最新人教版高中数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元检测 2
人教版高中数学必修二第二章单元测试(二)- Word版含答案
2018-2019学年必修二第二章训练卷点、直线、平面之间的位置关系（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．下列推理错误的是（ ） A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂α B ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝AB C ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉α D ．A ∈l ，l ⊂α⇒A ∈α2．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下面结论正确的是（ ） A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点 B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC4．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n 等于（ ）A ．8B ．9C ．10D ．115．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于（ ）A ．ACB ．BDC ．A 1DD ．A 1D 16．如图所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个二面角大小是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．如图所示，直线P A 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面P AC 的距离等于线段BC 的长，其中正确的是（ ） A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③8．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．CC 1与B 1E 是异面直线B ．AC ⊥平面ABB 1A 1 C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） A ．AB ∥mB ．AC ⊥mC ．AB ∥βD ．AC ⊥β10．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为（ ） A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．以下结论中，错误的是（ ） A ．点H 是△A 1BD 的垂心 B ．AH ⊥平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成的角为45°12．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．下列四个命题：①若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；②若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；③若a ∥α，则a 平行于α内所有的直线；④若a ∥α，a ∥b ，b ⊄α，则b ∥α．其中正确命题的序号是________．14．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件_______时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)15．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则 ①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于PAB △的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)16．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、A 1D 1的中点，判断MN 与平面A 1BC 1的位置关系，为什么？18．(12分)如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，AA 1＝12，点D 是AB 的中点． （1）求证：AC ⊥B 1C ； （2）求证：AC 1∥平面CDB 1．19．(12分)如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC ． （1）求证：BC ⊥平面P AC ．（2）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由．20．(12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C ． （1）证明：B 1C ⊥AB ；（2）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱111ABC A B C -的高．21．(12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．（1）求证：P A∥面BDE；（2）求证：平面P AC⊥平面BDE；（3）若二面角E BD C--为30°，求四棱锥P ABCD-的体积．22．(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E ABC-的体积．2018-2019学年必修二第二章训练卷点、直线、平面之间的位置关系（二）答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．【答案】C【解析】若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α．故选C．2．【答案】D【解析】由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD ＝90°．故选D．3．【答案】D【解析】由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC．故选D．4．【答案】A【解析】如图，取CD的中点H，连接EH，HF．在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EFH平行，其余4个平面与EFH相交，即n＝4．又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8．故选A．5．【答案】B【解析】易证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．故选B．6．【答案】A 【解析】连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，则B′D＝DC＝a，B C AC'==，所以∠B′DC＝90°．故选A．7．【答案】B【解析】对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离．故①②③都正确．8．【答案】C【解析】由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，故C正确．故选C．9．【答案】D【解析】∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l．∵AB∥l，∴AB∥m．故A一定正确．∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m．故B一定正确．∵A∈α，AB∥l，l⊂α，∴B∈α．∴AB⊄β，l⊂β．∴AB∥β．故C也正确．∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．故选D．10．【答案】B【解析】如图所示，作PO⊥平面ABC，则O为△ABC的中心，连接AP，AO．1sin 602ABC S =︒=11194ABC A B C ABC V S OP OP -∴=⨯==，OP ∴=213OA ==，∴tan OP OAP OA ∠=，又02OAP π<∠<，∴3OAP π∠=．故选B ．11．【答案】D【解析】因为AH ⊥平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ，所以BD ⊥AH ． 又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A ．所以BD ⊥平面AA 1H ．又A 1H ⊂平面AA 1H ．所以A 1H ⊥BD ，同理可证BH ⊥A 1D ，所以点H 是△A 1BD 的垂心，故A 正确． 因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1，B 正确．易证AC 1⊥平面A 1BD ．因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故C 正确．因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角． 因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误．故选D ． 12．【答案】B【解析】A 错误．理由如下：过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，连接CE ，若直线AC 与直线BD 垂直，则可得BD ⊥平面ACE ，于是BD ⊥CE ，而由矩形ABCD 边长的关系可知BD 与CE 并不垂直．所以直线AC 与直线BD 不垂直．B 正确．理由：翻折到点A 在平面BCD 内的射影恰好在直线BC 上时，平面ABC ⊥平面BCD ，此时由CD ⊥BC 可证CD ⊥平面ABC ，于是有AB ⊥CD ．故B 正确． C 错误．理由如下：若直线AD 与直线BC 垂直，则由BC ⊥CD 可知BC ⊥平面ACD ，于是BC ⊥AC ，但是AB <BC ，在△ABC 中∠ACB 不可能是直角．故直线AD 与直线BC 不垂直．由以上分析显然D 错误．故选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．【答案】④【解析】①中b 可能在α内；②a 与b 可能异面或者垂直；③a 可能与α内的直线异面或垂直．14．【答案】B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)【解析】由直四棱柱可知CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，正方形等条件． 15．【答案】①③【解析】由条件可得AB ⊥平面P AD ，∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而P A ∥PB ， 这是不可能的，故②错；1·2PCD S CD PD =△，1·2PAB S AB PA =△，由AB ＝CD ，PD >P A 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF ∥AB ， 故AE 与BF 共面，④错． 16．【答案】a >6【解析】由题意知：P A ⊥DE ，又PE ⊥DE ，P A ∩PE ＝P ，∴DE ⊥面P AE ，∴DE ⊥AE ．易证△ABE ∽△ECD ．设BE ＝x ，则A B B EC E C D=，即33xa x =-．∴290x ax +=-， 由0∆>，解得a >6．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】平行，见解析．【解析】直线MN ∥平面A 1BC 1．证明如下：∵M ∉平面A 1BC 1，N ∉平面A 1BC 1．∴MN ∉平面A 1BC 1． 如图，取A 1C 1的中点O 1，连接NO 1、BO 1．∵11112N D O C ∥，1112M D B C ∥，∴1NO MB ∥．∴四边形NO 1BM 为平行四边形．∴MN ∥BO 1．又∵BO 1⊂平面A 1BC 1，∴MN ∥平面A 1BC 1． 18．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）∵C 1C ⊥平面ABC ，∴C 1C ⊥AC ．∵AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ．又BC ∩C 1C ＝C ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，而B 1C ⊂平面BCC 1B 1，∴AC ⊥B 1C ． （2）连接BC 1交B 1C 于O 点，连接OD ．如图，∵O ，D 分别为BC 1，AB 的中点，∴OD ∥AC 1．又OD ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1．∴AC 1∥平面CDB 1． 19．【答案】（1）见解析；（2）存在，见解析．【解析】（1）证明∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥BC ．又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ． 又∵AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ．（2）∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC ． 又∵AE ⊂平面P AC ，PE ⊂平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ． ∴∠AEP 为二面角A DE P --的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∴∠P AC ＝90°．∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ．这时∠AEP ＝90°， 故存在点E ，使得二面角A DE P --为直二面角．20．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明 连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1．又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ，故B 1C ⊥平面ABO ． 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB ．（2）解 在平面BB 1C 1C 内作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD ． 在平面AOD 内作OH ⊥AD ，垂足为H ．由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC ． 又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC ．因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又BC ＝1，可得OD =．由于AC ⊥AB 1，所以11122OA B C ==．由OH ·AD ＝OD ·OA，且AD =OH ．又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC， 故三棱柱111ABC A B C -． 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3P ABCD V -=． 【解析】（1）证明 连接OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点，∴OE ∥P A ． ∵OE ⊂面BDE ，P A ⊄面BDE ，∴P A ∥面BDE ． （2）证明 ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD ．在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥面P AC ． 又∵BD ⊂面BDE ，∴面P AC ⊥面BDE ．（3）解 取OC 中点F ，连接EF ．∵E 为PC 中点， ∴EF 为POC △的中位线，∴EF ∥PO ．又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD ，∴EF ⊥BD ． ∵OF ⊥BD ，OF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥面EFO ，∴OE ⊥BD ． ∴∠EOF 为二面角E BD C --的平面角，∴∠EOF ＝30°．在Rt △OEF中，1124OF OC AC ===，∴·tan 30EF OF =︒，∴2OP EF ==．∴2313P ABCD V a -=⨯． 22．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）V =． 【解析】（1）证明在三棱柱111ABC A B C -中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB ． 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1， 又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1． （2）证明 取AB 的中点G ，连接EG ，FG ．因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且12FG AC =． 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG ．又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE ．（3）解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC，所以AB == 所以三棱锥E －ABC的体积1111·12332ABC V S AA ==⨯⨯=△．。
人教新课标A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质测试
人教新课标A版高中数学必修2 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.3直线、平面垂直的判定及其性质同步测试共 25 题一、单选题1、下列命题中错误的是（）A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC.如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ2、平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，则一定有（ ）A.l∥βB.l⊂βC.l与β相交D.以上三种情况都有可能3、在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB,,，将沿BD折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是（）A.平面平面ABCB.平面平面BCDC.平面平面BCDD.平面平面ABC4、若a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（ ）A.a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c=AB.a⊥b，b∥αC.a∩b=A，b⊂α，a⊥bD.α∥b，b⊥a5、如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD=AD，则下列命题中错误的是（ ）A.过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点B.过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点C.过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点D.过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD6、在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（ ）A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCD7、ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC，平面PAB与平面PAD的位置关系是（）A.平面PAB与平面PAD，PBC垂直B.它们都分别相交且互相垂直C.平面PAB与平面PAD垂直，与平面PBC相交但不垂直D.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD相交但不垂直8、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是（ ）A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90°C.二面角P﹣BC﹣A的大小为45°D.BD⊥平面PAC9、已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（ ）A.α⊥β，且m⊂αB.m∥n，且n⊥βC.α⊥β，且m∥αD.m⊥n，且n∥β10、PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（ ）①面PAB⊥面PBC②面PAB⊥面PAD③面PAB⊥面PCD④面PAB⊥面PAC．A.①②B.①③C.②③D.②④11、若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（ ）A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能12、如图所示，AB⊥平面BCD，∠BCD=90°则图中互相垂直的平面有（）A.3对B.2对C.1对D.4对13、已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）A.2对B.3对C.4对D.5对14、如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（）A.90°B.60°C.45°D.30°15、已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD上异于端点C，D的任一点，则下列结论中，正确的个数有（ ）（1）MN⊥AB；（2）若N为中点，则MN与AD所成角为60°；（3）平面CDM⊥平面ABN；（4）不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直．A.1B.2C.3D.4二、填空题16、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是________17、已知矩形ABCD的边AB=a，BC=3，PA⊥平面ABCD，若BC边上有且只有一点M，使PM⊥DM，则a的值为________18、ABCD是矩形，AB=4，AD=3，沿AC将△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面△ABC，F是AD′的中点，E是AC上的一点，给出下列结论：①存在点E，使得EF∥平面BCD′；②存在点E，使得EF⊥平面ABD′；③存在点E，使得D′E⊥平面ABC；④存在点E，使得AC⊥平面BD′E．其中正确结论的序号是________ ．（写出所有正确结论的序号）19、把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有________ 对．20、如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有________ 对．三、解答题21、三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=， SB=．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC．22、如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由．（2）设AB=2，若H为PD上的动点，若△AHE面积的最小值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．23、如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．24、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．25、已知三棱锥S﹣ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH．求证：截面EFGH是平行四边形．参考答案一、单选题1、【答案】B【解析】【解答】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．故选B【分析】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，进而可推断出A命题正确；α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可判断出B命题错误；根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．2、【答案】D【解析】【解答】∵平面α，β及直线l满足：α⊥β，l∥α，∴l∥β，l⊂β，l与β相交都有可能，故选D．【分析】利用条件，直接可以得出结论．3、【答案】D【解析】【解答】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°,∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD.故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB,故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．故选D．【分析】中档题，对于折叠问题，要特别注意“变”与“不变”的几何元素，及几何元素之间的关系。
(人教版,必修二)高中数学：第二章 点、直线、平面之间
2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础达标1．下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α.②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析对①②⑤，均不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B.2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面() A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在答案 B解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．3．(2014·淮北高一检测)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．120°答案 C解析如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．4．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交答案 C解析 取BD 中点O ， 连接AO ，CO ， 则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ， 又BD 、AC 异面，∴选C.5．已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的________． 答案 外心解析 P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心．6．(2014·舟山高一检测)如图所示，P A ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．答案 4 解析⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥BCAC ⊥BC P A ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .证明 如图，连接AC ，所以AC ⊥BD . 又∵BD ⊥A 1A ，AC ∩AA 1＝A ， AC ，A 1A ⊂平面A 1AC ， ∴BD ⊥平面A 1AC .∵A 1C ⊂平面A 1AC ，∴BD ⊥A 1C . 同理可证BC 1⊥A 1C .又∵BD ∩BC 1＝B ，BD ，BC 1⊂平面BC 1D ， ∴A 1C ⊥平面BC 1D . 二、能力提升8．(2014·青岛高一检测)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.265C.155D.105答案 D解析 如右图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接A 1C 1、B 1D 1，交于O 点，连接OB ，由已知A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，OC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴OC 1⊥BB 1.而BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴OC 1⊥平面BB 1D 1D .∴OB 是BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影． ∴∠C 1BO 是BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角． 在正方形A 1B 1C 1D 1中， OC 1＝12A 1C 1＝1222＋22＝ 2.在矩形BB 1C 1C 中，BC 1＝BC 2＋CC 21＝4＋1＝ 5.∴sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝25＝105.9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，则AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________． 答案105解析 如图，取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC1D 1于O ，连接AO .由已知正方体易知EO ⊥平面ABC 1D 1，所以∠EAO 为AE 与平面ABC 1D 1所成的角，设正方体棱长为1，在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12A 1D ＝22，AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52，sin ∠EAO ＝EO AE ＝105.所以直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为105.10.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，若BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 因为P A ⊥平面AC ，QD ⊂平面AC ，所以P A⊥QD.又因为PQ⊥QD，P A∩PQ＝P，所以QD⊥平面P AQ，所以AQ⊥QD.①当0<a<2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有∠AQD<90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；③当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.11.(2014·南昌高一检测)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解连接A1B，CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥面A1BCD1，又D1E⊂面A1BCD1，∴AB1⊥D1E.于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.∵ABCD是正方形，E是BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.三、探究与创新12．已知：α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R，求证：QR⊥AB.证明如图，∵α∩β＝AB，PO⊥β于O，∴PO⊥AB.∵PQ⊥α于Q，∴PQ⊥AB.∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面PQO.∵OR⊥α于R，∴PQ∥OR.∴PQ与OR确定平面PQRO.即AB⊥平面PQRO.又∵QR⊂平面PQRD，∴QR⊥AB.13．已知四面体ABCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值．解过点A作AO⊥平面BCD，连接OD，OB，OC，可知O是△BCD的中心．作QP⊥OD，如图所示．∵QP∥AO，∴QP⊥平面BCD.连接CP，则∠QCP即为CQ与平面DBC所成的角．设四面体的棱长为a，∵在正△ACD中，Q是AD的中点，∴CQ＝32a.∵QP∥AO，Q是AD的中点，O为△BCD的重心，∴QP＝12AO＝12a2－⎝⎛⎭⎪⎫23×32a2＝1 2×63a＝66a，即sin∠QCP＝QPCQ ＝23.∴CQ与平面DBC所成角的正弦值为23.。
人教版数学高一第二章点,直线,平面之间的位置关系单元测试精选(含答案)2
【答案】A
15．如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、B′C′
的中点，G 为△ABC 的重心，从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2
条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( )
A．K
B．H
C．G
D．B′
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章 章末综合测评 3
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【来源】人教 A 版高中数学必修二第二章 章末检测卷
【答案】C
19．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、β
试卷第 5页，总 17页
所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是 m 和 n，若 a＞b，则 ( )
【来源】2013-2014 学年福建省清流一中高一下学期第二次阶段考数学试卷（带解析) 【答案】①②
30．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点， 若 B1MN 是直角，则 C1MN ________.
试卷第 8页，总 17页
【来源】人教 A 版 2017-2018 学年必修二第 2 章 章末综合测评 1 数学试题 【答案】90°
29．如图，将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 ADC 平面 ABC ， 在折起后形成的三棱锥 D ABC 中，给出下列三个命题： ① DBC 是等边三角形； ② AC BD ； ③三棱锥 D ABC 的体积是 2 .
6
其中正确命题的序号是* * * ．（写出所有正确命题的序号）
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人教版高中数学必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系章末检测2
章末检测一、选择题1．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是() A．若a、b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则a∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b答案 D解析A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行或异面；C中的α、β可以平行或相交．2．(2014·杭州高一检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC与直线BC1所成的角为() A．30°B．60°C．90°D．45°答案 B解析连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，因为△A1BC1是正三角形，所以∠A1C1B ＝60°，即直线AC与直线BC1所成的角为60°.3．(2013·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面() A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β答案 C解析A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误．故选C.4．(2014·浏阳高一检测)设a，b，c是空间的三条直线，给出以下三个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；②若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；③若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案 B解析借助正方体中的线线关系易知①②全错；由公理4知③正确．5．(2013·广东高考)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案 B解析选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误．故选B.6.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E答案 C解析由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确．7．(2013·课标全国Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则() A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l答案 D解析根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.8.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°答案 D解析∵AD∥BC，∴∠BCB1为异面直线AD和B1C所成的角．∵∠B1CB＝45°，∴AD和CB1所成的角为45°.9．如图，已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为()A．7π B．9πC．11π D．13π答案 D解析由圆M的面积为4π得MA＝2，OM2＝42－22＝12⇒OM＝23，在Rt△ONM中，∠OMN＝30°，∴ON＝12OM＝3，MN＝42－(3)2＝13，∴S圆N＝13π.故选D.10．(2013·山东高考)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则P A与平面ABC 所成角的大小为()A.5π12 B.π3C.π4 D.π6答案 B解析如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠P AO即为P A 与平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝3，则S＝34×(3)2＝334，VABC－A1B1C1＝S×PO＝94，∴PO＝ 3.又AO＝33×3＝1，∴tan∠P AO＝POAO＝3，∴∠P AO＝π3.二、填空题11．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S 位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.答案9解析由面面平行的性质得AC∥BD，ASBS＝CSSD，解得SD＝9.12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．答案90°解析∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN⊂平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN，又∠B1MN为直角．∴B1M⊥MN而B1M∩B1C1＝B1.∴MN⊥平面MB1C1又MC1⊂平面MB1C1∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.13．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是________．答案90°解析如图取BC的中点D，连接AD、B1D，因为ABC－A1B1C1是正三棱柱，所以易得B1D是B1A在平面BCC1B1内的射影，又易得B1D⊥BM，所以B1A⊥BM.14．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α.其中正确命题的序号是________．答案④解析①中b可能在α内；②a与b可能异面；③a可能与α内的直线异面．三、解答题15.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.证明(1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.16.(2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积．(1)证明连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．又D是AB中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD. (2)解因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD.由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22得∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以V三棱锥C－A1DE＝13×12×6×3×2＝1.17．在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC.(1)求证：BD⊥平面SAC；(2)求二面角E－BD－C的大小．(1)证明如图，∵DE⊥SC，且E为SC的中点，又SB＝BC，∴BE⊥SC.又DE∩BE＝E，根据直线与平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD.又SA∩SC＝S. ∴BD⊥平面SAC.(2)解由(1)知∠EDC为二面角E－BD－C的平面角，又△SAC∽△DEC，∴∠EDC＝∠ASC.在Rt△SAB中，∠SAB＝90°，设SA＝AB＝1，则SB＝ 2.由SA⊥BC，AB⊥BC，AB∩SA＝A，∴BC⊥面SAB，SB⊂平面SAB∴BC⊥SB.在Rt△SBC中，SB＝BC＝2，∠SBC＝90°，则SC＝2.在Rt△SAC中，∠SAC＝90°，SA＝1，SC＝2.∴cos∠ASC＝SASC＝12.∴∠ASC＝60°，即二面角E－BD－C的大小为60°.18．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．(1)证明∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC.又∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，∴DE∥平面A1CB.(2)证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，∴DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F.又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，∴A1F⊥平面BCDE，BE⊂平面BCDE，∴A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.。
人教新课标A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质测试
人教新课标A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质同步测试共 25 题一、单选题1、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )A.梯形B.平行四边形C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定2、若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A.α内存在直线与l异面B.α内存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交3、若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A. B.1C. D.4、已知直线l及两个平面α、β，下列命题正确的是（）A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l∥α，l∥β，则α⊥βC.若l⊥α，l⊥β，则α∥βD.若l⊥α，l⊥β，则α⊥β5、已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为（ ）A. B.C.或24D.或126、下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ）A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D.一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面7、已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）A.b≤a≤cB.a≤c≤bC.c≤a≤bD.c≤b≤a8、已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC.若m∥α，m∥β，则α∥βD.若m⊥α，n⊥α，则m∥n9、A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为α，则在直线AB，AC，AD，BC，BD，DC中，与平面α平行的直线有（ ）A.0条B.1条C.2条D.3条10、若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是（ ）A.MN∥βB.MN与β相交或MN⊊βC.MN∥β或MN⊊βD.MN∥β或MN与β相交或MN⊊β11、点 E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH是（ ）A.菱形B.梯形C.正方形D.平行四边形12、给出下列命题：（1）平行于同一直线的两个平面平行（2）平行于同一平面的两个平面平行（3）垂直于同一直线的两直线平行（4）垂直于同一平面的两直线平行其中正确命题的序号为（ ）A.（1）（2）B.（3）（4）C.（2）（4）D.（1）（3）13、如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（ ）A.①②B.③④C.②③D.①④14、已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（ ）A.若直线a∥b，b⊂α，则a∥αB.若平面α⊥β，a⊥α，则a∥βC.若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bD.若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β④平面PAE⊥平面ABC．、已知m、n是两条不重合的直线，1AP= ，过、如图四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD 、如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，________ 时，四边形EFGH为菱形．三、解答题21、如图所示，在棱长为2cm的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作出与截面PBC1平行的截面，简单证明截面形状，并求该截面的面积．22、如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1， E，F，P，Q分别是BC，C1D1， AD1， BD的中点，求证：（1）PQ∥平面DCC1D1（2）EF∥平面BB1D1D．23、求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．24、如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段B1C1和AC上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4（1）求证：BC⊥AC1；（2）试探究满足EF∥平面A1ABB1的点F的位置，并给出证明．25、直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD参考答案一、单选题1、【答案】B【解析】【解答】因为，长方体中相对的平面互相平行，所以，被平面截后，EF,GH平行且相等，GF,EH平行且相等，故四边形的形状为平行四边形，选B。
高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系测试题及答案
第二章直线与平面的位置关系测试题一、选择题1．设 ， 为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l ⊂ ，m ⊂β，有如下的两个命题：①若 ∥ ，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则 ⊥ ．那么( )．A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题2．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )． A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1角为60°3．关于直线m ，n 与平面 ， ，有下列四个命题： ①m ∥ ，n ∥ 且 ∥ ，则m ∥n ； ②m ⊥ ，n ⊥ 且 ⊥，则m ⊥n ；③m ⊥ ，n ∥ 且 ∥ ，则m ⊥n ； ④m ∥ ，n ⊥ 且 ⊥，则m ∥n ．其中真命题的序号是( )． A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l 1，l 2与同一平面所成的角相等，则l 1，l 2互相平行④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线 其中假．命题的个数是( )． A ．1B ．2C ．3D ．45．下列命题中正确的个数是( )．(第2题)①若直线l上有无数个点不在平面 内，则l∥②若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的．．．．是( )．A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( )．A．4 B．3 C．2 D．110．异面直线a ，b 所成的角60°，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )．A ．[30°，90°] B．[60°，90°] C ．[30°，60°]D ．[30°，120°] 二、填空题11．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为．12．P 是△ABC 所在平面 外一点，过P 作PO ⊥平面 ，垂足是O ，连PA ，PB ，PC ．(1)若PA ＝PB ＝PC ，则O 为△ABC 的心；(2)PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PC ⊥PB ，则O 是△ABC 的心；(3)若点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等，则O 是△ABC 的心； (4)若PA ＝PB ＝PC ，∠C ＝90º，则O 是AB 边的点； (5)若PA ＝PB ＝PC ，AB ＝AC ，则点O 在△ABC 的线上． 13．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为．14．直线l 与平面 所成角为30°，l ∩ ＝A ，直线m ∈ ，则m 与l 所成角的取值范围 是．15．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为．16．直二面角 －l － 的棱上有一点A ，在平面 ， 内各有一条射线AB ，AC 与l 成45°，AB ⊂ ，AC ⊂ ，则∠BAC ＝．J(第13题)三、解答题17．在四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． (1)求证：BC ⊥AD ；(2)若点D 到平面ABC 的距离等于3，求二面角A －BC －D 的正弦值；(3)设二面角A －BC －D 的大小为 ，猜想 为何值时，四面体A －BCD 的体积最大．(不要求证明)18． 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点，连结ED ，EC ，EB 和DB ．(1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ； (2)求二面角E －DB －C 的正切值.(第18题)(第17题)19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，1．SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝(1)求四棱锥S—ABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．(提示：延长BA，CD相交于点E，则直线SE是所求二面角的棱.)(第19题)20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在AA1上取一点P，过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.)(第20题)第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案一、选择题1．D 解析：命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线n，l⊂ ，m⊂ ，且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面不垂直平面 ， (第1题)故②是假命题；命题①显然也是假命题，2．D解析：异面直线AD与CB1角为45°．3．D解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．5．B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l与 无公共点，l与平面 内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B． (第5题)6．B解析：设平面 过l1，且l2∥ ，则l1上一定点P与l2确定一平面 ， 与 的交线l3∥l2，且l3 过点P. 又过点P与l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1和l3的平面是唯一的，即过l1且平行于l2的平面是唯一的.7．C解析：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．8．D解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B 解析：因为①②④正确，故选B ．10．A 解析：异面直线a ，b 所成的角为60°，直线c ⊥a ，过空间任一点 P ，作直线 a ’∥a ， b ’∥b ， c ’∥c . 若a ’，b ’，c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30° 角，否则 b ’与c ’所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b 与c 所成角的范围为[30°，90°]．二、填空题 11．313212S S S ．解析：设三条侧棱长为a ，b ，c ．则21ab ＝S 1，21bc ＝S 2，21ca ＝S 3 三式相乘： ∴ 81a 2 b 2 c 2＝S 1S 2S 3， ∴ abc ＝23212S S S ． ∵ 三侧棱两两垂直， ∴ V ＝31abc ·21＝313212S S S ．12．外，垂，内，中，BC 边的垂直平分．解析：(1)由三角形全等可证得O 为△ABC 的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心； (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心； (4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说O 在∠BAC 的平分线上． 13．60°．解析：将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为60°．14．[30°，90°]．解析：直线l 与平面 所成的30°的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在 内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m 与l 所成角的的最大值为90°．15．36．解析：作等积变换：4331⨯×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝4331⨯·h ，而h ＝36． 16．60°或120°．解析：不妨固定AB ，则AC 有两种可能． 三、解答题17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ， ∴BC ⊥AD ．(第17题)解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝ ，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ， ∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3． 又DO ＝23BD ＝23，在Rt △DEO 中，sin ＝DODE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23． (3)当 ＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ， ∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51，(第18题)又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M 底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯， ∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41． (2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线． 又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ， ∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ， (第19题)即所求二面角的正切值为22． 20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO ＝6．∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1＝21·PO ·QR ·BB 1 ＝21×10×6 ＝30．(第20题)。
人教版高中数学必修2：第二章 点、直线、平面之间的位
[课时达标检测]一、选择题1．直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．在平面α内D ．无法确定解析：选D 当平面α内的两条直线相交时，直线l ⊥平面α，即l 与α相交，当面α内的两直线平行时，l ⊂α或l ∥α或l 与α斜交．2．下列说法中正确的个数是( )①若直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α. ②若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则l ⊥α. ③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l ⊥α. A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选B 对于①不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，②③是正确的．3.如图所示，如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面，那么MA 与BD 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直相交C ．垂直但不相交D ．相交但不垂直解析：选C 连接AC ，因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .又MC ⊥平面ABCD ，则BD ⊥MC .因为AC ∩MC ＝C ，所以BD ⊥平面AMC .又MA ⊂平面AMC ，所以MA ⊥BD .显然直线MA 与直线BD 不共面，因此直线MA 与BD 的位置关系是垂直但不相交．4．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，则P 到BC 的距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．4 5解析：选D 如图所示，作PD ⊥BC 于D ，连AD .∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥CD . ∴CB ⊥平面P AD ，∴AD ⊥BC .在△ACD 中，AC ＝5，CD ＝3，∴AD ＝4.在Rt △P AD 中，P A ＝8，AD ＝4， ∴PD ＝82＋42＝4 5.5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为( ) A.23B.33C.23D.63解析：选D 如图，设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O 1、O ，则OO 1∥BB 1，O 1O 与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角，即∠O 1OD 1，cos ∠O 1OD 1＝|O 1O ||OD 1|＝132＝63.二、填空题6.在三棱锥V -ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件________时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)解析：只要VC ⊥面VAB ，即有VC ⊥AB ；故只要VC ⊥VA ，VC ⊥VB 即可． 答案：VC ⊥VA ，VC ⊥VB (答案不唯一，只要能保证VC ⊥AB 即可)7.如图，∠BCA ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC ，△P AC 的边所在的直线中：(1)与PC 垂直的直线有_________________________________；(2)与AP 垂直的直线有_____________________________________________________． 解析：(1)∵PC ⊥面ABC ，AB ，AC ，BC ⊂平面ABC . ∴PC ⊥AB ，PC ⊥AC ，PC ⊥BC .(2)∠BCA ＝90°即BC ⊥AC ，又BC ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ，∴BC ⊥面P AC ，∴BC ⊥AP . 答案：(1)AB ，AC ，BC (2)BC8. 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面对角线A 1B 与对角面BB 1D 1D 所成的角为________．解析：连接A 1C 1，交B 1D 1于E ，则A 1C 1⊥B 1D 1，即A 1E ⊥B 1D 1.又DD 1⊥A 1C 1，即DD 1⊥A 1E ，∴A 1E ⊥平面BB 1D 1D .连接BE ，则∠A 1BE 是A 1B 与对角面BB 1D 1D 所成的角．在Rt △A 1BE 中，∵A 1E ＝12A 1B ，∴∠A 1BE ＝30°，即A 1B 与对角面BB 1D 1D 所成的角为30°. 答案：30° 三、解答题9.如图，在直角三角形BMC 中，∠BCM ＝90°，∠MBC ＝60°，BM ＝5，MA ＝3且MA ⊥AC ，AB ＝4，求MC 与平面ABC 所成角的正弦值．解：因为BM ＝5，MA ＝3，AB ＝4，所以AB 2＋AM 2＝BM 2，所以MA ⊥AB .又因为MA ⊥AC ，AB 、AC ⊂平面ABC ，且AB ∩AC ＝A ，所以MA ⊥平面ABC ，所以∠MCA 即为MC 与平面ABC 所成的角． 又因为∠MBC ＝60°，所以MC ＝532，所以sin ∠MCA ＝MA MC ＝3532＝235.10.如图，在锥体P －ABCD 中，ABCD 是菱形，且∠DAB ＝60°，P A ＝PD ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．证明：AD ⊥平面DEF .证明：取AD 的中点G ，连接PG ，BG .∵P A ＝PD ，∴AD ⊥PG .设菱形ABCD 边长为1. 在△ABG 中，∵∠GAB ＝60°，AG ＝12，AB ＝1，∴∠AGB ＝90°，即AD ⊥GB .又PG ∩GB ＝G ，∴AD ⊥平面PGB ，从而AD ⊥PB . ∵E ，F 分别是BC ，PC 的中点，∴EF ∥PB ，从而AD ⊥EF . 又DE ∥GB ，AD ⊥GB ，∴AD ⊥DE ， ∵DE ∩EF ＝E ，∴AD ⊥平面DEF .。
高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系质量评估检测 新人教A版必修2
高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系质量评估检测新人教A版必修2时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法不正确的是( )A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，显然选项D不正确，故选D.答案：D2.2014·长白山高一检测设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a ⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面 D．平行或异面解析：因为a∥α，a⊂β，α∩β＝b，所以a∥b.又因为a与α无公共点，所以α内与b相交的直线与a异面．答案：C3.2014·银川高一检测如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：连接EG，B1G，B1F，则：A1E∥B1G，故∠B1GF为异面直线A1E与GF所成的角．由AA1＝AB＝2，AD＝1可得B1G＝2，GF＝3，B1F＝5，∴B1F2＝B1G2＋GF2，∴∠B1GF＝90°，即异面直线A1E与GF所成的角为90°.答案：D4.2014·广东执信中学高一检测下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )①②③④A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：如图所示：平面ABC∥平面MNP，所以AB∥平面MNP，故①正确．④中易证NP∥AB，故AB∥平面MNP.②③不正确．答案：B5.2013·广东高考设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误．平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误．AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误．故选D.答案：D6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有( ) A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC ＝∠ACB＝30°，直线AC，AB都满足条件，故选B.答案：B7.2013·山东高考已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面积是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：取正三角形ABC 的中心O ，连结OP ，则∠PAO 是PA 与平面ABC 所成的角．因为底面边长为3，所以AD ＝3×32＝32，AO ＝23AD ＝23×32＝1.三棱柱的体积为12×(3)2×32AA 1＝94，解得AA 1＝3，即OP ＝AA 1＝3，所以tan ∠PAO ＝OPOA＝3，即∠PAO ＝π3. 答案：B8．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为( )A.13B.23C.33 D.23解析：由题意知三棱锥A 1－ABC 为正四面体，设棱长为a ，则AB 1＝3a ，棱柱的高A 1O ＝a 2－AO 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32a 2＝63a (即点B 1到底面ABC 的距离)，故AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为A 1O AB 1＝23，故选B. 答案：B9．在四面体A －BCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的平面角的余弦值为( )A.12B.13C.33 D.23解析：取AC 的中点E ，CD 的中点F ，连接EF ，BF ，BE ，∵AC ＝2，其余各棱长都为1，∴AD ⊥CD ，∴EF ⊥CD .又∵BF ⊥CD ，∴∠BFE 是二面角A －CD －B 的平面角．∵EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，∴EF 2＋BE 2＝BF 2.∴∠BEF ＝90°，∴cos ∠BFE ＝EFBF ＝33，故选C. 答案：C10.2013·大纲全国卷已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23 D.13解析：如图，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，三棱锥C －BDC 1的高为h ，CD 与平面BDC 1所成的角为α.因为VC －BDC 1＝VC 1－BDC ，即13×12×2a ×322ah ＝13×12a 2×2a ，解得h ＝23a .所以sin α＝h CD ＝23. 答案：A11．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC解析：易知：△BCD 中，∠DBC ＝45°，∴∠BDC ＝90°，又平面ABD ⊥平面BCD ，而CD ⊥BD ，∴CD ⊥平面ABD ，∴AB ⊥CD ， 而AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD ，∴平面ABC ⊥平面ACD . 答案：D12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，在l 上取线段AB ＝4，AC 、BD 分别在平面α和平面β内，且AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝3，BD ＝12，则CD 的长度为( )A ．13 B.151 C ．12 3 D ．15解析： 如图，连接AD .∵α⊥β，∴AC ⊥β，DB ⊥α， 在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2＝42＋122＝160.在Rt △CAD 中，CD ＝AC 2＋AD 2＝32＋160＝13. 答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是平面AA 1D 1D 的中心，点Q 是B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AB 1D ，则线段PQ 长为________．解析：连接AB 1，AD 1，因为点P 是平面AA 1D 1D 的中心， 所以点P 是AD 1的中点，因为PQ ∥平面AB 1，PQ ⊂平面AB 1D 1，平面AB 1D 1∩平面AB 1＝AB 1，所以PQ ∥AB 1，所以PQ ＝12AB 1＝22.答案：2214．在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．解析：由直四棱柱可知CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，正方形等条件．答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)15.2013·北京高考如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1上的距离的最小值为________．解析：如图，过点E 作EE 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，交直线B 1C 1于点E 1，连接D 1E 1，DE ，在平面D 1DEE 1内过点P 作PH ∥EE 1交D 1E 1于点H ，连接C 1H ，则C 1H 即为点P 到直线CC 1的距离．当点P 在线段D 1E 上运动时，点P 到直线CC 1的距离的最小值为点C 1到线段D 1E 1的距离，即为△C 1D 1E 1的边D 1E 1上的高h .∵C 1D 1＝2，C 1E 1＝1，∴D 1E 1＝5，∴h ＝25＝255.答案：25516．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下三个结论． ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角； 说法正确的命题序号是________．解析：如图所示，①取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C 的平面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ， ∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．答案：①②三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)2014·日照高一检测如图，正四棱锥S －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱长是底面边长的2倍，O 为底面对角线的交点，P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)F 为SD 中点，若SD ⊥平面PAC ，求证：BF ∥平面PAC . 证明：(1)连接SO ，∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD 且O 为AC 中点， 又∵SA ＝SC ， ∴SO ⊥AC ，又∵SO ∩BD ＝O ， ∴AC ⊥平面SBD ， 又∵SD ⊂平面SBD ， ∴AC ⊥SD .(2)连接OP，∵SD⊥平面ACP，OP⊂平面ACP，∴OP⊥SD，又△SBD中，BD＝2a＝SB，且F为SD中点，∴BF⊥SD，因为OP、BF⊂平面BDF，所以OP∥BF，又∵OP⊂平面ACP，BF⊄平面PAC，∴BF∥平面PAC.18．(本小题满分12分)2013·江苏高考如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC.(2)BC⊥SA.证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又因为EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又因为AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC，因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.又因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.19．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．解析：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD.∴BD⊥平面PAC.(2)设AC与BD交点为O，连接OE.∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE.又∵BO ⊥平面PAC ， ∴PC ⊥BO ，∴PC ⊥平面BOE ，∴PC ⊥BE ，∴∠BEO 为二面角B －PC －A 的平面角． ∵BD ⊥平面PAC ， ∴BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 为正方形， ∴BO ＝ 2.在△PAC 中，OE OC ＝PA PC ⇒OE 2＝13⇒OE ＝23，∴tan ∠BEO ＝BO OE＝3，∴二面角B －PC －A 的平面角的正切值为3.20．(本小题满分12分)2013·新课标全国卷Ⅰ如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积． 解析：(1)取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1＝3，又A 1C ＝6，则A 1C 2＝OC 2＋OA 21，故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．又S △ABC ＝12AB ·OC ＝3，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3×3＝3.21．(本小题满分12分)2013·湖南高考如图，在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝3，D 是BC 的中点，点E 在棱BB 1上运动．(1)证明：AD ⊥C 1E ；(2)当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱锥C 1－A 1B 1E 的体积．解析：(1)证明：因为AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC ，① 又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ， 而AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥BB 1，②。
【人教A版】高中数学必修二：第2章《点、直线、平面之间的位置关系》课时单元检测 2.2.4
2.2.4 平面与平面平行的性质1．平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________________． (1)符号表示为：________________⇒a ∥b ． (2)性质定理的作用：利用性质定理可证________________，也可用来作空间中的平行线． 2．面面平行的其他性质(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于____________________，即⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊂α⇒________，可用来证明线面平行；(2)夹在两个平行平面间的平行线段________； (3)平行于同一平面的两个平面________．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B ．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C ．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D ．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行2．设平面α∥平面β，直线a ⊂α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( ) A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线 D ．存在惟一一条与a 平行的直线 3．如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶5①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β； ⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α． A ．④⑥ B ．②③⑥ C ．②③⑤⑥ D ．②③5．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C ( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面6．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线M 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20二、填空题7．分别在两个平行平面的两个三角形，(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．8．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．9．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、M 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F ．已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________．三、解答题 10．如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E ＝C 1F ．求证：EF ∥平面ABCD ．11．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N ．求证：N 为AC 的中点．能力提升12．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：2．强调两个问题(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说法是不对的，但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一个平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面．2．2．4 平面与平面平行的性质 答案知识梳理1．那么它们的交线平行 (1)⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b (2)线线平行 2．(1)另一个平面 a ∥β (2)相等 (3)平行 作业设计 1．C [由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C ．] 2．D [直线a 与B 可确定一个平面γ， ∵B ∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b ．由线面平行的性质定理知b ∥a ，所以存在性成立． 因为过点B 有且只有一条直线与已知直线a 平行， 所以b 惟一．]3．B [面α∥面ABC ，面PAB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，∴AB ∥A ′B ′， 同理B ′C ′∥BC ，易得△ABC ∽△A ′B ′C ′，S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝(A ′B ′AB )2＝(PA ′PA )2＝425．]4．C [由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a ，b 可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a 可以在α内．]5．D [如图所示，A ′、B ′分别是A 、B 两点在α、β上运动后的两点，此时AB 中点变成A ′B ′中点C ′，连接A ′B ，取A ′B 中点E ．连接CE 、C ′E 、AA ′、BB ′、CC ′．则CE ∥AA ′，∴CE ∥α． C ′E ∥BB ′，∴C ′E ∥β． 又∵α∥β，∴C ′E ∥α． ∵C ′E ∩CE ＝E ．∴平面CC ′E ∥平面α．∴CC ′∥α．所以不论A 、B 如何移动，所有的动点C 都在过C 点且与α、β平行的平面上．]6．B [当P 点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD ＝24，当平面α和平面β在点P 同侧时可求得BD ＝245．]7．(1)相似 (2)全等8．平行 [由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．]9．15 [由题可知DE DF ＝AB AC ⇒AC ＝DF DE ·AB ＝52×6＝15．]10．证明 方法一 过E 、F 分别作AB 、BC 的垂线，EM 、FN 分别交AB 、BC 于M 、N ，连接MN ．∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN ，∵AB 1＝BC 1，B 1E ＝C 1F ，∴AE ＝BF ，又∠B 1AB ＝∠C 1BC ＝45°， ∴Rt △AME ≌Rt △BNF ， ∴EM ＝FN ．∴四边形MNFE 是平行四边形， ∴EF ∥MN ．又MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD ． 方法二过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，连接GF ， ∴B 1E B 1A ＝B 1G B 1B ，B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，∴C 1F C 1B ＝B 1G B 1B ， ∴FG ∥B 1C 1∥BC ．又∵EG ∩FG ＝G ，AB ∩BC ＝B ， ∴平面EFG ∥平面ABCD ． 又EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD ．11．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点． 12．解当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC ，证明如下： 取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE ， ①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点，连接OE ，则BM ∥OE ， ②由①②可知，平面BFM ∥平面AEC ，又BF ⊂平面BFM ， ∴BF ∥平面AEC ．13．解 能．取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1，∵A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1， PC 1∥MC ，PC 1＝MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形， 又∵A 1N ∥PC 1，A 1M ∥BP ， A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形． 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22， ∴A 1H ＝3．∴S △A 1MN ＝12×22×3＝6．故S ▱A 1MCN ＝2S △A 1MN ＝26．。
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数学人教A必修2第二章点、直线、平面之间的位置
关系单元检测
(时间：60分钟，满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)
1．室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线() A．异面B．相交C．平行D．垂直
2．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()
A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥α
C．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α
3．已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()
A．30°B．60°C．90°D．120°
4．设l是直线，α，β是两个不同的平面()
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()
A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α
B．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
D．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
6．如下图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为()
A．90°B．45°
C．60°D．30°
7．点P是等腰△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，P A＝8，在△ABC中，底边BC ＝6，AB＝AC＝5，则P到BC的距离为()
A．B C．D．
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()
A B C．D
二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
9．若二面角α－l－β是直二面角，A∈α，B∈β，AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，且AA1＝A1B1＝1，B1B＝2，M是直线l上的一个动点，则AM＋BM的最小值为________．10．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交α于A，B，交β于C，D，且P A＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为________．
11．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起使二面角A－BD－C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为__________．
三、解答题(本大题共3小题，12,13小题每小题10分，14小题14分，共34分)
12．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE．
13．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1
2
AA1，D
是棱AA1的中点．
(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；
(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
14．如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中点．
(1)求证：ED⊥AC；
(2)若直线BE与平面ABCD成45°角，求异面直线GE与AC所成角的余弦值．
参考答案
1答案：D
2答案：B
3答案：B
4答案：B
5答案：D
6答案：D
7答案：A
8答案：D
9
10答案：20或4
11
12答案：略
13答案：(1)略
(2)平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.
14答案：(1)证明：在矩形ADEF 中，ED ⊥AD ，
∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，
∴ED ⊥平面ABCD .
∵AC ⊂平面ABCD ，
∴ED ⊥AC .
(2)解：由(1)知：ED ⊥平面ABCD ，
∴∠EBD 是直线BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD ＝45°.
设AB ＝a ，则DE ＝BD
，
取DE 中点M ，连接AM ，
∵G 是AF 的中点，
∴AM ∥GE ，
∴∠MAC 是异面直线GE 与AC 所成角或其补角.连接BD 交AC 于点O ，连接MO .
∵2AM CM ===，O 是AC 的中点，∴MO ⊥AC ，
∴cos AO MAC AM ∠===∴异面直线GE 与AC
所成角的余弦值为3.。