方程22一元二次方程的解法221配方法第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程教案新版湘教版教案
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程示例文章篇一：《用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程》嗨，小伙伴们！今天咱们来一起研究一个超级有趣的数学问题——用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程。
这就像是一场奇妙的数学冒险呢！我先给大家举个例子吧，比如说方程2x² - 5x + 3 = 0。
这可不像我们之前学的那些简单的方程哦。
那怎么来解这个方程呢？我们第一步要做的，就像是给这个方程来个“大变身”。
我们先把二次项系数2提出来，方程就变成了2(x² - 5/2x) + 3 = 0。
这时候呀，括号里的式子就像是一个小宝贝，我们要把它打扮得漂漂亮亮的。
我们要在括号里加上一个数，又要减去这个数，这样方程才不会变哦。
这个数怎么找呢？对于x² - 5/2x来说，我们看一次项系数- 5/2，把它除以2再平方，那就是(- 5/2÷2)²=( - 5/4)² = 25/16。
这时候方程就变成了2(x² - 5/2x + 25/16 - 25/16)+3 = 0。
这就好比我们给小宝贝穿上了一件漂亮的衣服，又脱了一点东西，但是整体还是一样的。
我们把括号里的式子变形一下，变成2[(x - 5/4)² - 25/16]+3 = 0。
然后展开括号，就是2(x - 5/4)² - 25/8+3 = 0。
接着计算，2(x - 5/4)² - 25/8+24/8 = 0，也就是2(x - 5/4)² - 1/8 = 0。
这时候我们把- 1/8移到等号右边，得到2(x - 5/4)² = 1/8。
再两边同时除以2，(x - 5/4)² = 1/16。
最后求x，x - 5/4 = ±1/4。
如果x - 5/4 = 1/4，那x = 6/4 = 3/2；如果x - 5/4 = - 1/4，那x = 4/4 = 1。
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程01 基础题知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1．用配方法解方程2x 2－4x ＝3时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上(A)A ．1B ．2C ．3D ．52．将方程3x 2－12x －1＝0进行配方，配方正确的是(D)A ．3(x －2)2＝5B ．(3x －2)2＝13C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝1333．用配方法解方程2x 2－3＝－6x ，正确的解法是(A)A ．(x ＋32)2＝154，x ＝－32±152B ．(x －32)2＝154，x ＝32±152C ．(x ＋32)2＝－154，原方程无解D ．(x ＋32)2＝74，x ＝－32±724．用配方法解下列方程：(1)2x 2－8x ＋1＝0；解：x 1＝4＋142，x 2＝4－142.(2)2x 2－7x ＋6＝0；解：x 1＝2，x 2＝32.(3)3x 2＋8x －3＝0；解：x 1＝13，x 2＝－3.(4)2x 2＋1＝3x ；解：x 1＝1，x 2＝12.(5)3x 2－2x －4＝0；解：x 1＝1＋133，x 2＝1－133.(6)6x ＋9＝2x 2.解：x 1＝3＋332，x 2＝3－332.5．数学活动课上，李老师出了这样一道题：用配方法解方程1－6x ＝3x 2.小红同学的解答过程：解：移项，得3x 2＋6x ＝1.化二次项系数为1，得x 2＋2x ＝1.配方，得x 2＋2x ＋12＝1＋12.即(x ＋1)2＝2.所以x ＋1＝±2.所以x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 2.请判断小红的解答过程是否有错，若有错，说明错因，并帮小红改正过来．解：有错，在化二次项系数为1时，方程中各项都要除以3，错解中方程右边的1漏除以3. 正确解法为：移项，得3x 2＋6x ＝1.化二次项系数为1，得x 2＋2x ＝13.配方，得x 2＋2x ＋12＝13＋12，即(x ＋1)2＝43.所以x ＋1＝±233.所以x 1＝－1＋233，x 2＝－1－233.02 中档题6．用配方法解下列方程时，配方有错误的是(C)A ．2m 2＋m －1＝0化为(m ＋14)2＝916B ．2x 2＋1＝3x 化为(x －34)2＝116C ．2t 2－3t －2＝0化为(t －32)2＝2516D ．3y 2－4y ＋1＝0化为(y －23)2＝197．方程(2x －5)(x ＋2)＝3x －5的根为(C)A.－2±142 B ．0或－1C.2±142 D ．以上均不对8．把方程2x 2＋4x －1＝0配方后得(x ＋m)2＝k ，则m ＝1，k ＝32．9．已知y 1＝4x 2＋5x ＋1，y 2＝2x 2－x ，则当x ＝－3±72时，y 1＝y 2.10．用配方法解下列方程：(1)2t 2－6t ＋3＝0； 解：t 1＝3＋32，t 2＝3－32.(2)23x 2＋13x －2＝0；解：x 1＝32，x 2＝－2.(3)2y 2－4y ＝4；解：y 1＝1＋3，y 2＝1－ 3.(4)(太原中考)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝2，x 2＝4.11．当k 为何值时，方程kxk 2－7－3kx ＋2＝3xk 2－7－kx －k 是关于x 的一元二次方程，并用配方法解此方程．解：依题意有k 2－7＝2且k ≠3，解得k ＝－3.当k ＝－3时，原方程为－6x 2＋6x －1＝0，解得x 1＝3＋36，x 2＝3－36.12．若一个三角形的两边长分别为2和3，第三边长是方程2x 2－3x －5＝0的一个根，求这个三角形的周长．解：解方程2x 2－3x －5＝0，得x ＝52或x ＝－1(不合题意，舍去)． 故这个三角形的周长为2＋3＋52＝152.03 综合题13．用配方法说明：不论x 取何值，代数式3x 2＋3x 的值总比代数式x 2＋7x －4的值大，并求出当x 为何值时，两代数式的差最小．解：(3x 2＋3x)－(x 2＋7x －4)＝2x 2－4x ＋4＝2(x －1)2＋2>0，∴不论x取何值，代数式3x2＋3x的值总比代数式x2＋7x－4的值大．∵2(x－1)2≥0，∴当x＝1时，2(x－1)2取最小值为0，即2(x－1)2＋2的最小值为2.∴当x＝1时，两代数式的差最小．。
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
解：根据题意得
15t-5t2=10
方程两边都除以-5，得
t2-3t=-2
配方，得 t 2
3t
3
2
2
3
2
2
2
t
3
2
1
2 4
t 3 1 22
t1 2,t2 1
3x2+6x-9=0------x2+2x-3=0
-5x2+20x+25=0---x2-4x-5=0
例题精讲
例2 解方程3x2+8x-3=0
解：方程两边都除以3，得
x2 8 x 1 0
3
移项，得 x2 8 x 1
配方，得
x2
8
3 x
4
2
1
4
2
3 3
3
x
4
2 Biblioteka 25 3 9
所以
45 1
x
3
, 3
x1
3
,
x2
3
习题训练
解下列方程 1)4x2-8x-3=0 2)2x2+6=7x 3)3x2-9x+2=0
实际应用 一小球以15m/s的初速度竖
直向上弹出，它在空中的高度h(m)与 时间t(s)满足关系:h=15t-5t2,小球何 时能达到10m的高度？
方程两边都除以3得01382???xx移项得配方得2223413438????????????????xx1382??xx925342????????x所以331353421??????xxx例题精讲解下列方程14x28x3022x267x33x29x20习题训练一小球以15ms的初速度竖直向上弹出它在空中的高度hm与时间ts满足关系
湘教版九上数学精品教学课件 第2章 一元二次方程 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
式都不成立．∴ 原方程无实数根．
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 移项时需注意改变符号.
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为 1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
规律总结 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
九年级数学上（XJ） 教学课件
第2章 一元二次方程
2.2.1 配方法
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.会用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程； （重点）
2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程. （难点）
导入新课
复习引入 1.用直接开平方法解下列方程:
(1) 9x2 = 1 ； (2) (x - 2)2 = 2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1) x2 + 6x + 9 = 5； (2) x2 + 6x + 4 = 0.
把两题转化成 (x + m)2 = n (n≥0) 的 形式，再利用开平方
讲授新课
一 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
1 4
0，
因此
x
3 2
2
10 4
.
由此，得 x 3 10 或 x 3 10 .
22
22
所以
x1
3 10 2
，x2
3 10 2
.
归纳总结
配方法的应用
类别
解题策略
1.求最值或证 将关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x + m)2 + n 的 代数式的值 形式后，由于 (x + m)2≥0，故当 a＞0 时，可得其 恒正（或负） 最小值为 n；当 a＜0 时，可得其最大值为 n.
《用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程》PPT课件
能力提升练 解：(3x2＋3x)－(x2＋7x－4)＝2x2－4x＋4＝2(x－1)2＋2＞0， ∴不论 x 取何值，代数式 3x2＋3x 的值总比代数式 x2＋7x－4 的 值大． ∵2(x－1)2≥0， ∴当 x＝1 时，2(x－1)2 取最小值为 0，即 2(x－1)2＋2 的最小值 为 2. ∴当 x＝1 时，两代数式的差最小．
基础巩固练
基础巩固练
A．两人都正确
【点拨】两人的做法都正确．本
B．嘉嘉正确，琪琪不正确 题易错点：只会将二次项系数
C．嘉嘉不正确，琪琪正确 化为 1 配方，从而否定琪琪将
D．两人都不正确
二次项系数化为完全平方数的
思路，导致误选 B.
【答案】A
基础巩固练 5．【原创题】方程 ax2＋bx＋c＝0 配方后得到方程(2x－3)2＝－
( D) A．2(x－6)2＝43 C．2(x－3)2＝16
B．(x－6)2＝43 D．(x－3)2＝16
【点拨】∵2x2－12x－9＝5，∴2x2－12x＝14， ∴x2－6x＝7，则 x2－6x＋9＝7＋9，即(x－3)2＝16.
基础巩固练
4．【易错题】在解方程 2x2＋4x＋1＝0 时，对方程进行配方，文 本框①中是嘉嘉做的，文本框②中是琪琪做的，对于两人的 做法，说法正确的是( )
能力提升练
14．当 x 为何值时，代数式 5x2＋7x＋1 和代数式 x2－9x＋15 的 值相等？
解：依题意有 5x2 ＋7x ＋1＝x2 －9x＋15.
整理，得 4x2＋16x＝14，配方，得(x＋2)2＝125.
解得 x＝－4±2
30，∴x1＝－4＋2
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程教案
设计问题引人入境，激发学生探究的兴趣.
活动
二：
实践
探究
交流新知
【探究】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
观察方程3x2＋18x＋24＝0，它与我们上一节课所解的方程有什么不同？你有什么想法？
先让学生回答这个方程与上一节课我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上一节课我们所解的方程类型，教师提醒后，找一位同学尝试板书，然后教师投影演示．
3．用配方法解下列方程：
(1)3x2－5x＝2；(2) x2－x－4＝0.
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探究新知环节中，教师应加强引导和示范．学生接触新知识基础性差，所以教师教授解答过程和方法时，应给予学生必要的板书演示．
②[讲授效果反思]
变式一 解方程：3x2－6x＋4＝0.
变式二 解方程：(1)2x2＋1＝3x；(2)－3x2＋6x－3＝0.
学生通过经历观察、思考、讨论、分析的过程，形成把一元二次方程配成完全平方形式来解方程的思想.
【拓展提升】
例2用配方法求解下列问题：
(1)2x2－7x＋2的最小值；(2)－3x2＋5x＋1的最大值．
通过配方转化为利用直接开平方法解一元二次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知(新知识)向已知(旧知识)转化，这是研究数学问题常用的方法．
情感态度
通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情和求知欲望，同时提高小组合作意识和一丝不苟的精神．
教学重点
会用配方法解一元二次方程．
教学难点
能够熟练地进行配方．
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
《配方法(第3课时)用配方法解二次项的一元二次方程》教案 (1)
一元二次方程的解法配方法第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程教学目标1、理解用配方法解一元二次方程的根本步骤。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
3、进一步体会化归的思想方法。
重点难点重点：会用配方法解一元二次方程．难点：使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。
教学过程〔一〕复习引入1、用配方法解方程x2+x-1=0，学生练习后再完成课本P．13的“做一做〞．2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的根本步骤是什么?〔二〕创设情境现在我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，而对于二次项系数不为1的一元二次方程能不能用配方法解?怎样解这类方程：2x2-4x-6=0〔三〕探究新知让学生议一议解方程2x2-4x-6=0的方法，然后总结得出：对于二次项系数不为1的一元二次方程，可将方程两边同除以二次项的系数，把二次项系数化为1，然后按上一节课所学的方法来解。
让学生进一步体会化归的思想。
〔四〕讲解例题1、展示课本P．14例8，按课本方式讲解。
2、引导学生完成课本P．14例9的填空。
3、归纳用配方法解一元二次方程的根本步骤：首先将方程化为二次项系数是1的一般形式；其次加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；最后将配方后的一元二次方程用因式分解法或直接开平方法来解。
〔五〕应用新知课本P．15，练习。
〔六〕课堂小结1、用配方法解一元二次方程的根本步骤是什么?2、配方法是一种重要的数学方法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，高中学习二次曲线时都要经常用到。
3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少。
4、按图1—l的框图小结前面所学解一元二次方程的算法。
〔七〕思考与拓展不解方程，只通过配方判定以下方程解的情况。
(1) 4x2+4x+1=0； (2) x2-2x-5=0；(3) –x2+2x-5=0；[解] 把各方程分别配方得(1) (x+ )2=0；(2) (x-1)2=6；(3) (x-1)2=-4由此可得方程(1)有两个相等的实数根，方程(2)有两个不相等的实数根，方程(3)没有实数根。
2.2.1.3用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.
2．2.1 配方法
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
对于二次项系数不是1的一元二次方程，先要在方程两边 ___同__时__除__以__二__次__项__系__数_____，将它转化为二次项系数为___1___的一 元二次方程，再用__配__方___法求解．
3．(易错题)用配方法解方程 2x2－43x－2＝0，应把它先变形为
(D)
A．(x－23)2＝89 C．(x－13)2＝89
B．(x－23)2＝0 D．(x－13)2＝190
4．(2014·聊城)用配方法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
此方程可变形为( A ) A．(x＋2ba)2＝b2－4a42 ac B．(x＋2ba)2＝4a4c－a2 b2 C．(x－2ba)2＝b2－4a42 ac D．(x－2ba)2＝4a4c－a2 b2
5．用配方法解方程 3x2－6＝－9x，正确的解法是(
A．(x＋32)2＝147，x＝－32±
17 2
B．(x－32)2＝147，x＝32±
17 2
C．(x＋32)2＝－147，原方程无解
D．(x＋32)2＝343，x＝－32±
33 2
A)
6．用配方法解下列方程：
(1)2x2－8x＋1＝0；
4＋ 14
4－ 14
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
(2)2x2－7x＋6＝0；
解：x1＝2，x2＝32
(3)3x2＋8x－3＝0；
解：x1＝13，x2＝－3
(4)23x2＋13x－2＝0； 解：x1＝32，x2＝－2
ห้องสมุดไป่ตู้(5)0.4y2＋0.8y－1＝0；
14－2
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归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤大致概括为：
(1)二次项系数化为1；
(2)移项，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
(3)配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n的形式；
(4)当n≥0时，—元—次方程的解为x＝－m± .
让学生自己发现问题、探究问题，并寻求解决问题的方法，积极培养学生合情推理的能力.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1[教材P34例4]用配方法解方程：4x2－12x－1＝0.
讲评策略：根据总结的解题步骤，引导学生先化二次项系数为1，然后再配方，最后利用直接开平方法求解．指导学生阐述做题的思路后，让学生书写解题过程，教师做好评价和辅导．
3．用配方法解下列方程：
(1)3x2－5x＝2；(2) x2－x－4＝0.
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探究新知环节中，教师应加强引导和示范．学生接触新知识基础性差，所以教师教授解答过程和方法时，应给予学生必要的板书演示．
②[讲授效果反思]
重点问题做到重点讲解：(1)化二次项系数为1；(2)添项：一次项系数一半的平方；(3)牢记解题的步骤．
③[师生互动反思]
从课堂交流和课堂检测来看，学生能够运用配方法解一元二次方程，并且效果很好．
④[习题反思]
好题题号_______________________________________
错题题号_______________________________________
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
用配方法解方程：x2＋6x＋8＝0.
巩固用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，为学习用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程做好铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
在回顾的基础上，引导学生比较、讨论下列问题(多媒体展示)．
比较下列两个一元二次方程的联系与区别：①x2＋6x＋8＝0；②3x2＋18x＋24＝0.
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
课题
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
授课人
教
学
目
标
知识技能
掌握配方法解一元二次方程的步骤，会用配方法解一元二次方程．
数学思考
通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力．
问题解决
通过配方转化为利用直接开平方法解一元二次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知(新知识)向已知(旧知识)转化，这是研究数学问题常用的方法．
情感态度
通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情和求知欲望，同时提高小组合作意识和一丝不苟的精神．
教学重点
会用配方法解一元二次方程．
教学难点
能够熟练地进行配方．
变式一 解方程：3x2－6x＋4＝0.
变式二 解方程：(1)2x2＋1＝3x；(2)－3x2＋6x－3＝0.
学生通过经历观察、思考、讨论、分析的过程，形成把一元二次方程配成完全平方形式来解方程的思想.
【拓展提升】
例2用配方法求解下列问题：
(1)2x2－7x＋2的最小值；(2)－3x2＋5x＋1的最大值．
教师重点关注学生对待已解问题与未解问题的对比分析能力，给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到解答方法．鼓励学生大胆猜想，发表见解．
学生不断质疑、解惑，不但完善了思维也锻炼了能力，使学生形成对知识的总体把握.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．教材P35练习．
2．教材P41习题2.2中的T3.
探讨：方程②应如何求解呢？
设计问题引人入境，激发学生探究的兴趣.
活动
二：
实践
探究
交流新知
【探究】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
观察方程3x2＋18x＋24＝0，它与我们上一节课所解的方程有什么不同？你有什么想法？
先让学生回答这个方程与上一节课我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上一节课我们所解的方程类型，教师提醒后，找一位同学尝试板书，然后教师投影演示．
反思，更进一步提升.