高三 基本不等式培优专题
2020年高中数学人教A版必修第一册 专项培优《 基本不等式》(含答案)
2020年高中数学人教A 版必修第一册 专项培优《 基本不等式》一、选择题1.不等式(x-2y)＋1x －2y≥2成立的条件为( )A.x ≥2y ，当且仅当x-2y=1时取等号B.x>2y ，当且仅当x-2y=1时取等号C.x ≤2y ，当且仅当x-2y=1时取等号D.x<2y ，当且仅当x-2y=1时取等号2.已知不等式(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.83.若2x ＋2y=1，则x ＋y 的取值范围是( )A.[0，2]B.[－2，0]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]4.设M=3x ＋3y 2，N=(3)x ＋y，P=3xy(x ，y ＞0，且x ≠y)，则M ，N ，P 大小关系为( )A.M ＜N ＜PB.N ＜P ＜MC.P ＜M ＜ND.P ＜N ＜M5.已知a ，b 都是正数，设M=a b ＋ba，N=a ＋b ，则( )A.M>NB.M<NC.M=ND.M ≥N6.将一根铁丝切割成三段，做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m7.点P(x ，y)是直线x ＋3y －2=0上的动点，则代数式3x ＋27y有( ) A.最大值8 B.最小值8 C.最小值6 D.最大值68.若x>4，则函数y=x ＋1x －4( )A.有最大值－6B.有最小值6C.有最大值－2D.有最小值29.已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2=4，那么ab( ) A.有最大值2，有最小值－2 B.有最大值2，但无最小值 C.有最小值2，但无最大值 D.有最大值2，有最小值010.已知0<x<1，则x(3-3x)取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.2311.已知a>0，b>0，2a ＋1b =16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则实数m 的最大值为( )A.8B.7C.6D.512.若实数x ，y 满足xy>0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y 的最大值为( )A ．2- 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4-2 2二、填空题13.已知点P(x ，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x ＋4y的最小值为________.14.已知x ≥52，则f(x)=x 2－4x ＋52x －4的最小值为________.15.若不等式x 2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________.16.若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6=xy ，则xy 的最小值是________.三、解答题17.已知a ，b 为正实数，且a ＋b=1，求1a ＋2b的最小值.18.已知x ≥52，求f(x)=x 2－4x ＋5x －2的最小值.19.已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＞0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac≥4.20.已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c>ab ＋bc ＋ca.21.围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元). (1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.22.已知a>0，b>0，a ＋b=1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.23.已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c=1，求证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.答案解析1.答案为：B.解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x-2y>0，即x>2y ，且等号成立时(x-2y)2=1，即x-2y=1，故选B.2.答案为：B ；解析：(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y =1＋ax y ＋y x ＋a ≥1＋2a ＋a=(1＋a)2.由(1＋a)2=9，解得a=4.3.答案为：D.解析：因为2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y=1，所以22x ＋y ≤1，所以2x ＋y≤14=2－2，所以x ＋y ≤－2，即(x ＋y)∈(－∞，－2].4.答案为：D.解析：由基本不等式可知3x ＋3y2≥3x 3y =(3)x ＋y =3x ＋y 2≥3xy，因为x ≠y ，所以等号不成立，故P ＜N ＜M.5.答案为：D.解析：∵a>0，b>0，∴b>0，a b ＋b ≥2a ，ba＋a ≥2 b.于是a b ＋b ＋b a ＋a ≥2a ＋2 b.故a b ＋ba ≥a ＋b ，即M ≥N.6.答案为：C.解析：设两直角边分别为a 、b ，直角三角形的框架的周长为l ， 则12ab=2，l=a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab=4＋22≈6.828(m).故选C.7.答案为：C.解析：∵点P(x ，y)在直线x ＋3y －2=0上，∴x ＋3y=2.∴3x＋27y=3x＋33y≥23x·33y=23x ＋3y=232=6.当且仅当x=3y ，即x=1，y=13时，等号成立.∴代数式3x ＋27y有最小值6.8.答案为：B.解析：∵x>4，∴x －4>0，∴y=x ＋1x －4=(x －4)＋1x －4＋4≥2＋4=6. 当且仅当x －4=1x －4，即x=5时，取“=”号.9.答案为： A.这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2=4，a 2＋b 2≥2|ab|，得|ab|≤2， 所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.10.答案为：B ；解析：由x(3-3x)=13×3x(3-3x)≤13×94=34，当且仅当3x=3-3x ，即x=12时等号成立．11.答案为：C.解析：由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b =1， 所以2a ＋b=6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b)=6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)=54，当且仅当2a b =2ba时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.12.答案为：D ； 解析： x x ＋y ＋2y x ＋2y =x x ＋y ＋x ＋2y －x x ＋2y =1＋x x ＋y -x x ＋2y =1＋xy (x ＋y )(x ＋2y )=1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2=1＋13＋x y ＋2y x，因为xy>0，所以x y >0，y x >0.由基本不等式可知x y ＋2yx≥22， 当且仅当x=2y 时等号成立，所以1＋13＋x y ＋2y x≤1＋13＋22=4-2 2.一、填空题13.答案为：42；解析：∵点P(x ，y)在直线AB 上，∴x ＋2y=3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y =22x ＋2y=4 2.14.答案为：1；解析：f(x)=x 2－4x ＋52x －4=x －22＋12x －2=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋1x －2≥1.当且仅当x －2=1x －2，即x=3时等号成立.15.答案为：(－∞，2]；解析：x 2－ax ＋1≥0，x ∈(0,1]恒成立⇔ax ≤x 2＋1，x ∈(0,1]恒成立⇔a ≤x ＋1x，x ∈(0,1]恒成立.∵x ∈(0,1]，x ＋1x≥2，∴a ≤2.16.答案为：18；解析：由x ＞0，y ＞0，2x ＋y ＋6=xy ，得xy ≥2 2xy ＋6(当且仅当2x=y 时，取“=”)，即(xy)2－2 2 xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0.又∵xy ＞0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18.二、解答题17.解：1a ＋2b =a ＋b a ＋2a ＋2b b =1＋b a ＋2a b ＋2≥3＋22baab =3＋2 2.当且仅当b a =2ab ，即a=2－1，b=2－2时取“=”.故1a ＋2b 的最小值是3＋2 2.18.解：因为x ≥52，所以x －2＞0.所以f(x)=x 2－4x ＋5x －2=（x －2）2＋1x －2=(x －2)＋1x －2≥2.当且仅当x －2=1x －2，即x=3时，等号成立.故当x=3时，f(x)min =2.19.证明：ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac =a b ＋c d ＋b a ＋d c =⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c d ＋d c ≥2＋2=4，当且仅当a=b 且c=d 时取“=”号，所以ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ≥4.20.证明：∵a>0，b>0，c>0，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ac. 于是2(a ＋b ＋c)≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca.∵a ，b ，c 为不全相等的正实数，等号不成立，∴a ＋b ＋c>ab ＋bc ＋ca.21.解：(1)设矩形的另一边长为a m ，则y=45x ＋180(x －2)＋180·2a=225x ＋360a －360.由已知ax=360，得a=360x ，所以y=225x ＋3602x－360(x ＞0).(2)因为x ＞0，所以225x ＋3602x≥2225×3602=10 800.所以y=225x ＋3602x －360≥10 440，当且仅当225x=3602x时，等号成立.即当x=24 m 时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元.22.证明：(1)1a ＋1b ＋1ab =1a ＋1b ＋a ＋b ab =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b .∵a ＋b=1，a>0，b>0， ∴1a ＋1b =a ＋b a ＋a ＋b b =2＋a b ＋b a ≥2＋2=4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a=b=12时等号成立). (2)法一 ∵a>0，b>0，a ＋b=1，∴1＋1a =1＋a ＋b a =2＋b a ，同理，1＋1b =2＋a b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b =⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b =5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4=9， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a=b=12时等号成立). 法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b =1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b =1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.23.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c=1， ∴1a －1=1－a a =b ＋c a ≥2bc a ， 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c .∵上述三个不等式两边均为正，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c =8， 当且仅当a=b=c=13时取等号．。
基本不等式培优专题(可编辑)
高中数学——基本不等式培优专题目录培优（1）常规配凑法培优（2）“1”的代换培优（3）换元法培优（4）和、积、平方和三量减元培优（5）轮换对称与万能k法培优（6）消元法（必要构造函数求异）*培优（7）不等式算两次培优（8）齐次化培优（9）待定与技巧性强的配凑培优（10）多元变量的不等式最值问题培优（11）不等式综合应用培优（1） 常规配凑法。
1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最大值为_____________2. 已知实数x,y 满足11622=+y x ，则22y x +的最大值为_____________3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)11)((≥++yx my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值是（ ）4.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -+++11的最小值是_____________5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且ab ba =+32，则ab 的最小值是_____________ 》6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则bb a 214+-的最小值是_____________7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11111=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ）A.23B.22]培优（2） “1”的代换8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则ba b 1+的最小值为_____________此时a=______9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+b a 则b a+2的最小值为（ ）A.24B.2810.（2017西湖区校级期末）已知实数x,y 满足x ﹥y ﹥0,且x+y=2，则3yx 4y -x 1++的最小值是_____________ <11.（18届金华十校高一下期末）记max ｛x,y,z ｝表示x,y,z 中的最大数，若a ﹥0,b ﹥0,则max ｛a,b,ba 31+｝ 的最小值为（ ）A.2B.312. 已知a,b 为正实数,且a+b=2，则21222-+++b b a a 的最小值为_____________13. 已知正实数a,b 满足1)2(221=+++aa b b b a ）（，则ab 的最大值为_____________（补充题）已知x,y ﹥0,则2222296y x xyy x xy +++的最大值是_____________!培优（3） 换元法14.（2019届超级全能生2月）已知正数x,y 满足x+y=1,则yx 21111+++的最小值是（ ） {A.2833 B.67 C.5223+ D.5615.（2019届模拟7）已知㏒2(a-2)+ ㏒2(b-1)≥1，则2a+b 取到最小值时ab=（ ）16.（2018温州期中）已知实数x,y 满足2x ﹥y ﹥0,且12121=++-yx y x ，则x+y 的最小值为（ ） A.5323+ B.5324+ C.5342+ D.5343+17.（2018杭州期末）若正数a,b 满足a+b=1,则bba a +++11的最大值是_____________—18.（2017湖州期末）若正实数x,y 满足2x+y=2,则221422+++x y y x 的最小值是_____________19.（2018河北区二模）若正数a,b 满足111=+b a ，则1911-+-b a 的最小值为（ ）20.（温岭市2016届高三5月高考模拟）已知实数x,y 满足xy-3=x+y,且x ﹥1，则y(x+8)的最小值是（ ）21. 若正数x,y 满足111=+y x ，则1914-+-y yx x 的最小值为_____________22.（2018届嘉兴期末）已知实数x,y 满足194=+y x ，则1132+++y x 的取值范围是_____________?23.（2018上海二模）若实数x,y 满足112244+++=+y x y x ，则S=y x 22+的取值范围是_____________培优（4） 和、积、平方和三量减元24.（2019届台州4月模拟）实数a,b 满足a+b=4,则ab 的最大值为_____________，则)1)(1(22++b a 的最小值是_____________25. (2019届镇海中学考前练习14)已知正数x,y 满足xy(x+y)=4,则xy 的最大值为_____________，2x+y 的最小值为_____________#26.（2018春台州期末）已知a,b ∈R ，a+b=2,则的最大值为（ ）B.56C.212+27.（2016宁2波期末14）若正数x,y 满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值是_____________28.（2018届诸暨市期中）已知实数x,y 满足214-=+xy x y y x ，则122-+y x xy的最大值为（ ） A.332 B.23 C.1332+ D. 213+29.（2018台州一模）非负实数x,y 满足324442222=+++y x xy y x ,则x+2y 的最小值为_____________，xy y x 2)2(7++的最大值是_____________！30.（2018春南京）若x,y ∈(0,+∞),,42=++xy yx 则172122+++xy y x xy 的取值范围是_____________31.（2017武进区模拟）已知正实数x,y 满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y 的最小值为_____________32.（2017宁波期末）若正实数a,b 满足ab b a 61)2(2+=+,则12++b a ab的最大值为_____________/培优（5） 轮换对称与万能k 法33.（2019嘉兴9月基础测试17）已知实数x,y 满足1422=++y xy x ，则x+2y 的最大值为_____________34.（2016暨阳联谊）已知正实数x,y 满足2x+y=2,则22y x x ++的最小值为_____________35. 已知正实数a,b 满足1922=+b a ，则ba ab+3的最大值为_____________36. 已知实数a,b,c 满足a+b+c=0, 1222=++c b a 则a 的最大值为_____________37.（2018届杭二高三下开学）若164922=++xy y x ，x ∈R ，y ∈R ，则9x+6y 的最大值为_____________、培优（6） 消元法（必要构造函数求异）38.（2016十二校联考13）若存在正实数y,使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_____________39.（2019届镇海中学5月模拟13）已知a,b ∈+R ，且a+2b=3,则ba 21+的最小值是_____________， 2221ba +的最小值是_____________40.（2019届金华一中5月模拟9）已知正实数a,b 满足a+b=1,则的最大值是（ ）B.21+C.1332+ D. 2223+<41.（2017西湖区校级模拟）已知正实数a,b 满足042≤+-b a ，则ba ba u ++=32（ ） A.有最大值为514 B. 有最小值为514C.没有最小值D.有最大值为342.（2018湖州期末）已知a,b 都为正实数，且311=+ba ，则ab 的最小值是_____________ abb+1的最大值是_____________培优（7） 不等式算两次43. 设a ＞b ＞0,那么)(12b a b a -+的最小值为（ ）&44. 设a ＞2b ＞0，则)2(9)(2b a b b a -+-的最小值为_____________45.（2017天津）若a,b ∈R,ab ＞0，则abb a 1444++的最小值为_____________46. 若x,y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是_____________47. 已知a,b,c ∈(0,+∞),则acbc c b a ++++25)(2222的最小值为_____________48.（2018天津一模）已知a ＞b ＞0，则ba b a a -+++232的最小值为_____________49.（2017西湖区校级模拟）已知正实数a,b 满足042≤+-b a ，则ba ba u ++=32（ ） |A.有最大值为514B. 有最小值为514C.没有最小值D.有最大值为350. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0且a+b=2,则252-+-+c c ab c b ac 的最小值是_____________"培优（8） 齐次化51.（2019届杭高高三下开学考T17）若不等式)(222x y cx y x -≤-对满足x ＞y ＞0的任意实数x,y 恒成立，则实数c 的最大值为_____________52.（2019届绍兴一中4月模拟）已知x ＞0，y ＞0，x+2y=3，则xyy x 32+的最小值为（ ） A.223- B.122+ C.12- D.12+53.（2018浙江模拟）已知a ＞0,b ＞0，则2222296b a ab b a ab +++的最大值为_____________ :若25422=+-y xy x ，则223y x +的取值范围是_____________54.（2016新高考研究联盟二模）实数x,y 满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是_____________<…培优（9） 待定与技巧性强的配凑55.（2016大联考）若正数x,y,z 满足3x+4y+5z=6，则zx z ++++2y 4z y 21的最小值为_____________56.（2016杭二最后一卷）若正数x,y 满足11x 1=+y，则2210y xy x +-的最小值为_____________ %57.（2016宁波二模）已知正数x,y 满足xy ≤1，则M=1211x 1+++y 的最小值为_____________58.（2016浙江模拟）已知实数a,b,c 满足14141222=++c b a ，则ab+2bc+2ca 的取值范围是（ ） A.(]4，∞- B. []44，- C. []42，- D. []41，-59.（2019江苏模拟）已知x,y,z ∈(0,+∞)且1222=++c b a ，则3xy+yz 的最大值为_____________60.（2016大联考）已知12222=+++d c b a ，则ab+2bc+cd 的最大值为_____________61.（2017学年杭二高三第三次月考）已知{}222)()()(min T z x y z y x +++=，，，且x+y+z=2， ~则T 的最大值是（ ） A.38 C. 34 D. 32 62. 已知a,b,c ∈+R ,则bc ab c b a 2222+++的最小值是_____________63. 已知a,b,c ∈R ，且4222=++c b a ，则bc ab 25+的最大值是_____________64. 已知a,b,c ∈R ，且4222=++c b a ，则ac+bc 的最大值为_____________,又若a+b+c=0,则c 的最大值是_____________|培优（10） 多元变量的不等式最值问题65.（2019届浙江名校新高考研究联盟第9题）已知正实数abcd 满足a+b=1,c+d=1， 则d1abc 1+的最小值是（ ） C.24 D.3366.（2019届杭四仿真卷）已知实数x,y,z 满足⎩⎨⎧=++=+512222z y x z xy ，则xyz 的最小值为_____________ 67.（2019届慈溪中学5月模拟）若正实数a,b,c 满足a(a+b+c)=bc ，则c b +a 的最大值为_____________ 68.（2017浙江期末）已知实数a,b,c 满足a+b+c=0,a ﹥b ﹥c,则22c a b+的取值范围是（ ） A.)55,55(- B. )51,51(- C.)2,2(- D. )55,2(- 69.（2018浦江县模拟）已知实数a,b,c 满足1222=++c b a ，则ab+c 的最小值为（ ） 、 B.23- 21 70.（2016秋湖州期末）已知实数a,b,c 满足132222=++c b a ，则a+2b 的最大值为（ ） A.3 C.571.（2019江苏一模）若正实数a,b,c 满足ab=a+2b ，abc=a+2b+c ，则c 的最大值为_____________72.（2018秋辽宁期末）设a,b,c 是正实数且满足a+b ≥c ，则cb a a b ++的最小值为_____________73.（2017秋苏州期末）已知正实数a,b,c 满足11a 1=+b ，11b a 1=++c ，则c 的取值范围是_____________74.（2019届浙江名校协作体高三下开学考17）若正数a,b,c 满足1222=--++bc ab c b a ，则c 的最大值为_____________75.（2018届衢州二中5月模拟12）已知非负实数a,b,c 满足a+b+c=1,则(c-a)(c-b)的取值范围是_____________76.（2018届上虞5月模拟16）若实数x,y,z 满足x+2y+3z=1, 194222=++z y x ,则z 的最小值为_____________培优（11） 不等式综合应用77.（2018春衢州期末）已知x,y ＞0，若,1464x y x y +=++ 则yx 14+的最小值是（ ）78.（2018嘉兴模拟）已知,0x ,841x ）＞（y yx y ++=+则x+y 的最小值为（ ） A.35 C.2624+79.（2018越城区校级）已知x,y ＞0，且,419211x =+++y x y 则y 167x 3-的最小值是_____________ 80.（2016台州期末）已知a,b,c ∈(0,1),设ac c b b a -+-+-+112,112,112这三个数的最大值为M ， 则M 的最小值为（ ） B.223+ C. 223- D.不存在81.（2019乐山模拟）已知实数x,y 满足x ＞1，y ＞0, ,111114x =+-++y x y 则y 11-x 1+的最大值 为_____________82.（2019乐山模拟）已知x,y 为正实数，且满足)2)(23(12-+=-y y xy ）（，则y1+x 的最大值 为_____________83.（2019届镇海中学最后一卷）已知x,y ＞0，且1y 1x 82=+，则x+y 的最小值为_____________。
人教版高三一轮新梦想培优辅导讲义6.4基本不等式
第四节 基本不等式考点点击1.了解基本不等式的证明过程。
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
理清基础1．基本不等式ab b a ≥+2(1)基本不等式成立的条件：一正二定三相等(2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号。
2．重要的不等式 (1)ab b a b a ≥+≥+222)2(2(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)。
3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为2b a +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
推广：n 个正数的算术平均数不小于其几何平均数。
即n n n a a a n a a a ......2121≥+++ 4．利用基本不等式求最值问题 （正数和积转换）和有最值积为定值；积有最值和为定值.例题：（1）求x x y 4+=的值域。
（2）求)2(21>-+=x x x y 的最小值。
（3）求)45(54124<-+-=x x x y 的最值 （4）求),0((sin 2sin π∈+=x x x y 的最小值 （5）求41422+++=x x y 的最小值（6）求αααsin 37sin 5sin 2-+-=y 的值域。
（7）已知0,0>>y x ，且满足118=+yx ，求y x 2+的最小值。
（8）z y x ,,为正数，且1222=++z y x ，求xyzz S 21+=的最大值。
（9）设0≥x ，0≥y ，1222=+y x ，则21y x +的最大值为_______ 【解析：】（1）利用对勾函数或者分类讨论思想解题。
（2）求)2(21>-+=x x x y 的最小值，满足一正，但是不满足二定，因此利用配凑法变为2212+-+-=x x y （3）3)45145(54124+-+--=-+-=x x x x y ，而245145≥-+-x x ，所以132m a x =+-=y（4）满足“一正二定”若相等则2sin =x ，显然不可能取的等号。
基本不等式方法培优专题(精校版word)
基本不等式培优专题目录：培优点一：常规配凑法 培优点二：常量代换 培优点三：换元法培优点四：和、积、平方和三量减元 培优点五：轮换对称和万能k 法培优点六：消元法（必要构造函数求导） 培优点七：不等式算两次 培优点八：齐次化培优点九：待定与技巧性强的配凑 培优点十：多元变量的不等式最值问题 培优点十一：不等式综合问题一、常规配凑法1.已知242(,)aba b R +=∈，则2a b +的最大值为__________,02.已知实数,x y ,满足22116y x +=，则__________,943.已知不等式11()()9x my x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数m 的最小值______,44.已知实数,x y ,满足1x ≠，则11x y y x ++-+的最小值为__________,15.已知实数0,0x y >>,满足23x y+=xy 的最小值为__________,6.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则412x y y+-的最小值为__________,97.已知实数0,0x y >>,满足11111x y +=++，则2x y +的最小值为__________, 二、“1”的代换8.已知实数0,0>>y x ,满足1x y +=，则1y x y+的最小值为__________3,此时_____x =129.已知实数0x y >>,满足121x y +=，则2y x+的最小值为__________，9 10.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则413x y x y ++-的最小值为__________,9411.记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大数，若0,0x y >>，则13max{,,}x y x y+的最小值为______,212.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则22221x y x y ++-+的最小值为13.已知正实数,x y ,满足121(2)(2)x y y x y x+=++，则xy 的最大值为__________,2三、换元法14.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11112x y+++的最小值为15.已知22log (2)log (1)1a b -+-≥，则2a b +取到最小值时________ab =916.已知实数20x y >>,满足11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为17.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11x y x y +++的最大值为__________,2318.已知实数0,0x y >>,满足22x y +=，则224122x y y x +++的最小值为__________,4519.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则1911x y +--的最小值为__________,6 20.已知实数,x y ,满足3x y xy +=-，且1x >，则(8)y x +的最小值为__________,2521.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则4911x y x y +--的最小值为__________,2522.已知实数,x y ，满足491xy+=，则1123x y +++的取值范围为__________,23.已知实数,x y ，满足114422x y x y +++=+，则22xyS =+的取值范围为__________,(2,4] 四、和、积、平方和三量减元24.已知实数,x y ,满足4x y +=，则xy 的最大值为__________4,22(1)(1)x y ++的最小值为__________,1625.已知实数0,0x y >>,满足()4xy x y +=，则xy 的最大值为_,2x y +的最小值为__________,226.已知实数,x y ,满足2x y +=，则221111x y +++的最大值为27.已知正实数,x y ,满足22421x y x y +++=，则xy 的最大值为28.已知实数,x y ,满足412x y y x xy +=-，则221xyx y +-的最大值为__________,13+ 29.已知非负实数,x y ,满足222244432x y xy x y +++=，则2x y +的最小值为2)2x y xy ++的最大值为__________,16 30.已知正实数,x y ,满足42y x xy ++=，则221217xy x y xy +++的取值范围为______,13(,]172531.已知正实数,x y ,满足2342x y xy ++=，则54xy x y ++的最小值为__________,55 32.已知正实数,x y ,满足2(2)16x y xy +=+，则21xy x y ++的最大值为__________,16五、轮换对称与万能k 法33.已知实数,x y ,满足2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为__________,534.已知正实数,x y ,满足22x y +=，则x __________,8535.已知正实数,x y ,满足2291x y +=，则3xyx y+的最大值为__________,1236.已知实数,,x y z ,满足0x y z ++=，2221x y z ++=则x 的最大值为__________,337.已知实数,x y ,满足229461x y xy ++=，则96x y +的最大值为__________,六、消元法（必要构造函数求导） 38.若存在正实数y ,使得154xy y x x y =-+，则x 的最大值为__________,1539.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则12x y +的最小值为_________3_,2212x y+的最小值为_________3,40. 已知正实数,x y ,满足1x y +=，则222x yx y x y+++的最大值为1+ 41. 已知正实数,x y ,满足240x y -+≤，则23x y u x y +=+有最_小__值为________,14542. 已知正实数,x y ,满足113x y +=，则xy 的最小值为_________49_,1y xy +的最大值为__________,4七、不等式算两次43.已知实数0x y >>，则21()x y x y +-的最小值为__________,444.已知实数20x y >>，则29()(2)x y y x y -+-的最小值为__________,1245.已知实数0x y >>，则4441x y xy++的最小值为__________,446.已知实数0,0x y >>，则2211()()22x y y x+++的最小值为__________,4 47.已知正实数,,x y z ，则2222()52x y z yz xz++++的最小值为__________,448.已知实数0x y >>，则322x x y x y+++-的最小值为__________,49.已知实数2,0,0>>>z y x ，且2x y +=，则2xz z z y xy +-的最小值为_______,+八、齐次化50.若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为____________.451.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则23x y xy+的最小值为__________,152.已知正实数,x y ,若23x y +=，则2222629xy xyy x y x+++的最大值为53.已知实数,x y ,满足22222x xy y -+=，则222x y +的最小值为__________,73九、待定和技巧性强的配凑54.已知正实数,,x y z ，满足3456x y z ++=，则1422y z y z x z ++++的最小值为_______,7355.已知正实数,x y ,满足111x y+=，则2210x xy y -+的最小值为__________,-3656.已知正实数,x y ,满足1xy ≤，则11112x y+++的最小值为__________,2 57.已知实数,,x y z ，满足222144x y z ++=，则22xy yz xz ++的取值范围为_____,[2,4]-58.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则3xy yz +的最大值为__________,259.已知实数,,x y z ，满足2224x y z ++=+的最大值为__________,十、多元变量的不等式最值问题60.已知正实数,,,a b c d ，满足1a b +=，1c d +=则11abc d+的最小值为__________,961.已知实数,,x y z ，满足222215xy z x y z +=⎧⎨++=⎩，则xyz 的最小值为____32______,此时___z =262.已知正实数,,x y z ，满足()x x y z yz ++=，则xy z+的最大值为__________,1263.已知实数,,x y z ，满足0,x y z x y z ++=>>，则的取值范围为______,(55-64.已知实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则xy z +的最小值为__________,-165.已知实数,,x y z ，满足222231x y z ++=，则2x y +的最大值为66.已知正实数,,x y z ，满足2xy x y =+，2xyz x y z =++则z 的最大值为__________,8767.已知正实数,,x y z ，满足x y z +≥，则y x x y z ++的最小值为1268.已知正实数,,x y z ，满足111x y +=，111x y z +=+，则z 的取值范围为__________,4(1,]369.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z xy yz ++--=，则z 的最大值为70.已知非负实数,,x y z ，满足1x y z ++=，则()()z x z y --的取值范围为___,1[,1]8- 十一、不等式综合应用71.已知正实数,x y ,满足4146x y x y ++=+，则41x y+的最小值为__________,8 72.已知正实数,x y ,满足148x y x y+=++，则x y +的最小值为__________,9 73.已知正实数,x y ,满足111924x y x y +++=，则3716x y -的最小值为__________,14- 74.已知实数,,(0,1)a b c ∈，设212121,,,111a b b c c a+++---这三个数的最大值为M ，则M 的最小值为_______3+75.已知实数,x y ，满足1,0x y >>，且114111x y x y +++=-则111x y+-的最大值为__,976.已知正实数,x y ，满足2(1)(32)(2)xy y y -=+-，则1x y+的最大值为______,1 77.已知正实数,x y ，满足2811x y+=，则x y +的最小值为__________,6。
高中数学培优讲义练习(人教A版2019必修一)专题2.3基本不等式-重难点题型精讲(学生版)
专题2.3 基本不等式重难点题型精讲1. 两个不等式a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．“当且仅当a ＝b 时，等号成立”是指若a ≠b ，则a 2＋b 2≠2ab ，ab ≠a ＋b2，即只能有a 2＋b 2>2ab ，ab<a ＋b 2. 2．基本不等式与最值 已知x ，y 都是正数，(1)如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； (2)如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x 、y >0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．【题型1 对基本不等式的理解】【例1】（2022春•肥东县月考）对于不等式①√4+√6＞2√5，②x +1x ≥2（x ≠0），③√a 2+b 2≥√22(a +b)(a 、b ∈R)，下列说法正确的是（ ） A ．①③正确，②错误 B ．②③正确，①错误C ．①②错误，③正确D ．①③错误，②正确【变式11】（2022•上海）若实数a 、b 满足a ＞b ＞0，下列不等式中恒成立的是（ ） A ．a +b ＞2√abB ．a +b ＜2√abC ．a2+2b ＞2√abD ．a2+2b ＜2√ab【变式12】（2022春•汤原县期末）若a ＞0，b ＞0，a +b ＝2，则（ ） A ．ab ≥1B ．√a +√b ≥2C ．a 2+b 2≥2D ．1a +1b≤2【变式13】（2021秋•宿州期末）已知a ＞0，b ＞0，a +2b ＝1，则下列选项错误的是（ ）A ．0＜b ＜12B ．2a +4b ≥2√2C ．ab 的最大值是18D ．a 2+b 2的最小值是516【题型2 利用基本不等式证明不等式】【例2】（2021秋•上饶期末）已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝1，求证：(1+1a )(1+1b )≥9．【变式21】（2022•甘肃模拟）已知a ，b ∈R +，设x =√ab ，y =√a 2+b 22，求证： （1）xy ≥ab ； （2）x +y ≤a +b ．【变式22】（2021秋•桂林月考）已知a ＞0，b ＞0． （1）若1a +9b=1，求证：a +b ≥16；（2）求证：a +b +1≥√ab +√a +√b ．【变式23】（2022•黄州区校级模拟）设a ，b ，c ＞0，且ab +bc +ca ＝1，求证： （1）a +b +c ≥√3； （2）√a bc +√b ac +√cab≥√3（√a +√b +√c ）． 【题型3 利用基本不等式求最值（无条件）】【例3】（2022春•漳州期末）已知a ＞1，则a +4a−1的最小值是（ ） A ．5B ．6C ．3√2D ．2√2【变式31】（2022春•甘孜州期末）y =x +4x(x ≥1)的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【变式32】（2022•怀仁市校级二模）函数y =3x +43x−1(x ＞13)的最小值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【变式33】（2022•香坊区校级模拟）若a ＞0，b ＞0，求b a 2+1b+a 的最小值为（ ）A ．√2B ．2C ．2√2D ．4【题型4 利用基本不等式求最值（有条件）】【例4】（2022秋•凉州区校级月考）已知a ，b 为正实数且a +b ＝2，则ba+2b 的最小值为（ ）A ．32B ．√2+1C ．52D ．3【变式41】（2022秋•广东月考）若正实数y 满足2x +y ＝9，则−1x −4y 的最大值是（ ） A ．6+4√29B ．−6+4√29C ．6+4√2D ．−6−4√2【变式42】（2022秋•浙江月考）已知正实数x ，y 满足1x+4y +4=x +y ，则x +y 的最小值为（ ）A ．√13−2B ．2C ．2+√13D ．2+√14【变式43】（2022春•内江期末）已知正实数a 、b 满足a +b ＝4，则(a +1b )(b +1a )的最小值为（ ） A ．2√2+2B ．4C ．254D ．2√2+1【题型5 利用基本不等式求参数】【例5】（2022春•爱民区校级期末）已知x ＞0，y ＞0且1x +4y=1，若x +y ＞m 2+8m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[9，+∞）B ．（﹣∞，﹣3]C ．[1+∞）D ．（﹣9，1）【变式51】（2021秋•怀仁市校级期末）已知x ＞0、y ＞0，且2x+1y =1，若2x +y ＜m 2﹣8m 有解，则实数m的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B ．（﹣9，1） C ．[﹣9，1]D ．（﹣1，9）【变式52】（2022春•内江期末）已知正实数a 、b 满足1a+1b =m ，若(a +1b )(b +1a )的最小值为4，则实数m 的取值范围是（ ）A．{2}B．[2，+∞）C．（0，2]D．（0，+∞）【变式53】（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设2x +3y=1，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．{x|x≤﹣6或x≥4}B．{x|x≤﹣4或x≥6}C．{x|﹣6＜x＜4}D．{x|﹣4＜x ＜6}【题型6 利用基本不等式解决实际问题】【例6】（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【变式61】（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求1x +2y的最小值．【变式62】（2021秋•黄浦区校级期中）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm．（1）试用栏目高acm与宽bcm（a＞0，b＞0）表示整个矩形广告面积Scm2；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．【变式63】（2021秋•湖州期中）如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC 翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．（Ⅰ）若DP＞13AB，求x的取值范围；（Ⅱ）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．。
专题1-1 基本不等式归类(16题型+解题攻略)-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练含答案
A ．x ＋1x(x >0)的最小值是2B ．2254x x ++的最小值是2C ．2222x x ++的最小值是2D ．若x >0，则2－3x －4x的最大值是2－43【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（ ）A ．若,R a b Î，则22b a b a a b a b+³×=B ．若x ＞0，y ＞0，则lg lg 2lg lg x y x y +³×C ．若x ＜0，则4x x+424x x³-×=-D ．若x ＜0，则222222x x x x --+>×=【变式1-3】（2022秋·广东·高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是22的是（ ）A ．()20y x x x =+¹B ．()10y x x x=+>C ．22233y x x =+++D ．2xxy e e =+题型02 基础模型：倒数型【解题攻略】倒数型：1t t +，或者b at t+容易出问题的地方，在于能否“取等”,如2sin sin ，其中锐角q q q +，22155x x +++【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知,,a b c R Î且0,++=>>a b c a b c ，则22a c ac+的取值范围是（ ）A ．[)2,+¥B ．(],2-¥-C ．5,22æù--çúèûD ．52,2æùçúèû【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三统考）已知ABC V 的面积为23，3A p=，则4sin 2sin sin sin 2sin sin C B BC B C+++的最小值为（ ）A ．162-B ．162+C ．61-D ．61+【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知1,,,12a b c éùÎêúëû，则2222a b c ab bc+++的取值范围是（ ）．A ．[]2,3B ．5,32éùêúëûC ．52,2éùêúëûD ．[]1,3【变式1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）函数22621x y x -=-的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【变式1-3】（2022上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）若()2sin 3sin f x x t x=+++(x,t R Î)最大值记为()g t ,则()g t 的最小值为A ．0B ．14C ．23D ．34题型03 常数代换型【解题攻略】利用常数11m m⨯=代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。
高三复习基本不等式练习题
高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容，占据了复习的重要一部分。
本文将提供一些基本不等式的练习题，供高三学生复习使用。
练习题1：解不等式组：{x+2>0, x-3<0}练习题2：求解不等式：(x+1)(x-3)<0练习题3：解不等式组：{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4：求解不等式：x^2 - 5x + 6>0练习题5：解不等式组：{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6：求解不等式：(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7：解不等式组：{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8：求解不等式：(x-2)^2(x+4)>0练习题9：解不等式组：{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10：求解不等式：(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。
希望同学们能够认真思考，按照正确的解题步骤解答。
复习不等式时，应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法，如辨别二次不等式的判别式、区间法等。
在解题过程中，也要注意进行化简和因式分解，以便于对不等式进行分类讨论。
基本不等式是高中数学中一个重要的内容，对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。
因此，同学们要多进行基本不等式的练习，理解和掌握不等式的性质和方法，为高考做好充分准备。
希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们，祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩！。
新高考数学-基本不等式30题解析
一、多选题1．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知正实数,x y 满足2x y xy +=，则（）A ．16xy ≥B ．29x y +≥C ．6x y +>D ．1831x y+≥-2．（21-22高一下·全国·开学考试）下列不等式一定成立的是（）A ．()21lg lg 04x x x ⎛⎫+≥> ⎝⎭B ．()lgeln 21lg x x x+>>C ．()21012x x x ≥>D ．()1121x x <∈R3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知,a b 均为实数，则()222a b a b ab+++的可能值为（）A ．43B ．34C ．1D ．24．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）若62,63a b ==，则下列不等关系正确的有（）A2B ．114a b+>C ．2212a b +>D ．14ab <5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知位于第一象限的点(),a b 在曲线1x y+=上，则（）A ．()()111a b --=-B ．4ab ≥C ．49a b +≤D ．221223a b +≥6．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知p q ､为函数()lg f x x t =-的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（）A ．222p q +<B ．228p q +>C ．33log log 0p q ⋅<D ．1pq =由图可知，当0t >时，直线设p q <，则01p q <<<，由由()lg 0f q q t =-=，可得lg 对于A 选项，222p q pq +>=对于B 选项，2222p q p ++>对于C 选项，33log log 1p <=对于D 选项，由上可知1pq =故选：CD.7．（2024高三·全国·专题练习）已知x ≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A ．22x y x =+B ．2y =C ．13y x x=-D ．411y x x =-+【答案】ACD号取不到；因为函数－在上单调递增，所以3－≥2；因为x ≥1＋＝＋－2≥4).故选8．（2024高三·全国·专题练习）(多选)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b ＝1，且a 2－c 2＝2，则下列结论正确的是（）A ．a ＜32B ．tan A ＋3tanC ＝0C ．角B 的最大值为3πD ．△ABC 的外接圆面积的最小值为π9．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，在ABC 中,4BC =，且M 点为BC 边的中点，则下列结论正确的有（）A ．设G 是AM 的中点，则0GA GB GC ++=C ．若π3BAC ∠=，则AM 的最小值为D ．若π6BAM ∠=，则AC 边的最小值为2【详解】对于B ，分别在ABM 和ACM △中由正弦定理可得sin sin sin sin AMB BAMAC CM AMC CAM ⎧=⎪⎪∠∠⎨⎪=⎪∠∠⎩，因为2πBM CM AMB AMC ==⎧⎨∠+∠=⎩，则sin sin AB CAMAC BAM ∠=∠，正确；对于C ，在ABC 中，由余弦定理可得2216b c bc +-=，所以22162b c bc bc +=+≥，则16bc ≤，当且仅当4b c ==时取等，又2AB AC AM +=，所以AM AM ===，当且仅当4b c ==时取等，故AM 最大值为对于D ，在ABM 中，由正弦定理可得242πsin 6R==，故ABM 的外接圆圆O 的半径为2R =，则点A 在优弧 BM上运动，则AC 的最小值为2OC R R -=-=-，正确.故选：BD10．（2024·贵州毕节·二模）已知252100a b ==，则下列式子中正确的有（）A ．211a b+=B ．121a b+=C ．8ab >D ．29a b +>【答案】BCD 【分析】由指对互化得到25log 100a =，2log 100b =，进而结合对数运算性质和基本不等式的应用即可求解.【详解】11．（2024·江苏·一模）已知,x y ∈R ，且123x =，124y =，则()A ．y x >B ．1x y +>C ．14xy <D <【答案】ACD 【分析】用对数表示x ，y ，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案．【详解】12．（23-24高一下·安徽宿州·开学考试）若正实数,a b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（）A ．ab 有最大值14B ．122a b->C ．14a b+的最小值是10D【答案】AB 【分析】利用均值不等式和“1”的妙用判断ACD ，由12a b b -=-讨论b 的范围判断B 即可.【详解】选项A ：因为,a b 为正实数，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，所以ab 有最大值14，A 说法正确；选项B ：由1a b +=可得12a b b -=-，因为,a b 为正实数，所以01b <<，1121b -<-<，所以1212222a b b --<=<，B 说法正确；选项C ：由题意可得()14144559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a bb a =，即13a =，23b =时等号成立，所以14a b +的最小值是9，C 说法错误；选项D ：由A 得212a b =++=+≤，误；故选：AB13．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列各函数中，最小值为2的是（）A ．2610y x x =-+B ．3y x =-+C ．1y xx=+D ．2y =14．（23-24高三下·广东·阶段练习）若0a >，0b >，8a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A 4≤B 4+≥C ．2232a b +≥D ．1498a b +≥【详解】15．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）已知0x >，0y >，且24x y +=，则（）A ．ln ln ln2x y +≤B ．248x y +<C ．1294x y +≥D ．324e e x x y-≥16．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）下列函数中，最小值是4的有（）A ．()134x f x x=++B ．()f x =C ．()()31011f x x x x=+<<D ．()f x =则（）A ．413x y +≥B ．9xy ≤C ．2218x y +≤D ．1123x y +≥18．（2024·贵州贵阳·一模）已知0,0a b >>，且2a b +=，则（）A ．22a b+≥B ．112a b+≥C ．22log log 1a b +≤D ．222a b +≥19．（2024·河南信阳·一模）已知正数,m n满足322m n+=，则（）A．12mn≥B．222m n+≥C．32m n+≥D．2,(0,),()2m nm n mnmn-∃∈+∞≥20．（23-24高一上·广东茂名·期中）下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“x ∃∈R ，使20x ax a ++<”是假命题，则实数a 的取值范围为04a ≤≤C ．不等式21x>的解集是(),2-∞D ．设a +∈R ，则24a a+的最小值为4.21．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a ba b >++B ．2ab a b +22．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知0a b >>，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是（）A ．22()(1)a b b +>+B ．11b b a a ->-2223．（23-24高一上·浙江·期末）设正实数,a b满足2a b+=，则（）A．11a b+的最小值为2B．1122a b a b+++的最大值为23C2D．3ab b-的最大值为1424．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知正数,a b 满足()()111a b --=，则下列选项正确的是（）A ．111a b+=B ．25ab b+³C ．4a b +≥D ．228a b +≥25．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知3824a b ==，则a ，b 满足的关系是（）A ．111a b+=B ．112a b+=C ．()()22112a b -+-<D ．()()22112a b -+->26．（23-24高一上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．44ππcos sin 882-=27．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）若,m n 均为正数，且满足22m n +=，则（）A ．mn的最大值为12B ．11m n+的最小值为3+C ．24m n +的最小值为4D ．2mm n+的最小值为1+28．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知0a b >>，下列说法正确的是（）A ．11a b b a+>+B ．2b a a b+>C ．若0c >，则b b ca a c+<D ．若c d >，则a c b d->-29．（23-24高三上·海南·期末）已知0,0a b >>，且4a b ab +-=，则（）A ．3a b +≥B ．104ab <≤或94ab ≥C ．221(1)(1)2a b -+-≤D ．11413a b <+≤或114a b+≥30．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知0,0a b>>，且1a b+=，则（）A．41ab>B．2728a b+≥C．41912a b+≥D2≤。
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5
42．（2018 湖州期末）已知 a,b 都为正实数，且 1 1 3 ，则 ab 的最小值是
，
ab
1 b
的最大值是
ab
培优点七 不等式算两次
43．设
a
!
b
!
0
,那么
a2
1 b(a
b)
的最小值为
A. 2
B. 3
C. 4
（） D. 5
44.设
a
!
2b
!
0
，则
a
b
2
b
a
9
2b
1 ，则
2a a2 b
a
b b2
的
最大值是
（）
A.2
B.1 2
C.1 2 3
D.1 3 2
3
2
41．（2017 西湖区校级模拟）已知正实数 a, b 满足 a2 b 4 d 0 ,则 u
2a 3b ab
（
）
14 A.有最大值为 5
B.
有最小值为 14 5
C. 没有最小值
D.有最大值为 3
07
培优点十 多元变量的不等式最值问题
08
培优点十一 不等式综合应用
09
1
基本不等式培优专题
培优点一 常规配凑法
1．（2018 届温州 9 月模拟） 已知 2a + 4b = 2 （ a ， b Î R ），则 a + 2b 的最大值为
2．已知实数 x ， y 满足 x2 + y2 = 1 ，则 x 2 + y2 的最大值是 16
3．（2018
春湖州期末）已知不等式
(
x
+
my)(
1 x
+
1 y
)
³
9
对任意正实数
x
，
y
恒成立，则正实数
m
的最小值是
A. 2
B. 4
C.拟）已知 a ， b Î R ，且 a ¹1 ，则
a+b
+
a
1 +1
-
b
的最小值是
5．（2018
江苏一模）已知
a
>
0
，
b
>
0
B. 8 2
C. 8
D. 9
， ）
2
10．（2017 西湖区校级期末）已知实数 x ， y 满足 x ! y ! 0 ，且 x y
2
，则
x
4 3y
x
1
y
的最小值是
.
11.（18 届金华十校高一下期末）记 max{x, y, z} 表示 x ， y ， z 中的最大数，若 a ! 0 ， b ! 0 ，
值是
^ ` 61．（2017 学年杭二高三第 3 次月考）已知 T min
x
2
y,
z
2
y,
x
2
z
，且
x y z 2 ，则 T 的最大值是
（）
A. 8
B. 8
C. 4
D. 2
3
3
3
62．已知 a,b,c R+ ,则
a2 b2 c2 ab 2bc
的最小值是
33．（2019 嘉兴 9 月基础测试 17）已知实数 x, y 满足 x2 xy 4 y2 1，则 x 2 y 的最大值
为
34．（2016 暨阳联谊）已知正实数 x, y 满足 2x y 2 ，则 x x2 y2 的最小值为
35． 已知正实数 a, b 满足 9a2 b2
则
max{a,
b,
1 a
b3}
的最小值为
（）
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
12.已知 a,b 为正实数，且 a b
2
，则
a2
a
2
b2 b
1
2
的最小值为
13.已知正实数
a,b
满足
(2a
1
b)
b
(2b
2
a)a
1 ，则 ab 的最大值为
（补充题）已知 x, y
!0
，则
6xy x2 9y2
2bc ac
48．（2018
天津一模）已知
a
!
b
!
0
，则
2a
a
3
b
a
2
b
的最小值为
49.（2016 台州期末）已知正实数 a, b ，满足 a2 b 4 d 0 ，则 u
2a 3b ab
（
）
14
A.有最大值为
5
14
B.有最小值为
5
C.，没有最小值 D.有最大值为 3
50.已知 a ! 0,b ! 0, c ! 0 且 a b
的最小值为
45.（2017 天津）若 a,b R ， ab ! 0 ，则 a4 4b4 1 的最小值为 ab
46.若
x,
y
是正数，则
§ ¨©
x
1 2y
·2 ¸¹
§ ¨©
y
1 2x
·2 ¸¹
的最小值是
47.已知 a,b,c 0, f ，则
a2 b2 c2 2 5 的最小值为
D. 2
27.（2016 宁波期末 14）若正数 x, y 满足 x2 4 y2 x 2 y 1 ，则 xy 的最大值为
28.（2018
届诸暨市期中）已知实数
x,
y
满足
x y
4y x
1 xy
2
，则
x
2xy 2y 1
的最大值为（
）
A. 2 3 3
B. 3 2
C. 2 3 1 3
D. 3 1 2
围是
（）
A. (f, 4]
B.[4, 4]
C. [2, 4]
D. [1, 4]
59.已知 x ， y ， z (0, f) 且 x2 y2 z2 1 ，则 3xy yz 的最大值为
60．（2016 大联考）设 x, y, z, w R ，且满足 x2 y2 z2 w2 1,则 P xy 2yz zw 的最大
63．已知 a,b, c R ，且 a2 b2 c2 4 ，则 5ab 2bc 的最大值是
64．已知 a,b, c R ，且 a2 b2 c2 4 ，则 ac bc 的最大值是
；又若 a b c 0 ，
则 c 的最大值是
7
培优点十 多元变量的不等式最值问题
65．（2019 届浙江名校新高考研究联盟 9 题）已知正实数 a, b, c, d 满足 a b 1, c d 1 ，则
2
，则
ac b
c ab
c 2
c
5 2
的最小值是
培优点八 齐次化
51．（2019 届杭高高三下开学考 T17） 若不等式 x2 2 y2 d cx( y x) 对满足 x ! y ! 0 的任
意实数 x, y 恒成立，则实数 c 的最大值为
52．（2019 届绍兴一中 4 月模拟）已知 x ! 0, y ! 0, x 2 y 3，则 x2 3y 的最小值为（
1
，则
ab 3a
b
的最大值为
36．已知实数 a,b, c 满足 a b c 0,a 2 b2 c2 1 ，则 a 的最大值为
37.（2018 届杭二高三下开学）若 9x2 4 y2 6xy 1, x, y R ，则 9x 6y 的最大值为
培优点六 消元法（必要构造函数求导）
基本不等式培优专题
(学生版)
目录
基本不等式培优专题
培优点一 常规配凑法
02
培优点二 “1”的代换
02
培优点三 换元法
03
培优点四 和、积、平方和三量减元
04
培优点五 轮换对称与万能 K 法
05
培优点六 消元法（必要构造函数求导）
05
培优点七 不等式算两次
06
培优点八 齐次化
06
培优点九 待定与技巧性强的配凑
）
xy
A.3 2 2
B.2 2 1
C. 2 1
D. 2 1
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6
53．（2018·浙江模拟）已知 a
!
0, b
!
0
，则
6ab 9b2 a2
2ab b2 a2
的最大值为
，
若 4x2 xy y2 25 则 3x2 y2 的取值范围是
小值时 ab
（）
A．3
B．4
C．6
D．9
16．（2018
温州期中）已知实数
x,
y
满足
2x
!
y
!
0
，且
1 2x
y
x
1 2y
1，
则 x y 的最小值为
（）
A． 3 2 3 5
B． 4 2 3 5
C． 2 4 3 5
D． 3 4 3 5
17．（2018 杭州期末）若正数 a,b 满足 a b
杭二最后一卷)若正数
x,
y
满足
1 x
1 y