几类递推数列通项公式的常见类型及解法

几类递推数列通项公式的常见类型及解法
递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.
一、a a d n n +=+1型 （d 为常数）
形如)(1n f a a n n +=+的递推数列求通项公式，将此类数列变形得a a d n n +-=1，再由 等差数列的通项公式()a a n d n =+-11可求得a n .
例1 已知数列{}a n 中()a a a n N n n 1123==+∈+,，求n a 的通项公式.
解：∵a a n n +=+13 ∴a a n n +-=13
∴ {}a n 是以a 12=为首项，3为公差的等差数列. ∴()a n n n =+-=-21331为所求的通项公式.
二、)(1n f a a n n +=+型
形如)(1n f a a n n +=+的递推数列求通项公式，可用差分法. 例2 已知数列{}a n 中满足a 1=1，n a a n n -=+1，求n a 的通项公式. 解：作差n a a n n -=-+1，则
2a -1a = -1，3a -2a = -2，4a -3a = -3，……，)1(1--=--n a a
n n
，
将上面n -1个等式相加得 +-+-+-=-)3()2()1(1a a n ……+[)1(--n ]
∴ n a =2
2
2++-n n 为所求的通项公式.
三、n n a q a ⋅=+1型
形如n n a q a ⋅=+1的递推数列求通项公式，将此类数列变形得
q a a n
n =+1
，再由等比数列的通项公式11-⋅=n n q a a 可求得a n . 例3 已知数列{}a n 中满足a 1=1，n n a a 21=+，求n a 的通项公式. 解：∵n n a a 21=+ ∴
21
=+n
n a a
∴ {}a n 是以11=a 为首项，2为公比的等比数列. ∴1
2
-=n n a 为所求的通项公式.
四、n n a n f a ⋅=+)(1型
形如n n a n f a ⋅=+)(1的递推数列求通项公式，可用累乘法.
例4 已知数列{}a n 中满足a 1=1，n n
n a a ⋅=+21，求n a 的通项公式.
解：∵n n
n a a ⋅=+21 ∴
n n
n a a 21
=+. ∴
1
2232332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅------- =222
2
22
3
2
1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅---n n n =2
)
1(2
-n n
∴ =1
a a n
2)
1(2-n n ∴=n a 2
)1(2
-n n 为所求的通项公式.
五、a ca d n n +=+1型 （c ，d 为常数）
形如a ca d n n +=+1的递推数列求通项公式，可通过适当换元，转换成等比数列或等差数列求解.
例5 已知{}a n 中a 13=-且a a n n =+-211求此数列的，通项公式.
解：)(21t a t a n n +=+-，则t a a n n +=-12.与a a n n =+-211进行比较，可得t=1， 则
有()1211+=+-n n a a . 设b a n n =+1， 则有b b n n =-21.
∴{}b n 是以b a 1112=+=-为首项，2为公比的等比数列
()122--=n n b ∴ ，∴()1212211--=--=-=-n n n n b a
六、)(1n f ka a n n +=+型 （k 为常数）
形如)(1n f ka a n n +=+的递推数列求通项公式，可对已知递推式适当变形，通过累加
或累积求得通项.
例6 已知数列{}n a 中，1a =
92，113
2
32+-+=n n n a a （n ≥2），求n a .
解：将原递推式化作：232311
+⋅=⋅-+n n n n a a ， 则 2323211+⋅=⋅---n n n n a a
两式相减得 )3(323211----=
-n n n n a a a a ∴数列{13--n n a a }是以首项为94，公比为32的等比数列.∴13--n n a a =94×1)3
2(-n ， 又 232311+⋅=⋅-+n n
n n a a
∴ n a =1
3)
21(2+--n n .
七、n n n da ca a +=++12型 （c ，d 为常数）
形如n n n da ca a +=++12的递推数列求通项公式，可通过适当换元，转换成等比数列或等差数列求解.
例7 已知数列{}n a ，1a =1，22a =，11320n n n a a a +--+=(*
n N ∈，n ≥2)，求n a .
解：∵11320n n n a a a +--+= ∴112()n n n n a a a a +--=-
∴{1n n a a +-}是以2为公比，2a －1a 为首项的等比数列.
∴1
12n n n a a -+-=
∴n a =2310
112211()()()22221n n n n n n a a a a a a a ------+-++-+=+++++L L
=
1
1121212
n n ---+=- 评注：n n n da ca a +=++12可以变形为)(112n n n n pa a q pa a -=-+++，则可从p+q=c ，pq= -d ，解得p ，q ，于是{ n n pa a -+1}是公比为q 的等比数列，这样就可转化为类型六进行求解.
小结：等差数列或等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，也是高考考 查的热点.而主要考查学生分析问题和解决问题的能力，这个能力往往集中在“转化”的水平上.也就是说，把不同的递推公式，经过相应的变形手段，转化成比较熟悉的等差数列或等比数列进行求解.。