北京市第二中学2020—2021学年高三下学期数学开学考试试卷(无答案)
2020-2021学年北京市某校高三(下)开学数学试卷
2020-2021学年北京市某校高三（下）开学数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合A＝{x∈R|−1≤x≤3}，B＝{x∈N|2x<4}，则集合A∩B中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求解指数不等式化简B，再由交集运算求得A∩B，得到集合A∩B中元素的个数．【解答】∵A＝{x∈R|−1≤x≤3}，B＝{x∈N|4x<4}＝{x∈N|x<2}＝{5, 1}，∴A∩B＝{x∈R|−1≤x≤5}∩{0, 1}＝{4，∴集合A∩B中元素的个数为2．2. 若z(1−i)＝2i，则的虚部为（）A.1B.−1C.iD.−i【答案】B【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．【解答】由z(1−i)＝2i，得z＝＝，∴，则的虚部为−4．3. 在的二项展开式中，x2的系数为（）A. B. C. D.【答案】D【考点】二项式定理及相关概念【解析】求出二项展开式的通项公式，令x 的指数为2，求出r 的值，即可得解．【解答】的二项展开式的通项公式为T r+1＝•(−3)r ⋅2r−6⋅x 2−r ，令3−r ＝2，求得r ＝42的系数为-•2−5＝-．4. 已知平面向量a →＝(√3,−1)，|b →|＝4，且(a →−2b →)⊥a →，则|a →−b →|=( )A.2B.3C.4D.5 【答案】C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得a →⋅b →，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．【解答】由平面向量a →＝(√3,−1)，可得|a →|=√3+1=2，由(a →−2b →)⊥a →，可得a →⋅(a →−2b →)=0，即a →2=2a →⋅b →=4，则a →⋅b →=2，|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√4−2×2+16=4，5. 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且AB ＝2，，则二面角A −BC −P 的大小为（ ）A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘【答案】C【考点】二面角的平面角及求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6. 已知，则下列说法错误的是（）A.若f(x)在(0, π)内单调，则B.若f(x)在(0, π)内无零点，则C.若y＝|f(x)|的最小正周期为π，则ω＝2D.若ω＝2时，直线是函数f(x)图象的一条对称轴【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7. 数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8. 设抛物线C:x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|＝，若以线段PF为直径的圆过点(1, 0)，则C的方程为（）A.x2＝y或x2＝8yB.x2＝2y或x2＝8yC.x2＝y或x2＝16yD.x2＝2y或x2＝16y【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9. 在△ABC中，a＝2，b cos A＝3a sin B，则△ABC面积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10. 已知函数f(x)＝sin[cos x]+cos[sin x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，关于f(x)有下述四个结论：①f(x)的一个周期是2π；②f(x)是偶函数；③f(x)的最大值大于；④f(x)在(0, π)单调递减．其中所有正确结论编号是（）A.①②B.①③C.①④D.②④【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案全部填写在答题卡上.某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为________．【答案】36【考点】分层抽样方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a2⋅a4＝16，a6＝32，记b n＝a n+a n+1，则数列{b n}的前六项和S6为________．【答案】189【考点】等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知F是双曲线C:x2−＝1的右焦点，P是双曲线C上的点，．①若点P在双曲线右支上，则|AP|+|PF|的最小值为________；②若点P在双曲线左支上，则|AP|+|PF|的最小值为________．【答案】9,11【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知函数，若f(x)恰有4个零点，则实数k的取值范围为________．【答案】(−e−3, 0)【考点】求函数的值函数的求值函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见选票，如图所示．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为________．【答案】95%【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】假设总票数为100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则可得，整理后得到当x＝0时z取最小值5，进而可计算出投票的有效率．【解答】不妨设共有选票100张，投1票的x，投3票的z，则根据题意得，整理可得z−x＝5，即z＝x+3，由题意，若要投票有效率越高，故当x＝0时，z最小为5，此时投票的有效率为95÷100＝95%，三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知△ABC中，b cos A−c>0．(Ⅰ)△ABC中是否必有一个内角为钝角，说明理由．(Ⅱ)若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③a＝2；④．请证明使得△ABC存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b的值．【答案】（1）因为b cos A−c>0，由正弦定理可得sin B cos A−sin C>0，在△ABC中，C＝π−A−B，sin C＝sin(A+B)＝sin A cos B+cos A sin B，所以不等式整理为sin A cos B+cos A sin B<sin B cos A，即sin A cos B<4，因为A∈(0，sin A>0，所以cos B<2，所以B为钝角；(2)(i)若满足①③④，则正弦定理可得＝，即＝，所以sin C＝，又a>c，所以A>C，sin A＝，所以A＝或A＝π，所以可得C＝，B＝π−A−C＝π−-＝π；所以b＝＝＝+1；(ii)若满足①②，由(Ⅰ)B为钝角，A，及sin A＝，sin C＝，C＝，所以B＝π不符合B为钝角；(iii)若满足②③④，由B为钝角，所以C＝，而a>c，这时B，不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立；综上所述：只有满足①③④时b＝+3．【考点】余弦定理正弦定理【解析】(Ⅰ)由题意及正弦定理可得sin A cos B<0，再由A，B的范围可得cos B<0，求出B为钝角；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得B为钝角，当①②条件时，求出A，C的值，进而求出B的值，不符合B 为钝角的条件，所以①②不能同时成立；当①③④时，求出C角，进而求出B的值，再由余弦定理可得b的值；当②③④时，由正弦定理求出A的值，进而由三角形内角和可得B的值，由于不满足B为钝角的条件故舍弃．【解答】（1）因为b cos A−c>0，由正弦定理可得sin B cos A−sin C>0，在△ABC中，C＝π−A−B，sin C＝sin(A+B)＝sin A cos B+cos A sin B，所以不等式整理为sin A cos B+cos A sin B<sin B cos A，即sin A cos B<4，因为A∈(0，sin A>0，所以cos B<2，所以B为钝角；(2)(i)若满足①③④，则正弦定理可得＝，即＝，所以sin C＝，又a>c，所以A>C，sin A＝，所以A＝或A＝π，所以可得C＝，B＝π−A−C＝π−-＝π；所以b＝＝＝+1；(ii)若满足①②，由(Ⅰ)B为钝角，A，及sin A＝，sin C＝，C＝，所以B＝π不符合B为钝角；(iii)若满足②③④，由B为钝角，所以C＝，而a>c，这时B，不符合B为钝角的情况，所以这种情况不成立；综上所述：只有满足①③④时b＝+3．如图，在四面体ABCD中，E，F，M分别是线段AD，BD，AC的中点，∠ABD＝∠BCD ＝90∘，，AB＝BD＝2．(Ⅰ)证明：EM // 平面BCD；(Ⅱ)证明：EF⊥平面BCD；(Ⅲ)若直线EC与平面ABC所成的角等于30∘，求二面角A−CE−B的余弦值．【答案】（1）证明：∵E，M分别是线段AD，∴EM // CD，又EM⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴EM // 平面BCD．（2）证明：∵E，F分别是线段AD，∴EF // AB AB＝8，∵∠ABD＝90∘，即AB⊥BD，∵∠BCD＝90∘，F为BD的中点BD＝6，∵，∴EC2＝EF5+CF2，即EF⊥CF，又BD∩CF＝F，BD，∴EF⊥平面BCD．(Ⅲ)由(Ⅱ)知，EF⊥平面BCD，∵EF // AB，∴AB⊥平面BCD，∵∠BCD＝90∘，即BC⊥CD，AB，∴CD⊥平面ABC，∵EM // CD，∴EM⊥平面ABC，∴∠ACE为直线EC与平面ABC所成的角，即∠ACE＝30∘，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥AC，∵E为AD的中点，∴CE＝，即△ACE是底角为30∘的等腰三角形，∵，∴AC＝＝＝，∵BD＝2，∠BCD＝90∘，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CF⊥BD，以B为原点，BD，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2, 0, 0)，7，2)，1，4)，1，0)，∴＝(−2，0，＝(1，2，＝(1，1，设平面ACE的法向量为＝(x，y，则，即，令z＝1，则x＝5，∴＝(1，1，同理可得，平面BCE的法向量为，−6，∴cos<，>＝＝＝，由图可知，二面角A−CE−B为锐角，故二面角A−CE−B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直直线与平面平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答某企业发明了一种新产品，其质量指标值为m(m∈[70, 100])，其质量指标等级如表：品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：(Ⅰ)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；(Ⅱ)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求m∈[90, 95)的件数X的分布列及数学期望；(Ⅲ)若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如表(1<t<4)：试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6）．【答案】（1）设事件A的概率为P(A)，则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为P＝5(8.04+0.02)＝0.5，则P(A)＝1−(0.3)6＝1−0.027＝8.973，（2）由频率分布直方图得指标值大于或等于85的产品中，m∈[85, 90)的频率为0.08×5＝3.4，m∈[90, 95)的频率为0.04×5＝0.2，m∈[95, 100]的频率为8.02×5＝0.5，∴利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85，m∈[90, 95)的有2件，100)的有6件，从这7件产品中，任取3件，95)的件数X的所有可能取值为4，1，2，P(X＝6)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴X的分布列为：014E(X)＝0×+1×＝．(Ⅲ)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系与表所示(1< t<2)，-e t0.3∴每件产品的利润：y＝−4.5e t+0.4t+0.6t+7.9t+0.5t＝−0.5e t+5.5t，(1<t<5)，则y′＝−0.5e t+7.5，令y′＝−0.7e t+2.5＝2，解得t＝ln5，∴当t∈(1, ln4)时，函数y＝−0.5e t+2.5单调递增，当t∈(ln5, 5)时，函数y＝−0.5e t+7.5t，单调递减，∴当t＝ln5时，y取最大值ln3+2.5×ln5＝1.5，∴生产该产品能够实现盈利，当t＝ln2≈1.6时．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知函数f(x)=12x2−a ln x−12(a∈R, a≠0)．(Ⅰ)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)若对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≥0成立，求a的取值范围．【答案】（1）a＝2时，f(x)=12x2−21nx−12,f(1)=0f′(x)=x−2,f′(1)=−1曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程x+y−1＝0（2）f′(x)=x−ax =x2−ax(x>0)①当a<0时，f′(x)=x2−ax>0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0, +∞)②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x=√a或x=−√a所以函数f(x)的递增区间为(√a,+∞)，递减区间为(0,√a)(Ⅲ)对任意的x∈[1, +∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x∈[1, +∞)，f(x)min≥0①当a<0时，f(x)在[1, +∞)上是增函数，所以只需f(1)≥0而f(1)=12−a ln1−12=0所以a<0满足题意；②当0<a≤1时，0<√a≤1，f(x)在[1, +∞)上是增函数，所以只需f(1)≥0而f(1)=12−a ln1−12=0所以0<a≤1满足题意；③当a>1时，√a>1，f(x)在[1,√a]上是减函数，[√a,+∞)上是增函数，所以只需f(√a)≥0即可而f(√a)<f(1)=0从而a>1不满足题意；综合①②③实数a的取值范围为(−∞, 0)∪(0, 1]．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)当a＝2时，写出f(x)的表达式，对f(x)进行求导，求出x＝1处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程；(Ⅱ)求出函数的定义域，令f′(x)大于0求出x的范围即为函数的增区间；令f′(x)小于0求出x的范围即为函数的减区间；(Ⅲ)由题意可知，对任意的x∈[1, +∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x∈[1, +∞)，f(x)min≥0．下面对a进行分类讨论，从而求出a的取值范围；【解答】（1）a＝2时，f(x)=12x2−21nx−12,f(1)=0f′(x)=x−2,f′(1)=−1曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程x+y−1＝0（2）f′(x)=x−ax =x2−ax(x>0)①当a<0时，f′(x)=x2−ax>0恒成立，函数f(x)的递增区间为(0, +∞)②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x=√a或x=−√a所以函数f(x)的递增区间为(√a,+∞)，递减区间为(0,√a)(Ⅲ)对任意的x ∈[1, +∞)，使f(x)≥0成立，只需任意的x ∈[1, +∞)，f(x)min ≥0 ①当a <0时，f(x)在[1, +∞)上是增函数， 所以只需f(1)≥0 而f(1)=12−a ln 1−12=0所以a <0满足题意；②当0<a ≤1时，0<√a ≤1，f(x)在[1, +∞)上是增函数， 所以只需f(1)≥0 而f(1)=12−a ln 1−12=0所以0<a ≤1满足题意；③当a >1时，√a >1，f(x)在[1,√a]上是减函数，[√a,+∞)上是增函数， 所以只需f(√a)≥0即可 而f(√a)<f(1)=0 从而a >1不满足题意；综合①②③实数a 的取值范围为(−∞, 0)∪(0, 1]．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√32，且经过点(1,√32)． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若OA →⋅AB →＝0，且|AB||OA|＝32，求△OAB 的面积． 【答案】（1）由题意可得{ ca＝√321a2+34b 2＝1a 2＝b 2+c 2，解得a =2，b =1，c =√3，∴ 椭圆方程为x 24+y 2=1．（2）设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立y =kx +m 与x 2+4y 2=4，得x 2+4(kx +m)2=4， ∴ (4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，∴ △=(8km)2−4(4k 2+1)(4m 2−4)=16(4k 2+1−m 2)>0，即4k 2+1>m 2， 则x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，因为OA →⋅AB →＝0，所以OA ⊥AB ， 设直线OA 的方程为y =−1k x ，联立直线AB 的方程得y 1=mk 2+1，x 1=−ky 1=−kmk 2+1，代入x 12+4y 12=4，所以(−km k 2+1)2+4(mk 2+1)=4，化简得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，所以4k 2+1−m 2=4k 2+1−4(k+1)2k 2+4=(4k 2+1)(k 2+4)−4(k 2+1)2k 2+4=9k 2k 2+4，所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−8km4k 2+1)2−4⋅4m 2−44k 2+1=4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1，所以|AB|2=16(1+k 2)(4k 2+1−m 2)(4k 2+1)2=144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4)，所以|OA|2=(−ky 1)2+y 12=(k 2+1)(mk 2+1)2=m 2k 2+1=4(k 2+1)k 2+4，所以|AB|2|OA|2=36k 2(4k 2+1)2=94，得16k 2=(4k 2+1)2，解得k 2=14， 此时m 2=4(k 2+1)2k +4=2517<4k 2+1，满足△>0， 由|OA|2=4(k 2+1)k 2+4=4(14+1)14+4=2017，所以△OAB 的面积S =12|OA||AB|=12|OA|×32|OA|=34|OA|2=1517． 【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 椭圆的离心率 【解析】(Ⅰ)由椭圆离心率为√32，且经过点(1,√32)，列方程组，解得a ，b ，c ，进而可得答案． (Ⅱ)设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立直线AB 与椭圆的方程，得x 2+4(kx +m)2=4，由△>0，得4k 2+1>m 2，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由OA →⋅AB →＝0，推出OA ⊥AB ，进而设直线OA 的方程为y =−1kx ，联立直线AB 的方程得y 1，x 1，代入椭圆的方程可得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，再计算|AB|2=144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4)，|OA|2=4(k 2+1)k 2+4，进而可得|AB|2|OA|2=36k 2(4k 2+1)2=94，解得k 2=14，进而可得△OAB 的面积S =12|OA||AB|=34|OA|2，即可得出答案． 【解答】（1）由题意可得{ ca＝√321a2+34b 2＝1a 2＝b 2+c 2，解得a =2，b =1，c =√3，∴ 椭圆方程为x 24+y 2=1．（2）设直线AB 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 联立y =kx +m 与x 2+4y 2=4，得x 2+4(kx +m)2=4， ∴ (4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，∴ △=(8km)2−4(4k 2+1)(4m 2−4)=16(4k 2+1−m 2)>0，即4k 2+1>m 2， 则x 1+x 2=−8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，因为OA →⋅AB →＝0，所以OA ⊥AB ， 设直线OA 的方程为y =−1k x ，联立直线AB 的方程得y 1=mk 2+1，x 1=−ky 1=−kmk 2+1，代入x 12+4y 12=4，所以(−km k 2+1)2+4(mk 2+1)=4，化简得m 2=4(k 2+1)2k 2+4，所以4k 2+1−m 2=4k 2+1−4(k+1)2k 2+4=(4k 2+1)(k 2+4)−4(k 2+1)2k 2+4=9k 2k 2+4，所以|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√(−8km4k 2+1)2−4⋅4m 2−44k 2+1=4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1，所以|AB|2=16(1+k 2)(4k 2+1−m 2)(4k 2+1)2=144(1+k 2)k 2(4k 2+1)2(k 2+4)，所以|OA|2=(−ky 1)2+y 12=(k 2+1)(m k 2+1)2=m 2k 2+1=4(k 2+1)k 2+4，所以|AB|2|OA|2=36k 2(4k 2+1)2=94，得16k 2=(4k 2+1)2，解得k 2=14，此时m 2=4(k 2+1)2k 2+4=2517<4k 2+1，满足△>0， 由|OA|2=4(k 2+1)k 2+4=4(14+1)14+4=2017，所以△OAB 的面积S =12|OA||AB|=12|OA|×32|OA|=34|OA|2=1517．已知项数为m(m ∈N ∗, m ≥2)的数列{a n }为递增数列，且满足a n ∈N ∗，若b n ＝∈Z ，则{b n }为{a n }的“关联数列”．(Ⅰ)数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由．(Ⅱ)若{b n }为{a n }的“关联数列”，{b n }是否一定具有单调性？请说明理由．(Ⅲ)已知数列{a n }存在“关联数列”{b n }，且a 1＝1，a m ＝2021，求m 的最大值． 【答案】(I)1，4，6，10是项数为4的递增等差数列数列，其中a 1＝8，d ＝3，a n ＝1+(n −7)×3＝3n −3，所以a 1+a 2+a 7+a 4＝22，则，故b n＝8−n，3≤n≤4，所以b1＝2，b2＝6，b2＝5，b4＝8，所以数列1，4，2，10存在“关联数列”为7，6，3，4；（2）因为{a n}为递增数列，所以a n+1−a n>2，则-＝，所以b n+7<b n，故数列{b n}具有单调递减性；(Ⅲ)由于b n∈Z，则b n−b n+1≥1，故，所以a n+7−a n≥m−1，又a m−1＝(a m−a m−5)+(a m−1−a m−2)+...+(a2−a1)≥(m−1)+(m−7)+...+(m−1)＝(m−1)4，所以(m−1)2≤2020，解得m≤45n}存在“关联数列”{b n}，所以-＝，因为m−1为2020的正约数，且m≤45，故m−7的最大值为20，所以m的最大值为21．【考点】数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021北京市昌平区第二中学高中必修二数学下期末模拟试卷带答案
2020-2021北京市昌平区第二中学高中必修二数学下期末模拟试卷带答案一、选择题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．2或42．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥3．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,54．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．在ABC ∆中，2AB =，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足222OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v ，则·AE AO u u u v u u u v 的值为（ ）A ．12B ．1C ．22D ．326．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=L （ ）A ．68B ．67C ．61D ．608．要得到函数23sin 23y x x =+2sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 9．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35 C ．25D ．1510．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称11．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．012．（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为 A ．6B ．19C ．21D ．45二、填空题13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.14．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________15．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______． 16．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.17．函数2cos 1y x =+的定义域是 _________.18．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f（2|a-1|）＞f （2-），则a 的取值范围是______.19．已知复数z x yi =+，且23z -=，则yx的最大值为__________． 20．如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．三、解答题21．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程. 23．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？24．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．25．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.26．某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在[]25,85之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;(2)学校从参加调查的年龄在[)35,45和[)65,75的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在[)35,45的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在[)65,75的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，， ∴解得28r l ==， 或44r l ==，41lrα==或， 故选C ．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断． 【详解】对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定； 对于B 选项，若l αβ=I ，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥；对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直． 故选C ． 【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．3．C解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C4．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知()12AE AB AC =+u u u v u u u v u u u v，将所求数量积化为1122AB AO AC AO ⋅+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v ；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅u u u v u u u v 和AC AO ⋅u u u v u u u v 化为212AB u u uv 和212AC u u u v ，代入可求得结果.【详解】E Q 为BC 中点 ()12AE AB AC ∴=+u u u v u u u v u u u v()111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v222OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v Q AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，同理可得：212AC AO AC ⋅=u u u v u u u v u u u v22111314422AE AO AB AC ∴⋅=+=+=u u u v u u u v u u u v u u u v本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.6．B解析：B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7．B解析：B 【解析】 【分析】 首先运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >.因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=L L .故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.8．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数2sin 2y x x =+-. 【详解】依题意2ππsin 22sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位.所以选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.9．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.10．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2))2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.11．B解析：B 【解析】 【分析】可采用构造函数形式，令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，采用数形结合法即可求解 【详解】由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠， 令358()(1)lg(1)350lg(1)311x f x x x x x x x +=-+--=⇒+==+--， 令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，画出函数图像，如图：则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个 故选：B 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题12．C解析：C 【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：51x y x y +=⎧⎨-+=⎩，可得点A 的坐标为：()2,3A ，据此可知目标函数的最大值为：max 35325321z x y =+=⨯+⨯=.本题选择C 选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.二、填空题13．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．14．【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题解析：3 2【解析】【分析】先还原几何体，再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为33体积为1313322⨯⨯⨯=【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题15．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q 由于是正项的递增等比数列可得q ＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通解析：6【解析】【分析】设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{2na }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|13T n ﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】 数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5，即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得15181a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=， 则2122221333n n T -=++++L 11132311313n n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭-， ∴12019113n T ->，即1201913n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为 解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 17．【解析】【分析】由函数的解析式得到关于x 的不等式求解不等式即可确定函数的定义域【详解】函数有意义则：即求解三角不等式可得：则函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出 解析：()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由函数的解析式得到关于x 的不等式，求解不等式即可确定函数的定义域.【详解】函数有意义，则：2cos 10x +≥，即1cos 2x ≥-， 求解三角不等式可得：()222233k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 则函数的定义域为()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可． 18．【解析】【分析】【详解】由题意在上单调递减又是偶函数则不等式可化为则解得 解析：13(,)22【解析】【分析】【详解】由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(2)a f f ->-可化为1(2)(2)a f f ->，则122a -<，112a -<，解得1322a <<． 19．【解析】【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为： 解析：【解析】【分析】根据复数z 的几何意义以及y x 的几何意义，由图象得出最大值. 【详解】复数z x yi =+且23z -=，复数z 的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆22(2)3x y -+=.y x的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：max 33y x ⎛⎫==⎪⎝⎭ 即y x3 3【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.20．【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2得到圆锥的高利用圆锥体积公式得到结果【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2∴圆锥的高是∴几何体的体积是解析：6【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，得到圆锥的高，利用圆锥体积公式得到结果．【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，=∴几何体的体积是211132π⨯⨯⨯=，故答案为6【点睛】本题考查由三视图还原几何图形，考查圆锥的体积公式，属于基础题.三、解答题21．(1)3Cπ=.(2) .【解析】【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos2C=，即可求解C角的值；（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin6a b Aπ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，再根据ABC∆为锐角三角形，求得62Aππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知()()3a b c a b c ab+++-=，∴222a b c ab+-=，由余弦定理可知，222cos122a b cCab+-==，又∵(0,)Cπ∈，∴3Cπ=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin3a bA Bπ===，即,a Ab B==∴sin)a b A B+=+2sin sin3A Aπ⎤⎛⎫=+-⎪⎥⎝⎭⎦2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即， 则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 综上+a b的取值范围为.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.22．（1）22(1)(6)1x y -+-=（2）2150x y -+=或250x y --=.【解析】【分析】（1）根据由圆心在直线y =6上，可设()0,6N x ，再由圆N 与y 轴相切，与圆M 外切得到圆N 的半径为0x 和0075-=+x x 得解.（2）由直线l 平行于OA ，求得直线l 的斜率，设出直线l 的方程，求得圆心M 到直线l 的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程.【详解】（1）圆M 的标准方程为22(7)(6)25-+-=x y ，所以圆心M （7，6），半径为5,.由圆N 圆心在直线y =6上，可设()0,6N x因为圆N 与y 轴相切，与圆M 外切所以007<<x ，圆N 的半径为0x从而0075-=+x x解得01x =.所以圆N 的标准方程为22(1)(6)1x y -+-=.（2）因为直线l 平行于OA ，所以直线l 的斜率为201402-=-. 设直线l 的方程为12y x m =+，即220x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离==d因为===BC OA 而2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭BC MC d 所以2(25)2555-=+m 解得152m =或52m =-. 故直线l 的方程为2150x y -+=或250x y --=. 【点睛】本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.23．（1）()1,()0)8f x x g x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.【解析】【分析】 （1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解.【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k ==，1211(1),(1)82f kg k ====， ()1,()0)8f x x g x x ==≥； （2）设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，1(20)()(20)8y f x g x x =-+=-212)3,0208x =-+≤≤Q ，2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元，20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.【点睛】本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题.24．（1）{|1x x -≤≤；（2）[1,1]-． 【解析】【详解】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤.所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -≤≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[]1,1-.点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．25．（1）0.3；（2）3.6万；（3）2.9.【解析】【分析】【详解】试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a 的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x 的值.试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04， 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1， 解得a=0.30．（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12． 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 300 000×0.12="36" 000．（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3．由0.3×(x –2.5)=0.85–0.73， 解得x=2.9．所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．【考点】频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．26．(1)60,5607;(2)45. 【解析】【分析】（1）直接利用频率分布直方图求得平均数和中位数即可；（2）利用分层抽样可得6人中年龄在[]35,45内有2人，设为a 、b ，在[]65,86内有4人,设为1,2,3,4，写出基本事件，利用古典概型即可.【详解】(1)这100位留言者年龄的样本平均数, 300.05400.1500.15600.35700.2800.1560⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,年龄在[)25,55中的频率为:0.050.100.150.30++=,年龄在[)25,65中的频率为:0.050.100.150.350.65+++=,中位数在区间[)55,65中, 中位数为0.500.3055510600.357-+⨯=.(2)根据分层抽样原理,可知这6人中年龄在[]35,45内有2人,设为a ､b ,在[]65,86内有4人,设为1､2､3､4.设事件A 为“这3位发言者所得纪念品价值超过2300元”.从这6人中选3人的所有基本事件有:1ab ､2ab ､3ab ､4ab ､12a ､13a ､14a ､23a ､24a ､34a ､12b ､13b ､14b ､23b ､24b ､34b ､123､124､134､234,共20个.其中事件A 的对立事件即3个人都是年龄[]65,75内,包含的有123､124､134､234,共4个.(写出事件A 的基本事件个数也可以)所以()441205P A =-=., 【点睛】本题考查平均数、中位数，古典概型，在解题过程中要求学生算数要准确，频率分布直方图不要混淆各组数据的值，属于基础题.。
2020-2021学年北京顺义区第二中学高三数学理测试题含解析
2020-2021学年北京顺义区第二中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量=(－2,1)，=(－1,3)，则( )A．∥ B．⊥ C.∥(－) D．⊥(－)参考答案：D2. 命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是（）A．“若一个数是负数,则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数,则它是负数”C．“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”参考答案：C略3.如上右图所示，C是半圆弧上一点，连接AC并延长至D，使|CD|=|CB|，则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时，D点所经过的路程为（）A． B． C． D．2参考答案：答案：C4.已知向量a=（1，2），b=（－2，1），则向量a 与bA．垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且反向 D.平行且同向参考答案：答案:A5. 复数（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A,选A.6. 已知向量,,且，则的值为 ( ) A．B．C．D．参考答案：B7. （09年湖北重点中学4月月考理）已知不等式，对任意恒成立，则a 的取值范围为（）A． B．C．（1，5） D．（2，5）参考答案：B8.若P为双曲线右支上一点，P到右准线的距离为，则点P到双曲线左焦点的距离为（）A．1 B．2 C．6 D．8参考答案：答案:D9.设实数，满足，，，则下列不等式一定成立的是A． B． C．D．参考答案：答案：C10. 已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=6，AD=5，点E在梯形内，那么∠AEB 为钝角的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】本题为几何概型，由题意以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．【解答】解：以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，AB=4，故半圆的面积是2π，梯形ABCD的面积是25，∴满足∠AEB为钝角的概率为p=．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是▲．参考答案：答案：1.512. 设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M+N=16，则展开式中的常数项为.参考答案：略13. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中正确命题的序号是________．参考答案：①③④ 略14. 运行如图所示程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出s 属于 ．参考答案：[﹣3，4]【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图．【分析】根据程序框图的功能进行求解即可．【解答】解：本程序为条件结果对应的表达式为s=，则当输入的t∈[﹣1，3]，则当t∈[﹣1，1）时，s=3t∈[﹣3，3），当t∈[1，3]时，s=4t ﹣t 2=﹣（t ﹣2）2+4∈[3，4]， 综上s∈[﹣3，4]， 故答案为：[﹣3，4]．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件结构，结合分段函数的表达式是解决本题的关键．15. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：①若则； ②若则；③若则；④若则.其中正确的命题序号是 .参考答案：③④ 略 16. 在中，,,,则的面积等于 .参考答案：或17. 已知函数，则函数在时的最大值为 ．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
北京市首都师范大学附属中学2021届高三数学开学考试试题(含解析)
北京市首师附中2020-2021学年度第二学期入学考试高三数学试卷一、单选题1.设a,b 为实数，若复数1+21ii a bi=++，则 A. 31,22a b == B. 3,1a b == C. 13,22a b == D. 1,3a b ==【答案】A 【解析】 【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．【详解】由121i i a bi +=++可得1+2i ＝（a ﹣b ）+（a +b ）i ，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A ．【点睛】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．2.过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为（ ） A. 6 B. 9C. 12D. 无法确定【答案】C 【解析】试题分析：AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则A,B 到准线的距离之和为12，即12121212x x p AB x x p ++=∴=++=考点：直线与抛物线相交问题3.已知集合11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合2{|,}B y y x x A ==∈，则A B ⋂=（ ）A. 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. {}2C. {}1D. φ【答案】C【解析】 试题分析：因，故,选C.考点：交集运算.4.一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠劵，每张优惠券只能购买一件商品.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；优惠劵2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠劵3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.若顾客购买某商品后，使用优惠劵1比优惠劵2、优惠劵3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为( ) A. 179元 B. 199元 C. 219元 D. 239元【答案】C 【解析】 【分析】设购买的商品的标价为x 元，根据题意列出不等式即可得到答案.【详解】设购买的商品的标价为x 元，由题意，0.120x ⨯>，且0.1(100)0.18x x ⨯>-⨯，解得200225x <<. 故选：C【点睛】本题考查利用函数模型的选择问题，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题. 5.已知,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//a b 的一个充分条件是（ ） A. //a α，//b αB. //a α，b β//，//αβC. a α⊥，b β⊥，//αβD. αβ⊥，a α⊥，b β//【答案】C 【解析】 【分析】在A 中，a 与b 相交、平行或异面；在C 中，由线面垂直的性质可得a ∥b ；在B 、D 中，均可得a 与b 相交、平行或异面；【详解】由a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 在A 中，//a α，//b α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；在B 中，//a α，//b β，//αβ，则a 与b 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，由a α⊥，//αβ，则a β⊥，又b β⊥，由线面垂直的性质可知//a b ，故C 正确； 在D 中，αβ⊥，a α⊥，//b β，则a 与b 相交、平行或异面，故D 错误． 故选C ．【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．6.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A. 2B.2C.3【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系.【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1，1=，所以223a b ，c e a ====3. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.7.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB BC AA ==,点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP PQ +的最小值为( )A.2B.2C.34D. 1【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，将平面11AB C 沿1AC 翻折，使其与平面1ACC 在共面，将折线段转化为直线段距离最小，从而求出MP +PQ 的最小值.【详解】如图1，显然当Q 是P 在底面ABCD 的射影时MP PQ +才可能最小，将平面11AB C 沿1AC 翻折，使其与平面1ACC 在共面，如图2所示，此时易得130CAC ∠=，3AM =显然当,,M P Q 三点共线时，MP PQ +取得最小值，此时min 133sin 604MQ AM CAB =∠==. 故选：C.【点睛】本题考查立体几何翻折问题中的最值问题，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大.8.已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上点A 满足212.AF F F ⊥若点P 是椭圆C 上的动点，则12F P F A ⋅的最大值为( ) A.32B.332C.94D.154【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得点A ，1F ，2F 的坐标，再利用数量积运算法则和点P 的纵坐标的取值范围即可得出最大值．【详解】由椭圆C ：22143x y +=可得：24a =，23b =，()2211.1,0c a b F =-=∴-，()21,0F ．212AF F F ⊥，31,2A ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．设(),P x y ，则221.43x y +=又33y -≤≤，()1233331,0,222F P F A x y y ⎛⎫∴⋅=+⋅=≤⎪⎝⎭． 12F P F A ∴⋅的最大值为332． 故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于基础题．9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.13B.23C. 1D.43【答案】D【解析】【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥，代入棱锥的的体积公式，即可求解.【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是一个如图所示的三棱锥1D ABE-，其底面ABE的面积为12222S=⨯⨯=，高为2h=，所以该三棱锥的体积为11422333V Sh==⨯⨯=，故选D.【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.10.已知数列121,,,4a a成等差数列，1231,,,,4b b b成等比数列，则212a ab-的值是 ( )A.12B.12- C.12或12- D.14【答案】A【解析】由题意可知：数列1,a1,a2，4成等差数列，设公差d，则4=1+3d，解得d=1，∴a1=1+2=2，a2=1+2d=3.∵数列1,b1,b2,b3，4成等比数列，设公比为q，则4=q4,解得q2=2，∴b2=q2=2.则21221122a ab--==.本题选择A选项.二、填空题11.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．【答案】()()2,02,5-【解析】【分析】利用函数的图象以及函数的奇偶性，判断函数值0y＜的x的取值集合即可．【详解】由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．【点睛】本题考查函数的图象的判断函数的奇偶性的应用，是基础题．12.函数2log(1),01,(){2,10x xf xx x+≤≤=-≤<的值域是______________．【答案】[]2,1-【解析】试题分析：当01x≤≤时，112x≤+≤，所以()20log11x≤+≤；当10x-≤<时，220x-≤<.所以函数的值域是[]2,1-.考点：1.函数的值域及其求法；2.对数函数的值域；3.分段函数的图像与性质13.若函数()xy e f x= 2.71828...e=（是自然对数的底数）在()f x的定义域上单调递增，则称函数()f x具有M性质，下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①=2x f x -（） ②=3x f x -（） ③3=f x x （） ④2=2f x x +（） 【答案】①④ 【解析】 ①()22xxxxe ef x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()33xx x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()x f x -=3不具有M 性质；③()3xxe f x e x =⋅，令()3xg x e x =⋅，则()()32232xxxg x e x e x x ex '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()22xxe f x ex=+，令()()22x g x e x =+，则()()()2222110x x x g x e x e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．【名师点睛】1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可． 2.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．3.由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．14.已知幂函数()y f x =的图像经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2f =______.【解析】 【分析】先设幂函数()af x x =，根据其图像经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得函数，再求()2f .【详解】设幂函数()ay f x x ==，因为其图像经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以142a=， 解得12a =-，所以()1222-==f故答案为：2【点睛】本题主要考查幂函数的定义及求函数值，属于基础题.15.已知平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，则a b +=______.【解析】 【分析】根据平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，利用向量求模公式求解. 【详解】因为平面向量a ，b 满足0a b ⋅=，2a =，3b =，所以()222222+=+=+⋅+=+=a b a b a a b b【点睛】本题主要考查平面向量的模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题16.已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若32()10f α=，求sin 2α的值. 【答案】（1）2，；（2）725. 【解析】【详解】（1）由已知，f （x ）=所以f （x ）的最小正周期为2，值域为；（2）由（1）知，f （）=所以3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以.[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想.17.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，2()2f x x x =+现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调区间； (2)求函数()f x 在R 上的解析式．【答案】（1）如图所示：()f x 的单调递减区间为：(,1)-∞- ，(0,1)单调递增区间为：(1,0)-，(1+)∞， （2）220+2(),02x x x f x x x x ≤⎧=⎨>-⎩，【解析】 【分析】（1）根据偶函数关于y 轴对称，即可画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，再由函数图像即可写出其单调区间．（2）已知0x ≤时的解析式，只需计算出0x >的解析式，根据0,x >则0,x -<与()()f x f x =-即可使用0x ≤时的解析式解出0x >的解析式．【详解】（1）如图所示：()f x 的单调递减区间为：(,1)-∞- ，(0,1)单调递增区间为：(1,0)-，(1+)∞， （2）令0,x >则0,x -<所以22()()2()2f x x x x x -=-+-=-又函数()f x 为偶函数，即()()f x f x =- 所以当0x >时2()2f x x x =-所以220+2(),02x x x f x x x x ≤⎧=⎨>-⎩，【点睛】本题考查偶函数的图像性质，根据图像写函数的单调区间，已知偶函数的一半的函数解析式，求整个函数的解析式，属于基础题．18.已知函数()()221f x x ax a a R =+++∈，设()f x 在[]1,1-上的最大值为()g a ，(Ⅰ)求()g a 的表达式；(Ⅱ)是否存在实数,m n ，使得()g a 的定义域为[],m n ，值域为[]5,5m n ？如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ()22,02)?2,0a a a g a a a a -+<⎧⎪=++≥⎨⎪⎩；(Ⅱ22)?22m n ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩【解析】 【分析】(Ⅰ)函数()f x 图象的对称轴为2ax =-，然后通过讨论对称轴的位置，结合函数的单调性求解函数的最大值，得到函数的最大值的表达式；(Ⅱ) 假设存在符合题意的实数,m n ，则()[)2,.g a ∈+∞ 可得若[],a m n ∈，有()[]5,5g a m n ∈，即0.m n <<由此得()2 2g a a a =++，且为单调递增函数，从而列出方程组，即可求出结果．【详解】(Ⅰ)因为函数()f x 图象的对称轴为2ax =-， 所以当02a-≤，即0a ≥时，()()2()12max g a f x f a a ===++； 当02a->，即0a <时，()()2()1 2.max g a f x f a a ==-=-+ 所以()22,022,0a a a g a a a a -+<⎧⎪=++≥⎨⎪⎩.(Ⅱ)假设存在符合题意的实数m ，n ，则由(Ⅰ)可知，当a R ∈时，()[)2,.g a ∈+∞所以若[],a m n ∈，有()[]5,5g a m n ∈，则0.m n <<所以()22g a a a =++，且为单调递增函数.所以()()225225g m m m m g n n n n =++=⎧⎪=++=⎨⎪⎩,所以22m n ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【点睛】本题主要考查二次函数的单调性及其应用，属于中档题．二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解，二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论. 19.已知函数()()ln f x x x a a R =-+∈．(Ⅰ)若函数()f x 的最大值为3，求实数a 的值；(Ⅱ)若当()1,x ∈+∞时，()()()31'22f x k xf x a k x ⎛⎫>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)若1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：121x x <．【答案】(Ⅰ)4；(Ⅱ1)?,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；证明见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)求出函数()f x 的定义域，利用导函数符号判断函数的单调性，由单调性求解函数的最大值，然后求出a 即可；(Ⅱ)化简恒成立的不等式为3ln 112x x a k x a x ⎛⎫-+>-+-+- ⎪⎝⎭，得到()()ln 13.x x k x +>-令()()()ln 13g x x x k x =+--，利用函数的导数符号判断函数的单调性，得到()()g g 112x k >=+，然后求解k 的范围；(Ⅲ1)?x ，2x 是函数()f x 的两个零点，可得()()()1222222222211111ln ln 2ln f x f f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，构造函数()12ln h x x x x=+-，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，推出()121f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得到121 x x <，即可证明结论．【详解】(Ⅰ)函数()f x 的定义域为()0,.+∞ 因为()11'1xf x x x-=-=， 所以在()0,1内，，()f x 单调递增； 在()1,+∞内，，()f x 单调递减．所以函数()f x 在1x =处取得唯一的极大值，即()f x 的最大值()1ln11f a =-+． 因为函数()f x 的最大值为3， 所以ln113a -+=， 解得 4.a =(Ⅱ)因为当()1,x ∈+∞时，()()()31'22f x k xf x a k x ⎛⎫>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以3ln 112x x a k x a x ⎛⎫-+>-+-+- ⎪⎝⎭， 所以()()ln 13x x k x +>-，即()()ln 130x x k x +-->．令()()()ln 13g x x x k x =+--， 则因为2k ≤， 所以．所以()g x 在()1,+∞单调递增. 所以()()112g x g k >=+， 所以 120k +≥，所以1.2k ≥-即实数k 的取值范围是1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； (Ⅲ)由(Ⅰ)可知：()10,1x ∈，()21,x ∈+∞．所以()210,1.x ∈ 因为1x ，2x 是函数()f x 的两个零点， 所以()()120f x f x ==． 因为()()()1222222222211111ln ln 2ln .f x f f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()12ln h x x x x=+-， 则()222222121(1)'1x x x h x x x x x-+--=--==-． 所以在()1,+∞，，()h x 单调递减．所以()()10h x h <=． 所以()1210f x f x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，即()121f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭． 由(Ⅰ)知，()f x 在()0,1单调递增，所以121x x <， 所以12 1.x x <【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.20.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c sin A cos B a =． （1）求角B ；（2）若3b =，sin CA =，求a ，c ． 【答案】（1）6B π=；（2）3,a c ==【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B 的大小． （2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可． 【详解】（1）在ABC ∆中， 由正弦定理sin sina bA B=sin sin cos B A A B =． 又因为在ABC ∆中sin 0A ≠． cos B B =．法一：因为0B π<<，所以sin 0B ≠，因而cos 0B ≠． 所以sin tan cos 3B B B ==， 所以6B π=．cos 0B B -=即2sin 06B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以()6B k k Z ππ-=∈，因为0B π<<，所以6B π=．（2）由正弦定理得sin sin a c A C=，而sin C A =，所以c = ，①由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2292cos 6a c ac π=+-，即229a c +=， ②把①代入②得3,a c ==【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.21.已知数列{}n a 的前n 项和()*n S n N∈满足21nn Sa =-，数列{}nb 满足22log n n b a =+．(Ⅰ)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； (Ⅱ)令nn nb c a =，若221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，求实数x 的取值范围； (Ⅲ)数列{}n a 中是否存在,,(m n k a a a m n k <<，且 *,,)m n k N ∈使m a ，n a ，k a 成等差数列？若存在，求出,,m n k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ1)2n n a -=，1n b n =+；(Ⅱ){|1x x ≤-或3}x ≥；(Ⅲ) 不存在，理由见解析．【解析】 【分析】(Ⅰ)利用已知条件通过1n n n a S S -=-，说明数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求出{}n a 的通项公式，然后求解n b 的通项公式；(Ⅱ)求出nn nb c a =，判断数列的单调性，结合221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，得到2221x x ≤--求解即可；(Ⅲ)假设存在*,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈，使m a ，n a ，k a 成等差数列，推出1112222n m k ---⋅=+，说明是与条件矛盾，得到结论． 【详解】(Ⅰ)根据题意，数列{}n a 满足21n n S a =-，当1n =时，111a S ==．当2n ≥时，11n n n a S S -=-=，122n n n a a a -=-， 即12n n a a -=．所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.所以12n n a -=，*n N ∈；又由已知22log n n b a =+，得122log 2 1.n n b n -=+=+(Ⅱ)依题意得()11111()22n n n n n b n c n a --+===+，*n N ∈． 因为()()1111111212()1()()1()0222222nn n n n n n n c c n n n ---++⎛⎫-=+-+=--=-< ⎪⎝⎭， 所以当1n =时，n c 取得最大值1 2.c =因为221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，所以222 1.x x ≤-- 解得1x ≤-或3x ≥，所以实数x 的取值范围是{|1x x ≤-或3}x ≥；(Ⅲ)假设存在*,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈，使m a ，n a ，k a 成等差数列，则2n m k a a a =+，即1112222.n m k ---⋅=+ 两边同时除以12m -，得1212.n m k m -+-=+① 因为12n m -+为偶数，12k m -+为奇数，这与①矛盾．所以不存在*,,(,,,)m n k a a a m n k m n k N <<∈，使m a ，n a ，k a 成等差数列.【点睛】本题主要考查数列的应用，通项公式以及数列的单调性，反证法的应用，属于难题．反证法的适用范围：（1）否定性命题与存在性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．。
2020-2021学年北京第一二三中学高二数学文下学期期末试题含解析
2020-2021学年北京第一二三中学高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆(a>b>0)的半焦距为c(c>0)，左焦点为F，右顶点为A，抛物线与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是A． B． C．D．参考答案：D略2. f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＜0且f(－2)=0，则不等式的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）参考答案：A【考点】函数的单调性与导数的关系；奇偶性与单调性的综合．【分析】构造函数h（x）=，由已知可得x＜0时，h′（x）＜0，从而可得函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又由已知可得函数h（x）为奇函数，故可得h（0）=g（﹣2）=g（2）=0，且在（0，+∞）单调递减，可求得答案．【解答】解：∵f（x）和g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数∴f（﹣x）=﹣f（x）g（﹣x）=g（x）∵当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＜0当x＜0时，，令h（x）=，则h（x）在（﹣∞，0）上单调递减∵h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x）∴h（x）为奇函数，根据奇函数的性质可得函数h（x）在（0，+∞）单调递减，且h（0）=0∵f（﹣2）=﹣f（2）=0，∴h（﹣2）=﹣h（2）=0h（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）故选A．3. 曲线在处切线的斜率等于（）．A．B．C．D．参考答案：A【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可．【解答】解：曲线，可得，曲线在处切线的斜率：．故选：．4. 下面是一个2×2列联表：则表中a，bA．94,72 B．52,50 C．52,74 D．74,52参考答案：C略5. 若双曲线﹣=1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），则双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0B．4x±3y=0C．4x±5y=0D．5x±4y=0参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意，9+b2=25，b＞0，从而可求得b，于是可求该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），∴9+b2=25，又b＞0，∴b=4，∴该双曲线的渐近线方程为y=±x，整理得：4x±3y=0．故选：B．6. 函数的最小值是（）A. 2B. 1C.D. 不存在参考答案：C略7. 双曲线的两条渐近线所成的锐角是（）A．30°B．45°C．60°D．75°参考答案：C8. 已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下面的命题中不正确的是（）A．若a∥b，a⊥α，则b⊥αB．若a⊥β，a⊥α，则α∥βC．若a⊥α，a?β，则α⊥βD．若a∥α，α∩β=b，则a∥b参考答案：D【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系的判定与性质进行判断．【解答】解：对于A，设m，n为α内的两条相交直线，∵a⊥α，∴a⊥m，a⊥n，又a∥b，∴b⊥m，b⊥n，∴b⊥α．故A正确；对于B，由“垂直与同一条直线的两个平面互相平行”可知B正确；对于C，由面面垂直的判定定理可知C正确．对于D，由线面平行的性质可知只有当a?β时才有a∥b，故D错误．故选D．9. 若，且恒成立，则的最小值是A. B. C.2D.1参考答案：B10. 知函数（）A．－1 B． C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知∈R，有以下命题：①若，则；②若，则；③若，则.则正确命题序号为_______________。
内蒙古赤峰市第三中学2024—2025学年上学期九年级期中考试数学试题(无答案)
赤峰三中2024－2025学年上学期九年级阶段综合评估数学试题（考试时间：90分钟试卷分值：100分）（命题教师：闫丽华 李杰）（2024年10月）一、选择题：（本题共10小题，每小题2分，共20分。
）1.生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A. B.C.D.2.将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）A. B. C. D. 3.关于x 一元二次方程的一根为0，则m 的值是（ ）A. B. C. 或 D. 4.关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）A.开口向下B.对称轴是直线C.与x 轴有两个交点D.当时，y 随x 的增大而减小5.已知a 、b 为实数，且满足，则代数式的值为（ ）A.3或-5 B.3 C.-3或5D.56.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，则方程正确的为（ ）A. B. C. D. 7.如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（）221y x =-+()2211y x =-+-()2213y x =--+()2211y x =---()2213y x =-++()()2212110m x m x m -+++-=1m =1m =-1m =1m =-12m =-()223y x =-+-2x =-1x >-()()222222150a ba b +++-=22a b +()2100011000440x +=+()210001440x +=()244011000x +=()1000121000440x +=+MPN △M P N '''△A.点AB.点BC.点CD.点D 8.在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）.A. B.C. D.9.如图，中，，，，将绕原点O 旋转90°，则旋转后点A 的对应点的坐标是（ ）A.（4，2）或（-4，2）B. 或C. 或D. 或10.如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且，设小正方形EFGH 的面积为y ，AE 为x ，则y 关于x 的函数图像大致是（）2y mx n =-+2y x m =+AOB △4OA =6OB=AB =AOB △A'()4-()4-()2-()2-(2,-(2,-AE BF CG DH ===A. B. C. D.二、填空题：（本题共6个小题，每小题3分，共18分。
2020-2021北京丰台区第二中学高三数学下期中模拟试题及答案
2020-2021北京丰台区第二中学高三数学下期中模拟试题及答案一、选择题1．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A ．12B ．2 CD 2．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年3．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( )A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 4．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．325．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S7．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1008．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102009．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b10．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．12211．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸12．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．2二、填空题13．已知0a >，0b >，当()214a b ab++取得最小值时，b =__________． 14．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 . 15．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 16．在数列{}n a 中，“()n 12na n N*n 1n 1n 1=++⋯+∈+++，又n n n 11b a a +=，则数列{}n b 的前n 项和n S 为______．17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.18．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．20．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．三、解答题21．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集；(2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 22．已知在公比为q 的等比数列{}n a 中，416a =，()34222a a a +=+. （1）若1q >，求数列{}n a 的通项公式；（2）当1q <时，若等差数列{}n b 满足31b a =，512b a a =+，123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和.23．已知点（1，2）是函数()(0,1)xf x a a a =>≠的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和是()1n S f n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1log n a n b a +=，求数列{}n n a b •的前n 项和n T 24．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 25．设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132n S n n =-（）（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．26．数列{}n a 中，11a = ，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足21()2n n n S a S =⋅-．（1）求n S 的表达式； (2)设n b ＝21nS n +,求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q=，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q 212a a q ===，故选D. 2．C解析：C 【解析】记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.3．B解析：B 【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.4．C解析：C 【解析】∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且229m n a a a =∴2224222223339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=∴6m n +=∴121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．5．C解析：C 【解析】先考虑充分性,当x>0时，12x x +≥=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当12x x+≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.6．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7． 【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1 即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0 ∴d ＞0∵87a a -＜1＜0 ∴a 7＜0，a 8＞0 数列的前7项为负， 故数列{S n }中最小值是S 7 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列中前n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．7．A解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.8．B解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.9．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C10．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=， ∴3212212a ab a b a a =＝，＝4312341233a a b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，，…101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．11．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)
压轴填空题第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三 立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四 立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。