一个含零齐次核的Hilbert型积分不等式

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一个零齐次核的Hilbert型积分不等式

这里，常数因子（ ≥ ｏ，１，（＜ ≤ ｍｉ，｝）２ｎ２０ｎｓ）为最佳值．ｒ
本文通过引入权函数、独立参数及共轭指数，应用实分析的方法，立一个具有零齐次核的带最佳常数建
收稿日期：ＯＯＯ — ６２１ — ｇＯ
第３Ｏ卷
第５期
广东教育学院学报
ＪｕｎｌｆａｇｏｇＥｄｃｔｎＩｓｉｔｏｒａｏＧｕｎｄｎｕａｉｎｔｕｅｏｔ
Ｖｏ１０ＮＯ．３．５
Ｏｃ．Ｏ１ｔ２Ｏ

２１００年１０月
一
关键词：ｌｅｔＨｉｒ型积分不等式；权函数；；共轭指数ｂ核
中图分类号：７文献标识码：文章编号：０７８５（０００ — ０００ｏ１８Ａ１０ — ７４２１）５０２～５
引言
设ｆｚ，（在（，）（）ｇ）ｏ。上非负可测，ｏＩｆ（）ｘＣ，＜Ｉｇ（ｄ＜。，。满足＜ｄ＜ｘ０ｘ。则有如下著名。）
（１）
这里，数因子为最佳值．（）分析学及相关领域的重要不等式，的改进、广及应用可见中外各类常式１是它推
数学文献及不等式专著一．中，［］论了核ｋ，为一般（其文６讨（）＞０）齐次的Ｈｉｅｔｌｒ型不等式．ｂ
基金项目：东省高等学校自然科学基金重点研究项目（５Ｏ６广ＯＺ２）作者简介：启亮，，西桂林人，广东第二师范学院数学系副教授黄男广

具有两个参数的零齐次核的Hilbert型积分不等式

第３２卷第５期２１年０１９月
Ｖ１２Ｎｏ５ｏ．．３Ｓｐ２１ｅ．０１
井冈山大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｉｇａｇｈｎＵｉｅｓｙ（ｔｃｎｅｏｒａｎｇｎｓａｎｖｒｉＮａｕａＳｉｃ）ｏＪｔ１１ｅ５
及Ｐ为最佳值。ｑ杨必成
等引入独立参数＞０及另一对共轭指数
（）３与式（的核都是一齐次的。此外，还有一些负４）数齐次核和实数齐次核的研究结果】最近，培。文献
［］９系统讨论了核为一般负数齐次的Ｈｉｅｔ型积分ｌｒｂ
文章编号：１７－０５２１）５００— ４６４８８（００ — ０５０１
具有两个参数的零齐次核的Ｈｌｅｔｉｒ型积分不等式ｂ
黄臻晓
（江师范学院基础教育学院，广东，湛江５４０）湛２３０
摘
要：通过引入两个独立参数与一对共轭指数，应用估计权函数的方法，建立了一个具有最佳常数因子的核为
（，＞１，在右边积分都为正数的情况下，推广ｒ））
收稿日期：２１—４１；修改日期：２１７２０１０— ５０卜Ｏ— Ｏ基金项目：广东省高校自然科学基金重点研究项目（５０６０Ｚ２）作者简介：黄臻晓（９８）１６一，女，广东湛江人，高级讲师，主要从事解析不等式的研究．ａｌｊｈｘ２．ｍ）ｍｉｓｚ＠１６ｃ．：ｘｏ
零齐次的Ｈｌｅｔｉｒ型积分不等式及其等价形式。ｂ关键词：Ｈｌｒ型积分不等式；权函数；核；等价式ｉｅｔｂ中图分类号：０１８７文献标识码：ＡＤ：．６／ｉｎ１７ — ０５２１．．２ＯＩ０３９．ｓ．６４８８．１５０１９ｊｓ０００

关于零阶齐次核的Hardy—Hilbert型积分不等式

ｆａｃｔｏｒ
但对零阶齐次函数核的情形，成果不多，基本都是针
ｌ引言与引理
设ｐ＞ｌ，－声１－＋－ —１，（ｚ） ≥０，ｇ（） ≥０，则有
ｑ
１
对一些简单的具体积分核进行研究如］．本文将用
更一般的理论讨论具有零阶齐次核的Ｈａｒｄｙ — Ｈｉｌｂｅｒｔ型积分不等式．
著名的Ｈａｒｄｙ — Ｈｉｌｂｅｒｔ积分不等式：
引理１设Ｐ＞１，１＋吉一ｌ，ｎ，６ ∈ Ｒ，
Ｋ（ｘ，．），）是零阶齐次对称的非负可测函数，记
１
』Ｊ０。。．Ｊｆ０。。十Ｙｄｄ ≤ — ｓｉｎＰ兀／ｌｆｆｌｌｆｆｇｆＩ，
，
ｒ＋。。
ＤＯＩ：１０．３７８５／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８ — ９４９７．２０１３．０１．００４
关于零阶齐次核的Ｈａｒｄｙ — Ｈｉｌｂｅｒｔ型积分不等式
洪勇
（广东商学院数学与计算科学学院，广东广州５１０３２０）
浙
第４０卷第１期
２０１３年１月
江
大
学
学
报（理学版）
Ｖ／ｏ１．４０Ｎｏ．１
ａｎ．２０１３
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｅｊｉａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｊｏｕｒｎａｌｓ．ｚｊａ．ｅｅｌ，，．ｃｎ／ｓｃｉ

一个实数齐次核的Hilbert型积分不等式

证明设．ｙｕ则２２一／，
∞
・．
ｗ（）一Ｉｚ
Ｊ０
（（ｘ，１，ｌ “ １＾ｒｎｋｊ￣￣ａａ－＋ｍ｛ｎ｛１ｌ一）ｃ — （＃ｒｎｋａｍｉ）号ａａ－ ’ Ａ）ｃｄ１）） “ ）一（ｔｕＵＩｔｕｕ＋－Ｗ－
使得０Ｉｚ卜ｒ卜尸（）ｘＣ，＜Ｉｚ１（）ｑ）ｘ ∞，＜ ” ｚｄ＜Ｘ０ｑｂ－ｇ（ｄ＜Ｄ［ｒ卜－－Ｚｚ则有
ＪｒＬｘＩ（）ｚ（ｄｙＫＰ（Ｈ（妇ｆｑ（］ｑ））ｆ０ｍｔ）ｙｚ＜Ｘ－广ｚ［ｒ－（ｄ吉ａｚ０。。Ｊｉｎｇ）ｄ［１ａ）ｘ－ａｇｚｚ，１）ｂｌ
９ＹＹＪ０Ｊ０
这里Ｋ一
。＋
］（＋）为最佳值・ｒ卢
文献［ —１］也给出类似结果．７１笔者将应用权函数的方法给出一个新的实数齐次核的Ｈｉｅｔｌｒ型积分不等式及其等价形式．ｂ
１引理及证明
以下设＞０ｐ≠ １１ｐ＋１ｑ一１＜１＋ｙ＋＞０ｋ∈ Ｎ，，／／，，，．
引理１
， ∈ （，，义权函数ｗ（ｏ ∞）定）和（）为
＝
ｊ ’ ｊ ’
— — — 一ｃａ（ — Ｖ， — — ａｔｎ互ｄ，ｒ —）
一
∞ Ｏ
ｒ）ｚｄ．ＩＨ
Ｊ０
（）３
证明
由带权Ｈｏｌｅ不等式及（），ｏｄｒ２式有
［ｊｉ。

一个含混合核的Hilbert型积分不等式

：
为行文方便，以下约定：
２０１１年，周昱、高明哲ｔ９ｊ３（证明了一个类似于
（１）式并与Ｅｕｌｅｒ数有关的不等式，即
弓Ｉ理１设＞０，０ ≤ ＜，Ｊ８ ≥０，２ｒ＝Ａ —ａ，
＝
ＯＯ
Ｊ。Ｊ。
引用格式：有名辉．一个含混合核的Ｈｉｌｂｅｒｔ型积分不等武【Ｊ】．宜宾学院学报，２０１５，１５（１２）：９１－９４．ＹＯＵＭＨ．ＡＮｅｗＨｉｌｂｅｒｔ — ＴｙｐｅＩｎｔｅｇｒａｌＩｎｅｑｕｌａｉｔｙＩｎｖｏｌｖｉｎｇＭｉｘｅｄＫｅｒｎｅｌ［Ｊ］．ＪｏｕｎａｒｌｏｆＹｉｂｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２０１５，１５（１２）：９１ — ９４
ＡＮｅｗＨｉｌｂｅｒｔ — ＴｙｐｅＩｎｔｅｇｒａｌＩｎｅｑｕａｌｉｔｙＩｎｖｏｌｖｉｎｇＭｉｘｅｄＫｅｒｎｅｌ
ＹＯＵＭｉｎｇｈｕｉ
（ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＴｅａｃｈｉｎｇａｎｄＲｅｓｅａｒｃｈＳｅｃｔｉｏｎ，ＺｈｅｊｉａｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ，ｚ７ｉａｎｇ

拟齐次核逆向Hilbert型积分不等式的构建条件及算子表示

第48卷第8期西南师范大学学报(自然科学版)2023年8月V o l.48N o.8 J o u r n a l o f S o u t h w e s t C h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)A u g.2023D O I:10.13718/j.c n k i.x s x b.2023.08.002拟齐次核逆向H i l b e r t型积分不等式的构建条件及算子表示①洪勇1,赵茜1,张丽娟1,孔荫莹21.广州华商学院数据科学学院,广州511300;2.广东财经大学统计与数学学院,广州510320摘要:利用权函数方法和逆向Höl d e r积分不等式,讨论了具有拟齐次核K(x,y)的逆向H i l b e r t型积分不等式ʏ+ɕ0ʏ+ɕ0K(x,y)|f(x)||g(y)|d x d yȡM f *p,α g *q,β的构建问题,其中1p+1q=1(0<p<1,q<0),fɪLαp(0,+ɕ),gɪLβq(0,+ɕ).得到了构建逆向H i l b e r t 型积分不等式的充分必要条件和最佳常数因子的计算公式,与拟齐次核H i l b e r t型积分不等式的相关结果形成对应,完善了H i l b e r t型积分不等式的理论问题.最后利用逆向H i l b e r t型积分不等式对积分算子T(f)(y)=ʏ+ɕ0K(x,y)f(x)d x fɪLαp(0,+ɕ)进行探讨,给出了相应的算子不等式和若干特例,这对于积分算子的研究有一定的理论意义.关键词:逆向H i l b e r t型积分不等式;拟齐次核;构建条件;最佳常数因子;算子表示中图分类号:O178文献标志码:A文章编号:10005471(2023)08001009C o n s t r u c t i o nC o n d i t i o n s a n dO p e r a t o rR e p r e s e n t a t i o n s o fI n v e r s eH i l b e r t-T y p e I n t e g r a l I n e q u a l i t i e sw i t h Q u a s i-H o m o g e n e o u sK e r n e l HO N Y Y o n g1,Z HA O Q i a n1,Z HA N GL i j u a n1, K O N G Y i n y i n g21.C o l l e g eo f D a t aS c i e n c e,G u a n g z h o uH u a s h a n g C o l l e g e,G u a n g z h o u511300,C h i n a;2.C o l l e g eo f S t a t i s t i c sa n dM a t h e m a t i c s,G u a n g d o n g U n i v e r s i t y o f F i n a n c ea n dE c o n o m i c s,G u a n g z h o u510320,C h i n aA b s t r a c t:U s i n g t h ew e i g h t f u n c t i o n m e t h o da n d i n v e r s e Höl d e r i n t e g r a l i n e q u a l i t y,t h e p r o b l e m o f c o n-s t r u c t i n g t h e i n v e r s eH i l b e r t-t y p e i n t e g r a l i n e q u a l i t yʏ+ɕ0ʏ+ɕ0K(x,y)|f(x)||g(y)|d x d yȡM f *p,α g *q,βw i t h q u a s i-h o m o g e n e o u s k e r n e l K(x,y)i s d i s c u s s e d,w h e r e1p+1q=1(0<p<1,q<0),fɪLαp(0,+ɕ), gɪLβq(0,+ɕ).T h e s u f f i c i e n t n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r c o n s t r u c t i n g t h e i n v e r s eH i l b e r t-t y p e i n t e g r a l i n e-q u a l i t y a n d f o r m u l a f o r t h eb e s t c o n s t a n t f a c t o r a r e o b t a i n e d,w h i c h f o r ma c o r r e s p o n d e n c ew i t h t h e r e l e-①收稿日期:20221110基金项目:广东省基础与应用基础研究基金项目(2022A1515012429);广州华商学院科研团队项目(2021H S K T03).作者简介:洪勇,教授,主要从事调和分析及解析不等式的研究.v a n t r e s u l t s o f t h eH i l b e r t -t y p e i n t e g r a l i n e q u a l i t y w i t h q u a s i -h o m o ge n e o u sk e r n e l ,w h i c hr ef i n e sa t h e o -r e t i c a l p r o b l e mo fH i l b e r t -t y p e i n e q u a l i t y ,a n d f i n a l l y t h e i n t eg r a l o p e r a t o r T (f )(y )=ʏ+ɕK (x ,y )f (x )d x f ɪL αp (0,+ɕ)i s d i s c u s s e db y u s i n g t h e i n v e r s e H i l b e r t -t y p e i n t e g r a l i n e q u a l i t y ,g i v i n g t h ec o r r e s p o n d i n g o pe r a t o r i n e -q u a l i t y a n d s e v e r a l s p a c i a l c a s e s ,w h i c hh a v e s o m e t h e o r e t i c a l s i g n if i c a n c e f o r t h e s t u d y o f i n t eg r a l o p e r a -t o r s .K e y wo r d s :i n v e r s e H i l b e r t -t y p e i n t e g r a l i n e q u a l i t y ;q u a s i -h o m o g e n e o u sk e r n e l ;c o n s t r u c t i o nc o n d i t i o n ;t h eb e s t c o n s t a n t f a c t o r ;o p e r a t o r r e pr e s e n t a t i o n 设r ʂ0,αɪR ,记L αr(0,+ɕ)=f (x ):ʏ+ɕx α|f (x )|rd x ()1r<+ɕ{}需要指出的是:当r >1时,L αr (0,+ɕ)是带幂权x α的加权L e b e s gu e 空间,此时记 f r ,α=ʏ+ɕx α|f (x )|rd x ()1r当r ɤ1且r ʂ0时,L αr (0,+ɕ)并不构成向量空间,为了区别r >1的情形,此时记f*r ,α=ʏ+ɕx α|f (x )|rd x ()1r若1p +1q=1(0<p <1,q <0),α,βɪR ,K (x ,y )ȡ0,f (x )ɪL αp (0,+ɕ),g (y )ɪL βq (0,+ɕ),称ʏ+ɕ0ʏ+ɕK (x ,y )|f (x )||g (y )|d x d y ȡM f *p ,α g *q ,β(1)为以K (x ,y )为核的逆向Hi l b e r t 型积分不等式,M 称为常数因子,M 0=s u p {M }称为最佳常数因子.在充分讨论H i l b e r t 型不等式并取得了大量成果的基础上[1-4],近年来各国学者开始关注逆向H i l b e r t型不等式[5-9].文献[10-16]讨论了H i l b e r t 型不等式的构建问题,从理论上解决了H i l b e r t 型不等式针对各类核的构造参数条件,并得到了加权L e b e s g u e 空间中有界积分算子的构造方法,这在算子理论中是非常有意义的,但目前讨论逆向H i l b e r t 型不等式构造的文献还不多见.本文针对拟齐次核讨论逆向H i l b e r t 型积分不等式的构造问题,得到了等价的参数条件和最佳常数因子的计算公式.设λ是一个实数,G (u ,v )是λ阶齐次非负函数,λ1λ2>0,称K (x ,y )=G (x λ1,y λ2)为拟齐次函数,显然K (x ,y )具有性质:若t >0,则K (t x ,y )=t λλ1K (x ,t -λ1λ2y ) K (x ,t y )=t λλ2K (t -λ2λ1x ,y )特别地,K (t ,1)=t λλ1K (1,t -λ1λ2) K (1,t )=t λλ2K (t -λ2λ1,1)本文中,我们记W 1(s )=ʏ+ɕK (1,t )t sd t W 2(s )=ʏ+ɕK (t ,1)t sd tA (K ,f ,g )=ʏ+ɕʏ+ɕK (x ,y )|f (x )||g (y )|d x d y 1 预备引理引理1 设1p +1q=1(00,λɪR ,G (u ,v )是λ阶齐次非负函数,K (x ,11第8期洪勇,等:拟齐次核逆向H i l b e r t 型积分不等式的构建条件及算子表示y )=G (x λ1,y λ2),α+1λ1p +β+1λ2q =λ+1λ1+1λ2,则1λ1W 1-β+1q æèçöø÷=1λ2W 2-α+1p æèçöø÷,且ω1(x ,β,q )=ʏ+ɕ0K (x ,y )y -β+1q d y =xλλ1-λ1λ2β+1q -1()W 1-β+1q æèçöø÷ω2(y ,α,p )=ʏ+ɕK (x ,y )x -α+1pd x =yλλ2-λ2λ1α+1p -1()W 2-α+1p æèçöø÷证因为α+1λ1p +β+1λ2q=λ+1λ1+1λ2故-λ1λ2λλ2-β+1q æèçöø÷-λ1λ2-1=-α+1p于是W 1-β+1q æèçöø÷=ʏ+ɕK (t -λ2λ1,1)t λλ2-β+1q d t =λ1λ2ʏ+ɕ0K (u ,1)u -λ1λ2λλ2-β+1q ()-λ1λ2-1d u =λ1λ2ʏ+ɕK (u ,1)u -α+1p d u =λ1λ2W 2-α+1p æèçöø÷故有1λ1W 1-β+1q æèçöø÷=1λ2W 2-α+1p æèçöø÷利用K (x ,y )的性质,有ω1(x ,β,q )=x λλ1ʏ+ɕK (1,x -λ1λ2y )y -β+1q d y =xλλ1-λ1λ2β+1q -1()ʏ+ɕK (1,t )t -β+1q d t =x λλ1-λ1λ2β+1q -1()W 1-β+1q æèçöø÷同理可得ω2(y ,α,p )=yλλ2-λ2λ1α+1p -1()W 2-α+1p æèçöø÷引理2[17] 设1p +1q=1(0<p <1,q <0),x ɪΩ⊆R n,ω(x )ȡ0,f (x )ȡ0,g (x )ȡ0,则有逆向H öl d e r 积分不等式ʏΩf (x )g (x )ω(x )d x ȡʏΩf p(x )ω(x )d x ()1pʏΩg q(x )ω(x )d x ()1q当且当存在常数C 使得f p (x )=C g q (x )时,不等式取等号.2 逆向H i l b e r t 型积分不等式的构造定理定理1 设1p +1q =1(00,α,β,λɪR ,G (u ,v )是λ阶齐次非负函数,K (x ,y )=G (x λ1,y λ2),0<W 1-β+1q æèçöø÷<+ɕ,0<W 2-α+1p æèçöø÷<+ɕ,存在常数σ>0,使得W 1-β+1q ʃσæèçöø÷<+ɕ或W 2-α+1pʃσæèçöø÷<+ɕ,则:21西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .e d u .c n 第48卷(i )当且当α+1λ1p +β+1λ2q =λ+1λ1+1λ2时,存在常数M >0,使得A (K ,f ,g )=ʏ+ɕʏ+ɕK (x ,y )|f (x )||g (y )|d x d y ȡM f*p ,α g *q ,β(2)其中f (x )ɪL αp (0,+ɕ),g (y )ɪL βq (0,+ɕ);(i i )当α+1λ1p +β+1λ2q=λ+1λ1+1λ2时,(2)式的最佳常数因子为s u p {M }=W 0|λ1|1q |λ2|1p 其中W 0=|λ1|W 2-α+1p æèçöø÷=|λ2|W 1-β+1q æèçöø÷.证不妨设W 2-α+1pʃσæèçöø÷<+ɕ.(i )充分性设α+1λ1p +β+1λ2q=λ+1λ1+1λ2,根据引理1及引理2,有A (K ,f ,g )=ʏ+ɕ0ʏ+ɕx α+1p q yβ+1p q |f (x )|æèçöø÷y β+1p qx α+1p q|g (y )|æèçöø÷K (x ,y )d x d y ȡʏ+ɕ0ʏ+ɕx α+1qyβ+1q|f (x )|p K (x ,y )d x d y æèçöø÷1p ʏ+ɕ0ʏ+ɕy β+1px α+1p |g (y )|q K (x ,y )d x d y æèçöø÷1q =ʏ+ɕ0x α+1q|f (x )|pω1(x ,β,q )d x ()1pʏ+ɕyβ+1p|g (y )|qω2(y ,α,p )d y()1q=W 1p 1-β+1q æèçöø÷W 1q 2-α+1p æèçöø÷ʏ+ɕ0x α+1q +λλ1-λ1λ2β+1q -1()|f (x )|pd x ()1pʏ+ɕy β+1p +λλ2-λ2λ1α+1p -1()|g (y )|q d y()1q=W 1p 1-β+1q æèçöø÷W 1q 2-α+1pæèçöø÷ʏ+ɕ0x α|f (x )|pd x ()1pʏ+ɕy β|g (y )|qd y ()1q=W 1p1-β+1q æèçöø÷W 1q 2-α+1p æèçöø÷ f *p ,α g *q ,β任取0<M ɤW 1p1-β+1q æèçöø÷W 1q 2-α+1p æèçöø÷,都可得到(2)式.必要性设存在常数M >0使得(2)式成立,记α+1λ1p +β+1λ2q-λ+1λ1+1λ2æèçöø÷=c若c λ2>0,对充分小的ε>0,令f (x )=x-α+1+|λ1|εpx ȡ100<x <1{g (y )=y-β+1+|λ2|εqy ȡ10<y <1{则有f *p ,αg *q ,β=ʏ+ɕ1x -1-|λ1|εd x()1pʏ+ɕ1y-1-|λ2|εd y()1q=1ε|λ1|1p |λ2|1q (3)同时还有A (K ,f ,g )=ʏ+ɕ1y-β+1q -|λ2|εqʏ+ɕ1K (x ,y )x -α+1p -|λ1|εpd x ()d y =31第8期洪勇,等:拟齐次核逆向H i l b e r t 型积分不等式的构建条件及算子表示ʏ+ɕ1yλλ2-β+1q -|λ2|εqʏ+ɕ1K (y -λ2λ1x ,1)x -α+1p -|λ1|εpd x ()d y =ʏ+ɕ1y λλ2-β+1q -|λ2|εq +λ2λ1-α+1p -|λ1|εp ()+λ2λ1ʏ+ɕy -λ2λ1K (t ,1)t-α+1p -|λ1|εpd t ()d y ɤʏ+ɕ1y λ2λ-β+1λ2q -|λ2|ελ2q -α+1λ1p -|λ1|ελ1p +1λ1()ʏ+ɕK (t ,1)t -α+1p -|λ1|εpd t ()d y =ʏ+ɕ1y-1-c λ2-|λ2|εd yʏ+ɕK (t ,1)t-α+1p -|λ1|εpd t(4)根据(3)式和(4)式,有εʏ+ɕ1y-1-c λ2-|λ2|εd yʏ+ɕK (t ,1)t -α+1p-|λ1|εpd t ȡM|λ1|1p|λ2|1q(5)因为c λ2>0,由L e b e s gu e 控制收敛定理,有l i mεң0+ʏ+ɕ1y-1-c λ2-|λ2|εd y =ʏ+ɕ11y1+c λ2d y <+ɕ令F (t )=K (t ,1)t -α+1p -σ 0<t ɤ1K (t ,1)t -α+1pt >1{因为ε>0充分小,故|λ1|εp <σ,于是K (t ,1)t-α+1p -|λ1|εpɤF (t ) t >0而ʏ+ɕF (t )d t =ʏ10F (t )d t +ʏ+ɕ1F (t )d t =ʏ10K (t ,1)t -α+1p -σd t +ʏ+ɕ1K (t ,1)t-α+1pd t ɤW 2-α+1p -σæèçöø÷+W 2-α+1p æèçöø÷<+ɕ视ε为一个趋于0的正项数列{c k },根据L e b e s g u e 控制收敛定理,有l i mεң0+ʏ+ɕ0K (t ,1)t-α+1p -|λ1|εpd t =l i mk ң+ɕʏ+ɕ0K (t ,1)t-α+1p -|λ1|c k pd t =ʏ+ɕK (t ,1)t-α+1pd t =W 2-α+1p æèçöø÷<+ɕ于是在(5)式中令εң0+,得0ȡM|λ1|1p|λ2|1q>0(6)矛盾,所以c λ2>0不成立.若c λ2<0,对充分小的ε>0,令f (x )=x-α+1-|λ1|εp0<x ɤ1x >1{g (y )=y-β+1-|λ2|εq0<y ɤ1y >1{类似地可得εʏ1y-1-c λ2+|λ2|εd yʏ+ɕK (t ,1)t -α+1p+|λ1|εpd t ȡM|λ1|1p|λ2|1q 41西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .e d u .c n 第48卷利用W 2-α+1p +σæèçöø÷<+ɕ W 2-α+1p æèçöø÷<+ɕ及L e b e s gu e 控制收敛定理,令εң0+,类似地也可得到(6)式,矛盾.故c λ2<0也不能成立.综上所述,可得c λ2=0,但λ2ʂ0,故c =0,即α+1λ1p +β+1λ2q=λ+1λ1+1λ2(i i )设α+1λ1p +β+1λ2q =λ+1λ1+1λ2,则c =0.若(2)式的最佳常数因子不是W 0|λ1|1q |λ2|1p,则存在常数M 0>0,使得M 0>W 1p1-β+1q æèçöø÷W 1q 2-α+1p æèçöø÷=W 0|λ1|1q |λ2|1pA (K ,f ,g )ȡM 0 f *p ,α g *q ,β由于c =0,根据导出(5)式的方法,得εʏ+ɕ1y-1-|λ2|εd yʏ+ɕK (t ,1)t-α+1p -|λ1|εpd t ȡM 0|λ1|1p |λ2|1q 由此得到1|λ2|ʏ+ɕ0K (t ,1)t -α+1p -|λ1|εpd t ȡM 0|λ1|1p |λ2|1q令εң0+,得λ1λ2æèçöø÷1pʏ+ɕK (t ,1)t -α+1pd t ȡM 0于是W 0|λ1|1q |λ2|1p =λ1λ2æèçöø÷1p W 2-α+1p æèçöø÷=λ1λ2æèçöø÷1p ʏ+ɕK (t ,1)t -α+1pd t ȡM 0这与M 0>W 0|λ1|1q|λ2|1p矛盾,故(2)式的常数因子是最佳的.3 逆向H i l b e r t 型积分不等式的算子表式设K (x ,y )ȡ0,定义以K (x ,y )为核的积分算子T :T (f )(y )=ʏ+ɕK (x ,y )f (x )d x f (x )ɪL αp (0,+ɕ)(7)根据H i l b e r t 型不等式的基本理论,逆向H i l b e r t 型积分不等式(1)等价于算子不等式 T (f ) *p ,β(1-p )ȡM f *p ,α f (x )ɪL αp (0,+ɕ)(8)根据定理1,可得到下列等价定理:定理2 设1p +1q=1(00,α,β,λɪR ,G (u ,v )是λ阶齐次非负函数,K (x ,y )=G (x λ1,y λ2),0<W 1-β+1q æèçöø÷<+ɕ,0<W 2-α+1p æèçöø÷<+ɕ,存在常数σ>0,使得W 1-β+1q ʃσæèçöø÷<+ɕ或W 2-α+1pʃσæèçöø÷<+ɕ,积分算子T 由(7)式定义,则:(i )当且当α+1λ1p +β+1λ2q=λ+1λ1+1λ2时,存在常数M >0,使得(8)式成立;(i i )当α+1λ1p +β+1λ2q =λ+1λ1+1λ2时,(8)式的最佳常数因子为s u p {M }=W 0|λ1|1q |λ2|1p,其中51第8期洪勇,等:拟齐次核逆向H i l b e r t 型积分不等式的构建条件及算子表示W 0=|λ1|W 2-α+1p æèçöø÷=|λ2|W 1-β+1q æèçöø÷在定理2中取λ1=λ2=1,则可得到关于齐次核积分算子的如下结果:推论1 设1p +1q=1(00,使得W 1-β+1q ʃσæèçöø÷<+ɕ或W 2-α+1pʃσæèçöø÷<+ɕ,积分算子T 由(7)式定义,则:(i )当且当αp +βq=λ+1时,存在常数M >0,使得(8)式成立;(i i )当αp +βq =λ+1时,(8)式的最佳常数因子为s u p{M }=W 1-β+1q æèçöø÷=W 2-α+1p æèçöø÷.在定理2中取α=β=0,则可得:推论2 设1p +1q=1(00,λɪR ,G (u ,v )是λ阶齐次非负函数,K (x ,y )=G (x λ1,y λ2),0<W 1-1q æèçöø÷<+ɕ,0<W 2-1p æèçöø÷<+ɕ,存在常数σ>0,使得W 1-1q ʃσæèçöø÷<+ɕ或W 2-1p ʃσæèçöø÷<+ɕ,积分算子T 由(7)式定义,则:(i )当且当λ+1λ1q +1λ2p=0时,存在常数M >0,使得T (f ) *p ȡM f *p f (x )ɪL p (0,+ɕ)(9)(i i )当λ+1λ1q +1λ2p =0时,(9)式的最佳常数因子为s u p {M }=W 0|λ1|1q |λ2|1p ,其中W 0=|λ1|W 2-1p æèçöø÷=|λ2|W 1-1q æèçöø÷推论3 设1p +1q=1(00,0ɤa <b ,积分算子T 为T (f )(y )=ʏ+ɕl n b x λ+y λa x λ+y λæèçöø÷f (x )d x f (x )ɪL p 1q +λ2()p (0,+ɕ)则有T (f ) *p ,λp 2-1ȡ2πλ(b -a ) f *p ,p 1q +λ2()其中的常数因子2πλ(b -a )是最佳值.证记α=p 1q +λ2æèçöø÷ β=q 1p -λ2æèçöø÷则αp +βq=1.又记K (x ,y )=l n b x λ+y λa x λ+y λæèçöø÷ x >0,y >0因为0ɤa <b ,故K (x ,y )是0阶齐次非负函数.作变换t =u 2λ,有W 1-β+1q æèçöø÷=ʏ+ɕ0K (1,t )t-β+1qd t =ʏ+ɕl n b +t λa +t λæèçöø÷t -β+1qd t =61西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .e d u .c n 第48卷2λʏ+ɕl n b +u 2a +u 2æèçöø÷u -2λβ+1q +2λ-1d u =2λʏ+ɕl n b +u 2a +u 2æèçöø÷d u =2λu l nb +u 2a +u 2æèçöø÷æèç+ɕ0-ʏ+ɕu 2u b +u 2-2u a +u 2æèçöø÷d u öø÷=4(b -a )λʏ+ɕ0u 2(b +u 2)(a +u 2)d u若a >0,因为h (z )=z 2(b +z 2)(a +z 2)在上半平面上有两个一阶极点a i 和b i ,利用复变函数的残数理论,可求得W 1-β+1q æèçöø÷=4(b -a )λʏ+ɕ0u 2(b +u 2)(a +u 2)d u =2(b -a )λ2πiR e s z =b i z 2(b +z 2)(a +z 2)+R e s z =a iz 2(b +z 2)(a +z 2)æèçöø÷=2πλ(b -a )若a =0,则易求得W 1-β+1q æèçöø÷=2πλb .综上所述,当a ȡ0时,有0<W 1-β+1q æèçöø÷=2πλ(b -a )<+ɕ类似地也可得0<W 2-α+1p æèçöø÷=2πλ(b -a )<+ɕ取σ=λ4>0,有W 1-β+1q-σæèçöø÷=ʏ+ɕ0l n b +t λa +t λæèçöø÷t -β+1q -σd t =2λʏ+ɕl n b +u 2a +u 2æèçöø÷u -12d u =2λʏ10l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u -12d u +2λʏ+ɕ1l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u -12d u ɤ2λʏ10l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u -12d u +2λʏ+ɕ1l n b +u 2a +u 2æèçöø÷d u 因为l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u -12~l n b a æèçöø÷u -12 u ң0+l n b +u 2a +u 2æèçöø÷=l n1+b -a a +u 2æèçöø÷~b -a a +u 2<b -a u 2u ң+ɕʏ10l n b a æèçöø÷u -12d u <+ɕ ʏ+ɕ1b -au 2d u <+ɕ从而可推知W 1-β+1q-σæèçöø÷<+ɕ.又因为W 1-β+1q+σæèçöø÷=ʏ+ɕ0l n b +t λa +t λæèçöø÷t -β+1q +σd t =2λʏ+ɕl n b +u 2a +u 2æèçöø÷u 12d u =71第8期洪勇,等:拟齐次核逆向H i l b e r t 型积分不等式的构建条件及算子表示2λʏ10l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u 12d u +2λʏ+ɕ1l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u 12d u ɤ2λʏ10l n b +u 2a +u 2æèçöø÷d u +2λʏ+ɕ1l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u 12d u 而l n b +u 2a +u 2æèçöø÷u 12~b -a a +u 2u 12<b -a u32u ң+ɕʏ+ɕ1b -a u32d u <+ɕ ʏ10l n b +u 2a +u 2æèçöø÷d u <+ɕ所以可知W 1-β+1q +σæèçöø÷<+ɕ,于是得到W 1-β+1qʃσæèçöø÷<+ɕ.综上所述,并根据推论1,可知推论3成立.参考文献:[1]洪勇,和炳.H i l b e r t 型不等式的理论与应用(上册)[M ].北京:科学出版社,2023:26-90.[2] 杨必成,陈强.一个核为双曲正割函数的半离散H i l b e r t 型不等式[J ].西南师范大学学报(自然科学版),2015,40(2):26-32.[3] 钟建华,陈强.一个单调减非凸的零齐次核H i l b e r t 型不等式[J ].西南大学学报(自然科学版),2014,36(8):92-96.[4] 王爱珍.一个半离散且单调齐次核的H i l b e r t 型不等式[J ].西南大学学报(自然科学版),2013,35(4):101-105.[5] R A S S I A S M T H ,Y 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A N GBC ,e t a l .T h eN e c e s s a r y an dS u f f i c i e n t C o n d i t i o n s f o r t h eE x i s t e n c e o f aK i n d o fH i l -b e r t -T y p eM u l t i p l e I n t e g r a l I n e q u a l i t y w i t h t h eN o n -H o m o g e n e o u sK e r n e l a n d I t sA p p l i c a t i o n s [J ].J o u r n a l o f I n e q u a l i -t i e s a n dA p p l i c a t i o n s ,2017,316:1-12.[11]洪勇,温雅敏.齐次核的H i l b e r t 型级数不等式取最佳常数因子的充要条件[J ].数学年刊(A 辑),2016,37(3):329-336.[12]H EB ,HO N GY ,L I Z .C o n d i t i o n s f o r t h eV a l i d i t y o f aC l a s s o fO p t i m a lH i l b e r t T y p eM u l t i p l e I n t e g r a l I n e q u a l i t i e sw i t h N o n h o m o g e n e o u sK e r n e l s [J ].J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e s a n dA p pl i c a t i o n s ,2021,64:1-12.[13]洪勇,吴春阳,陈强.一类非齐次核的最佳H i l b e r t 型积分不等式的搭配参数条件[J ].吉林大学学报(理学版),2021,59(2):207-212.[14]HO N G Y ,HU A N G QL ,C H E N Q.T h eP a r a m e t e rC o n d i t i o n s f o r t h eE x i s t e n c e o f t h eH i l b e r t -T y p eM u l t i p l e I n t e g r a l I n e q u a l i t y a n d I t sB e s tC o n s t a n tF a c t o r [J ].A n n a l s o fF u n c t i o n a lA n a l y s i s ,2020,2020:1-10.[15]L I A OJQ ,HO N G Y ,Y A N G BC .E q u i v a l e n tC o n d i t i o n so f aH i l b e r t -T y p e M u l t i p l e I n t e g r a l I n e q u a l i t y H o l d i n g [J ].J o u r n a l o fF u n c t i o nS pa c e s ,2020,2020:1-6.[16]WA N G AZ ,Y A N GBC ,C H E N Q.E q u i v a l e n tP r o p e r t i e s o f aR e v e r s eH a l f -D i s c r e t eH i lb e r t S I n e q u a l i t y [J ].J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e s a n dA p p l ic a t i o n s ,2019,2019(1):1-12.[17]匡继昌.常用不等式[M ].5版.济南:山东科学技术出版社,2021:4-43.责任编辑廖坤81西南师范大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .e d u .c n 第48卷。

Hilbert型不等式选讲杨必成黄启亮有感

《Hilbert 型不等式选讲》心得体会上课一个月多，Hilbert 型不等式是一门比较有意思的课，杨教授是个热爱数学的教授，把德国数学家D.Hilbert 提出的不等式“Hilbert 不等式”填补了空白。

这次写的体会是第三章的内容。

第三章讲的Hilbert 型积分不等式，分为10节。

第一节讲的是Hilbert 积分不等式，1911年，有定理：设f （x ），g （y ）≥0，f ，g ∈L 2(0，∞)={f f2=（⎰∞02dx x f 2））（（）<∞}，则有如下Hilbert 积分不等式及其等价式：I ：=dxdy y x x g x f 00⎰⎰∞∞+）（）（≤π））（）（（dy y g dx x f 002221⎰∞⎰∞ （1.1）J:=⎰+∞⎰∞020dy dx yx x f ））（（≤dx x 022f ）（π⎰∞ （1.2）这里，常数因子π及π2都是最佳值。

在证明过程中，先证(1.2),杨教授用了Cauchy 不等式，还用了定义权函数的方式，作了积分变量，还有Fubini 定理，交换积分次序，然后证（1.2）,得出（1.2）和（1.1）是等价的，然后还加以证明（1.1）的常数因子π是最佳值，得出π2也是最佳值。

第一个定理，证明过程用了较多的知识点，特别是在证明常数因子方面更是巧妙的很。

1925年，Hardy-Hilbert 积分不等式：设,p>0（≠1），111=+q p ，f （x ），g （x ）≥0，f L 2∈（0，∞），g L q ∈(0，∞).(i)若p>1，则有如下Hardy-Hilbert 积分不等式及其等价式： I=））（（））（（）（ππ）（）（⎰∞⎰∞≤+⎰⎰∞∞002200dy y g dx x f q q p sin dxdy y x x g x f /（2.1）J p ：=dy dx y x x f p ⎰+∞⎰∞00））（（≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡）（ππp sin p/dx x f p）（⎰∞0 （2.2）这里）（ππp sin /及⎥⎦⎤⎢⎣⎡）（ππp sin p /都是最佳值。

关于一个基本的Hilbert型积分不等式及其推广

Ｈｉｅｔｌｒ型积分不等式，因为它们都具有条件简单、的形式对称、始，常数【子都为最佳值等特ｂ是核原且大】
点．些不等式可通过参量化演绎成一个庞大的推广应用系统．这］最近，必成杨得到如下基本的、１次的Ｈｉｅｔ积分不等式：一齐ｌｒ型ｂ
一
ｃｓ
并证明其常数因子丌／。４为最佳值．考虑了其等价式及引人参数的最佳推广情形．还
１（，￡（∽上非可函，＜。１（ｔ，ｚｇ）ｏ）的负测数且。Ｊ号￡）（，为）ｄ
［稿日期］２０４３收０８０ — ０［金项目］广东省自然科学基金项目（０４４）广东高校自然科学重点研究项目（５０６基７０３４；０Ｚ２）
Ｉｆ
厂，ｄ８ｃｚｇｄ，ｃｇ＜（／，－ｚｄＩ。ｄｃ）ｃ『『
ｃ４
ｃｓ
Ｊ ’ 厂ｇｄｃ』－ｄ，ｃ＜（ｄ０ｃｃｄ。ｃｇ，『）这，数子和。毒里常因８ｃ－＿－．７都最值－３７为佳．＿２。７。
第２７卷第１期
２１０１年２月
大学数学
ＣＯＬＬＥＧＥＡＴＥＭＡＴＩＭＨＣＳ
Ｖｏ１２ № ．１．７，
Ｆｅ．２１ｂ０１
关于一个基本的Ｈｉｅｔ积分不等式及其推广ｌｒ型ｂ

一个Hilbert型积分不等式

中图分类号：７０１８
ＹＡｉｈｎ（ｅａｔｅｔｆＭａｈｍａｉｓＧａｇｏｇＩｓｔｔｏｄｃｔｎ，ｕｎｚｏ１３３ＣｉａＮＧＢ－ｅｇＤｐｒｍｎｔｅｔ，ｕｎｄｎｎｔｕｅｆＥｕａｉｃｏｃｉｏＧａｇｈｕ５００，ｈｎ）
维普资讯
浙
第３４卷第２期
２００７年３月
江
大
学
学
报（学版）理
Ｖ１４Ｎ．Ｍ．Ｏ２ｏ３
ａ．２０７ｒ０
Ｊｕｎｔｏｗｗｗ．ｒｖｒｉＵＳｄｎｅ／ｃｏｏｒｈｌｆＺｈｊａｇＵｎａｓｔ．ｃｕｃｓｉｉｎ）ａ／ｅｉｎｏｎｅｓｙ（ｉ．ｎＥｄｔｔ／ｐ：ｊｅｉｔ．ｅｅｃｉ
Ａｂｔａｃ：Ｂｙｅｔｍａｉｈｅｇｈｕｔｏｓｒｔｓｉｔｎｇｔｅｗｉｔｆｎｃｉｎ，ａＨＵｂｅｔｔｐｅｉｔｇａｌｉｑｌｔｉｈａｐａａｅｅｎｄａｂｅｔｃｓａｒ— ｙｎｅｒｎｅｕａｉｙｗｔｒｍｔｒａｓｏｎｔｎｔｆｃｏｒｉｌ．Ａｎｄｔｏｂｅｔｅｔｎｓｏｎｆｉｎｈｅｃｒｅｐｄｉｇｅｖｌｎｏｒｓａｅｇｖｎａｔｓｂｕｉｔｗｓｘｅｉｓｏｔａｄｔｏｒｓｏｎｎｑｕｉａｅｔｆｍｒｉｅ．
Ｋｅｒｓ：Ｈｉｒ— ｙｎｔｇａｎｅａｉｙ；ｗｅｇｕｔｏｎ；Ｂｅａｆｃｉｙｗｏｄｌｔｔｐｅｉｅｒｌｉｑｕｌｔｂｅｉｈｔｆｎｃｉｔｕｎｔｏｎ；ＨＯｄｆｎｑｕｌｔｌｅｓｉｅａｉｙ

一个带Polygamma函数的0-齐次Hilbert型积分不等式

第３Ｏ卷
第５期
广东教育学院学报
ＪｕｎｌｏａｇｏｇＥｕａｉｎＩｓｉｕｅｏｒａｆＧｕｎｄｎｄｃｔｎｔｔｔｏ
Ｖｏｌ３ＯＮＯＩ．５０ｃ．ｔ２Ｏ１０
２１００年１Ｏ月
…
。
∈ （０，
（６）
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中图分类号：７Ｏ１８文献标志码：Ａ文章编号：０８９９（０１０ —８—４１０ —４７２１）４３００
ＨＥＢｎＤｅａｔｎｆＭａｈｍｔｓＧａｇｏｇＵｉｅｓｙｏｄｃｔｎ，ｕｎｚｏ１３３Ｃｉａｉｇ（ｐｒｍｅｔｔｅａｉ，ｕｎｄｎｎｖｒｉｆＥｕａｉＧａｇｈｕ５００，ｈｎ）ｏｃｔｏＯｌｒｔｐｔｒｌｎｑａｔｗｔｈｏｇｎｏｓｅｎｌｆ－ｅｒｅｏｒａｏｈｊｎｉｅｓｔ（ｃｅｃｎａＨｉｅｔｙｅｉｅａｉｅｕｌｙｉｔｅｈｍｏｅｅｕｒｅｏｄｇｅ．ＪｕｎｌｆｅａｇＵｎＶｒｉＳｉｅｂ－ｎｇｉｈｋ０Ｚｉｙｎ
摘
要：引进一个零齐次混合核，用分析的方法和不等式理论，立了一个舍参量且具有最佳常数因子的Ｈｉｅｔ利建ｌｒｂ
型积分不等式及其等价形式．
关键词：ｌｅｔ积分不等式；函数；１ｅ不等式Ｈｉｒ型ｂ权Ｈ６ｄｒ
收稿日期：０００ —５２１—３２．基金项目：东省高校自然科学重点研究项目（５０６．广０Ｚ２）
』 ¨』：ｄ一ｃ］ ¨ ｄ一ｓ］
（上式第２个积分做变换ｓ：１ｔ对／）
－
－
齐次核的Ｈｉｅｔｌｒ型积分不等式，给出了相应的等ｂ并
价不等式和特殊情形．设ｋｚ）（，）（，× 上的非负可测函（，为Ｏ∞ × ＯＣ）。数，对任意的口∈ Ｒ，，ｔ＞０有ｋｕｕ若ｚＹ，ｌ，（ｘ，ｙ）：是ｚ，，称ｋｚ，（）则（）是口齐次函数．引理１设＞Ｏ定义权函数（） ∈ （，）， “ ０∞）为
浙
第３８卷第４期２１０１年７月
江
大
学
学
报（学版Ｊ理
Ｖｌ８Ｏ４Ｊ０３Ｎ．Ｊ
ｕ．２１１０１
ＪｕｎｔｆＺｗｉｎｒｖｒｉｙ．ｃｅｃｓｉｉｎ）ｏｒｈ：／ｅｗ．ｏｎｅ．ｔ（ｄｎｅＥｄａｔｈｊａｇＵｎａｓＵＳｉ．ｎｃｔｌ／ｗｊｕｉｌ司ｅｕｃ／ｉｏｏｐｓ
ＤＯＩ０３８／．ｓｎ１０ —４７２１．４０３：１．７５ｊｉｓ．０８９９．０１０．０
一
个含零齐次核的Ｈｉｅｔ积分不等式ｌｒ型ｂ
和炳（东第二师范学院数学系，广东广州５００）广１３３
１引言及预备知识
ＨＩＢＲＴ给出了下面经典的不等式 ¨ ＬＥ１］
ｃ）－ｕ：『＝（ “ 上
则有
ｍ｛ — ．）ｉ＾｝２ｎ，（ “ ｄ
∑
ｎ
ｍ
＋
ｂ ≤ ｎ６），（）．（：：１
“ 毒）．＝叫“ －上）ｆ（一ｍ｛专一ｉ＾）ｄｎ， “
ｃｒｅｐｎｉｇｅｕｖｌｎｏｍｓｃｎｉｅｅ．ｏｒｓｏｄｎｑｉａｅｔｆｒｉｏｓｄｒｄ
Ｋｅｏｄ：ＨｉｅｔｔｐｎｅｒｌｉｅｕｌｙｙＷｒｓｌｒ— ｙｅｉｔｇａｎｑａｉ；ｗｅｇｔｆｎｔｎ；Ｈ６ｄｒＳｉｅｕｌｙｂｔｉｈｕｃｉｏ１ｅ ’ ｎｑａｉｔ
近几年来研究的热点且涌现出许多优美而深刻的结
果．
迄今为止，ａａＯ齐次核的Ｈｉｅｔ对（＜）ｌｒ不等式ｂ的研究尽管较丰，但对零齐次ห้องสมุดไป่ตู้ 正数齐次核的讨论，
尚属少见．文针对这一问题展开了研究，立了零本建
ｍｉ（，２ｎ１ｔ
（３）
证明对固定的 “ ０作变换ｔ（／），＞，一ｖｕ有
接踵而来的就是对不等式（）的改进和推广研１究］关于Ｈｉｅｔ．ｌｒ不等式及相关不等式，ｂ已成为
Ｅｄｔｎ，２１３（）：８ — ３３ｉｏ）０１，８４３０ｉ８
Ａｂｔａｔｙｉｔｏｕｉｇａｎｗｘｄｈｍｏｅｅｕｅｎｌｏ－ｅｒｅａｄｕｉｇａａｙｉｍｅｈｄｎｎｑａｉｓｒｃ：Ｂｎｒｄｃｎｅｍｉｅｏｇｎｏｓｋｒｅｆ０ｄｇｅｎｓｎｎｌｓｓｔｏｓａｄｉｅｕｌｙｔ
ｔｅｒｈｏｙ，ａＨｉｅｔｔｐｎｅｒｌｉｅｕｌｙｗｉｈｓｍｅｐｒｍｅｅｓａｄａｂｓｏｓａｔｆｃｏｓｅｔｂｉｈｄ，ａｄｔｅｌｒ— ｙｅｉｔｇａｎｑａｉｔｏａａｔｒｎｅｔｃｎｔｎａｔｒｉｓａｌｅｂｔｓｎｈ