LB83_伊辛模型

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(4.101)
24
Fi的形式可由系统的亥姆霍兹自由能A取极小 值的条件来决定。
A U TS TrH kT ln (4.102 ) 由式(4.99)-(4.102)以及A=0,得出:
H Fi , Si (4.103)
式中<H>和<Si>分别为系统的哈密顿量及自旋 的平均值。
铁电体的微观理论：横场伊辛模型 Ising model in a transverse field
赝自旋模型的引入 赝自旋模型静态性质 赝自旋系统的动力学
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1
含氢键的铁电体（如KH2PO4和PbHPO4）可以作 为有序无序型铁电体的代表。在这些晶体中， 顺电相时氢在氢键中两个可能位置上等概率 分布，呈无序状态；铁电相时，氢择优地占 据这两个可能位置之一，呈有序状态。 氢的有序化是该类晶体铁电性的触发机制， 而且氢的有序化程度是相变的序参量。不过， 氢键所在平面与自发极化方向（沿c轴）垂直， 为了说明自发极化，还要借助氢有序化与重 原子（K和P）运动的耦合。
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ai+：为在氢键i上产生量子态为的粒子的 产生算符； ai ：为相应的湮灭算符；所以ai+ai 就是 氢键i上量子态为的粒子数算符。 在任一氢键i上，有一个且仅有一个质子的条 件由下式表示：
i i 1 i i
H J S S J S S
ij x x ij i x j


Heisenburger model
H J S S J S S J S S
ij x x ij i x j y y y ij i j
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z z z ij i j

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Ising model in a transverse field
产生或湮灭一个量子态a=-的粒子的算符可表 示为在氢键左(L)或右(R)平衡位置上产生或 湮灭一个粒子的相应算符的反对称线性组合：
1 i i a L a R , a 2
i
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1 i i a aL aR 2
i
(4.94 b)
12
a
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产生或湮灭一个量子态a=+的粒子的算符可 表示为在氢键左(L)或右(R)平衡位置上产生 或湮灭一个粒子的相应算符的对称线性组合：
1 i i a L a R , a 2
i
1 i i a aL aR 2
i
(4.94a )
x i
14
式（4.93）表明Six 度量了对称和反对称能态 的占据数之差，称为隧穿算符，Siy称为局域 粒子流算符。
1 i i i i S a a a a 2 1 i i y i i Si a a a a 2i 1 i i z i i Si a a a a 2
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图4.8 描写了KH2PO4晶体中 氢有序化和自发极化的图象。 四面体PO4的两个 “上 ”质子靠近它 时，“下”部两个 氢键中的质子就将 离开它，同时P离子 沿c轴向“下”移动， K离子沿c轴向“上” 移动，于是产生了 沿c轴（向“下”） 的电偶极矩。 wangcl@
2
2
2
(4.98)
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mean field approximation
平均场近似（MFA）
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赝自旋模型静态性质
与对非谐振子系统所作的假定一样，可认为 系统的密度矩阵等于单粒子密度矩阵之积
i (4.99)
因为讨论的是二能级系统，故i是2x2矩阵, 它可表示为
(4.97 )
[S , S ] i ij S ;
x j y i
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1 i i a a a i a i 2 1 i i y a a ai a i Si 2i 1 i i z i i Si a a a a 2
i i ( i ) H1 E a a
(4.89)
(4.90)
H2 (i, j) v
,, ,
ij i i j j ,, ,
a a a a
式中α，β，γ，和δ是单粒子量子态的记 号，它实际上只有两个可能的值，即+和-。 前者为对称态后者为反对称态。
x i
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(4.96)
Байду номын сангаас
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关于自旋算符得两个关系式，必须附带指出 两点： 第一，由式(4.93)可知,自旋分量算符满足 如下的对易关系:
[S , S ] i ij S ,
x i y j z i
[S , S ] i ij S ,
y i z i z j x i
i
1 i i a L a R , 2
1 i i a L a R , 2
a
i
1 i a L aiR 2
1 i a L aiR 2
(4.94a )
a
i
a
i
(4.94 b)
1 i i a a a i a i 2 1 i i y a a ai a i Si 2i 1 i i z a a a i ai Si 2 S
x Si
(4.93)
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第二，在包含有自旋算符的表达式中，自旋 算符的三个分量作为矢量的分量来处理，因 此有 ：
x x y y z z Si Sj Si Sj Si Sj Si Sj ,
Si Sj (S S 1 2.
x i
) (S ) (S ) ,
y i z i
x i
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(4.93)
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1 H H1 (i) H2 (i, j) i 2 ij
(4.88)
H1 (i) E a a
i
,, ,
i
(4.89)
(4.90)
ij i i j j H2 (i, j) v,, , a a a a
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1 z z S J S H ij i S j , 2 i, j i
x i
赝自旋系统模型哈密顿量
(4.96)
Ising model
Ising model XY model
z i ij
比较
H Jij S S
z j
y y y ij i j
i
zi
1 exp F S i i
1
(4.100 )
其中： kT
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Si的三个分量是3个自旋1/2的泡利矩阵, Fi 是作用在Si上的有效场。单粒子配分函数为:
Z i Tr exp Fi Si 1 1 exp Fi exp Fi 2 2 1 2coth Fi , 2
x
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（4.92）
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利用上述各种关系式，可以把氢键上质子产 生和湮灭算符的积用自旋1/2算符表示出来， 即： 1 i i x i i Si a a a a 2 1 i i y i i Si a a a a (4.93) 2i 1 i i z i i Si a a a a 2
式（4.96）表明，如果把Ω看作横向场，则 赝自旋模型哈密顿量与处在横向场的Ising模 型的哈密顿量相同。这种模型称为横场Ising 模型(transverse field Ising model)。 在氢键型铁电体中, Ω就是质子的隧穿频率。
1 z z S Jij Si S j , H 2 i, j i
1 i i a a a i a i 2 1 i i y i i Si a a a a 2i 1 i i z i i Si a a a a 2 S
x i
(4.93)
1
i i i i
6


1 2
( L R ),

1 2
( L R ); (4.87)
系统的哈密顿量显然应该包括单粒子部分 H1(i)和相互作用部分H2(i,j)
1 H H1 (i) H2 (i, j) i 2 ij (4.88)
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采用占有数表象，并将H1对角化后有
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5
为了集中研究单粒子 在双势阱中分布的主 要特征，这里讨论的 是一个二能级系统。 这两个能级为E+和E-， 相应的本征函数分别 为φ+和φ-，它们分 别是左，右平衡位置 上局域波函数φL和 φR的对称和反对称线 性组合(见图4.10)
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3
在PbHPO4 等另一些氢键型铁电体中，自发 极化与氢键的方向接近一致，可以更直接 得用氢有序化来解释自发极化。基本的研 究对象是离子在两位置的分布。上图示出 了一个O-H· · · O键及其中质子的势能曲线。
wangcl@ 4
质子处在两个势阱之中，在一定条件下可以 贯穿势垒，由一个阱进入到另一个阱。设想 每一个这样的单元用一个本怔值为1/2的赝 自旋（pseudo-spin)代表。质子位于左右两 个势阱相应于赝自旋的上下两种取向，整个 晶体中质子的分布和运动则用系统的赝自旋 波来描写。
(4.91)
利用（4.93）式和式（4.91）等，可将赝自 旋系统模型哈密顿量式（4.88）写成
1 z z S Jij Si S j , H 2 i, j i
x i
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