【精准解析】2021高考数学(文)二轮(统考版)：仿真模拟专练(三)
2021年高三高考仿真(三)数学(文)
2021年高三高考仿真（三）数学（文）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程．第I 卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1.复数（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.函数的定义域为A. B.C. D. 3.已知等比数列{}122373,6n a a a a a +=+==满足，则aA.64B.81C.128D.2434.在给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若”的否命题为“若”；③“”的否定是“”；④在中，“”是“”的充要条件.其中不正确的命题的个数是A.4B.3C.2D.15.设变量x,y 满足约束条件，则目标函数的最小值为A.2B.3C.4D.96.执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y 的值为A.2B.5C.11D.237.如图，梯形，对角线AC 、DB 相交于点O.若A. B.C. D.8.已知集合{}21230,lg3x A x x x B x y x -⎧⎫=--==⎨⎬+⎩⎭＜，在区间上任取一实数x ，则“”的概率为A. B. C. D.9.函数的最大值与最小值之和为A. B.0 C. D.10.函数的部分图象是11.曲线的焦点F 恰好是曲线的右焦点，且曲线与曲线交点连线过点F ，则曲线的离心率是A. B. C. D.12.已知函数，则函数的零点个数是A.1B.2C.3D.4第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.下图是某几何体的三视图，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是_________.14.为了调查某厂生产某种产品的能力，随机抽查了部分工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)[)[)[)[)45,55,55,65,65,75,75,85,85,95，由此得到频率分布直方图如图.已知样本中一天生产该产品数量在有12人，则样本中一天生产该产品数量在的人数为_________.15.已知两点()()222,0,0220A B y x -+-=，，点C 是圆x 上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________.16.已知整数对的序列如下：（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（2,2）,（3,1）,（1,4）,（2,3）（3,2）,（4,1）,（1,5）,（2,4）则第57个数对是______.三、解答题：本大题共6小题，共74分，答题时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC 中，已知.（I ）求sinC 的值；（II ）若BC=10，D 为AB 的中点，求CD 的长.18.（本小题满分12分）某公司有男职员45名、女职员15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组。
广东省阳江市2021届新高考数学仿真第三次备考试题含解析
广东省阳江市2021届新高考数学仿真第三次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．35-【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值． 【详解】解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5fθ=-，所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D 【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．2．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=u u u u r u u u ru u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 33t OP t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u ur ,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判断()g t 的零点的个数,即为所求. 【详解】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以21,ln 333OM ON t OP t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u ru u u r ,依题意可得1ln 03t t+=, 设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t -'=-=, 当103t <<时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当13t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增,所以min1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭,1()ln 03g t t t∴=+=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C 【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用. 3．方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于( ) A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】 【分析】画出函数sin y x =π和12(1)y x =--的图像，sin y x =π和12(1)y x =--均关于点()1,0中心对称，计算得到答案. 【详解】2(1)sin 10x x π-+=，验证知1x =不成立，故1sin 2(1)x x π=--，画出函数sin y x =π和12(1)y x =--的图像，易知：sin y x =π和12(1)y x =--均关于点()1,0中心对称，图像共有8个交点，故所有解之和等于428⨯=. 故选：C .【点睛】本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点()1,0中心对称是解题的关键.4．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．26【答案】B 【解析】 【分析】由三视图可知，该三棱锥如图, 其中底面ABC 是等腰直角三角形，PC ⊥平面ABC ,结合三视图求出每个面的面积即可. 【详解】由三视图可知，该三棱锥如图所示：其中底面ABC 是等腰直角三角形，PC ⊥平面ABC , 由三视图知，2,22,PC AB ==因为,PC BC PC AC ⊥⊥,,AC BC AC CB =⊥,所以2,AC BC PA PB AB =====所以12222PAC PCB ACB S S S ∆∆∆===⨯⨯=, 因为PAB ∆为等边三角形，所以(22PABS AB ∆===所以该三棱锥的四个面中，最大面积为故选：B 【点睛】本题考查三视图还原几何体并求其面积; 考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2nx ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80C ．90D ．120【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y =-+，即322zy x =+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.52x ⎛ ⎝展开式的通项为：()()35552155221rr r r r r r r T C x C x---+⎛=⋅=⋅⋅-⋅ ⎝， 取2r =得到2x 项的系数为：()225252180C -⋅⋅-=.故选：B .【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6．已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅u u u r u u u r的取值范围为（ ）A ．9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]4,13C ．[]4,12D ．7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】首先将ME MF ⋅u u u r u u u r转化为21MT -u u u r ，只需求出MT 的取值范围即可，而MT 表示可行域内的点与圆心(1,1)T -距离，数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为(1,1)T -，则()()ME MF MT TE MT TF ⋅=+⋅+=u u u r u u u u r u u u r u u r u u u r u u u r22()()MT TE MT TE MT TE +⋅-=-u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r 21MT =-u u u r ,过T 作直线10x y -+=的垂线，垂足为B ，显然MB MT MA ≤≤，又易得(2,1)A -， 所以22[1(2)](11)13MA =--+--=223221(1)TB ==+-， 故ME MF ⋅u u u r u u u r 271[,12]2MT =-∈u u u r .故选：D. 【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.7．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y 轴交于点A ，线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）A ．2214036x y +=B ．2212016x y +=C ．221106x y +=D ．2215x y +=【答案】D 【解析】 【分析】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以122225a BF BF AF =+==5a =，故可得椭圆的方程.【详解】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以122225a BF BF AF =+==，得5a =，1b ∴=，所以椭圆的方程为2215x y +=.故选：D 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.8．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m=>，320x y +=可化为32y x =-32=，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.9．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（ ）A B ．3C D ．2【答案】A 【解析】 【分析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a =-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()2412222a b y y b a c=-，根据向量关系化简到229b a =，得到离心率.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-.联立2222, 1,bx y cax ya b⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b--+=，则()()3241212222222,ab a by y y yb ac b a c+==--.因为11122OP OF OQ=+u u u r u u u r u u u r，所以P为线段1QF的中点，所以212y y=，()()()()22622221222222224124942a b b a cy y by y b ab ac a b-+===⋅--，整理得229b a=，故该双曲线的离心率10e=.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．3 C．113D．4【答案】C【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如图所示：故：11111 2221122323 V=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题. 11．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为ˆy=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（x，y）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg【答案】D【解析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y 与x 具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（,x y），B正确；该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．故选D．12．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A ．56B ．60C ．140D ．120【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷三文含解析
高考仿真模拟卷(三)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＜0}，B ＝{x |－x 2＋x ＜0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－∞，0)∪[1，＋∞) B ．(－∞，0]∪(1，＋∞) C ．[0，1)D ．[0，1]2．已知复数z 1＝3＋4i ，复平面内，复数z 1与z 3所对应的点关于原点对称，z 3与z 2关于实轴对称，则z 1·z 2＝( )A ．－25B ．25C ．－7D ．73．抛掷红、蓝两枚骰子，当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于9的概率是( )A.12B.29C.13D.1124．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( )A.47尺B.1629尺C.815尺D.1631尺 5．函数f (x )＝x ln |x |的大致图象是( )6．已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在第二象限，A (x ，y )是其终边上一点，向量m ＝(3，4)，若m ⊥OA →，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.177．已知数列{a n }的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＋a 4＝7，a 5＋a 6＝13，则a 7＋a 8＝( )A ．4＋ 2B ．19C ．20D ．238．如图所示的程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．若输入的m ，n 分别为385，105，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数，例：11 MOD 7＝4)，则输出的m 等于( )A ．0B ．15C ．35D ．709．在△ABC 中，点D 为边AB 上一点，若BC ⊥CD ，AC ＝32，AD ＝3，sin ∠ABC ＝33，则△ABC 的面积是( )A ．6 2 B.1522 C.922D ．12 210．已知点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 外接球的球心O 恰好在侧棱DA 上，DC ＝23，则四面体ABCD 的体积为( )A.33 B.32 C.233D. 3 11.如图，已知点P 在以F 1，F 2为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形F 1F 2PQ 为菱形，则该双曲线的离心率为( )A. 3B.3＋12C ．2D ．23－112．已知函数f (x )在(0，1)恒有xf ′(x )＞2f (x )，其中f ′(x )为函数f (x )的导数，若α，β为锐角三角形的两个内角，则( )A ．sin 2βf (sin α)＞sin 2αf (sin β)B ．cos 2βf (sin α)＞sin 2αf (cos β)C ．cos 2βf (cos α)＞cos 2αf (cos β)D ．sin 2βf (cos α)＞sin 2αf (cos β) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________．14．如图是某班8位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的众数和中位数分别为________．89⎪⎪⎪6 60 1 3 3 3 615．已知△ABC 中，AB >AC ，AB →·AC →＝6，BC ＝13，∠A ＝60°，若M 是BC 的中点，过M 作MH ⊥AB 于H ，则MH →·BC →＝________.16．若函数f (x )＝a ln x －x ＋a ＋3x在定义域内无极值，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：A 配方的频数分布表指标值分组 [90，94)[94，98) [98，102)[102，106)[106，110]频数82042228B 配方的频数分布表(1)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，t <942，94≤t <1024，t ≥102，估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述产品平均每件的利润．18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －a ，n ∈N *.设公差不为零的等差数列{b n }满足：b 1＝a 1＋2，且b 2＋5，b 4＋5，b 8＋5成等比数列．(1)求a 的值及数列{b n }的通项公式； (2)设数列{log 2a n }的前n 项和为T n .求使T n >b n 的最小正整数n .19．(本小题满分12分)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝3，∠ACB＝90°，又点B1在底面ABC上的射影D落在BC上，且BC＝3BD.(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；(2)求三棱锥B1ABC1的体积．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －1)e x ＋1，x ∈[0，1]． (1)证明：f (x )≥0；(2)若a <e x －1x <b 在x ∈(0，1)上恒成立，求b －a 的最小值．21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F (1，0)，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，直线AO ，BO 分别与直线m ：x ＝－2相交于M ，N 两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明：△ABO 与△MNO 的面积之比为定值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θ，y ＝－22＋r sin θ(θ为参数，r ＞0)．以O为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.(1)写出圆心的极坐标；(2)求当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3.23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设f (x )＝|ax －1|.(1)若f (x )≤2的解集为[－6，2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x ∈R ，使得不等式f (2x ＋1)－f (x －1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围．高考仿真模拟卷(三)1．解析：选C.因为A ＝(－2，1)，B ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以∁R B ＝[0，1]，A ∩(∁R B )＝[0，1)，选C.2．解析：选A.由复数z 1与z 3所对应的点关于原点对称，z 3与z 2关于实轴对称可得， 复数z 1与z 2所对应的点关于虚轴对称，z 1＝3＋4i ，所以z 2＝－3＋4i ， 所以z 1·z 2＝(3＋4i)(－3＋4i)＝－25.3．解析：选C.抛掷红、蓝两枚骰子，第一个数字代表红色骰子，第二个数字代表蓝色骰子，当红色骰子点数为偶数时，有18种，分别为：(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，其中两颗骰子点数之和不小于9的有6种，分别为：(4，5)，(4，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，所以当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于9的概率是P ＝618＝13.故选C.4．解析：选B.本题可以转为等差数列问题：已知首项a 1＝5，前30项的和S 30＝390，求公差d .由等差数列的前n 项公式可得，390＝30×5＋30×292d ，解得d ＝1629.5．解析：选A.因为函数f (x )＝x ln |x |，可得f (－x )＝－f (x )，f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除C ，D ；当x ＞0时，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＞0得x ＞1e ，得出函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上是增函数，排除B ，故选A.6．解析：选D.由m ⊥OA →，得3x ＋4y ＝0，即y ＝－34x ，所以tan α＝－34，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝⎛⎭⎫－34＝17.7．解析：选D.设奇数项的公差为d ，偶数项的公比为q ，由a 3＋a 4＝7，a 5＋a 6＝13，得1＋d ＋2q ＝7，1＋2d ＋2q 2＝13，解得d ＝2，q ＝2，所以a 7＋a 8＝1＋3d ＋2q 3＝7＋16＝23，故选D.8．解析：选C.第一次循环r ＝70，m ＝105，n ＝70；第二次循环r ＝35，m ＝70，n ＝35；第三次循环r ＝0，m ＝35，n ＝0.故输出的m 等于35.9．解析：选A.在△ADC 中，因为AC ＝32，AD ＝3，cos ∠ADC ＝cos ⎝⎛⎭⎫∠ABC ＋π2＝－sin ∠ABC ＝－33，所以代入AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠ADC ，可得DC 2＋2DC －15＝0，舍掉负根有DC ＝3.所以BC ＝DC cot ∠ABC ＝3 2. AB ＝AD ＋BD ＝AD ＋DCsin ∠ABC＝3＋33＝4 3.于是根据三角形的面积公式有：S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12·43·32·33＝6 2.故选A.10．解析：选C.由AB ＝BC ＝2，AC ＝2，可知∠ABC ＝π2，取AC 的中点M ，则点M 为△ABC 外接圆的圆心，又O 为四面体ABCD 的外接球球心， 所以OM ⊥平面ABC ，且OM 为△ACD 的中位线，所以DC ⊥平面ABC ， 故三棱锥D -ABC 的体积为V ＝13×12×2×2×23＝233.故选C.11．解析：选B.由题意知四边形F 1F 2PQ 的边长为2c ，连接QF 2，由对称性可知，|QF 2|＝|QF 1|＝2c ，则三角形QPF 2为等边三角形．过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，则∠PF 2H ＝60°，因为|PF 2|＝2c ，所以在直角三角形PF 2H 中，|PH |＝3c ，|HF 2|＝c ，则P (2c ，3c )，连接PF 1，则|PF 1|＝23c .由双曲线的定义知，2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝23c －2c ＝2(3－1)c ，所以双曲线的离心率为c a ＝13－1＝3＋12.12．解析：选B.令g (x )＝f （x ）x 2，则g ′(x )＝x 2f ′（x ）－2xf （x ）x 4＝xf ′（x ）－2f （x ）x 3，由于x ∈(0，1)，且xf ′(x )＞2f (x )，所以g ′(x )＞0，故函数g (x )在(0，1)上单调递增．又α，β为锐角三角形的两个内角，则π2＞α＞π2－β＞0，所以1＞sin α＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－β＞0，即1＞sin α＞cos β＞0，所以g (sin α)＞g (cos β)，即f （sin α）sin 2α＞f （cos β）cos 2β，所以cos 2βf (sin α)＞sin 2αf (cos β)．13．解析：依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫ba＋4ab≥12⎝⎛⎭⎫5＋2ba·4ab＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＝2，ba＝4ab，a>0，b>0，即a＝23，b＝43时取等号，即1a＋4b的最小值是92.答案：9214．解析：依题意，结合茎叶图，将题中的数由小到大依次排列得到：86，86，90，91，93，93，93，96，因此这8位学生得分的众数是93，中位数是91＋932＝92.答案：93，9215．解析：由AB→·AC→＝6，∠A＝60°，可得|AB→|·|AC→|＝12，又在△ABC中，13＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A，所以AB2＋AC2＝25，因为AB>AC，所以AB＝4，AC＝3.以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(4，0)，C⎝⎛⎭⎫32，332，所以BC→＝⎝⎛⎭⎫－52，332，因为M是BC的中点，所以M⎝⎛⎭⎫114，334，H⎝⎛⎭⎫114，0，所以MH→＝⎝⎛⎭⎫0，－334，所以MH→·BC→＝－278.答案：－27816．解析：函数f(x)＝a ln x－x＋a＋3x在定义域(0，＋∞)内无极值等价于f′(x)≥0或f′(x)≤0在定义域(0，＋∞)内恒成立．因为f′(x)＝ax－1－a＋3x2＝－x2＋ax－（a＋3）x2，设g(x)＝－x2＋ax－(a＋3)，则g(x)≥0或g(x)≤0在(0，＋∞)内恒成立，可分两种情况进行讨论，即方程g(x)＝－x2＋ax－(a＋3)＝0无解或只有小于等于零的解，因此Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a 2≤0，g （0）≤0，解得－2≤a ≤6或－3≤a ≤－2.故实数a 的取值范围为[－3，6]． 答案：[－3，6]17．解：(1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3， 所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42， 所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0时，其质量指标值t ≥94， 由试验结果知，指标值t ≥94的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B 配方生产的产品平均每件的利润为1100×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)． 18．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1.因为{a n }为等比数列，所以2－a ＝1，解得a ＝1.所以a n ＝2n －1.设数列{b n }的公差为d .因为b 2＋5，b 4＋5，b 8＋5成等比数列，所以(b 4＋5)2＝(b 2＋5)(b 8＋5)，又b 1＝3，所以(8＋3d )2＝(8＋d )(8＋7d )，解得d ＝0(舍去)或d ＝8.所以b n ＝8n －5.(2)由a n ＝2n －1，得log2a n ＝2(n －1)， 所以{log 2a n }是以0为首项，2为公差的等差数列，所以T n ＝n （0＋2n －2）2＝n (n －1)． 由b n ＝8n －5，T n >b n ，得n (n －1)>8n －5，即n 2－9n ＋5>0，因为n ∈N *，所以n ≥9.故所求n 的最小正整数为9.19．解：(1)证明：因为点B 1在底面ABC 上的射影D 落在BC 上，所以B 1D ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以B 1D ⊥AC ，又∠ACB ＝90°，所以BC ⊥AC ，又B 1D ∩BC ＝D ，所以AC ⊥平面BB 1C 1C .(2)因为B 1D ⊥平面ABC ，所以B 1D ⊥BC ，又BD ＝1，B 1B ＝AA 1＝3，所以B 1D ＝BB 21－BD 2＝22，所以四边形B 1BCC 1的面积S 四边形B 1BCC 1＝3×22＝62，所以S △B 1BC 1＝12S 四边形B 1BCC 1＝3 2. 由(1)知AC ⊥平面BB 1C 1C ，故三棱锥A -B 1BC 1的高为AC ＝3，所以VB 1ABC 1＝VA B 1BC 1＝13×32×3＝3 2. 20．解：(1)证明：因为f ′(x )＝x e x ≥0，即f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0，结论成立．(2)令g (x )＝e x －1x ，则g ′(x )＝（x －1）e x ＋1x 2>0，x ∈(0，1)， 所以，当x ∈(0，1)时，g (x )<g (1)＝e －1，要使e x －1x<b ，只需b ≥e －1. 要使e x －1x>a 成立，只需e x －ax －1>0在x ∈(0，1)上恒成立． 令h (x )＝e x －ax －1，x ∈(0，1)，则h ′(x )＝e x －a ，由x ∈(0，1)，得e x ∈(1，e)，①当a ≤1时，h ′(x )>0，此时x ∈(0，1)，有h (x )>h (0)＝0成立，所以a ≤1满足条件； ②当a ≥e 时，h ′(x )<0，此时x ∈(0，1)，有h (x )<h (0)＝0，不符合题意，舍去；③当1<a <e 时，令h ′(x )＝0，得x ＝ln a ，可得当x ∈(0，ln a )时，h ′(x )<0，即x ∈(0，ln a )时，h (x )<h (0)＝0，不符合题意，舍去．综上，a ≤1.又b ≥e －1，所以b －a 的最小值为e －2.21．解：(1)由焦点坐标为(1，0)，可知p 2＝1，所以p ＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：当直线l 垂直于x 轴时，△ABO 与△MNO 相似，所以S △ABO S △MNO ＝⎝⎛⎭⎫|OF |22＝14； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．设M (－2，y M )，N (－2，y N )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(4＋2k 2)x ＋k 2＝0，所以x 1·x 2＝1. 所以S △ABO S △MNO＝12·|AO |·|BO |·sin ∠AOB 12·|MO |·|NO |·sin ∠MON ＝|AO ||MO |·|BO ||NO |＝x 12·x 22＝14. 综上，S △ABO S △MNO ＝14. 22．解：(1)由已知可得圆心O 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，－22，所以圆心O 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，5π4. (2)由直线l 的极坐标方程可得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝|－2－1|2，圆O 上的点到直线l 的距离的最大值为|－2－1|2＋r ＝3，解得r ＝2－22. 23．解：(1)显然a ≠0，当a ＞0时，解集为⎣⎡⎦⎤－1a ，3a ，则－1a ＝－6，3a＝2，无解； 当a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤3a ，－1a ，令－1a ＝2，3a ＝－6，得a ＝－12. 综上所述，a ＝－12. (2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －4，x ≤－14，6x －2，－14＜x ＜32，2x ＋4，x ≥32， 由此可知，h (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，－14上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－14，32上单调递增，在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上单调递增，则当x ＝－14时，h (x )取到最小值－72，由题意知，－72≤7－3m ，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，72.。
2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷(3)(附答案详解)
2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷（3）1. 已知集合A ={x|x >1}，则下列关系中正确的是( )A. 0⊆AB. {0}⊆AC. ⌀⊆AD. {0}∈A2. 已知x 是实数，则使x 2<4成立的一个必要不充分条件是( )A. x <−2B. x <2C. |x|<2D. −1<x <13. 若a ，b ，c ，d 为实数，则下列命题正确的是( )A. 若a <b ，则a|c|<b|c|B. 若ac 2<bc 2，则a <bC. 若a <b ，c <d ，则a −c <b −dD. 若a <b ，c <d ，则ac <bd4. 当0≤x ≤2时，a <−x 2+2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,0]C. (−∞,0)D. (0,+∞)5. 下列各图中，可表示函数y =f(x)图象的只可能是( )A.B.C.D.6. 若函数f(x)=(m 2−2m −2)x m−1是幂函数，则m =( )A. 3B. −1C. 3或−1D. 1±√37. 计算(94) 12−(− 2.5)0−(827)23+(32)− 2的结果为( )A. 52B. 12C. 2518D. 328. 已知函数f(x)=4+a x+1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A. (−1,5)B. (−1,4)C. (0,4)D. (4,0)9. 设a =213，b =(14)23，c =log 212，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a10. 已知tanα=4，则cos2α=( )A. 725B. −725C. 1517D. −151711. 化简cos16°cos44°−cos74°sin44°的值为( )A. √32B. −√32C. 12D. −1212. 函数y =2sin(12x +π4)的周期，振幅，初相分别是( )A. π4,2,π4B. 4π,−2,−π4C. 4π,2,π4D. 2π,2,π413.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，且(2a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，则|a⃗−2b⃗ |=()A. 1B. √3C. 2D. √514.在△ABC中，BC=1，AB=√3，C=π3，则A=()A. π6或5π6B. π6C. π3或2π3D. π315.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=√5，c=2，cosB=3√510，则b=()A. √2B. √3C. 2D. 316.正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为()A. 2√33B. 2√23C. 83D. 817.下列命题中正确的是()A. 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//αB. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C. 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行D. 垂直于同一个平面的两条直线互相平行18.把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为()A. 23B. 13C. 35D. 1419.如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年～2018年()A. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C. 财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D. 城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大20. 如图，在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是AB 1，BC 1的中点，则以下结论中不． 成立．．的是( )A. EF 与BB 1垂直B. EF 与BD 垂直C. EF 与CD 异面D. EF 与A 1C 1异面21. 已知x >0，y >0，则(2x +y)(1x +2y )的最小值为______． 22. 已知函数f(x)={2−x,x ∈[0,2]x,x ∈(2,4]，则f(1)+f(3)=______．23. 已知角α的终边经过点P(3,4)，则cosa = ______ ． 24. 已知sin(α+π6)=13，则cos(π3−α)= ______ ．25. 复数2i1+i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第______象限． 26. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M ，N 分别为棱AC ，A 1B 1的中点，且AB =BC (1)求证：平面BMN ⊥平面ACC 1A 1 (2)求证：MN//平面BCC 1B 127.2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位：小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求该校学生学习的周均时长的众数的估计值；(2)估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率．28.在①sinA−sinCb =sinA−sinBa+c，②2ccosC=acosB+bcosA这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____．(1)求角C；(2)若c=√5,a+b=√11，求△ABC的面积．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断．根据集合A中元素满足的性质x>1，逐一判断四个答案中的四个元素是否满足该性质，即可得到结论【解答】解：∵集合A={x|x>1}，A中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故A错误；B中，0>1不成立，∴{0}⊆A不对，故B错误；C中，空集是任何集合的子集，故C正确；D中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故D错误；故选：C．2.【答案】B【解析】解：由x2<4得−2<x<2，则使x2<4成立的一个必要不充分条件，则x<2，满足条件，故选：B．先求出不等式的等价条件，利用必要不充分条件与集合关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出不等式的等价条件是解决本题的关键，是基础题．3.【答案】B【解析】解：若a<b，则a|c|≤b|c|(|c|=0时“=”成立)，故A错误；若ac2<bc2，则c2>0，则a<b，故B正确；若a<b，c<d，则−d<−c，得a−d<b−c，故C错误；若a<b<0，c<d<0，则ac>bd，故D错误．∴正确的命题是B．故选：B．由不等式的基本性质逐一核对四个选项得答案．本题考查不等式的基本性质，考查命题的真假判断与应用，是基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了运用函数的思想解决恒成立问题，转化为最值问题求解．构造函数g(x)=−x2+2x，0≤x≤2，求最值解得a的范围．【解答】解：构造函数g(x)=−x2+2x=−(x−1)2+1，0≤x≤2，根据二函数单调性，g(x)min=g(0)=g(2)=0，g(x)max=g(1)=1，∴g(x)∈[0,1]，∵a<−x2+2x恒成立，∴a<0，故选：C5.【答案】D【解析】解：根据题意，函数的定义：定义域中任意一个元素x只能对应值域的一个元素，即与x轴垂直的直线与函数图象最多只有一个交点，分析选项，只有D符合；故选：D．根据题意，由函数的定义中对应关系分析：与x轴垂直的直线与函数图象最多只有一个交点，据此分析可得答案．本题考查函数的定义，注意函数定义中的对应关系，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了幂函数的概念，属于基础题．利用幂函数的定义直接求解．【解答】解：因为函数f(x)=(m2−2m−2)x m−1是幂函数，所以m 2−2m −2=1，解得m =−1或m =3． 故选：C ．7.【答案】B【解析】解：原式=(32)2×12−1−(23)3×23+(23)2=32−1−(23)2+(23)2=12．故选：B ．利用有理指数幂的运算性质进行求解即可．本题考查了有理指数幂的运算性质的应用，考查了化简运算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：依题意知，当x +1=0，即x =−1时，函数f(x)=4+a x+1的图象恒过定点(−1,4+a 0)，即(−1,5)． 故定点P 的坐标是(−1,5)． 故选：A ．依题意，当x +1=0时，函数f(x)=4+a x+1的图象恒过定点，从而可得答案． 本题考查指数函数的性质，考查函数过定点问题，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：∵a =213>20=1，0<b =(14)23<(14)0=1，c =log 212<log 21=0，∴a >b >c ． 故选：A ．利用有理指数幂与对数的运算性质比较a ，b ，c 与0和1的大小得答案． 本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．10.【答案】D【解析】解：tanα=4，则cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2αtan 2α+1=1−1616+1=−1517，故选：D ．由题意利用二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，求出结果． 本题主要考查二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：cos16°cos44°−cos74°sin44°=cos16°cos44°−sin16°sin44°=cos(16°+44°)=cos60°=12，故选：C．利用诱导公式化cos74°为sin16°，再由两角和的余弦得答案．本题考查两角和与差的三角函数，是基础的计算题．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义，解题的关键是理解A，ω，φ的意义，属于基础题．本题的函数解析式已知，由其形式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期，对照四个选项得出正确选项．【解答】解：∵函数y=2sin(12x+π4)，∴振幅是2，初相是π4，又x的系数是12，故函数的周期是T=2π12=4π，故选：C．13.【答案】B【解析】解：a⃗，b⃗ 为单位向量，且(2a⃗−b⃗ )⊥b⃗ ，可得(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =2a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=0，所以，2a⃗⋅b⃗ =b⃗ 2=1，则|a⃗−2b⃗ |=√a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=√3．故选：B．利用已知条件求出向量数量积为0，推出a⃗⋅b⃗ =1，然后求解向量的模即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，是基本知识的考查．14.【答案】B【解析】解：∵BC=1，AB=√3，C=π3，由正弦定理可得，1sinA =√3√32，∴sinA=12，∵A∈(0,π)且AB>BC，∴C>A，则A=π6故选：B．由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可求解．本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．15.【答案】B【解析】解：∵a=√5，c=2，cosB=3√510，∴由余弦定理可得：b=√a2+c2−2accosB=√5+4−2×√5×2×3√510=√3．故选：B．由已知利用余弦定理即可求解b的值．此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．16.【答案】C【解析】解：∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积V=13Sℎ=13×22×2=83．故选：C．利用正四棱锥的体积公式直接求解．本题考查正四棱锥的体积的求法，考查正四棱锥的体积公式等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．17.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中的位置关系，是基础题．根据题意，逐项判断即可．【解答】解：在A中，直线l上有无数个点不在平面α内，则l与α相交或平行，故A错误；在B中，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或另一条在这个平面上，故B错误；在C中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相交、平行或异面，故C错误；在D中，由线面垂直的性质定理得垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故D正确．故选：D．18.【答案】B【解析】解：把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，基本事件总数n=C31A33=18，2，3连号包含的基本事件个数m=A33=6，∴2，3连号的概率为P=mn =618=13．故选：B．基本事件总数n=C31A33=18，2，3连号包含的基本事件个数m=A33=6，由此能求出2，3连号的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】AD【解析】解：由图知财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势，A对．由图知城乡居民储蓄年末余额的年增长速度高于财政预算内收入的年增长速度，B错．由图知财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长，C错．由图知城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大，D对．故选：AD．根据图分析每一个结论．本题考查简单的逻辑推理，属于基础题．20.【答案】D【解析】【分析】本题考查异面直线的判定，考查空间想象能力，是基础题．观察正方体的图形，连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1中点，推出EF//A 1C 1，分析可得答案．【解答】解：连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1中点，三角形B 1AC 中，EF = //12AC ，所以EF//平面ABCD ， 而B 1B ⊥面ABCD ，所以EF 与BB 1垂直；又AC ⊥BD ，所以EF ⊥BD ，EF 与CD 异面．由EF = //12AC ，AC//A 1C 1得EF//A 1C 1，∴EF 与A 1C 1共面． 故选：D ．21.【答案】8【解析】解：因为x >0，y >0，则(2x +y)(1x +2y )=4+4x y +y x ≥4+2√4x y ×y x =8； 当且仅当2x =y 时取号，即(2x +y)(1x +2y )的最小值为8；故答案为：8．展开多项式乘多项式，然后利用基本不等式求最值．本题考查利用基本不等式求最值，是基础题． 22.【答案】4【解析】解：∵函数f(x)={2−x,x ∈[0,2]x,x ∈(2,4], ∴f(1)=2−1=1，f(3)=3，∴f(1)+f(3)=1+3=4．故答案为：4．推导出f(1)=1，f(3)=3，由此能求出f(1)+f(3)．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】35【解析】解：由题意得角α的终边经过点P(3,4)，则|OP|=5，所以cosa=x|OP|=35，故答案为：35．由题意和任意角的三角函数的定义求出cos a的值即可．本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．24.【答案】13【解析】解：由诱导公式可得cos(π3−α)=sin[π2−(π3−α)]=sin(α+π6)=13．故答案为：13由诱导公式可得cos(π3−α)=sin[π2−(π3−α)]=sin(α+π6)，代入已知可得．本题考查三角函数的诱导公式，属基础题．25.【答案】一【解析】解：复数2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i(1−i)2=i+1在复平面所对应的点(1,1)位于第一象限．故答案为：一．利用复数的运算法则和几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义等基础知识，属于基础题．26.【答案】证明：(1)因为M为棱AC的中点，且AB=BC，所以BM⊥AC，又因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC因为BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM又因为AC，A1A⊂平面ACC1A1且AC∩A1A=A，所以BM⊥平面ACC1A1因为BM⊂平面BMN，所以：平面BMN⊥平面ACC1A1(2)取BC的中点P，连接B1P和MP因为M、P为棱AC、BC的中点，所以MP//AB，且MP=12AB，因为ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以A1B1//AB，AB=AB因为N为棱A1B1的中点，所以B1N//BA，且B1N=12BA；所以B1N//PM，且B1N=PM；所以MNB1P是平行四边形，所以MN//PB1又因为MN⊄平面BCC，PB1⊂平面BCC1B1所以MN//平面BCC1B1注意：也可以取C1B1的中点，同理用线面平行的判定定理证得)(说明：如用面面平行的性质定理证的话，一定先证线面平行，得到面面平行，再用面面平行的性质定理证得)．【解析】(1)利用线线垂直BM⊥AC，AA1⊥BM可得线面垂直BM⊥平面ACC1A1，再有线面垂直得平面BMN⊥平面ACC1A1(2)利用证明MNB1P是平行四边形得证MN//平面BCC1B1本题考查线面垂直，面面垂直的判定定理和性质定理，线面平行的性质和判定定理．考查证明平行垂直的线的关系，属于中档题．27.【答案】解：(1)根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，故由频率最大区间为[20,30)，则众数为20+302=25；(2)由图知：不少于30小时的区间有[30,40)，[40,50)，故该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率P=0.03×10=0.3．【解析】(1)根据直方图，频率最大的区间中点的横坐标为众数即可求众数；(2)由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)，[40,50)，它们的频率之和即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的频率．本题考查了根据直方图求众数，概率，应用了众数的概念，频率法求概率，是基础题．28.【答案】解：若选择①，sinA−sinCb =sinA−sinBa+c，(1)由正弦定理可得：a−cb =a−ba+c，整理可得：a2+b2−c2=ab，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab =ab2ab=12，因为C∈(0,π)，所以C=π3．(2)因为C=π3，c=√5,a+b=√11，所以由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，可得5=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab= 11−3ab，解得ab=2，所以S△ABC=12absinC=12×2×√32=√32．若选择②，2ccosC=acosB+bcosA，(1)由正弦定理可得：2sinCcosC=sinAcosB+sinBcosA=sinC，因为C为三角形内角，sinC≠0，所以可得cosC=12，因为C∈(0,π)，所以C=π3．(2)因为C=π3，c=√5,a+b=√11，所以由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，可得5=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab= 11−3ab，解得ab=2，所以S△ABC=12absinC=12×2×√32=√32．【解析】若选择①，(1)由正弦定理化简已知等式可得a2+b2−c2=ab，由余弦定理可得cosC=12，结合范围C∈(0,π)，可求C的值．(2)由题意利用余弦定理可求得ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．若选择②，(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinCcosC=sinC，结合C为三角形内角，sinC≠0，可得cosC=12，结合范围C∈(0,π)，可求C的值．(2)由题意利用余弦定理可求得ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。
2021年高考数学(文数)仿真模拟试卷三教师版
2021年高考数学(文数)仿真模拟试卷三一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.设集合A={-1,0,1,2,3},B={x||x|≤2},则A∩B等于( )A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{1,2}【答案解析】答案为：A；解析：因为集合A={-1,0,1,2,3},B={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2},所以A∩B={-1,0,1,2}.故选A.2.已知i是虚数单位,若a+bi=-(a,b∈R),则a+b的值是( )A.0B.-iC.-D.【答案解析】答案为：D；解析：因为a+bi=-==,所以a=,b=0,a+b=.3.如图是近三年某市生产总值增速(累计,%)的折线统计图,据该市统计局初步核算,2018年一季度全区生产总值为1 552.38亿元,与去年同一时期相比增长12.9%(如图,折线图中其他数据类同).根据统计图得出正确判断是( )A.近三年该市生产总值为负增长B.近三年该市生产总值为正增长C.该市生产总值2016年到2017年为负增长,2017年到2018年为正增长D.以上判断都不正确【答案解析】答案为：B；解析：由折线统计图可知,增长率都是大于0的,故近三年该市生产总值为正增长,故选B.4.已知a=log5,b=log30.6,c=0.21.2,则( )3A.b<c<aB.a<c<bC.c<b<aD.a<b<c【答案解析】答案为：A；解析：由题意得a=log35>1,b=log30.6<0,0<c=0.21.2<1,所以b<c<a.故选A.5.已知M是△ABC所在平面内一点,++4=0,现将一个质点随机撒在△ABC内,则质点落在△MBC内的概率是( )A. B. C. D.【答案解析】答案为：C；解析：由++4=0得+=-4,设BC边的中点为D,则2=-4,即=-2,=,=,所以质点落在△MBC内的概率是,故选C.6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,俯视图中的两条曲线均为圆弧,则该几何体的体积为( )A.64-B.64-8πC.64- .64-【答案解析】答案为：C；解析：根据三视图画出该几何体的直观图.该几何体是一个棱长为4的正方体切去一个圆柱和一个圆锥.圆锥、圆柱底面半径为2,高为4.所以V=43-(4×22π+×22π×4)=64-π.故选C.7.已知函数f(x)=cos(4x-),将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的一个单调递增区间为( )A.[-,]B.[-,]C.[,]D.[,]【答案解析】答案为：B；解析：函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得y=cos(2x-),再将所得函数图象向右平移个单位,得g(x)=cos[2(x-)-]=cos(2x-)=sin 2x,由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以[-,]符合.故选B.8.已知函数f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)( )A.有最小值-1,最大值1B.有最大值1,无最小值C.有最小值-1,无最大值D.有最大值-1,无最小值【答案解析】答案为：C；解析：作出函数g(x)=1-x2和函数|f(x)|=|2x-1|的图象如图1所示,得到函数h(x)的图象如图2所示,由图象得出函数h(x)有最小值-1,无最大值.9.定义[x]表示不超过x的最大整数,(x)=x-[x],例如[2.1]=2,(2.1)=0.1,执行如图所示的程序框图,若输入的x=5.8,则输出的z等于( )A.-1.4B.-2.6C.-4.6D.-2.8【答案解析】答案为：C；解析：模拟程序的运行,可得x=5.8,y=5-1.6=3.4,x=5-1=4;满足条件x≥0,执行循环体,x=1.7,y=1-1.4=-0.4,x=1-1=0;满足条件x≥0,执行循环体,x=-0.2,y=-1-1.6=-2.6,x=-1-1=-2;不满足条件x≥0,退出循环,z=-2+(-2.6)=-4.6.输出z的值为-4.6.故选C.10.如果实数x,y满足关系又≥λ恒成立,则λ的取值范围为( )A.(-∞,1.8]B.(-∞,3]C.[1.8,+∞)D.(3,+∞)【答案解析】答案为：A；解析：设z==2+,z的几何意义是区域内的点到D(3,1)的斜率值加2,作出实数x,y满足关系对应的平面区域如图:由图形,可得C(0.5,1.5),由图象可知,直线CD的斜率最小值为=-0.2,所以z的最小值为1.8,所以λ的取值范围是(-∞,1.8].故选A.11.已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)有相同的焦点F,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点M(-3,t),|MF|=,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案解析】答案为：C；解析：由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为F(,0),准线方程为x=-,由M在抛物线的准线上,则-=-3,则p=6,则焦点坐标为F(3,0),所以|MF|==,则t2=,解得t=±,双曲线的渐近线方程是y=±x,将M代入渐近线的方程=3×,即=,则双曲线的离心率为e===,故选C.12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其导函数为f′(x),若对任意的正实数x,都有xf′(x)+2f(x)>0恒成立,且f()=1,则使x2f(x)<2成立的实数x的集合为( )A.(-∞,-)∪(,+∞)B.(-,)C.(-∞,)D.(,+∞)【答案解析】答案为：C；解析：构造函数g(x)=x2f(x),当x>0时,依题意有g′(x)=x[xf′(x)+2f(x)]>0,所以函数g(x)在x>0上是增函数,由f(x)是奇函数,可知g(x)也是R上的奇函数,故g(x)在x<0时,也为增函数,且g(0)=0,g()=2f()=2,所以不等式x2f(x)<2⇔g(x)<g(),根据单调性有x<,故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为.【答案解析】答案为：(x-1)2+y2=4解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),准线为x=-1,故所求圆的圆心为(1,0),半径为2,所以该圆的标准方程为(x-1)2+y2=4.14.在三棱锥P ABC中,侧棱PA,PB,PC两两垂直,PA=1,PB=2,PC=3,则三棱锥的外接球的表面积为.【答案解析】答案为：14π解析:由题知,三棱锥P ABC的外接球的直径为=,则球的表面积为4π()2=14π.15.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若=,sin B=,S=,△ABC 则b的值为.【答案解析】答案为：解析:由正弦定理知==.所以a= c.又sin B=,则由S△ABC=acsin B=×c×c×==.故c2=4,则c=2.此时a=5.由sin B=及B为锐角知cos B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=14.故b=.16.设函数f(x)=若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.【答案解析】答案为：[,]∪[3,+∞)解析:若x<1时,函数h(x)=3x-a有一个零点,则0<a<3,而此时函数g(x)=π(x-3a)(x-2a)只有一个零点,所以解得≤a<,若x<1时,函数h(x)=3x-a没有零点,则a≤0或a≥3,函数g(x)=π(x-3a)(x-2a)必有两个零点,所以a≥3,综上,a∈[,)∪[3,+∞).三、解答题（本大题共7小题，共70分）17.已知数列{a}的前n项和为S n,a1=2,且满足a n+1=S n+2n+1(n∈N*).n(1)证明数列{}为等差数列;(2)求S1+S2+…+S n.【答案解析】 (1)证明:由条件可知,S n+1-S n=S n+2n+1,即S n+1-2S n=2n+1,整理得-=1,所以数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)解:由(1)可知,=1+n-1=n,即S n=n·2n,令T n=S1+S2+…+S n=1·2+2·22+…+n·2n,①2T n=1·22+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②①-②得-T n=2+22+…+2n-n·2n+1,整理得T n=2+(n-1)·2n+1.18.某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋),得到如下统计表:(1)根据所给5组数据,求出y关于x的线性回归方程y=x+;(2)已知购买原材料的费用C(元)与数量t(袋)的关系为C=投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元,多余的原材料只能无偿返还,据悉本次交易大会大约有15万人参加,根据(1)中求出的线性回归方程,预测餐厅应购买多少袋原材料,才能获得最大利润,最大利润是多少?(注:利润L=销售收入-原材料费用)参考公式:==,=-.参考数据:x i y i=1 343,=558,=3 237.【答案解析】解:(1)由所给数据可得==10.4,==25,===2.5,=-=25-2.5×10.4=-1,则y关于x的线性回归方程为y=2.5x-1.(2)由(1)中求出的线性回归方程知,当x=15时,y=36.5,即预计需要原材料36.5袋,因为C=当t=35时,利润L=700×35-(400×35-20)=10 520;当t=36时,利润L=700×36-380×36=11 520,当t=37时,利润L=700×36.5-380×37=11 490.综上所述,餐厅应该购买36袋原材料,才能使利润获得最大,最大利润为11 520元.19.如图,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,PD⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2a,DA=a,E为BC中点.(1)求证:平面PBC⊥平面PDE;(2)线段PC上是否存在一点F,使PA∥平面BDF?若存在,请找出具体位置,并进行证明:若不存在,请分析说明理由.【答案解析】 (1)证明:连接BD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=a,DA=a,所以BD=DC=2a,E为BC中点,所以BC⊥DE.又因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥PD.因为DE∩PD=D,所以BC⊥平面PDE.因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PDE.(2)解:当点F位于PC三分之一分点(靠近P点)时,PA∥平面BDF.连接AC,AC与BD交于O点,AB∥CD,所以△AOB∽△COD.又因为AB=DC,所以AO=OC,从而在△CPA中,AO=AC,而PF=PC,所以OF∥PA,而OF⊂平面BDF,PA⊄平面BDF,所以PA∥平面BDF.20.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是E,F,离心率e=,过点F的直线交椭圆C于A,B两点,△ABE的周长为16.(1)求椭圆C的方程;(2)已知O为原点,圆D:(x-3)2+y2=r2(r>0)与椭圆C交于M,N两点,点P为椭圆C上一动点,若直线PM,PN与x轴分别交于G,H两点,求证:|OG|·|OH|为定值.【答案解析】 (1)解:由题意得4a=16,则a=4,由=,解得c=,则b2=a2-c2=9,所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:由条件可知,M,N两点关于x轴对称,设M(x1,y1),P(x0,y0),则N(x1,-y1),由题可知,+=1,+=1,所以=(9-),=(9-).又直线PM的方程为y-y0=(x-x0),令y=0得点G的横坐标x G=,同理可得H点的横坐标x H=.所以|OG|·|OH|=16,即|OG|·|OH|为定值.21.已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a<0).(1)若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若a=-且关于x的方程f(x)=-x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.【答案解析】解:(1)对函数求导数,得f′(x)=-(x>0),依题意,得f′(x)<0在(0,+∞)上有解,即ax2+2x-1>0在x>0时有解.所以Δ=4+4a>0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根.再结合a<0,得-1<a<0.(2)a=-时,f(x)=-x+b,即x2-x+ln x-b=0.设g(x)=x2-x+ln x-b,则g′(x)=,所以当x∈(0,1)时,g′(x)>0;当x∈(1,2)时,g′(x)<0;当x∈(2,4)时,g′(x)>0.得函数g(x)在(0,1)和(2,4)上是增函数,在(1,2)上是减函数,所以g(x)的极小值为g(2)=ln 2-b-2;g(x)的极大值为g(1)=-b-,g(4)=-b-2+2ln 2;因为方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,所以解之得ln 2-2<b≤-.22.选修44:坐标系与参数方程：在极坐标系中,已知圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ,以极点为原点,极轴方向为x轴正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(1)写出圆C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)已知点M(,0),直线l与圆C交于A,B两点,求||MA|-|MB||的值.【答案解析】解:(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,化为直角坐标方程为x2+y2=4x,所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.由消去t得x-y-=0,所以直线l的普通方程为2x-2y-1=0.(2)显然直线l过点M(,0),将代入圆C的直角坐标方程x2+y2-4x=0得t2-t-=0,则t1+t2=,t1t2=-<0,根据直线参数方程中参数的几何意义知||MA|-|MB||=||t1|-|t2||=|t1+t2|=.23.选修45:不等式选讲：设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.(1)解不等式f(x)>0;(2)若∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围.【答案解析】解:(1)不等式f(x)>0,即|2x-1|>|x+2|,即4x2-4x+1>x2+4x+4,3x2-8x-3>0,解得x<-或x>3.所以不等式f(x)>0的解集为{x|x<-或x>3}.(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|=故f(x)的最小值为f(0.5)=-2.5,因为∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,所以4m-2m2>-2.5,解得-0.5<m<2.5.即m的取值范围为(-0.5,2.5).。
山东专用2021新高考数学二轮复习仿真模拟卷3含解析
新高考数学二轮复习：数学仿真模拟卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z ＝a 2i －2a －i>0(其中a ∈R ，i 为虚数单位)为正实数，则实数a 值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 C [∵z ＝a 2i －2a －i ＝－2a ＋()a 2－1i 为正实数， ∴－2a >0且a 2－1＝0，解得a ＝－1.故选C ．] 2．已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅A [∵集合B ＝{x |3x <1}，∴B ＝{}x |x <0，∵集合A ＝{x |x <1}，∴A ∩B ＝{}x |x <0，A ∪B ＝{}x |x <1，故选A ．]3．已知m ∈(0，1)，令a ＝log m 2，b ＝m 2，c ＝2m ，那么a ，b ，c 之间的大小关系为( ) A ．b <c <a B ．b <a <c C ．a <b <c D ．c <a <bC [∵m ∈(0，1)，∴a ＝log m 2<0，b ＝m 2∈(0，1)，c ＝2m >1，即a <b <c ，故选C ．] 4．已知一系列样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，3，…，n )的回归直线方程为y ^＝2x ＋a ，若样本点(r ，1)与(1，s )的残差相同，则有( )A ．r ＝sB ．s ＝2rC ．s ＝－2r ＋3D ．s ＝2r ＋1C [样本点(r ，1)残差为2r ＋a －1，样本点(1，s )的残差为2＋a －s ，依题意2r ＋a －1＝2＋a －s ，故s ＝－2r ＋3，所以选C ．]5．已知扇形AOB ，∠AOB ＝θ，扇形半径为3，C 是弧AB 上一点，若OC →＝233OA →＋33OB →，则θ＝( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3D [由OC →＝233OA →＋33OB →，两边同时平方得OC →2＝⎝⎛⎭⎫233OA →＋33OB →2，则有3＝4＋1＋2×233OA →·33OB →＝5＋2×2cos θ，∴cos θ＝－12，θ＝2π3，故选D ．]6．设{}a n 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p ＋q >k ＋l ”是“a p ＋a q >a k ＋a l ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件D [设等差数列的公差为d ，a p ＋a q >a k ＋a l ⇒a 1＋(p －1)d ＋a 1＋(q －1)d >a 1＋(k －1)d ＋a 1＋(l －1)d⇒d [(p ＋q )－(k ＋l )]>0⇒⎩⎨⎧ d >0p ＋q >k ＋l 或⎩⎨⎧d <0p ＋q <k ＋l ，显然由p ＋q >k ＋l 不一定能推出a p ＋a q >a k ＋a l ，由a p ＋a q >a k ＋a l 也不一定能推出 p ＋q >k ＋l ，因此p ＋q >k ＋l 是a p ＋a q >a k ＋a l 的既不充分也不必要条件，故本题选D ．]7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的容量约为( )A ．100 cm 3B ．200 cm 3C ．300 cm 3D ．400 cm 3B [设大圆锥的高为h ，所以h －4h ＝610，解得h ＝10.故V ＝13π×52×10－13π×32×6＝1963π≈200 cm 3.]8．已知定义在R 上的偶函数f ()x 满足f ()1－x ＝f ()1＋x ，且当0≤x ≤1时，f ()x ＝1－x 2.若直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝f ()x 恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为( )A ．⎝⎛⎭⎫k ＋1，k ＋54(k ∈Z ) B ．⎝⎛⎭⎫2k ＋1，2k ＋54(k ∈Z )C ．⎝⎛⎭⎫2k －54，2k －1(k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎫k －54，k －1(k ∈Z ) B [定义在R 上的偶函数f ()x 满足f ()1－x ＝f ()1＋x ， 所以f ()x 的图象关于x ＝1对称，且f ()x 为周期是2的偶函数， 当－1≤x ≤1时，f ()x ＝1－x 2，所以画出函数图象如图所示：①当a ＝±1时，结合图象可知y ＝x ＋a 与f ()x ＝1－x 2(x ∈[)－1，1)有两个公共点； ②当y ＝x ＋a 与f ()x ＝1－x 2(x ∈[)－1，1)相切时，满足x ＋a ＝1－x 2，即x 2＋x ＋a －1＝0，令Δ＝1－4()a －1＝0，解得a ＝54.当a ＝54时，结合图象可知y ＝x ＋a 与y ＝f ()x (x ∈R )有两个公共点；由图象可知， a ∈⎝⎛⎭⎫1，54时，直线y ＝x ＋a 与y ＝f ()x (x ∈R )有三个公共点； 又因为f ()x 周期T ＝2，可知a ∈⎝⎛⎭⎫2k ＋1，2k ＋54(k ∈Z )．故选B ．] 二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且P A →＋2PB →＋3PC →＝0，若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是( )A ．向量P A →与PC →可能平行 B ．向量P A →与PC →可能垂直 C ．点P 在线段EF 上 D ．PE ∶PF ＝1∶2BC [根据题意，E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，结合平面向量的线性运算可知PE →＝12⎝⎛⎭⎫P A →＋PC →，PF →＝12⎝⎛⎭⎫PB →＋PC →，代入P A →＋2PB →＋3PC →＝0可得PE →＝－2PF →，则点P 在线段EF 上，且PE ∶PF ＝2∶1，所以C 正确D 错误．而由平面向量线性运算可知，向量P A →与PC →不可能平行，但可能垂直，所以A 错误B 正确．由以上可知，正确的为BC ． 故选BC ．]10．设函数f ()x ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5()ω>0， 已知f ()x 在[]0，2π有且仅有5个零点．下述四个结论中正确的是( )A ．f ()x 在()0，2π有且仅有3个最大值点B ．f ()x 在()0，2π有且仅有2个最小值点C ．f ()x 在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增 D ．ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910ACD [由于ω>0，f (0)＝sin π5>sin0，而f ()x 在[]0，2π有且仅有5个零点，所以5π≤2ωπ＋π5<6π，解得125≤ω<2910，D 正确；因此只有满足ωx ＋π5＝π2，5π2，9π2的x 是f (x )在(0，2π)上的最大值点，共3个，A 正确；满足ωx ＋π5＝3π2，7π2的x 显然是f (x )在(0，2π)上的最小值点，但当ω接近2910时，ωx ＋π5＝11π2<6π，也是一个最小值点，这时有3个最小值点，B 错； 当x ∈(0，π10)时，由ω×π10＋π5＝(ω＋2)×π10<49100π<π2，所以f (x )是递增的，C 正确．故选ACD ．]11．如果对于函数f ()x 定义域内任意的两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f ()x 1≤f()x 2，且存在两个不相等的自变量值y 1，y 2，使得f ()y 1＝f ()y 2，就称f ()x 为定义域上的“不严格的增函数”．下列所给的四个函数中为“不严格增函数”的是( )A ．f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥10，－1＜x ＜1x ，x ≤－1B ．f ()x ＝⎩⎨⎧1，x ＝－π2sin x ，－π2＜x ≤π2C ．f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥10，－1＜x ＜1－1，x ≤－1D ．f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1x ＋1，x ＜1AC [由已知可知函数f ()x 定义域内任意的两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f()x 1≤f ()x 2，且存在两个不相等的自变量值y 1，y 2，使得f ()y 1＝f ()y 2，就称f ()x 为定义域上的不严格的增函数．A ．f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥10，－1<x <1x ，x ≤－1，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数；B ．f ()x ＝⎩⎨⎧1，x ＝－π2sin x ，－π2<x ≤π2，当x 1＝－π2，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，f ()x 1>f ()x 2，故不是不严格的增函数；C ．f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥10，－1<x <1－1，x ≤－1，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数；D ．f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1x ＋1，x <1，当x 1＝12，x 2∈⎝⎛⎭⎫1，32，f ()x 1>f ()x 2，故不是不严格的增函数， 故四个函数中为不严格的增函数的是AC ．故选AC ．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知点P 为侧面BCC 1B 1上的一动点，则下列结论正确的是( )A ．若点P 总保持P A ⊥BD ，则动点P 的轨迹是一条线段B ．若点P 到点A 的距离为233，则动点P 的轨迹是一段圆弧C ．若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹是一段抛物线 D ．若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1∶2，则动点P 的轨迹是一段双曲线 ABD [对于A ，BD 1⊥AC ，BD 1⊥AB 1，且AC ∩AB 1＝A ，所以BD 1⊥平面AB 1C ，平面AB 1C ∩平面BCC 1B 1＝B 1C ，故动点P 的轨迹为线段B 1C ，所以A 正确；对于B ，点P 的轨迹为以A 为球心、半径为233的球面与面BCC 1B 1的交线，即为一段圆弧，所以B 正确；对于C ，作PE ⊥BC ，EF ⊥AD ，连接PF ，作PQ ⊥CC 1.由||PF ＝||PQ ，在面BCC 1B 1内，以C 为原点、以直线CB 、CD 、CC 1为x ，y ，z 轴建立平面直角坐标系，如图所示：设P ()x ，0，z ，则1＋z 2＝||x ，化简得x 2－z 2＝1，P 点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C 错误；对于D ，由题意可知点P 到点C 1的距离与点P 到直线BC 的距离之比为2∶1，结合C 中所建立空间直角坐标系，可得PC 1PE ＝21，所以PC 21PE 2 ＝ 41，代入可得x 2＋()1－z 2z 2＝41，化简可得⎝⎛⎭⎫z ＋13249－x 243＝1，故点P 的轨迹为双曲线，所以D 正确．综上可知，正确的为ABD ．故选ABD ．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(3x 3－1)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6的展开式中常数项为________． －33 [(x 2－1x)6展开式通项为T ＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0得r ＝4，它的常数项是(－1)4C 46＝15，令12－3r ＝－3得r ＝5，它的x －3项系数为：(－1)5C 56＝－6；故(3x 3－1)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6展开式中常数项为：3×(－6)＋(－1)×15＝－33.] 14．我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为a 2＋b 2＝c 2(a ，b ，c ∈N *)，把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，以此类推，可猜测第6组勾股数的第二个数是________．84 [先找出所给勾股数的规律：①以上各组数均满足a 2＋b 2＝c 2，最小的数a 为奇数； ②其余两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方是另两个连续整数的和． 如32＝9＝4＋5；52＝25＝12＋13；72＝49＝24＋25；92＝81＝40＋41， 依次类推，第六组的奇数为13，则132＋x 2＝()x ＋12， 解得x ＝84.]15．在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在边AC 上，且CD ＝2DA ，BD ＝4，则△ABC 的面积最大值为________．9 [设AD ＝x ， 则AB ＝AC ＝3x ，在△ABD 中，由余弦定理得9x 2＋x 2－6x 2cos A ＝16， 解得cos A ＝53－83x 2，则由同角三角函数关系式可知 sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫53－83x 22，则由三角形面积公式可得S △ABC ＝12·3x ·3x sin A ＝12·9x 2·1－⎝⎛⎭⎫53－83x 22＝3236－()4x 2－102，所以当x ＝102时，()S △ABC max ＝9.] 16．双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，已知点F 2为抛物线C ：y 2＝14x 的焦点，且到双曲线E 的一条渐近线的距离为6，又点P 为双曲线E 上一点，满足∠F 1PF 2＝60°.则(1)双曲线的标准方程为________；(2)△PF 1F 2的内切圆半径与外接圆半径之比为________．(本题第一空2分，第二空3分)(1)x 2254－y 26＝1 (2)27 [F 2到其双曲线的渐近线的距离为bca 2＋b 2＝b ＝6，而抛物线y 2＝14x 的焦点F 2⎝⎛⎭⎫72，0，a 2＝c 2－b 2＝494－6＝254，则双曲线的标准方程为x 2254－y 26＝1；设点P 在双曲线的右支上，||PF 2＝x ，则||PF 1＝x ＋5， 则由余弦定理可得49＝x 2＋()5＋x 2－x ()5＋x ， 解得x ＝3，x ＝－8(舍去)，设△F 1PF 2的内切圆和外接圆的半径分别为r ，R ， S△PF 1F 2＝12×3×8×32＝63＝12()3＋8＋7r ，解得r ＝233，而由正弦定理可得R ＝12×||F 1F 2sin 60°＝733，所以r R ＝27.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设S n 为等差数列{}a n 的前n 项和，{}b n 是正项等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 4＋2＝b 3.在①a 2＝b 2，②b 6＝243，③S 4＝4S 2这三个条件中任选一个，回答下列为题：(1)求数列{}a n 和{}b n 的通项公式；(2)如果a m ＝b n (m ，n ∈N *)，写出m ，n 的关系式m ＝f ()n ，并求f ()1＋f ()2＋f ()3＋…＋f ()n .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． [解] (1)若选①：设等差数列{}a n 的公差为d ，等比数列{}b n 的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q 1＋3d ＋2＝q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2q ＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－1q ＝0(舍)，则a n ＝2n －1，b n ＝3n －1. 若选②：设等差数列{}a n 的公差为d ，等比数列{}b n 的公比为q (q >0)， 则由q 5＝b 6b 1得q ＝3，∴b n ＝3n －1，又a 4＋2＝b 3， ∴1＋3d ＋2＝9，∴d ＝2， ∴a n ＝2n －1. 若选③：设等差数列{}a n 的公差为d ，等比数列{}b n 的公比为q (q >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧4＋4×3d 2＝4()1＋1＋d 1＋3d ＋2＝q 2 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2q ＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝－3(舍)，则a n ＝2n －1，b n ＝3n －1. (2)∵a m ＝b n ，∴2m －1＝3n －1，即m ＝12()3n －1＋1，f ()1＋f ()2＋…＋f ()n ＝12[]()30＋1＋()31＋1＋…＋()3n －1＋1＝12()30＋31＋…＋3n －1＋n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－3n1－3＋n ＝3n ＋2n －14.18．(本小题满分12分)在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(a －c )(sin A ＋sin C )＝b (sin A －sin B )．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3且b ≥c ，求b －12a 的取值范围．[解] (1)∵(a －c )(sin A ＋sin C )＝b (sin A －sin B )， 由正弦定理，(a －c )(a ＋c )＝b (a －b )，即a 2－c 2＝ab －b 2 由余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又∵C ∈(0，π) ，∴C ＝π3.(2)因为c ＝3且b ≥c ，由正弦定理得b sin B ＝a sin A ＝c sin C ＝332＝2，∴b ＝2sin B ，a ＝2sin A ， ∵B ＋A ＝2π3，∴A ＝2π3－B ，∵b ≥c ， ∴B ≥C ， ∴π3≤B <2π3， ∴b －12a ＝2sin B －sin A ＝2sin B －sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝32sin B －32cos B ＝3sin(B －π6)，∴π6≤B －π6<π2， ∴12≤sin ⎝⎛⎭⎫B －π6<1， ∴b －12a ∈⎣⎡⎭⎫32，3.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，AD ＝CD ＝2BC ＝2，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝P D ．(1)求证：CD ⊥P A ；(2)求二面角C -P A -D 余弦值．[解] (1)证明：在四棱锥P -ABCD 中，因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 又因为CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ， 因为P A ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥P A ．(2)取AD 中点O ，连接OP ，OB ， 因为P A ＝PD ，所以PO ⊥A D ．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，因为PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥OA ，PO ⊥O B ． 因为CD ⊥AD ，BC ∥AD ，AD ＝2BC ，所以BC ∥OD ，BC ＝OD ， 所以四边形OBCD 是平行四边形，所以OB ⊥A D ． 如图建立空间直角坐标系O -xyz ，则O ()0，0，0，A ()1，0，0，B ()0，2，0，C ()－1，2，0，D ()－1，0，0，P ()0，0，1. AC →＝()－2，2，0，AP →＝()－1，0，1.设平面P AC 的法向量为n ＝()x ，y ，z ，则⎩⎨⎧AC→·n ＝0，AP →·n ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－x ＋z ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n ＝()1，1，1. 因为平面P AD 的法向量OB →＝()0，2，0， 所以cos 〈n ，OB →〉＝n ·OB →||n ||OB→＝33，由图可知二面角C -P A -D 为锐二面角， 所以二面角C -P A -D 的余弦值为33.20．(本小题满分12分)某摄影协会在2019年10月举办了主题“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展．通过平常人的镜头，记录了国强民富的幸福生活，向祖国母亲70岁的生日献了一份厚礼．摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[]25，85之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：(1)求这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(2)由频率分布直方图可以认为，作者年龄X 服从正态分布N ()μ，σ2，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.(i)利用该正态分布，求P ()60<X <73.4；附：180≈13.4，若X ～N ()μ，σ2，则P ()μ－σ<X <μ＋σ＝0.682 6，P ()μ－2σ<X <μ＋2σ＝0.954 4，P ()μ－3σ<X <μ＋3σ＝0.997 4.(ii)摄影协会从年龄在[]45，55和[]65，75的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“讲述图片背后的故事”座谈会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[]45，55的人数是Y ，求变量Y 的分布列和数学期望．[解] (1)这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差s 2分别为 x ＝30×0.05＋40×0.1＋50×0.15＋60×0.35＋70×0.2＋80×0.15＝60，s 2＝()－302×0.05＋()－202×0.1＋()－102×0.15＋0×0.35＋102×0.2＋202×0.15＝180.(2)(i)由(1)知，X ～N ()60，180，从而P ()60<X <73.4＝12P (60－13.4<X <60＋13.4)＝12×0.682 6＝0.341 3.(ii)根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在[]45，55内有3人，在[]65，75内有4人，故Y 可能的取值为0，1，2，3.P ()Y ＝0＝C 03C 34C 37＝435，P ()Y ＝1＝C 13C 24C 37＝1835，P ()Y ＝2＝C 23C 14C 37＝1235， P ()Y ＝3＝C 33C 04C 37＝135.所以Y 的分布列为所以Y 的数学期望为E ()Y ＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97.21．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点．(1)若k ＝1，||OA ＝||OB ，求证：曲线C 是一个圆；(2)若曲线C 过()0，2，()1，0，是否存在一定点Q ，使得QA →·QB →为定值？若存在，求出定点Q 和定值；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：设直线l 与曲线C 的交点为A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2， ∵||OA ＝||OB ， ∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21＋y 21＝x 22＋y 22，∴x 21－x 22＝y 22－y 21， ∵A ，B 在曲线C 上，∴x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， ∴两式相减得x 21－x 22＝a 2b2()y 22－y 21，∴a 2b 2＝1，即a 2＝b 2，所以x 2＋y 2＝a 2， ∴曲线C 是一个圆．(2)由题意知，椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1，假设存在点Q ()x 0，y 0 ，设交点为A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1y 24＋x 2＝1得，()k 2＋4x 2＋2kx －3＝0，x 1＋x 2＝－2kk 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4，直线l ：y ＝kx ＋1恒过椭圆内定点()0，1，故Δ>0恒成立． QA →·QB →＝()x 1－x 0，y 1－y 0·()x 2－x 0，y 2－y 0＝()x 1－x 0·()x 2－x 0＋()y 1－y 0()y 2－y 0＝x 1x 2－x 0()x 1＋x 2＋x 20＋(kx 1＋1－y 0)(kx 2＋1－y 0) ＝()1＋k 2x 1x 2＋[]k ()1－y 0－x 0()x 1＋x 2＋x 2＋(1－y 0)2＝()1＋k 2－3k 2＋4＋[]k ()1－y 0－x 0－2kk 2＋4＋x 20＋(1－y 0)2＝－3()1＋k 2－2[]k ()1－y 0－x 0kk 2＋4＋x 20＋()1－y 02＝()2y 0－5k 2＋2x 0k －3k 2＋4＋x 20＋()1－y 02.当⎩⎨⎧x 0＝02y 0－5＝－34时，即x 0＝0，y 0＝178时，QA →·QB →＝－34＋⎝⎛⎭⎫－982＝3364， 故存在定点⎝⎛⎭⎫0，178，不论k 为何值，QA →·QB →＝3364为定值． 22．(本小题满分12分)已知函数f ()x ＝x 2e x . (1)求f ()x 的单调区间；(2)过点P ()1，0存在几条直线与曲线y ＝f ()x 相切，并说明理由； (3)若f ()x ≥k ()x －1对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． [解] (1)f ′()x ＝()x 2＋2x e x ＝x ()x ＋2e x ， f ′()x >0得，x <－2或x >0； f ′()x <0得，－2<x <0;所以f ()x 的单调增区间为()－∞，－2，()0，＋∞，单调减区间为()－2，0.(2)过P ()1，0点可做f ()x 的三条切线；理由如下： 设切点坐标为()x 0 ，x 20 e x 0 ， 所以切线斜率k ＝f ′()x 0＝x 0()x 0＋2e x 0所以过切点的切线方程为：y －x 20 e x 0 ＝(x 20 ＋ 2x 0 )e x 0 (x －x 0 )， 切线过P ()1，0点，代入得0－x 20 e x 0 ＝(x 20 ＋ 2x 0 )e x 0 ()1－x 0 ，化简得x 0()x 0＋2()x 0－2e x 0＝0，方程有三个解，x 0＝0，x 0＝－2，x 0＝2，即三个切点横坐标， 所以过P ()1，0点可做f ()x 的三条切线． (3)设g ()x ＝x 2e x －k ()x －1，①k ＝0时，因为x 2≥0，e x >0，所以显然x 2e x ≥0对任意x ∈R 恒成立； ②k <0时，若x ＝0，则f ()0＝0>k ()0－1＝－k 不成立， 所以k <0不合题意；③k >0时，x ≤1时，g ()x ＝x 2e x －k ()x －1>0显然成立， 只需考虑x >1时情况．转化为x 2e x x －1≥k 对任意x ∈()1，＋∞恒成立．令h ()x ＝x 2e xx －1(x >1)，则k ≤h ()x min ，h ′()x ＝(x 2＋2x )e x ()x －1－x 2e x()x －12＝x ()x ＋2()x －2e x()x －12， 当1<x <2时，h ′()x <0，h ()x 单调减； 当x >2时，h ′()x >0，h ()x 单调增； 所以h ()x min ＝h ()2＝2e 22－1＝()2＋22e 2，所以k ≤()2＋22e2.综上所述，k 的取值范围⎣⎡⎦⎤0，()2＋22e2.。
2021年新高考数学模拟试卷全国卷(附参考答案和详解)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（3）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位，复数3i1i+=-（ ）A.12i +B.24i +C.12i --D.2i -2.设常数a ∈R ，集合{|(1)()0}A x x x a =--≥，{|1}B x x a =≥-，若A B =R ，则a 的取值范围为（ ）A.(,2)-∞B.(,2]-∞C.(2,)+∞D.[2,)+∞3.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（ ）A.2B.1C.0D.2-4.设向量=a (1,cos )θ与b (1,2cos )θ=-垂直，则cos2θ等于（ ）A.2 B.12C.0D.1-5.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“OAB 的面积为12”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2πa B.27π3a C.211π3a D.25πa7.已知命题122121:,,(()())()0p x x f x f x x x ∀∈--≥R ，则p ⌝是（ ） A.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∃∈--≤R B.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∀∈--≤R C.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∃∈--<RD.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∀∈--<R8.函数()2ln f x x =的图像与函数2()45g x x x =-+的图像的交点个数为（ ） A.3B.2C.1D.0二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图．根据这两幅图中的信息，下列统计结论中正确的有（ ）A.样本中的女生数量等于男生数量B.样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C.样本中的男生偏爱理科D.样本中的女生偏爱文科10.已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点M ，使得||||3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．则下列给出的直线中，是“M 型直线”的有（ ）A.2x =B.3y x =+C.21y x =--D.23y x =+11.如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列判断正确的为（ ）A.MN 与1CC 垂直B.MN 与AC 垂直C.MN 与BD 平行D.MN 与11A B 平行12.下列结论中正确的有（ ） A.命题：”(0,2)x ∀∈，33x x >“的否定是“(0,2)x ∃∈，33x x ≤” B.若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l αC.若随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(01)0.2P ξ<<=D.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则721S =第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2021年高考数学押题仿真系列卷03(江苏等八省市新高考地区专用)(解析版)
2021年高考数学押题仿真系列卷03（江苏等八省市新高考地区专用）全解全析一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合(){}ln 1A x y x ==-，集合1,22xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（ ）A. ∅B. [)1,4C. ()1,4D. ()4,+∞【答案】C【解析】集合(){}{}ln 11A x y x x x ==-=>，集合{}1,2042xB y y x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>-=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，A B =()1,4，故选：C2．设向量(),1a a =，()()1,0b b ab =≠，若a b ⊥，则直线20+=b x y 与直线20x a y -=的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交且垂直 C ．相交但不垂直D ．重合【答案】B【解析】因为向量(),1a a =，()()1,0b b ab =≠，若a b ⊥，则0a b +=，即=-b a ， 所以直线20+=b x y 可化为2y a x =-，直线20x a y -=可化为21y x a=， 两直线斜率之积为2211a a-⋅=-，所以两直线相交且垂直．故选:B ． 3．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A.1191077B.160359C.9581077D.289359【答案】C【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095811077C C -=.故选:C4．设sin 5aπ=，2log3b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C【解析】由对数函数2logy x =在()0,∞+单调递增的性质得：22log3log21b =>=，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得：2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=，由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sinsin562a ππ=>=. 所以c a b <<，故选C 。
卷03 2021高考数学(文)全真模拟试卷+各地优质试题重组卷(新课标版)(解析版)
卷03-2021高考数学（文）全真模拟试卷-各地优质试题重组卷（新课标版）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟。
答题前，现将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷。
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数3z i =-，21z i =+（其中i 是虚数单位），则12z z =（ ） A ．22i - B ．12i - C ．1i + D ．2i +【来源】2020届浙江省绍兴市嵊州市高三上学期期末数学试题【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算法则化简计算即可.【详解】 由已知条件得()()()()1231324121112i i z i i i z i i i ----====-++-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.2．（5分）设集合{}19A x x =≤≤，{B x y ==，则A B =( )A ．[]13，B ．[]69，C ．[]39，D ．[]36-， 【来源】2020届河南省高三下学期3月在线网络联考数学文科试题【答案】B【解析】【分析】由函数定义域的求法求出集合B ，再结合集合交集的运算求解即可.【详解】解：解不等式23180x x --≥得6x ≥或3x ≤，即(][)36,B =-∞-⋃+∞， 又{}19A x x =≤≤[]1,9=， 即[]69A B ⋂=，， 故选：B.【点睛】本题考查了函数定义域的求法及集合交集的运算，属基础题.3．（5分）“(),4k k Z παπ=+∈”是“tan 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【来源】湖北省武汉市2019-2020学年高三上学期11月综合测试(二)理科数学试题【答案】A【解析】【分析】由tan 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭α，即可判断出结论. 【详解】解：由tan 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2,63k k Z ππαπ-=+∈，解得,42k k Z ππα=+∈， ()|,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ ()|,42k k Z ππαα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭， (),4k k Z παπ=+∈”是“tan 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出角的大小，是解决本题的关键，是基础题.4．（5分）如图所示的程序框图输出的i 的值为( )A ．4B ．6C ．5D ．7【来源】2020届河南省高三下学期3月在线网络联考数学文科试题【答案】C【解析】【分析】利用程序框图的功能，逐步运算即可得解.【详解】解：当1i =时，2a =，012350S =++=<；当2i =时，4a =，324950S =++=<；当3i =时，8a =，9382050S =++=<；当4i =时，16a =，204164050S =++=<；当5i =时，32a =，4053277S =++=50>，跳出循环，故选：C.【点睛】本题考查了程序框图的功能，重点考查了数据处理能力，属基础题.5．（5分）《九章算术》中将底面为矩形，顶部只有一条棱的几何体称为刍甍（刍甍字面意思为茅草屋顶），现有一刍甍的三视图如图所示，则该刍甍的体积为（）A．23B．56C．1D．53【来源】2020届内蒙古阿拉善盟高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】B【解析】【分析】根据三视图可得其对应的几何体，将其分割为一个棱柱和一个棱锥，再利用公式可计算其体积.【详解】三视图对应的几何体如图所示，将该几何体分割成两个几何体（如图（1）），一个几何体为棱柱，一个几何体为棱锥，故所求几何体的体积为：115 111111 236⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．另外不规则几何体的体积的计算，需要用割补法转化为规则的几何体的体积的计算，本题属于中档题.6．（5分）现有若干扑克牌：6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张.若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为1P ；若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数的概率为2P ，则（ ）A ．12P P >B ．12P P =C ．12P P <D ．以上三种情况都有可能【来源】2020届贵州省丹寨民族高级中学高三上学期第三次强化考试数学（文)试题【答案】A【解析】【分析】根据概率公式求出1P 和2P ，即可求得答案.【详解】6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后放回实验的情况的总数为：11666636C C =⨯=当先后从中取出两张.若每次取后放回，连续取两次，点数之和是偶数情况的总数为：3131223318C C =⨯⨯= ∴1181362P ==，6张牌面分别是2，3，4，5，6，7的扑克牌各一张，先后从中取出两张，若每次取后不放回实验的情况的总数为：11656530C C =⨯=当先后从中取出两张. 若每次取后不放回，连续取两次，点数之和是偶数情况的总数为：2131223212C C =⨯⨯= ∴2122305P ==，∴12P P >.【点睛】本题主要考查了根据组合数求概率问题，解题关键是掌握组合数的计算方法和概率计算公式，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.7．（5分）已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()80f x f x ++=，且()55f =，则()()20192024f f +=（ ）A ．-5B ．5C ．0D ．4043【来源】河北省枣强中学2020届高三上学期第一次月考数学（文)试题【答案】B【解析】【分析】根据(8)()0f x f x ++=得函数的周期为16，结合()55f =，(0)0f =即可求解.【详解】由(8)()0f x f x ++=，得(8)()f x f x +=-，所以(16)(8)()f x f x f x +=-+=.故函数()y f x =是以16为周期的周期函数.又在(8)()0f x f x ++=中，令0x =，得(8)(0)0f f +=，且奇函数()y f x =是定义在R 上的函数，所以(0)0f =.故(8)0f =.故(2024)(161268)(8)0f f f =⨯+==.又在(8)()0f x f x ++=中，令3x =-，得(5)(3)0f f +-=.得(5)(3)(3)5f f f =--==，则(2019)(161263)(3)5f f f =⨯+==.所以(2019)(2024)5f f +=.故选：B.【点睛】此题考查根据函数的周期性求抽象函数的函数值，关键在于根据函数关系准确得出函数周期，结合定义在R 上的奇函数的特征求值.8．（5分）已知向量()1,a t =，()2,1b =-，且()a b b -⊥，则t =（ ）A ．-3B ．12-C ．1D ．3【来源】湖北省宜昌市2019-2020学年高三期末数学（文)试题【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算求解即可.【详解】因为()a b b -⊥,故()0-⋅=a b b,故(1,1)(2,1)0t -+⋅-=,解得3t =- 故选：A【点睛】本题主要考查了向量的垂直坐标运算,属于基础题型.9．（5分）已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图像关于直线6x π=对称 C ．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1-- D ．函数()g x 是奇函数 【来源】安徽省淮北市2019-2020学年高三第一次模拟考试数学（文)试题【答案】C【解析】【分析】将()f x 化为()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，得4ω=，平移后得()2cos4g x x =-，进而即可得到答案.【详解】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==， 即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得 ()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=， 所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈， 故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数， 所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A 选项不正确； 由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈， 所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B 选项不正确； 当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数的化简与性质，主要考查()cos y A x ωϕ=+的性质，图像的平移，属于基础题. 10．（5分）若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ）A ．(),8-∞-B ．()8,-+∞C ．(),8-∞D ．()8,+∞【来源】重庆市重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高考适应性月考卷（三)数学（文)试题【答案】B【解析】【分析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+ 所以()28f x x b x'=++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0，所以()280f x x b x '=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以28b x x>--， 设()28g x x x=--，则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=，得到12x =，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max 182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以8b >-，故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.11．（5分）如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．22y x =±C ．3y x =D ．2y x =【来源】安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（文)试题【答案】A 【解析】 【分析】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b y x a=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =+=13c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以23b =所以双曲线的渐近线方程为23b y x x a =±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.12．（5分）定义方程()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21x g x e =+，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >>【来源】2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合题（一)数学理科试题【答案】B【解析】 【分析】可先求出'(),'(),'()g x h x x ϕ，由新驻点的定义可知对应的方程为：2232112,ln(1),131x x e e x x x x +=+=-=+， 从而构造函数2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+ 由零点存在性定理判断,,a b c 的范围即可. 【详解】由题意：221'()2,'(),'()31xg x e h x x x x ϕ===+， 所以,,a b c 分别为2232112,ln(1),131x xe e x x x x +=+=-=+的根，即为函数 2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+的零点，可解得：0a =；又因为：111(0)10,(1)ln 20,(0,1)2h h b =-<=->∈； 又因为：11(2)0,(4)150,(2,4)c ϕϕ<=>∈； 所以：c b a >> 故选：B 【点睛】本题是函数与导数综合的创新新定义题型，考查了导数、零点存在性定理等知识点，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【数学】2021届高考(全国统考版)二轮验收仿真模拟卷(四)(文)(解析版)
2021届高考数学（全国统考版）二轮验收
仿真模拟卷（四）（文）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{x|1≤x＜3}，N＝{1，2}，则M∩N＝()
A．{1} B．{1，2}
C．{2} D．[1，2]
2．若复数z满足(z－1)i＝4＋2i，则|z|＝()
A．25 B.17 C．5 D．17
3．某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校2019年自主招生考试的学生人数如下表所示：
的学生中随机抽取50名参加问卷调查．则A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为() A．15，20，10，5 B．15，20，5，10
C．20，15，10，5 D．20，15，5，10
4．等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a2＜0且a5＜0”是“数列{S n}单调递减”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝3，则△ABC 的面积为()
A.
3
4 B.
3
4
C.
3
2 D.
3
2
6．设a＝log
1
23，b＝⎝⎛⎭⎫
1
3
0.2
，c＝⎝⎛⎭⎫
1
2
－
1
2
，则()
A．a<b<c B．c<b<a
C．c<a<b D．b<a<c
7．若非零向量a、b满足|a|＝2|b|＝4，(a－2b)·a＝0，则a在b方向上的投影为() A．4 B．8。