相变中的伊辛模型
相变研究方法的讨论.doc
相变研究方法的讨论祖衍宇( 安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011)指导教师：尹训昌摘要：本文主要阐述相变这一概念，对不同的相变进行分类，以及其研究方法的讨论，重点讨论Ising 模型及其拓展模型Gauss 模型。
伊辛模型是描述反铁磁物质的一种简单的理想模型，它在铁磁物质的理论研究中有重要的作用。
而Gauss 模型作为伊辛模型的拓展自旋可以连续取值。
在这篇文章中，我们研究了反铁磁物质的高斯模型上的临界性质，在一维反铁磁Gauss 模型上相变的临界点和关联长度临界指数分别为2b k -=*，21=v 。
我们用部分格点相约的重整化群和自旋重标相结合的RG 变换方法得到了上述结论。
这种方法从根本上改变了平均场理论，在对gauss 模型的研究很有效]1[。
关键词:反铁磁物质，Gauss 模型，重整化群，相变， Ising 模型。
相（Phase ）：热力学系统（或它的一部分）如果具有均匀的物理性质，称为处于某相。
比如水可以处于固相，液相，气相。
相变(PhaseTransition)：从一种相转变成令一种相。
比如冰融化就是水的固液相变。
例如：水的三态之间的转变，铁磁，顺磁，反铁磁之间的转变，超导体与正常导体的转变，超流与正常流体的转变，几何相变：渗流，量子相变：光晶格BEC 的超流-绝缘转变等等。
一级相变(FirstOrderPhaseTransition)：内能不连续（潜热），两相（或多相）共存。
图一连续相变(continuousphasetransition),或二级相变(Secondorderphasetransition)：内能连续（没有潜热），两相（或两相以上的相）区别消失成为新的相。
比热，磁化率等自由能二级导数发散。
二级相变点称为临界点(CriticalPoint)。
在这点附近系统表现出非常特殊的性质称为临界现象(CriticalPhenomena)。
Widom 为显现不同长度尺度的现象发展了普遍且可操作的方法，这个方法经过一些修改，可以用在一些其它的重要而尚未解决的问题上。
LB83_伊辛模型
(4.101)
24
Fi的形式可由系统的亥姆霍兹自由能A取极小 值的条件来决定。
A U TS TrH kT ln (4.102 ) 由式(4.99)-(4.102)以及A=0,得出:
H Fi , Si (4.103)
式中<H>和<Si>分别为系统的哈密顿量及自旋 的平均值。
铁电体的微观理论：横场伊辛模型 Ising model in a transverse field
赝自旋模型的引入 赝自旋模型静态性质 赝自旋系统的动力学
wangcl@
1
含氢键的铁电体（如KH2PO4和PbHPO4）可以作 为有序无序型铁电体的代表。在这些晶体中， 顺电相时氢在氢键中两个可能位置上等概率 分布，呈无序状态；铁电相时，氢择优地占 据这两个可能位置之一，呈有序状态。 氢的有序化是该类晶体铁电性的触发机制， 而且氢的有序化程度是相变的序参量。不过， 氢键所在平面与自发极化方向（沿c轴）垂直， 为了说明自发极化，还要借助氢有序化与重 原子（K和P）运动的耦合。
wangcl@ 8
ai+：为在氢键i上产生量子态为的粒子的 产生算符； ai ：为相应的湮灭算符；所以ai+ai 就是 氢键i上量子态为的粒子数算符。 在任一氢键i上，有一个且仅有一个质子的条 件由下式表示：
i i 1 i i
H J S S J S S
ij x x ij i x j
Heisenburger model
H J S S J S S J S S
ij x x ij i x j y y y ij i j
wangcl@
z z z ij i j
Ising模型（伊辛模型）
Ising模型（伊⾟模型）Ising模型（伊⾟模型）是⼀个最简单且能够提供⾮常丰富的物理内容的模型。
可⽤于描写叙述⾮常多物理现象，如：合⾦中的有序-⽆序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林⽕灾、城市交通等。
Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到⼀定临界温度以上会出现磁性消失的现象，⽽降温到临界温度下⾯⼜会表现出磁性。
这样的有磁性、⽆磁性两相之间的转变。
是⼀种连续相变（也叫⼆级相变）。
Ising模型如果铁磁物质是由⼀堆规则排列的⼩磁针构成，每⼀个磁针仅仅有上下两个⽅向（⾃旋）。
相邻的⼩磁针之间通过能量约束发⽣相互作⽤。
同⼀时候⼜会因为环境热噪声的⼲扰⽽发⽣磁性的随机转变（上变为下或反之）。
涨落的⼤⼩由关键的温度參数决定。
温度越⾼，随机涨落⼲扰越强。
⼩磁针越easy发⽣⽆序⽽剧烈地状态转变。
从⽽让上下两个⽅向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性。
如果温度⾮常低，则⼩磁针相对宁静，系统处于能量约束⾼的状态,⼤量的⼩磁针⽅向⼀致,铁磁系统展现出磁性。
科学家对该模型的⼴泛兴趣还源于它是描写叙述相互作⽤的粒⼦（或者⾃旋）最简单的模型。
Ising模型是⼀个很easy的模型，在⼀维、⼆维、三维的每⼀个格点上占领⼀个⾃旋。
⾃旋是电⼦的⼀个内部性质。
每⼀个⾃旋在空间有两个量化⽅向。
即其指向能够向上或者向下。
虽然该模型是⼀个最简单的物理模型。
眼下仅有⼀维和⼆维的精确解。
考虑⼀维Ising模型。
M个⾃旋排成⼀排，每⼀个⾃旋与其左右两个近期邻的⾃旋之间有相互作⽤。
简单起见，我们仅仅考虑倾向于使近邻⾃旋的⽅向⼀致的相互作⽤。
⼆维正⽅Ising模型就是由N个同样的⾃旋排。
每⼀个⾃旋不但与其左右两个近期邻的⾃旋相互作⽤，并且与前后相邻的⾃旋排中两个近期邻的⾃旋相互作⽤，project了⼀个⼆维的⾃旋阵列。
三维⽴⽅Ising模型就是有L个同样的⼆维⾃旋阵列，每⼀个⾃旋与其左右、前后、上下六个近期邻的⾃旋相互作⽤。
二维伊辛模型严格解
二维伊辛模型严格解（原创版）目录1.二维伊辛模型的概述2.二维伊辛模型的严格解3.二维伊辛模型的重要性正文一、二维伊辛模型的概述二维伊辛模型，又称为二维伊辛磁模型，是一种描述二维晶格上自旋磁矩之间相互作用的统计力学模型。
该模型由美国物理学家艾兹赫尔·伊辛（Ernest Ising）在 1920 年代提出，被广泛应用于研究磁性材料、自旋电子学等领域。
二维伊辛模型的基本假设是：晶格上的每个点都有一个自旋磁矩，这些磁矩在相邻点之间相互作用，且相互作用强度随距离的倒平方衰减。
在这个模型中，自旋磁矩只能取两个方向，即“向上”和“向下”。
二、二维伊辛模型的严格解二维伊辛模型的严格解是指在一定条件下，模型的磁矩配置和能量状态可以被精确地计算出来。
对于二维伊辛模型，只有在其临界点附近，才能得到严格解。
所谓临界点，是指在此温度下，系统处于相变状态，即磁有序和无序之间。
在临界点附近，二维伊辛模型的行为变得非常复杂，表现出多种临界现象，如临界慢化、临界指数等。
研究这些临界现象，有助于揭示自旋系统在相变过程中的微观机制。
三、二维伊辛模型的重要性二维伊辛模型在物理学领域具有重要的地位，主要表现在以下两个方面：1.对自旋磁矩相互作用机制的深入理解：二维伊辛模型提供了一个理论框架，有助于我们更好地理解自旋磁矩之间的相互作用以及由此产生的磁有序或无序状态。
2.对实际应用的指导意义：二维伊辛模型的研究成果可以为实际磁性材料、自旋电子学等领域提供理论支持。
例如，在研究磁随机存储器、磁共振成像等技术时，二维伊辛模型可以为我们提供有关磁矩分布、磁相互作用等方面的重要信息。
相变中的伊辛模型
伊辛模型的相变讨论姓名：胡博昊( 安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆 246011)指导老师：尹训昌摘要：平均场理论认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。
伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。
它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。
在热力学与统计物理教材中，应用平均场理论研究了伊辛模型的相变。
本文应用重整化群的方法研究了相同的问题，得到了系统的相变点。
与平均场理论相比较，该方法更易于理解和掌握。
关键词：伊辛模型，重整化群，相变，平均场理论引言：在热力学与统计物理教材中，应用平均场理论研究了一种描写铁磁材料最简单的模型——伊辛（Ising）模型的相变，得到下面的结论：对于一维Ising模型不存在有限温度的相变，只有零温相变；对于二维一维Ising模型，相变点为0.25。
由于此种方法推到复杂，不容易掌握。
本文应用了一种简单的方法——重整化群（RG）对Ising模型的相变进行了讨论，得到了相同的结果。
与平均场理论相比，这种方法推导较少，容易接受。
1平均场理论在连续介质微观力学中,有两类基于微结构信息确定非均匀介质有效性能的基本理论:基于物理的平均场理论和数学的渐近均匀化理论.平均场理论，顾名思义，认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。
范德瓦耳斯的状态方程是最早的平均场理论，后来还有很多不同的名称。
1937年朗道提出了二类相变的普遍理论。
朗道的平均场理论，拿一个具体的例子说明，单轴各向异性的铁磁体，磁化强度只能向上或者向下，现在是向上的。
认为热力学函数是序参量的解析函数。
这是一个假定，热力学函数可以展开，有二次方和四次方项（由于反演对称，没有奇次方项），展开系数是温度的函数，a是一个正数,b也是一个正数。
曲线在高于Tc的时候和低于Tc的时候是不一样的，高于Tc的时候，最小值是Mo=0，就是没有自发磁化；如果低于Tc，就有不等于0的极小点。
一维横场伊辛模型的精确解
一维横场伊辛模型的精确解伊辛模型是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模型，可用于描述很多物理现象，如：合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通等。
Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。
这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相变（也叫二级相变）。
Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）。
相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。
涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。
为了研究我们上面所定义的动力学相变，我们要对一维横场伊辛模型的动力学进行求解。
事实上，对于一维横场伊辛模型确实是有精确解的。
早在1925年伊辛就解决了一维伊辛问题。
文章发表初期，引用很少，其中最重要的可能是海森堡1928年论文引言中，引用伊辛经典模型中没有相变，作为引入量子模型的论据。
海森堡模型所引发的统计模型和可积系统的研究，至今方兴未艾、硕果累累。
1944年Onsager发表了平面正方二维伊辛模型的精确解，证明确有一个相变点。
这是统计物理发展的里程碑。
不过那篇文章及其晦涩难懂。
直到1949年Onsager和Kaufmann发表了使用旋子代数的新解法，人们才得以领会奥妙，计算其它晶格，并且开始了求解三维伊辛模型的尝试。
2.1 伊辛模型量子伊辛模型的普遍表达式可以写为[5]：H=−Jg∑σi xi −J∑σi zi,jσj z上述式子的意义：其中J>0，是一个决定微观能量尺度的相互作用常数；g>0，是一个无量纲的耦合常数，被用来调节H跨过量子相变点。
伊辛 Ising
伊辛(Ising)模型是一个最简单的模型可以提供非常丰富的物理内容，它可以被用来帮助发现我们物理世界的原则。
它不仅可以用来描述晶体的磁性，还可以用来描述非常广泛的现象，如合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通、蛋白质分子进入它们的活性形式的折叠等。
科学家对伊辛模型的广泛兴趣还源于它是描述相互作用的粒子(或原子或自旋)最简单的模型。
它可以用来测试研究相互作用的粒子在多体系统(特别是理解在临界点及其附近的合作现象和临界行为)任何近似方法的理想工具。
进一步说，三维伊辛模型可以研究从无限大温度到绝对零度相互作用的粒子(或原子或自旋) 系统的演变过程，如果将热力学中的温度做为动力学中时间来考量，它不仅可以理解热力学平衡的无限系统如一个磁铁，还可以帮助理解我们的宇宙。
另外，平衡相变的理论可以用来研究连续的量子相变、基本粒子的超弦理论、在动力学系统到混沌的转变、系统偏离平衡的长时间行为和动力学临界行为等。
由于伊辛模型中的粒子(或原子或自旋)具有两种可能的状态(自旋向上或向下)，它实际上可以对应黑白、上下、左右、前后、对错、是非、满空、正负、阴阳…… 所以，原则上，伊辛模型可以描述所有具有两种可能的状态的多体系统，描述两种极端条件间的相互竞争。
临界问题物理经典模型
临界问题物理经典模型
临界问题是指系统中某一参数达到临界值时，系统发生巨变的现象。
这个现象在许多自然系统中都有出现，比如相变、地震、瘟疫爆发等等。
物理学家们通过研究临界问题，建立了许多经典模型，其中最著名的就是伊辛模型。
伊辛模型是一个描述磁性物质相互作用的模型，它可以用于解释物质的相变现象。
在伊辛模型中，每个磁铁分子都有一个磁矩，它们可以自由旋转，但是会受到相邻磁铁磁场的作用。
当温度达到一定值时，系统会出现相变现象，磁矩会有一个整体的转变。
除了伊辛模型，还有许多其他的经典模型用于研究临界问题，比如渗透模型、群论模型等等。
这些模型不仅在物理学中有应用，还可以用于解释其他领域的现象，比如经济学、生物学等。
总之，对于临界问题的研究是物理学中一个重要的分支，经典模型为我们解释和预测自然现象提供了重要的工具和理论基础。
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伊辛模型的相变讨论姓名：胡博昊( 安庆师范学院物理与电气工程学院安徽安庆 246011)指导老师：尹训昌摘要：平均场理论认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。
伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。
它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。
在热力学与统计物理教材中，应用平均场理论研究了伊辛模型的相变。
本文应用重整化群的方法研究了相同的问题，得到了系统的相变点。
与平均场理论相比较，该方法更易于理解和掌握。
关键词：伊辛模型，重整化群，相变，平均场理论引言：在热力学与统计物理教材中，应用平均场理论研究了一种描写铁磁材料最简单的模型——伊辛（Ising）模型的相变，得到下面的结论：对于一维Ising模型不存在有限温度的相变，只有零温相变；对于二维一维Ising模型，相变点为0.25。
由于此种方法推到复杂，不容易掌握。
本文应用了一种简单的方法——重整化群（RG）对Ising模型的相变进行了讨论，得到了相同的结果。
与平均场理论相比，这种方法推导较少，容易接受。
1平均场理论在连续介质微观力学中,有两类基于微结构信息确定非均匀介质有效性能的基本理论:基于物理的平均场理论和数学的渐近均匀化理论.平均场理论，顾名思义，认定一个粒子，这个粒子受到其它粒子的相互作用，把它平均一下，看这个粒子在平均场中受到什么样的相互作用。
范德瓦耳斯的状态方程是最早的平均场理论，后来还有很多不同的名称。
1937年朗道提出了二类相变的普遍理论。
朗道的平均场理论，拿一个具体的例子说明，单轴各向异性的铁磁体，磁化强度只能向上或者向下，现在是向上的。
认为热力学函数是序参量的解析函数。
这是一个假定，热力学函数可以展开，有二次方和四次方项（由于反演对称，没有奇次方项），展开系数是温度的函数，a是一个正数,b也是一个正数。
曲线在高于Tc的时候和低于Tc的时候是不一样的，高于Tc的时候，最小值是Mo=0，就是没有自发磁化；如果低于Tc，就有不等于0的极小点。
按照平均场理论算出来，临界指数β等于二分之一；算出与磁场的关系，在临界点上是这样的关系，d=3。
可以算出平常说的磁化率，和T的相对温度之间有一个关系，指数是1。
还可以算比热，从低温到高温的时候有一个跃变，本身是一个常数。
如果铁磁体不是单轴各向异性，而是平面各向异性的，序参量会有两个分量。
我们可以拿这个曲线转一圈，最低能量态是“简并”的，所有“酒瓶底”的状态都具有最低能量，实际体系可能处于某一个位置上。
这就是对称破缺。
平均场理论是“多次被发明”的理论。
从最早的范德瓦耳斯方程，到外斯的分子场理论，描述合金有序化的布喇格－威廉姆斯理论，都说的同一回事。
2伊辛模型的简介伊辛模型是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模型，它可以被用来帮助我们发现物理世界的原则。
它不仅可以用来描述晶体的磁性，还可以用来描述非常广泛的现象，如合金中的有序无序转变,液氦到超流态的转变,液体的冻结和蒸发,晶格气体,玻璃物质的性质,深林火灾,城市交通,蛋白质分子进入它们的活性形式的折叠等.伊辛模型是一个非常简单的模型,在一维,二维或三维的每个格点上占据一个自旋.自旋是电子的一个内禀的性质,每个自旋在空间有两个量子化的方向,即其指向可以向上或者向下.尽管伊型模型是一个简单的物理模型,目前仅有一维和二维的精确解.现在考虑一维伊辛模型，M个自旋排成一排，每个自旋与其左右两个最近邻的自旋手拉收，手拉手便是它们之间有相互作用。
简单起见，我们仅考虑倾向于使近邻自旋的方向一致的相互作用。
二维正方伊辛模型就是有N 个相同的自旋排，每个自旋不但与其左右两个最近邻的自旋手拉手，而且与前后相邻的自旋排中的两个最相邻的自旋手拉手，构成了一个二维的自旋阵列。
三维立方伊辛模型就是有L个相同的二维自旋阵列。
三维立方伊辛模型就是有L个相同的二维自旋阵列，每个自旋与其左右、前后、上下六个最近邻的自旋手拉手。
可以看来随着维度的增加，每个自旋的最近邻自旋数增加，与周围自旋的相互作用也在增强。
由于相互作用倾向于使近邻自旋的方向一致，所以在绝对零度时，系统的基态是铁磁态，所以自旋的取向完全一致。
有两个可能，都是向上或都是向下。
一旦选定了向上，就大家一起向上，非常有序。
如升高温度T，温度将要对这种有序的状态进行扰动，某一个自旋可能就会挣脱其他自旋对它的相互作用的束缚，而变成向下。
这个调皮的自旋可能又会影响其他自旋的取向，从而引入了无序的成分。
我们面临的问题就是，在什么温度下，系统从有序态变成无序态。
这个温度就是我们关系的相变的临界温度。
在统计物理中有一套标准的程序，从系统的哈密顿量H出发，写成其配分函数。
配分函数就是对系统的所有可能不同状态根据哈密顿量H写下玻尔兹曼权重的指数函数exp(-H/kT),并对所有的可能状态的值求和。
一个状态在温度T下出现B的可能性正比于该状态的值求和。
一个状态在温度T下出现的可能性正比于该状态的指数函数exp(-H/k B T)除以配分函数。
其中余姚对写下所有可能状态的玻尔兹曼权重的矩阵对角化能量本征值。
对大型复杂矩阵的对角化是一个难点。
然后事情就变得非常简单，根据热力学统计物理的标准手续从配分函数就立即得到系统的自由能，对自由能进行微分立即得到磁化强度、比热、磁化率等物理性质。
所以，问题的关键在于求出系统的配分函数。
3伊辛模型的应用在铁和镍这类金属中，当温度低于居里温度时，原子的自旋自发地倾向某个方向，而产生宏观磁矩。
温度高于居里温度时,自旋的取向非常紊乱,因而不产 生净磁矩。
当温度从大于或小于两边趋于居里温度时，金属的比热容趋于无限大。
这是物质在铁磁性状态和非铁磁性状态之间的相变，它并不包含在P.厄任费斯脱所分类的相变中。
伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。
它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。
这就使得铁磁性物质相变的大致特征，获得了理论上的描述。
这个模型所研究的系统是由N 个阵点排列成n 维周期性点阵，这里n=1,2,3。
点阵的几何结构可以是立方的或六角形的,每个阵点上都赋予一个取值+1或－1的自旋变数i,如果i=+1,即第N 个阵点的自旋向上；如i=-1，即第个N 阵点的自旋向下并且认为只是最近邻的自旋之间有相互作用。
点阵的位形用一组自旋变数（i=1，2，…N,）来确定。
4一维Ising 模型的相变Ising 模型是伊辛于1924年提出的，Ising 模型是铁磁体的一种最简单的理论模型，它可以近似描述单轴各向异性铁磁体，而且稍加改变，可以描述反铁磁体、气液相变和二元溶液相变等。
在Ising 模型中，假设自旋处于每个晶格的格点上，每个自旋只能取向上或向下两个态，即取+1和-1两个值。
如果假设只存在最近相邻相互作用，它的有效哈密顿可表示为H=K j ij iS S ∑ （1）其中，S i 表示晶格格点i 上的旋转，K 表示约化的最近邻相互作用参数，K>O 和K<0分别表示铁磁体和反铁磁体，∑ij 表示对所有的最近邻自旋之间的相互作用求和。
此系统的配合函数可以表示为Z=∑}{)exp(i S H （2）其中，∑}{i S 代表对一切可能的自旋态{S i }求和。
对于一维Ising 模型的相变在统计物理教材中都是通过数学推导先求出系统的配合函数，然后再求相变点。
这种方法推到较多很多人难接受。
下面采用重整化群的方法研究这个问题。
为了表述简单，取一维Ising 模型链的一部分进行讲解（见图1）。
在图1（a ）中选取三个自旋变量的一维链，即存在两个相互作用。
根据（1）式，它的有效哈密顿量可写为H=K(S a S 1+ S 1S b ) （3） 图1（b ）表示经过一次重整化变换的一维链，在这个过程中，可以看出中间的自旋被消去。
以S ,a ’,S b ’来表示图1（b ）格点上的自旋，根据重整化变换后系统的配分函数保持不变，可以写出下面的表达式∑)exp(H =Aexp(H ’) (4)上式中A 是重整化常数，H ’为重整化变换后的有效哈密顿量，它的表达式为 H ’=K ’ S ,a ’ S b ’ (5)由（2）和(3)可得变换前的配分函数为Z=))S (exp(}{11a ∑+i S b S S S K （6）自旋S 1取+1和-1两个值，对上式求和消掉自旋S 1后，配合函数可辨识为Z=exp(K(S a +S b ))+ exp(-K(S a +S b )) (7) 由（2）（5）可得变换后的配分函数为Z ’=)'''exp(b a S S K ∑。
根据前后配分函数保持不变这个特点，考虑到（S a ，S b ）可以取（+1，+1）、（+1，-1）、（-1，+1）和（-1，-1）四种组合，得到不重复的两个方程为Exp(2K)+exp(-2K)=Aexp(K ’) (8) 2=Aexp(-K ’) (9) 对上面两个方程求解，可以求出K ’=21ln 2)2exp()2exp(k K -+ (10) A=))2exp()2(exp(2K K -+ (11)(10)式就是RG 变换的递推关系。
由它出发可以求出系统的临界点。
为了求得系统的不动点，令K ’=K ’=K ”,由递推关系可以求得系统的不动点为K ”=根据K=J/(k B T)可得系统的相变温度为0即一维Ising 模型只存在零温相变。
5二维Ising 模型的相变 由于二维Ising 模型的配分函数求解过于复杂，在统计物理教材中没有介绍。
下面继续采用重整化群的方法对二维正方形晶格上的Ising 模型的相变进行讨论。
正方形晶格是一种配位数均匀的平移对称晶格，它的空间维数为2.假设只存在最近邻相互作用K ，该晶格上Ising 模型的有效哈密顿量为H=Kj ij i S S ∑ （12）正方形晶格上Ising 模型的键移和重整化群过程如图2所示，S a ，S b ，S 1和 S 2用来表示各格点上的自旋。
在图2的键移过程中，我们假设相互作用参数K 随着键一起移动。
根据假设，键移后的有效哈密顿量为H=3K(S a S 1+ S 1S 2+S 2S b ) (13)经过重整化群变换后内部格点S 1和S 2被消去，以S ,a ’,S b ’来表示变换后各格点上的自旋，变换后的相互作用参数用K ’来便是，变换后系统的有效哈密顿量可写为H ’=K ’ S ,a ’ S b ’ （14） 结合（2）和（13）求得变换前的配合函数为Z=))S (3exp(}{2211a ∑++i S b S S S S S K (15)根据自旋S 取+1和-1两个值，则自旋对（S 1，S 2）有（+1，+1）、（+1，-1）、（-1，+1）和（-1,-1）四种组合，消去内部格点，（15）式重新写为Z= exp(3K(S a +S b +1))+ exp(3K(S a -S b -1))+ exp(3K(-S a -S b -1))+exp(3K(-S a +S b -1)) （16） 由（2）和（14）可得变换后的配分函数为Z ’=)'''exp(b a S S K ∑。