2015年江苏高考南通密卷四南通市数学学科基地命题)

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江苏省高邮市界首中学2015届高三高考模拟数学试题(10)参考答案(南通市数学学科基地命题)

2015年高考模拟试卷(10)参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. -4；2. 8 ；3. )2,0[；4. 16； 5．2； 6. 6； 7. 16； 8. 12-； 9．34；10. π6．【解析】(3)()0AB AC AB AC -⋅-=，设AB = c ，AC = b ，则c 2 - 4bc cos A + 3b 2 = 0．△≥0，得162cos A -12≥0，∵cos A >0，∴cos A ．∴π6A ≤．角A 的最大值为π6． 11.())2,0(0,1⋃-.【解析】直线与圆有交点得430-<>t t 或，再有x y 2=和)1(1+-=x ay 得121+-=t a ，可得())2,0(0,1⋃-∈a ; 12. 6 . 提示：两个函数的图象均关于点（2，0）对称.13.4028. 【解析】由题意可得43214321+++++++++++=n n n n n n n n a a a a a a a a 与已知式两式相减得n n a a =+4，且8,443214=+++=a a a a a ，所以2015321...a a a a ++++=40282115038=+++⨯.14. (,6]a ∈-∞.【解析】数形结合229()(2x y a x-+≥+;二、解答题.15.（1）4cos ,5B =且(0,180)B ∈，∴3sin 5B ==．cos cos(180)cos(135)C A B B =--=-243cos135cossin135sin 2B B =+=-+10=- （2）由（Ⅰ）可得sin C ==．由正弦定理得sin sin BC AB A C =7AB=，解得14AB =．在BCD ∆中，7BD =， 22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=，所以CD =16.（1）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂ 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ．（2）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.又EFCF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ．17.(1)Rt △BOE 中，OB=50, ∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=50cos α. Rt △AOF 中，OA=50, ∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=50sin α. 又∠EOF=90°，∴EF==50cos sin αα, ∴505050cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++即50(sin cos 1)cos sin l αααα++=．当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时α=π6；当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时α=π3．故此函数的定义域为ππ[,]63.(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求OEF ∆的周长l 的最小值即可.由（1）得，50(sin cos 1)cos sin l αααα++=，ππ[,]63α∈设sin cos t αα+=，则21sin cos 2t αα-⋅=，∴250(sin cos 1)50(1)1001cos sin 12t l t t αααα+++===--. 由，5ππ7π12412α≤+≤t ≤≤11t ≤-≤，1111t ≤-，当π4α=，即BE=50时，min 1)l =,所以当BE=AE=50米时，铺路总费用最低，最低总费用为1)元.18. (1)将点),1(e 代入22214x y b +=，并结合422=+c b 可得椭圆方程为2214x y += （2）当直线AM 的斜率为1时，MN 过点为)0,56(-，猜想定点为)0,56(- 1:(2),:(2)AM y k x AN y x K=+=-+ 由22222(2)4(2)444y k x x k x x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩222222164(14)161640,214M k k x k x k x k -+++-=∴-=+2222222828414(,)1414414M M k x k k k M k k k y k ⎧-=⎪-⎪+∴⎨++⎪=⎪+⎩，同理222284(,)44k k N k k --++， 222222246420514(,0)6286516164428(14)5145PMk k k k k P k k k k k k k +-∴====----++++， 222224205428616164445PNPM PN kk k k k k k k k kk --+==∴=---++，， M 、P 、N 三点共线，故MN 过定点。

江苏高考南通密卷一(南通市数学学科基地命题)

2015年高考模拟试卷(1)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设，，其中是虚数单位，则．2．已知集合，．若，则实数的取值范围是．3．为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中株树木的底部周长（单位：)，所得数据如图．则在这株树木中，底部周长不小于的有株． 4．设向量，，且，若，则实数．5．如图所示的流程图的运行结果是． 6．将边长为的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为． 7．设等差数列的前项和为，若，．当取最大值时，． 8．已知，且，则．9．若在区间内任取实数，在区间内任取实数，则直线与圆相交的概率为．10．设函数()sin(2),[,]66f x x x a ππ=+∈-的值域是，则实数的取值范围为．11．已知函数满足：当时，，当时，．若在区间内，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是．12．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为、，满足，则椭圆的离心率的取值范围是．13．设数列的通项公式为，则满足不等式的正整数的集合为． 14．设函数，则满足的的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）在中，的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）设，为垂足，若，，求的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为矩形，，为上一点．（1）求证：平面平面；（2）若∥平面，求证：为的中点．17．（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．（1）求大学与站的距离；（2）求铁路段的长．18．（本小题满分16分）设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆．若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；（3）如图，、、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．19．（本小题满分16分）已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．（1）确定与的关系；（2）若，试讨论函数的单调性；（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：． 20．（本小题满分16分）设数列的前项和为，满足．（1）当时，①设，若，．求实数的值，并判定数列是否为等比数列； ②若数列是等差数列，求的值；（2）当时，若数列是等差数列，，且，131ni n λ=-≤+ 求实数的取值范围．DCBA第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，设、是圆的两条弦，直线是线段的垂直平分线．已知，求线段的长度． B ．（选修４－２：矩阵与变换）若点在矩阵对应变换的作用下得到点，求矩阵的逆矩阵． C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆经过点，圆心是直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程． D ．（选修４－５：不等式选讲）设均为正数，．求证：111a b c++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）已知数列满足，*1(33)46,n n n a n a n N n++++=∈．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当，时，12241521n n n b b b n +++++<-+． 23．（本小题满分10分）如图，已知点，直线:(0)l y p p p =->其中为常数且，为平面内的动点，过作的垂线，垂足为，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设是上的任意一点，过作轨迹的切线，切点为、． ①求证：、、三点的横坐标成等差数列；②若，，求的值．2015年高考模拟试卷(1) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.； 10.； 11.；【解析】当时，，由条件得，11()2()2ln 2ln f x f x x x===-，函数恰有一个零点方程有唯一解，在直角坐标系内分别作出与的图象，当直线经过点时，，当直线和曲线相切时，切点为，此时，由图象可知，当时，函数与的图象由唯一的交点．12.；【解析】在四边形中，，，，，由题意得，，即，化解得，又在椭圆中，． 13. {1，2，3}；【解析】由于数列的通项公式为，所以数列为等比数列，首项为，公比；数列也是等比数列，首项为，公比．不等式等价于，即231()1()323231132n n --⋅>--，解之得，，只能取． 14.；【解析】()3ln33ln32(33)ln322ln320x x x xf x --'=+-=+-≥->，函数在上单调递增，且，112220(2)(log )0log 0x x f x x ->⎧⎪∴-<⇔⎨<⎪⎩或1220log 0x x -<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得或．二、解答题15. （1）tan (2)tan b A c b B =-，由正弦定理，得sin sin sin (2sin sin )cos cos A BB C B A B⋅=-⋅, 又在中，， sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B ∴=-，即sin()2sin cos A B C A +=，又，，又，；（2）由余弦定理，，，，，， 11sin 22BC AD AB AC A ⋅=⋅⋅，即，， 227cos 7AD AC AD AC C AD AD ⋅∠∴⋅===.16.（1）底面为矩形，，又，，，平面，又，平面平面；（2）连接，交于，连接，平面，平面平面，，，底面为矩形，是的中点，即，，为的中点.17. （1）在中，，且，，由余弦定理得，2222cos AM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠2215215=+-⨯ 13915152315372.=⨯+⨯-⨯⨯⨯=，即大学与站的距离为；（2），且为锐角，，在中，由正弦定理得，,，，，，，，，sin sin()4ABO πα∴∠=-=，又，sin sin()AOB πα∴∠=-，在中，，由正弦定理得，，即1521AB =，，即铁路段的长为． 18. （1）圆的方程为，直线与圆O 相切，，即，又，，，椭圆的方程为；（2）由题意，可得11((,M N ，圆的半径，AB ∴==的面积为；（3）由题意可知1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)A A B B --，的斜率为，直线的方程为，由2214(2)x y y k x =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=，其中，，，则直线的方程为，令，则，即，直线的方程为，由，解得4221421k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，，的斜率421212(21)4242121k k k m k k k k -+-==-+-+- ，2112242k m k k +-=⋅-=（定值）． 19. （1）22()()ln g x f x ax bx x ax bx =++=++，，由题意得，；（2）11(21)(1)()2221(0)ax x g x ax b ax a x x x x--'=++=+--=>，①当时，，当时，，函数在单调减；当时，，函数在单调增；②当时，即，12()(1)2()(0)a x x a g x x x--'=>，函数在上单调减；函数在和单调增；③当时，即，2(1)()0(0)x g x x x-'=≥>，函数在单调增；④当时．即，12()(1)2()(0)a x x a g x x x--'=>，函数在单调减区间；函数在和单调增；（3）由题设，21212211ln ln 1111x x k x x x x x x -∴<<⇔<<- 21212121ln ln x x x xx x x x --⇔<-<22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<- ① 令，则11()1(1)xh x x x x-'=-=>，时，，函数在是减函数，而，时，，， 222111()ln 10x x xh x x x ∴=-+<，即， ②令1()ln 1(1)H x x x x =+->，则22111()(1)x H x x x x x-'=-=>，时，，在是增函数，时，， 2221111()ln 10x x H x x x x ∴=+->，即221111ln x x x x -< ③由①②③得． 20.（1），，①令，可得，即，令，可得，即，,213122n n a S n n ∴+=++， ①当时，21113(1)(1)122n n a S n n --∴+=-+-+， ②①-②，得，11[(1)]2n n a n a n -∴-=--，即，又，，，数列是等比数列； ② 数列是等差数列，设11(1)(1),2n n n n a a n d S na d -=+-=+，， 1221()221d dn a n a An B d n ∴++++=+-，11221d A d B a a d ⎧=⎪⎪⎪∴=+⎨⎪-=⎪⎪⎩，111122122223d d d a a d d d Ad B +--=++-∴===；（2）当时，数列是等差数列，，(1)1(1),2n n n n a n d S n d -=+-=+，22(1)122d dn n An Bn d ∴++=++-，，，2n 1(1)11111(1)1n n a n n n n ++++==+-++， 1111ni n n ==+-∴+， 13311111n i n n n n λλ=∴-≤-≤+-+++，即，，，令， 22222()1x f x x x -'=-=，当时，，在上是增函数，而，，．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A ．连接BC ，相交于点．因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°．设，则，由射影定理得 CE 2＝AE ·EB ，又，即有，解得（舍）或所以，AC 2＝AE ·AB ＝5×6＝30，． B ．，即，解得，，解法一：， 11212777731317777M ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 解法二:设，由，得32103201c dc d e f e f +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦31,30,20,2 1.c d e f c d e f +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解得1,72,73,71.7c d e f ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩112773177M -⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． C ．因为圆心为直线与极轴的交点，所以令，得，即圆心是，又圆经过点，圆的半径1r =，圆过原点，圆的极坐标方程是．（说明：化为普通方程去完成给相应的分数）D.由为正数，根据平均值不等式，得，，．将此三式相加，得1112()a b c ++≥111a b c ++．由，则有．所以，111a b c ++= 22.（1）令，则11(33)4622(33)(2)23311(1)n n n n n n n a n a n a a n c n n nc n n ++++++++++====+++=，，，，数列，即是等比数列；（2）由（1）得，，，下面用数学归纳法证明当，时，12241521n n n b b b n +++++<-+．①当时，不等式的左边，右边，而，时，不等式成立；②假设当时，不等式成立，即12241521k k k b b b k +++++<-+；当时，11122(1)12221221()()k k k k k k k k k b b b b b b b b b +++++++++++++=+++++-4111152121221k k k k <-++-++++ 41152214152(1)4152(1)1k k k k =+-++=-+<-++当时，不等式也成立．由①②可得，当，时，12241521n n n b b b n +++++≤-+． 23. （1）设，则，，，，，，22()2()p y p x p y p ∴+=--，，即动点的轨迹的方程为；另解：设，则，，，以为邻边的平行四边形是菱形，，y p =+ ，，即动点的轨迹的方程为；（2）①设，，，则切线的方程，21101()42x x p x x p p∴--=-，， ① 同理， ②方法1:①②得12120()(2)0x x x x x -+-=，12120,20x x x x x ≠∴+-=，，即、、三点的横坐标成等差数列.方法2：由①②得是方程的两根，，即、、三点的横坐标成等差数列.②由①②得是方程的两根，，，，，20，20=，20=，，或.。

2015年江苏高考南通密卷六(南通数学学科基地命题)

2
12.在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c,且 2c cos B 2a b, 若 ABC 的面积为
S
3 c ，则 ab 的最小值为_________. 2
13. 若对任意的 x∈D，均有 f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立，则称函数 f(x)为函数 f1(x)到函数 f2(x)在区间 D 上的“折中函数”．已知函数 f(x)＝(k－1)x－1，g(x)＝0，h(x)＝(x＋1)ln x，且 f(x)是 g(x)到 h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数 k 的取值集合为________． 14. 已知 m R, n R 并且 m+3n=1 则 me 3ne 的最小值__________ . 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.
m 3n
A, B, C 的对边分别是 a, b, c ， 15． (本小题满分 14 分)在 ABC 中，已知向量 m (sin( C),cos C) ，，且 m n sin 2 A ．
n (sin( B ),sin B) 2

（1）求 A；（2）若
c b 4 ，求 sinBsinC 的值. b c
16．(本小题满分 14 分)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD＝DC，E 是 PC 的中点. ⑴求证：PA∥平面 BDE； ⑵求证：平面 BDE⊥平面 PBC.
17．（本小题满分 14 分）如图是一块镀锌铁皮的边角料 ABCD ，其中 AB, CD, DA 都是线段，曲线段 BC 是抛物线的一部分，且点 B 是该抛物线的顶点，BA 所在直线是该抛物线的对称轴. AB 2 米，AD 3 米，AB AD ，经测量，点 C 到 AD, AB 的距离 CH , CR 的长均为 1 米．现要用这块边角料裁一个矩形 AEFG （其中点 F 在曲线段 BC 或线段 CD 上，点 E 在线段 AD 上，点 G 在线段 AB 上）. 设 BG 的长为 x 米，矩形 AEFG 的面积为 S 平方米. （1）将 S 表示为 x 的函数；（2）当 x 为多少米时， S 取得最大值，最大值是多少？ D

江苏高考南通密卷四(南通市数学学科基地命题)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2015年高考模拟试卷(4)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，{}3,5B =，则()U C AB = ．2. 已知复数z 满足i z i 51)1(+-=+，(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z = .3. 已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是．4. 某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为．日期频率组距0 5 10 15 20 25 30 (第4题图) （第5题图）411←←←i b a While 5i ≤12+←+←+←i i b a b ba aEnd While Print b5. 如图程序运行的结果是．6. 顶点在原点且以双曲线1322=-y x 的右准线为准线的抛物线方程是．7. 给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号是． 8. 已知π()3sin(2)6f x x =-，若存在π(0,)2α∈，使()()f x f x αα+=--对一切实数x 恒成立，则α= ．9. 设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为．10. 若0,0,x y >>则x y x y++的最小值为．11. 在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60︒，则圆M 的方程为．13．三次函数)(x f y =的两个极值点为12,.x x 且11,())Px f x （与原点重合，22(,())Q x f x 又在曲线221x x y -+=上，则曲线)(x f y =的切线斜率的最大值的最小值为_________.14. 设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， sin sin tan cos cos A B C A B+=+.（1）求C ；（2）若△ABC 的外接圆直径为1,求a b +的取值范围.16．(本小题满分14分)在正四棱锥S ABCD -中，底面边长为a ，侧棱长为2a ，P 为侧棱SD 上的一点.（1）当四面体ACPS 的体积为3618a 时，求SPPD的值；（2）在（1）的条件下，若E 是SC 的中点，求证：//BE APC 平面17．（本小题满分14分）如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知AB 为直径，且2AB =km ,O 为圆心，C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且CD ∥AB ．现在准备从A 经过C 到D 建造一条观光路线，其中A 到C 是圆弧AC ，C 到D是线段CD .设rad AOC x ∠=，观光路线总长为km y . （１）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（２）求观光路线总长的最大值.A DBCSP(第17题图) OA C D B18．（本小题满分16分）如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =，12DF F ∆的面积为22. （1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.19．（本小题满分16分）已知函数()()32ln ,g x a x f x x x bx ==++.（1）若()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，求实数b 的范围；（2）若对任意[]1,x e ∈，都有()2(2)g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0b =时，设()()1()1f x x F xg x x -<⎧=⎨≥⎩，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由.20．（本小题满分16分）已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和正数b 1，b 2，…，b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列．（1）若m ＝5，a 3b 3＝54，求ba 的值；（2）若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；（3）求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．(第21-A 题图)A B PO EDC·第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ，求证：∠PDE =∠POC ．B ．（选修４－２：矩阵与变换）若二阶矩阵M 满足：12583446M ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.(Ⅰ）求二阶矩阵M ；(Ⅱ）若曲线22:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知点(12cos ,2sin )P αα-+（其中[)0,2)απ∈，点P 的轨迹记为曲线1C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线21:2cos()4C ρπθ=+上． (Ⅰ)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)当0,02ρθπ≥≤<时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yz zx xy x y z ≥++++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．（本小题满分10分）从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =中任取三个元素构成子集{,,}a b c （1）求,,a b c 中任意两数之差的绝对值不小于2的概率；（2）记,,a b c 三个数中相邻自然数的组数为ξ（如集合{3,4,5}中3和4相邻，4和5相邻， 2ξ=），求随机变量ξ的分布率及其数学期望()E ξ.23．（本小题满分10分）设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数．（1）求a 3；（2）求a n ．2014年高考模拟试卷(4)参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.{1,2,4,5}；2.23i -； 3．56； 4．1200； 5．14； 6．26y x =-； 7．①② ； 8．12π ； 9．94； 10．22.【解析】222112224x y xy xy x y x yx y xyx y xyxy++==-≥-=+++++，当且仅当x y =时，取等号； 11． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 . 【解析】以CA 、CB 所在直线为x 、y 轴，建立平面直角坐标系，设M(x,y )，则x ＋y ＝2，y ＝2－x ，即M(x , 2－x )，又MN ＝2，所以点N 坐标为(x ＋1，2－x －1)，即N(x＋1，1－x )，于是CM CN ⋅＝x (x ＋1)＋(2－x ) (1－x )＝2x 2－2x ＋2＝2132()22x -+(0≤x ≤1)，所以x ＝12时CM CN ⋅取最小值32，x ＝0或1时CM CN ⋅取最大值2，因此CM CN ⋅的取值范围为⎣⎡⎦⎤32，2； 12．22(1)1x y -+=.【解析】∵当P 在圆C 上运动时∠APB 恒为60°，∴圆M 与圆C 一定是同心圆，∴可设圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝r 2.当点P 坐标是(3，0)时，设直线AB 与x 轴的交点为H ，则MH ＋HP ＝2，MH ＝12r ，AB ＝2×32r ，所以12r ＋2×32r ×32＝2，解得r ＝1，所以所求圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1； 13．43.【解析】设d cx bx ax x f +++=23)(，依题意知0)0(0)0('==f f 且，∴0==d c ，故23)(bx ax x f +=，bx ax x f 23)(2'+=，由221x x y -+=及点Q 在其上，可设Q 点的坐标为],0[),sin 1,cos 1(πθθθ∈++. 由Q 为)(x f y =的一个极值点得⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+)cos 1(2)cos 1(30)cos 1()cos 1(sin 1223θθθθθb a b a ，显然πθθ≠-≠,1cos ，∴a b 32cos 1-=+θ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=23)cos 1()sin 1(3)cos 1()sin 1(2θθθθb a ，∵0<a ，∴bx ax x f 23)(2'+=存在最大值θθθcos 1sin 123)2cos 1()32(''++⋅=+=-f a b f ，数形结合可求得OQ k ⋅=++⋅23cos 1sin 123θθ，其最小值为43.14．92．【解析】易知d =0，成立．当d >0时， d a d a a 5320142014531154-=⇒=+=d )k (d )k (a a k 5420145454-+=-+=[][]2014201454201438535420145320141254⨯=-+-=-+-==d )k ()d (d )k ()d (a a a k []20143854201438⨯=-+-)d k ()d ()k (d )k (d )k (d )k (1073854010738542-=-⇒=-+--107385438107383854⨯-=-⇒⨯-=-k )d (d d kd*N dd d )d (d d k ∈-⨯+=-⨯+=-⨯-⨯+-=-⨯-=3853385438533854381073838543854381073854又⎩⎨⎧>>-⇒>-=-=0038038535320141d d )d (d a 38380<-<∴d381,2,19d ∴-=， 37,36,19d ∴=，所以公差d 的所有可能取值之和为92．二、解答题15． (1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+,即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+,所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+,即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-, 得 sin()sin()C A B C -=- ，所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). 即 2C A B =+, 得 3C π= ；(2)法一：由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-.因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====, 故(sin sin )sin()sin()33a b A B ππαα+=+=++- 3cos α=，33ππα-<<，1cos 12α<≤，332a b <+≤.法二：233sin sin sin sin()sin cos 322a b A B A A A A π+=+=+-=+3sin()6A π=+ ， 250,3666A A ππππ<<<+<，13sin()1,3262A a b π∴<+≤∴<+≤ . 16．（1）设PD x =，设P 作PH BD ⊥于H ，SBD ABCD ⊥平面平面且BD 为交线，则PH ⊥平面ABCD ，又SO ABCD ⊥平面//PH SO ∴，在Rt SOB ∆中，2262SO SB BO a =-=， 63222x a PH PD PD SOPH x SO SD SDa ⋅⋅=∴==，311636()()322218SPAC S ACD P ACD V V V a a a x a --∴=-=⨯⨯⨯-= ，解得23x a =221SP PD ∴==. （2）取SP 中点Q ，连结,QE BQ ，则//,,//EQ PC EQ PAC PC PAC EQ PAC ⊄⊂∴平面，平面平面，则//,,//BQ PO BQ PAC PO PAC BQ PAC ⊄⊂∴平面，平面平面，而EQ BQ 与为平面BEQ 内的两条相交直线，//BEQ PAC ∴平面平面，而BE BEQ ⊂平面，//BE APC ∴平面．【注】第（2）问，也可以连结ED ，ED 交CP 于Q ，用平几知识证明Q 为ED 中点，进而证明OQ ∥BE ，从而获证.17．(1)由题意知，1AC x x =⨯=， 2cos CD x =，因为C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且//CD AB ，所以02x π<<, 所以2cos y x x =+ ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. (2)记()2cos f x x x =+,则()12sin f x x '=-，令()0f x '=，得6x π=，列表x(0，6π) 6π (6π，2π) ()f x ' ＋ 0－f (x )递增极大值递减所以函数()f x 在π6x =处取得极大值，这个极大值就是最大值，即()366f ππ=+，答：观光路线总长的最大值为36π+千米．18．（1）设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，由12122F F DF =,得1212222F F DF c ==. 从而122112122,222DF F S DF F F c ∆=⋅==故1c =. 从而122DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此2322DF =. 所以12222a DF DF =+=，故2222,1a b a c ==-=.因此，所求椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()()111222,,,P x y P x y 是两个交点，120,0y y >>，11F P ,22F P 是圆C 的切线，且11F P ⊥22F P由圆和椭圆的对称性，易知2112,x x y y =-=,1212||PP x =，由（1）知()()121,0,1,0F F -，所以()()111122111,,1,F P x y F P x y =+=--，再由11F P ⊥22F P得()221110x y -++=，由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =. 当10x =时，12,P P 重合，此时题设要求的圆不存在. 当143x =-时，过12,P P 分别与11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ，设()00,C y 由111,CP F P ⊥得101111,1y y y x x -⋅=-+而1111,3y x =+=故053y =. 圆C 的半径221415423333CP ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上，存在满足条件的圆，其方程为2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.19.（1）由()bx x x x f ++=23得()b x x x f ++='232，因()x f 在区间[]2,1上不是单调函数. 所以()b x x x f ++='232在[]2,1上最大值大于0，最小值小于0,()313132322-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++='b x b x x x f ,()()⎩⎨⎧+='+='∴b x f bx f 516min max ，516-<<-∴b .(2)由()()x a x x g 22++-≥，得()x x a x x 2ln 2-≤-,[]x x e x ≤≤∴∈1ln ,,1 ，且等号不能同时取，x x <∴ln ，即0ln >-x x .x x xx a ln 22--≤∴恒成立，即min2ln 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤x x x x a . 令()[]()e x x x x x x t ,1,ln 22∈--=，求导得()()()()2ln ln 221x x x x x x t --+-=',当[]e x ,1∈时，0ln 22,1ln 0,01>-+≤≤≥-x x x x ，从而()0≥'x t .()x t ∴在[]e ,1上是增函数，()()11max -==∴t x t .1-≤∴a .(3)由条件，()⎩⎨⎧≥<+-=1,ln 1,23x x a x x x x F ,假设曲线()x F y =上存在两点Q P ,满足题意，则Q P ,只能在y 轴两侧, 不妨设()()()0,>t t F t P ，则()23,tt t Q +-，且1≠t ,POQ ∆ 是以O 为直角顶点的直角三角形，0=⋅∴OQ OP ,()()0232=++-∴t t t F t ()*是否存在Q P ,等价于方程()*在0>t 且1≠t 是否有解.①当10<<t 时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简0124=+-t t ，此方程无解；②当1>t 时，方程()*为()0ln 232=++-tt t a t ，即()t t aln 11+=设()()()1ln 1>+=t t t t h ，则()11ln ++='tt t h ,显然，当1>t 时，()0>'t h ，即()t h 在()+∞,1上为增函数.()t h ∴的值域为()()+∞,1h ，即()+∞,0，∴当0>a 时，方程()*总有解.∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上. 20．（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则d ＝b －a6，q ＝6b a．a 3＝a ＋3d ＝a ＋b2，b 3＝aq 3＝ab ．因为a 3b 3＝54，所以2a －5ab ＋2b ＝0，解得b a ＝4或14．（2）因为λa ＝a ＋(m ＋1)d ，所以d ＝λ－1m ＋1a ，从而得a n ＝a ＋λ－1m ＋1a ×n ．因为λa ＝a ×q m ＋1，所以q ＝λ1m ＋1，从而得b n ＝a ×λnm ＋1．因为a n －5＝b n ，所以a ＋(λ－1)(n －5)m ＋1×a ＝a ×λnm ＋1．因为a ＞0，所以1＋(λ－1)(n －5)m ＋1＝λnm ＋1（*）．因为λ，m ，n ∈N *，所以1＋(λ－1)(n －5)m ＋1为有理数．要使（*）成立，则λnm ＋1必须为有理数．因为n ≤m ，所以n ＜m ＋1．若λ＝2，则λnm ＋1为无理数，不满足条件．同理，λ＝3不满足条件．当λ＝4时，4n m ＋1＝22n m ＋1．要使22nm ＋1为有理数，则2nm ＋1必须为整数．又因为n ≤m ，所以仅有2n ＝m ＋1满足条件．所以1＋3(n －5)m ＋1＝2，从而解得n ＝15，m ＝29．综上，λ最小值为4，此时m 为29． (3)证法一：设c n ＞0，S n 为数列{c n }的前n 项的和．先证：若{c n }为递增数列，则{S nn }为递增数列．证明：当n ∈N *时，S n n ＜nb n ＋1n＝b n ＋1．因为S n ＋1＝S n ＋b n ＋1＞S n ＋S n n ＝n ＋1n S n ，所以S n n ＜S n ＋1n ＋1，即数列{S nn}为递增数列．同理可证，若{c n }为递减数列，则{S nn }为递减数列．①当b ＞a 时，q ＞1．当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＞S nn ．即aq (q m ＋1－1)q －1m ＋1＞aq (q n －1)q －1n ，即aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －a n ．因为b ＝aq m ＋1，b n ＝aq n ，d ＝b －a m ＋1，所以d ＞b n －an ，即a ＋nd ＞b n ，即a n ＞b n ．②当b ＜a 时，0＜q ＜1，当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＜S nn ．即aq (q m ＋1－1)q －1m ＋1＜aq (q n －1)q －1n ．因为0＜q ＜1，所以aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －an ．以下同①．综上， a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．A ．因AE=AC ，AB 为直径，故∠OAC=∠OAE ．所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC ．又∠EAC=∠PDE ，12583446M ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以，∠PDE=∠POC ．B ．（1）设1234A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则12234A ==-，1213122A --⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥-⎣⎦，21582131461122M -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2）11112x x x x x M M y y y y y -'''-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即,2,x x y y x y ''=-⎧⎨''=-+⎩代入22221x xy y ++=可得()()()()2222221x y x y x y x y ''''''''-+--++-+=，即22451x x y y ''''-+=，故曲线C '的方程为22451x xy y -+=．C ．(Ⅰ)曲线1C ：22(1)2x y ++=，极坐标方程为212cos ρρθ=-，曲线2C 的直角坐标方程为1y x =-； (Ⅱ) 曲线1C 与曲线2C 的公共点的坐标为(0,1)-，极坐标为3(1,)2π． D ．因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥．同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++++≥． 22．（1）从9个不同的元素中任取3个不同的元素，为古典概型. 记“,,a b c 中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A ，其基本事件总数为39n C =．由题意，,,a b c 均不相邻，利用插空法得，事件A 包含基本事件数37m C = ，所以，,,a b c 中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为512．（2）ξ0 1 2P512 12 1125112()012122123E ξ=⨯+⨯+⨯= ． 23．（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 35=；（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n kn k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-，从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---，所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑．。

江苏省通锡苏2015届高考密卷数学试题含答案

绝密★启用前通锡苏2015届高考数学密卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题—第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0。

5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5.如需作图，须用2B 铅笔绘,写清楚，线条,符号等须加黑加粗。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共计70分． 1。

已知集合{}{}=13579,=37U A ，，，，，，则UA =_________。

2. 已知复数z 满足2=1i z i --(i 为虚数单位），则||z =_________.3. 通锡苏学大教育目前有高一、高二、高三年级学生人数分别为600人、588人、612人,现用分层抽样的方法从三个年级中抽取一些学生参加“我为国家添绿色"植树行动，若从高三年级抽取了51人，则三个年级共抽取的学生人数应为_________.4. 从1,2,3,5四个数中随机地选取三个不同的数，则所取三个数能构成等差数列的概率是_________.5。

右图是一个算法流程图，则输出的n 值为_________. 6. 函数2()3sin cos cos f x x x x =+，则函数()f x 在区间83ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为_________。

7。

已知圆锥的母线长为5，高为21，则此圆锥的底面积和侧面积之比为_________.8. 函数2()ln 1f x a x bx =++在与x轴交点处的切线方程为1y x =-，则ab =________。

9. 如图，在直角梯形ABCD 中,//AB AD AB CD ⊥，,E 为CD中点，24AB CD ==，若4AE BE ⋅=，则=AC BC ⋅_________。

江苏高考南通密卷二(南通市数学学科基地命题)

2015年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合，，且，则实数的值为．2．设2(12)(,R)i a bi a b +=+∈，其中是虚数单位，则． 3．已知函数是奇函数，当时，，且，则．4．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是． 5．设点，，，是球表面上的四个点，，，两两互相垂直，且，则球的表面积为．6．已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+<>>，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =<>->，若向区域上随机投掷一点，则点落入区域的概率为． 7．将参加夏令营的名学生编号为：，采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，且随机抽得的号码为，这名学生分住在三个营区，从到在第一营区，从到在第二营区，从到在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为． 8．中，“角成等差数列”是“sin sin )cos C A A B =+”成立的的条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一) 9．已知双曲线，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为的两部分，则双曲线的离心率为．10．已知442cos sin ,(0,)32πααα-=∈，则．11．已知正数依次成等比数列，且公比．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则公比的取值集合是． 12．如图，梯形中，，，，若，则．13．设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是．14．设函数满足，且当时，．若在区间内，存在个不同的实数，使得312123()()()f x f x f x t x x x ===，则实数的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）在中，，．（1）求的值；（2）若，求的面积．第12题图0,1s n ←←第4题图16．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，．在面中，，，为的中点，过三点的平面交于点．（1）求证：为中点；（2）求证：平面平面．17．（本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为，体积为．（1）求关于的函数关系式；（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，的最大值是多少？并求此时的值．18．（本小题满分16分）(第17题图)图B CA1B1C1MNA第16题图已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为，并且椭圆经过点，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足．（1）求椭圆的方程；（2）证明：为定值；（3）是否存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列是等差数列，是等比数列，且满足，．（1）若，．①当时，求数列和的通项公式；②若数列是唯一的，求的值；（2）若，，均为正整数，且成等比数列，求数列的公差的最大值．20．（本小题满分16分）设函数有且仅有两个极值点．（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数满足？如存在，求的极大值；如不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AD是∠BAC的平分线，圆O过点A且与边BC相切于点D，与边AB、AC分别交于点E、F，求证：EF∥BC．B．（选修４－２：矩阵与变换）已知，求矩阵．C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆是以点为圆心，为半径的圆．（1）求圆的极坐标方程；（2）求圆被直线所截得的弦长．D．（选修４－５：不等式选讲）设正数满足，求的最小值．AB DE FO·【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）直三棱柱中，已知，，，.是的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的大小的余弦值.23.（本小题满分10分）设且，集合的所有个元素的子集记为．（1）求集合中所有元素之和；（2）记为中最小元素与最大元素之和，求32015132015CiimC=∑的值．1A1B1CDAC B2015年高考模拟试卷(2) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．充分不必要；【解析】条件“角成等差数列”；结论“sin sin )cos C A A B =+”sin()cos sin cos A B A B A B +=+cos sin cos A B A B =或或．所以条件是结论的充分不必要条件． 9．； 10．； 11．；【解析】若删去，则成等差数列，，即，（舍去）或或（舍去）；若删去，则成等差数列，，即，（舍去）或或（舍去）或． 12．；【解析】0AD DC CB BA +++=，，22()()()()AD DC BC CD AD BC CD AD BC CD AD BC CD AB CD CD ∴+⋅+=⋅+⋅--=⋅+⋅+-，，，，，． 13．；【解析】由条件得，不妨设，则，即；同理得当时，．而，的取值范围是． 14．．【解析】，，当时，，，在直角坐标系内作出函数的图象，而表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率．图象上的点与与原点的连线的斜率为；当过原点的直线与曲线相切时，斜率为（利用导数解决）．由图可知，满足题意得实数的取值范围为．二、解答题15．（1）因为在中，，所以为锐角，且cos A =．所以sin sin()cos 2C A A π=+=（2）由正弦定理得，所以sin sin BC C AB A === 因为在中，，所以为钝角，且cos C ==．因为在中，，所以1sin sin()sin cos cos sin (3B AC A C A C =+=+=+=．所以的面积为111sin 223ABC S AB BC B ∆=⨯⨯=⨯=．16． (1)由题意，平面平面，平面与平面交于直线，与平面交于直线，所以．因为，所以，所以．因为为的中点，所以，所以为中点． (2)因为四边形是边长为的菱形，．在三角形中，，，由余弦定理得，故，从而可得，即．在三角形中，，，，则，从而可得，即．又，则．因为，面，面，所以平面．又平面，所以平面平面．17．正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为，高为．由题意得，解得．则h=．所以，正三棱锥体积21133V Sh==设4452100(100)4848x xy V===，求导得，令，得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以，当时，取得极大值也是最大值．此时，所以．答：当底面边长为时，正三棱锥的最大体积为．18．（1）由题设：22111,a b⎪+=⎪⎩解得，椭圆的方程为（2）①直线的斜率不存在或为0时，222221122224233OA OB OM a b++=+=+=；②直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，则，直线的方程为，由得，，同理，22222221123313(1)(1)(1)12122kk kk k k k+++⋅+⋅+⋅+++，2221122OA OB OM∴++=为定值；（3）由（2）得：①直线的斜率不存在或为0时，2222111112133OA OM a b+=+=+=；②直线的斜率存在且不为0时，22222222222111112213133(1)3(1)(1)(1)122k kkOA OM k kkk k k+++=+=+=+++⋅+⋅++原点到直线的距离1d=，直线与圆相切，即存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切．19．（1）①由数列是等差数列及，得，由数列是等比数列及，得．设数列的公差为，数列的公比为，若，则有，解得或9,22dq⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．所以，和的通项公式为或2912,23(2)nnna nb-⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩②由题设，得，即（*）．因为数列是唯一的，所以若，则，检验知，当时，或（舍去），满足题意；若，则，解得，代入（*）式，解得，又，所以是唯一的等比数列，符合题意．所以，或．（2）依题意，，设公比为，则有336(3)(33)d d qq=-+++，（**）记，，则．将（**）中的消去，整理得2()3()360d m n d m n+-++-=，=而，所以的可能取值为：(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4)12,3),(18,2),(36,1)．所以，当时，的最大值为．20．(1)．显然，是直线与曲线两交点的横坐标．由，得．列表：此外注意到：当时，；当及时，的取值范围分别为和．于是题设等价于<，故实数的取值范围为． (2)存在实数满足题设．证明如下：由(1)知，，，故1112213111()+2x x x x f x =ax e e e e x =-=，故．记231()(01)2x xe R x e e x x =--<<，则2(1)1()02x x e x R x e x -'=-<，于是，在上单调递减．又，故有唯一的零点．从而，满足的．所以，．此时，，又，，，而，故当时,.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.A . 如图，连结．因为与圆相切，所以．因为与为弧所对的圆周角，所以．又因为是的平分线，所以．从而．于是． B ．设则1 0 1 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ，故4,4,3,3,4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B ABDEF O·C ．（1）圆是将圆绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆的极坐标方程是．（2）将代入圆的极坐标方程，得，所以，圆被直线所截得的弦长为． D. 因为均为正数，且，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9≥=，当且仅当时，上式等号成立．从而1111323232a b c ++≥+++．故的最小值为．此时．22．在直三棱柱中，，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C , 是的中点，，（1）111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==-，设平面的法向量，则，即，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面的法向量，而，1111113cos ,n DB n DB n DB ⋅∴<>==⋅，直线与平面所成角的正弦值为；（2），设平面的法向量，则，即，取222032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面的法向量，121212130cos ,n n n n n n ⋅∴<>==⋅，二面角的大小的余弦值．23．（1）因为含元素的子集有个，同理含的子集也各有个，于是所求元素之和为22211(123)(2)(1)4n n C n n n -++++⨯=--；（2）集合的所有个元素的子集中：以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个．222122(1)()n n n C C C --=++++ 22231233(1)()n n n C C C C --=+++++22231244(1)()n n n C C C C --=+++++， 3131n C i i n m n C =∴=+∑． 32015132015201512016C i i m C =∴=+=∑．。

江苏省南通市2015届高三高考密卷(五)(数学学科基地命题)数学试题含解析

2015年高考模拟试卷(5）南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（共160分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数y ＝2sin （3x ＋错误!)的最小正周期为．【答案】错误! 【解析】试题分析:根据函数()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期是2T πω=可得。

考点：三角函数的周期.2。

设复数z 满足z （1+2i ）=2－i ，则|z ｜＝．【答案】1 【解析】试题分析：由已知得(12)2z i i +=-，122z i i ⋅+=-，55z =1z =.考点:复数的运算.3.集合{x ｜－1≤log 错误!10〈－错误!，x ∈N *｝的真子集的个数是．【答案】290-1 【解析】试题分析：111log 102x -≤≤-11log 102x ⇒-≤-≤-1log 1012x ⇒≤≤121010x x ≥⎧⎪⇒⎨⎪≤⎩10100x ⇒≤≤，因此集合11{|1log10,*}2xx x N -≤≤-∈{|10100,*}x x x N =≤≤∈有90个元素，真子集有9021-个。

考点：解对数不等式，子集.4.从｛1，2,3，…,18｝中任取两个不同的数，则其中一个数恰好是另一个数的3倍的概率为．【答案】错误!【解析】试题分析：从题中18个数里任取两个数方法数为218153C=,“其中一个数恰好是另一个数的3倍”只有(1,3),(2,6),(3,9),(4,12),(5,15),(6,18)共6种取法，因此概率为6215351=。

考点:古典概型。

5.运行如图的算法,则输出的结果是．【答案】36【解析】试题分析：第一次循环后x的值为4,第二次循环后x值为36，这里循环结束，输出为36.考点：循环结构与算法.6。

某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如图的频率分布直方图，第5题请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为．【答案】71 【解析】试题分析：(450.01550.015650.015750.03850.025950.005)1071⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=. 考点：频率分布直方图，用样本估计总体.7.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点,则三棱锥D 1－EDF 的体积为．【答案】错误! 【解析】试题分析:111111113326D EDFF D ED D DE VV S AB --∆==⋅=⋅⋅=。

2015年江苏高考南通密卷八(南通市数学学科基地命题)

(第3题图)20XX 年高考模拟试卷(8) 南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1.若复数z 满足（1+i ）z =2 (i 为虚数单位)，则z = ．2.已知集合A ＝{0，1，2}，则满足A ∪B ＝{0，1，2}的集合B 的个数为．3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50km/h4.右图是一个算法流程图，若输入的x 的值为1，则输出S 的值为．5.设函数2()log (5)f x x =-(05)x <<，则()1f x <的概率为．6.在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，()3,1OA =-uur ，()2,OB k =-uu u r，则实数k = ． 7.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线C 与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为．8.已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为．9.已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，若12a a <，2510a a =，且13S 、22S 、3S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a = ．10.若函数2()2f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 . 11.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，F 是棱BC 的中点，M 是线段1A F 上的动点，则△1MDD 与△1MCC 的面积和的最小值是． 12.函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且x ≤0时，()122x f x x a =-+，则函数()f x 的零点个数是．13.设正实数x ，y 满足4x yxy x y -=+，则y 的最大值是．14.在直角坐标中xOy ，圆1C ：224x y +=，圆2C ：2216x y +=，点()1,0M ，动点P 、Q 分别在圆1C 和圆2C 上，满足MP MQ ⊥，则线段PQ 的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.(第4题图)15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos B ＝c cos B ＋b cos C ．（1）求角B 的大小；（2）设向量m =(cos A ，cos 2A )，n =(12，－5)，求当⋅m n 取最大值时，tan C 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，ADC ∠=90°，12BC AD =，PA PD =，,M N 分别为AD 和PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MNB ；（2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．17．（本小题满分14分）轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面P AD M N B (第16题图)高为1 m 的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE 与抛物线ABC 在同一平面内)，D 为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x 轴在地面上，助跑道一端点A(0,4)，另一端点C(3,1)，点B(2,0)，单位：m. (1)求助跑道所在的抛物线方程；(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4 m 到6 m 之间(包括4 m 和6 m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围．(注：飞行距离指点C与点E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>与直线()0y kx k =>相交于,A B 两点（从左至右），过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，直线AC 交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为2，点B 的坐标为)，求椭圆的方程；（2）若以AD 为直径的圆恰好经过点B ，求椭圆的离心率．19．（本小题满分16分）数列{}n a 的首项为a （0a ≠），前n 项和为n S ，且1n n S t S a +=⋅+（0t ≠）．设1n n b S =+，12n n c k b b b =++++（0k >）．(第18题图)（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当1=t 时，若对任意*N ∈n ，3||||n b b ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）当1≠t 时，试求三个正数a ，t ，k 的一组值，使得{}n c 为等比数列，且a ，t ，k 成等差数列． 20．（本小题满分16分）已知函数()22ln f x x x ax =+-，()()()2ln 31g x x x a x =-+-．（1）若函数()f x 在区间[]1,4上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若曲线()g x 在x e =处的切线平行于直线0x y +=，求证：对()0,x ∀∈+∞，()404e g x x x++>；（3）设函数()()()h x f x g x '=-，试讨论函数()[],1,4y h x x =∈的零点个数．20XX 年高考模拟试卷(8)参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．1i -; 2．8 ; 3．77 ; 4．153; 5．25; 6．4 ; 7.4 ; 8．{13，23，1}. 【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜ω≤1 ω＝k 3，其中k ∈Z ，则k ＝13或k ＝23或k ＝1． 9.3n ; 10．[4,0]-;; 12．3 . 【解析】(0)10f a =+=，所以1a =-．所以()121,0211()1,022x x x x f x x x ⎧--⎪⎪=⎨⎪--+>⎪⎩≤，可以数形结合，先研究0x <时，1212x y y x ==+与的交点只有1个，可以通过比较2x y =在(0,1)处的斜率与12的大小可得．故共有3个零点．（或直接导数研究每一段的图象） 132. 【解析】由4x y xy x y -=+，得414x y x y xy y x-+==-，所以144y x y x -=+≥，解得02y <．14．1⎤⎦. 【解析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则22112222416x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩．又PQ 的中点(,)N x y ，即1212(,)22x x y y N ++，则有222222112212121212()()2()15()42x y x y x x y y x y x x y y ++++++==++，由条件，MP MQ ⊥，得121212121x x y y x x x +=+-=-，所以22152x y x +=+-，即22119()24x y -+=，由于2PQ MN =，MN ∈⎣⎦，所以1PQ ⎤∈⎦．二、解答题15．（1）由题意，2sin A cos B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ．因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0．所以cos B ＝22．因为0＜B ＜π，所以B ＝π4．（2）因为m·n ＝12cos A －5cos 2A ，所以m·n ＝－10cos 2A ＋12cos A ＋5＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435．所以当cos A ＝35时，m·n 取最大值．此时sin A ＝45(0＜A ＜π2)，于是tan A ＝43．所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝7．15．（1）连接AC 交MB 于Q ，连接NQ ，MC ．因为//AM BC ，12AM AD BC ==，所以四边形ABCM 是平行四边形，所以Q 是AC 的中点．又N 是PC 的中点，所以//NQ PA ．因为NQ ⊂平面MNB ，PA ⊄平面MNB ，所以//PA 平面MNB ．（2）因为PA PD =，AM MD =，所以PM AD ⊥．因为//MD BC ，MD BC =，所以四边形BCDM 是平行四边形，所以//MB DC ，因为ADC ∠=90°，即AD DC ⊥，所以AD MB ⊥．因为PMMB M =，,PM MB ⊂平面平面PMB ，所以AD ⊥平面PMB ．因为AD ⊂平面PAD所以平面PAD ⊥平面PMB ．17．(1)设助跑道所在的抛物线方程为f(x)＝a 0x 2＋b 0x ＋c 0，依题意00000004420931c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,解得 a 0＝1，b 0＝－4，c 0＝4，PADM NCB(第16题图)Q所以助跑道所在的抛物线方程为f(x)＝x 2－4x ＋4，x ∈[0,3]． (2)设飞行轨迹所在抛物线为g(x)＝ax 2＋bx ＋c(a<0)，依题意()()()()3333f g f g =⎧⎪⎨''=⎪⎩，即93162a b c a b ++=⎧⎨+=⎩，解得2695b a c a =-⎧⎨=-⎩所以g(x)＝ax 2＋(2－6a)x ＋9a －5 ＝a 31a x a -⎛⎫-⎪⎝⎭2＋1－1a. 令g(x)＝1，得31a x a -⎛⎫- ⎪⎝⎭2＝21a . 因为a<0，所以x ＝31a a-－1a ＝3－2a . 当x ＝31a a-时，g(x)有最大值，为 1－1a ，则运动员的飞行距离 d ＝3－2a －3＝－2a，飞行过程中距离平台最大高度h ＝1－1a －1＝－1a，依题意，4≤－2a ≤6，即2≤－1a≤3，即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2 m 到3 m 之间．18．（1）由题意，22222211c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得2242a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的方程为22142x y +=．（2）方法一：设()()1122,,,B x y D x y ，则()11,A x y --，()1,0C x ．因为,,A C D 三点共线，所以//AC AD ，由()()1112122,,,AC x y AD x x y y ==++，得()()1121212x y y x x y +=+，即12112122y y y kx x x +==+．又,B D 均在椭圆上，有22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②， ①—②，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=-，所以直线BD 的斜率2212122212122y y x x b b k x x a y y k a-+'==-⋅=-⋅-+，由于以AD 为直径的圆恰好经过点B ，所以AB BD ⊥，即1k k '⋅=-，所以222a b =，所以椭圆的离心率c e a ==．方法二：设(),B t kt ，则()(),,,0A t kt C t --，所以直线AD 的方程为()2ky x t =-．由()222212x y a b k y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消y ，得()22222224a k b x x t a b +-=，即()222222222224240b a k x a k tx a k t a b +-+-=，所以2222224A D a k t x x b a k +=+，从而2222224D a k t x t b a k =++，即2222322222234(,)44a k b a k D t t b a k b a k +++，所以直线BD 的斜率232222222222224344a k t kt b b a k k a k b a kt t b a k-+'==-+-+，由于以AD 为直径的圆恰好经过点B ，所以AB BD ⊥，即1k k '⋅=-，所以222a b =，所以椭圆的离心率2c e a ==．19．（1）因为1n n S t S a +=⋅+ ① 当2n ≥时，1n n S t S a -=⋅+ ②， ①—②得，1n n a t a +=⋅（2n ≥），又由a S t S +⋅=12，得12a t a ⋅=，所以，}{n a 是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以1-⋅=n n t a a （*N ∈n ）．（2）当1=t 时，a a n =，na S n =，1+=na b n ，由3||||n b b ≥，得|1||31|na a ++≥，(3)[(3)2]0n a n a -++≥ （*）当0>a 时，3<n 时，（*）不成立；当0<a 时，（*）等价于(3)[(3)2]0n n a -++≤ （**） 3=n 时，（**）成立． 4n ≥时，有(3)20n a ++≤，即23a n -+≤恒成立，所以27a -≤． 1=n 时，有420a +≥，12a -≥．2n =时，有520a +≥，25a -≥．综上，a 的取值范围是22,57⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．（3）当1≠t 时，tt a S n n --=1)1(，(1)11111n nn a t a at b t t t -=+=+----， 2(1)1(1)n n an at t c k n t t -=++---12221(1)(1)1(1)n at a t k t atn t t t ++---=+⋅+---，所以，当2210,1(1)0(1)a ttk t at t +-⎧=⎪-⎪⎨--⎪=⎪-⎩时，数列}{nc 是等比数列，所以1,,1a t t k t =-⎧⎪⎨=⎪-⎩ 又因为a ，t ，k 成等差数列，所以2t a k =+，即211tt t t =-+-，解得t =从而，a =k =．所以，当a =t =k 时，数列}{n c 为等比数列．20．（1）由题意，()2120f x ax x'=+-≥在[]1,4x ∈上恒成立，即2212a x x+≤在[]1,4x ∈上恒成立．设()[]()22211112()1,448t x x x x x =+=+-∈，所以()3,38t x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以328a ≤，即316a ≤．（2）由()()()2ln 31g x x x a x =-+-，得()()ln 212g x x a x '=+--．由题意，()1g e '=-，即()ln 2121e a e +--=-，所以1a =．所以()()ln 3g x x x =-．不等式()404e g x x x++>即为()4()4e g x x x >-+．由()ln 2g x x '=-，知函数()g x 在2x e =处取最小值为2e -，设()4()4e x x xϕ=-+，因为0x >，所以42()4e x e x -+=-≤-，当且仅当212x e =时取“=”，即当212x e =时，()x ϕ的最大值为2e -，因为2212e e ≠，所以()()g x x ϕ>，即原不等式成立．（注：不等式()404e g x x x ++>即为42ln 20e x x+->，设()42ln 2e x x xϕ=+-，证明()0x ϕ>对()0,x ∀∈+∞成立，证明略）（3）()()()()222ln ln 212ln 212h x x x ax x a x x a x ax =+--+--=+--+⎡⎤⎣⎦，()()()()()222111211212ax a x x ax h x a ax x x x-+-+-+'=+--==-． ①当a ≥0时，由于[]1,4x ∈，所以()0h x '≤，所以()h x 在[]1,4上递减，由()110h a =+>，()4ln 4820h a =--<，所以函数()h x 在[]1,4上的零点个数1； ②当0a <时，()()1212a x x a h x x⎡⎤⎛⎫-⋅--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=，1当112a -≤，即12a -≤时，当[]1,4x ∈时，()0h x '≥，所以()h x 在[]1,4上递增，因为()11h a =+，()4ln 4820h a =-->，所以当112a -<-≤时，函数()h x 在[]1,4上的零点个数0；当1a -≤时，函数()h x 在[]1,4上的零点个数1． 2当142a -≥，即108a -<≤时，()0h x '≤，所以()h x 在[]1,4上递减，因为()110h a =+>，()4ln 482h a =--，所以当()40h >，即()11ln 2184a -<-≤时，函数()h x 在[]1,4上的零点个数0；当()40h ≤，即()1ln 2104a -<≤时，函数()h x 在[]1,4上的零点个数1． 3当1142a <-<，即1128a <<--时，满足11,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0h x '≤；1,42x a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0h x '≥，即函数()h x 在11,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递减，在1,42a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，因为()110h a =+>，()4ln 4820h a =-->，而111ln 1224h a a a⎛⎫⎛⎫-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设12t a =-，则()1ln 12t t t μ=-+，且14t <<，由()11222t t t tμ-'=-=，知()1,2t ∈时，()0t μ'>，()2,4t ∈时，()0t μ'<，即()t μ在()1,2上为增函数，在()2,4上为减函数，因为()111ln11022μ=-+=>，()4ln 4210μ=-+>，所以当14t <<时，()0t μ>，即102h a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以当1128a <<--时，函数()h x 在[]1,4上的零点个数0．综上所述，当()11ln 214a -<<-时，函数()h x 在[]1,4上的零点个数0；当1a -≤或()1ln 214a -≥时，函数()h x 在[]1,4上的零点个数1．。

高考南通密卷六(南通市数学学科基地命题).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年高考模拟试卷(6)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合{}2,1 0 2 3U =--，，，,{}2,1,3A =--，{}1,2B =-，则()U A B =ðU .2. 已知复数(2)2z i i -=-（i 为虚数单位），则复数z 的模为 .3. 某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的x 值是 .4．如图所示茎叶图是甲乙两组各5名学生的数学竞赛成绩（70分～99分），若甲乙两组的平均成绩一样，则a = ；甲乙两组成绩中相对整齐的是 .5. 假设在6分钟内的任意时刻，两架相同型号的飞机机会均等地进入同一飞机场，若这两架飞机进入机场的时间之差不小于2分钟，飞机不会受到干扰；则飞机受到干扰的概率为_______.6. 若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后，与函数cos()4y x pw =+的图象重合，则ω的最小值为_____________. 7. 实数x ，y 满足121,y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z=x —y 的最小值为-2，则实数m 的值为______.甲乙 5 7 6 9 8 8 5 9 a 8 9 8 78.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于283cm ，母线与轴的夹角为30，则这个圆台的高为____________.9．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22420x y x y +-+=．若直线3y x b =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b 的取值范围是__________.10. 在矩形ABCD 中，已知3,2AB AD ==，点E 是BC 的中点，点F 在CD 上，若3AB AF ⋅=则AE BF ⋅的值是 .11．曲线2()(2)ln (1)2f x f x f x x '=-+在点(1,(1))f 处的切线方程为________． 12.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,且2cos 2,c B a b =-若ABC ∆的面积为32S c =，则ab 的最小值为_________. 13. 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x)≤f(x)≤f 2(x)成立，则称函数f(x)为函数f 1(x)到函数f 2(x)在区间D 上的“折中函数”．已知函数f(x)＝(k －1)x －1，g(x)＝0，h(x)＝(x ＋1)ln x ，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值集合为________． 14. 已知,m R n R ∈∈并且m+3n=1则33mnme ne +的最小值__________ . 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．(本小题满分14分)在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量(sin(),cos )m C C π=-，(sin(),sin )2n B B π=+，且sin 2m n A ⋅=．（1）求A ；（2）若4c bb c+=，求sinBsinC 的值.16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点. ⑴求证：PA ∥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面PBC.17．（本小题满分14分）如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD ，其中,,AB CD DA 都是线段，曲线段BC 是抛物线的一部分，且点B 是该抛物线的顶点，BA 所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，AB =2米，3AD =米，AB AD ⊥，点C 到,AD AB 的距离,CH CR 的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形AEFG （其中点F 在曲线段BC 或线段CD 上，点E 在线段AD 上，点G 在线段AB 上）. 设BG 的长为x 米，矩形AEFG 的面积为S 平方米.（1）将S 表示为x 的函数；（2）当x 为多少米时，S 取得最大值，最大值是多少？18．(本小题满分16分) 已知圆M ：()2244x y +-=，点P 是直线l ：20x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．（1）当切线PA 的长度为23时，求点P 的坐标；（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（3）求线段AB 长度的最小值．A B CD E F G R第17题 H19．(本小题满分16分)已知函数2312()23f x x ax =-，函数()()2(1)xg x f x e x =+-，函数'()()g x g x 的导函数为（1）当函数()y f x =在(1,)+∞区间时为减函数，求a 的范围；（2）若a =e(e 为自然对数的底数）； ①求函数g(x)的单调区间； ②证明：'()1ln g x x ≥+20．(本小题满分16分) 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2 010的n的最小值．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图在ABC ∆中，AB=AC ，过点A 的直线与ABC ∆的外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.求证ABP D ∠=∠B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵1235A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， (1)求逆矩阵1A -；（2）若矩阵X 满足31AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l 的极坐标方程为sin()224πρθ-=.(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;(2)已知P 为椭圆22:139x y C +=上一点,求P 到直线l 的距离的最小值.D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|5x ＋y |≤1．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22. （本小题满分10分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17。

江苏省2015届高三下学期高考南通密数学试题Word版含解析

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1.设,a b R ∈，231a bii i+=+-，其中i 是虚数单位，则a b += ．【答案】6 【解析】试题分析：23(23)(1)55,161a bii a bi i i a bi i a b a b i+=+⇒+=+-⇒+=+⇒==⇒+=- 考点：复数相等2.已知集合{}P x x a =≤，{}sin ,Q y y R θθ==∈．若P Q ⊇，则实数a 的取值范围是．【答案】[1,)+∞ 【解析】试题分析：sin P Q a θ⊇⇒≤恒成立，因此max (sin )1a θ≥= 考点：集合包含关系，不等式恒成立3.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm )，所得数据如图．则在这100株树木中，底部周长不小于100cm 的有株．【答案】70 【解析】试题分析：底部周长不小于100cm 的概率为1(0.010.02)100.7-+⨯=，所以底部周长不小于100cm 的有0.710070⨯=株考点：频率分布直方图4.设向量(1,)a m =r ，(1,2)b m =-r ，且a b ≠r r ，若()a b a -⊥r r r，则实数m = ．【答案】1 【解析】第3题图试题分析：2()(2,2)(1,)032021a b a m m m m m m m -⊥⇒--⋅=⇒-+=⇒==或r r r ，又a b ≠r r，所以2, 1.m m ≠=考点：向量垂直，向量数量积5.如图所示的流程图的运行结果是．【答案】20 【解析】试题分析：第一次循环：5,4S a ==，第二次循环：20,34S a ==<，结束循环，输出20.S = 考点：循环结构流程图6.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为．3 【解析】试题分析：取AC 中点M，则DM BM ==，222+DM BM BD =，即DM BM ⊥,因为,DM AC ⊥,所以DM ABC ⊥面,三棱锥D ABC -的体积为23111.332ABC DM S a ∆⋅=⨯= 考点：三棱锥体积7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19a =，462a a +=．当n S 取最大值时，n = ．【答案】5 【解析】试题分析：设公差为,d 则465219412a a a d d +=⇒=⇒+=⇒=-，因此第5题图219(1)(2)102n S n n n n n =+⨯-⨯-=-+，所以当5n =时，n S 取最大值考点：等差数列前n 项和公式，二次函数最值 8.已知44ππθ-≤≤，且1cos45θ=，则44cos sin θθ-= ．【解析】试题分析：因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos2θθθθθθθ-=-+=，而2213cos42cos 21cos 255θθθ==-⇒=，又2cos 24422ππππθθθ-≤≤⇒-≤≤⇒=44cos sin θθ-=考点：二倍角公式9.若在区间(1,1)-内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线0ax by -=与圆 22(1)(2)1x y -+-=相交的概率为．【答案】516【解析】试题分析：由直线0ax by -=与圆22(1)(2)1x y -+-=1(34)0b b a <⇒-<，又0b >，所以340b a -<，其区域为梯形OABC,其中3(00),(10),(11),(1)4O A B C ，，，，,而在区间(1,1)-内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b 构成一个矩形ABDE ,其中(11),(10),D E --，，因此所求概率为梯形OABC 面积与矩形ABDE 面积的比值，即11(1)1524.216⨯+⨯=考点：几何概型概率10.设函数()sin(2),[,]66f x x x a ππ=+∈-的值域是1[,1]2-，则实数a 的取值范围为．【答案】[,]62ππ【解析】试题分析：因为[,]2[,2],6666x a x a ππππ∈-⇒+∈-+1()sin(2)[,1]62f x x π=+∈-，所以72[,][,]62662a a πππππ+∈∈, 考点：三角函数性质11.已知函数()f x 满足：当[]1,3x ∈时，()ln f x x =，当1[,1)3x ∈时，1()2()f x f x =．若在区间1[,3]3内，函数()()(0)g x f x ax a =->恰有一个零点，则实数a 的取值范围是．【答案】1(,6ln3]e【解析】考点：函数零点12.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆222:O x y b +=，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，满足60APB ∠= ，则椭圆C 的离心率的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：在四边形OAPB 中，60APB ∠= ，90OAP OBP ∠=∠= ，OA OB b ==，2OP b ∴=，由题意得，2b a ≤，即a，化解得c a ≥，又在椭圆中1e <，1e ≤<．考点：圆的切线，椭圆离心率13.设数列{}n a 的通项公式为13()2n n a -=，则满足不等式113n ni i i i a a ==>∑∑的正整数n 的集合为．【答案】{1，2，3} 【解析】试题分析：由于数列{}n a 的通项公式为13()2n n a -=，所以数列{}n a 为等比数列，首项为132a =，公比132q =；数列1{}n a 也是等比数列，首项为23，公比223q =．不等式113n ni i i i a a ==>∑∑等价于1113nni i i i a a ==>∑∑，即231()1()3231132n n --⋅>--，解之得22()193n <<，n N *∈ ，n ∴只能取1,2,3．考点：等比数列求和14.设函数()332x x f x x -=--，则满足12(2)(log )0x f x -<的x 的取值范围是．【答案】(0,1)(2,)+∞ 【解析】试题分析：()3ln33ln32(33)ln322ln320x x x x f x --'=+-=+-≥-> ，∴函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，且(0)0f =，112220(2)(log )0log 0x x f x x ->⎧⎪∴-<⇔⎨<⎪⎩或1220log 0x x -<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得2x >或01x <<．考点：利用导数解不等式二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan (2)tan b A c b B =-．（1）求角A 的大小；（2）设AD BC ⊥，D 为垂足，若2b =，3c =，求AD AC ⋅u u u r u u u r的值．【答案】（1）3A π=（2）277【解析】试题分析：（1）由正弦定理，将边角关系统一化为角：sin sin sin (2sin sin )cos cos A BB C B A B⋅=-⋅，再利用两角差正弦公式及诱导公式进行化简：sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-⇒sin()2sin cos A B C A +=⇒1cos 2A =解得3A π=（2）先利用AD BC ⊥化简AD AC ⋅uuu r uu u r得：2AD AC AD AD DC AD ⋅=⋅+= （）,因此关键求AD ，这可利用余弦定理解出a =再根据面积公式求出高AD ：11sin 22BC AD AB AC A ⋅=⋅⋅⇒AD =试题解析：（1）tan (2)tan b A c b B =- ， ∴由正弦定理，得sin sin sin (2sin sin )cos cos A BB C B A B⋅=-⋅, 又在ABC ∆中，sin 0B ≠， sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B ∴=-，即sin()2sin cos A B C A +=，又 sin()sin 0A B C +=≠， 1cos 2A ∴=，又 0A π<<，3A π∴=；（2）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-， 2b =，3c =，3A π=，a ∴11sin 22BC AD AB AC A ⋅=⋅⋅32AD =⋅，AD ∴= 227cos 7AD AC AD AC C AD AD ⋅∠∴⋅=== .考点：正余弦定理，向量数量积 16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD BC ⊥，G 为PA 上一点．（1）求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；（2）若PC ∥平面BDG ，求证：G 为PA 的中点．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证面面垂直，关键证线面垂直，由于PD BC ⊥，又底面ABCD 为矩形BC CD ⇒⊥，因此BC ⊥平面PCD ，进而平面ABCD ⊥平面PCD ；（2）先根据线面平行性质定理，将转化为线线平行：连接AC ，交BD 于O ，连接GO ， //PC 平面BDG //PC GO ∴，再根据中位线性质得G 为PA 的中点.PBC DG试题解析：（1）底面ABCD 为矩形，BC CD ∴⊥，又PD BC ⊥ ，,CD PD PCD ⊂平面，PD CD D = ， BC ∴⊥平面PCD ，又BC ABCD ⊂ 平面， ∴平面ABCD ⊥平面PCD ；（2）连接AC ，交BD 于O ，连接GO ， //PC 平面BDG ，平面PCA 平面BDG GO =， //PC GO ∴，PG COGA OA∴=，底面ABCD 为矩形， ∴O 是AC 的中点，即CO OA =， PG GA ∴=， ∴G 为PA 的中点.考点：面面垂直判定定理，线面平行性质定理 17.（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB ．位于该市的某大学M 与市中心O的距离OM =，且AOM β∠=．现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M ．其中 tan 2α=，cos β=15AO km =．（1）求大学M 与站A 的距离AM ；（2）求铁路AB 段的长AB ．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）在AOM ∆中，已知两边一角，利用余弦定理求第三边：2222cos AM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠AM ⇒=2）在AOM ∆中，可利用正弦定理求出角4MAO π∠=，这样在AOB ∆中，已知两角及一边，可利用正弦定理求其余两边：sin sin AB AOAOB ABO=∠∠AB ⇒=试题解析：（1）在AOM ∆中，15AO =，AOM β∠=且cos β=OM =由余弦定理得，2222cos AM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠2215215=+-⨯13915152315372.=⨯+⨯-⨯⨯⨯=AM ∴=M 与站A 的距离AM为；（2）cos β=，且β为锐角，sin β∴=在AOM ∆中，由正弦定理得，sin sin AM OMMAOβ=∠,，sin MAO ∴∠=，4MAO π∴∠=， 4ABO πα∴∠=-， tan 2α=，sin α∴=，cos α=，sin sin()4ABO πα∴∠=-=AOB πα∠=-，sin sin()AOB πα∴∠=-=，在AOB ∆中，15AO =，由正弦定理得，sin sin AB AOAOB ABO=∠∠，即15AB =，AB ∴=AB 段的长AB为．考点：三角函数应用，正余弦定理 18.（本小题满分16分）设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e =，直线y x =椭圆C的短半轴长为半径的圆O 相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线12x =与椭圆C 交于不同的两点,M N ，以线段MN 为直径作圆D ．若圆D 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABD ∆的面积；（3）如图，1A 、2A 、1B 、2B 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线2B P交x 轴于点F ，直线12A B 交2A P 于点E ．设2A P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m k -为定值．【答案】（1）2214x y +=（2（3）详见解析【解析】试题分析：（1）两个独立条件可求出椭圆标准方程，一个根据直线与圆相切得1b =，再利用e =解得2a =（2）本题实质求圆中弦长，先求出11((,22M N ，确定圆心及半径，再根据垂径定理得AB ==，从而可得面积（3）本题实质研究2A P 的斜率与EF 的斜率的关系：解题思路可为利用2A P 的斜率k 表示EF 的斜率，先用2A P 的斜率k 分别表示出222824(,)1414k kP k k --++，2(21)(,0)21k F k -+及424(,)2121k k E k k +--，再表示EF 的斜率421212(21)4242121kk k m k k k k -+-==-+-+-，这里有一定运算量试题解析：（1）圆O 的方程为222x y b +=，直线y x =O 相切，b =，即1b =，又e =，， 2a ∴=， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由题意，可得11((,22M N ， ∴圆D的半径r =AB ∴==，∴ABD ∆的面积为1122S ==；（3）由题意可知1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)A A B B --，2A P 的斜率为k ，∴直线2A P 的方程为(2)y k x =-，由2214(2)x y y k x =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=，其中2A x =，228214P k x k -∴=+，222824(,)1414k kP k k --∴++，则直线2B P 的方程为211221)k y x k +=-+-（，令0y =，则2(21)21k x k -=+，即2(21)(,0)21k F k -+，直线12A B 的方程为220x y -+=，由220(2)x y y k x -+=⎧⎨=-⎩，解得4221421k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，424(,)2121k k E k k +∴--， ∴EF 的斜率421212(21)4242121kk k m k k k k -+-==-+-+- ，∴2112242k m k k +-=⋅-=（定值）．考点：直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系 19.（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，其中函数()y g x =的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴．（1）确定a 与b 的关系；（2）若0a ≥，试讨论函数()g x 的单调性；（3）设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x <，求证：2111k x x <<．【答案】（1）21b a =--（2）①当0a =时，在(1,)+∞单调减函数，在(0,1)单调增；②当102a <<时，在(11,)2a 上单调减；在(12,)a +∞和(0,1)单调增；③当12a =时，在(0,)+∞单调增；④当12a >时．()g x 在(1,)+∞和(0,12)a 单调增；在(1,1)2a单调减（3）详见解析【解析】试题分析：（1）利用导数几何意义，确定a 与b 的关系：(1)120g a b '=++=⇒21b a =--（2）根据导函数零点分布情况依次讨论：由(21)(1)()(0)ax x g x x x --'=>知需分0a =，102a <<，12a =，12a >四种情况讨论（3）先分析所证不等式结构，设210x x >>，（3）由题设210x x >>， 21212211ln ln 1111x x k x x x x x x -∴<<⇔<<-21212121ln ln x x x x x x x x --⇔<-<22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<- ① 令()ln 1(1)h x x x x =-+>，则11()1(1)x h x x x x-'=-=>， 1x ∴>时，()0h x '<， ∴函数()h x 在(1,)+∞是减函数，而(1)0h =，1x ∴>时，()(1)0h x h <= 210x x >> ，211x x ∴>， 222111()ln 10x x x h x x x ∴=-+<，即2211ln 1x xx x <-， ② 令1()ln 1(1)H x x x x =+->，则22111()(1)x H x x x x x-'=-=>， 1x ∴>时，()0H x '>， ∴()H x 在(1,)+∞是增函数， 1x ∴>时，()(1)0H x H >=，2221111()ln 10x x H x x x x ∴=+->，即221111ln x x x x -< ③由①②③得2111k x x <<．考点：导数几何意义，利用导数求函数单调性，利用导数证不等式 20.（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n a S An Bn C +=++*(0,)A n N ≠∈．（1）当1C =时，①设n n b a n =-，若132a =，294a =．求实数,A B 的值，并判定数列{}nb 是否为等比数列；②若数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值；（2）当0C =时，若数列{}n a 是等差数列，11a =，且*n N ∀∈，131ni n λ=-≤+ 求实数λ的取值范围．【答案】（1）①13,22A B ==，数列{}n b 是等比数列；②3；（2）3λ≤【解析】试题分析：（1）①由132a =，294a =列出关于,A B 两个独立条件，解出13,22A B ==，利用1(2)n n n a S S n -=-≥解出递推关系式121n n a a n --=+，再根据n n b a n =-，构造11[(1)]2n n a n a n --=--，从而得证数列{}n b 是等比数列；②从数列{}n a 是等差数列出发，将条件转化为关于n 恒等式：2211()122d d n a n a d An Bn +++-=++，消去1a ，d 得出,A B 关系，即可求出1B A -的值；（2）本题实质求和1ni =(1)1111(1)1n n n n n n ++==+-++，以下就简单了，一是裂项相消求和，二是恒成立转化为最值求解试题解析：（1）1C = ，21n n a S An Bn ∴+=++， ①令1n =，可得121a A B =++，即2A B +=，令2n =，可得122421a a A B +=++，即425A B +=，13,22A B ∴==,213122n n a S n n ∴+=++， ①当2n ≥时，21113(1)(1)122n n a S n n --∴+=-+-+， ②①-②，得121n n a a n --=+(2)n ≥，11[(1)]2n n a n a n -∴-=--，即112n n b b -=，又111102b a =-=≠，0n b ≠， 112n n b b -=∴， ∴数列{}n b 是等比数列； ② 数列{}n a 是等差数列，∴设11(1)(1),2n n n n a a n d S na d -=+-=+， 21n n a S An Bn +=++ ，1221()221d dn a n a An B d n ∴++++=+-，*n N ∈11221d A d B a a d ⎧=⎪⎪⎪∴=+⎨⎪-=⎪⎪⎩，111122122223d d d a a d d d Ad B +--=++-∴===；（2）当0C =时，2n n a S An Bn +=+数列{}n a 是等差数列，11a =，∴(1)1(1),2n n n n a n d S n d -=+-=+， 22(1)122d dn n An Bn d ∴++=++-， 1d ∴=，n a n ∴=，(1)1111(1)1n n n n n n ++=+-++，1111ni n n =+-∴+，13311111n i n n n n λλ=∴-≤-≤+-+++，即211n n λ≤+++， *n N ∴∀∈，211n n λ≤+++，令2()f x x x =+， 22222()1x f x x x -'=-= ，当2x ≥时，()0f x '>， ()f x ∴在[2,)+∞上是增函数，而12n +≥，min 2(1)31n n ∴++=+， 3λ∴≤．考点：等比数列定义，裂项相消求和，数列最值附加题21.A （选修４－１：几何证明选讲）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知6,AB CD ==AC 的长度．DCBA【答案】AC 【解析】试题分析：因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，在直角三角形ABC 中由射影定理得AC 的长度．试题解析：连接BC ，,AB CD 相交于点E ．因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB＝90°．设AE x =，则6EB x =-，由射影定理得2CE ＝AE ·EB，又CE (6)5x x -=，解得1x =（舍）或5x =所以，2AC ＝AE ·AB ＝5×6＝30，AC = 考点：射影定理21.B （选修４－２：矩阵与变换）若点(2,1)A 在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应变换的作用下得到点(4,5)B ，求矩阵M 的逆矩阵．【答案】【解析】试题分析：先由矩阵对应关系求出2,3.a b =⎧⎨=⎩，再根据逆矩阵公式求逆矩阵试题解析：2415⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即24215a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ∴24,21 5.a b +=⎧⎨-=⎩ 解得2,3.a b =⎧⎨=⎩，∴1231M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，解法一：12det()731M ∴==--， 11212777731317777M ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 解法二:设1c d M e f -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得32103201c d c d e fe f +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦∴31,30,20,2 1.c d e f c d e f+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解得1,72,73,71.7c d e f ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩112773177M -⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．考点：逆矩阵21.C （选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆C经过点P ，圆心是直线sin()3πρθ-=求圆C 的极坐标方程．【答案】2cos ρθ= 【解析】试题分析：先求出圆心坐标(1,0)，再利用余弦定理求半径1r ，最后写出圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．试题解析：因为圆心为直线2sin()sin 33ππρθ-=与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是(1,0)，又圆C 经过点6P π，）， ∴圆的半径1r =，∴圆过原点，∴圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．（说明：化为普通方程去完成给相应的分数）考点：圆极坐标方程21.D （选修４－５：不等式选讲）设,,a b c 均为正数，1abc =．求证：111a b c++≥ 【答案】详见解析【解析】试题分析：根据均值不等式，得11a b +≥=，11b c +≥=，11a c +≥=三式相加即得试题解析：由,,a b c 为正数，根据平均值不等式，得11a b +≥，11b c +≥，11a c +≥．将此三式相加，得1112()a b c ++≥111a b c ++≥．由1abc =1=．所以，111a b c ++≥+= 考点：均值不等式【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22.22．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =-，*1(33)46,n n n a n a n N n++++=∈．（1）求证：数列2n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设1*3,2n n n b n N a -=∈+，求证：当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++<-+ ．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）由等比数列定义知即证1221n n a a n n++++与比值为非零常数，代入化简即可1(33)4622(33)(2)2311(1)n n n nn a n a n a a n n n n n n +++++++++===+++（2）由（1）得123n n a n -+=，132n n a n -∴=⋅-，1312n n n b a n -∴==+，即证11141122521n n n n +++<-+++ ，这可利用数学归纳法进行论证试题解析：（1）令2n n a c n+=，则11(33)4622(33)(2)23311(1)n n n n n n n a n a n a a n c n n n c n n ++++++++++====+++=， 11210c a =+=≠ ，0n c ∴≠，13n nc c +∴=， ∴数列{}n c ，即2n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）得123n n a n-+=，132n n a n -∴=⋅-，1312n n n b a n -∴==+，下面用数学归纳法证明当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++<-+ ． ①当2n =时，不等式的左边341173412b b =+=+=，右边413555=-=，而73125<，∴2n =时，不等式成立；②假设当(2)n k k =≥时，不等式成立，即12241521k k k b b b k +++++<-+ ；当1n k =+时，11122(1)12221221()()k k k k k k k k k b b b b b b b b b +++++++++++++=+++++- 4111152121221k k k k <-++-++++ 41152214152(1)4152(1)1k k k k =+-++=-+<-++∴当1n k =+时，不等式也成立．由①②可得，当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++≤-+ ．考点：等比数列定义，数学归纳法 23.（本小题满分10分）如图，已知点(0,)F p ，直线:(0)l y p p p =->其中为常数且，M 为平面内的动点，过M 作l 的垂线，垂足为N ，且NM NF FM FN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r．（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设Q 是l 上的任意一点，过Q 作轨迹C 的切线，切点为A 、B ． ①求证：A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列；②若(4,)Q p --，20AB =，求p 的值．【答案】（1）24x py =（2）①详见解析②1p =或4p =. 【解析】试题分析：（1）直接法求轨迹：设点(,)M x y 坐标，将条件NM NF FM FN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r用坐标表示并化简即可得24x py =（2）①用0(,)Q x p -点横坐标分别表示A 、B 横坐标，22101240x x x p --=及22202240x x x p --=，所以12,x x 是方程220240x x x p --=的两根，得出关系1202x x x +=是解题目标②20AB =⇔2020⇔=20⇔=，再由1221284x x x x p +=-⎧⎨⋅=-⎩1p ⇒=或4p =. 试题解析：（1）设(,)M x y ，则(,)N x p -，(0,)NM y p ∴=+， (,2)NF x p =- ，(,)FM x y p =- ，(,2)FN x p =- ，NM NF FM FN ⋅=⋅，22()2()p y p x p y p ∴+=--，24x py ∴=，即动点M 的轨迹C 的方程为24x py =；另解：设(,)M x y ，则(,)N x p -，NM NF FM FN ⋅=⋅，()0NF MN MF ∴⋅+= ，∴以,MN MF 为邻边的平行四边形是菱形，MF MN ∴=，y p =+ ，24x py ∴=，即动点M 的轨迹C 的方程为24x py =；（2）①设0(,)Q x p -，211(,)4x A x p ，222(,)4x B x p ，则切线QA 的方程2111(,)42x xy x x p p-=-， 21101()42x xp x x p p∴--=-，22101240x x x p ∴--=， ①同理22202240x x x p ∴--=， ② 方法1:①②得12120()(2)0x x x x x -+-=，12120,20x x x x x ≠∴+-= ，1202x x x ∴+=，即A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列. 方法2：由①②得12,x x 是方程220240x x x p --=的两根， 1202x x x ∴+=，即A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列.②由①②得12,x x 是方程220240x x x p --=的两根，12021224x x x x x p +=⎧∴⎨⋅=-⎩， (4,)Q p -- ，1221284x x x x p +=-⎧∴⎨⋅=-⎩， 20AB =，20，20=，20=， 4217160p p ∴-+=，1p ∴=或4p =.考点：直接法求曲线轨迹，直线与抛物线位置关系。

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19．（本小题满分16分）已知函数 .
（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由.
20．（本小题满分16分）已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，…，am和正数b1，b2，…，bm，使a，a1，a2，…，am，b是等差数列，a，b1，b2，…，bm，b是等比数列．
13．三次函数的两个极值点为且重合，又在曲线上，则曲线的切线斜率的最大值的最小值为_________.
14.设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，
二、解答题：本大题共6小题，共90分.
15．(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， .
7.给出下列命题：
（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；
（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；
（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；
（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．
则其中所有真命题的序号是．
A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．
B．（选修４－２：矩阵与变换）若二阶矩阵满足： .
(Ⅰ）求二阶矩阵；
(Ⅱ）若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程.
C．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知点（其中，点的轨迹记为曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点在曲线上．
（1）求；
（2）若△ABC的外接圆直径为1,求的取值范围.
16．(本小题满分14分)在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为，为侧棱上的一点.
（1）当四面体的体积为时，求的值；
（2）在（1）的条件下，若是的中点，求证：
17．（本小题满分14分）如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知为直径，且 km, 为圆心，为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且 ∥ ．现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段 .设，观光路线总长为 .
8.已知，若存在，使对一切实数x恒成立，则 =．
9.设实数x，y，b满足，若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b的值为．
10.若则的最小值为．
11.在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则 · 的取值范围为．
12.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60，则圆M的方程为．
2015年高考模拟试卷(4)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.全集，集合，，则．
2.已知复数满足，( 是虚数单位)，则复数的共轭复数 =.
3.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是．
（１）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（２）求观光路线总长的最大值.
18．（本小题满分16分）如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为 .
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.
4.某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为．
5.如图程序运行的结果是．
6.顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是．
（1）若m＝5，＝，求的值；
（2）若b＝λa(λ∈N*，λ≥2)，如果存在n(n∈N*，6≤n≤m)使得an－5＝bn，求λ的最小值及此时m的值；
（3）求证：an＞bn(n∈N*，n≤m)．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
（2）记三个数中相邻自然数的组数为（如集合中3和4相邻，4和5相邻，
），求随机变量的分布率及其数学期望 .
23．（本小题满分10分）设整数 3，集合P {1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记an为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数．
（1）求a3；
（2）求an．
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)当时，求曲线与曲线的公共点的极坐标．
D．（选修４－５：不等式选讲）已知x，y，z均为正数．求证：．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22．（本小题满分10分）从集合中任取三个元素构成子集
（1）求中任意两数之差的绝对值不小于2的概率；
2014年高考模拟试卷(4)参考答案
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题
1. ；2. ；3．；4．1200；5．14；6．；
7．①②；8．；9．；10． .【解析】，当且仅当时，取等号；
11． .【解析】以CA、CB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，设M(x,y)，则x＋y＝2，y＝2－x，即M(x, 2－x)，又MN＝，所以点N坐标为(x＋1，2－x－1)，即N(x＋1，1－x)，于是＝x(x＋1)＋(2－x) (1－x)＝2x2－2x＋2＝ (0≤x≤1)，所以x＝时取最小值，x＝0或1时取最大值2，因此的取值范围为；12． .【解析】∵当P在圆C上运动时∠APB恒为60°，∴圆M与圆C一定是同心圆，∴可设圆M的方程为(x－1)2＋y2＝r2.当点P坐标是(3，0)时，设直线AB与x轴的交点为H，则MH＋HP＝2，MH＝，AB＝2× ，所以＋2× × ＝2，解得r＝1，所以所求圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1；