【备战高考·文科数学】一轮复习单元滚动检测第七单元 不等式
高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测七 不等式单元检测七 不等式第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·深圳第二次调研)设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3>b 3 B.1a <1bC ．a b >1D ．lg(b －a )<02．已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－35∪(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－35，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，13．(2015·江西百所重点中学诊断)已知m >0，n >0，且2m ＋3n ＝5，则2m ＋3n的最小值是( )A ．25 B.52 C ．4D ．54．(2015·合肥第二次质检)已知f (x )是偶函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝x sin x ，若a ＝f (cos 1)，b ＝f (cos 2)，c ＝f (cos 3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．b <c <a5．某公司一年购买某种货物400 t ，每次都购买x t ，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值为( ) A ．20 B ．40 C ．60D ．806．(2015·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32D ．27．(2016·湖北七市联考)若不等式x 2＋2x <a b ＋16ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－4,2)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)8．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为( ) A ．－5 B ．3 C ．5D ．79．若不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43 D ．(－1,3)10．(2015·渭南模拟)若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 为半径的圆的面积的最小值为( ) A ．π B ．2π C ．4πD.π211．(2015·浙江杭州二中第一次月考)若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)12．(2015·郑州第一次质量预测)定义在(－1,1)上的函数f (x )满足：f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ，当x ∈(－1,0)时，有f (x )>0.若P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111，Q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，R ＝f (0)，则P ，Q ，R 的大小关系为( ) A ．R >Q >P B ．R >P >Q C ．P >R >QD ．Q >P >R第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.14．(2015·四川资阳第一次诊断)已知点A 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x ≥1所表示的平面区域内的一个动点，点B (－1，1)，O 为坐标原点，则OA →·OB →的取值范围是____________．15．(2015·辽宁辽西地区质量检测)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2y xy的最小值为________．16．(2015·湖南师大附中第三次月考)设正实数a ，b 满足等式2a ＋b ＝1，且有2ab －4a 2－b 2≤t －12恒成立，则实数t 的取值范围是____________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2015·河北高阳中学第二次模拟考试)已知集合A ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]<0}，B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2ax －(a 2＋1)<0. (1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．18．(12分)已知a ，b 是正常数，x ，y ∈R ＋，且a ＋b ＝10，a x ＋by＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．19.(12分)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R )．20．(12分)如图所示，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．21.(12分)(2015·江西宜春四校联考)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝y x，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．22．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)．答案解析1．D 2.D 3.D 4.B 5.A 6.D 7.C8．D [直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.]9．B [根据题意，得不等式|x －m |<1的解集是m －1<x <m ＋1，设此命题为p ，命题13<x <12为q ，则p 的充分不必要条件是q ，即q 表示的集合是p 表示的集合的真子集，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12，(等号不同时成立)．解得－12≤m ≤43.]10．A [因为直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，所以2ab ＝1， 因为|OA |＝a 2＋b 2，所以以坐标原点O 为圆心，OA 为半径的圆的面积为π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π，当且仅当a ＝b 时等号成立，故选A.]11．A[x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解可转化为a >2x －x 在[1,5]上有解．而⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min ＝25－5＝－235，∴a >－235.]12．B [令x ＝y ＝0，得f (0)－f (0)＝f (0)＝0，再令x ＝0，可得f (0)－f (y )＝f (－y )⇒－f (y )＝f (－y )，即函数为奇函数．若－1<x <y <1，则x －y1－xy <0，故由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy >0，即f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy >0，故函数在区间(－1,1)上为减函数．又P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋1111＋15×111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，而0<27<12，由单调性可得R ＝f (0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27＝P >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝Q ，故选B.]13.32解析 对a 进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决．(1)当a ＝1时，不等式可化为：x >0时均有x 2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a ≠1.(2)当a <1时，∵x >0， ∴(a －1)x －1<0，不等式可化为x >0时均有x 2－ax －1≤0，∵二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能均成立， ∴a <1不成立．(3)当a >1时，令f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)， ∵a >1，∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0， 即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a －1时，f (x )<0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞时，f (x )>0. 又∵二次函数g (x )＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a2>0，则只需g (x )＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0重合，如图所示，则命题成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0在g (x )图象上，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－aa －1－1＝0，整理得2a 2－3a ＝0，解得a ＝32，a ＝0(舍去)．综上可知a ＝32.14．[－1,1]解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示．设A (x ，y )，z ＝OA →·OB →＝－x ＋y ，则y ＝x ＋z 表示斜率为1，纵截距为z 的一组平行直线，平移直线y ＝x ＋z ，知当直线过点D (2,1)时，直线y ＝x ＋z 的截距最小，z min ＝－2＋1＝－1；当直线y ＝x ＋z 过点E (1,2)时，直线y ＝x ＋z 的截距最大，z max ＝－1＋2＝1，所以OA →·OB →的取值范围是[－1,1]．15．3解析 由2x ＋y －3＝0，得2x 3＋y3＝1， ∴x ＋2y xy＝2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ·⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋y 3 ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋53≥23×2＋53＝3， 当且仅当x ＝y ＝1时取得最小值．16.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，＋∞ 解析 ∵2a ＋b ＝1，∴4a 2＋b 2＝(2a ＋b )2－4ab ＝1－4ab .而2a ＋b ＝1≥22ab ，∴ab ≤24，当且仅当2a ＝b ，即a ＝14，b ＝12时等号成立．∴2ab －4a 2－b 2＝2ab ＋4ab －1，令ab ＝u ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，24，f (u )＝4u 2＋2u －1，∴f (u )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫24＝2－12，故只需t －12≥2－12，即t ≥22. 17．解 (1)当a ＝2时，A ＝(2,7)，B ＝(4,5)，∴A ∩B ＝(4,5)．(2)B ＝(2a ，a 2＋1)，当a <13时，A ＝(3a ＋1,2)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，此时a ＝－1；当a ＝13时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在；当a >13时，A ＝(2,3a ＋1)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，此时1≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1,3]∪{－1}．18．解 ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ，当且仅当bx 2＝ay 2时等号成立． ∴x ＋y 的最小值为a ＋b ＋2ab ＝18.又a ＋b ＝10.∴2ab ＝8，∴ab ＝16.由a ＋b ＝10，ab ＝16可得a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2. 19．解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)<0.(1)当a >0时，原不等式可以化为a (x －2)(x －1a)<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)(x －1a )<0.因为方程(x －2)(x －1a )＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0<a <12时，2<1a ，则原不等式的解集是{x |2<x <1a }；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a >12时，1a<2，则原不等式的解集是{x |1a<x <2}．(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0，解得x >2，即原不等式的解集是{x |x >2}． (3)当a <0时，原不等式可以化为a (x －2)(x －1a)<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·(x －1a )>0，由于1a <2，故原不等式的解集是{x |x <1a或x >2}．综上所述，当a <0时，不等式的解集为{x |x <1a或x >2}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >2}；当0<a <12时，不等式的解集为{x |2<x <1a }；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a >12时，不等式的解集为{x |1a<x <2}．20．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0.由实际意义和题设条件知x >0，k >0，由x ＝20k1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km.(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔0<a ≤6. 所以当a 不超过6 km 时，可击中目标．21.解由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A (1，225)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB＝25. (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，故z 的取值范围是[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8. 故z 的取值范围是[16,64]．22．解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60 (0≤x <20)，13(200－x ) (20≤x ≤200).(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x (0≤x <20)，13x (200－x ) (20≤x ≤200)，当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x ·(200－x )≤13[x ＋(200－x )2]2＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．。
最新-2021年高考数学文课标Ⅰ专用一轮复习专题测试课件：第七章 不等式 §72 不等式的解法 精品
答案
A
当x>0时,原不等式可化为x2<1<x3,解得x∈⌀,当x<0时,原不等式可化为
x2
x3
1解, 得
1,
x<-1,选A.
3.(2015广东,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集为 答案 (-4,1)
.(用区间表示)
解析 不等式-x2-3x+4>0等价于x2+3x-4<0,解得-4<x<1.
∴f(x)=-x2-4x(x<0),
x2 4x, x 0,
∴f(x)= 0, x 0,
x2 4x, x 0.
①当x>0时,由f(x)>x得x2-4x>x,解得x>5;
②当x=0时, f(x)>x无解;
③当x<0时,由f(x)>x得-x2-4x>x,解得-5<x<0.
综上得不等式f(x)>x的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).
3.(2016湖南衡阳八中一模,8)已知函数f(x)=
x
x
2
2 2
2x, x, x
x
0, 0,
若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)-b2<0恰有
1个整数解,则实数a的最大值是 ( )
A.2 B.3 C.5 D.8
答案
D
函数f(x)=
x
x2
2 2
2x, x, x
x
0
0,
的图象如图所示,
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
考点 不等式的解法
1.(2013重庆,7,5分)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a= ( )
高考数学一轮复习 第七章《不等式》精编配套试题(含解析)文 新人教A版
高考数学一轮复习 第七章《不等式》精编配套试题（含解析）文 新人教A 版第七章不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．（2013年高考北京卷（文2））设,,a b c R ∈,且a b >,则（ ） A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >2、（2013广东深圳二模）设01a b <<<，则下列不等式成立的是A ．33a b >B ．11a b< C ．1b a >D ．lg 0b a -<()3、（2013年高考福建卷（文））若122=+yx,则y x +的取值范围是（ ） A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞4、（2013年高考天津卷（文2））设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x=-的最小值为（ ） A ．-7 B ．-4 C ．1D ．25、【北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文】已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是 A.14 B. 18C. 4D. 8 6．已知向量a ＝(1，1－x x)，b ＝(x －1,1)，则|a ＋b |的最小值是( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．27、【云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）文】已知向量(,1),(2,)a x z b y z =-=+，且a b ⊥，若变量,x y 满足约束条件1325x y xx y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z 的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.48．【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）文】如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 A ．25B ．5C ．4D ．19、（2013年高考陕西卷（文14））在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为___(m ).10、（2013广州二模）已知01a <<，01x y <<≤，且log log 1a a x y =，那么xy 的取值范围是A ．(20a ⎤⎦， B ．(]0a ， C ．10a ⎛⎤ ⎥⎝⎦， D ．210a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，11．制作一个面积为1 m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材最少)是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m 12．【山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文】定义在,,f M m n p ，其中M 是ABC 内一点，m 、n 、p 分别是MBC 、MCA 、MAB 的面积，已知ABC中，123,30,,,2AB AC BACf Nx y ，则14x y的最小值是 A.8B.9C.16D.18二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．（2013年高考湖南（文13））若变量x,y 满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则x+y 的最大值为________14、（2013年高考四川卷（文13））已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =__________.15、【山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月数学文】已知向量()()1,,2,y b x a =-=，其中x ，y 都是正实数，若b a ⊥，则y x t 2+=的最小值是_______. 16、（2013安徽安庆三模）若21,x x 是函数)(2)(2R m mx x x f ∈-+=的两个零点，且21x x <，则12x x -的最小值是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分12分) 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】已知a 是实数，试解关于x 的不等式：122---≥x ax x x18、(本小题满分10分)（2013年高考湖北卷（文）改编）某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行,A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆.则租金最少为多少元？19．(本小题满分12分) （上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例系数为k .轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时,它的燃料费是每小时96元,其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v 匀速航行.(1)求k 的值;(2)求该轮船航行100海里的总费用W (燃料费+航行运作费用)的最小值.20．(本小题满分12分) 【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文】（本小题满分12分）记c bx ax x f +-=2)(，若不等式0)(>x f 的解集为（1，3），试解关于t 的不等式)2()8|(|2t f t f +<+.21．(本小题满分12分) 、已知集合⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,21P ，函数()22log 22+-=x ax y 的定义域为Q（1）若φ≠Q P ，求实数a 的取值范围。
2021版文科数学全国通用版一轮复习第七章 不等式第2节
3.会解一元二次不等式，对给定的一
以选择题的形式考查，属于低档题，
元二次不等式，会设计求解的程序框
若在导数的应用中考查，难度较高.
图.
第七章 不等式
返回导航
高考总复习 ·数学(文科)
1
课 前 ·基 础 巩 固
第七章 不等式
返回导航
高考总复习 ·数学(文科)
‖知识梳理‖ 1．一元二次不等式的特征 一元二次不等式的二次项(最高次项)系数 1 __不__等__于___ 0.
综上，实数 a 的取值范围为－2，65. 答案：－2，65
第七章 不等式
返回导航
高考总复习 ·数学(文科)
2
课 堂 ·考 点 突 破
第七章 不等式
返回导航
高考总复习 ·数学(文科)
考点 不含参数的一元二次不等式的解法
第七章 不等式
返回导航
|题组突破| 1．不等式 2x2－x－3>0 的解集为( ) A.x－1<x<32 B.xx>32或x<－1 C.x－32<x<1 D.xx>1或x<32
第七章 不等式
返回导航
高考总复习 ·数学(文科)
6．已知关于 x 的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0 的解集为空集，则实数 a 的取值 范围为________．
解析：当 a2－4＝0 时，a＝±2.若 a＝－2，不等式可化为－1≥0，显然无解，满足题 意；若 a＝2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当 a≠±2 时，要使不等式的解 集为空集，则aΔ2＝－（4<a0＋，2）2＋4（a2－4）<0，解得－2<a<65.
高考总复习 ·数学(文科)
高考数学(人教A版文科)一轮复习真题演练集训：第七章不等式7-2Word版含解析
真题操练集训x ＋y ≤2，则 x 2＋y 2的最．·山东卷 若变量， 知足2x －3y ≤9，1 [2016]x yx ≥0，大值是 ()A ．4B ．9C ．10D ．12答案： C分析：作出不等式组所表示的平面地区如图中暗影部分所示．设P(x ，y)为平面地区内随意一点，则 x 2＋y 2 表示 |OP|2.明显，当点 P 与x ＋y ＝2，x ＝3，点 A 重合时，x 2＋ y 2获得最大值，由解得2x －3y ＝9，y ＝－ 1，故 A(3，－ 1)．因此 x 2＋y 2的最大值为 32＋(－1)2＝10.应选 C.2x －y ≤0，2． [2016 ·北京卷 若 ， y 知足 x ＋y ≤3， 则 2x ＋y 的最大值] xx ≥0，为()A ．0B ．3C．4 D．5答案： C分析：不等式组示(含界限 )，2x－y＝0，由x＋y＝3，2x－y≤0，x＋y≤3，表示的可行域如图中暗影部分所x≥0x＝1，解得故当目标函数z＝2x＋y 经过点y＝2，A(1,2)时， z 获得最大值， z max＝2×1＋2＝4.应选 C.3．[2015 ·陕西卷 ] 某公司生产甲、乙两种产品均需用A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每日原料的可用限额如表所示．假如生产 1 吨甲、乙产品可获收益分别为 3 万元、 4 万元，则该公司每日可获取最大收益为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12 万元 B．16 万元C．17 万元D．18 万元答案： D分析：设每日生产甲、乙产品分别为x 吨、 y 吨，每日所获收益3x＋2y≤12，为z 万元，则有x＋2y≤8，＝＋，作出可行域如图中阴z3x4yx≥0，y≥0，影部分所示．由图形可知，当直线z＝3x＋4y 经过点 A(2,3)时， z 取最大值，最大值为 3×2＋4×3＝18(万元 )．4．[2016 ·新课标全国卷Ⅰ]某高科技公司生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新式资料．生产一件产品A 需要甲资料1.5 kg，乙资料1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲资料 0.5 kg，乙资料 0.3 kg，用 3个工时，生产一件产品 A 的收益为 2 100 元，生产一件产品 B 的收益为900 元．该公司现有甲资料 150 kg，乙资料 90 kg，则在不超出600 个工时的条件下，生产产品A、产品 B 的收益之和的最大值为________元．答案： 216 000分析：设生产 A 产品 x 件， B 产品 y 件，依据所耗资的资料要求、工时要求等其余限制条件，得线性拘束条件为1.5x＋0.5y≤150，x＋ 0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥ 0，目标函数＝＋z 2 100x 900y.y≥0，x∈N*，y∈N*作出可行域如图中暗影部分所示的四边形，包含界限，极点为 (60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在 (60,100)处获得最大值，z max＝ 2 100×60＋ 900×100＝ 216 000(元)．5．[2016 ·天津卷 ] 某化肥厂生产甲、乙两种混淆肥料，需要 A，B，C 三种主要原料．生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数以下表所示：原料A B C肥料甲483乙5510现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的收益为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的收益为 3 万元．分别用 x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用 x，y 列出知足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面地区；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，可以产生最大的利润？并求出此最大收益．解： (1)由已知， x，y 知足的数学关系式为4x＋5y≤200，8x＋5y≤360，3x＋10y≤300，x≥0，y≥0.该二元一次不等式组所表示的平面地区如图①中暗影部分所示．①(2)设收益为 z 万元，则目标函数为z＝2x＋3y.考虑 z＝2x＋3y，将它变形为 y＝－2 z3x＋3，2z这是斜率为－3，随 z 变化的一族平行直线，3为直线在 y 轴上的截距．z当3取最大值时， z 的值最大，又由于 x，y 知足拘束条件，因此由图②可知，②z当直线 z＝2x＋3y 经过可行域上的点M 时，截距3最大，即 z 最大．4x＋5y＝200，解方程组3x＋10y＝300，得点 M 的坐标为 (20,24)．因此 z max＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时收益最大，且最大收益为 112 万元．。
2022《单元滚动检测卷》高考数学(文)(苏教版)精练检测：七 不等式 全国通用 Word版含解析
单元滚动检测七不等式考生留意：1．本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分160分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．若1a<1b<0，则下列式子①a2>b2;②ab<b2；③a＋b<0;④|a|＋|b|>|a＋b|.其中推断不正确的为________．2．已知函数f(x)＝{x＋2，x≤0，－x＋2，x>0，则不等式f(x)≥x2的解集为__________．3．(2022·常州模拟)若关于x的不等式x2－4x＋a2≤0的解集是空集，则实数a的取值范围是_________________．4．若当x>－3时，不等式a≤x＋2x＋3恒成立，则a的取值范围是________________．5．(2022·苏州模拟)不等式－x2＋|x|＋2<0的解集是______________________．6．(2022·东北三校联考)变量x，y满足约束条件1,2,314,yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值组成的集合是____________．7．若变量x，y满足约束条件,1,1,y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝________.8．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则a，b的大小关系是________．9．(2022·威海模拟)已知a>1，设函数f(x)＝a x＋x－4的零点为m，g(x)＝log a x＋x－4的零点为n，则mn的最大值为________．10．(2022·江苏天一中学月考)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是______．11．函数y＝log2(x＋1x－1＋5)(x>1)的最小值为______．12．已知二次不等式ax2＋2x＋b>0(a≠0)的解集为{x|x≠－1a}，且a>b，则a2＋b2a－b的最小值为________．13．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则x＋8yxy的最小值为________．14．某栋楼的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2000元/m2；材料工程费在建筑第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋6.(1)当a＝5时，解不等式f(x)<0；(2)若不等式f(x)>0的解集为R，求实数a的取值范围.16.(14分)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值.17.(14分)当x、y满足约束条件0,,20xy xx y k≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩(k为负常数)时，能使z＝x＋3y的最大值为12，试求k的值.18.(16分)某地需要修建一条大型输油管道通过240km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2＋x万元．设余下工程的总费用为y万元．(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？19.(16分)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)若函数f(x)的最小值为22，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0.20.(16分)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的一个零点是－1，且满足f(x)－x]·f(x)－x2＋12]≤0恒成立．(1)求f(1)的值；(2)求f(x)的解析式.答案解析1．①④解析 ∵1a <1b <0，∴b <a <0.∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |. 2．－1,1]解析 方法一 当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法二 作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图， 由图知f (x )≥x 2的解集为－1,1]．3．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由于y ＝x 2－4x ＋a 2开口向上， 不等式x 2－4x ＋a 2≤0的解集是空集． 所以Δ＝16－4a 2<0，解得a <－2或a >2， 所以实数a 的取值范围是a <－2或a >2. 4．(－∞，22－3] 解析 设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3， 由于x >－3，所以x ＋3>0， 故f (x )≥2(x ＋3)×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立，所以a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 5．{x |x <－2或x >2}解析 原不等式化为|x |2－|x |－2>0， 因式分解得(|x |－2)(|x |＋1)>0，由于|x |＋1>0恒成立，所以|x |－2>0，即|x |>2， 解得x <－2或x >2. 6．{3，－1}解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个， 即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3. 7．6解析 画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6. 8．a <b 解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m ，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1. 而m ＋1＋m >m ＋m －1，∴1m ＋1＋m <1m ＋m －1，即a <b .9．4解析 令f (x )＝0，g (x )＝0，得a x ＝4－x ，log a x ＝4－x ， 由于y ＝a x 与y ＝log a x 的图象关于直线y ＝x 对称， 所以m ，n 关于两直线y ＝x 和y ＝4－x 交点的横坐标对称， 则m ＋n ＝4，所以mn ≤(m ＋n2)2＝4. 10．7＋4 3解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba ≥7＋23a b ·4ba ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba 时取等号． 11．3解析 x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2(x －1)·1x －1＋6＝2＋6＝8，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，取“＝”．所以y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)≥log 28＝3.12．2 2解析 由已知得函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 的图象与x 轴只有一个公共点，且a >0， 所以22－4ab ＝0，即ab ＝1，所以a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b ≥22(当且仅当a ＝2＋62，b ＝6－22时等号成立)． 13．9解析 由已知得x ＋2y2＝1，则x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝(1y ＋8x )(x ＋2y 2)＝12(10＋x y ＋16y x )≥12(10＋216)＝9，当且仅当x ＝43，y ＝13时取等号． 14．10解析 设应把楼房设计成x 层，每层有面积y m 2，则平均每平方米建筑面积的成本费为k ＝2 000y ＋y ×400＋y ×440＋…＋y ×[400＋40(x －1)]xy＝2 000x ＋20x ＋380≥22 000x ·20x ＋380＝780， 当且仅当2 000x ＝20x ，即x ＝10时取等号，故应把楼房设计成10层．15．解 (1)由于当a ＝5时，不等式f (x )<0， 即x 2＋5x ＋6<0，所以(x ＋2)(x ＋3)<0， 所以－3<x <－2，所以不等式f (x )<0的解集为{x |－3<x <－2}．(2)不等式f (x )>0的解集为R ，即关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋6>0的解集为R . 所以Δ＝a 2－24<0，解得－26<a <26， 所以实数a 的取值范围是(－26，26)． 16．解 (1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得xy ＝2x ＋8y ≥216xy ＝8xy ， ∴xy ≥8，∴xy ≥64，∴xy 的最小值为64. (2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(8x ＋2y )＝8y x ＋2xy ＋10≥216＋10＝18，当且仅当x 2＝4y 2，即x ＝2y 时，取等号．17．解 在平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A 时，截距最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k 3. ∴点A 的坐标为(－k 3，－k 3)． 则z 的最大值为－k 3＋3(－k 3)＝－43k ，令－4k3＝12，得k ＝－9. ∴所求实数k 的值为－9.18．解 (1)设需要修建k 个增压站， 则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x －1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400(240x －1)＋240x (x 2＋x )＝96 000x ＋240x －160. 由于x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x <240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96 000x ＋240x －160(0<x <240)．(2)y ＝96 000x ＋240x －160≥296 000x ·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x ＝240x ，即x ＝20时等号成立， 此时k ＝240x －1＝24020－1＝11. 故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元． 19．解 (1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是0,1]． (2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，∵0≤a ≤1，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32，∴不等式的解集为(－12，32)．20．解 (1)由基本不等式得x 2＋12≥2|x |2＝|x |， 若f (x )－x ]·f (x )－x 2＋12]≤0恒成立，即x ≤f (x )≤x 2＋12恒成立，令x ＝1，得1≤f (1)≤12＋12＝1，故f (1)＝1.(2)由函数零点为－1，得f (－1)＝0，即a －b ＋c ＝0， 又由(1)知a ＋b ＋c ＝1，所以解得a ＋c ＝b ＝12. 又f (x )－x ＝ax 2＋12x ＋c －x ＝ax 2－12x ＋c ，由于f (x )－x ≥0恒成立，所以a >0，c >0，Δ＝14－4ac ≤0， 因此ac ≥116，再由a ＋c ＝12，① 得ac ≤(c ＋a 2)2＝116，② 故ac ＝116，且a ＝c ＝14，故f (x )＝14x 2＋12x ＋14.。
高考数学一轮复习 不等式【配套文档】第七章 7.2
§7.2 均值不等式及其应用2014高考会这样考 1.利用均值不等式求最值、证明不等式；2.利用均值不等式解决实际问题．复习备考要这样做 1.注意均值不等式求最值的条件；2.在复习过程中注意转化与化归思想、分类讨论思想的应用．1．均值不等式ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 3．算术平均值与几何平均值设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均值为a ＋b 2，几何平均值为ab ，均值定理可表述为：两个正实数的算术平均值不小于它的几何平均值． 4．利用均值不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)[难点正本 疑点清源]1．在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b ≥0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ≥0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．3．对使用均值不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性．1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________．答案 81解析 由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2xy ， 所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81， 当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81.2．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．答案 －2解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．3．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y的最小值是______________________________．答案 8解析 因为1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4xy≥4＋2y x ·4x y ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝14时成立． 4．(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245 B.285C ．5D ．6答案 C解析 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5.5．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 答案 A解析 由题意可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14(a ＝b 时取等号)． 故ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，14.题型一 利用均值不等式证明简单不等式 例1 已知x >0，y >0，z >0.求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8.思维启迪：由题意，先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质即可得证． 证明 ∵x >0，y >0，z >0， ∴y x ＋z x ≥2yz x >0，x y ＋z y ≥2xz y >0， x z ＋y z ≥2xy z >0， ∴⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．探究提高 利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明 ∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．题型二 利用均值不等式求最值例2 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 思维启迪：利用均值不等式求最值可以先对式子进行必要的变换．如第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用均值不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用均值不等式． 答案 (1)3＋22 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2. 当且仅当y x ＝2xy时，取等号．(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．(1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4C.92D.112(2)已知a >b >0，则a 2＋16b (a －b )的最小值是________．答案 (1)B (2)16解析 (1)依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4.(2)∵a >b >0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立． ∴a 2＋16b (a －b )≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a 2≥2a 2·64a2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立． ∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b (a －b )取得最小值16.题型三 均值不等式的实际应用例3 某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？思维启迪：用长度x 表示出造价，利用均值不等式求最值即可．还应注意定义域0<x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用均值不等式求最值，可以考虑单调性．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800 (0<x ≤5)， 则y ＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800 ≥900×2x ×16x＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B解析 设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.忽视最值取得的条件致误典例：(12分)已知a 、b 均为正实数，且a ＋b ＝1，求y ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b 的最小值． 易错分析 在求最值时两次使用均值不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到．审题视角 (1)求函数的最值问题，可以考虑利用均值不等式，但是利用均值不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件．(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围． 规范解答解 方法一 y ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫ab ＋1ab ＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥⎝⎛⎭⎫ab ＋1ab ＋2 ＝⎝⎛⎭⎫ab ＋1ab 2＝⎝⎛⎭⎫4ab ＋1ab －3ab 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫24ab ·1ab－3×a ＋b 22 ＝⎝⎛⎭⎫4－322＝254.[10分] 当且仅当a ＝b ＝12时，y ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b 取最小值，最小值为254.[12分]方法二 y ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋a b ＋b a＝ab ＋1ab ＋a 2＋b 2ab ＝ab ＋1ab ＋(a ＋b )2－2abab＝2ab ＋ab －2.[8分] 令t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，即t ∈⎝⎛⎦⎤0，14. 又f (t )＝2t ＋t 在⎝⎛⎦⎤0，14上是单调递减的，[10分] ∴当t ＝14时，f (t )min ＝334，此时，a ＝b ＝12.∴当a ＝b ＝12时，y 有最小值254.[12分]温馨提醒 (1)这类题目比较容易下手．但是解这类题目却又常常出错．(2)利用均值不等式求最值，一定要注意应用条件：一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错．(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件．方法与技巧1．均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点．2．恒等变形：为了利用均值不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．比如：(1)当x >2时，x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2＋2＝4. (2)0<x <83，x (8－3x )＝13(3x )(8－3x )≤13⎝⎛⎭⎫3x ＋8－3x 22＝163. 失误与防范1．使用均值不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用均值不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·陕西)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 ∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，D 错误，故选B. 2．(2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确； 由均值不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32C ．1D.12答案 C解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1.4．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0. ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．答案 3解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号． 6．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 答案 9解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2 ≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9， 当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．7．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_________________________． 答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x＋x ≥2400x·x ＝40，当且仅当400x ＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨． 三、解答题(共22分)8．(10分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋a b，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋ab ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9.9．(12分)为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱(如图所示)，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱的底长为a m ，高度为b m ．已知流出的水中该杂质的质量分别与a ，b 的乘积成反比，现有制箱材料60 m 2.问：当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出 的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)?解 方法一 设y 为流出的水中该杂质的质量分数，则y ＝k ab ，其中k >0为比例系数，依题意，求使y 值最小的a ，b 的值． 根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，解得b ＝30－a 2＋a(0<a <30)．① 于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a＝k －a ＋32－64a ＋2 ＝k 34－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2＋64a ＋2≥k 34－2(a ＋2)·64a ＋2＝k 18， 当且仅当a ＋2＝64a ＋2时等号成立，y 取得最小值． 这时a ＝6或a ＝－10(舍)，将其代入①式，得b ＝3.故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．方法二 依题意，求使ab 值最大的a ，b 的值．由题设，知4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，即a ＋2b ＋ab ＝30 (a >0，b >0)．因为a ＋2b ≥22ab ，所以22·ab ＋ab ≤30，当且仅当a ＝2b 时，上式取等号．由a >0，b >0，解得0<ab ≤18，即当a ＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18.所以2b 2＝18，解得b ＝3，进而求得a ＝6.故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．B 组 专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．若a ，b 为不相等的正数，m ＝(a ＋b )(a 3＋b 3)，n ＝(a 2＋b 2)2，则( ) A ．m >n B ．m ≥n C ．m <n D ．m ≤n答案 A解析 ∵(a ＋b )(a 3＋b 3)＝[(a )2＋(b )2][(a a )2＋(b b )2]≥(a ·a a ＋b ·b )2＝(a 2＋b 2)2当且仅当a ＝b 时等号成立．但a ≠b .∴m >n .2．如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( ) A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P 答案 B解析 因为P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )， M ＝12log 12(a ＋b )，所以只需比较a ＋b 2，ab ，a ＋b 的大小，显然a ＋b 2>ab .又因为a ＋b 2<a ＋b (因为a ＋b >(a ＋b )24，也就是a ＋b 4<1)，所以a ＋b >a ＋b 2>ab ，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故Q >P >M .3．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为 ( ) A ．2B ．4C ．8D ．16答案 C解析 点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1. 所以1m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．二、填空题(每小题5分，共15分)4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是_____________________________．答案 18解析 由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18.∴xy 的最小值为18.5．已知m 、n 、s 、t ∈R ＋，m ＋n ＝2，m s ＋n t ＝9，其中m 、n 是常数，且s ＋t 的最小值是49，满足条件的点(m ，n )是圆(x －2)2＋(y －2)2＝4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为__________．答案 x ＋y －2＝0解析 因(s ＋t )⎝⎛⎭⎫m s ＋n t ＝m ＋n ＋tm s ＋sn t≥m ＋n ＋2mn ，所以m ＋n ＋2mn ＝4，从而mn ＝1，得m ＝n ＝1，即点(1,1)，而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为－1，从而此弦的方程为x ＋y －2＝0.6．定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1*2=4，则ab 取最大值时a 的值为 .答案 1解析 ∵1*2=4，∴2a +3b=4,∵2a +3b ≥26ab ，∴ab ≤23. 当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23. 三、解答题7．(13分)甲、乙两地相距S 千米，一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速为常量p (单位：千米/小时)，船在静水中的最大速度为q 千米/小时(q >p )．已知船每小时的燃料费用(单位：元)与船在静水中的速度v (单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为k .(1)把全程燃料费用y (单位：元)表示为船在静水中的速度v 的函数，并求出这个函数的定义域；(2)为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？解 (1)由题意，知船每小时的燃料费用是k v 2，全程航行时间为S v －p，于是全程燃料费用y ＝k v 2·S v －p(p <v ≤q )． (2)由(1)，知y ＝k v 2·S v －p＝kS ·v 2－p 2＋p 2v －p ＝kS [v ＋p ＋p 2v －p] ＝kS [v －p ＋p 2v －p＋2p ] ≥kS [2(v －p )·p 2v －p ＋2p ]＝4kSp (当且仅当v －p ＝p 2v －p，即v ＝2p 时等号成立)． ①当2p ∈(p ，q ]，即2p ≤q 时，y min ＝4kSp ，此时船的前进速度为2p －p ＝p ；②当2p ∉(p ，q ]，即2p >q 时，函数y ＝k v 2·S v －p 在(p ，q ]内单调递减，所以y min ＝kS ·q 2q －p ，此时船的前进速度为q －p .故为了使全程燃料费用最小，当2p ≤q 时，船的实际前进速度应为p 千米/小时；当2p >q 时，船的实际前进速度应为(q －p )千米/小时．。
高考数学一轮复习第七章 不等式
第七章 不 等 式1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3.二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4.基本不等式：ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)(1)了解基本不等式的证明过程.(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.§7.1 不等关系与不等式1.比较原理 两实数a ，b 之间有且只有以下三个大小关系之一：__________、__________、__________.其中a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＜b ⇔______________；a ＝b ⇔__________.2.不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔__________；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒__________；(3)不等式加等量：a >b ⇔a ＋c______b ＋c ； (4)不等式乘正量：a >b ，c >0⇒__________； 不等式乘负量：a >b ，c <0⇒__________.(5)同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒__________； (6)异向不等式相减：a >b ，c <d ⇒__________； (7)同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒__________；(8)异向不等式相除：a >b >0，0<c <d ⇒ac ______b d； (9)不等式取倒数：a >b ，ab >0⇒1a ______1b；(10)不等式的乘方：a >b >0⇒______________； (11)不等式的开方：a >b >0⇒______________. 注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2.(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除.自查自纠：1.a ＞b a ＜b a ＝b a －b ＜0 a －b ＝02.(1)b <a (2)a >c (3)> (4)ac >bc ac <bc(5)a ＋c >b ＋d (6)a －c >b －d (7)ac >bd(8)＞ (9)＜ (10)a n >b n (n ∈N *且n >1) (11)n a >nb (n ∈N *且n >1)(2013·上海)如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A.1a <1bB.ab <b 2C.－ab <－a 2D.－1a <－1b解：1a －1b ＝b －a ab >0，故1a >1b，∴－1a<－1b.故选D.设f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，x ∈R ，则f (x )与g (x )的大小关系是( )A.f (x )＞g (x )B.f (x )≥g (x )C.f (x )＝g (x )D.f (x )＜g (x )解：f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0恒成立，故选A.已知a ＞0，b ＞0，则a a b b 与a b b a的大小关系为( )A.a a b b ≥a b b aB.a a b b ＜a b b aC.a a b b ≤a b b aD.与a ，b 的大小有关解：不妨设a ≥b ＞0，则a b ≥1，a －b ≥0，故a a b ba b ba小关系是点燃导火线后要在燃放前转移到已知导火线的燃烧速度为4m/s，导火线的长度解：人到达安全区域的时间小于导火线燃烧的随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，得每次钉N*)，已知一个铁钉受击且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的③bc>ad.则可组成几个正确命题？则一定有(A.ac＞bdC.ad＞bc的取值范围是解：由 α－β的取值范围是解：∵－＜β＜π＞0)的大小解法一：a ＋m b ＋m若a <0，－1<b <0，则下列不等式成立的是________.①log 0.5(－a )<log 0.5(－ab 2)；②(－a )2<(－ab 2)2；③(－a )－1>(－ab 2)－1；④0.5－a >0.5－ab 2.解法一：对于①，∵a ＜0，－1＜b ＜0，可知－a ＞0，0＜b 2＜1，∴－a ＞－ab 2＞0，结合对数函数的性质容易得到log 0.5(－a )＜log 0.5(－ab 2)，①成立；对于②，由①知－a ＞－ab 2＞0，故(－a )2＞(－ab 2)2，②不成立；对于③，由－a ＞0知，－1a ＞－1ab2⇔1＞1b2⇔b 2＞1，与－1＜b ＜0矛盾，③不成立；对于④，由①知④不成立.解法二：用作差或作商法解本题也是可行的，如对于①，有log 0.5(－a )－log 0.5(－ab 2)＝log 0.51b2＜0，从而①正确，其余类似可解.故填①.1.理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础.2.一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，注意放宽条件和加强条件与其结论的关系，以及条件与结论间的相互联系.如：同向不等式相加，方向不改变；都是正数的同向不等式相乘，方向不改变；异向不等式相减，方向与被减不等式方向相同；都是正数的异向不等式相除，方向与被除不等式方向相同；两个正数的n 次(n ∈N ＋，n ＞1)方(开n 次方)，当这两个正数相等时，它们的幂(方根)相等；而不等的两个正数，它们的幂(方根)不等，较大的正数幂(方根)较大.3.不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础.4.比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法.一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法.作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系.5.对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制.1.设a ∈R ，则a ＞1是1a＜1的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：若a ＞1，则1a ＜1成立；反之，若1a＜1，则a ＞1或a ＜0.即a ＞1⇒1a ＜1，而1a＜1a ＞1，故选A.2.已知a ，b 为正数，a ≠b ，n 为正整数，则a nb＋ab n －a n ＋1－b n ＋1的正负情况为 ( )A.恒为正B.恒为负C.与n 的奇偶性有关D.与a ，b 的大小有关解：a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1＝a n (b －a )＋b n(a －b )＝－(a －b )(a n －b n)，不妨设a >b ，则a n >b n ，所以a n b ＋ab n －a n ＋1－b n＋1<0恒成立.故选B.3.若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( )A.1a ＜1bB.a 2＞b 2C.a c 2＋1＞bc 2＋1D.a ||c ＞b ||c 解：用排除法.取a ＝1，b ＝－1，排除A ，B ；取c ＝0，排除D.显然1c 2＋1＞0，对不等式a ＞b 的两边同时乘以1c 2＋1，得a c 2＋1＞b c 2＋1成立.故选C. 4.(2014·湖南)已知命题p ：若x ＞y ，则－x＜－y ；命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解：当x ＞y 时，两边乘以－1可得－x ＜－y ，∴命题p 为真命题；当x ＝1，y ＝－2时，显然x 2＜y 2，∴命题q 为假命题，∴②③为真命题.故选C.5.(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A.c ≤3B.3＜c ≤6C.6＜c ≤9D.c ＞9解：由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，消去c 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19， 解得a ＝6，b ＝11，于是0＜c －6≤3，即6＜c ≤9.故选C.6.如果0＜m ＜b ＜a ，则( )A.cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －mB.cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋mc c§7.2 一元二次不等式及其解法1.解不等式的有关理论(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是 ；(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的 ；(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示.2.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.当a ＞0时，解集为 ；当a ＜0时，解集为 .若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ，则实数a ，b 满足的条件是.3.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根x 1，x 2，且x 1＜x 2(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集.(4)一元二次不等式的解：函数与不等式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b 2a无实根ax 2＋bx ＋c＞0 (a ＞0)的解① ② R 集ax 2＋bx ＋c＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x＜x 2}∅ ③4.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f （x ）g （x ）的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f （x ）g （x ）＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f （x ）g （x ）＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）g （x ）≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0.自查自纠：1.(1)同解不等式 (2)同解变形2.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞b a⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜b a a ＝0，b ＜03.(1)一元二次 (2)解集 (3)两边 中间 (4)①{}x |x ＜x 1或x ＞x 2②⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a③∅(2014·课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A .设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( )A.{x |x ∈R }B.{x |x ≠1，x ∈R }C.{x |x ≥1}D.{x |x ≤1} 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ，由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x30的解集为)x＋b－解：由(解：(1)①当m＝－②当m＝(2)当m(1)x2－(3)x2－解：(1).而y＝－x＋1，x－1，x1)≤1的解集是A.{x|－1≤解集是{x|－5≤解：∵不等式≤1}，∴x1＝－＜x＜3}解：∵不等式，∴a＜0，且根，由根与系数的关系得.解：(1)＞0，不等式的解集为(2)当a∈R).解：不等式整理为当a＝0当a≠0解：x －2x x ＋2x ＋1≥0|x －2x ≤0A.{x |－1≤C.{x |0≤解：易知⎦⎥⎤0，12成立，则A.0 B.图1 图2 图3综上 ①②③，≥－52.故选(2)已知对于任意的a ∈[－11]，函数f (x )＋(a －4)x ＋2a 的值总大于，则x 的取值范围是( )A.1＜x ＜3B.x ＜1或 3C.1＜x ＜2D.x ＜1或 2解：记g (a )x －2)a ＋x 2－＋4，a ∈[－1，依题意，只须（1）＞0，（－1）＞0⇒－3x ＋2＞0，－5x ＋6＞0＜1或x ＞3，故选B.点拨：(1)一元二次不等式恒成立问题，对于x 变化的情形，解法一利用参变量分离法，化成a ＞f (x )(a (x ))型恒成立问题，再利用＞f (x )max (a ＜∈[－2，解法一：当－a2＜－且仅有一解，则A.a <－C.－1<解法一：，即－1×(2点的关系.本书2.4节有较详细的讨论，可参看.如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )A.－2<m< 2B.－2<m<0C.－2<m<1D.0<m<1解：令f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，结合二次函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧f（－1）＜0，f（1）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m2－m＜0，m2＋m－2＜0，解之，得实数m的取值范围是0＜m＜1.故选D.类型八一元二次不等式的应用(2013·上海)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100⎝⎛⎭⎪⎫5x＋1－3x元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.解：(1)根据题意，200⎝⎛⎭⎪⎫5x＋1－3x≥3 000⇒5x－14－3x≥0⇒5x2－14x－3≥0⇒(5x＋1)(x－3)≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.(2)设利润为y元，则y＝900x·100⎝⎛⎭⎪⎫5x＋1－3x＝9×104⎝⎛⎭⎪⎫－3x2＋1x＋5＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝⎛⎭⎪⎫1x－162＋6112.故x＝6时，y max＝457 500元.点拨：和一元二次不等式有关的实际应用题是教材中的重点，这也是将实际生活和数学相结合的切入点，是考查能力的好载体，应予以重视.某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋30x元，则该厂日产量为时，日获利不少于1300元.解：由题意，得(160－2x)x－(500＋30x)≥1300，化简得x2－65x＋900≤0，解之得20≤x≤45.因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元.故填20件至45件.1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定，受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a＞0且Δ≤0.若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形.2.解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组.(注：形如f（x）g（x）≥0或f（x）g（x）≤0的不等式称为非严格分式不等式).3.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论.对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确.4.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程.因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.5.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想.6.对给定的一元二次不等式，求解的程序框图是：1.不等式x－2x＋1≤0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(－1，2]B.[－1，2]C.(－∞，－1)∪[2，＋∞)D.(－1，2]解：x－2x＋1≤0⇔()x＋1()x－2≤0，且x≠－1，即x∈(－1，2]，故选D.2.关于x的不等式(mx－1)(x－2)＞0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1m＜x＜2，则m的取值范围是单位：m)的取值范围是B.[12，25]D.[20，30]解：设矩形的另一边为y m，依题意得§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的区域(1)当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的.(2)当B＜0时，Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By ＋C＝0的；Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0的.2.线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为.由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的的问题，统称为线性规划问题.(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做，由所有可行解组成的集合叫做.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的.线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内.(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据 (即画出不等式组所表示的公共区域).②设，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解.④最后求得目标函数的.(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出条件，确定函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即，在可行域内求得使目标函数.自查自纠：1.(1)上方区域下方区域(2)下方区域上方区域2.(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解下列命题中正确的是( )A.点(0，1)在区域x－y＋1＞0内B.点(0，0)在区域x＋y＋1＜0内C.点(1，0)在区域y≥2x内D.点(0，0)在区域x＋y≥0内解：将(0，0)代入x＋y≥0，成立.故选D.不等式x－2y＋6＞0表示的区域在直线x －2y＋6＝0的( )A.左下方B.左上方C.右下方D.右上方解：画出直线及区域范围知C正确.故选C.(2014·湖北)若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤4，x－y≤2，x≥0，y≥0，则z＝2x＋y的最大值是( )A.2B.4C.7D.8解：画出不等式组的可行域如图阴影部分所示，结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A(3，1)时，z取最大值，且为7.故选C.点()－2，t在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是.解：()－2，t在2x－3y＋6＝0的上方，则2×()－2－3t＋6＜0，解得t＞23.故填⎩⎨⎧⎭⎬⎫t|t＞23.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＞0，y＞0，4x＋3y＜12表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有个.解：画出平面区域的图象，可以看出整点有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个，故填3.≥0，＋3y ≥4，＋y ≤4与D 有公共点，则x ＋1)恒过定点C (－BC ＝12，k AC ＝4，∴要使直线D 有公共点，则12＋y －2≥0，＋2y －4≤0，＋3y －2≥0________.|BD |＝2，C 点坐标(8，－2)，＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×(2＋2)＝y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，和n ，则＝－2x ＋z 经过点B 时，z 1)，则n ＝z min ＝2×(－1)故选C.)A.有最小值B.有最小值C.有最大值解：画出不等式表示的平面区域，如图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z ＝0，画出y ＝－x 的图象，当它的平行线经过A (2，0)时，z 取得最小值为z min ＝2＋0＝2，由于可行域是向右上方无限延伸的非封闭区域，y ＝－x ＋z 向右上方移动时，z ＝x ＋y 也趋于无穷大，所以z ＝x ＋y 无最大值，故选B.类型三 含参数的线性规划问题(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34解：由题目所给的不等式组可知，其表示的平面区域如图阴影部分所示，这里直线y ＝kx ＋43只需经过线段AB 的中点D即可，此时D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，代入可得k ＝73.故选A.(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A.－5B.1C.2D.3解：如图可得阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC ，因为△ABC 的点A 和B 的坐标分别为A (0，1)和B (1，0)，且S △ABC＝2，设点C 的坐标为C (1，y )，则12×1×y ＝2⇒y＝4，将点C (1，4)代入ax －y ＋1＝0得a ＝3.故选D.点拨：此类问题综合性较强，注意到y ＝kx ＋43，ax －y ＋1＝0都是含参数且恒过定点的直线，因此这两题我们采用数形结合求解.注意把握的两点：①参数的几何意义；②条件的合理转化.(1)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A.(－1，2)B.(－4，2)C.(－4，0]D.(－2，4)解法一：z ＝ax ＋2y 的斜率为－a2，目标函数在点(1，0)处取得最小值，由图象知斜率－a 2满足：－1＜－a2＜2⇒－4＜a＜2，所以参数a 的取值范围是(－4，2).解法二：由条件知，可行域是一个三角形，顶点为A (1，0)，B (3，4)，C (0，1)，由于目标函数的最小值仅在A 点处取得，z A ＝a ，z B ＝3a ＋8，z C ＝2，依题意，z A ＝a ＜z B ＝3a ＋8，z A ＝a ＜z C ＝2，所以参数a 的取值范围是(－4，2)，故选B.(2)(2014·湖南)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ， 且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ，k )，(4－k ，k )，(2，2)，且可行域如图，则k ≤2.最小值在点(k ，k )处取得，3k ＝－6，得k ＝－2.故填－2.类型四 利用线性规划求非线性目标函数的最优解已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.当x ，y 取何值时，x 2＋y 2取得最大值、最小值？最大值、最小值各是多少？解：如图，作出可行域(图中的阴影部分)，可行域是封闭的△ABC (包括边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0，得顶点A (2，3)，同理可得B (0，2)，C (1，0)，因为x 2＋y 2是可行域内一点P (x ，y )到原点的距离的平方，所以，当P (x ，y )和A (2，3)重合时，(x 2＋y 2)max ＝22＋32＝13，显然，原点到直线BC ：2x ＋y －2＝0的距离d 最小，这里d ＝|2×0＋0－2|22＋12＝25，(x 2＋y 2)min ＝d 2＝45， 此时点P 的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝45，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25，即点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 综上可知，当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2取得最大值，最大值是13；当x ＝45，y ＝25时，x 2＋y 2取得最小值，最小值是45.点拨：本题不是求线性目标函数的最优解，而是求a 2＋b 2取得最大值、最小值问题，理解待求式的几何意义并准确画图是解这类题目的关键，同时注意取得最值的点不一定在顶点处取得，本题的最小值就是利用距离公式求得的.实系数方程f (x )＝x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，求：(1)b －2a －1的值域； (2)(a －1)2＋(b －2)2的值域.解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.可行域是一个不包括边界的三角形，其顶点为A (－3，1)，B (－2，0)，C (－1，0).如图所示.(1)设b －2a －1＝k ⇒b ＝k (a －1)＋2，则k 表示可行域内一个动点P (a ，b )和定点Q (1，2)连线的斜率，因为A (－3，1)，C (－1，0)，则k AQ ＝14，k CQ ＝1，k AQ ＜k ＜k CQ ，14＜k ＜1.∴b －2a －1的值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. (2)(a －1)2＋(b －2)2表示可行域内一个动点P (a ，b )和定点Q (1，2)的距离的平方，显然，当动点P (a ，b )和点C (－1，0)重合时距离最小，最小值为22，而P (a ，b )和点A (－3，1)重合时距离最大，最大值为17，所以(a －1)2＋(b －2)2的值域为(8，17).所表示的平面区域为和纵坐标均为整数的点的通项公式为＋2y －5＞＋y －7＞≥0，y ≥0小值为( z ，y ＝－34x ＋z4，过x ，(3，0)，(4，0)，(5＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(2，4)，(4，1)逐个试验积不超过50植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量黄瓜≤50，.9y ≤54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图所示.两类产品，甲种设备每天能生产类产品10件，类产品20设备乙每天的租赁费为类产品300y 对应的直线过两直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋65y ＝10，x ＋2y ＝14的交点(4，5)时，目标函数z ＝200x ＋300y 取得最小值为2300元.故填2300.1.解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置.2.如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的一个便是.第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断.特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组.第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数ZP i ＝mx ＋ny ，比较各个ZP i ，得最大值或最小值.1.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －y ≥0所表示的平面区域是( )解：画出直线x ＝2，在平面上取直线的右侧部分(包含直线本身)；再画出直线x －y ＝0，取直线的右侧部分(包含直线本身)，两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选D.2.(2014·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A.2B.3C.4D.5解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y ＝－12x ＋12z ，由图可知，当直线y ＝－12x ＋12z 经过点(1，1)时，z 取得最小值3.故选B.3.设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝a x()a ＞0，a ≠1的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A.[1，3]B.[2，10]C.[2，9]D.[10，9]解：如图，阴影部分为平面区域M ，显然a ＞1，只需研究过(1，9)，(3，8)两种情形，a 1≤9且a 3≥8即2≤a ≤9，故选C.4.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.a ≥43 B.0＜a ≤1C.1≤a ≤43D.0＜a ≤1或a ≥43解：如图，由条件可知，当直线x ＋y ＝a 在直线x ＋y ＝43右上方时，可行域可以组成一个三角形，即a ≥43时，可行域可以组成一个△OAB ；当0＜a ≤1，可以组成一个三角形，所以0＜a ≤1或a ≥43，故选D.解：作出可行域如图阴影部分所示，－ax得y＝ax＋z.当AB重合时，z取最大值直线y＝ax＋z与直线，此时a＝－1.故选D.z＝x＋y，则y＝－知可行域只可能是△ABC，且x＋y的最大值只在点x－y－3＝0，－my＝－1解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得，1)，C(5，2).－3y⇔y＝43x－z13，易知平移如图，作出可行域，作直线l ：6x 向右上方平移至l 1位置，直线经过可行域且与原点距离最大，此时z ＝解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝300，4x ＋5y ＝200得M (20，C 三点的坐标分别为0).，则直线b ＝2a －取得最小值，经过点C 时，z 取得最大值，即，又A ，B ，C 三点不在可行域内，1)的光线经x 轴反射后的光线所，－1)，由图可知，区域3，1)，所以所求直线＋2y －4≤0，§7.4 基本不等式及其应用1.如果a＞0，b＞0，那么叫做这两个正数的算术平均数.2.如果a＞0，b＞0，那么叫做这两个正数的几何平均数.3.重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥ (当且仅当a＝b时取等号).4.基本不等式：a＞0，b＞0，则，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.5.求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a＋b≥，a2＋b2≥.6.求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即，亦即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.7.拓展：若a＞0，b＞0时，21a＋1b≤≤a＋b2≤，当且仅当a＝b时等号成立.自查自纠：1.a＋b22.ab3.2ab4.a＋b2≥ab5.最小值2ab2ab6.ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22ab≤14(a＋b)2ab≤a2＋b227.aba2＋b22设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )A.6B.42C.2 2D.2 6解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝32时取等号，故选B.若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )A.12B.1C.2D.4解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )A.a＜v＜abB.v＝abC.ab＜v＜a＋b2D.v＝a＋b2解：设甲、乙两地之间的距离为s.∵a＜b，∴v＝2ssa＋sb＝2aba＋b＜2ab2ab＝ab.又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b＞a2－a2a＋b＝0，∴v＞a.故选A.(2014·上海)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________.解：由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋2x2≥22，当且仅当x＝±42时等号成立.故填22.点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________.解：由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1，所以mn≤⎝⎛⎭⎪⎫m＋n22＝14，当且仅当m＝n＝12时取等号，∴log2m＋log2n＝log2mn≤log214＝－2，故填－2.类型一利用基本不等式求最值(1)求函数y＝（x＋5）（x＋2）x＋1(x＞－1)的值域.解：∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0，且y＝（m＋4）（m＋1）m＝m＋4m＋5≥2m·4m＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故4t＋1t的最小值为解：∵t，解集是M，则对任意实常数A.2∈MC.2∈M解法一：求出不等式的解集：k然对数的底数(0，＋∞)上恒成立，求实数解：由条件知∞)上恒成立要求矩形场地的一面利用旧墙其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为维修费用为用的旧墙的长度为x 的函数； 使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.如图，设矩形的另一边长为180(x －2)＋180·2，得a ＝360x，3602－360(x ≥2)要制造一个底宽孔流入，经沉淀后从 m ，高度为分数与a ，b ，b 各为多少为排出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y ＝k ab，其中k 最小，只需ab 最大＋2ab ＋2a ≤60(a ab (a ＞0，b ＞0)ab ，ab ≤30，得0＜时取“＝”号，＝3 m 时经沉淀后排出的水中杂解法二：同解法一得b ≤30－a a ＋2和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、运算(指数、对数运算等)构造“和”或者“积”为定值.4.求1a ＋1b型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决.1.若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A.2 B.a C.3 D.2aa －1解：∵a ＞1，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝2＋1＝3，当a ＝2时等号成立.故选C.2.设a ，b ∈R ，a ≠b ，且a ＋b ＝2，则下列各式正确的是( )A.ab ＜1＜a 2＋b 22B.ab ＜1≤a 2＋b 22C.1＜ab ＜a 2＋b 22D.ab ≤a 2＋b 22≤1解：运用不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22⇒ab ≤1以及(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)⇒2≤a 2＋b 2(由于a ≠b ，所以不能取等号)得，ab ＜1＜a 2＋b 22，故选A.3.函数f (x )＝5－4x ＋x22－x在(－∞，2)上的最小值是( )A.0B.1C.2D.3解：当x ＜2时，2－x ＞0，因此f (x )＝1＋（4－4x ＋x 2）2－x ＝12－x ＋(2－x )≥2·12－x ·（2－x ）＝2，当且仅当12－x＝2－x 时上式取等号.而此方程有解x ＝1∈(－∞，2)，因此f (x )在(－∞，2)上的最小值为2，故选C.4.(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元解：假设底面的长、宽分别为x m ，4xm ，由条件知该容器的最低总造价为y ＝80＋20x ＋80x≥160，当且仅当底面边长x ＝2时，总造价最低，且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( )A.若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b＝2 B.若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若x <0，则x ＋4x≥－2x ·4x＝－4 D.若x ≤0，则2x ＋2－x≥22x·2－x＝2解：对于A ，a 与b 可能异号，A 错；对于B ，lg x 与lg y 可能是负数，B 错；对于C ，应是x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋4－x ≤－2（－x ）·4－x＝－4，C错；对于D ，若x ≤0，则2x＋2－x≥22x ·2－x＝2成立(x ＝0时取等号).故选D.6.(2014·重庆)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A.6＋2 3B.7＋2 3C.6＋4 3D.7＋4 3 解：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b ＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号.故选D.7.若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a的取值范围是.解：因为x ＞0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故填a ≥15. 8.(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.解：易知定点A (0，0)，B (1，3). 且无论m 取何值，两直线垂直. 所以无论P 与A ，B 重合与否，均有36 m长网的材料，宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋设每间虎笼长为x m，宽为36，即2x＋3y＝设每间虎笼的面积为S，则S＝( 21解：问题转化为求△ABC中∠BCAAB的延长线于点米，看A，B的视角最大，＝α，∠ACD＝β一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M ＝{x |0≤x ＜3}，N ＝{x |x 2－3x －4＜0}，则集合M ∩N ＝( ) A.{x |0≤x ＜3} B.{x |0≤x ≤3} C.{x |0≤x ≤1} D.{x |0≤x ＜1}解：x 2－3x －4＜0⇔(x －4)(x ＋1)＜0⇔－1＜x ＜4，∴N ＝{x |－1＜x ＜4}，∴M ∩N ＝{x |0≤x ＜3}.故选A.2.不等式x ＋5()x －12≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] 解：x ＋5（x －1）2≥2⇔（x ＋5）－2（x －1）2（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0⇔－2x 2＋5x ＋3≥0(x ≠1)⇔2x 2－5x －3≤0(x ≠1)⇔－12≤x ≤3且x ≠1.故选D.3.(2014·北京)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解：令a ＝2，b ＝－3，则“a >b ”推不出“a 2>b 2”；反之，令a ＝－1，b ＝0，则“a 2>b 2”推不出“a >b ”.综上知，故选D.4.若一个矩形的对角线长为常数a ，则其面积的最大值为( )A.a 2B.12a 2C.aD.12a解：如图，设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x 2＋y 2＝a 2，其面积S ＝xy ，由基本不等式得S ≤12(x 2＋y 2)＝12a 2，当且仅当x ＝y 时取等号，此时为正方形.故选B.5.函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( ) A.－4 B.－3 C.3 D.4解：函数y ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5(x ＞1)＝log 2(x －1＋1x －1＋6)≥log 2⎝⎛⎭⎪⎫2（x －1）×1x －1＋6＝log 28＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取得等号.故选C.6.(2014·四川)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A.0B.1C.2D.3解：由程序框图知，当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，目标函数S ＝2x ＋y ∈[0，2]，否则，S ＝1.因此，输出的S 的最大值为2.故选C.7.(2014·山东)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B.ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C.sin x ＞sin y D.x 3＞y 3解：根据指数函数的性质得x ＞y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立.故选D.8.(2014·湖南模拟)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A.(3，4)B.(－2，－1)∪(3，4)C.(3，4]D.[－2，－1)∪(3，4]解：由题意得，原不等式为(x －1)(x －a )＜0.当a ＞1时，解得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2，3，则3＜a ≤4；当a ＜1时，解得a ＜x ＜1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a ＜－1.故a ∈[－2，－1)∪(3，4].故选D.9.若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值为( ) A.14 B. 2 C.32＋ 2 D.32＋2 2 解：圆的直径是4，说明直线过圆心(－1，2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2(当且仅当a ＝22－2，b ＝2－2时等号成立)，故选C. 10.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m＝( )A.2B.3C.4D.5。
2020版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：第七章 不等式7.1 Word版含答案.docx
§7.1 不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b<1⇔a <b (a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ ) (2)若ab>1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( √ )(5)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b .( √ )题组二 教材改编2．[P74T3]若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析a －b >0⇒a >b⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．[P75B 组T1]若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b解析 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1， ∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)， 又2b －1>0，b －1<0， ∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2<b ，综上，a <2ab <12<a 2＋b 2<b .题组三 易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．a c －bd >0B ．a c －bd <0C ．a d >b cD ．a d <b c答案 D解析 ∵c <d <0，∴0<－d <－c ， 又0<b <a ，∴－bd <－ac ，即bd >ac ， 又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >ad.5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________．答案 (－π，0)解析由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<αβ<0.题型一 比较两个数(式)的大小1．若P ＝a ＋a ＋5，Q ＝a ＋2＋a ＋3(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定答案 C解析 ∵P 2－Q 2＝2a ＋5＋2a (a ＋5)－[2a ＋5＋2(a ＋2)(a ＋3)]＝2(a 2＋5a －a 2＋5a ＋6)，且a 2＋5a <a 2＋5a ＋6，∴P 2<Q 2， 又P ，Q >0，∴P <Q ，故选C.2．(2017·武汉调研)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，则一定有( ) A ．a x >byB ．sin ax >sin byC ．log a x >log b yD ．a x >b y答案 D解析 对于A ，当a ＝3，b ＝2，x ＝3，y ＝2时不成立，排除A ；对于B ，当a ＝30，b ＝20，x ＝π2，y ＝π4时，不成立，排除B ；对于C ，当a ＝3，b ＝2，x ＝3，y ＝2时，不成立，排除C ，故选D.思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．题型二 不等式的性质典例 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立．(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 D解析 由不等式性质及a >b >1，知1a <1b ，又c <0，∴c a >cb ，①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是单调递减的， 又a >b >1，∴a c <b c ，②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 跟踪训练 若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④答案 C解析 方法一 因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误； 因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0， 所以④错误．综上所述，可排除A ，B ，D. 方法二 由1a <1b<0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab，即①正确；②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |， 即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．题型三 不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立 典例 若a <0<b ，则下列不等式正确的是( ) A ．1a >1bB ．1a <1bC ．a 2<b 2D ．|a |>|b |答案 B解析 因为a <0<b ，所以1a <0<1b ，因此A 错，B 对；取a ＝－2，b ＝1，可得a 2>b 2，故C 错；取a ＝－12，b ＝1，可得|a |<|b |，故D 错，故选B.命题点2 求代数式的取值范围典例 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18.思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．②在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．跟踪训练 已知a >b >0，c <0，则下列不等关系中正确的是( ) A ．ac >bc B ．a c >b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D ．a a －c >b b －c答案 D解析 选项A 中，不等式a >b >0两边同乘以负数c ，不等式方向应该改变，故A 错误；选项B 中，考查幂函数y ＝x c ，因为c <0，所以函数在(0，＋∞)上是减函数，故B 错误；选项C 中，假设a ＝4，b ＝2，c ＝－4，则log a (a －c )＝log 48<2，log b (b －c )＝log 26>2，此时log a (a －c )<log b (b －c )，故C 错误；选项D 中，作差a a －c －b b －c ＝ab －ac －ab ＋bc (a －c )(b －c )＝(b －a )c (a －c )(b －c )>0，所以a a －c >bb －c正确，故选D. (2)(2018届东北四市一模)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是__________． 答案 (－π，2π)解析 结合题意可知，3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，(α＋β)∈(0，π)，利用不等式的性质可知，3α－β的取值范围是(－π，2π)．利用不等式变形求范围典例 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________． 错解展示：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4. ②①＋②得32≤a ≤3，②－①得12≤b ≤1.由此得4≤f (－2)＝4a －2b ≤11. 所以f (－2)的取值范围是[4,11]． 错误答案 [4,11] 现场纠错解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时， 取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]纠错心得 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．1．(2018·济宁模拟)若a <0，ay >0，且x ＋y >0，则x 与y 之间的不等关系是( ) A ．x ＝y B ．x >y C ．x <y D ．x ≥y答案 B解析 由a <0，ay >0，可知y <0，又由x ＋y >0， 可知x >0，所以x >y .2．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A ．f (x )＝g (x ) B ．f (x )>g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 值的变化而变化 答案 B解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， 则f (x )>g (x )．3．若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b >0B ．a 3＋b 3>0C ．a 2－b 2<0D ．a ＋b <0答案 D解析 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |， 当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．故选D.4．(2018·西安市西北工业大学附属中学模拟)如果a >b >1，c <0，在不等式①c a >cb ；②ln(a ＋c )>ln(b＋c )；③(a －c )c <(b －c )c ；④b e a >a e b 中，所有正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②③④ D ．①②④答案 B解析 用排除法，∵a >b >1，c <0， ∴可令a ＝3，b ＝2，c ＝－4， 此时ln(a ＋c )>ln(b ＋c )，不成立， ∴②错误，排除A ，C ，D ，故选B.5．(2018·湖北沙市中学、恩施高中、郧阳中学联考)已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3，且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2，且ab >0，则1a <1b答案 C解析 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，选项A 是假命题； 若c <0，则由a c >bc，可得a <b ，选项B 是假命题；若a 3>b 3且ab <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b <0，1a >1b 正确；若a 2>b 2且ab >0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0时，D 不成立． 6．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，5π6 B ．⎝⎛⎭⎫－π6，5π6C ．(0，π)D ．⎝⎛⎭⎫－π6，π 答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 7．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz答案 B解析 令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3.A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14；B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B.8．(2018·济南调研)若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB ．b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1aD ．2a ＋b a ＋2b >a b 答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A. 9．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__________________． 答案 a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1－a 2≤0，b 1－b 2≥0，于是(a 1－a 2)(b 1－b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．(填序号)答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．11．(2018·青岛调研)设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .12．已知－1<x ＋y <4,2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－32，232 解析 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )， 又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232.13．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是( )A ．x >2且y >2B ．x <2且y <2C ．0<x <2且0<y <2D ．x >2且0<y <2答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0， 由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，0<y <2， 又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2. 14．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；②a ＋x >b ＋y ；③ax >by ；④x －b >y －a ；⑤a y >b x这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2.符合题设条件x >y ，a >b .∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5.∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③不成立．∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x，因此⑤不成立． 由不等式的性质可推出②④成立．15．(2018·江门模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4答案 A 解析 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ， 即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p q ≤2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ， 即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4.16．(2017·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3) 答案 B解析 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1<b a ＋c a ≤3，1＋b a >c a ，1＋c a >b a ，∴⎩⎨⎧ 1<b a ＋c a ≤3，－1<c a －b a <1，两式相加，得0<2×c a<4， ∴c a的取值范围为(0,2)。
2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习试题：第七章+不等式、推理与证明+单元质检卷7+Word版含答案
2020版高考文科数学（北师大版）一轮复习试题单元质检卷七不等式、推理与证明(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2018山东、湖北部分重点中学模拟五,3)若2m>2n,则下列结论一定成立的是()A. B.m|m|>n|n|C.ln(m-n)>0D.πm-n<12.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为,则不等式bx2-5x+a>0的解集为()A. B.C.{x|-3<x<2}D.{x|x<-3或x>2}3.下面四个推理中,属于演绎推理的是()A.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则72 015的末两位数字为43B.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,可得偶函数的导函数为奇函数C.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积之比为1∶8D.已知碱金属都能与水发生还原反应,钠为碱金属,所以钠能与水发生反应4.(2018河南中原名校质检三,3)下列各函数中,最小值为2的是()A.y=x+B.y=sin x+,x∈0,C.y=D.y=x+-3,x>15.(2019广东化州一模,9)已知实数x,y满足则z=x+的最大值为()A.7B.1C.10D.06.(2018辽宁凌源二中三模,8)大学生小徐、小杨、小蔡通过招聘会被教育局录取并分配到一中、二中、三中去任教,这三所学校每所学校分配一名老师,具体谁被分配到哪所学校还不清楚.他们三人任教的学科是语文、数学、英语,且每个学科一名老师,现知道:(1)小徐没有被分配到一中;(2)小杨没有被分配到二中;(3)教英语的没有被分配到三中;(4)教语文的被分配到一中;(5)教语文的不是小杨.据此判断到三中任教的人和所任教的学科分别是()A.小徐语文B.小蔡数学C.小杨数学D.小蔡语文7.(2019届湖南衡阳第八中学二模,7)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-38.(2019届四川成都石室中学模拟,8)已知a>0,实数x,y满足若z=3x+y最小值为1,则a的值为()A.-1B.1C.-D.-1或19.(2018吉林梅河口五中三模,7)用数学归纳法证明“1+2+3+…+n3=,n∈N+”,则当n=k+1时,应当在n=k时对应的等式的两边加上()A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3B.k3+1C.(k+1)3D.10.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件11.已知实数x,y满足约束条件若z=的最小值为-,则正数a的值为()A. B.1 C. D.12.(2018山东日照联考,7)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分,分值高者为优),绘制了如图所示的六维能力雷达图,图中点A表示甲的创造力指标值为4,点B表示乙的空间能力指标值为3,则下面叙述正确的是()A.乙的记忆能力优于甲的记忆能力B.乙的创造力优于观察能力C.甲的六大能力整体水平优于乙D.甲的六大能力中记忆能力最差二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.14.已知抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R)恒过第三象限上一定点A,且点A在直线3mx+ny+1=0(m>0,n>0)上,则的最小值为.15.(2018四川广元适应性统考,15)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,则其四维测度W=.16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为n2+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)= n2+n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)= n2-n,六边形数N(n,6)=2n2-n,……可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.。
2021版文科数学全国通用版一轮复习第七章 不等式第4节
返回导航
[解析] 解法一：依题意画出图形，如图所示．
高考总复习 ·数学(文科)
∵BD 是∠ABC 的角平分线，∠ABC＝120°， ∴∠ABD＝∠DBC＝60°. 易知 S△ABD＋S△BCD＝S△ABC， 即12csin 60°＋12asin 60°＝12acsin 120°，
第七章 不等式
返回导航
第七章 不等式
返回导航
高考总复习 ·数学(文科)
2
课 堂 ·考 点 突 破
第七章 不等式
返回导航
高考总复习 ·数学(文科)
考点 基本不等式的概念
第七章 不等式
返回导航
|题组突破| 1．下列不等式证明过程正确的是( ) A．若 a，b∈R，则ba＋ab≥2 ba·ab＝2 B．若 x>0，y>0，则 lg x＋lg y≥2 lg x·lg y C．若 x<0，则 x＋4x≥－2 x·4x＝－4 D．若 x<0，则 2x＋2－x>2 2x·2－x＝2
第七章 不等式
返回导航
4．常用的几个不等式
(1)a＋b≥ 8 _2__a_b_____ (a>0，b>0)．
(2)ab≤
9
a＋b2
__ _2______
(a，b∈R)．
(3)a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
(4)ba＋ab≥ 10 __2_______ (a，b 同号)．
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①正数；② 验证等号成立．
(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要 注意利用基本不等式求最值的条件．