赏析幂函数的图象特征及应用
幂函数的图像性质和应用
幂函数分数指数幂mna m（ a正分数指数幂的意义是： an0， m 、 n N ，且 n 1 ）m1（ a负分数指数幂的意义是： an0 ， m 、 n N ，且 n 1 ）na m1、幂函数的图像与性质幂函数 y x n随着 n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法． 熟练掌握 yx n，当 n 2 , 1,1 , 1, 3 的图像和性质，2 3列表如下．从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点 1,1 ，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② a1 , 1,1, 2 , 3 时，幂函数图像过原点且在 0 ,上是增函数．3 2③ a1, 1, 2 时，幂函数图像不过原点且在0 ,上是减函数．2④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．yxn奇函数偶函数非奇非偶函数yyyn 1OxOxOxy y y0 n 1OxOxOxy y yn 0OxOx O x幂函数基本性质（ 1）所有的幂函数在（ 0，+∞）都有定义，并且图象都过点（ 1，1）；（ 2）α ＞0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在 [0 ， +∞ ] 上，是增函数（ 3）α＜0 时，幂函数的图象在区间（ 0，+∞）上是减函数 .规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进 行讨论；2．对于幂函数 y ＝ x ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即 ＜0，0＜ ＜ 1 和 ＞ 1 三种情况下曲线的基本形状， 还要注意 ＝ 0，± 1 三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横” ，即 ＞0（ ≠1）时图象是抛物线型； ＜ 0 时图象是双曲线型； ＞ 1 时图象是竖直抛物线型； 0＜ ＜1 时图象是横卧抛物线型．2、幂函数的应用n例 1、 幂函数 y x m（ m 、 n N ，且 m 、 n 互质）的图象在第一，二象限，且 不经过原点，则有（）( A) m 、 n 为奇数且m1yn( B) m 为偶数， n 为奇数，且m1n(C ) m 为偶数， n 为奇数，且 m1( D ) m 奇数， n 为偶数，且mnx1On例 2、 右图为幂函数y x 在第一象限的图像，则ya, b, c, d 的大小关系是（）y xa( A) a b c d(B) b a d c(C ) a b d c(D ) a d c b1解：取 x，c d b1a由图像可知：111，2222a b d c ，应选(C )．例3、比较下列各组数的大小：11333（ 1）1.53 ，1.73 ，；（）27 ，37 ，57；12（ 3）222324103，， 1.13．7解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．1∵ y x 3在0 ,上单调递增，且 1.7 1.5 1，11∴1.7 3 1.53 1 ．33（2）底数均为负数，可以将其转化为27 2 7，33333 7 3 7， 5 7 5 7．∵ y ∴53x 7在 0,上单调递增，且 53 2 ，333333 73 7 2 7，即 5 7 3 7 2 7，333∴ 5 7 3 7 2 7．（ 3）先将指数统一，底数化成正数．2 22323210，27232421031.1 1.21，3 3 ．72上单调递减，且72∵ y x 3在 0 , 1.21 ，∴71023221022321.21 3，.即：72322341.13．102点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例 4、若a 111332a 3，求实数 a 的取值范围．11分析：若 x 3y 3，则有三种情况 x0y ， y x0 或 0y x ．解：根据幂函数的性质，a10a10a10有三种可能：或 32a0或 32a0，32a0a132a a132a解得： a,1 2 , 3．32例 3．已知幂函数 y x m2 2 m 3 （m Z ）的图象与x轴、 y 轴都无交点，且关于原点对称，求 m 的值．解：∵幂函数 y x m22m 3（ m Z ）的图象与x轴、 y 轴都无交点，∴ m22m 3 0 ，∴1 m 3；∵ m Z ，∴(m22m 3)Z ，又函数图象关于原点对称，∴ m22m 3 是奇数，∴m0 或 m 2 ．3例 4、设函数 f （x）＝ x ，（2）分别求出 f －1（x）＝ f （x），f －1（x）＞ f （x）， f －1（x）＜ f （x）的实数 x 的范围．1解析：（ 1）由 y＝x3两边同时开三次方得x＝3 y ，∴ f －1（x）＝ x 3．13－1（2）∵函数 f （x）＝x 和 f（x）＝x3的图象都经过点（0，0）和（1，1）．在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知－1f （x）＞ f （x）时， x＜－ 1 或 0＜ x＜ 1；.f －1（x ）＜ f （x ）时， x ＞ 1 或－ 1＜x ＜0．点评：本题在确定 x 的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．21例 5、求函数 y ＝ x 5 ＋ 2x 5＋4（x ≥－ 32）值域．122解析：设 t ＝x 5，∵ x ≥－ 32，∴ t ≥－ 2，则 y ＝ t ＋2t ＋4＝（ t ＋ 1） ＋3．21∴函数 y ＝ x 5 ＋ 2 5＋ 4（ x ≥－ 32）的值域为［ 3，＋ ）．x点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．【同步练习】1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）Ａ． y xＢ． yx3Ｃ． y2xＤ． yx1答案：Ｃ2. 下列函数在,0 上为减函数的是（）1x2x3Ｄ． y x2Ａ． y x3Ｂ． y Ｃ． y 答案：Ｂ3. 下列幂函数中定义域为x x 0 的是（）2323Ａ． y x3Ｂ． yx2Ｃ． yx3Ｄ． y x2答案：Ｄ．函数 y ＝（ x －1的定义域是（ ） 2－ x ）24 2． x x ≠ 0 或 x ≠ 2} ．（－∞， ） （ ，＋∞） C ．（－∞， ）］ ［ ， A { | B 0 20 2 ＋∞］ D ．（0，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域．答案： B1）5．函数 y ＝（ －x 2） 2的值域是（1A ．［ 0，＋∞］B ．（0，1） C．（0，1）D ．［0，1］解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t ＝1－x 2，则 y ＝ t ．∵－ 1≤ x ≤ ，∴ ≤ t ≤ ，∴ ≤y ≤ ．1 0 1 0 1 答案： D26．函数 y ＝ x 5的单调递减区间为（ ）A ．（－∞， 1）B ．（－∞， 0）C．［0，＋∞］D ．（－∞，＋∞）25.B ．答案： B1 －1，则 a 的取值范围是（ ）．若 a 2＜a27a ＞ ． ＞a ＞． ≥a ≥． a ≥1B ． 0C 0D 0A 1 1 解析：运用指数函数的性质，选 C ．答案： C8．函数 y ＝ (15＋2x － x 2 )3的定义域是 。
幂函数图像总结
幂函数图像是数学中最常见的图像之一，它以指数形式表示，其标准形式为y = ax^n，其中a和n为实数。
幂函数图像具有许多独特的性质，这些性质使它们在许多领域中得到广泛应用。
首先，幂函数图像的定义域和值域都是实数，因此它们的图像可以是任何实数的函数。
其次，幂函数图像的图像具有指数性质，其图像的斜率随着x的增加而增加。
此外，当a>0时，幂函数图像具有单调性，当a<0时，其图像具有双曲线形状，并且具有极值点。
此外，幂函数图像的x轴和y轴的对称性也是一个重要的性质。
如果a>0，则图像具有y 轴对称性；如果a<0，则图像具有x轴对称性。
最后，幂函数图像的图像具有不变性，即当x和y满足y = ax^n时，它们的图像具有相同的形状。
总之，幂函数图像具有许多独特的性质，这些性质使它们在许多领域中得到广泛应用。
它们的定义域和值域都是实数，它们的图像具有指数性质，它们的图像具有单调性和双曲线形状，它们的图像具有y轴和x轴对称性，它们的图像具有不变性。
幂函数的图像和性质
幂函数的图像和性质幂函数的图像和性质是指关于某一变量x的多项式形式为y=ax^n（a≠0）的函数，其中a是实数，n∈Z，称为幂函数。
由于幂函数有着独特的形式，它的图像和性质也有许多独特之处。
一、图像1. 对于任意实常数a>0，n>0，y=ax^n的图像是一条以原点为极坐标的曲线；2. 对于任意实常数a>0,n<0,y=ax^n的图像是一条以x轴上的无穷远点为极坐标的曲线；3. 对于任意实常数a<0,n>0,y=ax^n的图像是一条以y轴上的无穷远点为极坐标的曲线；4. 对于任意实常数a<0,n<0,y=ax^n的图像是一条以原点为极坐标的曲线。
二、性质（1）当n>0时，y=ax^n的图像在x轴上的对称轴是x=0，且函数值y随x的增加而不断增大，直至无穷大；（2）当n<0时，y=ax^n的图像在x轴上的对称轴是x=0，且函数值y随x的增加而不断减小，直至无穷小；（3）当n=0时，y=ax^n即为常数函数y=a，其图像是一条水平线；（4）当n>0时，y=ax^n在x轴上的渐近线是y=0，其图像开口向上；（5）当n<0时，y=ax^n在x轴上的渐近线是y=0，其图像开口向下；（6）对于任意实数m，y=ax^n的图像关于y=m的对称轴是x=(m/a)^(1/n)；（7）当n>0时，在y轴上截取y=ax^n的图像时，可以得到一段区间[0, +∞]，在这段区间内，函数值y 随x的增加而增大；（8）当n<0时，在y轴上截取y=ax^n的图像时，可以得到一段区间(-∞, 0]，在这段区间内，函数值y 随x的增加而减小；三、总结幂函数的图像和性质是指函数形式为y=ax^n（a≠0）的函数的图像和性质，其中a是实数，n∈Z。
幂函数的性质有：对称轴、渐近线、函数值随x的变化而变化等，此外，图像表明幂函数的变化趋势，可以直观地看出函数值y 随x的变化趋势，从而有助于理解函数的特点。
幂函数的像与变化规律
幂函数的像与变化规律幂函数是数学中的一类重要函数，它的图像特点与变化规律一直是数学学习的重点之一。
幂函数的像可以通过对幂函数进行分析和变换来得到。
在本文中，我将介绍幂函数的基本性质、图像特点以及与参数相关的变化规律。
一、幂函数的基本性质幂函数是一种形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b为常数，且a不等于0。
幂函数的定义域是实数集，a决定了函数的整体变化趋势，而b决定了函数在坐标系中的形状。
当b为正数时，函数呈现指数增长的趋势；当b为负数时，函数呈现指数衰减的趋势；当b为零时，函数为常数函数。
二、幂函数的图像特点1. 当a>0时，幂函数的图像在坐标系中从左下方向右上方运动，且图像会趋近于x轴正半轴；当a<0时，图像会从右上方向左下方运动，且也趋近于x轴正半轴。
2. 当b>1时，幂函数的图像在原点附近增长得非常迅速，呈现出陡峭的曲线；当0<b<1时，图像在原点附近增长较为缓慢；当b<0时，图像在原点两侧逐渐趋近于x轴。
3. 幂函数的对称轴是y轴，因此具有奇偶性。
对称性使得当幂函数表现递增或递减时，左右两侧的图像形状相似。
4. 幂函数在x轴上的零点称为幂函数的特殊点，特殊点的个数取决于指数b的奇偶性。
三、幂函数的参数对图像的变化规律的影响1. 参数a的变化：当a的绝对值变大时，函数图像的整体变化趋势会加大，增长或衰减的速度会变快；当a趋近于0时，函数图像会趋近于水平线。
2. 参数b的变化：当b的绝对值变大时，函数图像的形状会发生变化，曲线会更加陡峭或平缓；当b为负数时，函数呈现出对称轴对称的特点。
3. 特殊点的变化：当b为奇数时，幂函数有一个特殊点，即原点；当b为偶数时，幂函数没有特殊点。
特殊点的变化会对函数图像的形状产生明显的影响。
综上所述，通过对幂函数的分析和变换，我们可以获得幂函数的像及其变化规律。
幂函数的性质和图像特点使得它在数学和其他学科中都有广泛的应用，深入理解幂函数的性质对我们解决实际问题、优化函数运算具有重要意义。
幂函数的图象及性质
幂函数一、定义幂函数的概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，注意：幂函数的解析式是幂的形式，幂的底数是自变量，指数是常数。
二、研究一类函数的一般路径注意：我们先从实际案例中，写出一系列函数的解析式，从中找到某一类函数的概念，再通过函数的解析式，求出函数的定义域，接着画出函数的图像，可以使用描点法画图，同时利用函数的性质来简化画图的过程，最后利用函数的解析式和图像，来研究函数的值域、单调性、奇偶性和其他性质。
三、六个幂函数的图像及性质1、六个幂函数2、幂函数的图像-2-10123-21123定义域：R 值域：R单调性：在R 上单调递增，增函数奇偶性：奇函数严禁复制-2-1012341149定义域：R 值域：单调性：在上单调递减，减函数，在上单调递增，增函数奇偶性：偶函数-2-10123-8-11827定义域：R 值域：R单调性：在R 上单调递增，增函数奇偶性：奇函数严禁复制124 012定义域：值域：单调性：在上单调递增，增函数奇偶性：非奇非偶函数严禁复制-2122定义域：值域：单调性：在上单调递减，减函数奇偶性：奇函数-2124定义域：值域：单调性：在上单调递减严禁复制奇偶性：偶函数从以上函数分析中，我们得到了6个幂函数的图像总结：6个幂函数具有的共同性质和不同性质1、函数的图像都经过。
2、函数在区间上单调递增，是增函数。
函数和严禁复制在区间上单调递减，是减函数。
在区间上单调递增，是增函数。
和在是单调递减，是减函数。
3、函数、和是奇函数，函数和是偶函数，函数是非奇非偶函数。
4、函数的图像经过原点，函数和的图像不经过原点。
5、已知幂函数，当时，函数在区间上单调递增，当时，函数在区间上单调递减。
四、题型1、幂函数的概念例题1已知幂函数f(x)过点，则f(9)的值为（）（解析）设幂函数，因为过点，所以，解得a=，所以f(9)=。
例题2已知函数f(x)=为幂函数，则f()+f()=（）（解析）因为函数f(x)=为幂函数，所以m-1=1，解得m=2，所以f(x)=，又因为函数f(x)为奇函数，有f()+f()=0。
幂函数图像及其性质
幂函数图像及其性质幂函数是一种常见的数学函数形式，它的数学表达式为f(x)=ax^b，其中a和b是实数，且a不等于零。
幂函数的图像展示了函数的特性和行为，这对我们进一步了解和应用幂函数有着重要意义。
一、幂函数的图像及其特征通过观察幂函数的图像，我们可以得到以下几个基本特征：1. 幂函数的图像总是通过点(0,0)。
当x等于零时，幂函数的结果总是零。
2. 当b为正数时，幂函数的图像从左上方向右下方斜率逐渐减小，渐近于x轴。
这是因为幂函数中的x不断增大时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
3. 当b为负数时，幂函数的图像从右上方斜率逐渐减小，渐近于x 轴。
这是因为幂函数中的x不断减小时，幂函数的值以一个较小的速度增加。
4. 当b为偶数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且有一个最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的平方等于0或者正数。
5. 当b为奇数时，幂函数的图像在第一象限和第三象限均为正，且没有最小值点或者最大值点。
这是由于幂函数的绝对值在整个定义域内都为正。
二、幂函数图像的变化规律1. 当a大于0时，幂函数的图像在整个定义域内为正。
随着b的增大，幂函数的图像变得平缓，斜率逐渐减小；随着b的减小，幂函数的图像变得陡峭，斜率逐渐增大。
2. 当a小于0时，幂函数的图像在整个定义域内交替在x轴上方和下方。
随着b的增大或减小，幂函数的图像也会随之变化。
3. 当a等于1时，幂函数的图像变成了恒等函数的图像y=x。
即幂函数退化为y=x的特例。
三、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域是实数集R，值域取决于a和b 的取值范围。
2. 奇偶性：当b为偶数时，幂函数是偶函数，关于y轴对称；当b 为奇数时，幂函数是奇函数，关于原点对称。
3. 单调性：当b大于0时，幂函数在整个定义域内是单调递增的；当b小于0时，幂函数在整个定义域内是单调递减的。
4. 渐近线和交叉点：当b大于0时，幂函数的图像会渐近于x轴；当b小于0时，幂函数的图像会与x轴交叉于一个点，并渐近于x 轴。
幂函数的特点
幂函数的特点幂函数是数学中常见的一类函数形式，其特点在于函数关系中具有幂指数，例如：$y = ax^b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$x$ 是自变量。
幂函数的特点包括函数图像、增减性、奇偶性和极值点等。
本文将详细介绍幂函数的特点和相关概念。
一、幂函数的图像特点幂函数的图像与幂指数 $b$ 和函数系数 $a$ 有关。
当 $a>0$ 且$b>0$ 时，幂函数的图像在第一象限增长；当 $a>0$ 且 $b<0$ 时，函数图像在第一象限是下降的，且趋近于 $y=0$。
当 $a<0$ 时，图像在第三象限中存在，而当 $a<0$ 且 $b$ 为奇数时，图像还会穿越 $x$ 轴。
二、幂函数的增减性和奇偶性幂次函数的增减性与幂指数 $b$ 的正负有关。
当 $b>0$ 时，函数是递增的；当 $b<0$ 时，函数是递减的。
若 $b$ 为偶数，则函数关于$y$ 轴对称；若 $b$ 为奇数，则函数关于原点对称。
当 $b$ 为 $0$ 时，函数为常数。
三、极值点与零点对于幂函数 $y = ax^b$，当 $b > 0$ 时，图像与 $x$ 轴交于$x=0$ 处，此时 $x=0$ 为零点；当 $b$ 为奇数时，图像从左下方穿越$x$ 轴，此时 $x=0$ 为极值点；当 $b$ 为偶数时，图像从左下方趋近于$x$ 轴。
四、递增与递减区间对于幂函数 $y = ax^b$，当 $b>0$ 时，当 $a>0$ 时函数在整个定义域上递增，当 $a<0$ 时函数在整个定义域上递减；当 $b<0$ 时，当$a>0$ 时函数在整个定义域上递减，当 $a<0$ 时函数在整个定义域上递增。
五、求特殊幂函数的导数和不定积分对于幂函数 $y = ax^b$，其导数为 $y' = abx^{b-1}$。
当 $b=1$ 时，幂函数的导数为一个常数，即斜率为常数；当 $b=0$ 时，导数为 $0$，即平行于 $x$ 轴。
《幂函数及其图象》课件
欢迎来到《幂函数及其图象》PPT课件！本课程将深入探讨幂函数的定义、 图象特点和应用，并提供丰富的例题练习。让我们一起探索这个有趣而强大 的数学概念吧！
什么是幂函数？
幂函数是一类特殊的函数，其定义为f(x) = x^a，其中a为实数常数。幂函数的 通式可以表示为f(x) = kx^a，其中k为比例常数。
根据幂函数的特征值，包括定义域、值域等，求解给定幂函数的相关数值。
3 求解幂函数的方程
通过解方程的方法，求出满足特定条件的幂函数的自变量或因变量的值。
总结
幂函数及其图象的基本概念 幂函数的特点及应用
学习了幂函数的定义和通式，以 及幂函数的图象特点和变化规律。
了解了幂函数在不同领域的实际 应用，如通信、工程和光学等。
幂函数的图象特点
基本性质
幂函数的定义域为实数集，且在定义域上是连 续和可导的。
变化规律
当a>1时，幂函数图象向上开口；当0
图象特点
幂函数的图象随着a的值的不同而呈现出不同的 曲线形状。
对称性
当a为整数时，幂函数图象存在关于y轴和原点 的对称性。
幂函数的应用
幅度调制中的幂函数
幂函数在无线电通信中的幅度 调制中起着重要作用，用于调 整信号的幅度以传输信息。
幂函数在实际生活中的应 用案例
发现了幂函数在日常生活中的实 际应用案例，增加了对数学的实 用性的认识。
压缩机和发电机的特 性曲线
幂函数被广泛用于描述压缩机 和发电机的特性曲线，帮助工 程师优化其性能。
激光功率与时间之间 的关系
幂函数用于描述激光器输出功 率随时间变化的关系，用于控 制激光器的稳定性。
练习题
1 画出幂函数图象
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一、幂函数图像的分布规律
幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。
1.“一全有”：指所有幂函数的图像在第一象限都出现，
分布情况如图1所示，其特点如下：①抓住三条特征
线：直线x=1，y=x ，y=1把幂函数的图像分为三个区
域，这三个区域对应着幂函数y=x α在α<0,0<α<1,
α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=x α图像的区
域分布情况为：在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x 轴。
2.“二一偶”：指当幂函数为偶函数时，其图像关于y 轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。
3.“三一奇”：指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。
4.“四必无”：指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。
二、幂函数图像的应用
1.识别图像
例1.图2中 的曲线是幂函数y=x α在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为（ ）
A.-2，-12，12，2
B.2，12，-12，-2
C.- 12，-2，2，12
D.2，12，-2，-12
解：根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值排序是由大到小，故选B 。
2.用于判断方程的个数
例2.方程x 2=2x 的根的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.
解：令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。