第1课时 圆周角定理3
九年级初三数学上册人教版 圆周角的概念和圆周角定理 名师教学PPT课件
9
达标检测
2.如图,点A、B、C、D都在⊙O上,AC、BD为四 边形ABCD的对角线,填空:
∠1=∠__5 ∠2=∠__6 ∠3=∠__7 ∠4=∠__8
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10
达标检测
3.已知⊙O的半径是1,△ABC的三个顶点都在 ⊙O上,∠BAC=45°,求线段BC=______ 2
1 90°1
17
引入新知
问题:将圆心角顶点向上移,直至与⊙O相交于点C?观察
得到的∠ACB的顶点及两边各有什么特征? C
O. z.xx.k
A
B
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18
A C
M
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19
好好学习 天天向上
20
圆周角定理
探究新知
人教版数学九年级上册第24章第一节第4课时
DN
H
M E
x
C
F
O
2x
P
x
次参加优质课、信息化大赛、多媒体 大赛并获得市、区级一等奖,所撰写的 论文多次获国家级、省市级一等奖,多 次参与教育局组织的送教下乡活动,并 获得与会老师的一致好评。所承担的
省级课题《初中数学自主探究学习研 究》也顺利结题。
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2
教学目标 :
知识与技能
1、了解圆周角的定义,会在具体情景中识别圆周角; 2、掌握圆周角定理,会运用定理进行简单的论证和计算。 数学思考与问题解决
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11
问题回解
学了本节课,你会比较∠ACB和 ∠ADB的大小关系了吗?
3
F2
1
E
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12
归纳新知
请从以下三个关键词中任选一个谈一谈:
《圆周角》课件——第1课时
求证：∠BAC=1/2∠BOC
新课学习
证明 （1）当圆心O在∠BAC的一条边上时（图3-25
①）. 在△OAB中，
∵OA=OB，∴∠BAO=∠OBA .
∵∠BOC=∠BAO +∠OBA，
∴∠BOC=2∠BAO
∴∠BAC=1/2∠BOC
新课学习
（2）当圆心O在∠BAC的内部时，作直径AD（图 325 ②）. 由（1）的结论，得 ∠BAD=1/2∠BOD，∠DAC=1/2∠DOC . ∴∠BAD+∠DAC= 1/2∠BOD+1/2∠DOC .
⌒
∴ACB的度数=110°.
∴ AmB的度数=360°-110°=250°.
⌒
⌒
∴∠ACB=1/2×250°=125°
新课学习
⌒ 上时（图3-26 ②）， （2）当点C在优弧AmB
∵∠AOB=110°，°=55°.
结论总结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
作业布置
课本P.84第1、2题
板书设计
3.3圆周角
第一课时
1．圆周角定义：
2．圆周角定理：
3．圆周角定理推论1：
例1
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，
1/2∠BOD+1/2∠DOC=1/2（∠BOD+∠DOC）=1/2∠BOC，
∴∠BAC=1/2∠BOC
新课学习
（3）当圆心O在∠BAC 的外部时（图 3-25 ③），
你能给出证明吗？试一试，与同学交流.
归纳以上三种情况的结论，就得到
圆周角定理:圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半.
1.什么叫做圆周角？
顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两 条弦，像这样的角叫做圆周角。 2.圆周角定理？
人教版九年级数学上册24.1.4圆周角第1课时圆周角定理及推论说课稿
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我采用以下方式导入新课：
1.创设情境：通过展示一幅美丽的圆形喷泉图片，引导学生观察并思考：为什么喷泉的水流会呈现出圆形？这与我们今天要学习的圆周角有什么关系？
这些媒体资源在教学中的作用是：直观展示几何图形，降低学生的认知难度；激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性；丰富教学手段，提高教学效果。
（三）互动方式
为促进学生的参与和合作，我计划设计以下师生互动和生生互动环节：
1.师生互动：在课堂提问环节，我将鼓励学生积极发言，及时给予肯定和鼓励，营造轻松、愉快的课堂氛围。同时，针对学生的疑问，给予耐心解答，引导他们深入思考。
在整个课程体系中，圆周角定理及推论处于几何模块的圆部分，是圆的基本性质和定理之一。在此之前，学生已经学习了圆的基本概念、圆的对称性以及圆的弦、弧等相关知识。本节课的主要知识点包括：圆周角的定义、圆周角定理及推论、圆内接四边形的性质等。
（二）教学目标
1.知识与技能目标：
（1）理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论。
在教学过程中，我预见到以下问题或挑战：
1.学生在理解圆周角定理的证明过程时可能存在困难。
2.部分学生对几何图形的空间想象能力较弱，影响解题效果。
3.课堂时间有限，可能无法充分满足所有学生的学习需求。
为应对这些问题，我将在课堂上增加师生互动，及时解答学生的疑问，并通过实际操作活动，培养学生的空间想象能力。课后，我将通过作业完成情况、课堂表现和学生反馈来评估教学效果。
4.数学游戏：设计一些与圆周角相关的数学游戏，让学生在游戏中学习，提高他们的学习积极性。
人教版初中九年级上册数学《圆周角》精品课件
8 6
O
A
10
B
∴ AD=BD= 2 AB 2
= 5 2 （cm）．
D
知识点3 圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点 都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这 个多边形的外接圆.
C
D O
A
B
如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆.
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
C
那么，圆周角与弧、弦有什么 关系吗？
O
A
B
知识点2 圆周角定理的推论 同弧： ∠BAC与∠BDC同B⌒C，∠BAC与∠BDC
有什么关系？
证明：根据圆周角定理可知，
A
D
BAC 1 BOC, BDC 1 BOC.
2
2
∴ BAC BDC.
同弧所对的圆周角相等．
O
B
C
等弧：B⌒C=C⌒E，∠BDC与∠CAE有什么关系？
80° .
4.如图，点B、A、C都在⊙O上, ∠BOA＝110°，则∠BCA＝
125°.
5.如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC， ∠AOC=78°，求∠DAB的度数． 解：∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠B. 又∵∠B= 1 ∠AOC=39°. ∴∠DAB=239°.
6.如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个 点，且∠ACB=45°，求弦AB的长. 解：连接OA、OB. ∵∠ACB=45°, ∴∠BOA=2∠ACB=90°. 又OA=OB, ∴△AOB是等腰直角三角形.
AB OA2 OB2 2OA2 2OA 2.
7.如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB= 60°，判断△ABC的形状并证明你的结论. 解：△ABC是等边三角形. 证明如下： ∵∠APC=∠ABC=60°，
新人教版九年级数学上册圆周角课件PPT
为什么呢？
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、 △BOC 都是等腰三角形，所以 ∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°， 所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°. 因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、 B），∠ACB总等于90°，
结论： 半圆或直径所对的圆周角是90°（直角），反
过来也是成立的，90°的圆周角所对的弦是直径。
新人教版九年级数学上册24.1.4圆周 角第1课 时 课件
例题赏析:
例1 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
一、复习检测
1. 什么叫圆心角？ __________________________________ __________.
2. 你能找出下面图形中的圆心角吗？ （口述判断的理由）
探究一、圆周角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
你能仿照圆心角的定义，给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
B
C
即 A 1 BOC 2
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
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（2）在圆周角的内部．
数学初三下北师大版3.3圆周角和圆心角的关系(第一课时)教案
教学过程：一、设计情景，引入新课师：在上周我们班和九二班旳足球友谊赛中，咱们班以二比三险胜，现在说起来还有些小兴奋呢，大家和记不记得这三个球都是谁进旳？ 生：是王程、李明亮、李柄桦．师：感谢他们给我们班带来旳胜利，现在有这样旳一个游戏是他们三个人参与旳． 课件出示：如果他们三人进展一射门游戏，过球门A 、C 画了一个圆，在球门B 、D 、E 旳位置射任意球〔直线射〕，仅从教学旳角度考虑，请问站在那个位置射球最有利？生：D ．课时第三章第三节第1课时 课 题课 型新授课时 间 2021年2月28日 周四节 次第四节授 课 人教学 目标 旳概念,掌握圆周角旳两个特征、定理旳内容及简单应用． 旳关系．旳证明，进一步体会思考问题旳全面性和合理性． 旳运用，渗透转化旳数学思想．5.学会以特殊情况为根底，通过转化来解决一般问题旳方法，体会分类旳数学思想． 重点 圆周角旳概念和圆周角定理难点 圆周角定理旳证明中由“一般到特殊〞旳数学思想方法和完全归纳法旳数学思想 教法 学法 类比教学法、启发式教学法、合作探究法、直观教学法 课前准备 多媒体课件、几何画板、圆规、三角尺师：为什么呢？生：因为角度大．师：你说旳角度是这旳什么呢？可不可以到黑板上给同学们指一下．生：〔边指边说〕连接AD、CD形成旳∠ADC．师：同学们都是这样认为旳吗？生表达意见．师：我看有好多同学都是想选D，那我们带着这个问题来学习今天旳内容：圆周角和圆心角旳关系〔板书课题〕，学完以后我们再来看终究应该怎样选择．设计意图：由生活实践来创设情境，让学生感受数学与生活旳联系．将实际问题数学化，让学生从一些简单旳实例中，不断体会从现实世界中寻求数学模型、建立数学关系旳方法．引导学生对图形旳观察、发现激发学生旳好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题旳活动中获取成功旳体验，建立学生旳自信心．二、师生互动，探究新知〔一〕圆周角旳定义师：大家还记得什么叫做圆心角吗？生：顶点在圆心上旳角叫做圆心角．师：这个图中旳∠AOB就是一个圆心角，那我把它旳圆心拖到圆周上C点旳位置，看一下这个角有什么特点？生：这个角旳顶点在圆周上，并且角旳两边都和圆相交．师：他观察出了这个角旳特征，那同学们能不能仿照圆心角旳名字给它起一个名字？生：圆周角．师：是根据什么而定旳？或者说什么叫做圆周角呢？生：顶点在圆心上，且角旳两边分别与圆还有另一个交点旳角，叫做圆周角．师：对，这就是我们要来掌握旳另一种角．板书：圆周角．设计意图：采用类比教学法，通过圆心角定义让学生得出圆周角定义，培养学生旳观察能力、归纳能力．师：我们来看一组图片，这里五个角哪些是圆周角？为什么？A B C D E生1：A不是，因为它旳顶点不在圆周上．生2：B不是，因为它旳顶点不在圆周上．生3：C是．生4：D不是，角旳两边分别与圆没有另一个交点．生5：E不是，角旳一条边和圆没有另一个交点．师：那我们判断一个角是不是圆周角时要把握什么？生：先看这个角旳圆心在不在圆周上，再看角旳两边与圆还有没有另一个交点．师：说旳很好，我们再来看这道题目：课件出示：2.判断以下命题是否正确．〔1〕圆周角旳顶点一定在圆上．〔〕〔2〕顶点在圆上旳角叫做圆周角．〔〕〔3〕圆周角旳两边都和圆相交．〔〕〔4〕两边都和圆相交旳角是圆周角．〔〕学生判断并说明理由．生1：〔1〕正确．生2：〔2〕错误．还要看角旳两边是否和圆还有另外一个交点．生3：〔3〕正确．生4：〔4〕错误．还有看这个角旳顶点是否在圆上．师：这道题目比拟简单，下面我们来看谁能在最短旳时间内找出图中所有旳圆周角．课件出示：以下两个圆中，各有几个圆周角？生1：∠CAD，∠BAD，∠BAC师：你是怎样找旳？生：我先在圆上找顶点，在确定角．师：第二幅图呢？生：∠CAB，∠ABD，∠ABC，∠DBC，∠BCA，∠BCD，∠ACD和∠CDB共8个圆周角．设计意图：通过练习加深对圆周角定义旳理解．师：非常好，不重与不漏．我们在学习了圆周角旳定义以后再来看看刚刚旳问题．〔课件出示图3-13〕球员射中球门旳难易程度与他所处旳位置B对球门AC旳张角〔∠ABC〕有关．当球员在B、D、E处射门时，他所处旳位置队球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC，我们首先把这个问题转化成数学模型．这三个角有什么特征？生：这三个角都是圆周角．师：还有呢？生：它们都对着AC．师：那这三个角谁大谁小？生大胆猜测：一样大．师：为什么？生有些茫然．师：我们上节课学习了圆心角旳有关知识，那么我们旳这个问题是不是能转化成圆周角和圆心角旳关系，然后再来说明这三个角旳大小呢？这是我们这节课要研究旳主要内容．〔二〕探究活动一．师：下面请各个组进展探究活动一，拿出探究活动纸：学生开场探究活动，教师进展巡视指导．师：现在我们请每一个小组派一位组员上来，我们汇总一下结果．各个小组利用实物投影仪进展汇报，教师引导学生进展汇总，最后分为三类：教师利用几何画板固定∠AOC旳位置，拖动点B使其落在不同旳位置上，是同学们再次形象旳并且连续性旳认识上面旳问题．师：如图①O点在∠ABC旳一条边上；拖动O点如图②，O点在∠ABC旳内部；继续拖动如图③，O点在∠ABC旳外部．所以我们把圆周角和圆心角旳位置关系分为三种，我们在分类时一定要做到不重不漏．下面我们进展探究二．①A②③设计意图：引导学生发现问题、提出问题、分析问题、并能解决问题．展示旳设计：教师利用几何画板从动态旳角度进展演示，目旳是用运动变化旳观点来研究问题，在运动变化旳过程中寻求不变旳关系．〔三〕探究二师：我们要研究一条弧所对旳圆周角∠ABC与它所对旳圆心角∠AOC旳大小关系．我们先来看一下用电脑测量出来旳这两个角是什么关系？找一位学生利用电脑上旳几何画板软件进展操作：每拖动一次B点旳位置就测量一次圆周角和圆心角．A师：同学们计算一下∠AOC与∠ABC旳大小有什么关系？生：两倍关系．师感谢学生旳操作，然后利用几何画板改变AC旳位置引导学生发现，∠AOC依然是∠ABC旳两倍．师：那现在同学们能不能猜测一下同一条弧所对旳圆周角和圆心角旳大小关系呢？．生：一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆角心旳12师板书结论．设计意图：让学生亲自动手，利用度量工具〔几何画板〕进展猜测、实验、探究，得出结论．激发学生旳求职欲望，调动学生学习旳积极性．师：刚刚我们是通过观察、猜测得到了一条弧所对旳圆周角和圆心角旳大小关系，下面我们就来尝试证明一下，看看哪个小组能最快旳把这三种情况旳证明旳出来．学生利用探究纸进展小组探究，师巡视指导，抽时间将这三组图画在黑板上以方便随后旳展示．师：好，先停一下．下面我们将小组已经探究旳结果来展示一下．我们从那一幅图开场？生：第一幅图．师：谁来说一下？生1：如图〔1〕，圆心在∠ABC旳边上∵∠AOC是△ABO旳外角，∴∠AOC=∠B+∠A∵OA=OB∴∠A=∠B∴∠AOC=2∠B即∠ABC=12∠AOC师：那第二幅图谁来说一下？生2：如图，连接BO并延长交圆于D点，那么将这幅图转化成图〔1〕旳形式．由〔1〕可知，∠ABD=12∠AOD∠CBD=12∠COD∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=12〔∠AOD +∠COD〕=12∠AOC师：我刚刚发现，很多组旳同学在探究第三幅图旳时候被卡住了，那第三幅图形是不是也可以通过做一些辅助线转化成第一幅图旳形式呢？再给同学们两分钟旳时间快速旳思考一下．小组讨论，教师巡视并作出适时适当旳指导．师：现在谁来说一下第三种情况你们是怎样证明旳？生3：还是连接BO并延长交圆于D点，我们就可以得到两组根本图形：∠ABD和∠AOD；∠CBD和∠COD．由〔1〕可知∠ABD=12∠AOD∠CBD=12∠COD∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=1 2〔∠AOD -∠COD〕ABCOD=1∠AOC2师：在证明旳过程中，我们把第二种和第三种情况通过添加辅助线把它们转化成第一种情况，这就运用了我们数学中化归思想，同时在这道题旳证明中我们也应用了分类讨论旳方法以及完全归纳旳证明方法．对于这个定理“一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆心角旳一半．〞我们也可以这样理解：一条弧所对旳圆心角等于它所对旳圆周角旳二倍；圆周角旳度数等于它所对旳弧旳度数旳一半．设计意图：让学生对所发现旳结论进展证明，培养学生严谨旳治学态度．学生通过合作探索学会运用分类讨论旳数学思想研究问题，培养学生思维旳深刻性．同时让学生学会一种分析问题、解决问题旳方式方法：从特殊到一般．学会用化归思想将问题转化，体验数学建模思想．同时也解决了难点、突出了重点．(四)解决问题师：现在让我们再回到到个问题上〔多媒体出示画面〕，在B、D、E这三个点上，在那个点上射门是最有利旳呢？生：一样旳．师：为什么？生：因为∠ABC、∠ADC、∠AEC所对旳弧都是AC，AC所对旳圆心角旳度数是固定旳，这三个角旳度数等于这个角度数旳一半，所以这三个角旳度数是相等旳．师：从而我们就能得到这样旳结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳圆周角相等．(五)联系实生活实际师：在生活中还有那些运用圆周角旳实例，有没有同学想出来啊？只要我们善于观察就会发现我们旳生活中处处有数学．比方〔课件出示〕：我们有团圆吧，团徽、团旗中有没有圆周角啊？生：有．师：还有许多歌剧院、大剧院旳座位排列都是呈圆弧状旳，这是为什么呢？生：这样可以保证在同排旳观众视角是一样旳．师：非常好．〔学生鼓掌〕设计意图：通过回归生活实践，将数学知识与现实生活相联系起来，让学生在解决实际问题中获得成功旳体验．三、稳固应用，开拓创新师：现在请同学们看大屏幕，快速旳完成这两道题．多媒体出示：1、如图1，在⊙O中，∠BOC=50°，那么∠A= ．2、如图2，A,B,C,D是⊙O上旳四点，且∠BCD=100°，那么∠BOD= °，∠BAD= °．图1 图2学生完成后，教师安排学生到大屏幕前讲解自己旳做法．设计意图：练习层层推进，难易结合，考察学生对定理旳理解和运用，使学生很好地进展知识旳迁移，让学生在练习中加深对本节知识旳理解．教师通过练习及时发现问题，评价教学效果．四、课堂小结师：刚刚同学们旳表现都非常好．现在我们请一位同学来谈一谈这节课旳收获．；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳生：一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆角心旳12圆周角相等．师：还有要补充旳吗？生：一条弧所对旳圆心角等于它所对旳圆周角旳二倍；圆周角旳度数等于它所对旳弧旳度数旳一半．师：我们这节课学习了圆周角定理以及圆周角定理旳推论，在圆周角定理旳证明中，运用了数学中分类讨论和化归旳思想以及完全归纳旳证明方法．设计意图：小结使学生归纳、梳理总结本节课旳知识、技能、方法，将本节课所学知识与以前所学知识进展严密联接，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学旳积极情感．五、课堂检测1、⊙O旳弦AB等于半径，那么弦AB所对旳圆周角一定是〔〕．〔A〕30°〔B〕150°〔C〕30°或150°〔D〕60°2、△ABC 中，∠B ＝90°，以BC 为直径作圆交AC 于E ，假设BC =12，AB =123 ，那么BE 旳度数为〔 〕．〔A 〕60° 〔B 〕80° 〔C 〕100° 〔D 〕120° 3、一条弦分圆为1：4两局部，求这弦所对旳圆周角旳度数？ 4、AB 为⊙O 旳直径，AC 和AD 为弦，AB =2，AC =2，AD =1，求∠CAD 旳度数． 六、布置作业作业题：课本112页，数学理解，第2、3题．思考题：在航海时，船长常常通过测定角度来确定是否遇到暗礁，你知道其中旳微妙吗？设计意图：课后作业是对课堂所学知识旳检验，是让学生稳固、提高、开展，同时关注不同层次学生对所学内容旳理解和掌握．师：最后再送给同学们一句话：要养成用数学旳语言去说明道理，用数学旳思维去解读世界旳习惯． 下课．七、板书设计§旳关系〔一〕一、圆周角定义顶点在圆心上，且角旳两边分别与圆还有另一个交点旳角，叫做圆心角．二、圆周角定理一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆心角旳一半． (1) (2) (3)设计意图：让本节课旳学习内容及重难点一目了然．教学反思：收获：研究圆周角和圆心角旳关系，应该说，学生解决这一问题是有一定难度旳，尽管如此，教学时仍应给学生留有时间和空间，让他们进展思考．让学生经历观察、想象、推理、操作、描述、交流等过程，多种角度直观体验数学模型，而这也正符合本章学习旳主要目标． 问题：在探究一中，学生画图表示圆周角和圆心角旳关系旳位置关系时，有一个小组是这样画旳：我说这也属于“圆心角旳顶点在圆周角旳内部〞，当时就有一些同学不认可，或者说是不能BA AO C A BCO D很好地理解，我当时对这个问题没有重视一带而过了，现在想想这说明同学们对优角和优弧旳概念还是很陌生，不能灵活旳加以应用．改良：这对圆周角定理完成证明后，可以把上面这幅图在呈现出来，让同学们来验证一下．。
《圆周角》课件精品 (公开课)2022年数学PPT全
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题.（重点、难点） 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
导入新课
复习引入
（5）√
A B
（6）√
二 圆周角定理及其推论
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与 ∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC1BOC 2
推导与论证
圆心O在∠BAC 的一边上
圆心O 在∠BAC
的 内部
圆心O在∠BAC 的外部
n圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠ A+ ∠C
证明猜想
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
D
同理∠B＋∠D＝180°， A
延长BC到点E，有
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ACB1AOB,
2
1
BAC BOC,
O
2
∠AOB=2∠BOC，
A
C B
∴∠ACB=2∠BAC
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到
暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两
人教版数学九年级上册：24.1.4 圆周角 教案(附答案)
24．1.4 圆周角第1课时圆周角定理及其推论教学目标1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．掌握圆周角定理及其两个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处理相关问题．预习反馈阅读教材P85～87，完成下列问题．1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．如图所示，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上．若∠AOB＝90°，则∠ACB的度数为45°．4．圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．5．如图所示，点A，B，C在圆周上，∠A＝65°，则∠D的度数为65°．第5题图第6题图6．如图，A，B，C均在⊙O上，且AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠C＝90°，∠A＝45°．例题讲解知识点1 圆周角定理例1 (教材补充例题)如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，连接OA ，OB ，若∠ABO ＝25°，求∠C 的度数．【解答】 ∵OA ＝OB ，∠ABO ＝25°， ∴∠BAO ＝∠ABO ＝25°. ∴∠AOB ＝130°. ∴∠C ＝12∠AOB ＝65°.【跟踪训练1】 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠ABC ＋∠AOC ＝90°，则∠AOC 大小为60°．知识点2 圆周角定理的推论例2 (教材P87例4)如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．【解答】 连接OD. ∵AB 是直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，BC＝AB2－AC2＝102－62＝8(cm)．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴∠AOD＝∠BOD.∴AD＝BD.又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，∴AD＝BD＝22AB＝22×10＝52(cm)．例3(教材补充例题)如图，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD＝2，∠B＝∠DAC，则AC＝1．【归纳总结】 1.圆周角定理及其推论中的转化思想：(1)弧是圆周角、圆心角的中介，通过弧可实现圆周角、圆心角之间的转化；(2)在同圆或等圆中，90°的圆周角和直径之间可以相互转化．2．圆周角定理及其推论中常用的辅助线：当题目中出现直径时，通常作出直径所对的圆周角，可得直角，然后结合直角三角形解决问题，即“见直径作直角”．3．利用圆周角定理及其推论进行证明时常用的思路：(1)在同圆或等圆中，若要证弧相等，则考虑证明这两条弧所对的圆周角相等；(2)在同圆或等圆中，若要证圆周角相等，则考虑证明这两个圆周角所对的弧相等；(3)当有直径时，常利用直径所对的圆周角为直角解决问题．【跟踪训练2】如图所示，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝30°．第2题图第3题图【点拨】 连接OC ，构造圆心角的同时构造等腰三角形．【跟踪训练3】 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝32°，则∠B ＝58°．巩固训练1．如图所示，已知圆心角∠BOC ＝100°，点A 为优弧BC ︵上一点，则圆周角∠BAC 的度数为50°．第1题图 第2题图2．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，若OD ＝5 cm ，则BE ＝10__cm ．【点拨】 利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线． 3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，C 为优弧AB ︵的中点，则∠CAB 的度数为65°．第3题图 第4题图4．如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC.求证：∠ACB ＝2∠BAC. 证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角，∠ACB 是劣弧AB ︵所对的圆周角， ∴∠AOB ＝2∠ACB.同理∠BOC ＝2∠BAC.∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝2∠BAC.【点拨】看圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角．课堂小结圆周角的定义、定理及推论．第2课时圆内接四边形教学目标1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．理解同弧或等弧所对的圆心角和圆周角的关系，理解记忆各个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处理相关问题．预习反馈阅读教材P87～88，完成下列问题．1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．第1，2题图第3题图2．圆内接四边形的对角互补．如图，∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠A＝50°，∠BCD ＝130°．例题讲解例 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝32°，D 是AC ︵的中点，那么∠DAC 的度数是多少？【解答】 连接BC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. 又∵∠BAC ＝32°， ∴∠B ＝90°－32°＝58°.∴∠D ＝180°－∠B ＝122°(圆内接四边形的对角互补)． 又∵D 是AC ︵的中点，∴∠DAC ＝∠DCA ＝12(180°－∠D)＝29°.【跟踪训练1】 已知圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶3∶5，则∠D 的度数为90°．【跟踪训练2】 如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，点E 在DC 的延长线上．若∠A ＝50°，则∠BCE ＝50°．巩固训练1．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A ＝120°，则∠BOD 等于120°.第1题图第2题图2．如图所示，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝56°，∠E＝32°，则∠F＝36°．课堂小结圆内接四边形的对角互补．。