武汉大学数学物理方法考试习题
数学物理方法(5)答案
数学物理方法第五次作业一、单项选择题【 】1、函数()f z 以b 为中心的罗朗（Laurent ）展开的系数公式为11().2()k k f A C d i b γζζπζ+=-⎰ ()().!k k f b B C k = 1().2k f C C d i b γζζπζ=-⎰ 1!().2()k k k f D C d i b γζζπζ+=-⎰ 【 】2、本征值问题()()0,(0)0,()0X x X x X X l λ''+===的本征函数是A ．cosn x l π B ．sin n x l π C ．(21)sin 2n x l π- D ．(21)cos 2n x lπ- 【 】3、点z =∞是函数cot z 的 A. 解析点 B. 孤立奇点 C. 非孤立奇点 D. 以上都不对【 】4、可以用分离变量法求解定解问题的必要条件是A. 泛定方程和初始条件为齐次B. 泛定方程和边界条件为齐次C. 初始条件和边界条件为齐次D. 泛定方程、初始条件和边界条件为齐次【 】5、设函数()f z 在单连通区域D 内解析，C 为D 内的分段光滑曲线，端点为A 和B ，则积分()C f z dz ⎰A. 与积分路径及端点坐标有关B. 与积分路径有关，但与端点坐标无关C. 与积分路径及端点坐标无关D. 与积分路径无关，但与端点坐标有关【 】6、 条件1z <所确定的是一个A ．单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域【 】7、条件210<-<z 所确定的是一个A ．单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域【 】8、积分2||1cos z z z dz ==⎰A ．1B ．12-C ．12D ．0 【 】9、函数1()1f z z =-在12z +>内展成1z +的级数为 A ．102(1)n n n z ∞+=-+∑ B ．101n n z ∞+=∑ C ．10(1)2nn n z ∞+=+∑ D ．0n n z ∞=∑ 【 】10、点0z =是函数11()sin f z z -⎛⎫= ⎪⎝⎭的A. 解析点B. 孤立奇点C. 非孤立奇点D. 以上都不对二、填空题1．复数231i -的三角形式为，其指数形式为.2．复数5cos 5sin ππi +的三角形式为，其指数形式为.3.的实部u =，虚部v =，模r =，幅角θ=.4. 复数22i +-的实部=u ，虚部=v ，模=r ，幅角 =θ .5. 014=--i z 的解为.6．积分dz zz cos ==⎰1. 7. 积分⎰==++1222z z z dz . 8. 积分⎰==13cos z zdz z . 9. 积分=⎰b a dz z z 2cos .10． 积分=⎰10sin zdz z . 11.积分=⎰202sin πdz z z 12．幂级数n n n z ∑∞=121的收敛半径为. 13．幂级数∑∞=-1)1(n nn z 的收敛半径为. 14．幂级数211-1n n z n ∞=∑（）的收敛半径为.15．函数zz f -=11)(在2|1|<+z 上展成)1(+z 的泰勒级数为 . 16. 0=z 为3cos 1)(z z z f -=的.（奇点的类型，极点的阶数） 17. 0=z 为3sin )(z z z f =的.（奇点的类型，极点的阶数）。
数学物理方法复习资料及参考答案（一）
数学物理方法复习资料及参考答案（一）数学物理方法复习资料及参考答案（一）一、填空题： 1. 复数ii -+11用三角式可表示为（主辐角[)π2,0）。
2. 已知幂级数∑∞=0k kk z a 和∑∞=0k kk z b 的收敛半径分别是1R 和2R ，则幂级数()∑∞=±0k k k k z b a 的收敛半径为：。
3. 勒让德多项式()l P x 的模l N = ()0,1,2,l = 。
4. 在00=z 的邻域上，z e z f 1)(=展开的洛朗级数为：。
5. 函数2)2)(1()(--=z z z z f 的留数)1(resf ＝。
6. 求解无限长弦的自由振动，设弦的初始位移为)(x ?，初始速度为)(/x a ?-，=),(t x u 。
7. 在00=z 的邻域上，z z f sin )(=的泰勒级数为：。
8. 幂级数()∑∞=-11k k i z k的收敛圆：。
9. 数理方程中的定解条件包括三大类初始条件、和衔接条件。
10. 在本征值问题()()()'''12012--+=-1<<±1??x y xy y x y λ有限中，方程()'''1202--+=x y xy y λ称为__ _ _ __微分方程，该本征值问题的本征值λn =___ _ ，相应本征函数是y x n ()=__________，其中n=___ _ ____，该本征函数称为______ __ _，写出它的表达式(至少一种)：___________ _____。
二、简答题：1、孤立奇点分为几类？如何判别？2、简述施图姆－刘维尔本征值问题的共同性质。
三、基础题：1、计算实变函数定积分()()222294x dxI xx ∞=++?2、已知解析函数()f z 的实部233),(xy x y x u -=，0)0(=f ，求虚部和这个解析函数。
数学物理方法综合试题及答案
复变函数与积分变换综合试题(一)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设，则( ）A． B． C． D．2．复数的三角表示式为（）A． B．C． D．3．设C为正向圆周｜z｜=1，则积分等于（）A．0 B．2πi C．2π D．－2π4．设函数,则等于( )A． B． C． D．解答:5．是函数的（）A．3阶极点B．4阶极点C．5阶极点D．6阶极点6．下列映射中，把角形域保角映射成单位圆内部｜w｜<1的为（)A．B． C．D．7。
线性变换 ( ）A。
将上半平面>0映射为上半平面Imω>0B。
将上半平面〉0映射为单位圆｜ω|〈1C.将单位圆｜z｜〈1映射为上半平面Imω>0D.将单位圆｜z|<1映射为单位圆|ω｜<18。
若在Z平面上解析，，则=（）A。
) B。
C. D.9。
在的罗朗展开式是（）A。
B.C。
D。
10。
=（）A。
sin9 B.cos9 C.cos9 D。
sin9二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11．方程的解为_________________________.12．幂极数的收敛半径为________________________.13．设，则Imz＝______________________。
14．设C为正向圆周|z｜=1,则=___________________________。
15．设C为正向圆周，，其中,则=___________________.16．函数在点z=0处的留数为__________________。
三、计算题(本大题共8小题，共52分）17. 计算积分的值，其中C为正向圆周｜z—1|=3.18。
函数 (n为正整数)在何处求导？并求其导数19。
第九章习题课-武汉大学数学物理方法
~ (ω ) ~ (ω ), F [ψ ( x )] = ψ ~ (ω , t ), F [ϕ ( x )] = ϕ 解 : (1) 记 F [u ( x, t )] = u ~ (ω , t ) d 2u 2 4~ + a ω u (ω , t ) = 0 (4) 2 dt 则 ~ (ω ) ~ (ω ,0 ) = ϕ u (5)
2 2 2
傅氏变换习题课
4π ⎡ 1 − μr ⎤ ⎡ 1 ⎤ 4π (μ > 0 ) 证明 : (1 ) F ⎢ ⎥ = 2 ; (2 ) F ⎢ e ⎥ = 2 2 ⎣r ⎦ ω ⎣r ⎦ ω +μ v v ∞ 4π 1 v −1 ⎡ 4 π ⎤ iω ⋅r e d ω 提示 : F ⎢ 2 ⎥ = 3 ∫ ∫ ∫− ∞ 2 ω ω (2 π ) ⎣ ⎦
4π ∞ 2π π 1 iωr cos θ 2 = e ω sin θ dθ dϕdω 3 ∫0 ∫0 ∫0 2 ω (2π ) x = cos θ 1 ∞ 1 = ∫ ∫ e iωrx dxd ω
π
0
−1
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二、有关性质及其应用
已知： ∫− ∞
∞
∞
傅氏变换习题课
求 f (x ) = ? 解:
−1
~ (ω , t )] u ( x, t ) = F −1 [u ~ (ω ) cos aω 2t ] − F −1 [ ~ (ω ) sin aω 2t ] = F −1 [ϕ ψ
−1
F e
−1
[ ]
iaω 2t
[
−1 −1 2 ( ) − F F ψ x ∗ F sin a ω t cos aω t
∫
∞
−∞
武汉大学数学物理方法考试习题
n n xm xm n 本征值：km , m 1,2, Rm (k ) J n ( ), m 1,2, a a
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三、S-L本征值问题
2、 S-L本征值问题的性质：
16.1 S-L问题
(2) m 0, m 1,2,
(3)
n (k m ) 2 0 如：
x 2 y xy [k 2 x 2
d dy m2 [(1 x 2 ) ] y l (l 1) y 0 2 dx dx 1 x d dy n 2 2 [( x ] y k 2 xy 0 n ]y 0 dx dx x
d dy [k ( x) ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) dx dx
b
a
( x) ym ( x) yn ( x)dx N
a
2 n mn
(见附2）
a2 2 n J n1 (kln a) ml 如： J n (km )J n (kln )d 0 2 1 b (4) f ( x) cm ym ( x) cm 2 a ( x) f ( x) ym ( x)dx Nm m 1
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第十六章 斯－刘问题
问题的引入：
d 2 dy (1 x ) y 2 xy l (l 1) y 0 [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
2
m2 (1 x 2 ) y 2 xy [l (l 1) ]y 0 2 1 x
） 解： 1 k ( x) 1, k (0) k (l ) 1, , q( x) 0, ( x) 1;
数学物理方法习题答案.pdf
电路练习题一、选择题（第1组）1、图示电路，求i 。
A ：1/2 A B: 1/3 A C ：3/2 A D ：2/3 A2、图示电路，求u 。
A ：2VB ：4VC ：6VD ：8V3、图示单口网络，其端口VCR 关系为:A: u =5i +3 B: u =-5i +3 C ：u =-5i -3 D: u =5i-34、图示电路，求i 。
A ：2AB ：1.5AC ：1AD ：3A5、图示电路，求i 。
A ：1AB ：9/13 AC ：1/7 AD ：2/11 A6、图示电路，问R L 能获得的最大功率。
A ：1/3 W B ：2W C ：2/9 W D ：4W7、图示稳态电路，求i 。
A ：2A B ：1AC ：3AD ：1.5Ai 4ΩR L4Ω6Ω 10Ω1H108、图示稳态电路，问电容中的储能。
A ：4J B ：2JC ：8JD ：1J9、图示电路，t < 0时处于稳态, t = 0时，开关切到a ， 当t = 5s 时，u c (t )是多少？A ：6.3VB ：5VC ：2.4VD ：3.16V10、图示电路，t < 0时处于稳态，t = 0时， 开关断开，求t = 1s 时u c (t )是多少？ A ：1.47V B ：2.94V C: 5V D ：4V11、图示电路原处于稳态，在t = 0时， 开关断开，求t = 0.1s 时的电流i (t )。
A ：1A B ：0 C ：0.358A D ：0.184 A12、图示正弦稳态电路，求i (t ) 。
A ：)452cos(2°+t A B ：)452cos(2°−t A C ：)452cos(2°−t A D ：)452cos(2°+t A13、图示正弦稳态电路中，有效值： I 是10A ，I R 是8A 。
问I c 是多少？ A ：2A B ：18A C ：6A D ：4Ai(t)1H0.5Ω2ΩA2cos 22t u c1A c (t)2A14、图示正弦稳态电路， 求电阻上的平均功率。
数学物理方法期末试题(5年试题含答案)
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……附：拉普拉斯方程02=∇u 在柱坐标系和球坐标系下的表达式 柱坐标系：2222222110u u u uzρρρρϕ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂球坐标系：2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭一、填空题36分（每空2分）1、 数量场2322u x z y z =+在点(2, 0, -1)处沿2423x xy z =-+l i j k 方向的方向导数是。
2、 矢量场()xyz x y z ==+A r r i +j k 在点(1, 3, 3)处的散度为 。
3、 面单连域内设有矢量场A ，若其散度0∇⋅A =，则称此矢量场为 。
4、 高斯公式Sd ⋅=⎰⎰ A S ；斯托克斯公式ld ⋅=⎰ A l 。
5、 将泛定方程和 结合在一起，就构成了一个定解问题。
只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为 ；只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为 ；既有边界条件，又有初始条件的定解问题称为 。
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……6、 ()l P x 是l 次勒让德多项式，则11()()l l P x P x +-''-= ； m n =时，11()()mn P x P x dx -=⎰。
7、 已知()n J x 和()n N x 分别为n 阶贝塞尔函数和n 阶诺依曼函数(其中n 为整数)，那么可知(1)()n H x = 。
(2)()n H x = 。
8、 定解问题2222000(0,0)|0,||0,|0x x ay y bu ux a y b x y u u V u u ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩的本征函数为 ，本征值为 。
第十章习题课-武汉大学数学物理方法
r3
gi :
x
−
3
第十章习题课
三、求泊松方程的狄氏问题
1、求上半空间的狄氏问题 ∂G ⎧ Δu = 0, z > 0 → u ( M ) = − ∫∫ f ( M 0 ) dx 0 dy 0 σ ⎨ ∂n0 u f ( x , y ) = 1 M ⎩ z =0
Δg = 0, z > 0 1 | z =0 g | z =0 = − 4πr −q (1)在M1 ( x, y,− z )放 − q, 则Δ( ) = 0 , z > 0 4πε 0 r1 ε0 −q q 使 | z =0 = − | z =0 则 g = − 4πε 0 r1 4πε 0 r 4πε 0 r1
[
]
[
]
∂G ∂G ∂G =− = ∂y ∂n ∂ (− y )
2( y + y 0 ) 2( y − y 0 ) ∂G 1 ∴ − ] | y =0 = [ 2 2 2 2 y =0 ∂y 4π ( x − x0 ) + ( y + y 0 ) ( x − x0 ) + ( y − y 0 )
⎤ y0 ⎡ 1 = ⎢ 2⎥ π ⎣ ( x − x0 ) 2 + y0 ⎦
0 0
3.
−∞
∫
f ( x )δ ( n ) ( x − x 0 )dx = ( − 1) n f
n
(n)
( x0 )
δ ( x − xi ) 4. δ [ϕ ( x)] = ∑ , 其中ϕ ( xi ) = 0 i =1 ϕ ′( xi )
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第十章习题课
一、 δ 函数及其在物理上的应用
r = ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 , r1 = ( x − x0 ) 2 + ( y + y0 ) 2
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Wuhan Universil nx 2l (1) n 1 nx c x sin dx 3) x cn sin , n 2 0 Nl l n l n 1 d n x 2. 已知 H n ( x) (1) n e x e (1) n dx
X ( x) X ( x) 0 (1) 1.已知S L问题 : X (0) 0, X (l ) 0 (2) 求： 1 k ( x) ?, k (0) ?, k (l ) ?, q( x) ?, ( x) ? ）
2) ?, 本征函数＝？N l ?, , 3）将f ( x) x [0, l ]按上述本征函数展开
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一、S-L方程
1、定义：
16.1 S-L问题
d dy [k ( x) ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) 一S-L方程 dx dx
k ( x) 0, q( x) 0, ( x) 0, 常。
d 2 dy (1 x ) y 2 xy l (l 1) y 0 [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
四、例题
试证：1 e （）
2txt 2
d n x2 n x 已知 H n ( x) (1) e S-L问题 e 16.1 dx n H n ( x) n t n! n 0
2
2
(1)
证明： 令 e 2txt an ( x)t n , 则
1 d 2txt 2 1 x 2 d n ( x 2 2txt 2 ) an ( x ) e e e t 0 t 0 n n n! dt n! dt tx 1 x 2 d n 2 1 x2 d n x2 e e x e e n n n! d n! d ( x)
n 2 0 例： ( 2 ) ( )
r 2 2rR l (l 1) R 0 r R R(r ) r 0 有限
(1 x 2 ) y 2 xy l (l 1) y 0 y 有限 x 1
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二、S-L方程的自然边界条件
16.1 S-L问题
2、S-L方程在以下情况下具有自然边界条件 d dy [k ( x) ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) S-L方程
( 1 ) 当k ( a ) 0和或k ( b ) 0时，在边界x a , x b处， 具有有限性自然边界条件( 见附1 ）。
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一、S-L方程
1、定义：
16.1 S-L问题
d dy [k ( x) ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) 一S-L方程 dx dx
k ( x) 0, q( x) 0, ( x) 0, 常。
2、任意的二阶方程可化为S-L方程 y( x) p( x) y( x) h( x) y( x) 0, (2) p ( x ) dx ] : d [e p ( x ) dx dy ] e p ( x ) dx h( x) y 0 (3) (2) [k ( x) e dx dx 例： Hermit方程：y 2 xy y 0 (4)
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y2
x a ,b
有限
三、S-L本征值问题
1、定义：称
16.1 S-L问题
dy d dx [k ( x) dx ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) dy [ y ( x) k ( x)] x a ,b 0 为S-L本征值问题 dx
H n ( x) n e t (2) n! n 0 16.1 S-L问题 H n ( x) 2nH n1 ( x)
2txt
2
H n 1 ( x) H n ( x) t : 2 (n 1)! n!
n
H n ( x) 2nH n1 ( x)
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d 2 dy 例：(1 x ) y 2 xy l (l 1) y 0 dx [(1 x ) dx ] l (l 1) y 0 d dy n 2 x 2 y xy [k 2 x 2 n 2 ] y 0 [ x ] y k 2 xy 0 dx dx x
2 2
试证： 1 e （）
2 txt
2
H n ( x) n t n! n 0
(2)
(3) H n ( x) 2nH n 1 ( x) (2) H n 1 ( x) 2 xHn ( x) 2nH n 1 ( x) 0 (4)
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Mathematical Methods in Physics 武汉大学
物理科学与技术学院
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Methods in Mathematical Physics 第十六章 斯特母刘维尔问题 Problems of Sturm-Liuville equations
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2
m2 (1 x 2 ) y 2 xy [l (l 1) ]y 0 2 1 x
d dy m2 [(1 x 2 ) ] y l (l 1) y 0 2 dx dx 1 x
d dy n 2 2 2 2 2 [( x ] y k 2 xy 0 x y xy [k x n ] y 0 dx dx x
x 2 y xy [k 2 x 2
d dy m2 [(1 x 2 ) ] y l (l 1) y 0 2 dx dx 1 x d dy n 2 2 [( x ] y k 2 xy 0 n ]y 0 dx dx x
d dy [k ( x) ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) dx dx
附1.证明:
16.1 S-L问题 ）。 x b处具有有限性自然边界条件( 见附1
设y1 ( x), y2 ( x)为(1)的解，且y1 ( x)有限，则 d dy1 [k ( x) ] q( x) y1 ( x) y1 0, (2) dx dx d dy2 [k ( x) ] q( x) y2 ( x) y2 0, (3) dx dx d dy2 d dy1 (3) y1 (2) y2 : y1 [k ( x) ] y2 [ k ( x) ] 0, dx dx dx dx d c [k ( x)( y1 y2 y2 y1 )] 0, ( y1 y2 y2 y1 )] dx k ( x) y2 y1 y2 y2 y1 c y2 ( ) 0 ( C ) 2 2 y1 y1 k ( x) y1 y1 x c y2 y1[ dx c1 ], 当k (a) 0, k (b) 0时, y2 2 x0 k ( x ) y 1
n
n 0
H n ( x) an ( x ) n!
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四、例题
试证： 2) ( H n1 ( x) 2 xHn ( x) 2nH n1 ( x) 0
2 H n ( x) n d 2txt (2) : 2te t dx n! n 0 H n ( x) n1 H n ( x) n 2 t t n! n! n 0 n 0
如：f ( )
m 1
cm J n (k ) cm
n m
0 a2 2 n J n 1 (km a) 2
1
a
n f ( ) J n (km )d
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四、例题
d dy [k ( x) ] q( x) y ( x) y 0, a x b (1) 16.1 S-L问题 dx dx
2
dx
dx
(2) 当k (a) k (b)时，在边界x a, x b处， 具有周期性自然边界条件。
d d n 0 [1 ] n 2 0 d d
2
例：
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( 1 ) 当k ( a ) 0和或k ( b ) 0时，在边界x a ,
p( x) 2 x, h( x)
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2 xdx e x 2 k ( x) e
d x2 x2 (4) [e y] e y 0 dx
二、S-L方程的自然边界条件
16.1 S-L问题
1、定义：为满足物理上的适定性，物理问 题本身所应具有的边界条件。
n n xm xm n 本征值：km , m 1,2, Rm (k ) J n ( ), m 1,2, a a
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三、S-L本征值问题
2、 S-L本征值问题的性质：
16.1 S-L问题
(2) m 0, m 1,2,
(3)
n (k m ) 2 0 如：
2、 S-L本征值问题的性质： (1) 有无穷多个本征值：1 2 n
无穷多个本征函数：y1 ( x) y2 ( x) yn ( x) 2 R( ) R( ) (k 2 2 n 2 ) R( ) 0 例： 本征函数： R(a) 0
b
a
( x) ym ( x) yn ( x)dx N
a
2 n mn
(见附2）
a2 2 n J n1 (kln a) ml 如： J n (km )J n (kln )d 0 2 1 b (4) f ( x) cm ym ( x) cm 2 a ( x) f ( x) ym ( x)dx Nm m 1