2013年高考_文科数学知识点总结(八)

2013年高考_文科数学知识点总结（八）
命题要点：1函数图象的识辨′11年2考，′10年3考；2函数图象的应
用′11年4考，′10年2考.
A级
(时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(★)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一坐
标系中的图象大致是( )．

解析 (筛选法)选项A中，一次函数的斜率a＞0，而二次函数开口向下，
相互矛盾，排除A，同理排除D.
y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－，
当a＞0，b＞0时，x＝－＜0，∴排除B.
当a＜0，b＜0时，x＝－＜0，∴C符合．
答案 C
【点评】 本题采用了筛选法.解决此类问题时一般结合两种函数的特殊元
素、特殊位置等内容确定它们是否吻合.
2．(2012·北京海淀模拟)函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为( )．

解析 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，只能是A或D.f(1)＝1，只能是A.
答案 A
3．已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是( )．
解析 先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝f(x)的图象向右平
移1个长度单位即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象
关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确，y＝f(x)的值域是
[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－
1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，相应这部分图象不是一条线
段，因此选项D不正确．综上所述，选D.
答案 D
4．函数y＝2x－x2的图象大致是( )．

解析 由于2x－x2＝0在x＜0时有一解；在x＞0时有两解，分别为x＝2和x＝4.
因此函数y＝2x－x2有三个零点，故应排除B，C.又当x→－∞时，2x→0，而x2→
＋∞，故y＝2x－x2→－∞，因此排除D.
答案 A
5．(2011·陕西)方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( )．
A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根
解析 把原方程根的个数问题转化为两函数y＝|x|，y＝cos x的交点问题，
再由这两个函数均为偶函数，只需画出这两个函数在[0，＋∞)上的图象即可(如
下图)．
答案 C
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．把函数f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，
所得图象对应的函数解析式是________．
解析 把函数f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，得y＝[(x＋1)－2]
2
＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，得y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.
答案 y＝(x－1)2＋3.
7．函数f(x)＝的图象的对称中心为________．
解析 f(x)＝＝1＋，故f(x)的对称中心为(0,1)．
答案 (0,1)
8．已知f(x)＝x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，
则g(x)的表达式为________．
解析 在函数g(x)的图象上任取一点(x，y)，在函数f(x)＝x的图象上任取一
点(x0，y0)，则
∴y＝2－x＝3x－2.
答案 y
＝3
x－2
三、解答题(共23分)

9．(11分)(2011·南昌五校联考)已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且x
＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象
写出它的单调区间．
解 ∵f(x)的图象关于原点对称，
∴f(－x)＝－f(x)，又当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，
∴当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3.当x＝0时，f(x)＝0.
∴函数解析式为：
f(x)＝
作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为：

(－∞，－1)，(1，＋∞)．
函数的减区间为：(－1,0)，(0,1)．
10．(12分)(2011·郑州)已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都
满足f(2＋x)＝f(2－x)．
(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
(2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4,0]时的f(x)的表
达式．
(1)证明 设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任一点，则y

0＝f(x0)，点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．因为f(4－x0
)＝f[2
＋(2－x0)]＝f[2－(2－x0)]＝f(x0)＝y0，所以P′也在y＝f(x)的图象上，所以函数y
＝f(x)的图象关于直线x＝2对称．
(2)解 当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，
所以f(－x)＝－2x－1.
又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]．
当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]，所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7，
而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]．
所以f(x)＝
B级
(时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2011·沈阳六校联合)定义运算a⊕b＝则函数y
＝1⊕2x的图象只可能是
( )．
解析 由y＝2x的图象知，当x＜0时，0＜2x＜1；当x≥0时，2x≥1，结合
题目中的定义知1⊕2x＝
答案 A
2．已知函数f(x)＝|lg x|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是( )．
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析 如图，由f(a)＝f(b)，得|lg a|＝|lg b|.设0＜a＜b，则lg a＋lg b＝0.
∴ab＝1，∴a＋b＞2＝2.

答案 C
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．(★)(2012·苏州模拟)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，
f(x)的图象如下图，则不等式f(x)＜0的解集是________．

解析 (数形结合法)利用函数f(x)的图象关于原点对称．
∴f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)．
答案 (－2,0)∪(2,5)
【点评】 本题采用了数形结合法，根据奇函数的性质作出y轴左边的图象.
4．(★)已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且x∈[－1,1]时，f(x)
＝x2，则函数y＝f(x)与y＝log5x的图象交点的个数为________．
解析 (数形结合法)根据f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)＝f(x＋2)，则函数f(x)是
以2为周期的函数，分别作出函数y＝f(x)与y＝log5x的图象(如图)，可知函数y
＝f(x)与y＝log5x的图象的交点个数为4.
答案 4
【点评】 本题采用了数形结合法.数形结合，其实质是将抽象的数学语言
与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，
发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，
化抽象为直观.
三、解答题(共22分)
5．(★)(10分)已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；
(2)若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取
值范围．
思路分析 分别作出函数y＝f(x)与y＝x＋a的图象，观察它们的交点个数．
解 f(x)＝
作出图象如图所示．

(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，
递减区间为(－∞，1)
，(2,3)．
(2)由题意|x2－4x＋3|＝x＋a.

于是，设y＝x＋a，在同一坐标系下再作出y＝x＋a的图象．如图所示．则
当直线y＝x＋a过点(1,0)时a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相
切时，
由⇒x2－3x＋a＋3＝0.
由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－.
由图象知当a∈时方程至少有三个不等实根．
【点评】 数形结合思想是高考每年必考内容，它对选择题、填空题、解答
题均有很大的帮助，但对于解答题而言，图形只是起到帮助分析问题的作用，步
骤还要有适当数学语言来表示．
6．(12分)已知函数f(x)＝－，(a＞0，a≠1)．
(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点对称；
(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
(1)证明 函数f(x)的定义域为R，任意一点(x，y)关于点对称的点的坐标为
(1－x，－1－y)．
由已知，f(x)＝－，
则－1－y＝－1＋＝－.
f(1－x)＝－＝－＝－＝－，
∴－1－y＝f(1－x)．
即函数y＝f(x)的图象关于点对称．
(2)解 由(1)知有－
1－f(x)＝f(1－x)．即f(x)＋f(1－x)＝－1.
∴f(－2)＋f(3)＝f(－1)＋f(2)＝f(0)＋f(1)＝－1，
∴f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.