Ising模型简述
二维正方格ising模型及最近邻相互作用
二维正方格ising模型及最近邻相互作用二维正方格Ising模型是由德国物理学家艾辛模型提出的，他用这个模型来研究金属的磁性。
它是一个简单的数学模型，用于模拟磁场在不同温度下的行为和磁性结构。
该模型假设保持在一维或二维的方格网格中的原子拥有垂直或水平行的磁能。
例如，在二维的Ising模型中，原子可以有正或负的磁势，这些磁势可以相互交互作用。
这种相互作用是通过位置接近的原子之间的最近邻化来实现的，也就是说，如果两个临近原子具有相同的磁势，则它们可能会相互吸引，但如果相反，它们可能会互相排斥。
当温度变化时，这种最近邻相互作用也会随之改变，从而影响这些磁能之间的关系。
例如，随着温度升高，最近邻的原子可能变得更加不稳定，因此它们可能会更互相排斥而不吸引。
而随着温度升高，最近邻的原子也可能变得更加稳定，因此它们可能会更吸引而不排斥。
量子多体系统的理论模型
量子多体系统的理论模型引言量子力学是描述微观物质行为的基本理论。
在量子力学中，描述一个系统的基本单位是量子态，而量子多体系统则是由多个量子态组成的系统。
由于量子多体系统的复杂性，需要借助一些理论模型来描述和研究。
本文将介绍一些常见的量子多体系统的理论模型，包括自旋链模型、玻色-爱因斯坦凝聚模型和费米气体模型等。
通过对这些模型的研究，我们可以深入了解量子多体系统的行为和性质。
自旋链模型自旋链模型是描述自旋之间相互作用的量子多体系统的模型。
在自旋链模型中，每个粒子可以处于自旋向上或向下的两种状态。
粒子之间通过自旋-自旋相互作用产生相互作用。
常见的自旋链模型包括Ising模型和Heisenberg模型。
Ising模型Ising模型是最简单的自旋链模型之一。
在一维Ising模型中，每个自旋可以取向上（+1）或向下（-1）。
自旋之间通过简单的相邻自旋相互作用来影响彼此的取向。
可以使用以下哈密顿量来描述一维Ising模型：$$H = -J\\sum_{i=1}^{N}s_is_{i+1}$$其中，J为相邻自旋之间的交换耦合常数，s i为第i个自旋的取向。
Heisenberg模型Heisenberg模型是描述自旋间相互作用的模型，与Ising模型不同的是，Heisenberg模型中的自旋可以沿任意方向取向。
常见的一维Heisenberg模型可以使用以下哈密顿量来描述：$$H = \\sum_{i=1}^{N} J\\mathbf{S}_i \\cdot \\mathbf{S}_{i+1}$$其中，$\\mathbf{S}_i$为第i个自旋的自旋算符，J为自旋间的交换耦合常数。
玻色-爱因斯坦凝聚模型玻色-爱因斯坦凝聚是一种量子多体系统的现象，它描述了玻色子统计的粒子在低温下向基态排列的行为。
玻色-爱因斯坦凝聚模型可以使用用薛定谔方程来描述：$$i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial t}\\Psi(\\mathbf{r},t) = -\\frac{\\hbar^2}{2m}\ abla^2\\Psi(\\mathbf{r},t) +V(\\mathbf{r})\\Psi(\\mathbf{r},t) +g|\\Psi(\\mathbf{r},t)|^2\\Psi(\\mathbf{r},t)$$其中，$\\Psi(\\mathbf{r},t)$是波函数，m是粒子的质量，$V(\\mathbf{r})$是外势场，g是粒子之间的相互作用常数。
ising model解释铁磁顺磁相变
ising model解释铁磁顺磁相变铁磁顺磁相变是材料在外加磁场的作用下，从铁磁相态转变为顺磁相态的现象。
铁磁物质和顺磁物质是指在外加磁场下，材料的磁化强度方向与外加磁场基本一致（顺磁）或者相反（铁磁）。
铁磁顺磁相变的解释可以使用经典的经典ising模型。
该模型是由Ernst Ising在1920s年提出的，是量子力学中的一个重要模型，在描述铁磁性和顺磁性方面有广泛的应用。
在ising模型中，我们将材料分割成一个个离散的点，每个点代表一个自旋，自旋只能取两个值：向上（+1）或者向下（-1）。
这里的自旋可以看作是代表材料中的一个基本单位，例如原子的磁矩。
在该模型中，自旋与自旋之间存在相互作用，这个相互作用可以使得自旋的方向具有倾向性。
具体可以通过哈密顿量来描述该模型：H = -J∑(si * sj) - µB H * ∑si其中，第一项表示自旋之间的相互作用，J是相互作用常数；第二项表示自旋与外加磁场之间的相互作用，μB是玻尔磁子，H是外加磁场强度，si表示第i个自旋的磁化强度。
在低温下，自旋更有可能与相邻的自旋保持相同的方向，这是由相互作用J所导致的。
而在高温下，热涨落使得自旋更随机地改变方向。
这个随温度变化的相变可以通过参数β=1/(kT)来描述，其中k是玻尔兹曼常数，T是温度。
β越小，温度越高。
为了研究铁磁顺磁相变，我们可以采用Monte Carlo模拟的方法。
在这个模拟过程中，我们需要考虑整个系统的能量以及熵，通过随机改变自旋的方式，计算系统的平衡态。
具体的Monte Carlo模拟步骤如下：1.初始化自旋的状态，可以随机生成。
2.选择一个自旋，计算其在当前状态下的能量。
3.随机改变该自旋的方向，计算新状态下的能量。
4.根据Metropolis准则，判断是否接受该变化。
如果能量降低，接受该变化；如果能量增加，有一定概率接受该变化，概率由Boltzmann因子e^(-ΔE/kT)决定，其中ΔE是能量差。
一维Ising模型
物理学院 14级本科 李佳明
5.1 History and Formulation
• Ising模型：
• 对海森堡模型的简化。 • 考虑电子自旋只有两个方向。 • 最初是为了解释铁磁物质的相变。
History
• 1925：Ising，一维Ising模型的确切解——无相变。 • 1930s：Bragg (1934) and Williams (1935)，二元金属 • 1936：Peierls，二维Ising模型中，铁磁相变存在。 • 1941：Kramers and Wannier，二维Ising模型的临界点。 • 1944：Onsager得到无外场时的确切解（配分函数）。这是第一个仅仅通 过配分函数来说明相变存在的重要的证明。
开链式：
周期一维晶格链：
通过矩阵方法求和：
考虑N趋于无穷时的热力学极限：
当B=0，等式右边化为 log(2 cosh v)，与之前的结果完全相同。
当N有限时：
此结果与之前开链式一维晶格的计算结果明显不 同。 在热力学极限（N非常大）中，仅最大的特征值 （λ 1）有贡献。
Ising模型
• 于是，可写出配分函数（正则系综）：
5.2 Lattice Gas
• V：格点数（体积） • N：粒子数 • 每个格点最多容纳一个粒子； • 只计算相邻格点上粒子的相互作用能。
• 对于tp，存在约束：
• 配分函数：imensional Model and Transfer Matrix
ising model物理
ising model物理
Ising模型？听起来好神秘！
今天上科学课，老师提到了个叫“Ising模型”的东西。
我听
着听着，感觉自己好像进了另一个世界。
这个模型是不是跟磁铁有
关系？老师说得太快，我有点没跟上。
回家路上，我一直在琢磨。
Ising模型，是个啥玩意儿？我问
妈妈，妈妈笑着说，“这个模型就像是个魔法，能帮我们理解物质
怎么从乱七八糟变得有秩序。
”哦，原来这么神奇！
晚上，我躺在床上，想着想着就睡着了。
梦里，我变成了一个
小磁铁，跟着一群磁铁朋友跳舞。
有时候我们乱七八糟地晃来晃去，有时候又整整齐齐地站成一排。
哈哈，原来Ising模型就是我们的
舞蹈教练啊！
第二天，我赶紧跟老师分享了我的梦。
老师听了，笑得眼睛都
成月牙儿了。
她说，“你想象力真丰富！其实，Ising模型不只是
跟磁铁跳舞有关，它还能解释很多自然现象，比如水结冰、人们排
队什么的。
”哇，这么厉害！
从那以后，我看到磁铁或者排队的人，都会想起那个有趣的梦。
Ising模型真是个神奇的魔法，让我对这个世界充满了好奇和想象！。
伊辛模型资料
伊辛模型简介伊辛模型（Ising model）是一种理想磁体的模型，被提出来描述固体中磁性原子的行为。
这个模型虽然简单，但却能够阐明许多磁性材料中的重要现象。
在该模型中，每个原子只有两种可能的自旋状态，即向上或向下。
原子之间通过相邻原子之间的相互作用而相互影响。
历史1936年，物理学家恩斯特·伊辛（Ernst Ising）建立起这个模型，以研究铁磁体的基本性质。
在原始形式的伊辛模型中，只考虑相邻自旋之间的相互作用，这样使得问题更容易求解。
基本假设在伊辛模型中，我们给予每个自旋一个参数，可以是+1（代表向上）或-1（代表向下）。
自旋之间的相互作用用参数J描述，表征相邻自旋之间的相互作用强度。
另外，温度参数T也是一个重要的因素，用于描述外界环境对磁体的影响。
模型描述伊辛模型可以表示为以下的哈密顿量：H = -J * Σs_i * s_j其中，J定义了相邻自旋之间的耦合强度，s_i和s_j分别是第i和第j个自旋的取值。
在伊辛模型中，我们通常采用蒙特卡罗模拟的方法来对系统进行计算，模拟系统在不同温度和参数下的自旋状态。
通过统计大量的自旋状态，我们能够获得磁体的平均磁矩、比热容等物理量。
应用伊辛模型虽然简单，却被广泛应用于各种磁性系统的研究。
从铁磁体到自旋玻璃等复杂的系统，伊辛模型都能提供重要的参考。
通过调节参数J和温度T，我们能够模拟出不同体系下的磁性行为，为材料科学和凝聚态物理学的研究提供了重要的参考。
总结伊辛模型作为一种理想磁体模型，为我们理解磁性材料中的重要现象提供了一个简单而有力的工具。
通过建立模型、模拟计算，我们能够更好地理解材料的性质，并为新材料的设计提供指导。
这个简单却丰富的模型，一直在吸引着物理学家和材料科学家的关注，带动着磁性材料研究的进步。
introduction on ising model -回复
introduction on ising model -回复是的，“Ising模型”是一个用于研究统计物理系统中自旋的理论模型。
这个模型最早由德国物理学家Ernst Ising在1925年提出，在描述铁磁性材料中的自旋相互作用时具有重要的应用。
Ising模型是一个简化的模型，它使我们能够更好地理解和预测铁磁性材料中自旋的行为。
第一部分：自旋的概念和重要性（300-400字）在介绍Ising模型之前，我们先来了解一下什么是自旋。
自旋是一种微观粒子的固有属性，它类似于物体的旋转，但与传统的旋转不同，自旋是量子性质，它描述了粒子的角动量和磁矩取向。
自旋在统计物理学中是一个十分重要的概念，因为它对于理解和解释许多物理现象具有关键作用。
铁磁性材料就是一个很好的例子。
在这些材料中，自旋之间存在作用力，导致了宏观上我们所观察到的磁性行为。
因此，研究自旋的相互作用和行为对于我们理解铁磁性材料的性质至关重要。
第二部分：Ising模型的基本原理（600-800字）Ising模型是描述自旋相互作用的一种理论模型。
它假设了一个离散的空间，其中包含了N个自旋，每个自旋只能取向上（+1）或向下（-1）。
这个模型可以用一个N位的序列来表示，比如“+1 -1 +1 -1 +1....”。
Ising模型基于以下两个假设：1. 自旋之间的相互作用仅影响相邻自旋。
2. 自旋在一个磁场中感受到一个外部场的影响。
Ising模型的Hamiltonian（能量函数）可以写成以下形式：H = -JΣ(si * sj) - μBΣhi * si其中J是自旋之间的相互作用常数，si和sj表示第i个和第j个自旋的取向，μB是玻尔磁子，hi表示第i个自旋在外加磁场中的大小。
通过求解这个Hamiltonian，我们可以得到系统的能量和自旋的平均取向。
第三部分：Ising模型的应用（500-700字）Ising模型在统计物理和材料科学中具有广泛的应用。
二维ising模型蒙特卡洛算法
二维ising模型蒙特卡洛算法
以下是二维 Ising 模型的蒙特卡洛算法的详细步骤：
1.初始化：生成一个二维自旋阵列，可以随机初始化每个自
旋的取值为+1或-1。
2.定义参数：设置模拟步数（或称为Monte Carlo 步数，MC
steps）、温度（T）、外部磁场（H）和相互作用强度（J）。
3.进行蒙特卡洛模拟循环：
o对于每个 MC 步：
▪对每个自旋位置（i，j）进行以下操作：
▪随机选择一个自旋（i，j）和其相邻的自
旋。
▪计算自旋翻转后的能量差ΔE。
▪如果ΔE 小于等于0，接受翻转，将自旋
翻转。
▪如果ΔE 大于0，根据Metropolis 准则以
概率 exp(-ΔE / T) 决定是否接受翻转。
o每个 MC 步结束后，记录自旋阵列的属性（例如平均磁化、能量等）。
o可以选择在一些 MC 步之后检查系统是否达到平衡状态。
如果需要，可以进行更多的 MC 步。
4.分析结果：使用模拟的自旋阵列进行统计和计算，例如计
算平均自旋、能量、磁化、磁化率、热容等。
这是基本的二维Ising 模型的蒙特卡洛算法步骤。
在实施算法时，还可以根据需要考虑边界条件（如周期性边界条件）、优化算法以提高效率等其他因素。
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Ising模型简述Lenz曾向他的学生Ising提出一个研究铁磁性的简单模型，而Ising于1925年发表了他对此模型求解的结果，所以这个模型被称为Ising模型。
当时Ising 只做出了该模型一维下的严格解，在一维情况下并没有自发磁化的发生。
另外他还由此错误地推断出在更高维的情况下，这个模型也不存在自发磁化。
这个推断在后来被证明是错误的。
1936年Peierls论证了二维或三维的Ising模型存在着自发磁化，虽然当时他并没有能够给出模型的严格解。
1944年，当Onsager给出了二维Ising模型的严格解之后，Ising模型开始引起人们广泛的关注。
这次求解是相变理论发展上的一个重要进展，它第一次清楚地证明了从没有奇异性的哈密顿量体系出发，在热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为，而Onsager本人也因此获得了诺贝尔奖。
在此之后很多人又相继发表Ising模型的各种不同解法，Baxter甚至有篇论文叫‘Ising模型的第399种解法’。
但至今没有被学术界公认的三维Ising模型精确解。
甚至有人发表论文证明无法解出三维Ising模型的精确解，因为三维Ising模型存在拓扑学的结构问题。
人们通常用分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论、蒙特-卡罗模拟等近似计算三维Ising模型的居里温度和临界指数，而其中Wilson于1971年发展的重整化群理论能以较高精度计算三维Ising模型的近似结果[18-20]。
我国科学家张志东提出三维“Ising模型”精确解猜想。
张志东的出发点就是拓扑学中的一个常识：低维空间的扭曲和纽结可以被高一维空间的旋转打开。
通过引入第四卷曲起来的维与本征矢量上的权重这两个猜想作为处理三维Ising模型拓扑学问题的边界条件，并应用这些猜想用自旋分析法评估了三维简单正交晶格Ising模型的配分函数。
当系统的对称性越高，居里温度也越高。
他猜测三维系统具有最高对称性的简单立方Ising模型具有最高的居里温度黄金解，在二维系统具有最高对称性的正方Ising模型具有最高的居里温度白银解。
获得的结果具有一定的对称性和美学价值，并可部分返回到二维和一维的结果。
当然，推定的精确解正确性取决于猜想的正确性，而且其与学术界通常接受的评价标准尚不完全吻合，有待于对相关的物理本质作进一步探讨。
因此，这一工作目前还只是停留在猜想阶段。
今天的Ising模型根本不再是Ising博士论文中的模样。
每年差不多有6000篇左右的论文研究这一模型。
除了铁磁性之外，该模型还应用于很多方面，如合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、玻璃物质的性质，甚至于神经网络蛋白质折叠、生物膜场论甚至社会现象等广泛的领域。
通过上述介绍，我们知道三维Ising模型尚未得到严格解，而一维和二维情况下的解法确是多种多样的。
在这里，我们将给出Ising模型的严格解，采用的是1941年Kramers和Wannier提出的转移矩阵方法(Transfer Matrix Method)。
然后简要地说明二维Ising模型严格解的主要结果，并且同平均场理论所得的结果进行对比。
图1.2 一维Ising模型示意图。
对于如图1.2所示的Ising 模型，自旋只能取向上或向下两个分量，它可以看作是Heisenberg 模型的一种简化。
当只考虑最近邻的交换相互作用，并认为这种相互作用在不同磁矩间是相同的，用常数J 表示。
和Heisenberg 模型相同，当J >0时，代表铁磁的交换相互作用，它使得近邻自旋有着同方向排列的趋向；当J <0时，代表反铁磁的交换相互作用，它使得近邻自旋有着反方向排列的趋向。
考虑到外加磁场的影响，系统的哈密顿量可以写为：∑∑--=i i B j i j i s h s s J H μ,，(1-14)其中s i 表示位于格点i 处的自旋，其取值可为+1和-1，分别代表自旋向上向下，所以自旋s i 可以不再作为算符处理，所以Ising 模型可以看作是一个准经典的模型。
J 是交换相互作用常数，这里我们采用J >0代表铁磁相互作用，μB 为Bohr 磁矩，h 是外磁场。
对于一维情况，每个自旋只有两个近邻。
现在采用周期性边界条件，即s N +1=s 1，N 为晶格中的自旋数目。
现将一维晶格弯成一个环，当N →∞时，边界效应将不会影响到体系的热力学性质。
根据如上的条件，可将哈密顿量(1-14)写为：()∑∑+++--=i i i B i i i s s h s s J H 112μ， (1-15)其相应的配分函数为：()()∑∑∏±=±==++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋅⋅⋅=11111121exp ,s s N i i i B i i B N s s h s Js T k h T Q μ。
(1-16)在这里我们引入矩阵P ，其矩阵元定义为：()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≡+++11121exp i i B i i B i i s s hs Js T k s P s μ，(1-17) 因为s i 与s i +1都能取±1两个值，所以P 是2⨯2的矩阵：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=+=-=-=+=+=+==---+++++T k h J T k J T k J Tk h J i i i i i i i i B B B B B B e e e e s P s s P s s P s s P s P μμ111111111111。
(1-18) 于是配分函数(1-16)可以重新写成：()()N s Ns s N N N P Tr s P s s P s s P s s P s s P s h T Q N ∑∑∑±=±=±=-==⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1111121322111,。
(1-19) 将P 矩阵对角化得，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-+λλ00P ，(1-20) λ+和λ-即为矩阵P 的本征值，由下面的久期方程决定,()()0=-----+λλμμT k h J T k J Tk J T k h J B B B B B B e e e e ，(1-21) 其解为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-±T k J e T k h T k h e B T kJ B B B B T k J B B 2sinh 2cosh cosh 2μμλ，(1-22)要注意的一点就是λ+>λ-。
现在将等式(1-20)代入(1-19)，配分函数可以表达为：()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+-+-+N N N N h T Q λλλλλ1,， (1-23)所以，当N →∞时，我们得到： ()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=≈-+∞→T k J e T k h T k h T k J h T Q N B T k J B B B B B N B 2sinh 2cosh cosh ln ln ,ln 1lim2μμλ， (1-24)即配分函数有P 矩阵较大的本征值决定。
体系的自由能和总极化强度分别为：()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-T k J e T k h T k h T k J N h T Q T k N h T F B T k J B B B B B B B 2sinh 2cosh cosh ,,2μμ， (1-25) ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=-T k h e T k h h N F N M B B T k J B B T B B B μμμμ24sinh sinh 1， (1-26)其它的热力学函数也可同样由自由能求出。
如图1.3所示，在计算中我们选取交换相互作用常数J =1k B K ，对于一切T >0都有M (T , 0)=0，也就是说Ising 模型在一维的情况下不存在自发磁化，不会发生顺磁-铁磁转变。
从物理上看，任何温度下自旋的平均取向由两个对抗的因素相互竞争决定，即能量趋向最小而熵趋向最大，使得自由能达到最小值。
在一维情况下，由于近邻数低，使得自旋排列在同方向的倾向不足以对抗使熵极大的倾向，结果在任何有限温度下都不能形成自发磁化。
图1.3一维Ising模型在不同温度下，磁化强度M随外场h的变化曲线。
图1.4 一维Ising模型在有限温度下长程序被破坏的示意图。
如同上文所说，当自旋排列在同方向的倾向不足以对抗使熵极大的倾向时，自旋往往会在一个较小的尺度内保持着同方向的排列，形成所谓短程序(Short Range Order)，而在较大的尺度内失去这种有序的状态，也就是破坏了所谓长程序(Long Range Order)。
当我们使用蒙特卡洛方法(Monte Carlo Method)来计算一维Ising模型，常常得到如图1.4所示的结果，在某个小范围内，如从格点1到格点4(或者从格点5到格点10)体系可以看作存在‘自发磁化’，而在整体上看(从格点1到格点N)向上的自旋和向下的自旋数目在统计上看是相等的。
对于二维Ising 模型，我们考虑正方晶格，每个自旋有4个最近邻。
在零磁场下，系统的自由能可以表达为：()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≈-=⎰θωωγπβββ0212sinh 2ln 2110,ln 10,d J T Q NN T F 。
(1-27) 其中cosh γ(ω)=cosh2φcosh2θ-cosh ωsinh2φsinh2θ，而φ=βJ ，θ=tan -1e -2βJ 。
系统内能则可以写为：()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+-=∂∂-=m K m J J F N T u 1212coth 10,πβββ， (1-28)这里的K 1(m)是第一类椭圆积分，()⎰-=20221sin 1πφφm d m K ， (1-29)其中m =sinh2βJ /cosh 22βJ ，m '=2tanh 22βJ -1。
而临界点由下式确定：J T k C B 269.2=。
(1-30) 所得热容量为：()const T T Nk T C C B B +--≈1ln 4945.00,， (1-31)这样的热容量在临界点处具有对数发散的奇异性。
计算自发磁化的时候，我们采用杨振宁的方法。
他计算了在弱磁场h 下，系统的自由能，最后令h →0，得到磁化强度的表达式： ()()[]C CB T T T T J N T M ≤≥⎩⎨⎧-=-8142sinh 100,βμ。
(1-32)而对于平均场近似(Mean Field Approximation ，简称MFA)所得的磁化强度可以表达为：()T k h qJM M N h T M B B B μμ+==11tanh ,， (1-33)其中q 是最近邻自旋的数目，对于二维正方晶格来说q =4。