第二章 古代数学名著

第二章古代数学名著§2.1 《代数学》阿拉伯数学家、天文学家花拉子米在数学上造诣颇深，有两部名著流传下来，《代数学》就是其中一部．《代数学》大约在820年写成，原文也直译作《利用还原和对消运算的简明算书》，其中的“还原”和“对消”即指方程的移项和合并同类项．代数学一词即由其中的“还原”演变而成，一般认为它是关于近代意义下的代数学的最早著作．《代数学》分为三部分，第一部分用简单的例题系统讲述了解一次、二次方程的一般原理，首次给出了二次方程的一般解法；第二部分给出了一些实用测量术；第三部分给出了许多遗产计算问题．《代数学》不仅对阿拉伯数学而且对欧洲数学的发展产生了深远的影响，在欧洲，曾被作为标准数学课本使用了几个世纪，花拉子米也因此被称为“代数学之父”．§2.2 《几何学》《几何学》一书是著名数学家笛卡儿唯一的数学论著，而正是它成为笛卡尔创立解析几何学的代表作。

《几何学》以符号代数为基础，将代数学应用于几何学，从而创立了新的数学分枝—解析几何学。

全书共分为三卷。

第一卷，指出几何作图实际上即对线段进行一定的代数运算，从而将几何作图问题代数化，为解析几何学的创立奠定了基础。

笛卡尔的坐标思想也在这一部分中得到反映，建立了平面上的点与一对实数的一一对应关系。

第二卷，开辟了全新的曲线领域，并对几何曲线进行了重新分类。

第三卷，主要解决了一些几何作图问题，展开了笛卡尔关于方程的代数理论，如给出并证明了代数学基本定理。

在《几何学》一书中，笛卡尔利用坐标系将代数和几何结合起来，使得数学摆脱了古希腊以来几何学一统天下的局面，为微积分的创立奠定了基础，由此大大促进了数学的发展，成为数学发展史上的里程碑。

§2.3 《九章算术》《九章算术》是《算经十书》中最重要的一种，是我国古代著名的数学专著，它在我国数学史上的地位可与大数学家欧几里德的《几何原本》在西方数学史上的影响相媲美．现在所见的《九章算术》版本大约成书于于公元1世纪下半叶，以后的数学家学习数学大多从研究《九章算术》开始，并且有许多学者为《九章算术》进行注释，如我国古代大数学家刘徽就曾作著名的《九章算术注》，结合原书中的内容给出了自己独到的研究成果．《九章算术》全书收录了246个应用问题，分为九章，涉及当时生产、生活中的许多方面，每个问题由问、答、术三部分组成．其中包括："方田"：田亩面积的计算；"粟米"：古物粮食等的按比例折算；"衰分"：比例分配问题；"少广"：由面积求边长或径长；"商功"：土石工程、体积计算；"均输"：合理摊派赋税徭役；"盈不足"：用双设法解的问题；"方程"：用一次方程组解的问题；"勾股"：用勾股定理解的问题．《九章算术》中记录了我国古代的许多数学成就，比如分数的运算、比例问题、面积和体积的求法、一次方程组的解法、负数概念的引入、开平方和开立方等．《九章算术》中蕴涵的数学思想方法对我国古代数学产生了巨大的影响，并成为现代数学思想方法的重要来源，它的出现标志着我国古代数学体系的形成．作为一本世界性的数学名著，《九章算术》也对世界上许多国家的数学发展产生过重要影响．§2.4 《兰德纸草书》《兰德纸草书》是公元前1650年前后埃及的数学著作，是世界上最古老的数学著作之一．它最早发现于埃及底比斯的废墟中，公元1858年，被英国的埃及学者兰德（A.H.Rhind）买下，所以后人将之称为《兰德纸草书》，现在这部著作被收藏在伦敦大英博物馆内．纸草书的开头部分记载了一组分数分解表，主要是把2/n（n为3-101之间的奇数）分解为分子为1的分数之和．之后，给出了87个问题和相应的解答．问题主要包括应用所给出的分数表的问题；一元一次方程；等差、等比数列；求面积、体积；三角学初步；比例问题等，所给出的问题大多与实际生产生活紧密相关．《兰德纸草书》是了解古埃及数学的最主要的依据，体现了埃及文明的一个重要方面．它准确反映了当时埃及的数学知识状况，鲜明地体现了埃及数学的实用性，注重知识的技巧性应用而不寻求严密的逻辑证明的特点.§2.5 《数书九章》《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，他早年就已开始学习数学，后来到1244年为母亲守丧期间，潜心数学研究，做出了许多创新性的工作，于1247年完成其重要著作《数术大略》，明朝后期被改名为《数书九章》．《数书九章》以问题集的形式收录81个问题，分为9类，每类9个问题．主要包括：大衍类：一次同余式组解法；天时类：历法计算、降水量；田域类：土地面积；测望类：勾股、重差；赋役类：均输、税收；钱谷类：粮谷转运、仓窖容积；营建类：建筑、施工；军族类：营盘布置、军需供应；市物类：交易、利息等．《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，如第一次用小数表示无理根的近似值；首创用连环求等，借以求几个数的最小公倍数；总结出大衍求一术，使一次同余式组的解法规格化、程序化，比西方要早500年；创正负开方术，可利用它对任意次方程的有理根和无理根来求解．《数书九章》继承和发展了《九章算术》精神，概括了宋元时期我国传统数学的主要成就，是我国古代数学发展高峰的标志．秦九韶首创的大衍求一术和正负开方术曾长期影响着我国数学的研究方向．秦九韶的数学成就也代表了中世纪世界数学发展的主流和和最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位．§2.6 《算盘书》丢番图曾游历各国，学习各地的数学并学会了印度—阿拉伯数码，于1202年写成著名的《算盘书》.《算盘书》中的“算盘”并非仅仅指罗马算盘或某种计算工具，而是指一般的计算.全书共分为15章.1—7章介绍了位值制原理，整数和分数的各种计算方法，以及各种数表；8—12章以各种商业问题为例给出了许多算术的应用；第13章论述了比例和试位法；第14章讲了开方法则；最后一章则涉及到一些几何和代数问题.在其1228年的修订本中，又加进去有趣的“兔子问题”和著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，从第三项开始每一项是前两项的和.《算盘书》是向欧洲介绍印度—阿拉伯数码和阿拉伯数学的最早著作，自问世后广为流传，为印度—阿拉伯数码和阿拉伯数学在欧洲的传播起了重要的作用，对欧洲数学的发展产生了巨大的促进作用§2.7 《算术》《算术》是丢番图的传世之作．它在数学史上占据着重要的地位，对后来代数学、数论的发展影响深远，几乎与欧几里得的《几何原本》对几何学发展的影响相媲美．《算术》是一部问题集，其中收集了许多实际问题，大约有290个题目，此外还有十几个引理和推论，合起来共有三百多个问题，大体上按照由易到难的顺序排列，没有什么明显的分类标准，在解法上也是随心所欲，没有一定之规．正如数学史家H．汉克尔所说的："近代数学家研究了丢番图的100个问题后，去解第101个题目，仍然感到是困难的，……丢番图使人眼花缭乱甚于使人欣喜．"《算术》中涉及的问题主要包括一、二、三次方程和不定方程．尽管丢番图没有给出问题的一般解法，但后人仍然可以从中得出一些解题的常用技巧．更重要的是，丢番图在解答过程中引入了代数符号，大大简化了方程的写法，从而迈出了从文字代数向符号代数过渡的重要一步．在这部著作中，他曾讨论过一次、二次和个别的三次方程及大量的不定方程，其中包括多达6阶和10个未知数的不定方程，并给出了二元一次不定方程的一般解法，显示了丢番图在不定分析方面的高超技巧．丢番图解决问题的方法完全脱离了欧几里得创立的几何形式，在当时的希腊数学体系中独树一帜，开创了数学研究的新局面，对后来的阿拉伯数学，文艺复兴时期的意大利数学乃至整个欧洲数学产生了巨大的影响，为许多数学家提供了创作的源泉．比如，费马大定理即是费马当年在阅读丢番图的《算术》时受到启发而提出的，他在《算术》第二卷第8题（将一个已知的平方数分为两个平方数．例如将16分成两个平方数）旁边的空白处写下了这一著名的猜想．丢番图的《算术》中虽然有许多不足之处，但并不防碍它成为一部承前启后的划时代著作，显示了一个伟大数学家的惊人睿智和独创精神．§2.8 《圆锥曲线论》《圆锥曲线论》是希腊数学家阿波罗尼奥斯的重要著作．作者除了综合前人的成就之外，还包含有独到的创见材料，而且写得巧妙、灵活，组织得非常出色．在几何发展史上是一个巍然屹立的丰碑，是古希腊几何的登峰造极之作．有人认为它可与欧几里得的《几何原本》在欧氏几何中的地位相媲美．阿波罗尼奥斯也因此被列入亚历山大前期三大数学家之一（另外两位是欧几里得和阿基米德）．《圆锥曲线论》共8卷．其中最具创造性的是证明了抛物线、双曲线和椭圆这三种圆锥曲线都可以由同一种圆锥体截得，用现代术语来说，即将三种曲线的方程归到一个坐标系中，为圆锥曲线的现代研究开创了新的局面．《圆锥曲线论》所涉及到的范围几乎囊括了圆锥曲线性质的所有方面，并且其中以见坐标制思想的端倪，作者以圆锥底面直径为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，给后世以很大的启发．直到十七世纪之前，人们在这一领域几乎失去了再研究的余地．§2.9 《周髀算经》我国古代将重要的数学著作称为"算经"．汉唐年间出现了十部数学著作，曾在唐代被作为教科书使用，被称为"算经十书"，《周髀算经》是其中年代最早的一部．《周髀算经》是我国流传至今，成书年代最早的一部古代数学著作，据考证，现在所见到的版本大约写成于公元前1世纪．书中涉及到的主要数学内容包括：用勾股定理测量、计算高深远近、分数及分数的计算以及一些学习数学的方法等，另外，书中还记载了一些天文学知识．商高谈勾股定理那段著名的话就记录在《周髀算经》中："商高曰，数之法处于圆方，圆处于方，方处于矩，矩处于九九八十一．故折矩以为句广三，股修四，径隅五，既方其外半之以矩，环而共盘得成三，四，五，两矩共长二十有五，是谓积矩，…．"它表明了我国古代数学家早已知道勾股定理，展示了他们卓越的数学成就．§2.10 几何原本公理化思想是数学中的重要方法，它的主要精神是从就尽可能少的概念出发，推导出尽可能多的命题．而《几何原本》正是公理化思想的典型代表．《几何原本》的出现不是偶然的，在它之前，已有许多希腊学者做了大量的前驱工作．到公元前四世纪，希腊几何学已经积累了大量的知识，逻辑理论也渐渐成熟，由来已久的公理化思想更是大势所趋．这时，形成一个严整的几何结构已是"山雨欲来风满楼" 了．建筑师没有创造木石砖瓦，但利用现有的材料建成大厦是一项不平凡的创造．公理的选择，定义的给出，内容的编排，方法的运用以及命题的严格证明都需要有高度的智慧并要付出巨大的劳动．从事这宏伟工程的并不是个别的学者，在欧几里得之前已有好几个数学家做过这种综合整理工作．其中有希波克拉底，勒俄等．但经得起历史风霜考验的，只有欧几里得的《几何原本》．在漫长的岁月里，历尽了沧桑而没有被淘汰．《几何原本》一直是几何学的经典教本，是至今流传最广、影响最大的一部世界名著，它对人类思想的影响仅次于《圣经》，其博大精深的内容成为数学家们研究、创造的源泉．《几何原本》共13卷，后来又有人补充两卷．各卷一般包括定义、公设、公理、命题等，内容主要涉及平面几何、比例论、数论、立体几何等．《几何原本》从很少的几个定义、公设、公理出发，推导出大量的结果，所给出的公理体系标志着演绎数学的成熟，主导了以后数学的发展方向，使得公理化思想成为现代数学的根本特征之一．§2.11 希尔伯特的《数学问题》希尔伯特20世纪伟大的数学家，对数学的发展做出了巨大的贡献．他在1900年的国际数学家大会上作了一次著名演讲，阐述了问题对于数学发展的重要促进作用以及关于数学问题产生的源泉、解答要求、解决策略等，另外在这次大会上他还提出了著名的23个数学问题，对20世纪数学的发展产生了深刻的影响．《数学问题》具有划时代的意义和价值．在这篇讲演中，希尔伯特深刻阐述了重大而关键的问题在数学发展和数学家个人创造活动中的重要作用，数学问题的来源和解决数学问题的方法论原则等．他认为，好的数学问题应该具有清晰性和易懂性，困难但又给人以希望，并且意义重大．求解过程要严格，方法要简单．希尔伯特提出的23问题是：1 康托尔的连续统基数问题．2 算术公理的相容性．3 两个等底等高的四面体体积之相等．4 直线作为两点间的最短距离的问题．5 李的连续变换群概念，不要定义群的函数的可微性假设．6 物理公理的数学处理．7 某些数的无理性和超越性．8 素数问题．9 任意数域中最一般的互反律的证明．10 丢番图方程可解性的判别．11 系数为任意代数数的二次方程．12 阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广．13 不可能用仅有两个变数的函数解一般的七次方程．14 证明某类完全函数系的有限性．15 舒伯特记数演算的严格基础．16 代数曲线和曲面的拓扑．17 正定行式的平方表示法．18 由全等多面体构造空间．19 正则变分问题的解必定是解析的吗？20 一般边值问题．21 具有给定单值群的线性微分方程存在性的证明．22 通过自守函数使解析关系单值化．23 变分法的进一步发展．这23个问题是希尔伯特根据19世纪数学发展的现状提出来的，涉及数理逻辑、几何、数论、代数、拓扑等许多方面，都是当时尚未解决的重要问题．这些问题引导着后来的大批数学家，成为他们研究的中心课题．他们经常对比希尔伯特所提出的问题的解决程度，来衡量自己的工作成绩，由此可见23问题对数学发展的影响力之大．20世纪数学的发展也表明希尔伯特提出的23个问题对数学的影响是深远的，其中有些问题至今仍是数学家研究的课题．。