复变函数4 - 1 复数项级数和序列以及泰勒级数幻灯片

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第四章复变函数的级数演示精品PPT课件

则
(1) 当 0 时, 收敛半径 R ;
形式上可以记为
(2)
当
时,
R
收1敛半径
R 0;
(3)
当0
时,
收敛半径
R
1.
证明：由于
为数列, 记为n.
定义4.1 设 n是数列， a ib 是常数.
如果e >0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
n e 成立, 则称当n时, an收敛于 ,
或称是n的极限, 记作
lim
n
n
.
复数列收敛与实数列收敛的关系
定理一
lim
n
n
的充分必要条件是
lim
n
an
a,
lim
cnzn 发散.
n0
• z0
2 收敛圆与收敛半径
定理3.由6 (Abel定理), 幂若级级数数 ccnnzznn在收z敛1 情0 况有三种: n00
处收敛(1，) 则对当所有z 的z1正时实, 数级都数收敛cnz. n 绝对收敛; n0 级数在复平面内绝对收敛.
若级数(2)n对0 cn所zn 有在的z2 正处发实散数，都则发当散z. z2 时, 级数
因此，幂级数 cn(z z0 )n的收敛范围是 n0
以 z z0为中心的圆域.
问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数
进行具体分析.
例 1 求级数 zn 的收敛半径与和函数.
解
n0
z 1
lim zn 0
n
级数 zn 发散.
fn(z) f1(z) f2(z)
n1

第四章复变函数级数共38页PPT资料

设 fn(z)是定义在区域D上的复变函数列,
称
fn (z)f1 (z)f2(z) L fn (z) L
n 1
为复变函数项级数.
n
Sn(z) fi(z)f1(z)f2(z) Lfn(z) i 1
为该级数前n项的部分和.
如果对 z0 D, 级数 f n ( z 0 ) 收敛, 即 n1
ln i m Sn(z0)S(z0),
n1
n1
证明说明
n anibn.
n1
n1
n1
n
n
由 Sn ak i bk, 及定理4.1, 易证.
k1
k1
复数项级数的收敛问题
两个实数项级数的收敛问题
练习
级数
n1
1 n
1
i n
是否收敛?
解因为级数发散, 而级数
an
n1
n1
1 n
bn
n1
n1
1 n2
收敛, 所以原复数项级数发散.
则称级数 f n ( z ) 在 z 0 点收敛, 且S ( z 0 ) 是级数和. n1 如果级数 f n ( z ) 在D内处处收敛, 则称其在 n1
区域D内收敛. 此时级数的和是函数
S ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为该级数在区域D上的和函数.
s
i
n
n
.
lim
n
an
1,
lim
n
bn
0
数列
1
1 n
e
i
n
收
敛
,
且
有
lim
n
n
1.

高等数学课件-复变函数与积分变换第四章级数

称为级数的部分和。
在收敛域D内
lim
n
Sn
(
z)
S
(
z
),
S ( z) 为级数的和函数。
二、幂级数
若 fn (z) Cn zn 或 fn (z) Cn (z z0 )n 时，
幂级数为
Cn zn 或
Cn (z z0 )n
n0
n0
定理4.7
Ab el 定理如果级数
Cn zn
n0
z z 在
z0
sin
z
k 0
(1)k z2k1
2k 1!
R
• 例5 将 cos z 在 z 0处展开成幂级数。
sin z 解：将
两边对z求导
cos z
(1)k (2k 1)z2k
k 0
2k 1!
(1)k z2k
k 0
2k !
例6 arctan z 在 z 0 处展开成幂级数。
解：
arctan
z
b
二、复数项级数
定义4.2
z 设
为一复数列，表达式
n
zn z1 z2 zn
n1 为复数项级数，其前n项之和
Sn z1 z2 zn
为级数的部分和。称级数收敛，
若
lim
n
Sn
S,
S称为级数的和，
记为
S zn
若
{Sn} 不收敛，则称级数是发散的
n1
n
n
n
Sn k an i bn 有
收敛，那么对满足
0
| z || z0 | 的z，
级数必绝对收敛。
如果在
z z 级数发散，那么对满足 0

复变函数PPT第四章

——代入法
1 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 点邻域内的 Taylor级数. (1 z )
解：z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点，且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1.
利用逐项积分得
(n 1)z dz
n 0 n 0 n 0
z

z
0
( n 1) z dz z
n n 0

n 1
z . 1 z
所以
1 z n (n 1)z 1 z (1 z )2 n 0

z 1 .
n0

的收敛范围与和函数.
解级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n1 1 lim sn z 1 n 1 z
z 1
lim z 0
n n
1 zn , ( z 1) 1 z z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 发散.

所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散, zn 1 在圆周 z 1上,级数 3 3 n 1 n n 1 n 收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
(cos in) z n （2）
n 0

1 n 解因为 cn cos in (e e n ), 所以收敛半径为 2 en en cn 1 1 e 2 n lim n1 R lim . n 1 lim 2 n 1 n e n c n e e e e n1
(7)(1 z ) 1 z

( 1)

复变函数课件 4.1级数和序列的基本性质(1)

注解：
注解1、对于一个复数序列 {zn}，我们可以作一个复数项级数如下
z1 (z2 z1) (z3 z2) ... (zn zn1) ...
则序列{zn}的敛散性和此级数的敛散性相同。
注解2、级数 zn 收敛于的 N 定义可以
叙述为： 0,N 0,使得当n N时,有
n
| zk | k 1
注解：
注解3、如果级数 zn收敛，那么
lim
n
zn

lim (
n
n
n1)

0,
注解4、令
an Re zn , an Re zn ,bn Im zn , a Re ,b Im
我们有
n
n
n ak i bk
可以找到一个正整数 N ，使得当 n>N ， p=1,2,3,…时
| zn1 zn2 ... zn p |
柯西收敛准则：柯西收敛原理（复数序列）：序列 {zn} 收敛必要与充分条件是：任给 0,
可以找到一个正整数N，使得当m及n>N，
| zn zm |
ak2 bk2 | ak | | bk |,
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
k 1
例：
注解2、若级数 zn 绝对收敛，则它一定收敛。
例、当 | | 1 时，
1 2 ... n ...
绝对收敛；并且有
1 2 ...
绝对收敛：
对于复数项级数
z，n 我们也引入绝对收敛
的概念：如果级数
| z1 | | z2 | ... | zn | ...

复变函数的级数表示PPT课件

的函数项级数称为幂级数.
在(2)中令z z0 ,(2)变为 cn n .
第12页/共64页
n0
所以，不失一般性，后今主要讨论 cnzn . (3) n0
关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：
定理1 (----Abel定理）
⑴若级数 cn zn在 z z0 ( 0)收敛 ,则对满足
第34页共64页35定理1taylor定理上各点的最短距离的边界内解析在区域第35页共64页36把上面的式子代入2并把它改写成下面的形式第36页共64页37其中而3又可以写为成立则可以证明lim内成立第37页共64页38上连续因此内解析从而在使得存在于是第38页共64页39lim成立内成立内即可及其内部包含在只要圆可以任意增大的半径为半径为中心的收敛范围是以级数之间的距离的最近的一个奇点等于从展开式的收敛半径在解析点那么有奇点第39页共64页40事实上设fz用另外的方法展开为幂级数
级数前n项的和
n
sn(z) f1(z) f2(z) fn(z) fk (z) k 1
-----级数的部分和；
设z0为D内一点，如果ln i m sn (z0 ) s(z0 )存在，则称级数(1)在z0处收敛，s(z0 )称为它的和.
第11页/共64页
n1 n
nnz n
(3)
.
n1 n!
解 (1)
lim cn1 c n
n
l i m( n ) p 1, n n 1
R 1;
收敛圆| z | 1.
(2) lim cn1 l i m n 1, R 1;
c n n
n n 1
收敛圆| z 1 | 1.

复变函数4-1

13
定理证
如果 zn 收敛, 那末 zn 也收敛.
n1
n1
由于 zn
an2 bn2 ,
n1
n1
而 an an2 bn2 , bn an2 bn2 ,
根据实数项级数的比较准则, 知
an 及 bn 都收敛,
n1
n1
故 an 及 bn 也都收敛.
n1
n1
zn 是收敛的.
n1
机动目录上页下页返回结束
n1 n
n1
n
(1 1 1 ) i(1 1 1 ) 1 i (1)n 1
23
23
n1 n
n1
n
因为级数 1 发散, 虽 (1)n 1收敛,
n1 n
n1
n
原级数仍发散.
机动目录上页下页返回结束
18
例3 级数 (8i)n 是否绝对收敛？
n1 n! 解因为 (8i)n 8n ,
kn
序列{zn}收敛的充分必要条件是：对任给 > 0,
存在正整数N, 使当m, n > N时，有
| zm zn | .
机动目录上页下页返回结束
12
3. 绝对收敛与条件收敛
如果 zn 收敛, 那末称级数 zn为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
机动目录上页下页返回结束
1
)e
i
π n
收
敛,
n
且
lim
n
n
1
.
解 (2) 由于 n ncos in ncoshn,
当 n 时, n ,
所以数列发散.

[复变函数与积分变换][课件][第4章][级数]

级
数
∑f
n =1
+∞
n
( z ) = f1 ( z ) + f 2 ( z ) + f 3 ( z ) +
+ f n ( z) +
为复
= f1 ( z ) + f 2 ( z ) +
+ f n ( z) = ∑ f k ( z) ．
k =1
n
sn ( z0 ) 若 z 0 ∈ D ，极限 nlim → +∞
敛点；
= s ( z0 )
存在，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z0 处收敛，和
∑f
n =1
+∞
n
( z0 ) = s ( z0 ) ， z0 为收
若 z 0 ∈ D ， {sn ( z 0 )} 发散，称
∑f
n =1
+∞
n
( z ) 在 z 0 处发散， z 0 为发散点．
D1 收敛域
D2 发散域
∑αn = s
n =1
+∞
Δ
收敛；若 {s n }
∑α
n =1
+∞
n
收敛
⇔
∑a
n =1
+∞
n
和
∑b
n =1
+∞
n
均收敛．
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ 证： s n = ∑ α k = ⎜ ∑ ak ⎟ + i ⎜ ∑ bk ⎟ ． k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠
此定理将复级数的审敛问题转化为实级数的审敛问题．级数收敛之必要条件：

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w0
lim
n
zn
+
wn
z0 + w0
性质2 Cauchy收敛准则 zn z0
任意 0，存在N，使得当m，
n>N时，| zm
zn |
6/16/2020
5
复数项级数
对于复数列 {z1，z2，…，zn，…}，称
zn z1 z2 zn
n1
为复数项级数。部分和记为
n
Sn zk z1 z2 zn
| zn || |n
可知极限不存在。
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25
例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ，为复数。
注：（3）用到了如下性质
lim zn z0 lim | zn || z0 |
n
n
这是因为
0 || zn | | z0 ||| zn z0 | 0
n 1
n 1
15
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，
求极限。（1）zn
( i )n，（2）zn 2
cos in。
6/16/2020
16
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，
求极限。（1）zn
( i )n，（2）zn 2
cos in。
分析与解：（1）由于 |i/2|<1，猜测{zn}的极限为0
|
zn
n1
实数项级数 xn， yn 分别收敛于X和Y。
n1
n1
此时，S=X+iY
证明：由于Sn=Xn+iYn，可知 Sn S Xn X，Yn Y。
6/16/2020
10
定理：复数项级数 zn 绝对收敛
n1
实数项级数 xn ，都绝对收敛。
yn
Байду номын сангаас
n1
n1
6/16/2020
11
定理：复数项级数 zn 绝对收敛
n1
实数项级数 xn ，都绝对收敛。
yn
n1
n1
证明：“ ”假设 | zn | 收敛，由于
n 1
|xn|≤|zn|，|yn|≤|zn|，可知
| xn | ，| yn | 收敛。
n 1
n 1
6/16/2020
12
定理：复数项级数 zn 绝对收敛
n1
实数项级数 xn ，都绝对收敛。
zn n ，为复数。
（2）| |=1，| zn || |n 1 ，可知数列{zn}
在单位圆上运动。设 =ei ，则 zn=ein 。
当
=2k
，即
=1时，显然有
lim
n
zn
1。
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23
例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ，为复数。
（2）| |=1，| zn || |n 1 ，可知数列{zn}
yn
n1
n1
证明：“ ”假设 | xn |， | yn | 收
n1
n1
敛，则 (| xn | | yn |) 收敛，由于
n 1
|zn|≤|xn|+|yn|，可知 | zn | 收敛。
n1
6/16/2020
13
定理：复数项级数 zn 绝对收敛
n1
实数项级数 xn ，都绝对收敛。
在单位圆上运动。设 =ei ，则 zn=ein 。
当
=2k
，即
=1时，显然有
lim
n
zn
1。
当 ≠2k，| zn zn1 || ein ei(n1) | |1 |
6由/16/2C02a0 uchy收敛准则知极限不存在。
24
例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ，为复数。
（3）| |>1，此时有
复数项级数和序列
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1
复数序列
复数列即有序的复数集
{zn}={z1，z2，…，zn，…} 称{zn}收敛于z0，若
记作
lim | zn z0 | 0
n
lim zn z0
n
6/16/2020
2
复数列的极限归结为实数列的极限
lim zn z0 lim | zn z0 | 0
n
zn n ，为复数。
（1）| |<1，此时
| zn || |n 0
可知 lim zn 0 n
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21
例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ，为复数。（2）| |=1，| zn || |n 1 ，可知数列{zn}
在单位圆上运动。
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22
例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中
|| ( i )n 2
|
1 2n
0
可知
lim
n
zn
0
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17
例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，
求极限。（1）zn
( i )n，（2）zn 2
cos in。
分析与解：（2）由余弦函数的定义
zn
cos in
1 2
(en
en )
(n 0)
可知数列 zn cosin 发散。
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yn
n1
n1
推论：复数项级数 zn 绝对收敛
n1
级数收敛。
zn
n 1
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14
性质：
1、
zn收敛
n1
2、
zn收敛
n 1
得n>N时，
zk 0 {zk}有界； > 0，存在N，使
| zn1 zn2 zn p |
3、 (zn wn ) zn wn
6/16/2020 n1
n
lnim
|
xn
x0
|
0
lnim | yn y0 | 0
lnim lnim
xn yn
x0 y0
6/16/2020
3
性质1 线性性质
， C，lim zn z0，lim wn w0
n
n
lim
n
zn
+
wn
z0 + w0
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4
性质1 线性性质
，
C，lim n
zn
z0，lnim wn
n 1
xn yn
部分和
n
X n xk x1 x2 xn
k 1
n
Yn yk y1 y2 yn
6/16/2020
k 1
8
定理：复数项级数 zn 收敛于S
n1
实数项级数 xn， yn 分别收敛于X和Y。
n1
n1
此时，S=X+iY
6/16/2020
9
定理：复数项级数 zn 收敛于S
18
例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ，为复数。
6/16/2020
19
例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中
zn n ，为复数。
分析与解：类似于实数列情形，应该以1为临界
点分为三种情况：（1）| |<1，（2）| |=1，（3）| |>1
6/16/2020
20
例2：讨论数列{zn}的收敛性，其中
k 1
6/16/2020
6
收敛性：若 lim Sn S ，则称级数 n
zn 收
n 1
敛，记作 S zn
n 1
若{Sn}发散，则称级数 zn 发散。
n 1
若 | zn | 收敛，称级数 zn 绝对收敛。
n 1
n1
6/16/2020
7
对应的实数项级数
xn x1 x2
n 1
yn y1 y2