拉普拉斯变换1例题及详解
拉普拉斯变换 (1)
傅里叶变换的概念
1．傅里叶级数 定理8.1 设 fT (t ) 是以 T 为周期的实函数,且在
T T 2 , 2 T T 2 , 2
上满足狄氏条件，即在一个周期
上满足：
（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点.
则在连续点处有
a0 f T (t ) (an cos nw0 t bn sin nw0 t ) 2 n1
3.微分性质
(1)导函数的像函数
设 L( f (t )) F ( s), 则有 L( f (t )) sF ( s) f (0)
'
对于高阶导数有
L( f (t )) s F ( s) s
( n) n
n1
f (0) s
n 2
f (0)
( n1)
'
f
(0)
此性质可用来求解微分方程组的初值问题
2 2
4.积分性质 (1)积分的像函数
设L( f (t )) F ( s)，则有
L(
t 0
1 f ( t )dt) F ( s ) s
一般地, 有
L( dt dt
0 0 t t t 0
1 f ( t )dt) n F ( s ) s
(2)像函数的积分
设L( f (t )) F ( s)，则有
sint st 0 t e dt arc cot s sint 如果令 s 0，则有 0 dt t 2
例题启示：
在拉 普拉斯 变换 及其一 些性 质中取 为某 些 特定 值，可以 用来求 些函 一 数的广 义积 分.
0
第二章_Laplace变换（答案）
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。
22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。
(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dttete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。
拉普拉斯变换的应用及综合举例
E (1 e R
R t L
.
).
17
例 质量为 m 的物体挂在弹簧系数为 k 的弹簧一端(如图)，作用在物体上 的外力为 f ( t )。若物体自静止平衡 位置 x 0 处开始运动， 求该物体 的运动规律 x( t ) .
(跳过?)
(2) 求 Laplace 逆变换，得
3 t x ( t ) e 2t , 2
1 t 1 2 3 y( t ) e t . 2 2 2
14
P232 例9.24
(跳过?)
解 (1) 由于 f ( t ) sin t 0 f ( x ) sin(t x ) d x , 因此原方程为 f (t ) a t f (t ) sin t . (2) 令 F ( s)
R
R i (t ) L i (t ) E , i (0) 0 .
令 I ( s)
[ i (t ) ] , 在方程两边取 Laplace 变换得
E R I ( s ) L sI ( s ) , s
E 1 1 E 求解此方程得 I ( s ) R s s R s( R sL) L
解 (1) 由 Newton 定律及 Hooke 定律有
m x( t ) f ( t ) k x( t ) .
即物体运动的微分方程为
m x( t ) k x( t ) f ( t ) , x(0) x(0) 0 .
18
解 (1) m x( t ) k x( t ) f ( t ) , x(0) x(0) 0 .
A , 可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动，振幅为 m0 角频率为 0 , 称 0 为该系统的自然频率或固有频率。
用拉普拉斯变换方法解微分方程
例1求指数函数f(t)=e at(t > 0,a是常数)的拉氏变换.解根据定义，有L[e at]= j o+ e at e-pt dt= e-(p-a)t dt这个积分在p> a时收敛,所以有L[e at]= / T e(p-a)t dt=1/(p-a) (p >a) (1)例2求一次函数f(t)=at(t > 0,a是常数)的拉氏变换.解L[at]= / o+ra ate-pt dt=- a/p / o+"td(e -pt)=-[at/p e -pt ] o+ra+a/p / T e-pt dt根据罗必达法则, 有lim to+ °°(-at/p e )=-lim to+ °° at/pe =-lim to+ a/p e上述极限当p> 0时收敛于0,所以有lim to+ - (-at/pe -pt )=0因此L[at]=a/p / o+ra e-pt dt2 -pt +m 2=-[a/p e p ]o =a/p (p >(2)0)例3求正弦函数f(t)=sin 3 t(t > 0)的拉氏变换解L[sin 31]= / 0+ra sin 3 te -pt dt2 2 -pt +m=[-1/(p +3 ) e (psin 3 t+ 3 cos3 t] 022 2=3 /(P +3 ) (p > 0）⑶用同样的方法可求得2 2L[cos 3t]=p/(p+3 ) (p >0)二拉普拉斯变换的基本性质三拉普拉斯变换的逆变换四 拉普拉斯变换的应用2-5 用拉普拉斯变换方法解微分方程拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方 程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1）,即可方便地查 得相应的微分方程解。
这样就使方程求解问题大为简化。
拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两 部分。
拉氏变换详解
称为拉氏反变换。记为 L1[ F (s)] 。
由F(s)可按下式求出
f
(t)
L1[F (s)]
1
2
j
C j
C j
F (s)est ds(t
0)
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的 实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查 拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必 须是一种能直接查到的原函数的形式。 12
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[
f
(t)]
0
f
(t)est dt
s
0
f
(t)est dt
f
(t )e st
0
sF(s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[ f ( t )] aF (as)
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a
第14 章 Laplace 变换 1. 求下列函数的拉氏变换 (1) (2) 解 (1
第14 章 Laplace 变换1． 求下列函数的拉氏变换 （1）1cos wtw- （2）chwt 解 （1）{}{}220sin 1cos sin ()tL wt wt wL Lwzdz w p p p w -⎧⎫===⎨⎬+⎩⎭⎰（2）{}{}22111122wt wt pL chwt L e e p w p w p w-⎧⎫=+=+=⎨⎬-+-⎩⎭ 2．求下列函数的逆拉氏变换 （1）2845p p p +++； （2）222()p p a + 其中a ＞0。
解 （1）111222821645(2)1(2)1p p L L L p p p p ---⎧⎫⎧⎫⎧⎫++=+⎨⎬⎨⎬⎨⎬++++++⎩⎭⎩⎭⎩⎭22cos 6sin tt et e t --=+（2）1222sin ()2pt at L p a a -⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭3. 设11()sin f t wt w=，2()f t chwt =，其中w ≠0,求12()()f t f t *。
解法1 由于{}{}{}1212L f f L f L f *=⋅ {}12211()sin L f t L wt w p w⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭ {}{}222()pL f t L chwt p w ==-所以 {}1222221pL f f p w p w*=⋅+- 2222222()2()p pw p w w p w =--+2211cos 22L chwt L wt w w ⎧⎫⎧⎫=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭2211cos 22L chwt wt w w ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭1221(cos )2f f chwt wt w *=- 解法2 由卷积定义求1201()()sin ()tf t f t w chw t d wτττ*=-⎰()()01sin 2w t w t te e w d w ττττ---+=⎰ ()()0011sin sin 22t t w t w t e w d e w d w w ττττττ---=+⎰⎰ 22221111sin cos sin 4444wt wt wt e wt w w w w =--++-2211cos 44wtt e w w -+ 2211cos 222wt wt e e wt w w -+=-21(cos )2chwt wt w =- 4．求解'1(0)0x x x +=⎧⎨=⎩解 对方程施行Laplace 变换，并注意初始条件：x(0)=0,我们有 [][][]'1L x L x L +=[][]1pL x L x p+=[]11111(1)1(1)L x p p p p p p ==-=-++--[]11111(1)tx L L x L e p p ---⎡⎤==-=-⎢⎥--⎣⎦5. 求解2'3(0)2tx x e x -⎧-=-⎨=⎩解 对方程两边施以Laplace 变换，并注意初始条件x(0)=0,则有[][]2'3tL x L x L e -⎡⎤-=-⎣⎦[][]3(0)2pL x x L x p ---=+ []311(1)(2)21L x p p p p -==--++-11211()()21t tx t L x L e e p p ---⎡⎤==-=-⎢⎥+-⎣⎦6. 求解01"(0),'(0)tx x e x x x x ⎧+=⎨==⎩解 对方程两边施以Laplace 变换得[][]"tL x L x L e ⎡⎤+=⎣⎦[][]20111p L x px x L x p --+=- 解得 []0122221111121212111x p x p L x p p p p p =--++-++++ 所以 101222211111()21212111x p x p x t L p p p p p -⎡⎤=--++⎢⎥-++++⎣⎦01111()cos ()sin 222t e x t x t =+-+- 7. 求解01"(0),'(0)tx x e x x x x ⎧-=⎨==⎩解 对方程两边施以Laplace 变换得 [][]"t L x L x L e ⎡⎤-=⎣⎦[][]201'(0)1p L x p xx L x p ---=- []201111p L x px x p ⎡⎤-=++⎣⎦- 解得 []2111()2(1)4(1)4(1)L x t p p p =-+--+ 012211x p x p p ++-- []101111()(())244t t t x t L L x t te e e x cht x sht --==-+++8. 求解"'2"'4(0)1,'(0)2,"(0)2x x x x x x --=⎧⎨===-⎩解 对方程两边施行Laplace 变换，并注三个初始条件，则有[][][][]"'2"'4L x L x L x L -+=[][]322(0)'()"(0)2(0)'(0)p x p x px x x p L x px x ⎡⎤------+⎣⎦[]4(0)L x x p-=[][][]3224222241p L x p p p L x p pL x p--+-+++-=[]224(1)5p p L x p p-=+- 解得 []222254()(1)(1)(1)p L x t p p p p p =-+--- 23421p p p =+-- 所以 []1()()342tx t L L x t t e -==+-9. 求解21"'2(0)'(0)"(0)0t x x t e x x x ⎧+=⎪⎨⎪===⎩ 解 对方程两边施以Laplace 变换并利用初始条件有 [][]21"'2tL x L x L t e ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦[][]3221(0)'(0)"(0)(1)p L x p x px x L x p ---+=-解得 []331()(1)(1)L x t p p =-+- 当331231,,ii p p e p e ππ-=-==是一阶极点，p=1是三阶极点，由留数计算公式：22331111Re ()lim 2(1)(1)ptpt p p d s F p e e dp p p →=⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦!+-⎣⎦2133448t t tt e te e =-+31311(1)Re ()|(1)24ptptt p p e p s F p e e p -=-=--⎡⎤==-⎣⎦+3332(1)Re ()|3i i pt ptp e p e e p s F p e p ππ==-⎡⎤==⎣⎦3Re ()iptp es F p e π-=⎡⎤=⎣⎦所以221331()44824t t t t t x t t e te e e -=-+--21cos 32te10. 求解3''21'4'30(0)(0)0x y x x y y x y ++=⎧⎪++=⎨⎪==⎩解 对方程组两边施行Laplace 变换，并设[][](),(),X L x t Y L y t ==得 1(32)(43)0p X pY p pX p Y ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩解得 221111111765(116)5(1)431133(11176)25(1)10(116)Y p p p p p X p p p p p p --⎧==+⎪++++⎪⎨+⎪==--⎪++++⎩所以 [][]61116111113()251011()55t t t tx t L X e e y t L Y e e ------⎧==--⎪⎪⎨⎪==-+⎪⎩11. 求解0sin ()sin()()ta t G t t z G z dz =--⎰，a 为常数。
拉普拉斯变换详解
s2 s2
s
例3 求周期函数的拉氏变换
解
设f1(t)为第一周函数
[ f1(t )] F1(s)
f(t) 1
T/2 T
... t
则：
1 [ f (t )] 1 esT F1(s)
证：f (t) f1(t) f1(t T )ε(t T )
f1(t 2T )ε(t 2T )
[ f (t )] F1(s) esT F1(s) e2sT F1(s)
S
校验：
U(S)
1
S(1 SRC )
u(0
)
lim
s
S
S(1
1 SRC
)
lim
s
(1
1 SRC
)
0
u() lim 1 1 s0 (1 SRC )
小结： 积分
(t) (t)
t (t ) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
)
例3 求 : f (t) teat的象函数
解
[te αt ] d ( 1 ) 1
ds s α (s α)2
3.积分性质
设： [ f (t)] F (s)
则：
t
1
[ 0
f
(t)dt]
s
F(s)
证：令
t
[ 0
f
(t)dt]
φ( s )
[ f (t)]
d dt
t
0
f
(t )dt
(s
p
)
kn
s pn
f
第四章-拉普拉斯变换
第四章拉普拉斯变换第一题选择题1．系统函数H（s）与激励信号X（s）之间 B 。
A、是反比关系；B、无关系；C、线性关系；D、不确定。
2．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面左半平面的共轭极点，则它的h(t)应是 B 。
A、指数增长信号B、指数衰减振荡信号C、常数D、等幅振荡信号3．一个因果稳定的连续系统，其H（s）的全部极点须分布在复平面的 A 。
A、左半平面B、右半平面C、虚轴上D、虚轴或左半平面4．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一个在左半实轴上的极点，则它的h(t)应是 B 。
A、指数增长信号B、指数衰减振荡信号C、常数D、等幅振荡信号5．一个因果稳定的连续系统，其H(s)的全部极点须分布在复平面的 A 。
A 左半平面B 右半平面C 虚轴上D 虚轴或左半平面6．若某连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面虚轴上的一阶共轭极点，则它的h(t)是D 。
A 指数增长信号B 指数衰减信号C 常数D 等幅振荡信号7．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h(t)应是 DA、指数增长信号B、指数衰减振荡信号C、常数D、等幅振荡信号8．如果系统函数H(s)有一个极点在复平面的右半平面，则可知该系统 B 。
A 稳定B 不稳定C 临界稳定D 无法判断稳定性9．系统函数H(s)是由 D 决定的。
A 激励信号E(s)B 响应信号R(s)C 激励信号E(s)和响应信号R(s)D 系统。
10．若连续时间系统的系统函数H(s)只有在左半实轴上的单极点，则它的h(t)应是B 。
A 指数增长信号B 指数衰减信号C 常数D 等幅振荡信号11、系统函数H（s）与激励信号X（s）之间 BA、是反比关系；B、无关系；C、线性关系；D、不确定。
12．关于系统函数H(s)的说法，错误的是 C 。
A 是冲激响应h(t)的拉氏变换B 决定冲激响应h(t)的模式C 与激励成反比D 决定自由响应模式13．若某连续时间系统的系统函数H(s)只有一个在原点的极点，则它的h(t)应是C 。
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a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
(n m)
2020/8/6
自动控制原理
18
F (s) F1(s) a0sm a1sm1 am F2 (s) b0sn b1sn1 bn
(n m)
1. F2(s) 0的根为不等实根 s1 ，， sn
f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
终值定理： f(t)，f (t)的导数可进行拉氏变换 lim f (t)存在时(sF (s)在s右半平面和虚轴上是解析的)
t
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
2020/8/6
自动控制原理
16
例1
u(t)
t 0
lim s 1
1
e(sa)t
1
sa
0 sa
3. f (t) (t)
L[ (t)] 0 (t)estdt
0
(t)dt
0
=1
0/8/6
自动控制原理
4
4.
f (t) tn L[t n ] t nestdt
0
t n dest 0s
t n est est dt n n t n1estdt
s
0 0s
s0
lim tn
t est 0
L[t n ] n L[t n1] s
2020/8/6
当n＝1 当n＝2
1
L[t] s2
L[t 2 ]
2 s3
L[t n ]
n! sn1
自动控制原理
5
f1(t)
f2(t)
f3(t)
1 e-t
1 e-t
1 e-t
t
t
t
0
0
0
三个函数的拉氏变换式相同
F(s) 1
2
2020/8/6
自动控制原理
14
六. 复频域导数性质
设：L[ f (t)] F(s)
L[t f (t)] dF(s) ds
例1：L[t ]
d ds
(1) s
1 s2
例2：L[tet ] d ( 1 )
ds s
1
(s )2
2020/8/6
自动控制原理
15
七. 初值定理和终值定理
初值定理 若L[f(t)]=F(s)，且f(t)在t = 0处无冲激则
自动控制原理
F ( s)]
S S1
25
７ 复频域中的电路定律、电路元件与模型
u(t) U (s)
运算形式KCL、KVL
i(t) I(s)
U(s) Z(s) I(s) 元件 运算阻抗、运算导纳
运算形式 电路模型
R： i R
+u -
iL L
L:
+ uL
C : iC + uC -
2020/8/6
拉普拉斯变换
§ 1 拉普拉斯变换的定义
一. 拉氏变换的定义 时域 f(t) 称为 原函数 复频域 F(s) 称为 象函数
1. 双边拉氏变换
F(s)
f (t)estdt
正变换
f (t)
1
j F (s)estds
2 j j
反变换
f(t)与F(s)一 一对应
2020/8/6
自动控制原理
✓3. f (t) (t)
L[u(t)] 1 s
L[eat ] 1 sa
L[ (t)] 1
✓4. f (t) tn
L[t n ]
n! sn1
当n＝1
L[t]
1 s2
当n＝2
✓5. f (t) sin t
L[sin
t]
s2
2
✓6. f (t) 2020/8/6 cost
L[cos自动控t ]制原理
(1)利用公式
f (t) 1
j
F
( s)e st ds
2j j
(2)经数学处理后查拉普拉斯变换表
t0
F(s) F1(s) F2(s) Fn(s) f (t) f1(t) f2(t) fn(t)
二. 将F(s)进行部分分式展开
象函数的一般形式：
F(s)
F1 ( s ) F2 ( s)
2020/8/6
自动控制原理
20
例2
2s2 7s 7 F(s) s2 3s 2
2 s3 (s 1)(s 2)
2 2 1 s 1 s 2
f (t) 2 (t) 2et e2t t 0
2020/8/6
自动控制原理
21
2. F2(S)有共轭复根
例
s F(s) s2 2s 5
定理
t
s0
f1(t) * f2 (t)
卷积
定理
f1(t). f2 (t)
F1(s).F2 (s)
1
2j F1(s) * F2 (s)
2020/8/6
自动控制原理
8
５拉普拉斯变换的基本性质应用
一. 线性性质
若L[ f1(t)] F1(s) , L[ f2(t)] F2(s)
则L[a f1(t) b f2(t)] aF1(s) bF2(s)
s1 1 j2
s2 1 j2
配方法
L[sint]
s2
2
s
s11
s2 2s 5 (s 1)2 22
(s
s1 1)2
22
(s
1 1)2
22
f (t) et cos 2t 1 et sin 2t 1.118et cos(2t 26.6 ) (t)
2
2020/8/6
自动控制原理
５.
F(s)
s2 2s 3 (s 1)2
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自动控制原理
27
小结：
线性
微分
6个性质
时域 频域
s
2
s
2
L[e jt ] 1
s j
L[t 2 ]
2 s3
3
附： 常用函数的拉氏变换定义推导 F ( S ) f (t )est dt 0
1. f (t) u(t)
L[u(t)]
u(t)estdt
0
estdt
0
2. f (t) eatu(t)
1 est
1
s
s 0
L[eat ] eatestdt 0 L[e jt ] 1 s j
设：L[ f (t)] F(s)
L[ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
例
t
L[t] L[ u( )d ]
0
L[u(t)] s
1 s2
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四. 时域平移(延迟定理、时滞定理)
f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
f(t)(t-t0)
t t0
t
t
t0
设：L[ f (t)] F(s)
s
s
1
例2
i(t) 5et 2e2t
i(0 ) 3
I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim( 5s 2s ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
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６ 拉普拉斯反变换
一. 由象函数求原函数
f(t)=L-1[F(s)]
F(s)
1 s2
1 s2
e sT
T s
e sT
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五. 复频域平移性质（位移定理）
设：L[ f (t)] F(s)
L[et f (t)] F(s )
例1：L[tet
]
(s
1
)2
例2：L[et sint]
(s )2 2
例3：L[e t
cost]
(s
s )2
k2 s1)2
kn1 (s s1)n1
(s
kn s1)n
kn [(s s1)n F (s)] SS1
kn1
d ds
[( s
s1 )n
F ( s)]
S S1
kn2
1 2!
d2 ds2
[( s
s1)n
F ( s)]
S S1
k1
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(n
1 1)!
dn1 dsn1
[(s s1)n
K1 (S 1)
(
K2 S 1)2
K2 (2S 5) S1 3
d K1 ds (2s 5) S 1 2
f (t) 2et 3tet t 0
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例2
s2 2s 2 F(s) (s 2)3
K21 (s 2)
K 22 (s 2)2
K 23 (s 2)3
19
例1
F(s)
s2 s 5 s(s2 3s 2)
s2 s 5
s(s 1)(s 2)
k1 k2 K3 s s1 s2
k1 F(s)s S0 2.5 k2 F(s)(s 1) S1 5
k3 F(s)(s 2) S2 1.5
f (t) 2.5 5et 1.5e2t t 0
s j
复频率
1
2. 单边拉氏变换
F(s)
f (t)estdt
0
f(t) t [0,)
正变换
f
(t)
1
2
j
j F (s)estds,
j
t 0 反变换
0,
t0