面的对称点B′，连接AB′，可得到马喝水的地方C，如图所示，由对称的性质可知AB′=AC+BC，根据两点之间线段最短的性质可知，C点即为所求．【点评】本题考查的是最短路线问题，解答此题的关键是熟知两点之间线段最短．17．如图，在旷野上，一个人骑着马从A到B，半路上他必须先到河岸l的P点去让马饮水，然后再让马到河岸m的Q点再次饮水，最后到达B点，他应该如何选择饮马地点P、Q，才能使所走路程AP+PQ+QB为最短（假设河岸l、m 为直线）．【分析】作出点A关于l的对称点A′，点B关于m的对称点B′，连接A′B′，交于l，m于点P，点Q，则AP，PQ，QB是他走的最短路线．【解答】解：如图，分别作A点关于直线l的对称点A′、B点关于直线m的对称点B′连接A′B′，分别交l于点P，交m于点Q，连接AP、BQ，所以路程AP+PQ+BQ最短．【点评】本题考查了轴对称的性质﹣最短路线问题，利用两点之间线段最短的性质求解是解本题的关键．18．如图，角形铁架∠M0N小于60°，A，D分别是0M，0N上的点，为实际设计的需要，需在OM和0N上分别找出点C，B，使AB+BC+CD最短，问应如何找，并在图上表示出来．【分析】作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′依据两点之间线段最短可确定出点B、C的位置．【解答】解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．此时AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′为最短距离．【点评】此题考查了线路轴对称﹣最短的问题，利用轴对称的性质确定动点为何位置是解题的关键．19．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【分析】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．【解答】解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线，在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B===17km，答：他要完成这件事情所走的最短路程是17km．【点评】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中．20．解答题①已知：如图，在△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，AD⊥BC，D是垂足．求：AD的长．②如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【分析】①过C作CE⊥BE交BA的延长线于E，求出∠ACE=30°，求出AE，CE，根据三角形面积公式得出AB×CE=CB×AD，代入求出即可；②根据题意画出P点的位置，得出A、C关于小河对称，求出BO、CO，根据勾股定理求出BC，即可求出答案．【解答】①解：过C作CE⊥BA交BA的延长线于E，∵∠CAB=120°，∴∠CAE=60°，∴∠ACE=30°∵AC=2，∴AE=AC=1∵在Rt△ACE中，由勾股定理可得：CE2=AC2﹣AE2=3，∴CE=，在Rt△BCE中，由勾股定理可得：BC2=CE2+BE2=28，∴BC=∵AB×CE=CB×AD，∴×4×=××AD，∴AD=；②解：作A关于小河（EF）的对称点C，连接BC交EF于P，则此时AP+BP最小，过B作OB⊥AC于O，则BO=8，CA=4+4=8，CO=8+7=15，则PA+PB=PC+PB=BC==17（km），答：要完成这件事情所走的最短路程是17km．【点评】本题考查了勾股定理、轴对称﹣最短路线问题、含30度角的直角三角形的应用，解（1）的关键是得出关系式AB×CE=CB×AD和求出CB、CE的长，解（2）的关键是找出P点的位置．。
人教版八年级上册数学课题学习路径最短问题同步训练(含答案)
人教版八年级上册数学13.4课题学习路径最短问题同步训练一、单选题1．直线l 是一条河，P ，Q 是在l 同侧的两个村庄．欲在l 上的M 处修建一个水泵站，向P ，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M 处到P ，Q 两地距离相等的方案是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．如图，已知点D 、E 分别是等边三角形ABC 中BC 、AB 边的中点，6AD =，点F 是线段AD 上的动点，则BF EF +的最小值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 3．如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中△ACB =50°，AC =BC ，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且 AE =CF ， 当 BF ＋CE 取最小值时，△AFB 的度数为（ ）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105° 4．在ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，AD BC ⊥于D 点，且4=AD ，若P 点在边AC 上移动，则BP 的最小值是（ ）A ．4.5B ．4.6C ．4.7D ．4.8 5．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝AC ＝10，S △ABC ＝25，△BAC 的平分线交BC 于点D ，点M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ）A ．4B ．245C ．5D ．66．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝10，S △ABC ＝60，AD△BC 于点D ，EF 垂直平分AB ，交AB 于点E ，AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB ＋PD 最小，则这个最小值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．137．如图，在ABC ∆中，10BC =，CD 是ACB ∠的平分线．若P ，Q 分别是CD 和AC 上的动点，且ABC ∆的面积为24，则PA PQ +的最小值是（ ）A ．125B ．4C ．245D ．5二、填空题8．如图，在ABC 中，4AB =，6AC =，7BC =，EF 垂直平分BC ，点D 为直线EF 上的任意一点，则ABD △周长的最小值是__________．9．如图，P 为AOB ∠内一定点，M ，N 分别是射线,OA OB 上的点，当PMN 周长最小时，80MPN ∠=︒，则AOB ∠=_________．10．如图，点P 是△AOB 内任意一点，OP ＝8，M 、N 分别是射线OA 和OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值为8，则△AOB ＝__________．11．如图，在锐角ABC ∆中，7AC cm =，214ABC S cm ∆=，AD 平分BAC ∠，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是_______cm ．12．已知△AOB=45°，点P 在△AOB 内部，点P1与点P 关于OA 对称，点P2与点P 关于OB 对称，连接P1P2交OA 、OB 于E 、F ，若P1E=12，EF 的长度是_____．13．如图，要从村庄P修一条连接公路l的最短的小道，应选择沿线段________修建，理由是________．14．如图，四边形ABCD中，AD△BC，AC平分△BAD，△ABC=60°，E为AD上一点，AE=2，DE=4，P为AC 上一点，则△PDE周长的最小值为_______．15．如图，∠AOB＝30°，M，N分别是OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，如果记∠AMP＝α，∠ONQ＝β，当MP＋PQ＋QN最小时，则α与β的数量关系是_________________.三、解答题16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣2），B（﹣1，﹣1），C（﹣1，﹣4）．(1)画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A 1B 1C 1；(2)在x 轴上作出一点P ，使P A +PB 的值最小（保留作图痕迹）17．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别是()3,2A -，()0,4B ，()1,1C ．（1）画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，并写出点1A 的坐标：1A （_____，_____）． （2）ABC 的面积为_________．（3）在x 轴上有一点P ，使得PA PB +的值最小，请直接写出点P 的坐标：P （______，_____）．18．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC 的三个顶点A 、B 、C 都在格点上．（1）在图中画出与△ABC 关于直线L 成轴对称的△A ′B ′C ′；（2）求△ABC 的面积．（3）在直线L 上找出一点P ，使得P A +PC 的值最小．（在图上直接标记出点P 的位置）19．如图，ABC 三个顶点的坐标分别为()1,1A ，()4,2B ，()3,4C ．（1）请画出ABC 关于y 轴对称后得到的111A B C △．（2）请写出点1A 及点1B 点1C 的坐标：1A （ ， ），1B （ ， ）1C （ ， ）．（3）若P 点在x 轴上，当AP BP +最小时，直接写出AP BP +最小值为 ．参考答案：1．D2．B3．C4．D5．C6．C7．C8．109．50°10．30°11．412．5 613．PC垂线段最短14．15．α－β＝90°17．（1）1A（-3，-2）；（2）5.5；（3）（-2,0）18．）2；19．（2）（−1，1）；（−4，2）；（−3，4）；（3）答案第1页，共1页。
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13.4 课题学习最短路径问题
基础巩固
1．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．
2．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？
3．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．
4．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?
能力提升
5．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．
6．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500 m.
(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由；
(2)最短路程是多少？
参考答案
1．解：如图，作D 关于AB 的对称点D ′，连接CD ′交AB 于点E ，则点E 就是所求的点．
2．解：如图所示，(1)分别作点P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2；
(2)连接P 1P 2，与OA ，OB 分别相交于点M ，N .
因为乙站在OA 上，丙站在OB 上，所以乙必须站在OA 上的M 处，丙必须站在OB 上的N 处才能使传球所用时间最少．
3．解：(1)作点P 关于BC 所在直线的对称点P ′；
(2)连接P ′Q ，交BC 于点R ，则点R 就是所求作的点(如图所示)．
4．解：如图，作小明关于活动区域边线OP 的对称点A ′，连接AA ′交OP 于点B ，则小明行走的路线是小明→B →A ，即在B 处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A
.
5．解：如图，作P 关于OM 的对称点P ′，作P 关于ON 的对称点P ″，连接P ′P ″，
分别交MO ，NO 于Q ，R ，连接PQ ，PR ，则P ′Q ＝PQ ，PR ＝P ″R ，则Q ，R 就是小桥所在的位置．
理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．
6．解：(1)作法：如图作点A关于CD的对称点A′；
连接A′B交CD于点M.则点M即为所求的点．
证明：在CD上任取一点M′，连接AM′，A′M′，BM′，AM，
因为直线CD是A，A′的对称轴，M，M′在CD上，
所以AM＝A′M，AM′＝A′M′，所以AM＋BM＝A′M＋BM＝A′B，
在△A′M′B中，因为A′M′＋BM′＞A′B，
所以AM′＋BM′＝A′M′＋BM′＞AM＋BM，即AM＋BM最小．
(2)由(1)可得AM＝A′M，A′C＝AC＝BD，所以△A′CM≌△BDM，
即A′M＝BM，CM＝DM，所以M为CD的中点，且A′B＝2AM，
因为AM＝500m，所以A′B＝AM＋BM＝2AM＝1 000 m．即最短路程为1 000 m.。