2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课时达标训练

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2017-2018学期高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1-1

29

3
t

32
,
0

t

3,
(路程单位:m,时间单位:s).
3t2 2, t 3,
求:(1)物体在t=3s到t=5s这段时间内的平均速度.
(2)物体在t=1s时的瞬时速度.
【解题指南】(1)先求增量,再求平均速度.(2)先求增量,再求平均速度,再求极限,进而得出瞬时速度. 【解析】(1)Δs=s(5)-s(3)=3×52+2-(3×32+2)=48.

s
［(3

t)2

3］
32 3
t
t
6t (t)2

6 t.
t
3.设函数f(x)在x0处可导,则 lim f (x0 x) f x0 (
)
x0
x
A.f′(x0)
B.f′(-x0)
C.-f′(x0)
D.-f′(-x0)
【解析】选C.
lim
提示:可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运
动状态.如求t=2时的瞬时速度,可考察在t=2附近的一
个间隔Δt,当Δt趋近于0时,看平均速度 v 的变化趋势,
用式子 lim h(2 t) h 2 表示,这就是物体在t=2时的瞬
t0
t
时速度.
3.导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用? 提示:函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率,导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.
【巩固训练】一质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若该质点在t=2s时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值. 【解析】因为Δ s=s(2+Δ t)-s(2) =a(2+Δ t)2+1-a·22-1 =4aΔ t+a(Δ t)2,

高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1

1
2
3
3.导数的概念一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim
��(��0 +Δ��)-��(��0 ) , 我们称它为函数�� Δ�� x →0 ��y Δ�� →0 ��x
=
��
解析: 该物体在 t=1 时的瞬时速度为 s(1 + ��t)-s(1) lim Δ�� →0 ��t 2(1 + Δ��)2 + 1 + Δ��-1-2 = �� = lim (2Δ�� + 5) = 5. Δ�� →0 ��t →0 Δ�� 答案:5
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
1
2
3
1.平均变化率
我们把式子
��(��2 )-��(��1 ) 称为函数��(��)从��1 ��2 -��1
1
2
3
【做一做1-1】已知物体位移公式s=s(t),从t0到t0+Δt这段时间内, 下列说法错误的是( ) A.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)叫做位移增量B. Δ�� =
Δ�� Δ��
Δ��
��(��0 +Δ��)-��(��0 ) 叫做这段时间内物体的平均速度 Δ��

高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数课件新人

,
1 x
1 x x
x
1 x
所以 lim y = lim (3+ 2 )=5,
x x 0
x 0
1 x
所以 f′(1)=5.
方法技巧根据导数的定义,求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率 y = f (x0 x) f (x0) ;
第三章导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
3.1.3 导数的几何意义
课标要求
1.理解函数的平均变化率与瞬时变化率. 2.理解函数在x0处的导数的定义和导数的几何意义. 3.会求函数在x0处的导数与切线方程.
素养达成
通过对导数概念与几何意义的学习,提高学生观察、归纳、抽象概括的能力,培养学生的应用意识.
新知探求课堂探究
新知探求素养养成
知识点一平均变化率
问题1:我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
答案:可以从气球的平均膨胀率去考虑,当 V 从 0 增加到 1 L 时,气球半径增加了 r(1)-r(0)≈0.62(dm). 气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) ≈0.62(dm/L);当 V 从 1 L 增加到 2 L 时,气球半径增
均变化率的值.
解:当自变量从 x0 到 x0+Δx 时,函数值的改变量为 Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=[2(x0+Δx)2+1]-(2 x02 +1)=4x0Δx+2(Δx)2,

2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1_3.1.2导数的概念优

3.1.1-3.1.2 导数的概念[课时作业] [A 组基础巩固]1．一物体的运动方程是s ＝t ＋1t，则在t ＝2时刻的瞬时速度是( )A.52B.34 C ．1 D ．2 解析：Δs ＝2＋Δt ＋12＋Δt －2－12＝Δt －Δt22＋ΔtΔsΔt ＝1－122＋Δtt ＝2时的瞬时速度为lim Δt →0 Δs Δt ＝ lim Δt →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－122＋Δt ＝34. 答案：B2．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则lim x →0f1＋x －f 1x＝( )A ．2B ．1 C.12 D.14解析：lim x →0f1＋x －f 1x＝f ′(1)＝1.答案：B3．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(1,10) B ．(－1，－2) C ．(1，－2) D ．(－1,10)解析：Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx＝3x 0＋Δx2＋6x 0＋Δx ＋1－3x 20－6x 0－1Δx＝3Δx ＋6x 0＋6，∴f ′(x 0)＝ lim Δx →0Δy Δx ＝ lim Δx →0(3Δx ＋6x 0＋6)＝6x 0＋6＝0，∴x 0＝－1.把x 0＝－1代入y ＝3x 2＋6x ＋1，得y ＝－2.∴P 点坐标为(－1，－2)．答案：B4．物体自由落体的运动方程为：s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝ lim Δt →0s 1＋Δt －s 1Δt＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是( )A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速度．B ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度．C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率．D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率．解析：由于s (t )＝12gt 2，所以由导数的定义可得即s ′(1)＝ lim Δt →0s1＋Δt －s 1Δt＝9.8 (m/s)．所以9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率．答案：C5．设f (x )在x ＝x 0处可导，则 lim Δx→0fx 0－Δx －f x 0Δx等于( )A ．－f ′(x 0)B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)解析： lim Δx→0f x 0－Δx －f x 0Δx＝－ lim Δx→0f x 0－Δx －f x 0－Δx ＝－f ′(x 0)．答案：A6．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．解析：当r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为ΔS Δr ＝π1＋Δr 2－πΔr ＝π＋2π·Δr ＋Δr2π－πΔr ＝2π＋πΔr .答案：2π＋πΔr7.国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示．治污效果更好的企业是(其中W 表示排污量)________．解析：ΔW Δt＝W t 1－W t 2Δt，在相同的时间内，由图可知甲企业的排污量减少的多，∴甲企业的治污效果更好．答案：甲企业8．已知函数f (x )＝ax ＋b 在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a ＝________. 解析：由函数平均变化率的几何定义知3＝f 1－f 81－8＝f 8－f 18－1＝8a ＋b －a ＋b8－1＝a.答案：39．利用导数的定义，求函数y ＝1x2＋2在点x ＝1处的导数．解析：∵Δy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x ＋Δx2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋2 ＝－2x Δx －Δx2x ＋Δx 2·x 2∴Δy Δx ＝－2x －Δx x ＋Δx 2·x 2，∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝ lim Δx →0 －2x －Δx x ＋Δx 2·x 2＝－2x3，∴y ′|x ＝1＝－2. 10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c (x )＝x 3－6x 2＋15x (元)，而售出x 台的收入是r (x )＝x 3－3x 2＋12x (元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？解析：由题意，生产并售出x 台机器所获得的利润是：L (x )＝r (x )－c (x )＝(x 3－3x 2＋12x )－(x 3－6x 2＋15x )＝3x 2－3x ，故所求的平均利润为：L ＝L 20－L 1020－10＝87010＝87(元)． [B 组能力提升]1．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝x 0＋Δx2－x 2Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－Δx Δx ＝x 20－x 0－Δx 2Δx ＝2x 0－Δx .因为Δx 可大于零也可小于零，所以k 1与k 2的大小不确定．答案：D2．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间 [3,3＋Δt ]中，相应的平均速度等于( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt解析：v ＝ΔsΔt＝[3＋Δt2＋3]－32＋3Δt＝6Δt ＋Δt 2Δt ＝6＋Δt ，故选A.答案：A3．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s )存在关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则起跳后1 s 的瞬时速度是________．解析：h ′(1)＝ lim Δt →0 ΔhΔ t＝ lim Δt →0[－4.91＋Δ t 2＋6.51＋Δt ＋10]－－4.9×12＋6.5×1＋10Δt＝ lim Δ t→0 －3.3Δt －4.9Δt 2Δt＝ lim Δ t →0 (－3.3－4.9Δt )＝－3.3. 答案：－3.3 m/s4．已知一物体的运动方程是s ＝6t 2－5t ＋7，则其在t ＝________时刻的速度为7. 解析：令s ＝f (t )，由题意知lim Δ t →0f t ＋Δt －f tΔt＝lim Δ t →06t ＋Δt2－5t ＋Δt ＋7－6t 2－5t ＋7Δt＝ lim Δ t →0 (12t ＋6Δt －5)＝12t －5＝7，∴t ＝1. 答案：15．路灯距地面8 m ，一个身高1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式， (2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．解析：(1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m. 由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BECD，即yy ＋x ＝1.68，所以y ＝14x . (2)因为84 m/min ＝1.4 m/s ，而x ＝1.4t .所以y ＝14x ＝14×1.4t ＝720t ，t ∈[0，＋∞)．Δy ＝720(10＋Δt )－720×10＝720Δt ，所以 lim Δ x →0 Δy Δt ＝720.即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为720.6．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a ＝5×105m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间为t 0＝1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度．解析：设运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴瞬时速度v ＝ lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0.由题意知a ＝5×105，t 0＝1.6×10－3，故v ＝at 0＝8×102＝800(m/s)．即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1_3.1.2变化率问题导数的概念讲义含解析新人教A版选修

3．1.1&3.1.2 变化率问题导数的概念预习课本P72～76，思考并完成以下问题1．平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？2．瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？3．如何用定义求函数在某一点处的导数？[新知初探]1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)意义：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (4)平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1Δx为割线AB 的斜率，如图所示．[点睛] Δx 是变量x 2在x 1处的改变量，且x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →0 Δy Δx ＝li mΔx →0 f x 0＋Δx －fx 0ΔxΔx 趋于0的距离要多近有多近，即|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx ≠0.3．导数的概念 li m Δx →0 Δy Δx＝li mΔx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx0(1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f (x )在点x 0处可导；若ΔyΔx 的极限不存在，则f (x )在点x 0处不可导或无导数．(2)在点x ＝x 0处的导数的定义可变形为f ′(x 0)＝li m Δx →0 f x 0－Δx －f x 0－Δx或f ′(x 0)＝li m x →x 0f x －f x 0x －x 0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)答案：D3．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上两点A ，B ，且x A ＝1，x B ＝1.1，则函数f (x )从A 点到B 点的平均变化率为( )A ．4B ．4xC ．4.2D ．4.02答案：C4．在f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx中，Δx 不可能为( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案：C[典例] 求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？[解] 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx ；若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193，由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．fx 1－x 0x 1－0.的值可正，可负，但Δx 已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较两个区间上变化的快慢．解：自变量x 从1变化到2时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f－f 2－1＝12. 自变量x 从3变化到5时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f－f 5－3＝1415.由于12＜1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在[3,5]的平均变化比在[1,2]的平均变化快．[典例] 一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．[解] (1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2， Δs Δt ＝3Δt －Δt2Δt＝3－Δt ，li m Δt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]， ∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2， Δs Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt ，li m Δt →0 ΔsΔt ＝li mΔt →0 (－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1.一物体做初速度为0的自由落体运动，运动方程为s ＝12gt 2(g ＝10 m/s 2，位移单位：m ，时间单位：s)，求物体在t ＝2 s 时的瞬时速度．解：因为Δs ＝12g (2＋Δt )2－12g ×22＝2g Δt ＋12g (Δt )2，所以ΔsΔt ＝2g Δt ＋12g Δt2Δt＝2g ＋12g Δt ，当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于2g ，所以物体在t ＝2 s 时的瞬时速度为20 m/s.[典例] (1)函数f (x )＝12＋3x在x ＝1处的导数为________． (2)已知函数f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则 li mΔx →0 f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝________.[解析] (1)因为Δy Δx＝f＋Δx －fΔx＝12＋＋Δx －12＋3×1Δx ＝－3Δx ＋3ΔxΔx＝－3＋3Δx，所以f ′(1)＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li mΔx →0 －3＋3Δx ＝－325.(2)li m Δx →0 f x 0＋2Δx －f xΔx＝li m Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋2Δx －f x 02Δx ×2 ＝2li mΔx →0 f x 0＋2Δx －f x 02Δx＝2f ′(x 0)＝2×4＝8.[答案] (1)－325(2)8简称：一差、二比、三极限．．瞬时变化率的变形形式 x 0＋－f x 0Δxf x 0－Δx －f x 0－Δxx 0＋x －f x 0Δxx 0＋－f x 0－Δx2Δx[活学活用]1．求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．解：因为Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx－()1－1 ＝Δx ＋Δx1＋Δx，所以Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx .当Δx →0时，ΔyΔx→2，所以函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数为2.2．已知f ′(1)＝－2，求li m Δx →0 f－2Δx －fΔx.解：li mΔx →0 f－2Δx －fΔx＝(－2)×li mΔx →0 f－2Δx －f－2Δx＝(－2)×(－2)＝4.层级一学业水平达标1．已知函数f (x )＝1－2x 从x ＝1到x ＝2的平均变化率为k 1，从x ＝－2到x ＝－1的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＝k 2C ．k 1＜k 2D ．不确定解析：选B 由平均变化率的几何意义知k 1＝k 2.故选B.2．一个物体做直线运动，位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为s (t )＝5t 2＋mt ，且这一物体在2≤t ≤3这段时间内的平均速度为26 m/s ，则实数m 的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．6解析：选B 由已知，得s－s 3－2＝26，即(5×32＋3m )－(5×22＋2m )＝26，解得m ＝1，选B.3．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( ) A ．6B ．18C ．54D ．81解析：选B ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2.∴Δs Δt＝18＋3Δt .∴li m Δt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (18＋3Δt )＝18，故应选B.4．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b解析：选C f ′(x 0)＝li m △x －0 f x 0＋Δx －f xΔx＝li m △x －0(a ＋b ·Δx )＝a . 5．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)＝( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3D ．0 解析：选C f ′(0)＝li m Δx →0 ＋Δx2－＋Δx －02＋3×0Δx＝li mΔx →0 Δx2－3ΔxΔx＝li mΔx →0 (Δx －3)＝－3.故选C. 6.如图是函数y ＝f (x )的图象．(1)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[2,4]上的平均变化率为________．解析：(1)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f－f 2－0＝12.(2)函数f (x )在区间[2,4]上的平均变化率为f－f 4－2＝5－12＝2. 答案：(1)12(2)27．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f ′(1)＝li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝li m Δx →0 a＋Δx ＋4－a ＋Δx＝a ，∴a ＝2.答案：28．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．解析：∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 答案：28π39．求函数y ＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝－12时该函数的平均变化率．解：当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f x 0＋Δx －fx 0Δx＝x 0＋Δx2＋3]－x 20＋Δx＝4x 0Δx ＋Δx2Δx＝4x 0＋2Δx .当x 0＝2，Δx ＝－12时，平均变化率的值为4×2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7. 10．求函数y ＝f (x )＝x 2＋x ＋1在x ＝1处的导数．解：根据导数的定义： Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝(1＋Δx )2＋(1＋Δx )＋1－3 ＝(Δx )2＋3Δx ，则Δy Δx ＝Δx 2＋3Δx Δx ＝Δx ＋3，所以f ′(1)＝li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 (Δx ＋3)＝3，即函数f (x )＝x 2＋x ＋1在x ＝1处的导数为3.层级二应试能力达标1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2解析：选 C Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－4＋2Δx＝Δx 2＋4ΔxΔx＝2Δx ＋4.2.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲＞v 乙B ．v 甲＜v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定解析：选B 设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC ＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．3．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是s ，s 是单位是m)，则它在4 s 末的瞬时速度为( )A.12316m/s B.12516 m/sC ．8 m/sD.674m/s解析：选B 由已知，得物体在4s 末的瞬时速度为 li m Δt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 ＋Δt2＋34＋Δt －16－34Δt＝li mΔt →0 Δt2＋8Δt ＋－3Δt ＋ΔtΔt＝li m Δt →0 ⎝⎛⎭⎪⎫Δt ＋8－316＋4Δt ， ∴li m Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516. 4．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足li m Δx →0 f ΔxΔx＝－1，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选B ∵f (x )图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝li mΔx →0 f ΔxΔx＝－1， ∴选B.5．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 解析：ΔsΔt＝t 0＋Δt2＋8－t 20＋Δt＝7Δt ＋14t 0，当li mΔx →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t ＝t 0＝114. 答案：1146．已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m ＝________.解析： f ′(x )＝li mΔx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝－2x2，于是有－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2. 答案：±27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1x ，x >0，＋x 2，x ≤0求f ′(4)·f ′(－1)的值．解：当x ＝4时，Δy ＝－14＋Δx ＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx 4＋Δx ＋.∴Δy Δx ＝124＋Δx 4＋Δx ＋.∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 124＋Δx 4＋Δx ＋＝12×44＋＝116.∴f ′(4)＝116.当x ＝－1时，ΔyΔx ＝f －1＋Δx －f －Δx＝1＋－1＋Δx 2－1－－2Δx ＝Δx －2，由导数的定义，得f ′(－1)＝li m Δx →0 (Δx －2)＝－2， ∴f ′(4)·f ′(－1)＝116×(－2)＝－18.8．设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值．(1)li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0Δx ；(2)li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 0＋5Δx Δx .解：(1)li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0Δx ＝－m li m Δx →0 f x 0－m Δx －f x 0－m Δx ＝－mf ′(x 0)．(2)原式＝li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 0－[f x 0＋5Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 0Δx －li m Δx →0 f x 0＋5Δx －f xΔx＝4li m Δx →0 f x 0＋4Δx －f x 04Δx －5li m Δx →0 f x 0＋5Δx －f x 05Δx＝4f ′(x 0)－5f ′(x 0)＝－f ′(x 0)．。

高中数学第三章导数及其应用 3.1.1、3.1.2 变化率问题导数的概念课件新人教A版选修

第二步，求极限．
26
跟踪练习2
一玩具车沿某一斜面自由落下，测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数
关系为 s＝12t2，则 t＝3 时，此玩具车在水平方向的瞬时速度为( D )
A．32
B．92
C．2
D．3
27
[解析] Δs＝12(3＋Δt)2－12×32 ＝12(9＋6Δt＋Δt2－9) ＝12(6Δt＋Δt2) ＝3Δt＋12Δt2， ∴ΔΔst＝3＋12Δt，当 Δt→0 时，ΔΔst＝3＋12Δt→3，故选 D．
17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位.20岁时，莱布尼兹转入阿尔特道夫大学．这一年，他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》．这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果. 1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员．此时，他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学 .1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长.1700年被选为巴黎科学院院士，建立了柏林科学院并任首任院长．
35
跟踪练习4 若一物体运动方程如下：(位移 s：m，时间 t：s) s＝f(t)＝239t2＋＋32，t－t≥332，. 0≤t<3，求：(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度 v0； (3)物体在 t＝1 时的瞬时速度．
36
[解析] (1)∵物体在 t∈[3,5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2，位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在 t∈[3,5]内的平均速度为ΔΔst＝428＝24(m/s)． (2)求物体的初速度 v0，即求物体在 t＝0 时的瞬时速度． ∵物体在 t＝0 附近位移的平均变化率为ΔΔst＝f0＋ΔΔtt－f0 ＝29＋3[0＋Δt－Δ3]t2－29－30－32＝3Δt－18，

高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念新人教A版选修

探究2：根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定义，回答下列问题：
(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的物理意义分别是什么？
提示瞬时变化率是平均变化率在Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy无限趋近的值；瞬时变化率的物理意义是指物体运动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平均速度．
(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？提示函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点处的导数．
课堂探究案·核心素养提升
题型一求函数的平均变化率
例1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的
平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
【自主解答】函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0
【答案】
1 (1)2
(2)见自主解答
●规律总结
1.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
2．瞬时变化率的几种变形形式
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
2×12＝5.
题型二求函数在某点处的导数
例2 (1)函数 y＝ x在 x＝1 处的导数为________．
(2)如果一个质点由定点 A 开始运动，在时间 t 的位移函数为 y＝f(t)＝t3＋3，
①当 t1＝4，Δt＝0.01 时，求Δy 和比值ΔΔyt； ②求 t1＝4 时的导数．
【自主解答】 (1)Δy＝ 1＋Δx－1， ΔΔxy＝ 1＋ΔΔxx－1＝ 1＋Δ1 x＋1，
＋
Δ
x]
上
的
平
均
变
化
率
为
f（x0＋Δx）－f（x0）（x0＋Δx）－x0
＝
[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2） Δx

[推荐学习]2017_2018版高中数学第三单元导数及其应用3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时

3．1.1 函数的平均变化率3．1.2 瞬时速度与导数学习目标 1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？思考3 观察函数y ＝f (x )的图象，平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示什么？梳理函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：____________的增量与____________的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝fx 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的________．知识点二瞬时变化率思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2，试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？梳理 (1)物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f (t )，当________________时，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率为________________趋近于常数，这个常数称为t 0时刻的瞬时速度．(2)函数的瞬时变化率设函数y ＝f (x )在x 0附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变Δx 时，函数值相应地改变Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率____________趋近于一个常数l ，则数l 称为函数f (x )在点x 0的瞬时变化率．知识点三函数在某一点处的导数与导函数思考 f ′(x 0)与f ′(x )表示的意义一样吗？梳理 (1)函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的________________称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作____________，即f ′(x 0)＝________________. (2)导函数定义如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 导数都存在，则称f (x )在区间(a ，b )可导，这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个________________，于是在区间(a ，b )内f ′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数．记为f ′(x )(或y ′x 、y ′)． (3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x )|x ＝x 0.类型一函数的平均变化率例1 (1)已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.①求：当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；②求：当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx.(2)求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？反思与感悟求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(2)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．类型二求瞬时速度例2 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．引申探究1．若本例的条件不变，试求物体的初速度．2．若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． ②求平均速度v ＝Δs Δt. ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝s ′(t 0)．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．类型三求函数在某一点处的导数例3 求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数．反思与感悟求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练3 已知f (x )＝3x 2，f ′(x 0)＝6，求x 0.1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3 D ．0.2 2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关3．当球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为________． 4．函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数为________．5．已知函数f (x )＝a x在x ＝1处的导数为－2，则实数a 的值是________．利用导数定义求导数三步曲(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求平均变化率Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx.(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx. 简记为一差，二比，三极限．特别提醒：①取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使当Δx →0时，分母不为0.②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关．答案精析问题导学知识点一思考1 自变量x 的改变量为x 2－x 1，记作Δx ，函数值y 的改变量为y 2－y 1，记作Δy . 思考2 对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画其陡峭程度．思考3 观察图象可看出，ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率．梳理 (2)函数值自变量 (4)斜率知识点二思考1 Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝10＋5Δt . 思考2 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于10，这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度．梳理 (1)t 0到t 0＋Δt f t 0＋Δt －f t 0Δt (2)f x 0＋Δx －f x 0Δx知识点三思考 f ′(x 0)表示f (x )在x ＝x 0处的导数，是一个确定的值．f ′(x )是f (x )的导函数，它是一个函数．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．梳理 (1)瞬时变化率 f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx(2)确定的导数f ′(x ) 题型探究例1 解 (1)因为f (x )＝2x 2＋3x －5，所以Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx . Δy Δx＝Δx2＋x 1＋Δx Δx＝2Δx ＋4x 1＋3.①当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1， Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2＋19＝21，ΔyΔx＝21.②当x 1＝4，x 2＝4.1时，Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋4x 1＋3＝19.2. (2)在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx＝＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx＝＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx＝＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大．跟踪训练1 (1)Δx (2)12 34解析 (1)Δy Δx ＝f－1＋Δx －f －1Δx＝－1＋Δx2＋－1＋Δx －5－－6Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f 1－f －11－－＝2－12＝12. 由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为 f 2－f 02－0＝3－322＝34.例2 解 ∵Δs Δt ＝s 1＋Δt －s 1Δt＝＋Δt2＋＋Δt ＋1－12＋1＋Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3，即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究1．解 ∵Δs Δt ＝s 0＋Δt －s 0Δt＝＋Δt2＋＋Δt ＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴lim Δx →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(1＋Δt )＝1. ∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2．解设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s ，∵Δs Δt＝st 0＋Δt －s t 0Δt＝2t 0＋1＋Δt .∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.跟踪训练2 解质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt ＝a 2＋Δt2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，∴lim Δx →0 Δs Δt ＝4a ＝8，即a ＝2. 例3 解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， ∴f ′(1)＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →011＋Δx ＋1＝12. 跟踪训练3 解 ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0x 0＋Δx2－3x 2Δx＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx )＝6x 0，又f ′(x 0)＝6，∴6x 0＝6，即x 0＝1. 当堂训练1．B 2.B 3.28π34.165.2。

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3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
课时达标训练
1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx应满足( )
A.Δx>0
B.Δx<0
C.Δx=0
D.Δx≠0
【解析】选D.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δx要求Δx≠0.
2.函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,Δy=( )
A.f(x0+Δx)
B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·Δx
D.f(x0+Δx)-f(x0)
【解析】选D.Δy看作相对于f(x0)的“增量”,可用f(x0+Δx)-f(x0)代替.
3.函数在某一点的导数是( )
A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比值
B.一个函数
C.一个常数,不是变数
D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
【解析】选C.由导数定义可知,函数在某一点的导数,就是平均变化率的极限值.即它是一个常数,不是变数.
4.若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x0∈(a,b),若f′(x0)=4,则的值为( )
A.2
B.4
C.8
D.12
【解析】选C.=2
=2=2f′(x0)=8.
5.如图是函数y=f(x)的图象,则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________.
【解析】由函数f(x)的图象知,
f(x)=所以,函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为==.
答案:
6.已知函数f(x)=13-8x+x2,且f′(x0)=4,求x0的值.
【解析】因为f′(x0)=
=
=
=(-8+2x0+Δx)
=-8+2x0,
所以-8+2x0=4.所以x0=3.
7.用导数在某一点处的定义,求函数y=f(x)=在x=1处的导数.
【解析】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=-
==,
所以=,
所以=
==-,
所以y′|x=1=f′(1)=-.。