不等式培优专题
初中数学培优：不等式(组)
初中数学培优：不等式（组）1．若实数a＞1，则实数M＝a，N=r23，P=2r13的大小关系是（）A．P＞N＞M B．M＞N＞P C．N＞P＞M D．M＞P＞N 【解答】解：∵a＞1∴M﹣P＝a−2r13=K13＞0，P﹣N=2r13−r23=K13＞0∴M＞P，P＞N∴M＞P＞N故选：D．2．若不等式组+8＜4−1＞的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＜3C．m＞3D．m＝3【解答】解：由x+8＜4x﹣1得，x﹣4x＜﹣1﹣8，﹣x＜﹣9，x＞3，∵不等式组的解集是x＞3，∴m≤3．故选：A．3．设a、b是正整数，且满足56≤a+b≤59，0.9＜＜0.91，则b2﹣a2等于（）A．171B．177C．180D．182【解答】解：∵0.9＜＜0.91，∴0.9b＜a＜0.91b，即0.9b+b＜a+b＜0.91b+b；又∵56≤a+b≤59∴0.9b+b＜59，b＜31.05；0.91b+b＞56，b＞29.3，即29.3＜b＜31.05；由题设a、b是正整数得，b＝30或31；①当b＝30时，由0.9b＜a＜0.91b，得：27＜a＜28，这样的正整数a不存在．②当b＝31时，由0.9b＜a＜0.91b，得27＜a＜29，所以a＝28，所以b2﹣a2＝312﹣282＝177．故选：B．4．一共有（）个整数x适合不等式|x﹣2000|+|x|≤9999．A．10000B．20000C．9999D．80000【解答】解：（1）当x＝2000时，原式可化为2000≤9999，故x＝2000；其整数解有1个；（2）当x＞2000时，原式可化为x﹣2000+x≤9999，解得2000＜x≤5999.5，其整数解有3999个；（3）当0≤x＜2000时，原式可化为2000﹣x+x≤9999，即2000≤9999；其整数解有2000个；（4）当x＜0时，原式可化为2000﹣x﹣x≤9999，解得﹣3999.5≤x＜0；其整数解有3999个；由上可得其整数解有9999个．故选：C．5．如果关于x的不等式（2m﹣n）x﹣m﹣5n＞0的解集为＜107，那么关于x的不等式mx＞n（m≠0）的解集为x＜1345．【解答】解：（2m﹣n）x﹣m﹣5n＞0解集为x＜107，∴（2m﹣n）x＞m+5n，∴x＞r52K或x＜r52K，∴x＜r52K，则2m﹣n＜0，由不等式的解集x＜107，则r52K=107，即10（2m﹣n）＝7（m+5n）得：13m＝45n，即：=1345，因为2m﹣n＜0，则：2m−1345m＜0，得：m＜0，∵mx＞n，∴x＜=1345．故答案为x＜1345．6．关于x的不等式：|2x﹣1|＜6的所有非负整数解的和为6．【解答】解：根据题意得：﹣6＜2x﹣1＜6，即﹣5＜2x＜7∴−52＜x＜72则不等式的非负整数解是：0，1，2，3．则所有非负整数解的和为6．故答案是：6．7．要使方程组3+2=2+3=2的解是一对异号的数，则a的取值范围是＜43或＞3．【解答】解：方程组3+2=2+3=2，整理得，6+4=2Ξ①6+9=6⋯②，由②得，6x＝6﹣9y…③，把③代入①整理得，y=−2K65．（1）当x＞0，y＜0时，∴6﹣9y＞0，即y＜69，∴−2K65＜0，解得，a＞3；（2）当x＜0，y＞0时，∴6﹣9y＜0，即y＞69，∴−2K65＞69，解得，a＜43；综上，a的取值范围是a＜43或a＞3．故答案为a＜43或a＞3．8．某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．甲乙价格（万元/台）75每台日产量（个）10060（1）设甲种机器有x台，试写出x应满足的不等式；（2）按照公司要求可以有几种购买方案？（3）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？【解答】解：（1）∵该公司共购进6台机器用于生产某种活塞，且购进甲种机器x台，∴购进乙种机器（6﹣x）台．依题意得：7x+5（6﹣x）≤34．（2）∵7x+5（6﹣x）≤34，∴x≤2，又∵x为自然数，∴x可以为0，1，2，∴可以有3种购买方案．（3）依题意得：100x+60（6﹣x）≥380，解得：x≥12，又∵x≤2，且x为自然数，∴x可以为1，2，∴共有2种购买方案，方案1：购进1台A种机器，5台B种机器，所需总资金为7×1+5×5＝32（万元）；方案2：购进2台B种机器，4台B种机器，所需总资金为7×2+5×4＝34（万元）．∵32＜34，∴为了节约资金应选择购买方案1，即购进1台A种机器，5台B种机器．9．试确定实数a+r13＞0+5r43＞43(+1)+恰有两个整数解．【解答】解：由2+r13＞0，两边同乘以6得3x+2（x+1）＞0，解得x＞−25，由x+5r43＞43（x+1）+a，两边同乘以3得3x+5a+4＞4（x+1）+3a，解得x＜2a，∴原不等式组的解集为−25＜x＜2a．又∵原不等式组恰有2个整数解，即x＝0，1；则2a的值在1（不含1）到2（含2）之间，∴1＜2a≤2，∴0.5＜a≤1．10．已知关于x、y的方程组2+3=3+7−=4+1的解x和y都是正数．求m的取值范围后再化简|−1|+|+ 23|．【解答】解：先解二元一次方程组2+3=3+7−=4+1得：=3+2=−+1；又由于x、y为正数，则x＞0，y＞0；故3+2＞0−+1＞0，解得：−23＜m＜1；则|−1|+|+23|=1﹣m+m+23=53．11．小丽拟将1，2，3，…，n这n个数输入电脑求其平均值，当她认为输完时，电脑上只显示输入（n﹣1）个数，且平均值为3557，假设这（n﹣1）个数输入无误，则漏输入的一个数是多少？【解答】解：1+2+…+n ﹣1≤2507（n ﹣1）≤2+3+…+n ，∴2≤2507≤r22．∴6937≤n ≤7137，∴n ＝70，71，∵2507（n ﹣1）是整数，∴n ＝71．∴设被漏输入的数为m ，则m =1+712×71﹣70×2507=2556﹣2500＝56．12．为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数．【解答】解：设这所学校派出x 名学生，参加y 处公共场所的义务劳动，依题意得：10+15=o1)10≤−14(−1)＜14(2)，解得：334＜y ≤434．∵y 为整数，∴y ＝4．∴当y ＝4时，x ＝10×4+15＝55．答：这所学校派出55名学生，参加4处公共场所的义务劳动．13．已知甲、乙、丙3种食物的维生素含量和成本如下表：甲种食物乙种食物丙种食物维生素A （单位/kg ）300600300维生素B （单位/kg ）700100300成本（元/kg ）643某食品公司欲用这3种食物研制100千克食品，要求研制成的食品中至少含有36000单位的维生素A 和40000单位的维生素B ．（1）研制100千克食品，甲种食物至少要用多少千克？丙种食物至多能用多少千克？（2）若限定甲种食物用50千克，则研制这100千克食品的总成本S 的取值范围是多少？【解答】解：（1）设研制100千克食品用甲种、乙种和丙种食物各x 千克，y 千克和z 千克，由题意，得++=100300+600+300≥36000700+100+300≥40000，即++=100①+2+≥120②7++3≥400③，由①z＝100﹣x﹣y，代入②③，得≥202−≥50，∴2x≥y+50≥70，x≥35，将①变形为y＝100﹣x﹣z，代入②，得z≤80﹣x≤80﹣35＝45，答：即至少要用甲种食物35千克，丙种食物至多能用45千克．（2）研制100千克食品的总成本S＝6x+4y+3z，将z＝100﹣x﹣y代入，得S＝3x+y+300．当x＝50时，S＝y+450，20≤y≤50．∴470≤S≤500．答：则研制这100千克食品的总成本S的取值范围是470≤S≤500．初中数学培优：不等式（组）1．已知a1，a2，…，a2004都是正数，如果M＝（a1+a2+…+a2003）（a2+a3+…+a2004），N＝（a1+a2+…+a2004）（a2+a3+…+a2003），那么M、N的大小关系是（）A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不确定的【解答】解：设S＝a2+a3+…+a2003，则M＝（a1+S）（S+a2004）＝a1S+S a2004+S2+a1a2004，N＝（a1+S+a2004）S＝a1S+S a2004+S2，∴M﹣N＝a1•a2004＞0（a1，a2，…，a2004都是正数），∴M＞N．故选：A．2．已知△ABC的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：设△ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为25，220，2ℎ，则25＞220．+2ℎ＞25+25＞2ℎ，解得4＜ℎ＜203．所以h的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．故选：B．3．若方程组3−=+1+=3的解为x，y，且2＜k＜4，则x﹣y的取值范围是（）A．0＜x﹣y＜3B．0＜x﹣y＜1C．﹣3＜x﹣y＜﹣1D．﹣1＜x﹣y＜1【解答】解：两个方程相减，得：2x﹣2y＝k﹣2，∴x﹣y=K22，∵2＜k＜4，∴0＜k﹣2＜2，则0＜K22＜1，即0＜x﹣y＜1，故选：B．4．已知方程组−2=2+3=+1的解x，y满足2x+y≥0，则m的取值范围是m≥−43．【解答】解：2−=−①3+2=+1②，①×2+②得：7x＝﹣m+1，即x=−r17，将x=−r17代入①得：y=5r27，根据题意得：2x+y=−2r27+5r27≥0，解得：m≥−43．故答案为：m≥−435．甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有12件．【解答】解：设共购商品2x件，9元的商品a件，则8元商品为（2x﹣a）件，根据题意得：8（2x﹣a）+9a＝172，解得a＝172﹣16x，∵依题意2x≥a，且a＝172﹣16x≥0，x为大于0的自然数，∴可得9.6≤x≤10.75，∴x＝10，则a＝12．所以9元的商品12件，故答案为：12．6．满足不等式|5﹣x|+|x﹣1|＜37的整数解共有7个．【解答】解：①当x＜1时，不等式变形为5﹣x+1﹣x＜37，解得：xx＜1，整数解是0；②当1≤x＜5时，不等式变形为：5﹣x+x﹣1＜37即4＜37，此时的整数解是：1，2，3，4有三个．③当x≥5时，不等式转化为x﹣5+x﹣1＜37，则2x＜6+37，则x＜3+则整数解是：5，6．则原不等式的整数解是：0，1，2，3，4，5，6，共7个．故答案为：7．7．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否＞487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是7＜x≤19．【解答】解：前四次操作的结果分别为3x﹣2；3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8；3（9x﹣8）﹣2＝27x﹣26；3（27x﹣26）﹣2＝81x﹣80；由已知得：27−26≤48781−80＞487，解得：7＜x≤19．容易验证，当7＜x≤19时，3x﹣2≤4879x﹣8≤487，故x的取值范围是：7＜x≤19．故答案为：7＜x≤19．8．[a]表示不大于a的最大整数，那么方程[3x+1]＝2x−12的所有根的和是﹣2．【解答】解：设x＝n+a（n为整数，0≤a＜1），代入原方程得：[3n+3a+1]＝2n+2a−12，即3n+1+[3a]＝2n+2a−12，∴n+1+[3a]＝2a−12①，则n+[3a]＝2a−32于是2a−32是整数，又∵0≤a＜1，∴−32≤2−32＜12，∴2a−32=0或﹣1，当2a−32=0时，解得a=34，把a=34代入①式，n+[94]＝0，∴n＝﹣2．于是得1=−2+34；当2a−32=−1时，a=14代入①式，n+[14]＝﹣1，∴n＝﹣1．于是得2=−1+14，则1+2=(−2+34)+(−1+14)=−2，故所有根的和是﹣2．故答案为：﹣2．9．已知k是满足1910＜k＜2010的整数，并且使二元一次方程组5−4=74+5=有整数解．问：这样的整数k有多少个？【解答】解：解方程组可得解：=35+441=5K2841．设当35+4=4128−5=41（其中m和n是整数）（1）时方程组有整数解．消去上面方程中的k，得到5m+4n＝7．（2）∵m=7−45=1﹣n+2+5且m和n是整数，∴只要满足2+5=l（l是整数）即可，即n＝5l﹣2，代入（2）式得m＝3﹣4l，∴从（2）解得=3−4=5−2（其中l是整数）．（3）将（3）代入（1）中一个方程得：35+4k＝123﹣164l，解得k＝22﹣41l．∵k是满足1910＜k＜2010的整数，∴1910＜22﹣41l＜2010，解不等式得−198841＜l＜−189041，即﹣482041＜l＜﹣46441，因此共有2个k值使原方程有整数解．答：这样的整数k有2个．10．某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产此两种型号挖掘机，所生产的此两种型号挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：型号A B成本（万元/台）200240售价（万元/台）250300（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？（2）该厂如何生产能获得最大利润？（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m 万元（m＞0），该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润＝售价﹣成本）【解答】解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机（100﹣x）台，由题意得22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，解得37.5≤x≤40．∵x取非负整数，∴x为38，39，40．∴有三种生产方案①A型38台，B型62台；②A型39台，B型61台；③A型40台，B型60台．答：有三种生产方案，分别是A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台，B型60台．（2）设获得利润W（万元），由题意得W＝50x+60（100﹣x）＝6000﹣10x，＝5620（万元），∴当x＝38时，W最大答：生产A型38台，B型62台时，获得最大利润．（3）由题意得W＝（50+m）x+60（100﹣x）＝6000+（m﹣10）x当0＜m＜10，则x＝38时，W最大，即生产A型38台，B型62台；当m＝10时，m﹣10＝0则三种生产方案获得利润相等；当m＞10，则x＝40时，W最大，即生产A型40台，B型60台．答：当0＜m＜10时，生产A型38台，B型62台获利最大；当m＝10时，3种方案获利一样；当m＞10时，生产A型40台，B型60台获利最大．11．一般地，对任意的实数x，可记x＝[x]+{x}．其中：符号[x]叫做x的整数部分，表示不大于x的最大整数（例如[3]＝3，[3.14]＝3，[﹣3.14]＝﹣4；符号{x}叫做x的小数部分，即0≤x＜1（例如{3.14}＝0.14，{3.86}＝0.86）．试求出所有的x，使得13x+5[x]＝100【解答】解：令[x]＝n，代入原方程得13x+5n＝100，即x=100−513，又∵[x]≤x＜[x]+1，∴n≤100−513＜n+1．整理得13n≤100﹣5n＜13n+13，即296＜n≤509，∴n＝5．代入原方程得13x+5×5＝100，解得：x=7513．经检验，x=7513是原方程的解．12．（探索题）某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商店出售的这种瓷砖有大，小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大，小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少？【解答】解：依题意有三种购买方案方案一：只买大包装，则需买包数为48050=485由于不折包装，所以只需买10包，所付费用为30×10＝300元．方案二：只买小包装，则需买包数为48030=16，所付费用为16×20＝320元．方案三：既买大包装，又买小包装并设买大包装x包，小包装y包，所需费用为w元，根据题意得50+30≥480=30+20，所以w=−103x+320因为0＜50x＜480，且x为正整数所以0＜x＜9.6．所以x＝9时，w＝290（元）最小即购买9包大包装瓷砖和1包小包装瓷砖时，所付费用最少，最少为290元．13．某校决定购买一些跳绳和排球．需要的跳绳数量是排球数量的3倍，购买的总费用不低于2200元，但不高于2500元（1）商场内跳绳的售价20元/根，排球的售价为50元/个，设购买跳绳的数量为x，按照学校所定的费用，有几种购买方案？每种方案中跳绳和排球数量各为多少？（2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最少？最少费用是多少元？（3）由于购买数量较多，该商规定20元/根跳绳可打九折，50元/个的排球可打八折，用（2）中的最少费用最多还可以多买多少跳绳和排球？【解答】解：（1）根据题意得：20+50×3≥220020+50×3≤2500解得60≤x≤68211．∵x为正整数∴x可取60，61，62，63，64，65，66，67，68∵13也必需是整数∴13可取20，21，22．∴有三种购买方案：方案一：跳绳60根，排球20个；方案二：跳绳63根，排球21个；方案三：跳绳66根，排球22个．（2）在（1）中，方案一购买的总数量最少，所以总费用最少最少费用为：60×20+20×50＝2200．答：方案一购买的总数量最少，所以总费用最少，最少费用为2200元．（3）设用（2）中的最少费用最多还可以多买的排球数量为y，20×90%（60+3y）+50×80%（20+y）≤2200，解得：y≤31947，∵y为正整数，∴满足y≤31947的最大正整数为3∴多买的跳绳为：3y＝9（根）．答：用（2）中的最少费用最多还可以多买9根跳绳和3个排球．14．为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220200200运往E县的费用（元/吨）250220210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？【解答】解：（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨．由题意，得+=280=2−20解得=180=100答：这批赈灾物资运往D县的数量为180吨，运往E县的数量为100吨．（2）由题意，得120−＜2−20≤25解得＞40≤45即40＜x≤45．∵x为整数，∴x的取值为41，42，43，44，45．则这批赈灾物资的运送方案有五种．具体的运送方案是：方案一：A地的赈灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；B地的赈灾物资运往D县79吨，运往E县21吨．方案二：A地的赈灾物资运往D县42吨，运往E县58吨；B地的赈灾物资运往D县78吨，运往E县22吨．方案三：A地的赈灾物资运往D县43吨，运往E县57吨；B地的赈灾物资运往D县77吨，运往E县23吨．方案四：A地的赈灾物资运往D县44吨，运往E县56吨；B地的赈灾物资运往D县76吨，运往E县24吨．方案五：A地的赈灾物资运往D县45吨，运往E县55吨；B地的赈灾物资运往D县75吨，运往E县25吨．（3）设运送这批赈灾物资的总费用为w元．由题意，得w＝220x+250（100﹣x）+200（120﹣x）+220（x﹣20）+200×60+210×20＝﹣10x+60800．因为w随x的增大而减小，且40＜x≤45，x为整数．所以，当x＝41时，w有最大值．则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：w＝60390（元）．。
基本不等式方法培优专题(精校版word)
基本不等式培优专题目录：培优点一：常规配凑法 培优点二：常量代换 培优点三：换元法培优点四：和、积、平方和三量减元 培优点五：轮换对称和万能k 法培优点六：消元法（必要构造函数求导） 培优点七：不等式算两次 培优点八：齐次化培优点九：待定与技巧性强的配凑 培优点十：多元变量的不等式最值问题 培优点十一：不等式综合问题一、常规配凑法1.已知242(,)aba b R +=∈，则2a b +的最大值为__________,02.已知实数,x y ,满足22116y x +=，则__________,943.已知不等式11()()9x my x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数m 的最小值______,44.已知实数,x y ,满足1x ≠，则11x y y x ++-+的最小值为__________,15.已知实数0,0x y >>,满足23x y+=xy 的最小值为__________,6.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则412x y y+-的最小值为__________,97.已知实数0,0x y >>,满足11111x y +=++，则2x y +的最小值为__________, 二、“1”的代换8.已知实数0,0>>y x ,满足1x y +=，则1y x y+的最小值为__________3,此时_____x =129.已知实数0x y >>,满足121x y +=，则2y x+的最小值为__________，9 10.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则413x y x y ++-的最小值为__________,9411.记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大数，若0,0x y >>，则13max{,,}x y x y+的最小值为______,212.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则22221x y x y ++-+的最小值为13.已知正实数,x y ,满足121(2)(2)x y y x y x+=++，则xy 的最大值为__________,2三、换元法14.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11112x y+++的最小值为15.已知22log (2)log (1)1a b -+-≥，则2a b +取到最小值时________ab =916.已知实数20x y >>,满足11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为17.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11x y x y +++的最大值为__________,2318.已知实数0,0x y >>,满足22x y +=，则224122x y y x +++的最小值为__________,4519.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则1911x y +--的最小值为__________,6 20.已知实数,x y ,满足3x y xy +=-，且1x >，则(8)y x +的最小值为__________,2521.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则4911x y x y +--的最小值为__________,2522.已知实数,x y ，满足491xy+=，则1123x y +++的取值范围为__________,23.已知实数,x y ，满足114422x y x y +++=+，则22xyS =+的取值范围为__________,(2,4] 四、和、积、平方和三量减元24.已知实数,x y ,满足4x y +=，则xy 的最大值为__________4,22(1)(1)x y ++的最小值为__________,1625.已知实数0,0x y >>,满足()4xy x y +=，则xy 的最大值为_,2x y +的最小值为__________,226.已知实数,x y ,满足2x y +=，则221111x y +++的最大值为27.已知正实数,x y ,满足22421x y x y +++=，则xy 的最大值为28.已知实数,x y ,满足412x y y x xy +=-，则221xyx y +-的最大值为__________,13+ 29.已知非负实数,x y ,满足222244432x y xy x y +++=，则2x y +的最小值为2)2x y xy ++的最大值为__________,16 30.已知正实数,x y ,满足42y x xy ++=，则221217xy x y xy +++的取值范围为______,13(,]172531.已知正实数,x y ,满足2342x y xy ++=，则54xy x y ++的最小值为__________,55 32.已知正实数,x y ,满足2(2)16x y xy +=+，则21xy x y ++的最大值为__________,16五、轮换对称与万能k 法33.已知实数,x y ,满足2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为__________,534.已知正实数,x y ,满足22x y +=，则x __________,8535.已知正实数,x y ,满足2291x y +=，则3xyx y+的最大值为__________,1236.已知实数,,x y z ,满足0x y z ++=，2221x y z ++=则x 的最大值为__________,337.已知实数,x y ,满足229461x y xy ++=，则96x y +的最大值为__________,六、消元法（必要构造函数求导） 38.若存在正实数y ,使得154xy y x x y =-+，则x 的最大值为__________,1539.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则12x y +的最小值为_________3_,2212x y+的最小值为_________3,40. 已知正实数,x y ,满足1x y +=，则222x yx y x y+++的最大值为1+ 41. 已知正实数,x y ,满足240x y -+≤，则23x y u x y +=+有最_小__值为________,14542. 已知正实数,x y ,满足113x y +=，则xy 的最小值为_________49_,1y xy +的最大值为__________,4七、不等式算两次43.已知实数0x y >>，则21()x y x y +-的最小值为__________,444.已知实数20x y >>，则29()(2)x y y x y -+-的最小值为__________,1245.已知实数0x y >>，则4441x y xy++的最小值为__________,446.已知实数0,0x y >>，则2211()()22x y y x+++的最小值为__________,4 47.已知正实数,,x y z ，则2222()52x y z yz xz++++的最小值为__________,448.已知实数0x y >>，则322x x y x y+++-的最小值为__________,49.已知实数2,0,0>>>z y x ，且2x y +=，则2xz z z y xy +-的最小值为_______,+八、齐次化50.若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为____________.451.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则23x y xy+的最小值为__________,152.已知正实数,x y ,若23x y +=，则2222629xy xyy x y x+++的最大值为53.已知实数,x y ,满足22222x xy y -+=，则222x y +的最小值为__________,73九、待定和技巧性强的配凑54.已知正实数,,x y z ，满足3456x y z ++=，则1422y z y z x z ++++的最小值为_______,7355.已知正实数,x y ,满足111x y+=，则2210x xy y -+的最小值为__________,-3656.已知正实数,x y ,满足1xy ≤，则11112x y+++的最小值为__________,2 57.已知实数,,x y z ，满足222144x y z ++=，则22xy yz xz ++的取值范围为_____,[2,4]-58.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则3xy yz +的最大值为__________,259.已知实数,,x y z ，满足2224x y z ++=+的最大值为__________,十、多元变量的不等式最值问题60.已知正实数,,,a b c d ，满足1a b +=，1c d +=则11abc d+的最小值为__________,961.已知实数,,x y z ，满足222215xy z x y z +=⎧⎨++=⎩，则xyz 的最小值为____32______,此时___z =262.已知正实数,,x y z ，满足()x x y z yz ++=，则xy z+的最大值为__________,1263.已知实数,,x y z ，满足0,x y z x y z ++=>>，则的取值范围为______,(55-64.已知实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则xy z +的最小值为__________,-165.已知实数,,x y z ，满足222231x y z ++=，则2x y +的最大值为66.已知正实数,,x y z ，满足2xy x y =+，2xyz x y z =++则z 的最大值为__________,8767.已知正实数,,x y z ，满足x y z +≥，则y x x y z ++的最小值为1268.已知正实数,,x y z ，满足111x y +=，111x y z +=+，则z 的取值范围为__________,4(1,]369.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z xy yz ++--=，则z 的最大值为70.已知非负实数,,x y z ，满足1x y z ++=，则()()z x z y --的取值范围为___,1[,1]8- 十一、不等式综合应用71.已知正实数,x y ,满足4146x y x y ++=+，则41x y+的最小值为__________,8 72.已知正实数,x y ,满足148x y x y+=++，则x y +的最小值为__________,9 73.已知正实数,x y ,满足111924x y x y +++=，则3716x y -的最小值为__________,14- 74.已知实数,,(0,1)a b c ∈，设212121,,,111a b b c c a+++---这三个数的最大值为M ，则M 的最小值为_______3+75.已知实数,x y ，满足1,0x y >>，且114111x y x y +++=-则111x y+-的最大值为__,976.已知正实数,x y ，满足2(1)(32)(2)xy y y -=+-，则1x y+的最大值为______,1 77.已知正实数,x y ，满足2811x y+=，则x y +的最小值为__________,6。
初一数学培优专题二：含参一元不等式(组)
专题二：含参一元不等式（组）一、不等式的基本性质：（１）如果 a>b, 那么 a+c > b+c.（２）如果 a>b, 并且 c>0, 那么 ac > bc.（３）如果 a>b, 并且 c<0, 那么 ac < bc.例1、已知关于x 不等式,2)1>-x a （,（1）当它的解集为ax ->12，则a 的取值范围是____________ （2）当它的解集为ax -<12，则a 的取值范围是____________ 变式：如果关于x 的不等式，的解集相同，的解集和（1215)2<+<-x a x a 则a 的值_______二、一元一次不等式的解集口诀同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解例2、关于x 的不等式组2x x a>⎧⎨>⎩ （1）若它的解集是x > a,则a 的取值范围是 .（2）若它的解集是x >2,则a 的取值范围是变式 一：关于x 的不等式组2x x m≤⎧⎨<⎩（1）若它的解集为x <m ， 则m 的取值范围是 .（2）若它的解集为2≤x ， 则m 的取值范围是变式二：已知关于x 的不等式组2113x x m-⎧>⎪⎨⎪>⎩的解集为2x >，则( ).2.2.2.2A m B m C m D m ><=≤变式三：关于x 的一元一次不等式组x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x>a,则a 与b 的关系为( ) 0.0A a b B a b C a b D a b ≥≤≥>≤< 变式四：若关于x 的不等式组841x x x m +-⎧⎨⎩p f 的解集是x ＞3，则m 的取值范围是变式五：若关于x 的不等式组()202114x a x x->⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集是x>2a,则a 的取值范围是 。
高考培优微专题《给参数范围证明不等式》学生版
高考数学培优微专题《给参数范围证明不等式》【考点辨析】给参数范围证明不等式与给不等式求参数范围是不同的考法，后者主要采元分离构造或分类构造来处理，而前者主要是依次处理两个变量的恒成立。
在处理时关键认清不等式中参数与变量的地位构造适当的函数求最值，在求最值的过程中要厘清参数是对函数的影响，在指对共存的条件下要适当结合放缩，同构，虚设等做法，【知识储备】①∀x∈D,∀a∈E,都有f(x,a)>g(a)恒成立⇔先证明∀x∈D,f(x,a)≥f(x0,a)再证明∀a∈E, f(x0,a)>g(a)②∀x∈D,∀a∈E,都有f(x,a)>g(x)恒成立⇔先证明理∀a∈E,f(x,a)≥f(x,a0),再证明理∀x∈D,f(x,a0)>g(x)【例题讲解】类型一：证明f(x,a)>g(a)型时先处理∀x∈D,f(x,a)≥f(x0,a)再处理∀a∈E,f(x0,a)>g(a) 1.已知函数f x =a e x+a-x．(1)讨论f x 的单调性；(2)证明：当a>0时，f x >2ln a+32．2.已知函数f x =ln x+a2x2a∈R．(1)讨论f x 的单调性；(2)当a>1时，证明：f x >3a-12a+2．类型二：证明f(x,a)>g(x)型时先证明∀a∈E,f(x,a)≥f(x,a0),再证明∀x∈D,f(x,a0)>g(x) 3.函数f x =1+x⋅e x-k e x-1.当x>0，k≤2时，证明：f x >0.4.已知函数f x =tx-t-1ln x-t；(3)证明：当t≤0，且x>1时，f x <e x-1-1．【解题策略】___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________【教考衔接】1.已知函数f x =2ax-e x．(1)讨论f x 的单调性；(2)证明：当a>0时，f x ≤4a2-4a．2.已知函数f x =12ax2+2+ax+2ln x，(2)若a<0，证明：f x ≤-6a-4．3.已知函数f x =e x-x-1.(1)证明：f x ≥0；(2)当m≤1时，证明不等式e x-mx+cos x-2≥0，在x∈0,+∞上恒成立.4.已知函数f x =e x-ln x a.(2)若0<a<1，求证：f x ≥2+ln aa.。
第3章 一元一次不等式 浙教版数学八年级上册培优试卷(含答案)
浙教版八年级上册第三章一元一次不等式培优一、选择题1．若a>b，则下列各式一定成立的是（ ）A．a+1<b+1B．―a>―b C．a―2<b―2D．a3>b32．如图，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，物体A的质量为m(g)，则m的取值范围在数轴上可表示为（ ）A．B．C．D．3．不等式组x+1>02x≤2的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）A．B．C．D．4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A．a>c>b B．c―a>b―a C．a c2<b c2D．a+b>05．在数学活动课中，小俞同学将某商场促销活动的信息列出不等式为0.7×(2x―100)<1000（其中x为某一商品的定价，单位：元），那么该商场促销活动的信息是（ ）A．买两件该商品可减100元，再打3折，最后不到1000元B．买两件该商品可打3折，再减100元，最后不到1000元C．买两件该商品可减100元，再打7折，最后不到1000元D．买两件该商品可打7折，再减100元，最后不到1000元6．如图所示，运行程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否>79”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）A．x>9B．x≤19C．9<x≤19D．9≤x≤197．若关于x 的不等式组4―(x ―2)≥33x ―a >2x有且只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．―1≤a <0B ．―1<a ≤0C ．0<a ≤1D ．0≤a <18．若x 为实数，则[x ]表示不大于x 的最大整数，例如[1,6]=1,[π]=3,[―2,82]=―3等．[x ]+1是大于x 的最小整数，则方程6x ―3[x ]+9=0的解是（ ）A ．x =―83B ．x =―196C ．x =―72或x =―3D ．x =―83或x =―1969．已知三个实数a ，b ，c 满足a ―2b ―c =0，a +2b ―c <0，则（ ）A ．b <0，b 2+ac ≤0B ．b <0，b 2+ac ≥0C ．b >0，b 2+ac ≤0D ．b >0，b 2+ac ≥010． 已知关于x 的分式方程mx(x ―2)(x ―6)+2x ―2=3x ―6无解，且关于y 的不等式组m ―y >4y ―4≤3(y +4)有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m 的乘积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8二、填空题11．若(m ―1)x >(m ―1)的解集是x <1，则m 的取值范围是 ；12．一罐饮料净重300g ，罐上标注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量至少为 g ．13．若关于x 的不等式组x <1x ≤a 的解集是x <1，则a 的值可以是 （写出一个即可）．14．关于x 的方程k ―2x =3(k ―2)的解为非负数，且关于x 的不等式x ―2(x ―1)≤32k +x 3≥x 有解，求符合条件的所有整数k 的值的积为 ．15．若关于x 的不等式组―6<x <2x ―m <m无解，那么m 的取值范围是 16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x ＞，即：当n 为非负整数时，如n ﹣12≤x ＜n+12，则＜x ＞＝n ．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x ＞＝97x ，则x ＝ ．三、解答题17．课堂上，老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集．请根据下面的“接力游戏”回答问题．接力游戏老师：3x +12―1>5x ―43甲同学：3(3x +1)―6>2(5x ―4)乙同学：9x+3―6>10x―8丙同学：9x―10x>―8―3+6丁同学：―x>―5戊同学：x>5任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是根据______进行变形的．A．等式的基本性质B．不等式的基本性质C．乘法对加法的分配律②在“接力游戏”中，出现错误的是______同学，这一步错误的原因是______．任务二：在“接力游戏”中该不等式的正确解集是______．任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对解不等式时还需要注意的事项给同学们提一条建议．18．解不等式1―x3―x<3―x+24．并把解集表示在数轴上．19．解不等式组：5x―6≤2(x+2) x4―1<x―3320．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是―4，点B对应的数字是m．（1）若AB=2，求m的值；（2）将AB线段三等分，这两个等分点所对应数字从左到右依次是a1，a2，若a2>0，求m的取值范围．21．如图所示的是某大院窗格的一部分，其中“O”代表窗格上所贴的剪纸，设第x个窗格上所贴“O”的个数为y．（1）填写下表．x12345xy581117（用含x的式子表示）（2）若第x个窗格上所贴的“O”的个数大于50，求x的取值范围．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,a)，B(b,3)，E(3―a,0)，其中a，b满足|a―5|+b―4=0．平移线AB段得到线段CD，使得C，D两点分别落在y轴和x轴上．（1）①点A的坐标是____________；点B的坐标是____________；②求三角形OCD的面积．（2）将点E向下移动1个单位长度得到点F，连接FC，FD，Q(m,0)是x轴负半轴上一点．若三角形QCD 的面积不小于三角形FCD的面积，求m的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(a,0)，B(0,b)，C(2,4)，且2a+b+10+|3a―2b+8|=0．（1）求a，b的值；，求t的取值范围；（2）点D(t,0)为x轴上一点，且S三角形ABD≤13S三角形ABC（3）平移三角形ABC到三角形EFG（其中点A，B，C的对应点分别为点E，F，G），设E(m,n)，F (p,q)，且满足5m―n=43p―q=4，请直接写出点G的坐标．答案解析部分1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】C 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】m <112．【答案】1.513．【答案】2（答案不唯一）14．【答案】015．【答案】m ≤―316．【答案】0或79或149．17．【答案】任务一：①C ；②戊；不等式的两边同时乘以―1，不等号的方向没有改变任务二：x <5任务三：去括号时，括号前面是“―”，去括号后，括号的每一项都要变号，或移项要变号18．【答案】x >―219．【答案】0<x ≤10320．【答案】（1）―2（2）m >221．【答案】（1）14，3x +2（2）x >16．22．【答案】（1）①A (1,5)，B (4,3)，②3（2）m ≤―7223．【答案】（1）a 的值为―4，b 的值为―2（2）―10≤t ≤2（3）G(8，10)。
七年级数学培优专题 专题16 不等式
专题16 不等式（组）阅读与思考客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.例题与求解【例1】已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+->-+x t x x x 235352恰好有5个整数解，则t 的取值范围是（ ） A 、2116-<<-t B 、2116-<≤-t C 、2116-≤<-t D 、2116-≤≤-t(2013 年全国初中数学竞赛广东省试题）解题思路：把x 的解集用含t 的式子表示，根据题意，结合数轴分析t 的取值范围.【例2】如果关于x 的不等式71005)2(<>---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 .（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）解题思路：从已知条件出发，解关于x 的不等式，求出m ，n 的值或m ，n 的关系.【例3】已知方程组⎩⎨⎧=+=-62y mx y x 若方程组有非负整数解，求正整数m 的值.（天津市竞赛试题） 解题思路：解关于x ，y 的方程组，建立关于m 的不等式组，求出m 的取值范围.【例4】已知三个非负数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m＝3a ＋b －7c ，求m 的最大值和最小值.（江苏省竞赛试题）解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m 的最大值与最小值.【例6】设765,4321,,,,,x x x x x x x 是自然数，7654321x x x x x x x <<<<<<，654543432321,,,x x x x x x x x x x x x =+=+=+=+，2010,7654321765=++++++=+x x x x x x x x x x 又，求321x x x ++的最大值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.【例6】已知实数a ，b 满足,10,41≤-≤≤+≤b a b a 且a －2b 有最大值，求8a ＋2003b 的值.解题思路：解法一：已知a －b 的范围，需知－b 的范围，即可知a －2b 的最大值得情形.解法二：设a －2b ＝m （a ＋b ）＋n （a －b )＝（m ＋n )a ＋（m －n )b能力训练A 级1、已知关于x 的不等式4321432≥-≤+x mx x m 的解集是那么m 的值是 （“希望杯”邀请赛试题）2、不等式组⎩⎨⎧<->+5242b x a x 的解集是20<<x ，那么a ＋b 的值为（湖北省武汉市竞赛试题）3、若a ＋b ＜0，ab ＜0，a ＜b ，则b b a a --,,,的大小关系用不等式表示为（湖北省武汉市竞赛试题）4、若方程组⎩⎨⎧+=++=+36542m y x m y x 的解x ，y 都是正数，则m 的取值范围 是（河南省中考试题） 5、关于x 的不等式x a ax +>+33的解集为3-<x ，则a 应满足（ ） A 、a ＞1 B 、a ＜1 C 、1≥a D 、1≤a(2013年全国初中数学竞赛预赛试题）6、适合不等式21414312-≥+->-x x x 的x 的取值的范围是（ ）7、已知不等式0)2)(1(>+-x mx 的解集23-<<-x 那么m 等于（ ） A 、31B 、31- C 、3 D 、－3 8、已知0≠a ，下面给出4个结论：①012>+a ；②012<-a ；③1112>+a ④1112<-a ，其中，一定成立的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（江苏省竞赛试题）9、当k 为何整数值时，方程组 ⎩⎨⎧-=-=+k y x y x 3962有正整数解？ （天津市竞赛试题）10、如果⎩⎨⎧==21y x 是关于x ，y 的方程08)12(2=+-+-+by ax by ax 的解，求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<-+>-331413x ax bx a x 的解集11、已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<≥-203b x a x 的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等式组的所有可能的整数对（a ，b ）共有多少个？（江苏省竞赛试题）B 级1、如果关于x 的不等式03≥+ax 的正整数解为1，2，3那么a 的取值范围是（北京市”迎春杯“竞赛试题）2、若不等式组⎩⎨⎧-≥-≥+2210x x a x 有解， 则a 的取值范围是___________.（海南省竞赛试题）3、已知不等式03≤-a x 只有三个正整数解，那么这时正数a 的取值范围为 .（”希望杯“邀请赛试题）4、已知1121<-<-x 则12-x的取值范围为 .(“新知杯”上海市竞赛试题）5、若正数a ，b ，c 满足不等式组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<<+<<+<b c a b a c b a c b a c 4112535232611，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A 、a ＜b ＜cB 、 b ＜c ＜aC 、c ＜a ＜bD 、不确定（“祖冲之杯”邀请赛试题）6、一共（ ）个整数x 适合不等式99992000≤+-x xA 、10000B 、20000C 、9999D 、80000（五羊杯“竞赛试题）7、已知m ，n 是整数，3m ＋2＝5n ＋3，且3m ＋2＞30，5n ＋3＜40，则mn 的值是（ ）A 、70B 、72C 、77D 、84 8、不等式5+>x x 的解集为（ ）A 、25<x B 、25>x C 、25-<x D 、25->x（山东省竞赛试题）9、31,2351312++---≥--x x xx x 求已知的最大值和最小值. （北京市”迎春杯”竞赛试题）10、已知x ，y ，z 是三个非负有理数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若s ＝2x ＋y －z ，求s 的取值范围.（天津市竞赛试题）11、求满足下列条件的最小正整数n ，对于n 存在正整数k 使137158<+<k n n 成立.12、已知正整数a ，b ，c 满足a ＜b ＜c ，且1111=++cb a ，试求a ，b ，c 的值.。
八年级不等式培优提高练习
八年级不等式培优提高练习1.若关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是什么？2.设a，b是常数，不等式bx-a<0的解集为x<1，则关于x 的不等式bx-a<0的解集是什么？3.若不等式(ax-1)(x+2)>0的解集是-3<x<-2，那么a等于多少？4.不等式的解集为x>2，则m的值为多少？6.已知a>b，c≠0，则下列关系一定成立的是什么？7.下列命题中，正确的命题个数是多少？8.若x是方程2x+m-3(m-1)=1+x的解为负数，则m的取值范围是什么？10.若x为任意实数时，二次三项式x^2-6x+c的值都不小于0，则常数c满足的条件是什么？11.关于x的方程mx-1=2x的解为正实数，则m的取值范围是什么？13.已知△ABC的边长分别为2x+1，3x，5，则△ABC的周长L的取值范围是什么？14.已知实数x、y同时满足三个条件：3x-2y=4-p，4x-3y=2+p，x>y，则实数p的取值范围是什么？15.关于x的不等式组的解集是x>-1，则m=？16.若不等式组解集为x<1，则m=？例题】解一元二次不等式：x^2-2x-8>0.解：对x^2-2x-8分解因式，得x^2-2x-8=(x-4)(x+2)。
x-4)(x+2)>0.由“两实数相乘，同号得正，异号得负”，可得①或②解①得x>4；解②得x<-2.故x^2-2x-8>0的解集是x4.1）直接写出x^2-9>0的解是x3；2）仿照例题的解法解不等式：x^2+4x-21<0；3）求分式不等式：(x-2)/(x+1)≤0的解集为x∈[-1,2]。
2025高考数学培优25讲1.不等式拓展
第1章不等式拓展1.1赫尔德不等式一、【题型总结】▲适用题型：已知22Ax By +的值，求mx ny +的取值范围，或者已知mx ny +的值，求22Ax By +的最值或者求+▲方法原理：赫尔德不等式高中常用形式:（其中,,(1,2,,)i i i a b c i n = 非负）一:()()()3112233a b a b a b +++≥二:()()()3111222333a b c a b c a b c ++++++≥三:()()()111121212,n n n a b z m a a a b b b z z z +++++++++共个字母m≥+ ，取等条件：111::::::(2,,)i i i a b z a b z i n == ，2m =时,赫尔德不等式即柯西不等式.二、【典型例题】1．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足1x y +=，则2218x y+最小值．2．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足221x y +=，则18x y+最小值．三、【习题检测】1．（杭州质检）已知x y ，是正实数且满足143x y +=，则222y x +最小值．2．（全国·高三专题）已知0a >，0b >，3382a b +=，则2a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2764sin cos αα+最小值．1.2柯西不等式1.2.1整式类型一、【题型总结】▲适用题型：已知22Ax By +的值，求mx ny +的取值范围，或者已知mx ny +的值，求22Ax By +的最值或者求+▲方法原理：1.二维柯西不等式：设a ，b ，c ，d 均为实数，有22222()()()a b c d ac bd ++≥+当且仅当a bc d=时等号成立；向量法证明：()()22222,,,,cos 1cos ()()()m a b n c d m n m n m n ac bd a b c d ac bd θθ⎧==≤⎪⎪⇒=≤⎪⎨⎪⇒+≤⎪⎪⇒++≥+⎩；取等时向量共线，即a b c d =；代数法证明：()()()2222222222222222222222()22()0a b c d ac bd a c a d b c b d a c acbd b d a d b c acbd ad bc ⎧⎪⎪⎨⎪⎪++-+=+++-++=+-=⎩-≥易知取等条件是ad bc =，解答题用到柯西不等式，即可证明；2.n 维柯西不等式：222222222123123112233(......)(......)(......)n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b ++++++++≥++++，其中字母值域均为R ，当且仅当312123......n na a a ab b b b ====时等号成立，n 维向量证明（不作要求）;二、【典型例题】1．（福建·高考真题）设,a b R ∈，2226a b +=，则a b +的最小值是（）A．-B．3-C．3-D．72-2．（江苏·高考真题）若,,x y z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值为．3．（湖南·高考真题）设,x y R ∈,则222211(4)x y y x++的最小值为．4．（全国·高三专题）已知0x >，y ∈R ，且2530x xy x y +-+=+的最大值为（）C．D．5．（全国·高三专题）设,a b R ∈，且2210a b +=，则a b -的取值范围为______.6．（全国·高三专题）已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=，的最大值为（）A．3B．C．18D．97．（湖北·高考真题）设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b c x y z++=++（）A．14B．13C．12D．34三、【习题检测】1．（全国·高三专题）已知1,1x y >->-，且(1)(1)4x y ++=，则xy 的最大值是．2．（全国·高三专题）已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是．3．（陕西·高考真题）设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，的最小值为．4．（浙江湖州·高三期末）已知x ，y ∈R ，且3x y +=，+的最小值是．5．（全国·高三专题）已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为．6．（重庆卷）已知正数,x y 满足5x y +=的最大值为．7．（全国·高三专题）对于0c >，当非零实数a ，b 满足2222a ab b c -+=且使||a b +最大时，345a b c-+的最小值为．8.（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：()()()22222a b c d ac bd ++≥+，当且仅当a bc d=时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数()f x =的最大值为（）A．B．C．12D．209.（2024·浙江·模拟预测）已知0x >，y ∈R ，且2530x xy x y +-+=值为（）C．D．10．（2024·江西宜春·三模）已知0x >，0y >，且满足2249630x y xy ++-=，则23x y +的最大值为．1.2.2分式类型一、【题型总结】▲适用题型：一般出现变量和以及变量的倒数和等类型可以考虑；▲方法原理：模型一：2222222()()()m n a b m n a b++≥+；例如：211()()a b a b ++≥=4；模型二：2[()(1)]()1a b a bx x x x x x+=+-+≥--1二、【典型例题】1．（浙江·高考真题）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A．245B．285C．5D．62．（陕西·高考真题）设,x y 为正数，则14()()x y x y++的最小值为（）A．6B．9C．12D．153．（河南开封·高二阶段）已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c ++的最小值为（）A．9B．8C．3D．134．（全国·高三专题）已知1a b c ++=，且,,0a b c >，则222a b b c a c+++++的最小值为()A．1B．3C．6D．95．（天津·耀华中学一模）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121aa b ++的最小值为．6．（浙江台州·高三期末）已知正实数,a b 满足21a b +=，则4432a b b a+的最小值为．三、【习题检测】1．（山东·高考真题）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为．2．（全国·高三专题）已知a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则111111a b c +++++的最小值为．3．（全国·高三专题）设x ，y ，z的最大值是．4．（全国·高三专题）已知,x y R ∈，且222,x y x y +=≠，则2211()()x y x y ++-的最小值是．5．（天津·耀华中学模拟预测）已知实数0a >，0b >，121a b +=，则4312a ba b +--的最小值是．6．（全国·高三专题）已知正数,,x y z 满足321x y z ++=，则24242x y y z x y++++的最小值为．7．（2024·高三·天津南开·期中）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121a ab ++的最小值为．1.2.3待定系数类型一、【题型总结】▲适用题型：直接使用柯西发现系数不匹配则可以考虑；▲方法原理：待定系数：()()()2222222101a b m m a b ma m ⎡⎤⎡⎤+=+-+≥+<<⎣⎦⎣⎦比如已知正数,a b 满足1381a b +=，则2a 解题思路：()()()()()()()()()222222241401112222131333138188511213855343255552138155a b m m a b ma m m a b a m a a b a b m a a b a a b a b b ⎧⎡⎤⎡⎤+=+-+≥+<<⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎨⎪=⎪⎩+≥++++=⇒⇒=+≥+=⎧=⎫⎪=⎪⎪⇒⎬⎨⎪⎪+==⎭⎪⎩柯西待定系数化简结果对比中，系数为计算答案时125a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒+⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩最小值为取等二、【典型例题】1．（全国·高三专题）已知正数,a b 满足341ab +=，则a +的最小值为．2．设a ，b ，c 为正数，且2221a b c ++=，则()a a b c ++的最大值为（）A．312+B．212+C．32D．223.（2024·浙江·一模）若()2s s in i c n os x y y x +++=，则sin x 的最小值是（）A．0B．2C．3-D．12三、【习题检测】1．（全国·高三专题）已知实数0x >，0y >，3x y +=，+的最小值是．2．（全国·高三专题）已知正数,a b 满足8a +=，则32a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若a ，b 是正实数，且121a b+=，则a b ++的最小值为．4．若实数a ，b ，c ，d 满足1ab bc cd da +++=，则2222234a b c d +++的最小值为（）A．1B．2C．3D．以上答案都不对1.3权方和不等式1.3.1分式类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有22a b x y +和x y +时，也就是柯西不等式中分式类型的题目可以考虑；▲方法原理：由柯西不等式可知222()()()a b x y a b x y++≥+，则,,,0a b x y >时，222()a b a b x y x y ++≥+当a bx y =时，等号成立．同理2222(),a b c a b c x y z x y z ++++≥++当a b cx y z ==时，等号成立．二、【典型例题】1．（山东·高考真题）若直线1x ya b+=()0,0a b >>过点12（，），则2a b +的最小值为．2．（浙江·高考真题）若正数,x y 满足35x y xy +=，则43y x +的最小值是（）A．245B．285C．5D．6三、【习题检测】1．（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足()222a b a b x y x y++≥+，当且仅当a b x y =时，等号成立．则函数()31610133f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为（）A．16B．25C．36D．492．已知x >0，y >0，且11121x y y +=++，则x +2y 的最小值为．3．已知1,1a b >>，则2211a b b a +--的最小值是．1.3.2合理配凑类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有分式，但是直接用权方和时系数不匹配需要进行配凑，或者需要先进行变形处理；▲方法原理：1.考虑分式上下同时扩大或者缩小；比如：()2,,,0p q a b p qa b ma nb=⎧⎪+>⎪+⎨⎪=⎪⎩2.考虑分子分母同除以相同字母构造目标结构；比如：()()2221111114,,11111112112111111a bm a ba b a b ma b a ba b⎧++=>+=+≥=⎪---⎛⎫⎪---+⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪--⎪⎩若,则当且仅当时取等3.系数不匹配时还可以考虑待定系数法处理；比如已知()min119233,0345a b a ba b a b⎛⎫+=>+⎪++⎝⎭求（1）待定系数：令()()()()923345345a b m a b n a b m n a m n b+=+++=+++（2）对比,a b系数，计算,m n：()()39292323435345233m n ma b a b a bm n n+==⎧⎧⇒⇒+=+++=⎨⎨+==⎩⎩（3）权方和公式计算答案：()()211252634523435333a b a b a b a b++=+≥=++++，()()234359233a b a ba b⎧=⎪++⎨⎪+=⎩当且仅当时取等；二、【典型例题】1．（全国·高三专题）若,x y R+∈，且21x y+=，则22212x yx y+++的最小值为．2．（全国·高三专题）已知正数,,x y z满足321x y z++=，则24242x yy z x y++++的最小值为．3．（全国·高三专题）若正数a，b满足111a b+=，则411a ba b+--的最小值为．三、【习题检测】1．（天津联考）已知实数0x>，1y>-，且1x y+=，则2231x yx y+++的最小值为．2．（天津南开·三模）已知0a >，0b >，1a b +=，则1132a b a b+++的最小值为．3．（全国·高三专题）已知1a >，1b >，则2211a b b a --+的最小值为．4．（金太阳百校联考）已知正数,x y 满足434x y +=，则11321y xy xy ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭的最小值为．1.3.3构造指数差1类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有分式，但是直接权方和不等式发现指数不匹配；▲方法原理：权方和不等式拓展：若0,0,0.i i a b m >>>则()()111112121212()()()()()()m m m m n n mm m m n n a a a a a a b b b b b b ++++++++++≥+++ ，当仅当1212n na a ab b b === 时，等号成立.它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.常见变形比如：()()()()33322211122222222211111111x y x y x y x y ⎧+⎪+=+≥⎪⎪+⎨⎪⎪=⎪⎩当且仅当时取等二、【典型例题】1.（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设0,0,,0n n a b n m >>∈>N *，则()()11111123312123123m m m m m n n m m m m mn n a a a a a a a a b b b b b b b b +++++++++++++≥++++ ，当且仅当312123n na a a ab b b b ==== 时，等号成立．根据权方和不等式，若0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π，当1x x +sin cos 取得最小值时，x 的值为（）A．12πB．6πC．3πD．512π2．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足1x y +=，则2218x y +最小值．3．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足221x y +=，则18x y+最小值．三、【习题检测】1．（杭州质检）已知x y ，是正实数且满足143x y +=，则222y x +最小值．2．（全国·高三专题）已知0a >，0b >，3382a b +=，则2a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2764sin cos αα+最小值．4．已知122,0,1x y x y>+=的最小值是．5．求()f x =的最大值为．。
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基本不等式（一）
常规配凑法与基本不等式
1. （2018 届温州 9 月模拟 15）已知 2a + 4b = 2(a,b R) ，则 a + 2b 的最大值
为
．
2. 3.．（2018 春•湖州期末）已知不等式 (x + my)(1 + 1 ) 9 对任意正实数 x ， y 恒成
xy
立，则正实数 m 的最小值是 ( )
28．（2017 秋•诸暨市校级期中）已知实数 x ，y 满足 x + 4 y = 1 − 2 ，则 2xy
y x xy
x + 2y −1
的最大值为 ( )
A ．2 3 3
B． 3 2
C ． 2 3 +1 3
D ． 3 +1 2
29．（2018•台州一模）若非负实数 x ，y 满足 x2 + 4y2 + 4xy + 4x2 y2 = 32，则 x + 2y
为
.
56.(2016 杭二最后卷 14)正实数 x, y 满足： 1 + 1 =1 ，则 x2 + y2 −10xy 的最小值 xy
为
.
57.（2016 宁波二模）已知正数 x, y 满足 xy 1, 则 M = 1 + 1 的最小值为 1+ x 1+ 2y
58．（2016•浙江模拟）已知实数 a ，b ，c 满足 1 a2 + 1 b2 + c2 = 1 ，则 ab + 2bc + 2ca 44
若 4x2 − xy + y2 = 25, 则 3x2 + y2 的取值范围为
54.（2016 新高考研究联盟二模 14）实数 x,y 满足 x2 − 2xy + 2y2 = 2 ，则 x2 + 2 y2 的最小
值是
基本不等式（八） 待定与技巧性强的配凑
55.（2016 大联考 14）若正数 x, y, z 满足 3x + 4y + 5z = 6 ，则 1 + 4 y + 2z 的最小值 2y+ z x+ z
则 1 + 1 的最小值是（ ） abc d
A． 10
B．9
C． 4 2
D． 3 3
66（2019
届杭四仿真考
17）已知实数
x,
y,
z
满足
xy
x
2
+ +
2z y2
=1 + z2
=
5
，则
xyz
的最小值
为
；此时 z =
．
67（2019 届慈溪中学 5 月模拟 17）若正实数 a ， b ， c 满足 a(a + b + c) = bc ，则 a
b+c
的最大值为
．
68（2017 秋•浙江期末）已知 a ，b ，c R 且 a + b + c = 0 ，a b c ，则 b a2 + c2
的取值范围是 ( )
A ． (− 5 , 5 ) 55
B ． (− 1 , 1) 55
的最小值为
．
32．（2016 秋•宁波期末）若正实数 a ， b 满足 (2a + b)2 =1+ 6ab ，则 ab 的 2a + b +1
最大值为 ．
基本不等式（四）轮换对称与万能K法（判别式法）
33.（2019 届嘉兴 9 月基础测试 17）已知实数 x, y 满足： x2 + xy + 4y2 = 1，则 x + 2y 的最
)
A ．有最大值为 14 5
C ．没有最小值
B ．有最小值为 14 5
D ．有最大值为 3
42．（2018 春•湖州期末）已知 a ， b 都为正实数，且 1 + 1 = 3 ，则 ab 的最小值 ab
是 ， 1+ b 的最大值是 ． ab
基本不等式（六） 不等式算两次
43.设 a b 0 ，那么 a2 + 1 的最小值为（ ） b(a − b)
的最小值为 ， 7(x + 2 y) + 2xy 的最大值为 ．
30．（2018
春•南京期中）若
x
，
y
(0, +)
，
x
+
1 2
y
+
xy
=
4
，则
x2
y2
xy +1 + 2xy
+ 17
的取值范围是 ．
31．（2017•武进区模拟）已知正实数 x ， y 满足 xy + 2x + 3y = 42 ，则 xy + 5x + 4y
的取值范围是 ( )
A ． (− ， 4]
B ．[−4 ， 4]
C ．[−2 ， 4]
D ．[−1， 4]
59 、 已 知
且
为
．
，则
的最大值
60. （ 2016 大 联 考 ） 15. 设 x ， y，z, w R, 且 满 足 x2 + y2 + z2 + w2 = 1 ， 则
P = xy + 2yz + zw 的最大值是______．
（）
A.有最大值为 14 5
B. 有最小值为 14 5
C. 没有最小值 D. 有最大值为 3
50.
基本不等式（七）
齐次化
51.（2019 届杭高高三下开学考 17）若不等式 x2 − 2y2 cx( y − x) 对满足 x y 0 的任意实
数 x, y 恒成立，则实数 c 的最大值为
．
( ) ( ) ( ) 61（2017 学年杭二高三第三次月考 8）已知T = min
2
x+ y ,
2
z+ y ,
x+ z 2 ，
且 x + y + z = 2 ，则T 的最大值是（ ）
A． 8 3
B．8
C． 4 3
D． 2 3
62.
63 64.
基本不等式（九）
多元变量求最值
65（2019 届浙江名校联盟第一次联考 9）已知正实数 a，b，c，d 满足 a + b =1，c + d =1，
为
， 2x + y 的最小值为
．
26．（2018 春•台州期末）已知 a ， b R ， a + b = 2 ． 则 1 + 1 的最大值 a2 +1 b2 +1
为( )
A． 1
B ．6 5
C ． 2 +1 2
D．2
27（2016 宁波期末 14）若正数 x, y 满足 x2 + 4 y2 + x + 2 y = 1，则 xy 的最大值为
是
；
1 a2
+
2 b2
的最小值是
．
40.（2019 届金华一中 5 月模拟 9）已知正实数 a ， b 满足： a + b =1，则 2a + b 的最 a2 +b a + b2
大值是（ ）
A． 2
B．1+ 2
C．1 + 2 3 3
D．1 + 3 2 2
41．（2017•西湖区校级模拟）已知正实数 a ，b 满足 a2 − b + 4 0 ，则 u = 2a + 3b ( a+b
值是（ ）
A． 33 28
B． 7 6
C． 3 + 2 2 5
D． 6 5
15（2019 届余高、缙中、长中 5 月模拟 7）已知 log2 (a − 2) + log2 (b −1) 1 ，则 2a + b 取到
最小值时 ab = （ ）
A．3
B．4
C．6
D．9
16．（2018 秋•温州期中）已知实数 x ，y 满足 2x y 0 ，且 1 + 1 = 1 ， 2x − y x + 2y
于
，此时 a =
．
9.（2018 秋•浙江期中）若正数 a ，b 满足 2a + 1 = 1，则 2 + b 的最小值为 (
)
b
a
A． 4 2
B． 8 2
C．8
D．9
10..（2017 秋•西湖区校级期末）已知实数若 x ， y 满足 x y 0 且 x + y = 2 ，
则 4 + 1 的最小值是 ． x +3y x − y
Hale Waihona Puke 值是．19．（2018•河北区二模）若正数 a ，b 满足 1 + 1 = 1， 1 + 9 的最小值为 ( ) a b a −1 b −1
A． 1
B．6
C．9
D ． 16
20、（温岭市 2016 届高三 5 月高考模拟）已知实数 x ， y 满足 xy − 3=x + y ，且 x 1 ，则
y(x + 8) 的最小值是
值等于
.
7.．【2018 届浙江省部分市学校高三上学期 9+1 联考】已知实数 a 0 ， b 0 ，
1 + 1 = 1，则 a + 2b 的最小值是（ ） a +1 b +1
A. 3 2
B. 2 2
C. 3
D. 2 [来源:学
基本不等式（二）
“1”的代换与基本不等式