17.4.1棣莫弗定理与欧拉公式(1)
棣莫弗—拉普拉斯定理证明
棣莫弗—拉普拉斯定理证明棣莫弗—拉普拉斯定理是数学中的一个重要定理，它与泰勒级数展开密切相关，被广泛应用于数学和物理之中。
棣莫弗—拉普拉斯定理提供了一种求解函数的近似值的方法，特别适用于当自变量趋向于无穷大时。
下面我将详细阐述并证明这一定理。
假设我们有一个函数f(x)，它在实数轴上连续，并且在某个区间上存在高阶导数。
设a是实数，考虑函数f(x)在x=a处的泰勒级数展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)ⁿ/n! + ...(1)其中f^(n)(a)表示f(x)的n次导数在x=a处的值。
棣莫弗—拉普拉斯定理是指，当自变量x趋向于无穷大时，函数f(x)可以用它的泰勒级数展开的前几项来近似表示。
具体来说，如果我们只保留泰勒级数展开的前n项，并且在其中每一项的指数幂都是x的二次项及以上时，那么我们可以得到以下近似表达式：f(x) ≈f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)ⁿ/n!(2)其中≈表示“近似等于”。
棣莫弗—拉普拉斯定理的基本思想是，当x趋向于无穷大时，泰勒级数展开中的高次项在整体上变得可以忽略不计，而低次项的贡献逐渐占主导地位，从而可以用前n项来近似表示函数f(x)。
这一近似成立的条件是，函数f(x)在x=a处的泰勒级数展开存在，且高次项在x趋向于无穷大时趋向于0。
要证明棣莫弗—拉普拉斯定理，我们可以考虑泰勒级数展开式中的误差项，即余项。
根据泰勒中值定理，对于x=a+h（其中h>0），函数f(x)在[a,a+h]上至少有一个点ξ，使得余项等于f^(n+1)(ξ)(x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)!。
当x趋向于无穷大时，假设ξ趋向于无穷大，我们可以猜测余项的渐近表达式为O(xⁿ⁺¹)，其中O表示“同阶无穷小”。
棣美弗定理与Euler公式
y θn θn · n tan θn = lim · n→∞ tan θ tan θn n 1+
x n
=y
(2.7)
定理 2.1. 已知 z = x + iy 則 ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y ) 如果 z = iy 就回到 Euler 公式。 由這個定理可容易證明函數方程。 系 2.2. 指數函數 ez 滿足函數方程 ez1 +z2 = ez1 ez2 z1 , z2 ∈ C (2.9) (2.8)
與 (1.5) 不謀而合, 現在決定 K 是甚麼? f 對 x 微分 df = KeKx = − sin x + i cos x = i(cos x + i sin x) dx 因此 K = i, 換言之 f (x) = cos x + i sin x = eix 這正是 Euler 公式。 同理對於函數 g (x) 也有類似的公式: g (x)g (y ) = g (x + y ), [g (x)]n = g (nx) (1.7) (1.8) (1.6)
這個函數方程 (functional equation) 是指數函數的基本性質但是直接由定義是不容易證明的, 不信你可以試看看。 (B) 從分析的角度而言, 利用冪級數來定義指數函數是最自然不過的了 ez = zn , n=0 n!
∞
z = x + iy
(2.10)
在複變函數理論我們將這類可以表為冪級數的函數稱為解析函數 (analytic function), 因為是 無窮級數所以必需先討論收斂性問題。 對於複數要比較大小最自然的就是選取其模 (modulus) 或範數 (norm) |z | = |x + iy | = x2 + y 2
棣莫弗公式
棣莫弗公式棣莫弗定理1科学原理设两个复数（用三角形式表示）Z1=r1(coθ1+iinθ1），Z2=r2(coθ2+iinθ2），则:Z1Z2=r1r2[co（θ1+θ2）+iin（θ1+θ2）]。
2解析证：先讲一下复数的三角形式的概念。
在复平面C上，用向量Z(a,b）来表示Z=a+bi。
于是，该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量。
如果向量Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcoθ,rinθ（r=√a^2+b^2）。
所以，复数Z可以表示为Z=r(coθ+iinθ）。
这里θ称为复数Z的辐角。
因为Z1=r1(coθ1+iinθ1），Z2=r2(coθ2+iinθ2），所以Z1Z2=r1r2(coθ1+iinθ1）（coθ2+iinθ2）=r1r2(coθ1coθ2+icoθ1inθ2+iinθ1coθ2-inθ1inθ2）=r1r2[(coθ1coθ2-inθ1inθ2）+i(coθ1inθ2+inθ1coθ2）]=r1r2[co（θ1+θ2）+iin（θ1+θ2）]。
其实该定理可以推广为一般形式：3推广设n个复数Z1=r1(coθ1+iinθ1），Z2=r2(coθ2+iinθ2），。
Zn=rn(coθn+iinθn），则：Z1Z2。
Zn=r1r2。
rn[co（θ1+θ2+。
+θn)+iin（θ1+θ2+。
+θn)]。
4解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。
如果把棣莫弗定理和欧拉（Euler）公式“e^iθ=coθ+iinθ”（参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析）放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。
利用棣莫弗定理有：Z1Z2。
Zn=r1r2。
rn[co（θ1+θ2+。
+θn)+iin（θ1+θ2+。
+θn)]如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2，。
Zn=rne^iθn,Z1Z2。
Zn=r1r2。
rne^i（θ1+θ2+。
中职数学教案：棣莫弗定理与欧拉公式
备课组别
数学
上课
日期
主备
教师
授课
教师
课题：
17.4-1棣莫弗定理与欧拉公式
教学
目标
1. 理解复数三角形式乘除法公式.
2..能根据复数三角形式乘除法公式进行计算。
重点
复数三角形式乘除法；
难点
利用复数三角形式乘除法公式进行计算
教法
讲练结合数形结合
教学设备
由此可见，复数的积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和.
二 巩固数学
例1
解
由此可见，复数的商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差.
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
例2计算：
解：
例3若 那么 与 的值分别为多少？
解:
三 理解数学
计算：
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
【思考提升】
1.深入理解复数三角形式的乘除法运算法则.
2.体会在计算乘除法时，三角形式比代数形式要简便.
三、 小结
通过本节课的学习，我们进一步学习了复数三角形式
的乘除法运算，在计算乘除法时，三角形式比代数形式要简
便.
四 、作业
P77练习
板
书
设
计
教后札记
多媒体一体机
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内ห้องสมุดไป่ตู้
容
【课堂导学】
复数的代数形式 可以进行加、减、乘、除等运算.
棣莫弗—拉普拉斯定理证明 -回复
棣莫弗—拉普拉斯定理证明-回复什么是棣莫弗—拉普拉斯定理？棣莫弗—拉普拉斯定理是微积分中的一个重要定理，通过它可以将一个函数的复杂积分转化为由函数的导数组成的级数进行计算。
这个定理在数学分析和物理学的许多领域都有广泛的应用。
定理的表述如下：设函数f(x)在区间[a, b]上连续，其导数在开区间(a, b)上也连续，则对于区间[a, b]上的任意点x0，函数f(x)在点x0的傅里叶级数的和可以通过棣莫弗—拉普拉斯公式来表示，即：f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(\frac{n\pi x}{L}) + b_n \sin(\frac{n \pi x}{L})]其中，a_0 为常数项，a_n 和b_n 分别为该傅里叶级数的余弦系数和正弦系数，L为[a, b]区间的长度。
那么，我们接下来将一步一步来证明这个定理。
首先，我们需要证明傅里叶级数的和公式（如上所述）可以收敛于f(x)，即该级数在[a, b]区间上逐点收敛于f(x)。
为了证明这一点，我们将使用微积分中的连续函数逼近定理。
根据连续函数逼近定理，对于任意一个连续函数f(x)，我们可以选择一个多项式函数P(x)来逼近它。
也就是说，对于任意的ε> 0，存在一个多项式函数P(x)，使得在[a, b]区间上有f(x) - P(x) < ε成立。
我们现在来构造一个多项式函数P(x)使得它逼近f(x)。
首先，我们选择多项式的常数项为a_0 / 2。
然后，我们选择一个一次多项式为P_1(x) = a_1 cos(\frac{\pi x}{L}) + b_1 sin(\frac{\pi x}{L})，其中a_1和b_1是待定系数。
在第一次选择之后，我们可以设置多项式P_1(x)与f(x)的误差小于ε/2。
接下来，我们选择一个二次多项式P_2(x) = P_1(x) + a_2 cos(\frac{2\pi x}{L}) + b_2 sin(\frac{2\pi x}{L})，同样地，我们要求多项式P_2(x)与f(x)的误差小于ε/4。
§17.4.1棣莫弗定理与欧拉公式
3 1 4 计算： (1)(cos 5 i sin 5 ) ; (2)( i) . 2 2
6
问题解决
当n取什么正整数时，z= 1 3i 是一个实数？
n
n 3k , k Z .
本节课 学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
何处还需要注意？
归纳
乘法：
复数的积的模等于模的积，
由此推测， 复数的n次幂的模等于模的n次幂， 复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
n n
[r (cos isin )] r (cos n isin n ). 棣莫弗定理：
计算： (1)(cos 40 i sin 40 )9 ; (2)(1 3i) 2012 . 1 cos360 i sin 360 (1)原式 解： 2012 (2)原式 [2(cos i sin )] 3 3 2012 2012 2012 2 (cos i sin ) 3 3 2 2 2012 2 (cos i sin ) 3 3 1 3 2012 2 ( i) 22011 22011 3i 2 2
由此可见， 复数的商的模等于模的商， 复数的商的辐角等于辐角的 差 ．
计算：[6(cos 70 isin 70 )] [3(cos 40 isin 40 )].
原式 2[ cos(70 40 ) isin(70 40 )] 解：
2(cos30 isin 30 ) 3 i.
2 3
;
21 2
i i 2 6i
.
关键点拨：如果我们要求几个复数积或商或幂的模，那么可以利用 z1 z1 n n z1 z2 = z1 z2 、 = 和 z z 进行计算，而不需要 z2 z2 先算出积、商、幂之后再求模.
隶莫弗公式
隶莫弗公式
莫弗公式（Moffatt equation）是一种描述在流体力学中涡旋运动的方程。
该公式由英国物理学家H. K. Moffatt于1969年提出。
涡旋运动是指流体中的旋涡形成和演化的过程。
莫弗公式的数学表达式为：
∇ × V = αV + β(∇ × V) × V + γ(∇ × V) × (∇ × V)
其中，∇ × V表示速度场V的旋度，也即涡量；α、β和γ
是与流体流动性质有关的常数。
该公式描述了流体中旋涡的生成、传播和衰减过程。
莫弗公式在流体力学研究中起到了重要的作用，特别是在涡旋运动的数值模拟和理论研究方面。
这个公式提供了一种描述涡旋运动的数学工具，帮助研究人员深入理解流体中的涡旋行为。
然而，莫弗公式的具体应用还需要结合具体问题和实际情况。
因为该公式描述的是流体中的整体涡旋运动，所以在实际应用中需要考虑流体的边界条件、流动速度、流场的结构等因素。
只有综合考虑这些因素，才能更准确地描述流体中的涡旋运动。
总之，莫弗公式是描述流体力学中涡旋运动的数学方程，对于理解和研究涡旋行为具有重要意义。
通过研究和应用莫弗公式，可以进一步探索流体中的涡旋运动规律，为流体力学领域的发展提供有力支持。
隶模弗定理
隶模弗定理隶模弗定理是一项重要的数学定理，在数学和计算机科学等领域中有广泛的应用。
这个定理最初由克卢斯·夏尔得提出，其思想是将一个大的问题分解成许多小问题，并逐一解决。
这篇文章将介绍隶模弗定理的定义、重要性以及一些应用。
隶模弗定理的定义首先，我们需要了解一些基本概念。
在模论中，模是一种数学结构，包括一个集合和一个关于这个集合的运算。
设 $R$ 为一个环，$M$ 为一个左 $R$-模，$N$ 为$M$ 的一个子模，$P$ 为 $R$ 的一个左理想，那么隶模弗定理的一般形式表述如下：\[(M/N)/(P/NM) \cong M/ (P + N)\]其中 $\cong$ 表示同构，即两个结构之间存在一个一一映射，保持所有的结构关系。
简单来说，这个定理的意思是：在一个模 $M$ 中，假设有一个子模 $N$，以及一个左理想 $P$，那么 $M$ 中所有包含 $N$ 的子模都形如 $P + N$。
换句话说，模$M$ 中所有包含 $N$ 的子模都可以表示为 $N$ 和 $P$ 的和，其中 $N$ 是 $P + N$ 的子模。
隶模弗定理的意义隶模弗定理在数学和计算机科学中具有重要意义。
首先，它为模论提供了一个基本工具，使得我们可以更方便地研究模的结构和性质。
其次，隶模弗定理允许我们将大的问题分解成小的、易于解决的问题，这在实际应用中非常有用。
例如，我们可以将一个大的模分解为更小的子模，然后逐一考虑这些子模的性质。
此外，隶模弗定理也有一些重要的推论。
其中一个推论是，如果 $P$ 和 $N$ 都是 $M$ 的子模，那么\[M/N \cong (M/P)/(N/P)\]这个推论告诉我们，如果我们将 $M$ 按照一个左理想分解，则可以将 $M/N$ 分解为 $M/P$ 中的 $N/P$。
隶模弗定理的应用隶模弗定理在代数学和计算机科学中有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 隶模弗定理可以用于求解线性代数中的矩阵秩问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
z 1 z 2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) 复数乘积的模＝模的积 r1 r2 [(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 )
1 2 1 2
复数乘积的辐角 = 各辐角的和 i (cos sin sin cos )]
[r (cos i sin )] r (cosn i sinn )
n n
3、复数的除法
z1 r1 (cos1 i sin1 ) z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )] r2
0 0 0 0
( 2) 2 (cos50 i sin50 ) 3(cos40 i sin40 )
解（ 1 ）原式 4 3[cos( ) i sin ( )] 6 12 6 12 4 3 (cos i sin ) 4 4 2 6 2 6i 0 0 0 0 （ 2 ）原式 3 2[cos(50 40 ) i sin ( 50 40 )
3 2 (cos90 i sin90 ) 3 2i
0 0
来自巩固练习1、 计 算 ：2 (cos
i sin ) 3 (cos i sin ) 12 12 6 6
6 6
2、计算： [3(sin80 i cos80 )] ，( 3 i )
3、 向 量 OZ 与 复 数 1 i 对应，把 OZ 按 逆时针方向旋转 90 ， 得 到 OZ ， 求 与 向 量OZ 对 应 的 复 数 (用 代 数 形 式 表 示 )
2 n
若 r1 r2 rn r , 1 2 n
[r (cos i sin )]n r n (cosn i sinn )
例1 计算：
（ 1 ）3 （ cos
i sin ) 4(cos i sin ) 6 6 12 12
，符合复数除法的几何意义，也可以直接写成
→ 逆时针旋转 90得到，因此用 而在求 z3 时，也可将OZ 1 z3=z1·i 算更方便.
z3 1 z 2 (cos i sin ) 4 4 2
2 2 2 (1 3 )( i) 2 2 2 1 3 1 3 i 2 2
2、 已 知 复 数 z
(1 i ) (a i ) 2 ( a 3i )
2
(a 0, a R )
2 的 模 为 ， 则z 的 三 角 形 式 为 3
课题小结：
1、复数的乘法：
z1 z2 r1r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
2、复数的乘方：棣莫弗定理
两复数相除，商的模于 等被除数的模除以 除数的模所得的商，的 商辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所的 得差
例2计算 [6(cos70 i sin70 ) [ 3(cos40 i sin40 )]
0 0 0 0
解：原式 2[cos(70 40 ) i sin( 70 40 )] 2(cos30 i sin30 ) 3i
二、复数三角形式的乘 法与除法关系
z1 r1 (cos 1 i sin 1 )
z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 z2 r1r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
思考：若z r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 (cos1 i sin1 ) 求复数 z
由复数运算的几何意义知：
z1 1 z 2 [cos( ) i sin( )] 4 4 2
2 2 2 (1 3i )( i) 2 2 2 3 1 3 1 i
→ 向顺时针方向旋转 45，且模缩短到原 求 z1 时是将OZ 2 来长度的
1 2 1 1 3i . 2 cos i si n 4 4
作业：
课本82页习题1（1）（2）（3）（5）
课外作业：学习指导书做到57-58页
拓展习题：见下页
例 4．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方 向依次为 Z1，Z2，Z3，O（其中 O 为原点）.已知 Z2 对应 复数 Z2=1+ 3i ，求 Z1 和 Z3 所对应的复数.
分析与解答： 根据题意我们不妨画出草图，以便分析. 根据平面几何的知识，我们知道正方形的一条对角线 将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，而且斜边是直 角边的 2 倍.
0 0
0
0
0
0
巩固练习：课本77页练习
巩固练习
4 4 5 5 1、 计 算 ： 4(cos i sin ) 2(cos i sin ) 3 3 6 6
练习： (1) 2 (cos ( 2)
i sin ) 3 3
3 2
3 (sin30 i cos 30 ) (1 i )
17.4棣莫弗定理与欧拉公式
铜山中等专业学校幼教部对口单招二年级
课件制作人 李巧玲
温故知新
设 r | OZ | ， 是 以 x 轴 的 非 负 半 轴 为 始 边 ， 以 OZ 所 在 射 线 为 终 边 的 角 则 ，a , b 与 r , 有什么关系？
y
b
0
我们有： a r cos , b r sin
(cos i si n ) r Z r (cos i si n ) (cos i si n ) r [cos( ) i si n ( r r (cos i si n ) r [cos( ) i si n ( r [cos( ) i si n ( )] r
z 1 z 2 z n r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) rn (cos n i sin n ) r1 r2 rn [cos( 1 2 n )
1
棣莫弗定理 i sin ( )]
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2
2
)] )]
2
新课讲授
二、复数三角形式的除 法与开方 1、除法法则 z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) z2 0 z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 r1 (cos1 i sin1 ) z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )] r2
r
Z (a,b)
a
z a bi r (cos i sin )
x
r (cos i sin ) 叫做复数 a bi 的三角形式
r － 复数的模， － 复数的辐角
新课讲授
一、复数三角形式的乘 法与乘方 z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
两个复数相乘，积的等 模于各复数的 模的积，积的辐角等各 于复数的辐角的和
新课讲授
一、复数三角形式的乘 法与乘方 z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )