第6章弯曲变形作业参考解答
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学习题解答(弯曲变形)
Pl 2
梁的挠曲线方程和转角方程是
D1 = 0
D2
=
−
1 24
Pl 3
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 2EEIvI2'v1'==P2P2xx2212−−PPlxlx2 1+
3 16
Pl
2
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 2EEIvI2v1==P6P6xx2313−−P2Pl2lxx2212+
3 16
Pl 2 x2
−
1 24
Pl 3
(6) 最大挠度和最大转角发生在自由端 令x2=l：
⋅a
=
−
qa4 3EI
上海理工大学 力学教研室
7
θB
= θ B(1)
+ θB(2)
+ θ B(3)
=
−
qa3 4EI
fB
=
f B (1)
+
fB(2)
+
f B ( 3)
= − 5qa4 24EI
7.10. 桥式起重机的最大载荷为 P=20 kN。起重机大梁为 32a 工字钢，E=210 GPa，l=8.7 m。 规定[f]=l/500，试校核大梁刚度。
⎪ ⎪⎩
M
2
(
x2
)
=
−
q
(l
− x2 2
∈
[
l 2
,
l
]
(2) 挠曲线近似微分方程
⎧ ⎪⎪
EIv1"
=
M1( x1)
=
− 3ql 2 8
+
ql 2
x1
⎨
⎪ ⎪⎩
EIv2"
=
M2(x2 )
材料力学弯曲变形答案
第一章 绪论一、是非判断题1.1 材料力学的研究方法与理论力学的研究方法完全相同。
( ) 1.2 内力只作用在杆件截面的形心处。
( ) 1.3 杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和。
( ) 1.4 确定截面内力的截面法，适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况。
( ) 1.5 根据各向同性假设，可认为材料的弹性常数在各方向都相同。
( ) 1.6 根据均匀性假设，可认为构件的弹性常数在各点处都相同。
( ) 1.7 同一截面上正应力ζ与切应力η必相互垂直。
( ) 1.8 同一截面上各点的正应力ζ必定大小相等，方向相同。
( ) 1.9 同一截面上各点的切应力η必相互平行。
( ) 1.10 应变分为正应变ε和切应变γ。
( ) 1.11 应变为无量纲量。
( ) 1.12 若物体各部分均无变形，则物体内各点的应变均为零。
( ) 1.13 若物体内各点的应变均为零，则物体无位移。
( ) 1.14 平衡状态弹性体的任意部分的内力都与外力保持平衡。
( )1.15 题1.15图所示结构中，AD 杆发生的变形为弯曲与压缩的组合变形。
( )1.16 题1.16图所示结构中，AB 杆将发生弯曲与压缩的组合变形。
( )二、填空题1.1 材料力学主要研究 受力后发生的 ，以及由此产生的 。
1.2 拉伸或压缩的受力特征是 ，变形特征是 。
1.3 剪切的受力特征是 ，变形特征是 。
1.4 扭转的受力特征是 ，变形特征是 。
B题1.15图题1.16图1.5 弯曲的受力特征是 ，变形特征是 。
1.6 组合受力与变形是指 。
1.7 构件的承载能力包括 ， 和 三个方面。
1.8 所谓 ，是指材料或构件抵抗破坏的能力。
所谓 ，是指构件抵抗变形的能力。
所谓 ，是指材料或构件保持其原有平衡形式的能力。
1.9 根据固体材料的性能作如下三个基本假设 ， ， 。
工程力学六 弯曲变形解析
当x1 x2 a时,
w1 w2 (1 2 )
w1 w2
EIw2
Pb l
x2
P( x2
a)
CB段：
EIw2
EI2
Pb l
x22 2
P
( x2
a)2 2
C2
EIw2
Pb l
x23 6
P
( x2
a)3 6
C2 x2
D2
由连续性条件，可求得
C1 C2
D1 D2
由边界条件，可求得
C1
C2
M pa
P PL
2
PL 2
x
P
qa2
2
q
M
qa
x qa 2 2
x
pa
§6.2 挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程的导出
力学公式 数学公式
1 M z (x)
EIz
d 2w
1
dx2
[1 ( dw)2 ]3/2
dx
纯弯曲梁变形后中性层的曲率 公式，对于横力弯曲（l>5h） 可近似使用。EIZ称为梁的抗 弯刚度。
最大转角和最大挠度分别为：
得：
ql 3 C ,
D0
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (6lx2 4x3 l 3 )
24 EI
w qx (2lx2 x3 l3) 24EI
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w
x l 2
5ql 4 384EI
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方
确定积分常数： （1）边界条件
固定端：w = 0,θ = 0
材料力学第06章(弯曲变形)
M －
ql 2
2
x
静定基的另一种取法：
q B A l q
A
B
变形协调方程：
A q M 0
MA
l
C q
A
[例10] 结构如图，求BC 杆拉力。 变形协调方程： 解：
EA
L1 B
wB L
ΔL
∵
L q
EI
B´
FN
wB wq wFN
wB
FN L1 L EA
B
A
FN L3 qL4 8 EI 3EI
[例4] 用逐段刚化法求B点挠度。 l A C a F B
wB w1 w2
a C F B w1
=
l A
刚化AC段
a C
F B w1
等价
+
l
a
F
B
F 等价
A C
M=Fa
A
C
C
w2
刚化BC 段
w2
l A C
a
F B
3 Fa 解： w1 3EI
Ml w2 C a a 3EI
及最大转角。 解： （1）建立坐标系并写出弯矩方程 A x l
w
F
B x
M ( x) F (l x) Fl Fx
（2）写出微分方程并积分
（3）应用位移边界条件求积分常数 当x=0时，w=0， θ=w´=0
EIw M ( x) Fl Fx
Fx C EI w Flx 1 2
A
§6–5 简单超静定梁 q A
B
l
静定梁
q B A l 超静定梁
一次静不定
A
材料力学(刘鸿文)第六章-弯曲变形)
B3
(ql2 ) l 3EI
ql3 3EI
,
q
C1
ql
C2
C3
B1
B2
ql2
B3
3、变形叠加
B B1 B2 B3
ql3 24 EI
ql3 16 EI
ql3 3EI
11ql3 48 EI
C C1 C2 C3 5ql4 (ql)l3 3ql4 11ql 4 384 EI 48EI 48EI 384 EI
根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确 定的挠度和转角；
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
A
C
M B
边界条件 连续性条件
a
L
x0: 0 0
xal 0
x a : C左 C右
例1悬臂梁受力如图所示。求 A 和 A 。
取参考坐标系
ω
q
1、列写弯矩方程
A
M (x) 1 qx2 2
A
a
C
B
EA
光滑连续性条件
L
x a:
C 左
C
右
C左 C右
讨论：挠曲线分段
（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
A
C
M B
a
L
讨论：挠曲线分段
（4）凡分段点处应列出连续条件；
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6-2 挠曲线的微分方程 §6-3 用积分法求弯曲变形 §6-4 用叠加法求弯曲变形
§6-6 提高梁刚度的措施
§6-1 工程中的弯曲变形问题 一、为何要研究弯曲变形
材料力学简明教程(景荣春)课后答案第六章
( ) wA
= − q0l 4 30EI
↓
，θB
= q0l3 24EI
（顺）
讨论：请读者按右手坐标系求 wA ，θB 并与以上解答比较。
(c)
(c1)
解 图(c1)
( ) ∑ M B = 0 ， FC
= − Me l
↓
CA 段
M
=
−
Me l
x1
⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
<
l 2
⎟⎞ ⎠
AB 段
M
=
−
Me l
l 2
≤
x2
≤
l ⎟⎞ ⎠
Ew1′′
=
3 8
qlx1
−
1 2
qx12
EIw1′
=
3 16
qlx12
−
1 6
qx13
+
C1
EIw1
=
1 16
qlx13
−
1 24
qx14
+
C1 x1
+
D1
EIw′2′
=
3 8
qlx2
−
ql 2
⎜⎛ ⎝
x2
−
l ⎟⎞ 4⎠
EIw′2
=
3 16
qlx22
−
ql 4
⎜⎛ ⎝
x2
24
EIw′(l) = 0 ，− q l 3 + 3Al 2 + 2Bl = 0
6
解式（a），（b）得
A = ql ， B = − ql 2
12
24
即挠曲线方程为
EIw = − q x4 + ql x3 − ql 2 x2 24 12 24
第六章弯曲变形分析
第六章 弯曲变形分析梁是机械与工程结构中最常见的构件。
本章内容包括梁的内力、平面弯曲中横截面上的正应力和切应力分布规律，以及梁的变形计算。
6.1 梁的内力● 梁的概念当杆件受到矢量方向垂直于轴线的外力或外力偶作用时，其轴线将由直线变为曲线，如图6–1(a)。
以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲，凡是以弯曲变形为主的杆件，工程上称为梁，如车辆的轮轴、房屋的梁及桥梁等。
在分析计算中，通常用梁的轴线代表梁，如图6–1(b)。
在工程实际中，大多数梁都具有一个纵向对称面；而外力也作用在该对称面内。
在这种情况下，梁的变形对称于纵向对称面，且变形后的轴线也在对称图6–1 梁 图6–2 对称弯曲图6–3 梁的约束 图6–4 三类静定梁面内，即所谓的对称弯曲，如图6–2。
它是弯曲问题中最基本、最常见的情况。
本章只讨论梁的对称弯曲。
图6–3表示了梁的三种常见约束形式及相应的约束力：可动铰支座(图6–3(a))，固定铰支座(图6–3(b))和(平面)固定端约束(图6–3(c))。
在以上三种约束方式下，有三种常见的梁形式，如图6–4所示。
图6–4(a)为简支梁，两端分别为固定铰支座和活动铰支座；图6–4(b)为悬臂梁，一端固定端约束，一端自由；图6–4(b)为外伸梁，它是具有一个或两个外伸部分的简支梁。
这三种梁都是静定梁。
作用在梁上的外载荷，常见的有集中力偶M (图6–5(a))、分布载荷q (图6–5(b))和集中力F (图6–5(c))。
在实际问题中，q 为常数的均布载荷较为常见。
● 梁的剪力与弯矩在4.2中已经介绍了求杆件内力的通用方法，即截面法。
具体到梁，其内力分量为剪力和弯矩，规定当剪力相对于横截面的转向为顺时针为正，使杆件发生上凹下凸的弯矩为正，如图4–5(b)和(c)。
例6–1：如图6–6所示悬臂梁，受均布载荷q ，在B 点处受矩为2qa M =的力偶作用，试绘梁的剪力图与弯矩图。
解：设固定端的约束力和约束力偶为C R 和C M ，则由平衡方程00=-=∑qa R F C y ，qa R C =05.102=--⋅=∑C C M qa qa a m ，221qa M C = 以杆件左端为坐标原点，以B 为分界面，将梁分为AB 和BC 两段。
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，故qB
= qB1
+qD
=
-
23ql 3 12EI
6-7 图示悬臂梁，容许应力［σ］=160MPa，容许挠度［w］=l/400，截面为两个槽钢组成， 试选择槽钢的型号。设 E=200GPa。 解：（1）根据强度条件选择
槽钢横截面中性轴为对称轴
[ ] s max =
M max WZ
£
s
悬臂梁弯矩图如图
(2) 挠曲线见附图。
A
B
（d）（1）边界条件和连续光滑条件
x
=
0,
w1
=
0
；
x
=
2l,
w2
=
Dl
=
Fl 2EA
x = l,q1 = q2; x = l, w1 = w2
Δl
（2）梁的挠曲线的大致形状如图
6-4 用叠加法求下列各梁指定截面上的转角和挠度。
解：（a）查表得 F 单独作用下
wD (F )
M z max
=
9M e 17l
´l
=
9M e 17
6-13 图示两梁相互垂直，并在简支梁中点接触。设两梁材料相同，AB 梁的惯性矩为 I1，CD 梁的惯性矩为 I2，试求 AB 梁中点的挠度 wC。 解：超静定问题，设 CD 梁与 AB 梁之间相互作用力为 F′,由于 CD 梁 C 端挠度与 AB 梁中点
EIw1¢¢(x) = 0 ， (0 £ x £ a) EIw2¢¢(x) = F (x - a) ， (a £ x £ 2a)
（4）积分一次
EIq1(x) = C1 ， (0 £ x £ a)
EIq2
(x)
=
1 2
F
(x
-
a)2
+
C2
，
(a
£
x
£
2a)
（5）再积分一次
EIw1(x) = C1x + D1 ， (0 £ x £ a)
10
WZ
³ 10 ´103 160 ´106
=
62.5cm3
查表，2 个 10 号槽钢截面
WZ = 39.7 ´ 2 = 79.4cm3 满足要求。
M /kN·m
（2）刚度条件
2
自由端挠度为最大挠度，则由叠加法
wmax
=
-
2 ´103 ´ 42 2EI
+
( 4 ´103 ´ 23 3EI
+
4 ´103 ´ 22 2EI
，
(0
£
x
£
a)
EIq2
(x)
=
-
1 2
qax2
+ 1.5qa 2
x
+
1 3
´
0.5q( x
-
a)3
+
C2
，
(a
£
x
£
2a)
（5）再积分一次
EIw1 ( x)
=
-
1 6
qax3
+
1 2
´
0.5qa2
x2
+
C1x
+
D1
，
(0
£
x
£
a)
EIw2
(
x)
=
-
1 6
qax3
+
1 2
´1.5qa2
x2
+
1 12
简支梁上查表
wC
=
wC (ql) + wC (ql2 )
=
ql (2l )3 48EI
+
ql2 (2l)2 16EI
= 5ql 4 12EI
3
qD
= qD (ql) +qD (ql2 )
=
-
ql(2l)2 16EI
-
ql2 (2l) 3EI
=
- 11ql3 12EI
悬臂梁上查表
q B1
=
-
ql 2 ×l EI
挠度相等，即 wC (CD) = wC( AB) 。
(F - F ¢)( l )3
I1
3EI2
48EI1
2I1 + I2
故
2
wC
=
F ¢l3 48EI1
=
Fl 3 24(2I1 +
I2)E
1
5
(b) (1) 边界及连续性条件
w1 |x=0 = w1 |x=2l = w2 |x=2l = 0 ， w1¢ |x=2l = w2¢ |x=2l 。
(2) 挠曲线见附图。
A
B
( c) (1) 边界及连续性条件
w1 |x=l = w2 |x=l = w2 |x=2l = w3 |x=2l = 0 , w1¢ |x=l = w2¢ |x=l ， w2¢ |x=2l = w3¢ |x=2l 。
第 6 章作业参考解答
6-1 用积分法求图中各梁指定截面处的转角和挠度。设 EI 已知。 解:(b)（1）支座反力计算
FAy = qa ， M A = -0.5qa2
MA （2）列弯矩方程
M1(x) = qax - 0.5qa2 ， (0 £ x £ a)
FAy
M 2 (x) = qax -1.5qa2 - 0.5q(x - a)2 ， (a £ x £ 2a)
EIw2 (x)
=
1 6
F
(x
-
a)3
+
C2
x
+
D2
，
(a
£
x
£
2a)
（6）边界条件、连续光滑条件
x = 0, w1 = 0; x = 2a, w2 = 0; x = a,q1 = q2; x = a, w1 = w2
由 x = 0, w1 = 0 得 D1 = 0 ； x = a,q1 = q2 得 C1 = C2
´ 2)
+
( 2´103 ´ 24 8EI
+
2 ´103 ´ 23 6EI
´ 2)
=
20 ´103 EI
从而由刚度条件 wmax £ [w] = l / 400 = 0.01m ，得
wmax
=
20 ´103 EI
£ 0.01， I
³
20 ´105 200 ´109
= 10-5 m4
= 1000cm4
（3）将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程
EIw1¢¢(x) = -qax + 0.5qa2 ， (0 £ x £ a) EIw2¢¢(x) = -qax +1.5qa2 + 0.5q(x - a)2 ， (a £ x £ 2a)
（4）积分一次
EIq1 ( x)
=
-
1 2
qax2
+
0.5qa 2 x
+
C1
´
0.5q(
x
-
a)4
+
C2
x
+
D2
，
(a
£
x
£
2a)
（6）边界条件、连续光滑条件
x = 0,q1 = 0; x = 0, w1 = 0; x = a,q1 = q2; x = a, w1 = w2
由 x = 0,q1 = 0 得 C1 = 0 ； x = 0, w1 = 0 得 D1 = 0
由 x = a,q1 = q2 得 C2 = -qa3 ； x = a, w1 = w2 得 D2 = 0.5qa4
Fl 3 6EI
B 点挠度为
F
wB
=
M el 2 2EI
+
M el 2 EI
-
F (2l)3 3EI
=
3M el 2 2EI
- 8Fl 3 3EI
变形协调条件 wC = wB ，得
Fl 3 = 3M el 2 - 8Fl 3 ，解得 F = 9M e 。
6EI 2EI 3EI
17l
AB 杆中最大弯矩为
（7）从而qB
= q2(x)
x
=2a
=
qa3 6EI
； wC
= w1(x)
x=
a
=
qa4 12EI
(c)（1）支座反力计算
FAy = 0 ， FB = F
（2）列弯矩方程
FAy
FB
M1(x) = 0 ， (0 £ x £ a)
M2 (x) = -F (x - a) ， (a £ x £ 2a)
1
（3）将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程
解：（a）（1）边界条件和连续光滑条件
x = 0,q1 = 0; x = 0, w1 = 0 x = l,q1 = q2; x = l, w1 = w2 。 x = 2l,q2 = q3; x = 2l, w2 = w3
2
（2）梁的挠曲线的大致形状如图（前后两段为直线，无弯矩；中间段为曲线，正弯矩， 下部受拉）
=
F (3l)3 3EI
，
wB (F )
=
F (3l)2 6EI
(3× 4l
- 3l)
Fl 单独作用下
wD (Fl)
=
Fl (3l )2 2EI
， wB (Fl)
=
Fl (4l ) 2 2EI
叠加得到
wD
=
27 Fl 3 2EI
， wB
=
43Fl 3 2EI
ql2
(c) 外伸梁变成简支梁加悬臂梁（结构变换、结构叠加）
由
x
=
a, w1
=
w2 得
D2