第二节一节微分方程-2 09-5-20

讲评作业：1.收敛域与收敛区间的区别与联系。

2.级数求和函数的内容要求。

正弦函数的级数表示公式？间接展开级数时的要求。

第二节 一阶微分方程教学过程：一阶微分方程的常见形式：(,,)0F x y y '= 或 (,)y f x y '=，有 时也写为(,)(,)0P x y dx Q x y dy += 一、可分离变量的微分方程1．分离变量的微分方程：形如 dx x f dy y g )()(= 或)()(y g x f y ='的一阶微分方程.2．可分离变量方程的隐式通解：方程dx x f dy y g )()(=必存在隐 式通解C x F y G +=)()((微分方程积分得). 例4 解下列方程：(2) 0d ln d ln =+y y x x x y解 分离变量得 yyy x x x d ln d ln -=, 两边积分得 c y x =+22ln ln (c 为任意常数).（4）2222sin sin cos cos 0cos cos dy xdx x ydx xdy y x⋅+=⇒=- tan sec 0y x C ⇒++=. （5）221dyx y xy dx =+++ 221(1)tan[(1)]12dy x dx y x C y ⇒=+⇒=+++. （6）sin(2)sin(2)y x y x y '+-=+满足()24y ππ=的特解.提示：原方程可化为2cos 2ln csc cot sin 2sin dyxdx y y x C y=⇒-=+ 由()24y ππ=得ln(21)C =-，故通解为 ln csc cot sin 2y y x -=+ln(21)-例5(87.6) 某商品的需求量x 对价格p 的弹性33p -=η,市场对该 商品的最大需求量为1(万件),求需求函数. 解 由弹性公式得3d 3d x pp p x η=-⋅=-,即 21d 3d x p p x=, 两边积分得3ln ln x p C =+,即3e p x C =, 再由10==p x可得1C =,故所求函数为3e p -.例7（07、4、10分）设函数f (x )具有连续的一阶导数, 且满 足2202)()()(x dt t f t xx f x+'-=⎰，求f (x )的表达公式.【详解1】 20202)()()(x dt t f t dt t f x x f xx+'-'=⎰⎰x x f x x f x dt t f x x f x 2)()()(2)(220+'-'+'='⎰ 即 0()2()2x f x xf t d t x ''=+⎰也即 ()2[()(0)]2f x x f x f x '=-+由题设知0)0(=f ，故有x x xf x f 2)(2)(=-' ，从而]2[)(22c e x e x f xdxxdx +⎰⎰=----⎰=][222c dx e e e x x x ⎰+-=)(22c ee x x +--=21x ce +-将0)0(=f 代入上式得c =1，所以1)(2-=x e x f 【详解2】2202)()()(x dt t f t x x f x +'-=⎰2202)()(x t df t x x+-=⎰2022)(2|)()(x dt t f t t f t x xx+---=⎰dt t tf f x x⎰+-=02)(2)]0(1[由题设知0)0(=f ，故有x x xf x f 2)(2)(=-'， 得x x f x f 21)()(=+'两边积分得 C x x f +=+2|1)(|ln 于是有 1)(2-=+Cxe x f由0)0(=f 得 C =0，所以1)(2-=x e x f . 【详解3】2202)()()(x dt t f t x x f x+'-=⎰20202)(|)(x t df t t f x xx+-=⎰2022)(2)()]0()([x dt t tf x f x f x f x x ++--=⎰dt t tf f x x ⎰+-=02)(2)]0(1[由题设知0)0(=f ，故有x x xf x f 2)(2)(=-' ① 由 0)(2)(=-'x xf x f 有x x f x f 2)()(=' 两边积分得 12|)(|ln C x x f += 于是 2)(x ce x f = 令 2)()(x e x c x f =代入①式得 22)(x xe x c -=' 两边积分得 C e x c x +-=-2)(, 因此 1)(2-=x ce x f 将0)0(=f 代入上式得c =1，所以1)(2-=x e x f 例8 设可导函数()f x 连续，且满足0()()xxf x dt x tf x t dt =+-⎰⎰，求()f x . 解：因为00()()()()()u x txxxtf x t dt x u f u du x u f u du =--=--=-⎰⎰⎰所以原方程可化为()()()xxf x dt x x t f t dt =+-⎰⎰将方程两边求对x 的导数得 0()1()xf x f x dt =+⎰，将方程两边再求对x 的导数并令()y f x = 得微分方程 y y '=， 分离变量积分得 ln ln xy x C y Ce =+⇒=，由隐含条件知(0)11y C =⇒=, 故 x y e = .二、齐次微分方程1．齐次方程：形如：y y f x ⎛⎫'=⎪⎝⎭的一阶微分方程称为齐次方程. 2．齐次方程的解法：设有齐次方程 ⎪⎭⎫⎝⎛='x y f y ,解法：(1) 令,xyu = 即xu y =（ 注意()u u x = ）,则 dxdu x u dx dy +=； (2) 代入原方程得 )(u f dx du x u =+, 即 xdx u u f du =-)(； (3) 两端积分,得上述方程通解 C x u +=Φ||ln )(,其中 ⎰-=Φu u f duu )()(；(4) 再将y u x =代入原方程得通解 C x x y +=⎪⎭⎫⎝⎛Φ||ln .例2 求解微分方程 dxdy xy dx dy x y =+22.解：(1) 222()1y dy y dyx y dx xy x dx x=⇒=-- 令ux y =, 则dxdu x u dx dy +=，代入上述方程整理得 xu u 1)11(='-.(2) 两端积分得 l n ||l n ||l n |u u x C -=-(3)将ux y =代入上式得到原方程的通解 yxy Ce =. 例3 (91.5)(1) 求微分方程22d d y x xyxy +=满足条件e 2|e ==x y 的特解.解 原方程可以化为 xy x y xy 2)(1d d +=, 令xy u =,有x ux u x y d d d d +=,代入上式,得dx udu x = c x u +=ln 212,将xy u =代入上式,得通解)(ln 222c x x y +=. 将2e e)(=y 代入,得1=c ,故满足条件的特解是)e ()ln 1(21-≥+=x x x y . （2）(07.3.4)微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解 为 .【答案】应填 .1ln xy x =+【详解】作变量代换y u x =，则dy duu x dx dx=+，代入原方程得 312du u x u u dx +=-，即 312du dx u x=-，积分22ln()x y cx = 由1|1x y C e ==⇒=, 故所求特解为 1()1ln xy x e x-=>+. 解法二:贝努利方程求解 原方程33233111122(1)1(1)1y y y y y y x x x x y y --⎧⎧''-=--=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎩22321()(1)1y y x x y --⎧'+=⎪⇒⎨⎪=⎩2221()2(1)1x y xy x y --⎧'+=⎪⇒⎨⎪=⎩,由凑微分法得 221()(1)1x y x y -⎧'=⎪⎨⎪=⎩,再积分得 2222111|1ln x x x x y dx x y x x--==⇒=+⎰,故所求特解为 1()1ln xy x e x-=>+. 贝努利方程 ()()(0,1)ny P x y Q x y n '+=≠例4 (96.6) 求微分方程xy x y x y 22d d +-=的通解. 解 令x y u =,则xux u x y d d d d +=.当0>x 时,原方程化为 2d 1d uu x u u x +=-+即2d 1+u u dxx =-（左边积分要用换元法令tan u t =则21du u +⎰tan u t==sec ln sec tan tdt t t C =++⎰2ln 1u u C =+++）其通解为 12ln )1ln(c x u u +-=++. 将xyu =代入得 原方程的通解 )0(22>=++x c y x y .当0<x 时,令x t -=,于是0>t ,且2222d d dt dt y t y y t y y y t t-+-+-=⇒=-, 其通解为 )0(22>=++t c y t y ,故通解为 )0(22<=++x c y x y .综合上述情况得原方程的通解为c y x y =++22.例5 (98.7) 设函数)(x f 在),1[+∞上连续,若由曲线)(x f y =, 直线)1(,1>==t t x x 与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 )]1()([3)(2f t f t t V -=π试求)(x f y =所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件92|2==x y 的解.解 由于221()()d [()(1)]3t V t f x x t f t f ππ==-⎰,两边对t 求导得)()(2)(322t f t t tf t f '+= 即 xy y y x 2322-=',令xy u =, 则 )1(3d d -=u u x ux . 当01u u ≠≠且时,方程变为xxu u u d 3)1(d =-,解之得31u Cx u-=, 所以方程有解3y x Cx y -=,c 为任意常数,由92|2==x y , 知1C =-,故所求解为 )1( 13≥+=x xxy . 例6 解下列微分方程（1）220(3)20|1x y x dy xydx y =⎧--=⎨=⎩解：原方程可化为222213()d 3d 2d d 2d 152()xu y x x y x x u y y du x y xy y u y y=--=⇒=⇒=-，5225230211d (15)155515x u yy d u y u C y x y C u y=--=⇒⋅-=⇒-=-⎰⎰将(0)1y =代入通解得01C =,所以所求特解为 52351y x y -=. （2）(1)()0x ye ydx y x dy -++-=. 解 原方程可化为11()1x u u u yx u u yx dx e dy d u e dy y du dyu e y u e ye=--++=⇒=-⇒=-+++⎰⎰ln ln ln ()u u u e y C y u e C +=-+⇒+=，将xu y=回代， 得原方程的通解为 x yye x C +=.例7 已知某产品的总成本()C x 由可变成本与固定成本组成，假设可变成本y 是产量x 的函数，且y 关于x 的变化率为222x y xy+，固定成本为(0)1C =，且可变成本(1)3y =，求总成本函数.解 依题意得2()221()11()2112()yu xy dy x y dy dx x du y dx xy dx u u x x=++=⇒=⇒-=-+ 2ln 1ln 1ln ln (1)u u x C x u C ⇒---+=-⇒-=将xu y=回代，得原方程的通解为 2y x Cx =- 由 (1)38y C =⇒=-，所以可变成本为 28y x x =+，故总成本函数为 2()(0)()18C x C y x x x =+=++.三、一阶线性微分方程1．线性方程定义：方程 )()(x Q y x P y =+' 称为一阶线性微 分方程.(1) 非齐次方程——0)(≡x Q ；(2) 齐次方程 —— 0)(≡x Q ；0)(=+'y x P y . 2．齐次方程0)(=+'y x P y 的通解：⎰=-dxx P Ce y )(, 其中C 为任意常数.证明： 由于 dx x P ydy)(-=，两端积分, 得 1)(||ln C dx x P y +-=⎰,（直接取1ln C C =为好）于是 ⎰=⎰±=⎰±=--+-dx x P dx x P C C dx x P Ce e e e y )()()(11, (1Ce C ±=)注：⎰dx x P )(表示某个确定的原函数(下同) .3．非齐次方程解的结构：方程 )()(x Q y x P y =+'的通解为 )()(10x y x y y +=.其中)(1x y 为原方程的特解, )(0x y 为齐次方程 的通解.证明：)(1x y 为原方程的特解11()()y P x y Q x '⇒+=，又)(0x y 为 齐次方程的通解，则)(0x y 为齐次方程的解00()0y P x y '⇒+= 将)()()(10x y x y x y +=代入)()(x Q y x P y =+'的左边得0101()[()()]()[()()]y P x y y x y x P x y x y x ''+=+++0011[()()()][()()()]()y x P x y x y x P x y x Q x ''=++=，故已知结论正 确.例1 (06.4) 设非齐次线性微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个不同 的解21,y y ,c 为任意常数,则该方程的通解是 ( )(A))]()([21x y x y c - (B))]()([)(211x y x y c x y -+ (C))]()([21x y x y c + (D))]()([)(211x y x y c x y ++答 (B).因为21,y y 是非齐次方程两个不同的解,那么21y y -就是齐 次方程的一个非零解,于是)(21y y c -是齐次方程的通解,从而)(211y y c y -+是非齐次方程的通解⇒选(B)⇒不选(A),(C),(D).4．非齐次方程)()(x Q y x P y =+'特解的形式 (1) 设)(x y y =为方程的某个特解, 将其代入方程. (2) 变形后得 dx x P x Q yy dy )]()(1[-= (3) 两端积分得1)()()(||ln C dx x P dx x y x Q y +-=⎰⎰⇒1)()()(C dx x P dx x y x Q ey +-⎰⎰±= (4) 于是 ⎰=-dxx P e x u y )()(. ( 1)()()(C dx x y x Q ex u +⎰±= )5．常数变易法解非齐次线性微分方程(1) 将齐次通解的C 换成)(x u 即⎰=-dxx P e x u y )()(（将其视为非齐次解）显然 ⎰-⎰'='--PdxPdx uPe e u y . (2) 代入非齐次方程Q Py y =+'得Q Pue uPe e u PdxPdx Pdx =⎰+⎰-⎰'---即 ⎰='PdxQe u ⇒ dx e Q u Pdx⎰=⎰.(3) 显然dx e x Q e ue y dxx P dx x P dx x P ⎰⎰=⎰=⎰--)()()()(为非齐次的一个特解.6．非齐次方程的通解：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(， 其中C 为任意常数.例2 求方程 25)1(12+=+-'x x yy 的通解. 解：(1) 先求齐次方程的通解 012=+-'x yy ⇒ 21dy dx y x =+ ⇒ 22ln ||ln(1)ln (1)y x C y C x =++⇒=+(2) 令 2)1(+=x u y 为非齐次方程的特解(常数变易法), 于是)1(2)1(2+++'='x u x u y代入方程, 有 2522)1(1)1(2)1(2)1(+=++-+++'x x x u x u x u即 21)1(+='x u , 于是 2321)1(32)1(+=+=⎰x dx x u ,那么非齐次特解为 223)1()1(32++=x x y .(3) 所求方程的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++++=C x x x x x C y 2322232)1(32)1()1()1(32)1(.（练习）（08.4.4）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解为 .（0x y xe C x -=-+）解 原方程可化为 1xy y xe x -'-= （1）解对应齐次方程 10y y x'-= 得 y Cx = （2）令 ()y C x x =⋅代入原方程 （1） 得 ()x C x e -'= 积分得 0()x C x e C -=-+ （3）将 （3）代入（2）得 原方程的通解为 0x y xe C x -=-+.例3 求方程 xx y x y sin 1=+'的通解.(直接代入公式计算) 解法一： 已知 x x P 1)(=, x xx Q sin )(=,||ln )(⎰⎰==x x dxdx x P ,那么方程的通解为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()( ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰-C dx x x x x C dx e x x e x x ||sin ||1sin ||ln ||ln ()()C x xC dx x x +-=+=⎰cos 1sin 1. 解法二 解相应齐次方程10y y x '+=，得通解为 Cy x=.利用常数变异法，令()u x y x=代入原方程整理得 sin du xdx =⇒0sin cos du xdx u x C =⇒=-+⎰⎰，所以非齐次线性方程组的一个通解为 0cos C x y x x=-+. 例4（灵活解题） 解微分方程 3()0(0)ydx x y dy y +-=>.解 原方程可化为 21dx x y dy y+=（3dy y dx y x=-并不是线性方程，上述这样转化才可以变为一阶线 性微分方程去求解）解相应齐次方程10dx x dy y +=得通解 C x y=. 利用常数变异法，令()u y x y=代入原方程整理得334014du y dy du y dy u y C =⇒=⇒=+⎰⎰，代入()u y x y=得原方程的通解为 404xy y C =+.例5 (90.5) 求微分方程xx x y y sin e )(ln cos -=+'的通解.解 由一阶线性微分方程的通解公式得通解为)ln (e ]d ln e[e sin d cos sin d cos c x x x c x xe y x xx xxx +-=+=---⎰⎰⎰.解法二 解相应齐次方程 cos 0y y x '+=得通解sin xy Ce -=，令sin xy ue-=代入原方程得0ln u x x x C =-+，所以原方程的通解为 sin e (ln )xy x x x c -=-+.例6 (92.5) 求连续函数)(x f ,使它满足20()2()d x f x f t t x +=⎰.分析：注意方程中隐含的条件(0)0f =.解 对方程两端求导,得x x f x f 2)(2)(=+',这是一阶线性方程, 通解为21e )d e 2(e )(2d 2d 2-+=+=--⎰⎰⎰x c c x x x f x xx. 由(0)0f =得 12c =，故所求函数为211()22x f x e x -=+-.注意：变限函数积分则求导数，定限函数积分则求积分.例如(97.4) 若x x f x x x f d )(11)(1032⎰++=求10()f x dx ⎰，()f x . 解 将方程两边同时求从0到1上的积分得x x x f x x x x x f d ]d )([d 11d )(103102101⎰⎰⎰⎰++=即x x x x f x x x f d d )(|arctan d )(31101010⎰⎰⎰⋅+=x x f x x f d )(414d )(11⎰⎰+=π所以 3d )(10π=⎰x x f .321()13x f x x π=++ (97.3)若函数12201()1()1f x x f x dx x =+-+⎰ 1()f x dx =⎰.答案：ππ-4.例7 (93.8) 假设(1)函数)0)((+∞<≤=x x f y 满足条件 0)0(=f 和1)(0-≤≤x e x f ; (2)平行于y 轴的动直线MN与曲线)(x f y =和1-=xe y 分 别相交于点1P 和2P ; (3)曲线)(xf y =, 直线MN 与x 轴所围封闭图形的面积S 恒等于线段21P P 的长度. 求函数)(x f y =的表达式.解 由图19-可知)(1e d )(0x f t t f x x--=⎰,两端求导,得)(e )(x f x f x '-=,即x x f x f e )()(=+',由一阶线性微分方程的通解公式,知x x x x x c c x x f e 21e e )d e e ()(+=+=--⎰,由0)0(=f ,得21-=c ,所以,所求函数为)e e (21)(xx x f --=.例8(95.6) 已知连续函数)(x f 满足条件320()()d e 3x xt f x f t =+⎰,求)(x f .解 令3ts =,则 s s f t t f x x d )(3d )3(030⎰⎰=.代入题设函数)(x f 所满足的关系式,得x xs s f x f 20e d )(3)(+=⎰.令0=x ,得1)0(=f ,上式两端对x 求导得x x f x f 2e 2)(3)(+=', 故)(x f 是一阶线性方程x x f x f 2e 2)(3)(=-'满足1)0(=f 的特 解,由通解公式得x x c x f 23e 2e )(-=,再由1)0(=f 知3=c .于是所求函数为 x x x f 23e 2e 3)(-=. 分析：注意方程中隐含的条件1)0(=f .例9 (06.8) 在xOy 坐标平面上,连续曲 线L 过点)0,1(M ,其上任意点),(y x P)0(≠x 处的切线斜率与直线OP 的斜率 之差等于ax (常数0>a ),(Ⅰ)求L 的方程； (Ⅱ)当L 与直线ax y =所围成的平面图形的面积为83时,确定a 的值.解(Ⅰ)设曲线L 的方程为)(x f y =且0)1(=f ,则ax xyy =-', 解齐次微分方程0=-'xyy 得y cx =,令x x u y )(=,代入原方程, 由常数变易法解得 a x u =')(积分得 0)(c ax x u +=,于是x c ax y 02+=,由0)1(=f 得a c -=0 故L 的方程为 ax ax y -=2.(Ⅱ)解方程组⎩⎨⎧=-=.,2ax y ax ax y 得交点坐标为(0,0),(2,2),aL 与直线ax y =所围成的平面图形如图29-,其面积为322220(2)()|3x s ax ax dx a x =-+=-+⎰8(4)3a =-+, 又38=s ,由38)438(=+-a ,得2=a .练习(95.6) 求连续函数)(x f ，使它满足条件20()2()d xf x f t t x =⎰＋.20()2()d ()()2xf x f t t x f x f x x '=⇒⎰＋＋2＝21()2x f x Ce x -⇒=+-由2111(0)0()222x f C f x e x -=⇒=⇒=+-. 例10 (99.6) 设有微分方程)(2x y y ϕ=-',其中⎩⎨⎧><=.1,0,1,2)(x x x ϕ试求在),(+∞-∞内的连续函数)(x y y =,使之在)1,(-∞和),1(+∞ 内都满足所给方程,且满足条件0)0(=y .解 当1<x 时,有22=-'y y ,此方程的通解为1e 21-=x c y .由 0)0(=y ,得11=c ,所以=y 2e 1(1)x x -<.当1>x 时,有02=-'y y ,此方程的通解为xc y 22e =.由函数=y 1e 2-x 在1=x 连续,知=)1(y 1e 2-.将其代入2c y =x2e 中,得到=y 特解-=1(y )e 2-2e (1)x x <.综上所述⎩⎨⎧>-≤-=-.1,e )e 1(,1 , 1e 222x x y xx 是在),(+∞-∞内连续,在)1,(-∞ 和),1(+∞内都满足所给方程,且满足条件0)0(=y 的解. 例11 (03.9) 设)()()(x g x f x F =,其中函数)(),(x g x f 在 ),(+∞-∞内满足以下条件: ()(),()()f x g x g x f x ''==且(0)0f =,()()2e x f x g x +=. (1)求)(x F 所满足的一阶微分方程; (2)求出)(x F 的表达式.解 (1) 由条件有)()()(22x f x g x F +=')(2)e 2(2x F x -=, 可知)(x F 所满足的一阶微分方程为=+')(2)(x F x F x 24e .(2)由一阶线性微分方程的通解公式得方程的通解为x x xx x c c x x F 22d 22d 2e e ]d e e 4[e )(--+=+⎰⎰=⎰.将0)0(=F 代入,可得1-=c ,所以)(x F 的表达式为x x x F 22e e )(--=.练习：求下列各微分方程的通解或在给定初始条件下的特解:(1)x y xy-=+e d d 解 由0d d =+y xy , 得x c y-=ln , 即x c y -=e , 将xx u y -=e )(代入原方程得1)(='x u ,c x x u +=)(,故原方程的通解为 )(e c x y x+=-.(2)n x x xny x y e d d =- 解 由0d d =-xny x y ,得到n cx y =,将n x x u y )(=代入原方程得 x x u e )(=',c x u x +=e )(, 故原方程的通解为n x x c y )e (+=. (3)3)1(12d d +=+-x x y x y 解 由012d d =+-x y x y 得到2)1(+=x c y , 将2)1)((+=x x u y 代入原方程得1)(+='x x u ,c x x u ++=2)1(21)(,故原方程的通解为2422)1()1(21)1]()1(21[+++=+++=x c x x c x y .(4)2242d d )1(x xy x y x =++ 解 由12d d 2+-=x xy x y 得到12)1(-+=x c y , 将12)1)((-+=x x u y 代入原方程得 24)(x x u =', c x x u +=334)(, 故原方程的通解为 123)1)(34(-++=x c x y .(5)2e 2d d x x xy xy-=- 解 由02d d =-xy xy得到2e x c y =.将2e )(x x u y =代入原方程得 22e )(x x x u -=', c x u x +=-22e 41)(,故原方程的通解为 22e )e 41(2x x c y +-=-. (6)0|,e 2d d 13==-=x x y x y xyx 解 由xy x y 2d d =得到2cx y =.将2)(x x u y =代入原方程得 x x u e )(=',c x u x +=e )(,故原方程的通解为2)e (x c y x +=,当0)1(=y 时,e -=c 故特解为2)e e (x y x -=.(7)0|,31==+'=x y y y x解 由xyx y -=d d 得到1-=cx y .将1)(-=x x u y 代入原方程得到 3)(='x u ，c x x u +=3)(,故原方程的通解为1)3(-+=x c x y ,当0)1(=y 时3-=c 故特解为-1)1(3x x y -=.四、微分方程的幂级数解法求方程 ⎪⎩⎪⎨⎧=== .),,(00y y y x f dx dyx x (＊) 的特解,其中.)()(),(,00∑--=ml m l lm y y x x a y x f解法：(1) 令 ∑∞=-+=10)(n nnx x a y y , 有∑∞=--='11)(n n nx x na y ,其中n a 为待定系数；(2) 代入方程(＊)两端, 得到两端均为)(0x x -的多项式； (3) 比较两端系数并列出方程组, 可解得n a , ,2,1=n ； (4) ∑∞=-+=10)(n nnx x a y y 在其收敛区间内即为方程(＊)的特解. 例14 求2y x dxdy+=满足0|0==x y 的特解. 解：(1) 令∑∞==1n nn xa y , 有∑∞=-='11n n nxna y ,其中n a 为待定系数；(2) 代入方程(＊)两端, 得∑∑∑∞=∞=∞=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22111n n n n n n n n n x c x x a x x na 1-=↓n m n m =↓ ⇒∑∑∞=∞=++=+21)1(m m m m mm x c x x am ,其中：∑-=----=+++=11112211m k km k m m m m aa a a a a a a c(3) 比较两端系数, 得01=a , 122=a , ∑-=-+==+111)1(m k km k m m aa c a m⇒ 01=a , 212=a , ∑-=-++=11111m k k m k m a a m a ,,4,3,2=m⇒ 03131111123===∑=-a a a a a k k k ,0)(314112212134=+==∑=-a a a a a a a k k k ,201)(51511322313145=++==∑=-a a a a a a a a a k k k ,0)(6161142332414156=+++==∑=-a a a a a a a a a a a k k k ,0)(717115243342515167=++++==∑=-a a a a a a a a a a a a a k k k ,3201)(818125526178=+==∑=-a a a a a a a k k k ,…… (4) 方程的特解为 +++=852320120121x x x y .例17(01.7) 已知)(x f n 满足x n n n e x x f x f 1)()(-+='(n 为正整数),且e(1)n f n =,求函数项级数∑∞=1)(n n x f 之和.解 由已知条件可知)(x f n 满足一阶线性微分方程x n n n x x f x f e )()(1-=-'.1((),0n x x n y f x y y x e y y y Ce -''=-=-=⇒=令则有由由常数变异法知将()x y C x e =代入原方程得10()()nn x C x xC x C n-'⇒=+＝故通解为()e ().n xn x f x C n=+由n f n e)1(=,得0C =,故 ne x xf xn n =)(,这样 nx n x x f n n xx n n n n ∑∑∑∞=∞=∞===111e e )(.设∑∞==1)(n nn x x S ,其收敛域为)1,1[-,且0)0(=S ,当)1,1(-∈x 时,有x x x S n n -=='-∞=∑11)(11, 于是 )1l n (d 11d )()0()(00x t tt t S S x S x x --=-='+=⎰⎰, 由)(x S 及)1ln(x --在1-=x 的连续性知,上述和函数在1-=x 也成立, 所以当11<≤-x 时,有)1ln(e )(1x x fx nn --=∑∞=.例18(04.9) 设级数468 (242462468)x x x +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅, ()x -∞<<+∞的和函数为)(x S ,求(I))(x S 所满足的一阶 微分方程; (II))(x S 的表达式.解 (I)由 (8)64264242)(864+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=x x x x S , 易知0)0(=S ,且幂级数的收敛区域为),(+∞-∞, 在),(+∞-∞上逐项求导得+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)](2[)642422(2642x S x x x x x x +=+⋅⋅+⋅+= ,所以)(x S 是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解. (II)方程23x xy y +='的通解为22d 3d 2e 12]d e 2[e xx x xx c x c x x y +--=+=⎰⎰⎰-,由初始条件0)0(=y ,知1=c .故1e 2222-+-=x x y 是上述初值问 题的解,所以)(1e 2)(222+∞<<-∞-+-=x x x S x . 五、一阶微分方程平衡解及其稳定性1）稳定解举例:例 根据经验可知,某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系 )(L A k dxdL -=,(其中0,0>>A k ). 若不做广告,即0=x 时,纯利润为0L ,且A L <<00,试求纯 利润L 与广告费x 有之间的函数关系,并讨论其稳定性.解: (1)因)(L A k dx dL -=,有()()d A L kdx A L -=--, 方程通解为:kx Ce L A -=-,即kx Ce A L --=将00|x L L ==代入得 C A L -=0,有00>-=L A C ,因此 kx e L A A x L ---=)()(0,(其中0,00><<k A L ).(2)由于A x L <)(所以()0dL k A L dx=->,从而()L x 是x 的单 调递增函数，又由A x L x =+∞→)(lim 且A L =显然是方程 )(L A k dx dL -=的解,A L =亦称为平衡解(点)，它可以由0dL dx =直 接得到.由于A x L x =+∞→)(lim ,此时称)(x L 是稳定的.(4) 经济意义:无论初始纯利润为0L是多少,随着广告费x 的增加,纯利润L 也会随之增加,但不可能无限增加,纯利润有极限A L =.也称之为渐进稳定.2）不稳定解举例:当0k >时，考虑微分方程(10)dB k B dt=-解0dB dt=得平衡点 10B =. 图中给出方程(10)dB k B dt=- 分别满足初始条件0|9t B ==及 0|11t B ==的两条解曲线.它们表示当0t =，B 在10的附近取值时，所得的解曲线当t →∞时，远离平衡解 10B =而去，此时称平衡点10B =为不稳定的平衡点.马尔萨斯于1798年提出了著名的人口指数增长模型:假设单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比,人口增长率为常数)0(>k ,记时刻t 的人口为)(t x ,初始时刻(0=t )的人口为0x ,求)(t x ,并讨论其稳定性.解: (1)因kx dt dx =,有kdt xdx =,方程通解为:kt Ce x =, 由于当0=t 时,0x x =,代入得0x C =,因此kt e x t x 0)(=,(其中0,00>>x k ).(2)由于+∞=+∞→)(lim t x t ,又0=x 显然是方程kx dt dx =的解, 0=x 亦称为平衡解(点).由于+∞=+∞→)(lim t x t ,此时称)(t x 是0=x 不稳定的.(3)模型意义:人口的数量随着时间的推移可以无限的增长. 这个模型与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻 合．一些人口增长率长期稳定不变的国家和地区用这个模型进行预 报，结令人满意．但是当人们用19世纪以后许多国家的人口统计资 料与指数增长模型比较时，却发现了相当大的差异.显然,用这个模 型预报的结果远远超过了实际人口的增长．3）平衡解的稳定性 设有方程)(x f dtdx =,且0)(0=x f . (1)平衡解:0x x =,表示一条水平直线;(2)稳定解:若给初始条件以一微小的改变,所得到的任一解)(t x 均 满足 0)(lim x t x t =+∞→,则称平衡解0x x =是稳定的; (3)不稳定解:若给初始条件以一微小的改变,所得到的任一解)(t x 当∞→t 时远离平衡0x x =而去,则称平衡解0x x =是不稳定的. 0)(lim x t x t =+∞→,则称平衡解0x x =为稳定的;在上面两个例子中,当0=C 时,得到平衡解A L =和0=x ; 而当取微小的0>C 时,由于A Ce A x L x k x x =-=-+∞→+∞→)(lim )(lim 22,+∞==+∞→+∞→kt t t Ce t x lim )(lim , 可见,A L =是稳定的,而0=x 是不稳定的.小结：1.认真审题，弄清所给方程的类型；根据方程类型按照相关 解法求解.2．对于齐次方程，作变量替换y u x =或x u y=；对于一阶线 性非齐次方程，要先解对应的齐次方程，对齐次方程通解中常 系数再作常数变异找出非齐次的特解，进而写出非齐次方程的 通解.非齐次方程解的结构：方程 )()(x Q y x P y =+'的通解 为 )()(10x y x y y +=.其中)(1x y 为非齐次方程的一个特解, )(0x y 为齐次方程的通解.3.注意解方程时引入的常系数，每一步变形后C 是否发生了变 化.课后记：不熟悉方程类型，不能正确判定所给方程的类型，存在运算问题.没有注意方程中的C 是否需要变化.。