广东省中山市高二上学期期末数学试卷(理科)
广东省中山市高二上学期期末数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018高一下·河南月考) 点在边长为2的正方形内运动，则动点到定点的距离的概率为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）(2017·广西模拟) 已知双曲线x2﹣ =1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是（）
A . ±1
B . ±2
C . 2
D . 4
3. （2分）(2020·内江模拟) 割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为，在半径为的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）在几何体P﹣ABCD中，ABCD为矩形，各棱所在直线共有异面直线（）
A . 4对
B . 6对
C . 8对
D . 12对
5. （2分）(2012·四川理) 如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n．则（）
A . 若m⊥n，则α⊥β
B . 若α⊥β，则m⊥n
C . 若m∥n，则α∥β
D . 若α∥β，则m∥n
7. （2分）(2018·鞍山模拟) 过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，
，则的值为（）
A . 4
B .
C . 1
D . 2
8. （2分）(2017·桂林模拟) 已知双曲线的标准方程为，直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线交于不同的两点C、D，若C、D两点在以点A（0，﹣1）为圆心的同一个圆上，则实数m的取值范围是（）
A .
B . {m|m＞4}
C . {m|0＜m＜4}
D .
9. （2分）用一个平面去截正四面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有（）
A . 6个
B . 7个
C . 10个
D . 无数个
10. （2分） (2016高二上·成都期中) 如果椭圆+ =1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）
A . x﹣2y=0
B . x+2y﹣4=0
C . 2x+3y﹣12=0
D . x+2y﹣8=0
11. （2分）已知直线l ⊥平面，直线m⊂平面，则“∥”是“l ⊥m”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分又不必要条件
12. （2分）(2017·自贡模拟) 定义域为R的偶函数f（x）满足∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（x+1）恰有三个零点，则a的取值范围是（）
A . （0，）
B . （0，）
C . （，）
D . （，）
二、填空题 (共4题；共6分)
13. （2分） (2016高三上·台州期末) 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为6的正方形，俯视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该几何体的体积是________，表面积是________
14. （1分） (2018高二下·济宁期中) 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程＝0.67x＋54.9.
零件数x(个)1020304050
加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为________．
15. （1分） (2018高二上·陆川期末) 过点Q(4,1)作抛物线的弦AB,恰被Q所平分,则弦AB所在直线方程为________.
16. （2分） (2017高二下·温州期末) 过点 M （0，1）且斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C： =1（ a ＞0，b＞0）的两渐近线交于点 A，B，且 =2 ，则直线 l 的方程为________；如果双曲线的焦距为 2 ，则 b 的值为________．
三、解答题 (共5题；共40分)
17. （10分） (2018高二下·泰州月考) 从侧面都是正三角形的正四棱锥的8条棱中随机选两条,记为这两条棱所成角的大小.
（1）求概率
（2）求的分布列,并求其数学期望 .
18. （5分） (2017高三下·静海开学考) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，CD⊥
平面PAD，点O，E分别是AD，PC的中点，已知PA=PD，PO=AD=2BC=2CD=2．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣O的余弦值；
（Ⅲ）设点F在线段PC上，且直线DF与平面POC所成角的正弦值为，求线段DF的长．
19. （10分）已知为圆上一动点，圆心关于轴的对称点为，点
分别是线段上的点，且 .
（1）求点的轨迹方程；
（2）直线与曲线交于两点，的中点在直线上，求（为坐标原点）面积的取值范围.
20. （10分） (2018高一下·伊春期末) 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD交于点O，E为侧棱SC上的一点．
（1）若E为SC的中点，求证：SA∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面SAC 。
21. （5分）(2018·丰台模拟) 已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若函数在定义域内不单调，求的取值范围．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共6分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共5题；共40分) 17-1、
17-2、
19-1、19-2、
20-1、20-2、
21-1、。
广东省中山市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含答案
广东省中山市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题“∀x∈R，x3﹣3x＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x3﹣3x≤0 B．∀x∈R，x3﹣3x＜0 C．∃x∈R，x3﹣3x≤0 D．∃x∈R，x3﹣3x＞02．若集合M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}，N={x|∉N}，则M∩N等于（）A．{3，6} B．{4，5} C．{2，4，5} D．{2，4，5，7}3．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．24．若双曲线的实轴长为4，则此双曲线的渐近线的方程为（）A．y=±4x B．y=±2x C．D．5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（）A．7.5 B．7 C．6 D．56．若实数x，y满足，则目标函数z=﹣x+y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．27．抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7，则A、B到y轴的距离之和为（）A．8 B．7 C．6 D．58．设Sn 为数列{an}的前n项和，a3=6且Sn+1=3Sn，则a1+a5等于（）A．12 B．C．55 D．9．已知空间向量=（0，，﹣），=（x，0，﹣2），则“x=2”是“＜，＞=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．函数f（x）=的最大值为（）A．B．C．D．11．斜率为1的直线与抛物线y=ax2（a＞0）交于A、B两点，且线段AB的中点C到y轴的距离为1，则该抛物线焦点到准线的距离为（）A．B．C．1 D．212．设A（﹣3，0），B（3，0），若直线y=﹣（x﹣5）上存在一点P满足|PA|﹣|PB|=4，则点P到z轴的距离为（）A．B．C．或 D．或二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是．14．椭圆7x2+3y2=21上一点到两个焦点的距离之和为．15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为平万千米．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC．（1）求角C的大小；（2）若a=5，b=8，求边c的长．18．设命题p：∃x0∈（﹣2，+∞），6+|x|=5．命题q：∀x∈（﹣∞，0），x2+≥4．命题r：若|x|+|y|≤1，则≤．（1）写出命题r的否命题；（2）判断命题￢p，p∨r，p∧q的真假，并说明理由．19．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E、M、N分别为PD、CD、AD的中点，．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．20．设数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，点（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn =nan2，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．21．在平面直角坐标系中，点P 为曲线C 上任意一点，且P 到定点F （1，0）的距离比到y 轴的距离多1．（1）求曲线C 的方程；（2）点M 为曲线C 上一点，过点M 分别作倾斜角互补的直线MA ，MB 与曲线C 分别交于A ，B 两点，过点F 且与AB 垂直的直线l 与曲线C 交于D ，E 两点，若|DE|=8，求点M 的坐标．22．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且椭圆C 上的点到椭圆右焦点F 的最小距离为﹣1．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且不与坐标轴平行的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OA ，OM ，OB 的斜率为k OA ，k OM ，k OB ，若k OA ，﹣k OM ，k OB 成等差数列，求直线l 的方程．广东省中山市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．命题“∀x∈R，x3﹣3x＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x3﹣3x≤0 B．∀x∈R，x3﹣3x＜0 C．∃x∈R，x3﹣3x≤0 D．∃x∈R，x3﹣3x＞0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x∈R，x3﹣3x≤0，故选：C2．若集合M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}，N={x|∉N}，则M∩N等于（）A．{3，6} B．{4，5} C．{2，4，5} D．{2，4，5，7}【考点】交集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简M，再由交集运算得答案．【解答】解：∵M={x∈N|x2﹣8x+7＜0}={x∈N|1＜x＜7}={2，3，4，5，6}，N={x|∉N}，∴M∩N={2，3，4，5，6}∩{x|∉N}={2，4，5}，故选：C．3．等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，则公差d等于（）A．B．C．D．2【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式，列出方程组，由此能求出公差d．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，且S5=6，a2=1，∴，解得，d=．故选：A．4．若双曲线的实轴长为4，则此双曲线的渐近线的方程为（）A．y=±4x B．y=±2x C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得m=4，求得双曲线的方程，可得渐近线方程为y=±x．【解答】解：双曲线的实轴长为4，可得2=4，可得m=4，即有双曲线的方程为﹣y2=1，可得双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：C．5．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（）A．7.5 B．7 C．6 D．5【考点】正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，进而可得周长的值．【解答】解：∵bcosA+acosB=c2，a=b=2，∴由余弦定理可得：b×+a×=c2，整理可得：2c2=2c3，∴解得：c=1，则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5．故选：D．6．若实数x，y满足，则目标函数z=﹣x+y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=﹣x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即C（3，1），此时zmin=﹣3+1=﹣2．故选：B7．抛物线y2=4x上两点A、B到焦点的距离之和为7，则A、B到y轴的距离之和为（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A、B到y轴的距离之和．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7∴x1+x2=5，∴A、B到y轴的距离之和为5，故选：D．8．设Sn 为数列{an}的前n项和，a3=6且Sn+1=3Sn，则a1+a5等于（）A．12 B．C．55 D．【考点】数列递推式．【分析】Sn+1=3Sn，可得数列{Sn}为等比数列，公比为3．可得．利用递推关系即可得出．【解答】解：∵Sn+1=3Sn，∴数列{Sn}为等比数列，公比为3．∴．∴a3=S3﹣S2==6，解得S1=1=a1．∴Sn=3n﹣1．∴a5=S5﹣S4=34﹣33=54．∴a1+a5=55．故选：C．9．已知空间向量=（0，，﹣），=（x，0，﹣2），则“x=2”是“＜，＞=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据空间向量数量积的定义结合向量夹角公式以及充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：∵ =（0，，﹣），=（x，0，﹣2），∴•=（0，，﹣）•（x，0，﹣2）=×2=，则||==，||=，若＜，＞=，则cos＜，＞=cos=，即==，平方得，得x2=4，即x=±2，即“x=2”是“＜，＞=”的充分不必要条件，故选：A10．函数f（x）=的最大值为（）A．B．C．D．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】当x≠0时，f（x）==，结合基本不等式，可得函数的最大值．【解答】解：当x=0时，f（0）=0，当x≠0时，f（x）==≤=，故函数f（x）=的最大值为，故选：B11．斜率为1的直线与抛物线y=ax2（a＞0）交于A、B两点，且线段AB的中点C到y轴的距离为1，则该抛物线焦点到准线的距离为（）A．B．C．1 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于直线斜率为1，可设方程y=x+b，与抛物线的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式可得a的值，再求出抛物线焦点到准线的距离即可．【解答】解：设直线为y=x+b，与y=ax2联立方程组，即为，消y可得ax2﹣x﹣b=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=，∵线段AB的中点C到y轴的距离为1，∴=1，解得a=，∴y=x2，∴该抛物线焦点到准线的距离a即为，故选：A12．设A（﹣3，0），B（3，0），若直线y=﹣（x﹣5）上存在一点P满足|PA|﹣|PB|=4，则点P到z轴的距离为（）A．B．C．或 D．或【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件得到P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，求出双曲线的方程，联立方程组求出P的坐标即可得到结论．【解答】解：∵A（﹣3，0），B（3，0），P满足|PA|﹣|PB|=4＜|AB|，∴P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，其中c=3，2a=4，则a=2，b2=9﹣4=5，即双曲线方程为﹣=1，若直线y=﹣（x﹣5）上存在一点P满足|PA|﹣|PB|=4，则有消去y得16x2+90x﹣325=0，即（2x﹣5）（8x+65）=0，得x=或（x=﹣＜0舍），此时y=，即点P到z轴的距离为，故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是若x2≤1，则x≤1 ．【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若x＞1，则x2＞1”的逆否命题是命题“若x2≤1，则x≤1”，故答案为：若x2≤1，则x≤114．椭圆7x2+3y2=21上一点到两个焦点的距离之和为2．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆方程转化成标准方程，求得a，b的值，由椭圆的定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离之和2a=2．【解答】解：由题意可知：椭圆的标准方程：，焦点在y轴上，a2=7，b2=3，由c2=a2﹣b2=4，c=2，∴由椭圆的定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离之和2a=2，故答案为：2．15．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B到平面D1EC的距离．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E为AB的中点，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图∴B（1，2，0），C（0，2，0）E（1，1，0），D1（0，0，1），=（0，1，0），=（﹣1，1，0），=（﹣1，﹣1，1），设平面D1EC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），∴点B到平面D1EC的距离：d==．故答案为：．16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为21 平万千米．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．【解答】解：由题意画出图象：且AB=13里=6500米，BC=14里=7000米，AC=15里=7500米，在△ABC中，由余弦定理得，cosB===，所以sinB==，则该沙田的面积：即△ABC的面积S===21000000（平方米）=21（平方千米），故答案为：21．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC．（1）求角C的大小；（2）若a=5，b=8，求边c的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出．（2）利用余弦定理即可得出．【解答】解：（1）acosB+bcosA=2ccosC，∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC∴sin（A+B）=sinC=2sinCcosC，sinC≠0，解得cosC=，C∈（0，π），∴C=．（2）由余弦定理可得：c2=52+82﹣2×5×8cos=49，解得c=7．18．设命题p：∃x0∈（﹣2，+∞），6+|x|=5．命题q：∀x∈（﹣∞，0），x2+≥4．命题r：若|x|+|y|≤1，则≤．（1）写出命题r的否命题；（2）判断命题￢p，p∨r，p∧q的真假，并说明理由．【考点】复合命题的真假．【分析】（1）根据否命题的定义求出r的否命题即可；（2）分别判断p，q，r的真假，从而判断复合命题的真假即可．【解答】解：（1）命题r：若|x|+|y|≤1，则≤．命题r的否命题是：若|x|+|y|＞1，则＞；（2）命题p：∃x0∈（﹣2，+∞），6+|x|=5，是假命题，命题q：∀x∈（﹣∞，0），x2+≥2=4，是真命题，若|x|+|y|≤1，则则==﹣1+≥﹣1+=，故命题r是假命题；故命题￢p是真命题，p∨r是假命题，p∧q是假命题．19．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E、M、N分别为PD、CD、AD的中点，．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结BD，分别交AC、MN于点O、G，连结EO、FG，推导出EO∥PB，FG∥EO，PB ∥FG，由此能证明PB∥平面FMN．（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结BD，分别交AC、MN于点O、G，连结EO、FG，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB．…又，∴F为ED中点，又CM=MD，AN=DN，∴G为OD中点，∴FG∥EO，∴PB∥FG．…∵FG⊂平面FMN，PB⊄平面FMN，∴PB∥平面FMN．…解：（2）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．…如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，2，0），B（2，0，0），E（0，1，1），则，，…∵PA⊥平面ABCD，∴平面ABC的一个法向量n=（0，0，1）．…设平面AEC的法向量为n=（x，y，z），则，即，…令x=1，则y=﹣1，z=1，∴n=（1，﹣1，1），…∴．…由图可知，二面角E﹣AC﹣B为钝角，∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．…20．设数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，点（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn =nan2，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．可得2an+1+Sn﹣2=0，利用递推关系可得：an+1=．再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）bn =nan2=．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】（1）解：（an+1，Sn）都在直线2x+y﹣2=0上．∴2an+1+Sn﹣2=0，∴n≥2时，2an +Sn﹣1﹣2=0，可得：2an+1﹣2an+an=0，∴an+1=．∴数列{an}是等比数列，公比为，首项为1．∴an=．（2）证明：bn =nan2=．∴数列{bn }的前n项和为Tn=1+++…+，∴=+…+（n﹣1）×+n，∴=++…+﹣n=﹣n，∴Tn=﹣＜．21．在平面直角坐标系中，点P为曲线C上任意一点，且P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1．（1）求曲线C的方程；（2）点M为曲线C上一点，过点M分别作倾斜角互补的直线MA，MB与曲线C分别交于A，B 两点，过点F且与AB垂直的直线l与曲线C交于D，E两点，若|DE|=8，求点M的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义得曲线C为抛物线，即可求曲线C的轨迹方程；（2）求出直线AB的斜率，可得直线DE的方程，利用抛物线的定义建立方程，即可得出结论．【解答】解：（1）由已知得：P到点F（1，0）的距离比到直线l：x=﹣1的距离相等∴由抛物线的定义得曲线C 为抛物线， =1 ∴轨迹方程为：y 2=4x ．（2）设M （x 0，y 0），直线MA 的斜率为k ，直线MB 的斜率为﹣k ，k ≠0，直线MA 的方程为y ﹣y 0=k （x ﹣x 0），将y 2=4x 代入整理得到ky 2﹣4y+4y 0﹣4kx 0=0， 则y A =﹣y 0，又y A ﹣y 0=k （x A ﹣x 0），整理得到x A =﹣，将其中的k 换成﹣k ，得到x B =+，y B =﹣﹣y 0，那么直线AB 的斜率k=﹣，∴直线DE 的斜率为，方程为y=（x ﹣1），代入y 2=4x ，可得=0，∴x 1+x 2=2+，∵|DE|=8， ∴2++2=8，∴y 0=±2，x 0=1，∴M （1，±2）．22．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且椭圆C 上的点到椭圆右焦点F 的最小距离为﹣1．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且不与坐标轴平行的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OA ，OM ，OB 的斜率为k OA ，k OM ，k OB ，若k OA ，﹣k OM ，k OB 成等差数列，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．联立直线方程与椭圆方程，由一元二次方程的根与系数的关系结合kOA ，﹣kOM，kOB成等差数列求得直线的斜率，则直线方程可求．【解答】解：（1）由题意可知，，解得：a2=2，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）．则．∵kOA ，﹣kOM，kOB成等差数列，∴kOA +kOB+2kOM====4k==．即k=．∴直线l的方程为y=．。
广东省中山市高二数学上学期期末统一考试 理 新人教A版
数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.3、不可以使用计算器.4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在△ABC 中，60A =︒，75B =︒，c =20，则边a 的长为 A．B．C．D．2．不等式(50)(60)0x x -->的解集是 A ．(,50)-∞B ．(60,)+∞C ．(50,60)D ．(,50)(60,)-∞+∞3．十三世纪初，意大利数学家斐波那契（Fibonacci ，1170～1250）从兔子繁殖的问题，提出了世界著名数学问题“斐波那契数列”，该数列可用递推公式121,1,2;, 3.n n n n F F F n --=⎧=⎨+≥⎩由此可计算出8F = A ．8B ．13C ．21D ．344．函数()ln f x x x =的单调递减区间是 A ．(0,)eB ．(,)e +∞C ．1(0,)eD ．1(,)e +∞5．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++，若1031S =，20122S =，则30S = A ．153B ．182C ．242D ．2736．关于双曲线22916144y x -=，下列说法错误的是 A ．实轴长为8，虚轴长为6B ．离心率为54C ．渐近线方程为43y x =±D ．焦点坐标为(5,0)±7．下列命题为真命题的是A ．x ∀∈N ，32x x >B ．0x ∃∈R ，200220x x ++≤C ．“3x >”是“29x >”的必要条件D ．函数2()f x ax bx c =++为偶函数的充要条件是0b =8．已知函数32()f x x ax bx c =+++，x ∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：① f （x ）的解析式为：3()4f x x x =-，x ∈[-2，2]； ② f （x ）的极值点有且仅有一个； ③ f （x ）的最大值与最小值之和等于零. 则下列选项正确的是（ ）. A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上） 9．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第2项为 .10．与椭圆221259x y +=焦点相同的等轴双曲线的标准方程为 .11．小明用TI-Nspire™ CAS 中文图形计算器作出函数1()(2)(3),[4,4]8f x x x x x =+-∈-的图像如右图所示，那么不等式()0f x ≥的解集是 .（用区间表示） 12．已知(2,1,3)a =，(4,2,)b x =-，且a b ⊥，则||a b -= .13．在周长为定值P 的扇形中，当半径为 时，扇形的面积最大，最大面积为 . 14．已知抛物线2()2f x x x =-上一点(3,(3))P f 及附近一点'(3,(3))P x f x +∆+∆，则割线'PP 的斜率为'(3)(3)PP f x f k x+∆-==∆ ，当x ∆趋近于0时，割线趋近于点P 处的切线，由此可得到点P 处切线的一般方程为 .三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15．（13分）已知函数()(2)(3)f x x x x =+-.（1）求导数()f x '； （2）求()f x 的单调区间.16．（13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n S n n N n *∈均在直线12y x =+上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设123n a n b +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，试求n T .17．（13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c . （1）若边BC 上的中线AD 记为a m，试用余弦定理证明：a m =（2）若三角形的面积S =2221()4a b c +-，求∠C 的度数.18．（13分）某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示.但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值大？最大日产值为多少?19．（14分）如图，在长方体1AC 中，12,AB BC AA ==E 、F 分别是面11A C 、面1BC 的中心．以D 为坐标原点，DA 、DC 、D D 1所为直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，试用向量方法解决下列问题：（1）求异面直线AF 和BE 所成的角；（2）求直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值．AA 1BC D B 1C 1D 1 EF20. （14分）已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上, 右焦点到直线0x y -+的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同的两点M 、N ，当AM AN =时，求实数m 的取值范围.中山市高二级2012—2013学年度第一学期期末统一考试 高二数学试卷（理科）答案一、选择题：ACCCD DDB二、填空题：9. 8； 10. 22188x y -=； 11. [2,0][3,4]-；13. 4P，216P ； 14. 112x +∆，11180x y --=. （前空3分，后空2分）三、解答题：15． 解：（1）由原式得32()6f x x x x =--，……………（3分）∴2()326f x x x '=--. ……（6分）（2）令()0f x '<x <<， ……………（9分）令()0f x '>，解得x <x ， ……………（11分）所以()f x的单调递减区间为11(33，……………（12分）单调递增区间为(-∞，)+∞. ……………（13分）16. 解：（1）依题意得，1,2n S n n =+即212n S n n =+. ……………（2分）当n≥2时， 221111()(1)(1)2222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎢⎥⎣⎦; ………（5分） 当n=1时，2111311121222a S ==+⨯==⨯-. ……………（6分） 所以*12()2n a n n N =-∈.……………（7分）（2）由（1）得12233n a n n b +==，……………（8分） 由2(1)2123393n n n n b b ++===，可知{}n b 为等比数列. ……………（10分） 由21139b ⨯==，……………（11分）故19(19)99198n n n T +--==-. ……（13分）17．解：（1）在ABD ∆中，222()2cos 22a ac m B a c+-=； ……………（2分）在ABC ∆中，222cos 2c a b B c a+-=.……………（4分）∴ 222222()2222a ac m c a b a c a c +-+-=，………………（5分）化简为：2222222222()424a a c ab b ca m c +-+-=+-=， ∴ a m =………………（7分）（2）由S =2221()4a b c +-，得12ab sin C =12cos 4ab C .………………（10分） ∴ tan C =1，得C =45︒.………………（13分）18. 解：设该厂每天安排生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，则日产值812z x y =+，…（1分）线性约束条件为735620504500,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩.…………（3分）作出可行域.…………（6分）把812z x y =+变形为一组平行直线系8:1212zl y x =-+，由图可知，当直线l 经过可行域上的点M 时，截距12z最大，即z 取最大值. 解方程组73562050450x y x y +=⎧⎨+=⎩，得交点(5,7)M ，……………（10分） max 85127124z =⨯+⨯=.……………（12分）所以，该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨，则该厂日产值最大，最大日产值为124万元.………………（13分）19. 解：（1）A （2，0，0），F （1，2，2），B （2，2，0），E （1，1，2），C （0，2，0）.∴ 2(1,2,),(1,1,2)2AF BE =-=--，……（4分） ∴ 1210AF BE →→•=-+=.……（6分） 所以AF 和BE 所成的角为90︒ .……（7分）（2）设平面BEC 的一个法向量为(,,),n x y z = 又 (2,0,0),BC =- (1,1,2),BE =--则：20n BC x •=-=，20n BE x y z •=--+=.∴0x =， 令1z =，则：2y =,∴ (0,2,1)n →=. …………（10分）∴ 525332,2232AF n COS AF n AF n•<>===•⨯. ……………（12分）AA 1BC DB 1C 1D 1EF设直线AF 和平面BEC 所成角为θ，则：Sin θ=. 即 直线AF 和平面BEC……………（14分）20. 解：（1）依题意可设椭圆方程为 2221(1)x y a a +=> ，……………（1分）则右焦点F . ……（2分）3=, 解得：23a =.……………（4分） 故 所求椭圆的标准方程为：2213x y +=.……………（5分）（2）设P 为弦MN 的中点，联立2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， ………………（6分）消y 得： 222(31)63(1)0k x mkx m +++-=. ………………（7分）由于直线与椭圆有两个交点， 0,∴∆>即 2231m k <+ ① …………（8分）23231M N p x x mk x k +∴==-+， 从而 231p p my kx m k =+=+， 21313p Ap py m k k x mk+++∴==- .又 ,AM AN AP MN =∴⊥，则： 23113m k mk k ++-=- ，即： 2231m k =+ ② ，……………（12分）把②代入①得：22m m >，解得： 02m <<； 由②得：22103m k -=>，解得：12m > . 所以，122m <<.………………（14分）。
高二数学第一学期期末统一考试(数学理)
中山市高二级2009—2010学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在△ABC 中，135A =︒，30C =︒，c =20，则边a 的长为A． B． C． D2．不等式(9)0x x ->的解集是A ．(0,9)B ．(9,)+∞C ．(,9)-∞D ．(,0)(9,)-∞+∞3．已知数列{}n a 满足11a =，211(1)n n a a n -=->，则5a = A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．3 4．设函数f (x )的图象如右图所示，则导函数f '(x )的图象可能为)'()f x5．四个不相等的正数a 、b 、c 、d 成等差数列，则下列关系式一定成立的是A．2a d +< B．2a d +> C．2a d + D．2a c+ 6．命题“0x ∃∈R ，20010x x -+≤”的真假判断及该命题的否定为A ．真； 0x ∃∈R ，20010x x -+>B ．假； 0x ∃∈R ，20010x x -+>C ．真； x ∀∈R ，210x x -+>D ．假； x ∀∈R ，210x x -+>7．我市某企业在2009年元月份为战胜国际背景下的金融危机，积极响应国务院提出的产业振兴计划，对每周的自动化生产项目中进行程序优化. 在程序设计中，需要采用一个七进制计数器，所谓七进制即“逢七进一”，如(7)1203表示七进制数，将它转换成十进制形式，是321017270737⨯+⨯+⨯+⨯= 444，那么将七进制数126666(7)转换成十进制形式是A ．1377-B ．1277-C ．1271-D ．1171-8．椭圆C ：221259x y +=的焦点为12F F ，，有下列研究问题及结论： ① 曲线221(9)259x y k k k+=<--与椭圆C 的焦点相同； ② 一条抛物线的焦点是椭圆C 的短轴的端点，顶点在原点，则其标准方程为26x y =±；③ 若点P 为椭圆上一点，且满足120PF PF =，则12PF PF +=8. 则以上研究结论正确的序号依次是 A ．①② B ．②③ C ．①③ D ． ①②③第II 卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上）9．如果双曲线22136100x y -=上一点P 到焦点1F 的距离等于7，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是 .10．已知函数2()(2)x f x x e =+，则'(0)f = .11．已知向量OA =（2，－1，2），OB =（1，0，3），则cos OAB ∠= .12．当x y 、满足不等式组0201x y y x ≤≤⎧⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y =+的最大值是 .13．数列{}n a 的前n 项和为2n n S c =+，其中c 为常数，则该数列{}n a 为等比数列的充要条件是 .14．为迎接2010年11月12日至27日在广州举办的第16届亚运会，某高台跳水运动员加强训练，经多次统计与分析，得到t 秒时该运动员相对于水面的高度（单位：m ）是2() 4.8810h t t t =-++. 则该运动员在2t =秒时的瞬时速度为 /m s ，经过 秒后该运动员落入水中.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15．（13分）已知函数1()sin ,(0,)2f x x x x π=-∈. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）求函数()f x 的图象在点3x π=处的切线方程.16．（13分）某市在进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园. 经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为70 m 、90 m 、120 m . （1）求该三角形区域最大角的余弦值； （2）求该三角形区域的面积.17． （13分）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面ABCD 是正方形，13,2CC CD ==,且1160C CB C CD ∠=∠=︒.（1）设1,CD a CB b CC c ===，， 试用,,a b c 表示1AC ； （2）O 为四棱柱的中心，求CO 的长；（3）求证：1AC BD ⊥.18．（13分）斜率为43的直线l 经过抛物线22y px =的焦点(1,0)F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.（1）求该抛物线的标准方程和准线方程； （2）求线段AB 的长；19． （14分）某热电厂积极推进节能减排工作，技术改造项目“循环冷却水系统”采用双曲线型冷却塔（如右图），以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，从而实现热电系统循环水的零排放.（1）冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，要求它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为20 m ，，试求冷却塔的高应当设计为多少？（2）该项目首次需投入资金4000万元，每年节能后可增加收入600万元. 投入使用后第一年的维护费用为30万元，以后逐年递增20万元. 为使年平均节能减排收益达到最大值，多少年后报废该套冷却塔系统比较适合？20. （14分）已知函数213()324f x x x =--. 定义函数()f x 与实数m 的一种符号运算为()()[()()]m f x f x f x m f x ⊗=+-.（1）求使函数值()f x 大于0的x 的取值范围； （2）若27()4()2g x f x x =⊗+，求()g x 在区间[0,4]上的最大值与最小值； （3）是否存在一个数列{}n a ，使得其前n 项和274()2n S f n n =⊗+. 若存在，求出其通项；若不存在，请说明理由.中山市2009—2010学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（理科）答案一、选择题：BABC BDCC二、填空题：9. 19； 10. 5； 11. ； 12. 5； 13. 1c =-； 14. 11.2-，2.5 . 三、解答题： 15. 解：1'()cos 2f x x =-. ……（2分） （1）由(0,)x π∈及1'()cos 02f x x =->，解得(0,)3x π∈.∴ 函数()f x 的单调递增区间为(0,)3π.……（6分）（2）1()sin 33236f ππππ=-⨯=-. ……（8分） 切线的斜率1'()cos0332k f ππ==-=. ……（10分）∴ 所求切线方程为：6y π=-.……（13分）16. 解：（1）设a =70 m ，b =90 m ，c =120 m ，则最大角为角C . ……（2分） 根据余弦定理的推论，得2222227090120cos 227090a b c C ab +-+-==⨯⨯……（5分） 19=-.……（7分）（2）sin C ==，……（9分）11s i n 700522S a b C ∆==⨯⨯= ……（12分）所以该三角形区域的面积是2m .……（13分）17. 解：（1）由1,CD a CB b CC c ===，，得1CA a b c =++. ……（2分）所以，1AC a b c =---.……（3分） （2）O 为四棱柱的中心，即O 为线段1A C 的中点.……（4分）由已知条件，得||||2a b ==，||3c =，0a b =，,60a c <>=︒，,60b c <>=︒. ……（5分）根据向量加减法得BD a b =-，1CA a b c =++.22222211||()222CA CA a b c a b c a b b c a c ==++=+++++2222230232cos60232cos6029=++++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=. ……（8分） ∴ 1A C所以CO =.……（9分）（3）∵ 221()()CA BD a b c a b a a c b b c =++-=+--22223cos60223cos600=+⨯⨯︒--⨯⨯︒=，……（12分） ∴ 1CA BD ⊥.……（13分）18. 解：（1）由焦点(1,0)F ，得12p=，解得2p =. ……（2分） 所以抛物线的方程为24y x =，其准线方程为1x =-，……（4分）（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y .直线l 的方程为4(1)3y x =-.……（5分）与抛物线方程联立，得24(1)34y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ……（7分） 消去y ，整理得241740x x -+=， ……（9分） 由抛物线的定义可知，121725244AB x x p =++=+=. 所以，线段AB 的长为254.……（13分）19. 解：（1）如图，建立平面直角坐标系. 设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>.由题意可知，12a =，12c c e a ===，解得c =…（2分）从而2222212400b c a =-=-=.……（3分） ∴ 双曲线方程为221144400x y -=.……（4分）A B将13x =代入，解得25||3y =；20x = 代入，解得80||3y =. ……（6分） 所以，冷却塔的高为2580105()333m +=. ……（7分） （2）n 年后的年平均减排收益为2(1)600[3020]40001058040002n n n n n n n n--+⨯--+-= ……（9分）40010()58010580180n n n n=-++≤-⨯+=.……（11分）当且仅当400n n=即20n =时等号成立. ……（12分） 所以，20年后报废该套冷却塔系统比较适合.……（13分）20. 解：（1）由()0f x >，得2133024x x -->，……（1分）即221230x x -->，解得3x <或3x >. 所以，x 的取值范围为 42(,3(3)-∞-++∞.……（3分）（2）27()4()2g x f x x =⊗+22221313137(3){[(4)3(4)](3)}2424242x x x x x x x =--+-+----+ 2213117(3)(81634)24222x x x x =--⨯+⨯-⨯+ 22137(3)(44)242x x x x =---+32212932x x x =-++.……（5分）对()g x 求导，得2'()62193(3)(21)g x x x x x =-+=--.令'()0g x =，解得12x =或3x =. ……（6分）当x 变化时，'()g x 、()g x 的变化情况如下表：所以，()g x 在区间[0,4]上的最大值为418，最小值为212-. ……（10分） （3）存在.由（2）得274()2n S f n n =⊗+32212932n n n =-++. ……（11分）当2n ≥时，323212121(293)[2(1)(1)9(1)3]22n n n a S S n n n n n n -=-=-++----+-+ 2221432(331)(21)962722n n n n n =-++-++=-+ 当1n =时，321121721191322a S ==⨯-⨯+⨯+=.……（13分）所以，27(1)243627(2)2n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩.……（14分）1题：教材必修⑤P10 1（1）改编，考查正弦定理.2题：教材必修⑤P80习题A组第1（4）题，考查一元二次不等式.3题：教材必修⑤P31练习第2题，考查递推数列.4题：教材选修1-1 P91例1改编，考查导数与函数单调性.6题：教材选修1-1 P27 习题A组第3（3）题，考查特称命题的否定及一元二次不等式. 8题：教材选修1-1 P68 习题A组第3题改编，考查椭圆几何性质、抛物线标准方程、向量运算.9题：教材选修2-1 P42 练习第1题改编，考查双曲线定义.11题：教材选修2-1 P98 习题3.1 A组7题改编，考查空间向量的运算.14题：教材选修1-1 P79 习题3.1 A组第2题改编，考查导数的物理意义、一元二次不等式的应用问题.15题：教材选修1-1 P91 例2（3）改编，考查导数的几何意义、利用导数研究函数单调性.16题：教材必修⑤P17 例8改编，考查余弦定理、三角形面积计算.17题：教材选修2-1 P105 例1改编，考查向量法.18题：教材选修1-1 P61 例4改编，考查抛物线的标准方程及几何性质、直线与抛物线相交的弦长计算.19题：教材选修1-1 P51 例4改编，考查双曲线标准方程及几何性质、等差数列、基本不等式的应用.20题：教材必修⑤P81 习题3.2 B组第3题改编，考查一元二次不等式、利用导数研究最大（小）值.。
广东省中山市2017-2018学年高二上学期理数期末考试试卷
广东省中山市2017-2018学年高二上学期理数期末考试试卷一、单选题1.设是实数，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.的三个内角所对的边分别为，且满足，则（）A. B. C. D. 或3.等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A. B. C. D.4.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的处测得水柱顶端的仰角为，沿向北偏东方向前进后到达处，在处测得水柱顶端的仰角为，则水柱的高度试（）A. B. C. D.5.已知等差数列的前项和为，，，，则（）A. B. C. D.6.设x,y满足约束条件，则取值范围是（）A. B. C. D.7.直线y＝x＋b与曲线y＝－x＋ln x相切，则b的值为( )A. －2B. 1C. －D. －18.已知函数′是函数的导函数，则′的图象大致是（）A. B. C. D.9.双曲线上一点到左焦点的距离为是的中点，则（）A. B. C. 或 D. 或10.空间四点的位置关系式（）A. 共线B. 共面C. 不共面D. 无法确定11.已知点为双曲线的右支上的一点，为双曲线的左、右焦点，使（为坐标原点）且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.设等差数列的前项和为.在同一个坐标系中，及的部分图象如图所示，则（）A. 当时，取得最大值B. 当时，取得最大值C. 当时，取得最小值D. 当时，取得最小值二、填空题13.抛物线的准线方程为________．14.已知的解集为，则不等式的解集为________．15.若，则的最大值为________16.定义在上的函数的导函数为，若对任意的实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是________．三、解答题17.已知分别为三个内角的对边，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若为边上的中线，，，求的面积．18.设数列的前项积为，且.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.19.某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系：(其中c为小于6的正常数)．(注：次品率＝次品数/生产量，如P＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)，已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产出1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？20.如图所示的几何体中，四边形为等腰梯形，，，∠，四边形为正方形，平面平面.（1）若点是棱的中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21.设函数(I)讨论的单调性；（II）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．22.在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点与上顶点分别为，椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线与该椭圆交于两点，直线的斜率互为相反数.①求证：直线的斜率为定值；②若点在第一象限，设与的面积分别为，求的最大值.答案解析部分13.14.或15.16.三、17.解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得：，即，化简得：，∴．在中，，∴，得．（Ⅱ）在中，，得，则，由正弦定理得．设，在中，由余弦定理得：，则，解得，即，故18.（1）解：因为，所以，即，所以又，所以，即，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列（2）解：由（1）知，所以所以19.（1）解：当x>c时，P＝，则T＝x×2－x×1＝0. 当1≤x≤c时，P＝-，则T＝(1－-)x×2－(-)x×1＝. 综上，日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为：T＝（2）解：由(1)知，当x>c时，每天的盈利额为0. 当1≤x≤c时，T＝＝15－2[(6－x)＋-]．因c为小于6的正常数，故6－x>0，故T＝15－2[(6－x)＋-]≤15－12＝3，当且仅当x＝3时取等号．综上，当时，日产量为c万件时，可获得最大利润，当时，日产量为3万件时，可获得最大利润20.（1）证明：由已知得// ，且.因为为等腰梯形，所以有// .因为是棱的中点，所以．所以// ，且，故四边形为平行四边形,所以// .因为平面，平面，所以//平面（2）解：因为四边形为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.在△中，因为∠°，，所以由余弦定理，得，所以．在等腰梯形中，可得.如图，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间坐标系，则，，，，，所以，，.，设平面的法向量为，由所以，取，则，得．设直线与平面所成的角为，则所以与平面所成的角的正弦值为.21.解：（I）的定义域为∞′令-，其判别式当时，故在（，∞）上单调递增当时，的两根都小于，在∞上，′，故在（，∞）上单调递增当时，的两根为，当时，′；当时，′；当时，′，故分别在∞上单调递增，在上单调递减（II）由（I）知，．因为，所以又由(I)知，．于是若存在，使得则．即．亦即再由（I）知，函数ℎ在∞上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在a，使得22.（1）解：由题意，离心率，所以，所以，故椭圆的方程为，将点代入，求得，所以椭圆的标准方程为（2）解：①设直线的方程为，则由题意直线的方程为，由，得，所以点的坐标为，同理可求得点的坐标为.所以直线的斜率为.②设两点到直线的距离分别为，因为点在第一象限，则点必在第三象限，所以，且点、分别在直线的上、下两侧，所以，从而，，所以，令，则，当且仅当，即，即时，有最大值为。
中山市高二级第一学期期末考试理科数学试卷(含参考答案)
22. 在平面直角坐标系
xOy 中，已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1( a
b
0) 的右顶点与上顶点分别为
120 m
D ． 150m
5. 已知等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn, S4 40, Sn 210, Sn 4 130 ，则 n （ ）
A． 12
B ． 14 C.
16
D ． 18
x0
6. 设 x, y 满足约束条件
y x ，则 x 2y 3 取值范围是（ ）
x1
4x 3y 12
A． [1,5]
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2. ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为
A．
6
B．
C ．2
D
3
3
a, b, c ，且满足 sin B sin B
． 或2 33
sin A sin C
c ，则 A （ ） ab
3. 等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ，已知 S3 a2 10a1, a5 9 ，则 a1 （ ）
B ． [2,6] C.
[ 3,10 ]
D ． [ 3,11]
7. 直线 y 1 x b 与曲线 y 2
1 x ln x 相切，则 b 的值为（ ） 2
A． 2
B
． 1 C.
1 D ．1
2
8. 已知函数 f ( x) 1 x2 cos x, f (x) 是函数 f ( x) 的导函数，则 f ( x) 的图象大致是（ ） 4
17. 已知 a,b, c 分别为 ABC 三个内角 A, B, C 的对边，且 a cosC 3a sin C b c 0 .
广东省中山市2014-2015学年高二上学期期末统考数学理试题Word版含答案
中山市高二年级2014–2015学年度第一学期期末统一考试 数学试卷（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．不等式24410x x -+>的解集是A ．1{|}2x x > B ．1{|}2x x ≠ C ．R D ．∅2．函数()1xf x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为A ．1y e x =-⋅+B ．1y x =-+C ．y x =-D ．y e x =-⋅3．双曲线2216436y x -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于3，那么点P 与两个焦点所构成的三角形的周长等于A ．42B ．36C ．32D ．26 4．等差数列的前n 项、前2n 项、前3n 项的和分别为A 、B 、C ，则 A ．A B C += B ．2A C B += C ．23A C B += D ．33A C B +=5．下列说法正确的是A ．x R ∀∈，20x >B ．0x R ∃∈，20010x x -+≤ C ．“a b >”是“22ac bc >”的充分条件D ．ABC ∆为等边三角形的充要条件是222a b c ab bc ac ++=++6．在ABC ∆中，若sin cos 2sin CA B =，则ABC ∆一定是（ ）．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A、B的坐标分别为(5,0)-、(5,0)，直线AM、BM相交于M，且它们的斜率之积为49-．求点M的轨迹方程”时，将其中的已知条件“斜率之积为49-”拓展为“斜率之积为常数(0)k k≠”之后，进行了如下图所示的作图探究：参考该同学的探究，下列结论错误的是A．0k>时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线（不含与x轴的交点）B．10k-<<时，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆（不含与x轴的交点）C．1k<-时，点M的轨迹为焦点在y轴的椭圆（不含与x轴的交点）D．0k<时，点M的轨迹为椭圆（不含与x轴的交点）8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，正方形11BCC B所在平面内的动点P到直线11,D C DC的距离之和为160CPC∠=︒，则点P到直线1CC的距离为ABCD二、填空题（本大题共6小题，考每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上）9．实数x、y满足约束条件11y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y=+的最小值为．10．一个质量为4 kg的物体作直线运动，若运动距离s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为2()s t t t=+，且物体的动能212kE mv=（其中m为物体质量，v为瞬时速度），则物体开始运动后第5 s时的动能为J．（说明：21=1(/)J kg m s）11．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯（即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），则9∏、10∏、11∏、12∏中值为正数的是 ．12． 已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角θ的度数是_________．13．如果点(,)M x y10=，则点M 的轨迹是 ，其标准方程为 ． 14．如图，在三棱锥P ABC -中， PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===．设M 是底面ABC 内一点，定义()(,,)f M m n p =，其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积．若1()(,,)2f M x y =，且118ax y +≥恒成立，则正实数a 的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 15．（13分）在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面A 和B 两个建筑物的距离，在河一侧取C 、D 两点，如图所示，测得CD a =，并且在C 、D 两点分别测得BCA α∠=，ACD β∠=，CDB γ∠=，BDA δ∠=．（1）试求A 、C 之间的距离及B 、C 之间的距离．（2）若50a =米，=75α︒，=30β︒，=45γ︒，=75δ︒，求河对岸建筑物A 、B 之间的距离？ 16．（13分）迎新春，某公司要设计如右图所示的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定每个矩形栏目高与宽的尺寸（单位：MCAPcm ），能使整个矩形广告面积最小．17．（13分）设正项等比数列{}n a ，已知22a =，93452a a a =．（1）求首项1a 和公比q 的值；（2）若数列{}n b满足()1211lg lg lg lg n n n b a a a ka n -=⎡+++⎤⎣⎦，问是否存在正数k ，使{}n b成等差数列？若存在，求k 的值．若不存在，说明理由．18．（13分）利用向量方法解决下列问题：已知在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 、G 分别是PA 、PB 、BC 的中点． （1）求证：EF ⊥平面PAD ；（2）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小．19．（14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>椭圆上任意一点到右焦点F 的1+．（1）求椭圆的方程；（2）已知点(,0)C m 是线段OF 上一个动点（O 为坐标原点），是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得||||AC BC =，并说明理由．20．（14分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=．（1）若)(x f 在1[,1)2x ∈-上的最大值为83，求实数b 的值； （2）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）在（1）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．中山市高二年级2014–2015学年度第一学期期末统一考试 数学试卷（理科）答案一、选择题： BCAD DCDA 二、填空题：9．–3； 10．242； 11．9∏、12∏； 12．120°；13．椭圆；22+12516y x =（前空2分，后空3分）； 14．4三、解答题：15．解：（1）在ADC ∆中，ADC δγ∠=+，180()DAC βδγ∠=︒-++，CD a =．由正弦定理，得sin()sin()sin[180()]sin()a a AC δγδγβδγβδγ++==︒-++++． ……（3分）在DBC ∆中，BDC γ∠=，180()DBC αβγ∠=︒-++，CD a =．由正弦定理，得sin sin sin[180()]sin()a a BC γγαβγαβγ==︒-++++． ……（6分）（2）50a =，=75α︒，=30β︒，=45γ︒，=75δ︒时，50sin(7545)50sin120=sin(307545)sin150AC ⨯︒+︒⨯︒=︒+︒+︒︒， ……（8分）50sin 4550sin 45=sin(75+3045)sin150BC ⨯︒⨯︒=︒︒+︒︒ ……（9分）在ABC ∆中，由余弦定理得AB = ……（10分）25==．所以，河对岸建筑物A 、B的距离为25+米． ……（13分）16．解：设矩形栏目的高为cm a ，宽为cm b ，则20000ab =，20000b a ∴=．……（2分）广告的高为20a +，宽为330b +（其中0,0a b >>）广告的面积(20)(330)S a b =++ ……（5分）30(2)606004000030()606003060600120006060072600a b a a=++=++≥⨯+=+= ……（7分）……（10分）当且仅当40000a a =，即200a =时，取等号，此时100b =． ……（12分） 故当每个栏目的高为200 cm ，宽为100 cm 时，可使广告的面积最小．……（13分） 17．解：（1）39334544()228a a a a a ==⇒==， ……（3分）∴24242a q q a ==⇒=±，该数列是一个正项等比数列，∴取2q =， ……（5分） 由此，解得11a =． ……（6分）（2）假设存在正数k ，使{}n b成等差数列．由()1211lg lg lg lg n n n b a a a ka n -=⎡+++⎤⎣⎦=()121lg n ka a a n=(1)211lg 2n n n ka n -⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=()1lg 1a n +- ……（9分）∴1n n b b +-=1lg lg a n ++()1[lg 1a n -+-+=lg +- ……（11分）则{}n b成等差数列的充要条件为lg 0-=对任何整数n都成立，即=，得1k =∴ 若{}n b成等差数列，则1k =． ……（13分）18．（1）证明：过P 作P O ⊥AD 于O ，∵ABCD PAD 平面平面⊥， 且平面PAD平面ABCD AD =，于是PO ⊥平面ABCD ，连OG ，以OG ，OD ，OP 为x 、y 、z 轴建立空间坐标系， ……（2分） ∵PA ＝PD 4==AD ，∴2,32===OA OD OP ， 得)32,0,0(),0,2,0(),0,2,4(),0,2,4(),0,2,0(P D C B A --，)0,0,4(),3,1,2(),3,1,0(G F E --， ……（4分）故(2,0,0)EF =，(0,4,0)AD =，(0,2,PD =-， ∵0,0=⋅=⋅PD EF AD EF ，EF AD ∴⊥，即EF AD ⊥，同理EF PD ⊥，而ADPD D =∴EF ⊥平面PAD ； ……（6分） （2）解：(2,0,0)EF =，(4,1,EG =， 设平面EFG 的一个法向量为),,,(z y x =n则⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅03402,00z y x x EG EF ，即n n ， )1,3,0(,1==n 得取z ， ……（10分）平面ABCD 的一个法向量为),1,0,0(1=n ……（11分） 平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值是：1111cos ,|||2>==⋅n n <n n |n n ，∴平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小是60︒．……（13分）19．解：（1）依题意得：1c ea a c ⎧==⎪⎨⎪+=+⎩， 解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ……（4分）1b ∴=，所求椭圆方程为：2212x y +=； ……（6分）（2）由（1）得(1,0)F ，所以01m ≤≤，假设存在满足题意的直线l ，则直线l 的斜率存在且不为0，设为k ，0k ≠，则l 的方程为(1)y k x =-，代入2212x y +=，得2222(21)4220k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+， ……（10分） 121222(2)21ky y k x x k -∴+=+-=+设AB 的中点为M ，则2222(,)2121k k M k k -++， ||||AC BC =，CM AB ∴⊥，即1CM AB k k ∙=-， 22224220(12)2121k km k m k m k k -∴-+=⇔-=++ ∴当102m ≤<时，k =l 满足条件； 当112m ≤≤，k 不存在，即不存在这样的直线l 满足条件． ……（14分）20．解：（1）由()32f x x x b=-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--， ……（1分）令()0f x '=，得0x =或23x =． ……（2分）列表如下：由13()28f b -=+，24()327f b =+，∴12()()23f f ->， 即函数()f x 在1[,1)2x ∈-上的最大值为133()288f b -=+=，∴0b =． ……（5分） （2）由()()22g x x a x≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-．[]1,x e ∈，ln 1x x ∴≤≤，且等号不能同时取，∴ln x x <，ln 0x x ->即，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min2()ln x xa x x -≤-． ……（6分） 令()22ln x x t x x x -=-，[1,]x e ∈， 求导得，()2(1)[2(1ln )](ln )x x x t x x x -+-'=-， ……（7分）当[]1,x e ∈时，10x -≥，ln 1x ≤，2(1ln )0x x +->，从而()0t x '≥，∴()t x 在[]1,e 上为增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-． ……（9分） （3）由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩， 假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧，不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ ⋅=，∴()()2320t F t t t -++=()*，是否存在,P Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解．①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解；②若1t >时，()*方程为()232ln 0ta t t t-+⋅+=，即()11ln t t a =+，设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t '=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线()y F x=上总存在两点,P Q，使得POQ∆是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．……（14分）1．《数学5》P78例1 改编2．《选修1-1》P86 B组第1题改编3．《选修1-1》P54 A组第1题改编4．《数学5》P68 B组第1（2）小题改编5．《选修1-1》第一章中习题组合改编7．《选修1-1》P35 例3 改编9．《数学5》P91 练习第1（1）小题改编10．《选修1-1》P80 习题A组第3题改编13．《选修1-1》P42 习题A组第1题改编15．《数学5》P12 例2 改编。
广东省中山市2020至2021学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷真题
xyO'()y f x =3 4-2 -4广东省中山市2020-2021学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．不等式25x x ≥的解集是 A ．[0,5]B ．[5,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,0][5,)-∞+∞2．已知一个数列的前四项为22221357,,,24816--，则它的一个通项公式为 A ．221(1)(2)nn n -- B ．1221(1)(2)n n n --- C ．221(1)2nn n -- D ．1221(1)2n nn --- 3．椭圆221625400x y +=的离心率为A ．35B ．45C ．34D ．16254．函数f (x )的导函数'()f x 的图象如右图所示， 则下列说法正确的是A ．函数()f x 在(2,3)-内单调递增B ．函数()f x 在(4,0)-内单调递减C ．函数()f x 在3x =处取极大值D ．函数()f x 在4x =处取极小值5．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++， 若1031S =，20122S =，则40S =A ．182B ．242C ．273D ．4846．长为3.5m 的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足1.4m 的地面上，另一端在沿堤上2.8m 的地方，堤对地面的倾斜角为α，则坡度值tan α等于[3,)+∞(1,2]分）16．（13分）已知某精密仪器生产总成本C （单位：万元）与月产量x （单位：台）的函数关系为1004C x =+，月最高产量为150台，出厂单价p （单位：万元）与月产量x 的函数关系为21125801800p x x =+-. （1）求月利润L 与产量x 的函数关系式()L x ；（2）求月产量x 为何值时，月利润()L x 最大？最大月利润是多少？17．（13分）第四届中国国际航空航天博览会于2010年11月在珠海举行，一次飞行表演中，一架直升飞机在海拔800m 的高度飞行，从空中A 处测出前下方海岛两侧海岸P 、Q 处的俯角分别是45°和30°（如右图所示）. （1）试计算这个海岛的宽度PQ .（2）若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸P 、Q 处同时测得飞机的仰角为45和30，他们估计P 、Q 两处距离大约为600m ，由此试估算出观测者甲（在P 处）到飞机的直线距离.18．（14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形，其中,BA AD CD AD ⊥⊥，2,CD AD AB PA ==⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．（1）试用,,AD AP AB 表示BE ，并判断直线BE 与平面PAD 的位置关系； （2）若BE ⊥平面PCD ，求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值．19．（14分）已知函数3221()(2)3f x x ax a a x =-++，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值与最小值；（2）若线段AB ：()2302y x x =+≤≤与导函数()y f x '=的图像只有一个交点，且交点在线段AB 的内部，试求a 的取值范围．20．（13分）过直角坐标平面xOy 中的抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A 、B 两点.（1）求直线AB 的方程；（2）试用p 表示A 、B 之间的距离； （3）证明：AOB ∠的大小是与p 无关的定值. 参考公式：()()()2222224A A BB A B A B A B x y xy x x x x p x x p ⎡⎤++=+++⎣⎦中山市高二级2020-2021学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题：DDAB DA C B二、填空题：9. －79； 10. 22188y x -=； 11. －3； 12. 222a b r +=；13. 83； 14. 613t t ++∆，61t +.三、解答题：15. 解：（1）由题可知，8252a a a =+， ……（1分） 即741112a q a q a q =+， ……（3分）由于10a q ≠，化简得6321q q =+，即63210q q --=， ……（4分）121q -，81q -，[1(11q q----.能构成等差数列sin(4530)sin 45cos30cos45sin30==︒-︒︒︒-︒︒xzy18. 解：设,AB a PA b ==，建立如图所示空间直角坐标系，(0,0,0),(,0,0)A B a ，(0,0,)P b ,(2,2,0),(0,2,0)C a a D a ，(,,)2bE a a . ……（2分）（1）(0,,)2bBE a =，(0,2,0),(0,0,)AD a AP b ==，所以1122BE AD AP =+， ……（5分） BE ⊄平面PAD ，//BE ∴平面PAD . ……（7分）（2）BE ⊥平面PCD ，BE PC ∴⊥，即0BE PC ⋅=.(2,2,)PC a a b =-，22202b BE PC a ∴⋅=-=，即2b a =. ……（10分）(0,2,2),(,2,0)PD a a BC a a =-=， ……（11分）2410cos ,5225a PD BC a a<>==⋅， 所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105. ……（14分）19. 解：（1）当2a =-时，321()23f x x x =+. ……（1分）求导得2()4(4)f x x x x x '=+=+. ……（2分） 令()0f x '=，解得：4x =-或0x =． ……（3分）列表如下： ……（6分）x－1 （-1，0） 0 （0，1） 1 ()f x '－ 0 +()f x53 ↘↗73所以，()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值是73，最小值是0． ……（7分） （2）22()22y f x x ax a a '==-++. ……（8分） 联立方程组2222,2 3.y x ax a a y x ⎧=-++⎨=+⎩……（9分）得()2221230.x a x a a -+++-= ……（10分）设22()2(1)23g x x a x a a =-+++-，则方程()0g x =在区间()0,2内只有一根, 相当于(0)(2)0g g ⋅<，即()()2223230,a a a a +-⋅--< ……（12分）。
广东省中山市数学高二上学期理数期末考试试卷
广东省中山市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）下列命题中错误的个数是（）①命题“若，则x=1”的否命题是“若，则”②命题p:,使，则,使③若p且q为假命题，则p、q均为假命题④是函数为偶函数的充要条件（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分） i为虚数单位，则=（）A . －iB . －1C . iD . 13. （2分）已知等比数列的公比为正数，且,，则（）A .B .C .D . 24. （2分）设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是（）A . 6B . 4C . 8D . 125. （2分）已知等差数列的通项公式为，则它的公差为（）A . 2B . 3C . -2D . -36. （2分）已知直线与平面平行，P是直线上的一定点，平面内的动点B满足：PB与直线成。
那么B点轨迹是（）A . 椭圆B . 双曲线C . 抛物线D . 两直线7. （2分） (2017高二上·邯郸期末) 设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤2016π），则函数f（x）的各极大值之和为（）A .B .C .D .8. （2分）如图，BC=4，原点O是BC的中点，点，点D在平面上，且，则AD的长度为（）A .B .C .D .9. （2分）若数列满足：存在正整数，对于任意正整数n都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知数列满足，则下列结论中错误的是（）A . 若m=，则B . 若，则m可以取3个不同的值C . 若，则数列是周期为3的数列D . 且，数列是周期数列10. （2分）已知函数的图象如图所示（其中是定义域为的函数的导函数），则以下说法错误的是（）A .B . 当时，函数取得极大值C . 方程与均有三个实数根D . 当时，函数取得极小值11. （2分） (2019高二上·吉林期中) 已知，函数的最小值是（）A . 4B . 5C . 8D . 612. （2分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，点为椭圆和双曲线的一个交点，则的值为（）A . 16B . 25C . 9D . 不为定值二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·海口期中) 已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P是x轴上的动点，当取最小值时，点P的坐标为________．14. （1分） (2017高三上·宜宾期中) （2x+1）dx=________．15. （1分） (2019高二上·阜阳月考) 已知椭圆，双曲线 .若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之积为________．16. （1分）(2018·广东模拟) 已知实数满足，则的最大值是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高一下·义乌期末) 已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1 ， a4 ， a13成等比数列，数列{ }是首项为1，公比为3的等比数列．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设数列{an+bn}的前n项和Rn，若不等式≤λ•3n+n+3对n∈N*恒成立，求λ的取值范围．18. （15分） (2017高二上·太原月考) 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于不同的，两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值；（3）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．19. （15分） (2019高二下·上海月考) 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.20. （5分）(2017·顺义模拟) 已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）经过点（﹣1，），其离心率e= ．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆C相切，切点为T，且l与直线x=﹣4相交于点S．试问：在x轴上是否存在一定点，使得以ST为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．21. （5分） (2018·浙江) 如图，已知多面体ABCA1B1C1 ， A1A ， B1B ， C1C均垂直于平面ABC ，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．22. （5分）(2017·西城模拟) 已知函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x ，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f'（x）的零点个数；（Ⅱ）证明：a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、22-1、。
中山市2022—2022高二第一学期期末考试数学(理)
中山市2022—2022高二第一学期期末考试数学（理）中山二级2007—2022学年度第一学期期末统一考试数学理科试卷本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。
共100分，考试时间100分钟。
第I卷（选择题共40分）注意事项：1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题（每小题4分，共40分）1.若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是()A.inAB.coAC.tanA2.当a0时，“a1”是“D.1tanA11”()aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件3.21与21，两数的等比中项是()A.12B.1C.1D.124.不等式a某b某20的解集是{某A.10B.-10C.1411某}，则ab的值是()23D.-145.在△ABC中，A:B:C1:2:3，则a:b:c等于（）A．1:2:3B．3:2:1C．1:3:2D．2:3:1某2y21有相同的两焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（）6.与椭圆4某2某2某2y2y2222A.y1B.y1C.11D.某422337.若曲线y某的一条切线l与直线某4y80垂直，则l的方程为()A.某4y30B.某4y50C.4某y30D.4某y308.不等式组4某3y60表示的区域是()某y209.在等差数列{an}中，a3,a8是方程某3某50的两个根，则S10是()A.15B.30C.50D.1512292某2y210.若抛物线y2c某的焦点与椭圆1的右焦点重合，则c的值为()622A.2B.-2C.4D.-4第II卷（非选择题共60分）题号二、填空题（每小题4分，共16分）11命题p：某R,某2某20的否定是2二1516171819总分总分人复分人12.已知a(1某,1某,某),b(2,某,某)(某R)，则ab的是小值为.13.两个等差数列an,bn,a1a2...an7n2a,则5=.b1b2...bnn3b5y21，则某1y2的最大值为14设某0,y0,某22三、解答题（共5小题.15、16、17、18题各9分，19题8分，合计44分）得分评卷人15.在ΔABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，且a2c2b21ac.2（1）求inB的值（4分）（2）若b=2，求ΔABC面积的最大值（5分）得分评卷人16.已知函数f(某)某(某c).⑴当c1时，求函数的单调区间（5分）⑵函数f(某)在某2处有极大值，求c的值（4分）得分得分评卷人18.如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=900，BC=2，CC1=4，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.（Ⅰ）求证：B1D⊥平面ABD；（3分）（Ⅱ）求证：平面EGF∥平面ABD；（3分）（Ⅲ）求平面EGF与平面ABD的距离.（3分）得分（2）求和：T2n2评卷人17.设抛物线的顶点为O，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B，C，经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，求证：|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.评卷人19.设an为等比数列，a11，a23．（1）求最小的自然数n，使an≥2007；1232n．a1a2a3a2n参考答案一、选择题：AACDCBDBAC二、填空题：11：某R,某2某20；12：15；13：三、解答题：15．解：（1）∵a2c2b2∴coB23265；14：41211ac，∴b2a2c2ac2214∵B是ΔABC的内角，则B(0,2)∴inB1coB215；4115acinBac28（2）若b=2，ΔABC面积SABC又ac4∴221ac218ac4a2c22ac，∴0ac231515ac83∴SABC当ac82615时，ΔABC面积SABC为最大值.33316．解：⑴当c1时，f(某)某(某1)某2某某；f'(某)3某4某1，令3某4某10；得某1或某列表：2232213某f'(某)f(某)1(,)3+↗130极大值1(,1)310极小值(1,)+↗-↘∴函数f(某)的单调增区间分别为(,)，(1,)；函数f(某)的单调减区间为(,1).⑵∵f(某)某(某c)某2c某c某；∴f'(某)3某4c某c∵函数f(某)在某2处有极大值，∴f'(2)0,即128cc0；∴c2或c6 17．证明：如图，设抛物线方程：y2p某(p0)，焦点为F(222232213132p,0)，2y22p某p直线BC的方程为某；解方程组，得yp，p2某2∴B(pp,p)，C(,p)，|BC|=2p；222令P(某0,y0)，由y02p某0，其中|OQ|=某0，|PQ|=|y0|∵|PQ|2=y02；|BC||OQ|=2p某0∴|PQ|2=|BC||OQ|；∴|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.18．（Ⅰ）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设A1（a，0，0），则C1（0，2，0），F（0，1，0），E（0，0，1），A（a，0，4），B（0，0，4），D（0，2，2），a，1，0），2∴B1D(0,2,2)，AB(a,0,0)，BD(0,2,2)，G（∴B1DAB0000，B1DBD0440，∴B1D⊥AB，B1D⊥BD，又AB∩BD=B，∴B1D⊥平面ABD.（Ⅱ）证明：∵AB(a,0,0)，BD(0,2,2)，aGF(,0,0)，EF(0,1,1)，2∴GF∥AB，EF∥BD，∴GF∥AB，EF∥BD，又GF∩EF=F，AB∩BD=B，∴平面EGF∥平面ABD （Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段，设B1HB1D(0,2,2)，则EH(0,2,21)，EF(0,1,1)2211∵EH与EF共线，∴，即，114321133∴B1H(0,,)，HD(0,,)，∴HD，22222因此，平面EGF与平面ABD的距离为3223n1，a2a119．解：（1）由已知条件得na167n1因为320073，所以，使an≥2007成立的最小自然数n8．（2）因为T2n12342n232n1，①133********n12nT2n2342n12n，②3333333411112n①②得：T2n1232n12n333333112n32n132n13332n38n2n4332n2924n所以T2n．2n163∴GF∥AB，EF∥BD，∴GF∥AB，EF∥BD，又GF∩EF=F，AB∩BD=B，∴平面EGF∥平面ABD （Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段，设B1HB1D(0,2,2)，则EH(0,2,21)，EF(0,1,1)2211∵EH与EF共线，∴，即，114321133∴B1H(0,,)，HD(0,,)，∴HD，22222因此，平面EGF与平面ABD的距离为3223n1，a2a119．解：（1）由已知条件得na167n1因为320073，所以，使an≥2007成立的最小自然数n8．（2）因为T2n12342n232n1，①133********n12nT2n2342n12n，②3333333411112n①②得：T2n1232n12n333333112n32n132n13332n38n2n4332n2924n所以T2n．2n163。
2023-2024学年广东省中山市高二上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省中山市高二上册期末数学试题一、单选题1．直线tan 60x =︒的倾斜角为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．不存在【正确答案】C【分析】根据斜率和倾斜角的定义，直接可得答案.【详解】化简得，x =90°故选：C2．已知向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r ，且ka b + 与a b - 互相平行，则实数k 的值为（）A ．－2B ．2C ．1D ．－1【正确答案】D【分析】根据空间向量平行的坐标表示，列出方程组，求解即可．【详解】∵向量(1,1,0)a =，(1,0,2)b =- ，∴(,,0)(1,0,2)(1,,2)ka b k k k k +=+-=-，(1,1,0)(1,0,2)(2,1,2)a b -=--=- ，∵ka b + 与a b -互相平行，∴()ka b a b λ+=-，即1222k k λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得1k λ==-．故选：D ．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,6n n S S ==，则4n S =（）A ．8B ．12C ．14D ．20【正确答案】D【分析】依据等差数列的性质去求4n S 的值【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S =，2624n n S S -=-=则n S ，2n n S S -，32n n S S -，43n n S S -构成首项为2，公差为2的等差数列则4n S =n S +(2n n S S -)+(32n n S S -)+(43n n S S -)=2+4+6+8=20故选：D4．某班有包括甲、乙在内的4名学生到2个农场参加劳动实践活动，且每个学生只能到一个农场，每个农场2名学生.则甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．34【正确答案】C【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．【详解】解：记四名学生为甲、乙为A ，B ，另外2名学生为a ，b ，两个农场为M ，N ，则分配方案为：M 农场AB ，N 农场ab ；M 农场ab ，N 农场AB ；M 农场Aa ，N 农场Bb ；M 农场Ab ，N 农场Ba ；M 农场Ba ，N 农场Ab ；M 农场Bb ，N 农场Aa ，共6种，甲、乙两名学生被安排在不同农场的分配方案为：M 农场Aa ，N 农场Bb ；M 农场Ab ，N 农场Ba ；M 农场Ba ，N 农场Ab ；M 农场Bb ，N 农场Aa ，共4种，故甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为4263=.故选：C.5．已知数列{}n a 是等比数列，8a ，16a 是函数()21614f x x x =++的两个不同零点，则618420816a a a a a a +=（）A ．16B ．16-C ．14D ．14-【正确答案】B【分析】由题意得到81681616,14a a a a +=-=，根据等比数列的性质得到61842081614a a a a a a ===，化简61842088168161618614()1414a a a a a a a a a a a a +=++=，即可求解.【详解】由8a ，16a 是函数()21614f x x x =++的两个不同零点，可得81681616,14a a a a +=-=，根据等比数列的性质，可得61842081614a a a a a a ===则61842088168168161614()141416a a a a a a a a a a a a +=+=-+=.故选：B.6．设123,,e e e 为空间的三个不同向量，如果1122330e e e λλλ++=成立的等价条件为1230λλλ===，则称123,,e e e线性无关，否则称它们线性相关.若(2,1,3),(1,0,2),(1,1,)a b c m =-==-线性相关，则m =（）A ．3B ．5C ．7D ．9【正确答案】D【分析】确定()()123123131232,,320,0,0a b c m λλλλλλλλλλλ++=++--++=，解得答案.【详解】(2,1,3),(1,0,2),(1,1,)a b c m =-==-线性相关，()()123123131232,,320,0,0a b c m λλλλλλλλλλλ++=++--++=，则1231312320 0 320m λλλλλλλλ++=⎧⎪-=⎨⎪-++=⎩，123,,λλλ不同时为0，解得9m =.故选：D7．双曲线2221(0)16x y a a -=>的一条渐近线方程为124,,3y x F F =分别为该双曲线的左右焦点，M为双曲线上的一点，则2116MF MF +的最小值为（）A ．2B ．4C ．8D ．12【正确答案】B【分析】根据双曲线的渐近线方程求得a ，结合双曲线的定义求得2MF ，再结合基本不等式和函数的单调性求得2116MF MF +的最小值.【详解】双曲线2221(0)16x y a a -=>的一条渐近线方程为443y x x a ==，所以3a =，5c =，当M 在双曲线的左支时，212126,6MF MF a MF MF -===+，所以211116166614MF MF MF MF +=++≥=，当且仅当112116,4,10MF MF MF MF ===时等号成立.当M 在双曲线的右支时，122126,6MF MF a MF MF -===-，所以211116166MF MF MF MF +=+-（其中18MF a c ≥+=），对于函数()()168f x x x x=+≥，()()168f x x x x=+≥，任取128x x ≤<，()()1212121616f x f x x x x x -=+--()()1212121212121616x x x x x x x x x x x x ---=--⋅=，由于1212120,160,0x x x x x x -<->>，所以()()()()12120,f x f x f x f x -<<，所以()f x 在[)8,+∞上递增，所以()()min 1688108f x f ==+=.所以211116166MF MF MF MF +=+-的最小值为1064-=.综上所述，2116MF MF +的最小值为4.故选：B8．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 的中点，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中不正确．．．的是（）A ．若1//D Q 平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条线段B ．存在Q 点，使得1D Q ⊥平面1A PDC ．当且仅当Q 点落在棱1CC 上某点处时，三棱锥1Q A PD -的体积最大D．若1=2D Q ，那么Q点的轨迹长度为4【正确答案】B【分析】取111,BC CC 中点,E F ，证明1//D EF 平面1A DP ，得动点轨迹判断A ，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面1A PD 的一个法向量，由1D Q与此法向量平行确定Q 点位置，判断B ，利用空间向量法求得Q 到到平面1A PD 距离的最大值，确定Q 点位置判断C ，利用勾股定理确定Q 点轨迹，得轨迹长度判断D ．【详解】选项A ，分别取111,BC CC 中点,E F ，连接11,,D E D F EF ，PF ，由PF 与11B C ，11A D 平行且相等得平行四边形11A PFD ，所以11//D F A P ，1D F ⊄平面1A DP ，1A P ⊂平面1A DP ，所以1//D F 平面1A DP ，连接1B C ，1//EF B C ，11//B C A D ，所以1//EF A D ，同理//EF 平面1A DP ，1EF D F F ⋂=，1,EF D F ⊂平面1D EF ，所以平面1//D EF 平面1A DP ，当Q EF ∈时，1D Q ⊂平面1D EF ，所以1//D Q 平面1A DP ，即Q 点轨迹是线段EF ，A 正确；选项B ，以1D 为原点，11111,,D A D C DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(1,0,0)A ，(0,0,1)D ，1(1,1,2P ，设(,1,)Q x z （0,1x z ≤≤），1(1,0,1)A D =- ，11(0,1,2A P = ，1(,1,)D Q x z = ，设(,,)m a b c =是平面1A PD 的一个法向量，则11012m A D a c m A P b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1c =，则1(1,,1)2m =- ，若1D Q ⊥平面1A PD ，则1//D Q m，所以存在R λ∈，使得1D Q m λ= ，12x z λλλ=⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，解得2[0,1]x z ==-∉，因此正方形11B C CB 内（含边界）不存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD ，B 错；选项C ，1A PD △面积为定值，当且仅当点Q 到平面1A PD 的距离最大时，三棱锥1Q A PD -的体积最大，1(1,1,)AQ x z =-，Q 到平面1A PD 的距离为12332A Q m d x z m ⋅==+-，02x z ≤+≤，302x z ≤+≤时，23[()]32d x z =-+，当0x z +=时，d 有最大值1，322x z ≤+≤时，23[()]32d x z =+-，2x z +=时，d 有最大值13，综上，0x z +=时，d 取得最大值1，故Q 与1C 重合时，d 取得最大值，三棱锥1Q A PD -的体积最大，C 正确；选项D ，11D C ⊥平面11BB C C ，CQ ⊂平面11BB C C ，111D C C Q ⊥，所以22111122C Q D Q D C =-，所以Q 点轨迹是以1C 为圆心，22为半径的圆弧，圆心角是2π，轨迹长度为1222424π⨯⨯=，D 正确．故选：B ．关键点点睛：本题考查空间点的轨迹问题，解题关键是勾画出过1D 且与平面1A PD 平行的平面1D EF ，由体积公式，在正方形11BB C C 内的点Q 到平面1A PD 的距离最大，则三棱锥1Q A PD -体积最大．二、多选题9．（多选）点(1,1)M 到抛物线2y ax =的准线的距离为2，则a 的值可以为（）A ．14B ．112-C ．112D ．14-【正确答案】AB【分析】把抛物线2y ax =，化为标准形式21x y a =，得12p a=，故准线方程为：14y a =-，利用点到直线的距离可得答案.【详解】抛物线2y ax =的准线方程为14y a=-，因为点(1,1)M 到抛物线2y ax =的准线的距离为2，所以1124a +=，解得14a =或112a =-，故选AB ．【点晴】焦点在y 轴的抛物线的标准方程为22x py =±，准线方程为2py =±，计算时一定要找准p 的值.10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（）A ．若59S >S ，则150S >B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则78S S >D ．若67S S >则56S S >.【正确答案】BC根据等差数列的前n 项和性质判断．【详解】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >．故选：BC ．关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负．11．如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右项点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（）A ．2121e e =-B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c -=-【正确答案】AC【分析】根据题中关系可得122a a =，122c c >，122c a c =+，结合椭圆的几何性质逐项判断即可.【详解】由题图知，122a a =，122c c >，所以()12212221221220a c a c a c a c a c c -=-=-<，则1221a c a c <，故B 不正确；且1222212222a c a c a c -=->-，故D 不正确；因为椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，所以1122a c a c -=-，则1221a c a c +=+，故C 正确；因为椭圆2C 的右项点为椭圆1C 的中心，所以122c a c =+，则12221212211122222c a c c e e a a a +===+=+，即2121e e =-，故A 正确．故选：AC ．12．若数列{}n a 满足()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N--===+≥∈，则称数列{}na 为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确的是（）A ．12321n n a a a a a +++++=-B ．202020202021S a a =+C ．135********a a a a a ++++= D ．24620202021a a a a a ++++> 【正确答案】AC【分析】利用斐波那契数列的递推关系进行累加求和即可判断.【详解】A 选项，12n n n a a a --=+ ，31242311n n na a a a a a a a a +--=⎧⎪-=⎪∴⎨⎪⎪-=⎩ .累加得，12123n n n a a a a a a a ++--=+++ ，即2212n n a a a a a +-=+++ .又21a =，所以12321n n a a a a a +++++=- ，A 正确；B 选项，由A 选项可知21n n S a +=-，故202020202020122211a S a a =-=-+，B 不正确；C 选项，12n n n a a a --=+ ，423645202220202021a a a a a a a a a -=⎧⎪-=⎪∴⎨⎪⎪-=⎩ .累加得，20222352021a a a a a -=+++ ，所以21135202120222022202211a a a a a a a a a -+=-+=++++= ，C 正确；D 选项，由C 选项中同理可知，31532021201920211202246202012021()1a a a a a a a a a a a a a a =-+-++-=-=-+<+++ ，D 不正确.故选：AC.三、填空题13．在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是：143,140,144,142,142,145,148,147,147,150,这10名同学数学成绩的60%分位数是___________.【正确答案】146【分析】根据计算分位数的步骤，计算求解即可.【详解】对10名同学的成绩从小到大进行排列：140,142,142,143,144,145,147,147,148,150根据1060%6⨯=，故取第6项和第7项的数据分别为：145,147；10名同学数学成绩的60%分位数为.1451471462+=故14614．直线:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度1:2的两段弧,则b =______.【正确答案】【分析】根据直线将单位圆分成长度1:2的两段弧，求出劣弧所对圆心角，再根据半径为1，求出圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式求出b 即可.【详解】解:由题知22:1C x y +=分成长度1:2的两段弧，所以两段弧长所对圆心角之比为1:2，故劣弧所对圆心角为120 ，记:l y x b =+与圆22:1C x y +=交点为,A B ，则120ACB ∠= ，过点C 作AB 垂线，垂足为D ，画图如下:则有1AC =，60ACD ∠= ，30CAD ∴∠= ，12CD ∴=,即圆心C 到直线l 的距离为12，()0,0C ，根据点到直线的距离公式有12=，解得2b =±.故答案为.15．已知定点(,0)(0)A a a >到椭圆22194x y +=上的点的距离的最小值为1，则a 的值为___________．【正确答案】2或4【分析】设椭圆上任一点为P (x ，y )(－3≤x ≤3)，求出|PA |的解析式，再利用二次函数的性质分析解答得解.【详解】解：设椭圆上任一点为P (x ，y )(－3≤x ≤3)，则()22222221594|()()36449955PA x a y x a x x a a ⎛⎫=-+=-+-=-+- ⎪⎝⎭，当503a <≤时，有9035a <≤.∴当95x a =时，2min 4||415PA a =-=，得53a =>(舍)，当533a <<时，有927355a <<，当且仅当x ＝3时，2min ||691PA a a =-+=，故a ＝2或a ＝4，综上得a ＝2或4.故2或4.16．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E （如右图）是由椭圆C 1:216x +24y =1和双曲线C 2:29x -23y =1在y 轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C 1上一点P 0出发，经过点F 2，然后在曲线E 内多次反射，反射点依次为P 1，P 2，P 3，P 4，…，若P 0，P 4重合，则光线从P 0到P 4所经过的路程为_________.【正确答案】4【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案.【详解】椭圆114,2,a b c ===223,a b c ===双曲线和椭圆的焦点重合.根据双曲线的定义有111231326,6PF PF P F P F -=-=，所以11126PF PF -=①，31326P F P F -=②，根据椭圆的定义由1112223130028,8PF PP P F P F P P P F ++=++=，所以路程021*********P F PF PP P F P F P P +++++021*********66P F PF PP P F P F P P =+-+++-+()()11122231300212PF PP P F P F P P P F =+++++-88124=+-=.故4四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()1,1--，动点P 满足PO PA=(1)求动点P 的轨迹C 的方程(2)若直线l 过点()4,1Q -且与轨迹C 相切，求直线l 的方程【正确答案】(1)22(2)(2)4+++=x y (2)4x =-或51280x y ++=【分析】（1）设(),P x y ，根据动点P 满足PO =，用两点间距离公式化简求解.（2）讨论直线的斜率，设出直线l 的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径可得答案.【详解】（1）设(),P x y ，则由|||PO PA =，化简得22(2)(2)4+++=x y ，所以P 点的轨迹方程为22(2)(2)4+++=x y ．（2）当直线l 的斜率不存在时，方程为4x =-，圆心(2,2)C --到直线l 的距离为2，又因为圆的半径为2，所以相切；当直线l 的斜率存在时，设():14l y k x -=+，即140kx y k -++=，由()2,2C --到l 的距离2=512k =-，所以直线方程为5510123x y --+-=，即51280x y ++=，综上，l 的方程为4x =-或51280x y ++=.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，PAD 为等边三角形，,22,,AD BC AD CD BC E F ===∥分别为棱,PD PB 的中点.(1)求证：⊥AE 平面PCD ；(2)求平面AEF 与平面PAD 夹角的余弦值；(3)在棱PC 上是否存在点G ，使得//DG 平面AEF ？若存在，求直线DG 与平面AEF 的距离；若不存在，说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(3)【分析】（1）CD ⊥平面PAD 得到CD AE ⊥，AE PD ⊥，得到线面垂直.（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算平面AEF的法向量为(2,1,n =- ，平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)OB = ，再根据向量的夹角公式计算得到答案.（3）假设存在，设,[0,1]PG PC λλ=∈，计算(,2)G λλ-，根据平行得到4=5λ，确定98,555AG ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝=⎭，再利用向量的距离公式计算得到答案.【详解】（1）CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，故CD AE ⊥；PAD 为等边三角形，E 为PD 中点，故AE PD ⊥；CD PD D = ，且,CD PD ⊂平面PAD ，故⊥AE 平面PCD .（2）取AD 的中点O ，连接,OP OB ，则//OB CD ，故OB ⊥平面PAD ，,AD OP ⊂平面PAD ，故OB OP ⊥，OB AD ⊥.PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥.以O 为原点，以OA 、OB 、OP 所在直线分别为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，则1(1,0,0),,,(0,2,0)2A E F B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，则31,0,,,1,0222AE EF ⎛⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n AE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，3022102x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令2x =，得平面AEF的一个法向量为(2,1,n =- ，平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)OB =.cos ,||||OB n OB n OB n ⋅〈〉=== 平面AEF 与平面PAD（3）假设在棱PC 上存在点G ，使得//DG 平面AEF ，且设,[0,1]PG PC λλ=∈，则PG PC λ=，(P ，()1,2,0C -，()1,0,0D -，(1,2,PC =- ，则(,2)G λλ-，所以()1,2DG λλ=- ，要使得//DG 平面AEF ，则222660DG n λλλ⋅=--+-= ，得4=5λ，故48,,555G ⎛- ⎝⎭，98,555AG ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝=⎭直线DG 与平面AEF的距离为AG n n⋅= 19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：()20y ax a =>的焦点F 到其准线的距离为2，直线l 过点()0,1P 且与C 交于A B 、两点.(1)求a 的值及直线l 的斜率的取值范围；(2)若8AF BF +=，求直线l 的方程.【正确答案】(1)4a =，直线l 的斜率的取值范围为()(),00,1-∞⋃(2)1y x =-+或213y x =+.【分析】（1）结合题意，根据抛物线的焦准距得4a =，再设直线l 的方程为1y kx =+，进而与抛物线联立，结合判别式求解即可；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，进而结合韦达定理与焦半径公式得24228k k -+=，再解方程即可得答案.【详解】（1）解：因为抛物线C ：()20y ax a =>的焦点F 到其准线的距离为2，所以，22a =解得4a =.所以抛物线方程为24y x =，因为直线l 过点()0,1P 且与C 交于A B 、两点，所以，设直线l 的斜率为k ，方程为1y kx =+，所以，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩得()222410k x k x +-+=，故方程有两个不等的实数解.()22202440k k k ⎧≠⎪⎨∆=-->⎪⎩，解得1k <且0k ≠所以，直线l 的斜率的取值范围为()(),00,1-∞⋃（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）知，12242kx x k -+=又由焦半径公式得1228AF BF x x +=++=，所以，24228k k -+=，即2320k k +-=，解得1k =-或23k =.所以，直线l 的方程为1y x =-+或213y x =+.20．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种主流经济形式．某直播平台对平台内800个直播商家进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图．(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），并将平均日利润超过300元的商家称为“优秀商家”，所得频率直方图如图所示．（i ）请根据频率直方图计算抽取的商家中“优秀商家”个数，并以此估计该直播平台“优秀商家”的个数；（ii ）若从抽取的“优秀商家”中随机邀请两个商家分享经验，求邀请到的商家来自不同平均日利润组别的概率．【正确答案】(1)16家；4家；(2)（i ）6家；120家；（ii ）815.【分析】（1）由已知，可先计算小吃类、玩具类商家所占的比例，然后按照分层抽样的方法直接计算；（2）由已知题意和图像可先求解出0.002x =，然后再直接计算直播平台优秀商家个数；可根据条件，优秀商家中来自300-350元平均日利润组的有4家，来白350-400元平均日利润组的有2家，直接计算邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件的概率.【详解】（1）抽取小吃类商家100251510554016100-----⨯=（家），抽取玩具类商家10404100⨯=（家）；（2）由图可得(0.0010.0030.0050.009)5010.002x x ++++⋅=⇒=，（i ）该直播平台“优秀商家”个数约为800(0.0020.001)50120⋅+⋅=（家）；（ii ）由已知得：抽取的“优秀商家”中来自300-350元平均日利润组的有4家，来白350-400元平均日利润组的有2家．设邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件为A ，则()42865152P A ⨯==⨯．21．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中()()212,4142,N n n a S a n n *==++≥∈．(1)求{}n a 的通项公式，并判断{}n a 是否是等差数列，说明理由；(2)证明：当2n ≥时，1223341111113n n a a a a a a a a +++++< ．【正确答案】(1)2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，数列{}n a 不是等差数列，理由见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）由()2414n n S a =++得，当3n ≥时，()211414n n S a --=++，然后两式相减得12n n a a --=，即数列{}n a 从第2项起为等差数列，根据()2414n n S a =++和12a =得到23a =，即可得到2112a a -=≠，数列{}n a 不是等差数列，然后求通项即可；（2）利用裂项相消的方法求12233411111n n a a a a a a a a +++++ ，即可证明1223341111113n n a a a a a a a a +++++< .【详解】（1）由()2414n n S a =++得，当3n ≥时，()211414n n S a --=++，两式相减得()()221411n n n a a a -=+-+，整理得()()1120n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 为正项数列，所以10n n a a -+≠，则120n n a a ---=，即12n n a a --=，在()2414n n S a =++中，令2n =，则()2212244414S a a a =+=++，解得23a =或-1（舍去），所以211a a -=，所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，公差为2，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，数列{}n a 不是等差数列.（2）当2n ≥时，()()()111111*********n n a a n n n n +==--+-+，所以当2n ≥时，122334111111111111123235572121n n a a a a a a a a n n +⎛⎫++++=+-+-++- ⎪⨯-+⎝⎭ ()113221n =-+，因为()10221n >+，所以()11132213n -<+，即1223341111113n n a a a a a a a a +++++< .22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，左右焦点分别为1F 、2F ，圆221:()1F x c y ++=与圆222:()9F x c y -+=相交，且交点在椭圆E 上，直线:l y x m =+与椭圆E 交于A 、B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为14-．(1)求椭圆E 的方程；(2)若1m =，试问E 上是否存在P 、Q 两点关于l 对称，若存在，求出直线PQ 的方程，若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)2214x y +=；(2)存在P 、Q 两点关于l 对称，直线PQ 的方程为53y x =--．【分析】（1）由椭圆定义知2a 为两圆半径之和，由点差法可得22OM AB b k k a⋅=-，求出2b ，从而得到椭圆方程；（2）设直线PQ 的方程为y x t =-+，根据PQ 中点在直线l 上求得t 值，注意检验直线PQ 与椭圆有两个交点.【详解】（1）因为圆221:()1F x c y ++=与圆222:()9F x c y -+=相交，且交点在椭圆E 上，所以213a =+，2a =，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,M x y ，22112222222211x y a b x y aa ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①－②()()01201222220x x x y y y ab --⇒+=，201220120y y y b a x x x -⇒+⋅=-22OM AB b k k a⇒⋅=-，222114b b a⇒-=-⇒=，则椭圆E 的方程：2214x y +=；（2）假设存在P 、Q 两点关于l 对称，设直线PQ 的方程为y x t =-+，()33,P x y ，()44,Q x y ，PQ 中点(),N N N x y ，22225844044y x t x xt t x y =-+⎧⇒-+-=⎨+=⎩，()226420440t t ∆=-->t ⇒<34425N x x t x +==，5N t y =，即4,55t t N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由N 在l 上，451553t t t =+⇒=-，此时(t ∈，故存在P 、Q 两点关于l 对称，直线PQ 的方程为53y x =--．。