2.2.1配方法

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一元二次方程解法知识整理

知识点 3 用判别式判断一元二次方程的根
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) •b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程没有实数根. 我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示.
有两个不等的实数根x1＝ p ，x2＝- p； (2) 当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0； (3) 当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，
所以方程无实数根．
知识点 1 直接开平方法
知识点 1 直接开平方法用直接开平方法解一元二次方程的步骤（三步法）：
变形
将方程化为“含未知数的完全平方式=非负常数” 的形式
若方程的右边为非负数，则两边开平方求得方程的根
知识点 3 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
字母表述：用配方法解形如x2 + px + q = 0的一元二次方程
①将常数项移到方程的右边.（注意：移项变号）
x2 + px = -q
②两边都加上一次项系数一半的平方.（注意：两边都加）
x2 + px + （ p ）2 = （ p ）2 - q
列方程（一般找出能够表达应用题主干含义的一个相等关系，
列
列代数式表示相等关系中的各个量，即方程）
解求出所列方程的解
验检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义
答根据题意，选择合理的答案作答
知识点 2 面积问题
解决面积问题可应用“等积变形”，若图形不规则应割或补成规则图形，分散的图形应通过平移使之成为一个图形，以便求解

2.2.1用配方法求解一元二次方程(第1课时)(课件)2024-2025学年九年数学上册(北师大版)

问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完
10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长
吗？
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积
为6x2dm2，可列出方程
10×6x2=1500，
由此可得 x2=25 开平方得
x=±5，
即x1=5，x2=－5.
因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
为多少？
35 m
解: 设道路的宽为 x m．
35×26＝850＋(26＋35)x－x2．
x2－61x＋60＝0．
得 x1＝60(舍去)，x2＝1．
所以，道路的宽为 1 m．
(2)移项，得2(x－3)2=50.系数化为1，得(x－3)2=25.
开平方，得x－3=±5.
∴ x1=8，x2=－2.
探索&交流
议一议
你能解方程 x2 + 12x-15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？
你能设法将这个方程转化成上面的形式吗？与同伴进行交流.
x2 + 12x -15 = 0
移项，得
+px+（
p 2
）
2
=（
p
2
）
2
p
2
p
=（ 2
）2 - q
）2 -q
探索&交流
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤
(1)移项.
(2)二次项系数化为1.
(3)配方.
(4)开方.
例题欣赏
☞
例2.解方程：x2 + 8x–9 = 0.
解: 可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 8x = 9.

2.2.1 配方法教学设计2024-2025学年湘教版数学九年级上册

- 讲解知识点：详细讲解配方法的基本步骤，结合实例帮助学生理解。
- 组织课堂活动：设计小组讨论、实际操作等活动，让学生在实践中掌握配方法。
- 解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。
学生活动：
- 听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。
- 参与课堂活动：积极参与小组讨论、实际操作等活动，体验配方法的应用。
教学方法/手段/资源：
- 自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。
- 信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。
作用与目的：
- 帮助学生提前了解配方法的基本概念和步骤，为课堂学习做好准备。
- 培养学生的自主学习能力和独立思考能力。
2. 课中强化技能
教师活动：
- 导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出配方法的应用，激发学生的学习兴趣。
3. 拓展目标：
- 提高学生对配方法的理解和应用能力。
- 培养学生的自主学习能力和批判性思维能力。
- 拓宽学生的知识视野，激发学生对数学学习的兴趣和热情。
4. 拓展评价：
- 教师根据学生的拓展学习成果，对其理解深度和应用能力进行评价。
- 同学之间的互评和自我评价，共同促进学生的全面发展。
5. 拓展建议：
七、课后拓展
1. 拓展内容：
- 配方法在实际问题中的应用：提供一些实际问题，如建筑设计中的梁柱设计、土地面积计算等，让学生运用配方法进行解决。
- 配方法与其他数学方法的对比：介绍配方法与因式分解、公式法等其他解一元二次方程方法的区别和联系。
- 配方法的拓展应用：介绍配方法在多元方程组、函数极值等问题中的应用。
- 作业创新性：评价学生在解题过程中是否能够灵活运用配方法，解决实际问题。

2.2.1 配方法徐利华

课题：第二章第一节配方法第1课时授课人：徐利华课型：新授课授课时间：2013年9月18日，星期三，第4 节课教学目标：1．理解并掌握配方法；2．通过探索配方法的过程，培养观察、比较、分析、转化、归纳的能力；3．通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受转化的数学思想．教学重点：用配方法解二次项系数是1的一元二次方程.教学难点：配方法解一元二次方程步骤的探索.教法学法：学生在老师的指导下根据开方运算总结出直接开平方方法解一元二次方程，然后教师依据“自主、互动、反馈”模式指导学生依据“转化思想”逐步探索利用配方法解一元二次方程的步骤.课前准备：1．教师准备好多媒体课件．2．课前预习并完成助学的知识梳理及范例导航的自学．教学过程：一、创设情境，导入新课师：同学们好！我们今天学习的配方法是一元二次方程解法的起始课，也是基础课，我统计了2004-2013年10年的中考试卷，每一年都会考到1-2题一元二次方程，50%的题涉及配方法，4-8分左右，除2005有一道填空题外，大多分布在23、24、25题中，也就是我们数学老师常说的压轴题，特别是在今年中考数学卷中，在最后一题最后两问都涉及到配方法，可见配方法在中考中的地位，可以说是一张中考试卷难易程度的风向标，我希望通过3节课的学习，同学们能轻松拿下这4-8分，我有信心，不知同学们有没有？生：有！师：好，大家勇气可嘉，现在开始我们的学习之旅。

首先我想请同学们谈谈数学中“转化思想”的在我们平时学习中的应用。

生：（不知如何回答）.师：没关系，我举个例子，你就理解了.我们在学习新知识时，一般都要把未知转化为已知.比如：我们在学习新课二元一次方程时，刚开始我们肯定是不会解的，但是经过转化我们就解决了，我们是怎么转化的？（课件展示）生：通过消元转化成一元一次方程.师：那我们在学习分式方程时，我们是怎样转化的？生：去分母转化成一元一次方程.师：我们今天学习一元二次方程，我们应该如何怎样转化呢？二次方程不会解，肯定要转化，转成什么知识点呢？大家可以猜一下.生：我猜转成一元一次方程.师：大家说他猜得怎样？生：对!师：二次转一次？大家想一下，在我们所学的五种运算中，哪一种运算起到了降次作用？生：开方.师：很好，我对同学给我的回答非常满意，看来同学们是全身心投入课堂中.下面我们就来一起研究如何通过降次解一元二次方程.（教师板书课题）【设计意图】：通过对历年真题的统计希望引起学生的注意，然后通过介绍“转化思想”激励学生主动到探究解一元二次方程的解法.二、探究交流，获取新知探究活动1：猜想探索解题思路师：我说同学们早在八年级就会解一元二次方程，你信吗？生：（有点疑惑）是吗？师：看来同学们还不相信自己的能力，我给你一道题，你能立即解出来。

2.2.1一元二次方程的解法配方法————直接开平方法

①
② 直接开平方得（ 2 2 x 1) 5( x 1)， x 7
上述解题过程，有无错误，如有，错在第？步，原因是？
请写出正确的解答过程
能力提升：解方程： 2(2 x 1) 5( x 1) 解：2(2 x 1) 5( x 1)或2(2 x 1) 5( x 1)
2
2
2x 2
2
解：4 x 2 81
81 x 4 9 9 x1 , x2 2 2
x 1
2
x1 1, x2 1
③
解：
(1 x) 64
2
④
解：
(2 x 1) 9
2
1 x 64 1 x 8 x1 7, x2 9
2x 1 9 2 x 1 3 x1 2, x2 1
一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根
归纳：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
x a(a 0)
2
x a
通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
2、自主学习P30—31页，例1、例2，完成下列各题
①
解：
2x 2 0
2
②
4 x 81 0
4 x 2 5x 5
x 7
x1 7
4 x 2 5 x 5
9 x 3
1 x2 3
直接开平方法解一元二次方程也就是利用平方根的意义解一元二次方程
x a(a 0)
2
b ax b( 0) a
2
动脑筋：用平方根的意义解一元二次方程（ 4 2 x 1) 25( x 1) 0

2.2.1.3用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.

2．2 一元二次方程的解法
2．2.1 配方法
第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
对于二次项系数不是1的一元二次方程，先要在方程两边 ___同__时__除__以__二__次__项__系__数_____，将它转化为二次项系数为___1___的一元二次方程，再用__配__方___法求解．
3．(易错题)用配方法解方程 2x2－43x－2＝0，应把它先变形为
(D)
A．(x－23)2＝89 C．(x－13)2＝89
B．(x－23)2＝0 D．(x－13)2＝190
4．(2014·聊城)用配方法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
此方程可变形为( A ) A．(x＋2ba)2＝b2－4a42 ac B．(x＋2ba)2＝4a4c－a2 b2 C．(x－2ba)2＝b2－4a42 ac D．(x－2ba)2＝4a4c－a2 b2
5．用配方法解方程 3x2－6＝－9x，正确的解法是(
A．(x＋32)2＝147，x＝－32±
17 2
B．(x－32)2＝147，x＝32±
17 2
C．(x＋32)2＝－147，原方程无解
D．(x＋32)2＝343，x＝－32±
33 2
A)
6．用配方法解下列方程：
(1)2x2－8x＋1＝0；
4＋ 14
4－ 14
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
(2)2x2－7x＋6＝0；
解：x1＝2，x2＝32
(3)3x2＋8x－3＝0；
解：x1＝13，x2＝－3
(4)23x2＋13x－2＝0；解：x1＝32，x2＝－2
ห้องสมุดไป่ตู้(5)0.4y2＋0.8y－1＝0；
14－2

配方法

2.2.1配方法（1）教学目标：1、用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;2、理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

3、会用转化的数学思想解决有关问题。

4、学会观察、分析，寻找解题的途径,提高分析问题、解决问题的能力。

教学重点：理解并掌握配方法，能够灵活运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

教学难点：如何利用等式的性质进行配方教学过程：一、回顾交流：1、若x2=4，则x= .2、若(x+1)2=4，则x= .3、若x2+2x+1=4，则x= .4、若x2+2x=3，则x= .二、学习探究：理解配方法解一元二次方程的过程变化依据。

1、填上适当的数，使下列等式成立：x2+12x+ =(x+6)2;x2-4x+ =(x- )2;x2+8x+ =(x+ )2.2、根据上述变形，你能解哪些一元二次方程？三、合作交流：1、你会解下列方程吗？与同学交流一下你是如何做的？x2=5，（x+2）2=5， x2+12x+36=52、解方程x2+12x-15=0的困难在哪里？你能将方程x2+12x-15=0转化成上面方程的形式吗？与同学交流一下。

3、思考：根据上面解答过程，你认为解一元二次方程的关键是什么？4、在这里，解一元二次方程的基本思路是将方程转化成的形式，它的一边是另一边是，当时两边便可以求出它的根。

这种通过配成进一步求得一元二次方程根的方法称为配方法．．．四、归纳总结：通过本节课的学习你学到了哪些知识？与同学交流一下。

五、例题解析：例1 解方程x2+8x-9=0分析：将常数项移到方程的右边可得方程。

这样你将如何进行配方解方程？试写出完整解答过程。

六、当堂训练：解下列方程：1、x2-10x+25=72、x2+6x=1补充练习：1、如图，在一块长35m 、宽26m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分种花草，要使剩余部分面积为850m 2，道路的宽应为多少？2、解下列方程：(1)x 2+12x+25=0 (2)x 2+4x=10 (3)x 2-6x=11 (4)x 2-2x-4=0 （5）x 2-4x-12=0课题：§2.2.2、配方法（2）教学目标： 1、能够熟练地、灵活的应用配方法解一元二次方程。

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x2+12x-15＝0
变形为
变形为（x+6）2=51
• • • • 2 a 的形式．（ａ为非负常数）
再用开平方法求解
x+6= 51
课本P36的“做一做” ,并完成下列问题:
①x2+12x+ 36
【即（12 ）2】 2
=(x+6)2;
②x2-4x+
4
【即（-4 ）2】 2
=(x-
2
)2;
一元二次方程的解法 2.2.1 配方法
(2分钟) 因式分解中的完全平方公式:
a2 2ab b2 (ab)2; a2 2ab b2 (ab)2.
完全平方式
还记得吗? 1.若X2+mx+49是一个完全平方式,
则m等于_±___1_4___
2.若x2+6x+a2是一个完全平方式，
则a的值是_±___3__
x 4 5. 4.求解:解一元一次方程;
x1 1, x2 9. 5.定解:写出原方程的解.（有两个）
你能从例1的解法中归纳出一般的解题步骤吗?
自学检测3:(10分钟)
1.用配方法解下列方程: ①x2+4x-5=0 ②x2+6x=1 ③x2+4x=8 ④x2+1=2x
格式:
解方程:x2+4x―5=0
解: x2+4x=5
移 x2
解:
6x
1
x2+4x+22=5+22配
x2+6x+32=1+32
（x+2）2=9
（x+3）2=10
x+2=±3 开
x=±3-2
求
x 3 10 x 3 10
∴ x1=1，x2=―5 定 x1 10 3, x2 10 3
3.不论x取什么实数时,多项式x2-
6x+13的值不小于( A )
C 1.把方程x2-4x=-3配方,得 ( )
A.(x-2)2=7
B.(x+2)2=21
C.(x-2)2=1
D.(x+2)2=2
2.方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方式后
A 所得方程为 (
)
A.(x+3)2=14 1
C.(x+6)2= 2
B.(x-3)2=14 D.以上答案都不对
3.
a≥7
自学指导3:(2分钟)
自学检测1:(4分钟) 1.完成P36议一议⑴⑵
x 5 x 1,
x 5 1 x 51 6
2.规范地解下列方程:
1) x2=12 2) (x+2)2=5 3) x2+12x+36=7
2.规范地解下列方程：
1) x2=12 2) (x+2)2=5 3) x2+12x+36=7
解：x 2 3, 解：x 2 5, 解：(x 6)2 7, x1 2 3, x2 2 3 x1 5 2, x2 5 2 x 6 7,
x1 7 6, x2 7 6
解后思考:这些方程都有什么共同点?
左边都可写成整式的平方,右边都是一个非常负数数 .
直你会接解开方程平x2方+1法2x-15=0吗?
自学指导2:(2分钟)
自学课本P36的内容⑶和做一做,完成：
解方程x2+12x-15=0时,通过配方，将其化为形如_(x__+_m__)2_＝__n_(n__≥_0_)_的方程, 然后用直接开平方法求解.
③x2+8x+16【即（82）2】=(x+
4 )2
配方时,常数项与一次项系数有什么关系?
常数项是一次项系数一半的平方
①x²+3x+
=(x+
)
②x²+
5 2
x+
=(x+
)
总结归律:
x2 px
_(_2p_)_2
(
x
p
__2__)2
x2+12x-15＝0
解： x2+12x=15 x2+12x+62=15+62 即(x+6)2=51
（4）-9
无
（5）a (a≥0)
a
2. 求出下列各式中的x.
（1）x2=25
x 5
(2) x
1 63
x2
=9
4
（ 3）7
7
4
(6)
9
2
3
(3) x2=7
x 7
(4) x2=－9 （5） x2=a(a≥0) (6)9(x-1)2=4
x无实数解 x a x -1 2
3
形如x2=a(a≥0)得x= a即直接开平方法 .
x+6= 51 x1 51 6 x2 51 6
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式, 然后用直接开平方法_求__解_______,这种解一元二次方程的方法叫做配方法 .
配方法解方程的关键是方程两边同时加上
__一__次__项__系___数__一__半__的___平__方_
自学检测2:(3分钟)
自学P37的例1,思考：
1.用配方法解一元二次方程的步骤是什么? 2.如何规范地应用配方法解一元二次方程呢?
例1:解方程 x2+8x-9=0.
解：x2 8x 9. 1.移项:把常数项移到方程的右边;
x 42 25.
2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
x 4 5. 3.开方:用直接开平方法将二次化为一次。
A.4 B.4.5 C.5 D.5.5
小结:(1分钟)
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方式, 然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意:配方时,等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
当堂训练:(15分钟)
1.x2-4x+ 4 =(x-2 )2 2.4x2-(m-2)x+1 是完全平方式,则 m= 6或-2.
3.把方程x2-4x+7=0化成(x+m)2=n的
形式为（x-2）2=-3 .
4.
A
5.用配方法说明:无论x取何实数，多项式x2-4x+7的值必大于0.
变式:多项式x2-4x+7的最小值为 .
解：设道路的宽应为x米，则： 35m
(35 x)(26 x) 850 26m
化简，得：x2 61x 60 0 解之，得：x1 1, x2 60(不合意，舍去）
答:道路宽1米
35m 26m
3.如果x2=a,则x就叫做a的_平__方__根__
学习目标:(1分钟)
1.会用直接开平方法解形如:
x2 a(a 0) 的方程;
2.理解配方法,会用配方法解二次系数为1的一元二次方程.
自学指导1 :(4分钟) 结合所学知识,完成下列问题
1.求出或表示出下列各数的平方根.
（1）25
5
（2）196 3 4
6.用配方法解下列方程:
(1)x2-14x=8;
(2)x2+2x+2=8x+4；
(3)x2-3x+22=7;
(4)x2+
5 2
x+=4;
7.代数式-x2+2x+3的最大值为______.
8.如图,在一块长35m、宽26m的矩形地面上,修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分种花草,要使剩余部分面积为 850m2,道路的宽应为多少?