产品库存优化模型数学建模

产品库存优化模型数学建模
（一）Weibull函数的引入
Weibull首先开发了三参数模型，并且将其应用到实际中，建模了的失效数据,从此weibull模型成为了失效建模和可靠性领域中使用的最广泛的模型, 之后，Harter和Moore给出Weibull模型有关货物的变质、物品的销售寿命、零件的寿命特征和电子元件的失效等方面的具体应用。

因此,本文研究中将认为易
（二）模型建立
库存水平是研究的基础，首先我们通过建立微分方程来描述库存系统的库存水平，由于缺货和不缺货的库存水平不同，因此下文我们将分别研究，又因为不
定 理 1 当0()()(0)k
j k
j
I d F e
t L β
αγψψ--≤
=⎡⎤+-⎣⎦
时,系统将不会发生缺货。

证明:若系统不缺货,即要求当k j t t L =+时，库存水平大于()0k k
j j I t L +≥。

将k
j t t L =+代人(3)式，()()0()0
()()0k k j j k
t L t L k k x j j
j I I t L d e
dx e
e β
β
βαγαγαγ+-+----⎡⎤+=-+≥⎢⎥⎣
⎦
⎰ 并化简即可得到定理1。

由定理可得知,当j d F ≤时,系统将不会发生缺货；当j d F >时,系统发生缺货。

以后我们将把情况分为缺货与不缺货分别进行讨论。

但因为库存水平0k I 未知,下面将给出定理2求解0k I 。

定 理 2
定理2证明:
思路：由于0k I Q r =-+上一周期末的库存水平为了简化模型，我们将库存水平到达再订购点r 的时刻作为0时刻,重新建立坐标系。

现在我们将't 视为当前时刻,''()k I t 表示需求率为k d 时,'t 时的库存水平；下面我们用微分方程来描述上一周期提前期内的库存水平变化趋势：
''''''()
()(),0k k k k dI t d t I t t dt θ=--≤≤∆ （9） ''''()
,k k k dI t d t L dt
=-∆≤< （10） 其中，'k ∆为库存水平下降到0的时刻；
下面分情况讨论：
由于以上讨论的是只是一个周期，为了简化原问题的求解,下面给出定理3和定理4。

定理 3 各周期初的库存水平是独立同分布的离散随机变量。

由假设可知，0D 和1D 是独立同分布的随机变量，又因为当前周期的库存水平是上一个周期内需求率的函数推出，因此0I 和1I 也是独立同分布的随机变量。

以此类推，各周期初的库存水平都是独立同分布的离散随机变量。

定理 4 各周期的周期时长的期望相等，各周期系统的平均期望运作成本相 等。

证明:由（6）和定理2可知,每个周期的周期时长仅与此周期以及上一个周期内的需求情况有关，因此第一个周期的周期时长的期望可表示为：
(){}(){}
(){}(){}
1101000010100()()()()()
()()()()
j k j k j k j k k k j
j k j
j k d F d F
d F d F k k j
j k j
j k d F d F
d F d F
E T L t
L P D d P D d t
L P D d P D d t
L P D d P D d t
L P D d P D d ≤≤≤≤≤≤≥≥≤≤≥≥=+==+
+==++==+
+==∑∑∑∑∑
∑∑∑令2T 表示第二个周期的周期时长，2D 表示第二个周期的需求率，则：
(){}(){}
(){}(){}
2101000010100()()()()()
()()()()
j i j i j i j i k k j
j i j
j i d F d F
d F d F k k j
j i j
j i d F d F
d F d F
E T t
L P D d P D d t
L P D d P D d t
L P D d P D d t
L P D d P D d ≤≤≤≤≤≤≥≥≤≤≥≥=+==+
+==++==+
+==∑∑∑∑∑
∑∑∑
由上易知：12()()E T L E T =。

以此类推，各周期的周期时长的期望相等。

因此，
各周期系统总的平均期望运作成本相等。

（三）模型简化
本文的问题可简化为求解最优的(r,Q)策略,使第一个周期内的平均期望成
本最小的问题。

即：00,1()()()min (,)()
r Q K c Q r E h I t dt I t dt TC r Q E T L π+-⎡⎤
+-++⎢⎥⎣⎦=
⎰⎰
其中，{}{}()max 0,(),()min 0,()I t I t I t I t +
-
==
下面分别求解系统的各项成本:
（1）系统总的订购成本（固定订购成本+可变订购成本） ()OD K c Q r =+-（18）
（2）[0,]k j t L +内，总的期望库存成本
()
()
()
()()()0()()10()00001()()()()(0)k j j k L x L k t x t j j k d F d F k x j r Q r d e dx e e IH h d e dx e dt P D d P D d e r Q r L d e h d e dx β
ββββ
βββαγαγαγαγαγαγαγαγψψ-----∆-----≤≤≤≤----⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎡⎤-+-+⎪⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎢⎥ ⎪=-+⋅==⎨⎬⎢⎥ ⎪⎪⎪
⎪⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩⎭
---++-+⎰∑∑⎰⎰()
()
()10()00
0()()()0()()0()()k j j k k t t j k d F d F L
x L k t x j d e dt P D d P D d e r Q r d e dx e e h d e dx e β
ββββββαγαγαγαγαγαγαγ∆----≤≤≥--------⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎨⎬⎪⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⋅==⎢⎥⎨⎬ ⎪⎢⎥⎪⎪ ⎪
⎢⎥⎪⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭
⎛⎡⎤-+-+ ⎢⎥⎣⎦ +-+⎝∑∑⎰⎰⎰⎰()
()10001()()()
1()0
()()(0)(k j j k t j k d F d F k t k x t j j e dt P D d P D d r Q r L d d e h d e dx e dt P D d e β
ββββαγαγαγαγαγψψ∆--≥≤≤--------⎧⎫⎡⎤⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎢⎥⎪⋅==⎨⎬⎢⎥ ⎪⎪⎪
⎪⎢⎥⎪⎪⎭⎣⎦⎩⎭
⎡⎤⎛⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥ ⎪---+⎢⎥⎨⎬⎢⎥ ⎪⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭+-+⋅=⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪
⎢⎥ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑⎰⎰00)()k j j k k d F d F P D d ∆≥≥⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭
∑∑⎰（19）
（3）[0,]k j t L +内，总的期望缺货成本
)
⎫⎪⎬
⎪⎭
（四）模型求解
下面我们的目标是寻求,r Q 的最优值，使得(,)TC r Q 最小。

具体步骤如下： 步骤1：分别求(,)TC r Q 关于,r Q 的一阶偏导数，并令其为0，可得
(,)
0(,)
TC r Q r TC r Q Q ∂⎧=⎪∂⎪
⎨∂⎪=∂⎪⎩
（22） 我们在使得方程成立的多组取值中，取11,r r Q Q ==为这些取值中使得(,)TC r Q 最小的一组取值，并且把对应的目标函数值记作11(,)TC r Q 。

步骤2：将0,r r Q ==分别带入问题(1)P ，分别求Q 在这两种情况下的最优值23,Q Q 及对应的目标函数值22(,)TC r Q ，33(,)TC r Q 。

步骤3：比较11(,)TC r Q 22(,)TC r Q 33(,)TC r Q 的大小，其中使得(,)TC r Q 最大的,r Q 的取值即为最优策略。