广义笛卡尔积
关系代数
[( ] X1θY1 [ )][φ [( ] X2θY2 [ )]]…
θ：比较运算符（＞，≥，＜，≤，＝或<>） X的1序，号Y1等来代：替属；性名、常量、简单函数；属性名也可以用它 φ：逻辑运算符（∧或∨） [ ]：表示任选项 …：表示上述格式可以重复下去
| tr R∧ts S∧tr[A]θts[B] }
A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组
θ：比较运算符
连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选 取（R关系）在A属性组上的值与（S关系） 在B属性组上值满足比较关系的元组。
连接(续)
3）两类常用连接运算
等值连接（equijoin）
π σ Sno,Sname（ Cno='2'（SC））
＝｛ 95001，95002｝
综合举例(续)
[例 3] 查询至少选修了一门其直接先行课为5号课程 的课程的学生姓名。
πSname(σCpno='5'(Course
或
SC Student))
πSname(σCpno='5'(Course)
或
SC πSno，Sname(Student))
具有相同的目n
相应的属性取自同一个域
R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组
成
R∩S = { t|t R∧t S } R∩S = R –(R-S）
ABC R a1 b1 c1
a1 b2 c2 a2 b2 c1
ABC S a1 b2 c2
a1 b3 c2 a2 b2 c1
运算符 含义
运算符 含义
互联网数据库 名词解释
名词解释1.数据模型2.数据结构3．数据操作4．数据的约束条件5．概念数据模型6．实体（Ntity7．属性（Attribute）8．码（Key）9．域（ Domain）10．实体型（Entity Type）11．实体集（Entity Set）12．联系（Relationship14．元组（tuple）15．属性（Attribute）16．主码（Key）17．分量18．关系模式19·“型”（Type）和“值”（Value20．模式（Schema22．外模式（External Schema）21．实例（Instance）23.内模式（Internal Schema）24．数据库管理系统（DBMS）25.关系数据库系统27.笛卡尔积(Cartesian Product)29．属性（AttributeX30，候选码（Candidate Key人31．主属性（Prime Attribute卜33．全码（All－Key）34．关系模式（Relation SchemaX35．实体完整性（Entity Integrity36．参员关系（Referencing，Relation）37．参照完整性（Referential IntegrityX38．参照完整性规则：39．用户定义的完整性（User－Defined IntegrityX 40．并（Union）运算的定义41．差 U以erence）运算的定义：42．交(intersection）43．广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）44．选择(Selection）.45．投影（Projection）46．连接(Join）49．集函数（48．除(division）47．等值连接（Equi—Join）和自然连接（Natural Join）：50连接查询：51：嵌套查询52．关系模式54．函数依赖54．平凡函数依赖与非平凡函数依赖55．完全函数依赖与部分函数依赖56．传递函数依赖57．多值依赖58.基本表59.视图：59．数据库的安全性。
24 关系代数
2.4 关系代数--------------------------------------------------------------------- 关系代数是一组施加于关系上的高级运算，每个运算都以一个或多个关系作为它的运算对象，并生成另一个关系作为该运算的结果。
由于它的运算直接施加于关系之上而且其运算结果也是关系，所以也可以说它是对关系的操作；从数据操作的观点来看，也可以说关系代数是一种查询语言。
---------------------------------------------------------------------关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是用对关系的运算来表达查询的。
任何一种运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。
所以运算对象、运算符、运算结果是运算的三大要素。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。
关系代数用到的运算符包括四类:集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符，如表2·4所示。
关系代数的运算按运算符的不同可分为传统的集合运算和专门的关系运算两类。
其中传统的集合运算将关系看成元组的集合，其运算是从关系的"水平"方向即行的角度来进行。
而专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列。
比较运算符和逻辑运算符是用来辅助专门的关系运算符进行操作的。
2.4.1 传统的集合运算传统的集合运算是二目运算，包括并、差、交、广义笛卡尔积四种运算。
设关系R和关系S具有相同的目n(即两个关系都有n个属性)，且相应的属性取自同一个域，则可以定义并、差、交运算如下:1.并 (Union)关系R与关系S的并记作:R ∪ S = {t|t∈R ∨ t∈S}其结果仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成。
(注:等式右边大括号中的t是一个元组变量,表示结果集合由元组t构成。
竖线“|”右边是对t约束条件,或者说是对t的解释。
关系数据库语言SQL(ch3-2)
left [outer] join 左外连接
左边表和右边表满足连接条件的记录取出为结果集，加上 左边表和右边表满足连接条件的记录取出为结果集， 左边表未匹配的记录
right [outer] join 右外连接
左边表和右边表满足连接条件的记录取出为结果集， 左边表和右边表满足连接条件的记录取出为结果集，加上 右边表未匹配的记录
SELECT Sno，Sname，Sdept ， ， FROM Student WHERE Sdept IN (SELECT Sdept FROM Student WHERE Sname= ‘ 刘晨 ’)； ；
（8）带有ANY谓词的子查询 ）带有 谓词的子查询
[例] 查询其他系中比信息系任意一个（其中某一个) 例 查询其他系中比信息系任意一 其中某一 学生年龄小的学生姓名和年龄. 学生年龄小的学生姓名和年龄 SELECT Sname，Sage ， FROM Student WHERE Sage < ANY (SELECT Sage FROM Student WHERE Sdept= ' IS ') AND Sdept <> ' IS ' ; /* 注意这是父查询块中的条件 */
（3）自身连接 ）
[例] 查询每一门课的间接先修课 即先修课的先修课 例 查询每一门课的间接先修课,
Course表结构为：Cno,Cname,Cpno,Ccredit 表结构为： 表结构为
SELECT o，SECOND.Cpno ， FROM Course FIRST，Course SECOND ， WHERE FIRST.Cpno = o； ；
(11) 带有 带有EXISTS谓词的子查询 谓词的子查询
a.交 b并差广义式笛卡尔积
a. 交（Intersection）是指两个集合中共有的元素构成的集合。
假设有两个集合A和B，它们的交集记作A ∩B。
交集包含的元素是同时属于A和B的元素。
交集的计算可以通过逐个比较A和B中的元素来完成。
只有当元素同时存在于A和B中时，它才属于交集。
如果A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，那么A和B的交集为A ∩B = {2, 3}。
b. 并（Union）是指两个集合中所有元素构成的集合。
假设有两个集合A和B，它们的并集记作A ∪B。
并集包含的元素是属于A或者属于B的元素，或者同时属于A和B的元素。
并集的计算可以通过将A和B中的所有元素合并到一起来完成。
如果有重复的元素，只保留一个。
如果A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，那么A 和B的并集为A ∪B = {1, 2, 3, 4}。
差（Difference）是指从一个集合中去掉另一个集合的元素所得到的集合。
假设有两个集合A和B，它们的差集记作A - B。
差集包含的元素是属于A但不属于B的元素。
差集的计算可以通过逐个比较A和B中的元素来完成。
对于A中的每个元素，如果它不在B中出现，则它属于差集。
如果A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，那么A和B的差集为A - B = {1}。
广义式笛卡尔积（Cartesian Product）是指两个集合中所有可能的有序对所构成的集合。
假设有两个集合A和B，它们的广义式笛卡尔积记作A ×B。
广义式笛卡尔积包含的元素是形如(a, b)的有序对，其中a属于集合A，b属于集合B。
广义式笛卡尔积的计算可以通过将A中的每个元素与B中的每个元素进行配对来完成。
如果A = {1, 2}，B = {3, 4}，那么A和B的广义式笛卡尔积为A ×B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}。
传统的集合运算
D
所有选课的学生－仅选1号课程之外的学生
求仅选修了1号课程的学生号
S#
C#
SCORE
P03
C02
88
P01
C03
92
S#
P01
P02
S#
P01
P03
S#
P02
外连接 为避免自然连接时因失配而发生的信息丢失，可以假定往参与连接的一方表中附加一个取值全为空值的行，它和参与连接的另一方表中的任何一个未匹配上的元组都能匹配，称之为外连接 外连接 = 自然连接 + 失配的元组 外连接的形式：左外连接、右外连接、全外连接 左外连接 = 自然连接 + 左侧表中失配的元组 右外连接 = 自然连接 + 右侧表中失配的元组 全外连接 = 自然连接 + 两侧表中失配的元组
RS = { t|t=﹤tr，ts﹥∧trRtsS }
A
B
1 2
R
C
D
10 10 20 10
E
a a b b
S
A
B
1 1 1 1 2 2 2 2
C
D
10 19 20 10 10 10 20 10
E
a a b b a a b b
R x S
专门的关系运算包括选择、投影、连接、除等。 几个记号： 1.设关系模式为R(A1, A2,..., An)。它的一个关系设为R。t∈R表示t是R的一个元组。t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量 。 2.若A={Ai1, Ai2,..., Aik}，其中Ai1, Ai2, ..., Aik是A1, A2,..., An中的一部分，则A称为属性列或域列。フA则表示{A1, A2,..., An}中去掉{Ai1, Ai2,..., Aik}后剩余的属性组。t[A]=(t[Ai1], t[Ai2],..., t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。
广义笛卡尔积
广义笛卡尔积假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2), (b,0),(b,1),(b,2)}。
可以扩展到多个集合的情况。
类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。
数据库求广域笛卡尔积问题R： A B C S: A B Ca 3 db 1 fb 4 t r 3 er 3 e d 3 t求R×SA B C A B CA B C b 1 fA B C r 3 eA B C d 3 ta 3 d A B Ca 3 db 1 fa 3 d r 3 ea 3 d d 3 tb 4 t A B Cb 4 t b 1 fb 4 t r 3 eb 4 t d 3 tr 3 e A B Cr 3 e b 1 fr 3 e r 3 er 3 e d 3 t(1) 选择（Selection） 在给定关系R中选择满足条件的元组。
记为： 其中F表示选择条件，是一个逻辑表达式，它的值为“真”或“假”。
逻辑表达式是由属性名、常量、简单函数和比较运算符、逻辑运算符组成的有意义的式子。
通常情况下，逻辑表达式是由逻辑运算符连接由比较运算符组成的比较关系式而成。
即通过逻辑运算符将比较关系式XqY连接起来组成逻辑表达式。
当然单独的比较关系式也是一个逻辑表达式。
（2）投影（Projection） 在给定关系R(U)中选择若干属性列组成的新关系。
记为： 其中A为R中属性组，且AíU。
在关系二维表中，选择是一种水平操作，它针对二维表中行，而投影是一种垂直操作，它针对二维表中的属性列。
（3）连接（Join） 连接也称为条件连接，它从两个关系的笛卡儿积中选择满足条件的元组。
记为： 其中A和B分别是关系R和S上度数相同且可比属性组，q为比较运算符。
在连接中有三种最常见的连接，一种是等值连接，一种是自然连接，还有半连接。
从广义笛卡尔积解关系代数除法
从广义笛卡尔积解关系代数除法
广义笛卡尔积解关系代数除法：
1、定义：
又称广义积，它是一种将交集、并集连接空间一起构成总集合的方法，属于多集数理中很重要的概念。
它是将两个集合A与B结合在一起，通过计算其积，来构成一个新的集合C。
2、概念：
广义笛卡尔积解除法是一种关系代数除法的核心原理，它是一种把一个关系代数解为多个子关系代数的算法。
其中，子关系代数是指这个关系代数的分解，每一个子关系代数都是一个分解出来的独立关系代数。
在计算除法时，我们通过构造出子关系代数来达到除法计算的目的，从而正确地计算出结果。
3、步骤：
（1）首先，根据关系代数的结构特点，找到关系代数中可以独立出来的子关系代数，将其分解开来；
（2）接着，将子关系代数的结构进行重组，重组的过程要满足代数的合并规则；（3）最后，将重组的结果代入关系代数中，解出特定的结果。
4、优点：
（1）算法性强：广义笛卡尔积解除法是一个可以确定性地计算的算法，可以精确地求出结果。
（2）实用性强：可以应用于实际中经常出现的复杂算式，从而准确地解决问题。
（3）操作简单：解析过程不复杂，不必把握较多的计算过程，比较容易上手。
5、缺点：
（1）耗时长：要构造出子关系代数，需要将原来的关系代数分解，接着还需要重新组合，该步骤耗时较多；
（2）并不是每一个关系代数都可以进行分解：不是每一个关系代数都可以用来进行分解，有些关系代数是没有办法分解的，使用广义笛卡尔积解除法解决这些关系代数是不可行的；
（3）学习难度高：要掌握广义笛卡尔积解除法，需要先学习代数相关知识，再结合关系代数的结构特点，分析广义笛卡尔积解除法，比较耗时、学习成本高。
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广义笛卡尔积
广义笛卡尔积是指将多个集合的元素进行组合，得到所有可能的组合
结果的集合。
在数学中，广义笛卡尔积的概念被广泛应用于各种领域，如组合数学、离散数学等。
在实际应用中，广义笛卡尔积经常被用来解决问题。
例如，在数据库
查询中，如果需要从多个表中获取符合特定条件的数据，则可以使用
广义笛卡尔积来实现查询结果的生成。
此外，在机器学习和数据挖掘
领域，广义笛卡尔积也经常被用来处理多维数据。
下面我们来详细了解一下广义笛卡尔积的定义、性质和应用。
1. 定义
假设有n个集合A1, A2, ..., An，它们分别包含m1, m2, ..., mn个元素。
则这n个集合的广义笛卡尔积定义为一个包含所有可能组合的集
合B：
B = { (x1, x2, ..., xn) | x1∈A1, x2∈A2, ..., xn∈An }
其中(x1, x2, ..., xn)表示由n个元素组成的一个序列。
举例说明：假设有两个集合A={a,b}和B={c,d}，则它们的广义笛卡尔积为：
A ×
B = { (a,c), (a,d), (b,c), (b,d) }
2. 性质
广义笛卡尔积具有以下性质：
（1）交换律：对于任意的n个集合A1, A2, ..., An，它们的广义笛卡尔积满足交换律，即Ai × Aj = Aj × Ai。
（2）结合律：对于任意的n个集合A1, A2, ..., An和m个集合B1, B2, ..., Bm，它们的广义笛卡尔积满足结合律，即(A1 × A2) × ... × (An-1 × An) = A1 × ... × An。
（3）幂等性：任何集合与空集的广义笛卡尔积都是空集。
3. 应用
广义笛卡尔积在实际应用中有着广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用场景。
（1）数据库查询
在关系型数据库中，如果需要从多个表中查询符合特定条件的数据，
则可以使用广义笛卡尔积来实现。
例如，假设有两个表A和B，其中
A包含n条记录，B包含m条记录，则可以使用如下SQL语句来获取所有符合条件的数据：
SELECT * FROM A, B WHERE A.id = B.id;
这条SQL语句中的A和B就是两个集合，它们的广义笛卡尔积就是所有可能的组合，也就是符合条件的数据。
（2）机器学习和数据挖掘
在机器学习和数据挖掘领域，广义笛卡尔积经常被用来处理多维数据。
例如，在分类问题中，如果需要将多个特征组合起来进行分类，则可
以使用广义笛卡尔积来生成所有可能的特征组合。
这样可以有效地提
高分类准确率。
（3）组合数学
在组合数学中，广义笛卡尔积经常被用来计算排列和组合。
例如，在
计算从n个元素中选取r个元素的排列时，可以使用n个集合分别表示每个位置可选的元素集合，然后对这些集合进行广义笛卡尔积运算得到所有可能的排列。
总之，广义笛卡尔积在各种领域都有着重要的应用价值。
熟练掌握广义笛卡尔积的定义、性质和应用可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。