拉普拉斯变换例题解析

第二章：控制系统的数学模型§2.1 引言·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。

·建模方法⎩⎨⎧实验法（辩识法）机理分析法·本章所讲的模型形式⎩⎨⎧复域：传递函数时域：微分方程§2.2控制系统时域数学模型1、 线性元部件、系统微分方程的建立（1）L-R-C 网络 C r u R i dtdiL u +⋅+⋅=↓ci C u =⋅& c c c u u C R u C L +′⋅⋅+′′⋅⋅= 11c c c R u u u u r LLC LC′′′∴++= ── 2阶线性定常微分方程 （2）弹簧—阻尼器机械位移系统分析A、B 点受力情况02B0A AA i 1x k )x xf()x x (k =−=−∴&& 由 A 1A i 1x k )x x (k =− 解出012i A x k k x x −=代入B 等式：020012i x k )x x k k xf(=−−&&& 02012i x k x k k 1f(xf ++=⋅&& 得：()i 1021021x fk x k k xk k f &&=++ ── 一阶线性定常微分方程（3）电枢控制式直流电动机 电枢回路：b a E i R u +⋅=┈克希霍夫 电枢及电势：m e b C E ω⋅=┈楞次 电磁力矩：┈安培i C M m m ⋅=力矩方程：m m m m m M f J =+⋅ωω& ┈牛顿变量关系：m mb aM E i u ω−−−− 消去中间变量有：a m m m m u k T =+ωω& [][]⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=+⋅=传递函数时间函数 C C f R C k C C f R RJ T m e m mm m e m m m（4）X-Y 记录仪（不加内电路）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅=⋅===+Δ⋅==Δll 4p 3m 2am m m m 1a p r k u :k :k :u k T :u k u :u -u u :电桥电路绳轮减速器电动机放大器比较点θθθθθ&&& a m r p u u u u l θθΔ−−−−−−−−−−− 消去中间变量得：a m 321m 4321m u k k k k k k k k k T =++l l l &&&─二阶线性定常微分方程即：a mm 321m m 4321m u T kk k k l T k k k k k l T 1l =++&&&2、 线性系统特性──满足齐次性、可加性 z 线性系统便于分析研究。

z 在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。

z 非线性元部件微分方程的线性化。

例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点0α处的线性化增量方程()ααcos E y 0=解：在0αα=处线性化展开，只取线性项： ()()()()0000sin E y y ααααα−−+= 令 ()()0y -y y αα=Δ 0ααα−=Δ 得 ααΔ⋅−=Δ00sin E y 3、 用拉氏变换解微分方程 （初条件为0） a u l l l 222=++&&& ()()()s2s 2U s L 22s s :L a 2==++()()22s s s 2s L 2++=()()[]s L L t :L -11=−l复习拉普拉斯变换的有关内容1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 ωσj s += 复函数 ()y x jF F s F += 例：()ωσj 22s s F ++=+=（2）复数模、相角()()xy 2y 2x F F arctgs F F F s F =∠+= （3）复数的共轭 ()y x jF F s F −=（4）解析：若F(s)在s 点的各阶导数都存在，称F(s)在s 点解析。

2 拉氏变换定义()()[]()dt e t f t f L s F st 0−∞⋅==∫⎩⎨⎧：像：像原F(s))t (f 3 几种常见函数的拉氏变换 1. 单位阶跃：()⎩⎨⎧≥<=0t 10 t 0t 1()[]]()s110s 1e s1dt e 1t 1L 0st0st =−−=−=⋅=∞−∞−∫2. 指数函数：⎩⎨⎧≥<=0t e 0t 0)t (fat ()[]as 1)10(a s 1e as 1 dte dt e e )]t (f [L 0t)a s (0t a s stat−=−−−=−−==⋅=∞−−∞−−−∞∫∫3. 正弦函数：⎩⎨⎧≥<=0t t sin 0t 0)t (f ω[][][]22220t )j s (0t )j s (0)t j s ()tj -(s -st 0t j tj 0st s s 2j 2j 1 j s 1j s 12j 1 e j s 1e j s 12j 1 dt e e 2j 1 dt e e e 2j 1 dte t sin )t (f L ωωωωωωωωωωωωωωω+=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−−=−=⋅−=⋅=∞+−∞−−∞+−−∞−∞−∫∫∫4 拉氏变换的几个重要定理（1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L −⋅=′()()()()()()()()stst 0-ststst0f t e dt e df t e f t f t de 0-f 0s f t e dt sF s f 0 ∞∞−−∞∞−∞−′=⋅=⎡⎤=−⎣⎦=+⎡⎤⎣⎦=−=∫∫∫∫证明：左右零初始条件下有：()()()()()()()()()n n n n-1n-2 L f t s F s s f 0s f 0sf 0f 0−⎡⎤′=−−−−−⎣⎦L 进一步：-2n 1()()[]()s F s t f L n n ⋅= z 例1：求()[]t L δ()(t 1t ′=)δQ 解：()[]()[]()1010s1s t 1L t L =−=−⋅=′=∴−δδ z 例2：求[]t cos L ω 解：[]2222s s s s 1t n si L 1t cos ωωωωωωω+=+⋅⋅=′=Q （3）积分定理：()[]()()()0f s1s F s1dt t f L 1-+⋅=∫ （证略）零初始条件下有：()[]()s F s1dt t f L ⋅=∫ 进一步有：{()()()()()()()()0f s 10f s 10f s 1s F s1dt t f L n 21n 1n n nn −−−−++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∫∫∫L Lz 例3：求L[t]=? 解：()dt t 1t ∫=Q[]()[]20t s 1t s 1s 1s 1dt t 1L t L =+⋅==∴=∫ z 例4：求⎥⎦⎤⎢⎣⎡2t L 2解：∫=tdt 2t 2Q[]3t 222s 12t s 1s 1s 1tdt L 2t L =⋅+⋅==⎦⎤⎢⎣⎡∴=∫ （4）位移定理实位移定理：()[]()s F e -t f L s ⋅=−ττz 例5：()()s F 0 t 01 t 0 10 t 0t f 求⎪⎩⎪⎨⎧><<<= 解：)1t (1)t (1)t (f −−= ()()s s e 1s1e s1s1s F −−−=⋅−=∴虚位移定理：()[]()a -s F t f e L at =⋅ （证略） z 例6：求[]at e L:解[]()[]as 1e t 1L e L at at −=⋅= z 例7：[]()223s s 223t -53s 3s 5s s cos5t e L +++=+=⋅+→z 例8：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−)15t (5cos e L )35t (cos e L 2t2t ππ ()()222s 152s s 22s 15-52s 2s e 5s s e +++⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+−+→ππ （5）终值定理（极限确实存在时）()()()s F s lim f t f lim 0s t ⋅=∞=→∞→证明：由微分定理()()()0f s sF dt e t f st 0−=′−∞∫取极限： ()()()0f s sF lim dt e t f lim0s st0s −=′→−∞→∫()[]()()()()()()0f s sF lim 0f f t f dt 1t f dt lime t f 0s 0s st 0−==−∞==⋅⋅′=′=→∞∞→−∞∫∫右左∴有：证毕()() s sF lim f 0s →=∞z 例9：()()() b s a s s 1s F 求++=()f ∞解： ()()()ab1b s a s s 1slim f 0s =++=∞→z 例10：()0s slim t sin f 220s t =+≠=∞→∞→ωωω拉氏变换附加作业一． 已知f(t),求F(s)=?()1-t T111T1).f(t)1-eF s 11s s s s T T ==−⎛⎞++⎜⎟⎝⎠=()22221s 0.122).f (t)0.03(1cos2t) F(s)0.03s s 2s s 2⎡⎤=−=−=⎢⎥++⎣⎦ s 15222250.866s 2.53).f (t)sin(5t ) F(s)e 3s 5ππ+=+==++s 5()0.4t 222s 0.4s 0.44).f (t)e cos12t F(s)s 0.8s 144.16s 0.412−++===++++ []05).f (t)t 11t t ⎡⎤=⋅−−⎣⎦()()0t s0211t s e F s s −−+=()()()223s 2s 86).F(s) f ? f(0)? f()1, f(0)0s s 2s 2s 4++=∞==∞+++已知求== 二．已知F(s),求f(t)=?()222s 5s 11).F(s) f(t)1cost-5sint s s 1−+==++()4t 24t s2).F(s) f(t)cos(t 14)s 8s 17 e cost 4sint −−==++=−o +t 132113).F(s) f(t)e e s 21s 120s 1008181−−0t19t +==+++− ()2-2t t 23s 2s 84).F(s) f(t)1-2e e s s 2(24)s s −++==++++⋅()()t 32s 221315).F(s) f(t)(t )e e 32412s s 1s 3t −−+==−++++ 5.拉氏反变换 (1) 反变换公式：∫∞+∞−=j j stds e ).s (F j 21)t (f σσπ (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)f(t),)a s (s 1)s (1.F 求例+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=++=a s 1s 1a 1)a s (s s -a)(s a 1)s (.F 解 []at e 1a1)t (f −−=∴ 微分方程一般形式：r b r b r b r b C C a C a C m 1-m )1-m (1)m (01-n )1-n (1)n (+′+++=+′+++L L)0(:L 设初条件为[][]R(s)b s b s b s b )s (C a s a s a s a sm 1-m 1m 1m 0n 1-n 2-n 21-n 1n++++=+++++−L L)s (A )s (R ).s (B a s a s a s a s )R(s)b s b s b s (b C(s)n1-n 2-n 21-n 1n m 1-m 1m 1m 0=+++++++++=∴−L L )p s ()p s )(p s ()s (R ).s (B n 21−−−=L∑=−=−++−+−+−=n1i ii n n 332211 p s cp s c p s c p s c p s c )s (C L 特征根:p i ∑==++++=∴n1i t p i tp n tp 3tp 2tp 1i n 321e c ec ec ec ec )t (f L模态:e t p i )s (F 的一般表达式为：[]r b r b r b r b C C a C a C m 1-m )1-m (1)m (01-n )1-n (1)n (+′+++=+′+++L L 来自：（I）)m n (a s a s a s a s b s b s b s b )s (A )s (B )s (F n1-n 2-n 21-n 1n m1-m 1m 1m 0>+++++++++==−L L其中分母多项式可以分解因式为：(II))p s ()p s )(p s ()s (A n 21−−−=L的根(特征根)，分两种情形讨论：)s (A p i 为I：无重根时：(依代数定理可以把表示为：) 0)s (A =)s (F∑=−=−++−+−+−=n1i ii n n 332211p s cp s c p s c p s c p s c )s (F L∑==++++=∴n1i t p i tp n tp 3tp 2tp 1i n 321e c ec ec ec ec )t (f L即：若可以定出来，则可得解：而计算公式：i c i c(Ⅲ) )s (F ).p s (lim c i p s i i−=→ ip s 'i )s (A )s (B c ==(Ⅲ′)(说明(Ⅲ)的原理，推导(Ⅲ′) )● 例2：34s s 2s )s (F 2+++= 求?)t (f =解：3s c1s c 3)1)(s (s 2s )s (F 21+++=+++=2131213)1)(s (s 2s )1s (lim c 1s III1=+−+−=++++=−→2113233)1)(s (s 2s )3s (lim c 3s III2=+−+−=++++=−→3s 211s 21)s (F +++=∴ 3t t e 21e 21)t (f −−+=∴● 例3：34s s 55s s )s (F 22++++= ，求?)t (f =解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)3)1)(s (s 2s 134s s 2s 3)4s (s )s (F 22++++=++++++= 3t t e 21e 21)t ()t (f −−++=∴δ● 例4：j1s c j -1s c j)1j)(s -1(s 3s 22s s 3s )s (F 212++++=++++=+++=解法一：2j j2j)1j)(s -1(s 3s )j -1s (lim c j1s 1+=+++++=+−→2jj-2j)1j)(s -1(s 3s )j 1s (lim c j-1s 2−=++++++=−→j)t1(t )j 1(e 2jj -2e 2j j 2)t (f −−+−−+=∴ []jt-jt t e )j 2(e )j 2(e 2j1−−+=− （t cos j 2e e ,t sin j 2e e jt jt jt jt =+=−−−Q） [])2sint cost (e j 4sint 2cost e 2j1t t+=+=−− 1)1s (21)1s (1s 1)1s (21s 1)1s (3s )s (F 2222++++++=++++=+++=Qt t e .2sint e .cost )t (f −−+=∴虚位移定理解法二：)( sint .2e cost .e )t (f 11)(s 1211)(s 1s 11)(s 21s 11)(s 3s )s (F t t 22222222复位移定理−−+=++++++=++++=+++=II：有重根时： 0)s (A =设为m 阶重根，为单根 .则可表示为：1p n 1m s ,s L +)s (F nn1m 1m 111-m 11-m m 1m p -s c p -s c p -s c )p -(s c )p -(s c )s (F ++++++=++LL其中单根的计算仍由(1)中公式(Ⅲ) (Ⅲ′)来计算.n 1m c ,c L +重根项系数的计算公式：(说明原理)][]]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧−=−=−=−=→→→→)s (F .)p s (ds d lim 1)!-(m 1c )s (F .)p s (ds d lim j!1c (IV) )s (F .)p s (ds d lim c )s (F .)p s (lim c m 1p s 1-m 1)-(m 1m1p s j(j)j -m m1p s 1-m m 1p s m 1111L L []V)( e c e .c t c t )!2m (c t )!1m (c p -s c p -s c p -s c )p -(s c )p -(s c L )s (F L )t (f t p n 1m i i t p 122m 1-m 1m m n n 1m 1m 111-m 11-m m 1m 11i 1∑+=−−++−−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++−+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++==∴L L L●例5 3)(s 1)s(s 2s )s (F 2+++= 求?)t (f =解：3s c s c 1s c 1)(s c )s (F 43122++++++=21)31)(1(213)(s 1)s(s 2s 1)(s lim c 221s IV2−=+−−+−=++++=−→ 43)3(])3)[(2()3(lim 3)(s 1)s(s 2s 1)(s ds d limc 221221s IV1−=++++−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=−→−→s s s s s s s s 323)(s 1)s(s 2s s.lim c 20s 3=+++=→1213)(s 1)s(s 2s 3).(s lim c 2-3s 4=++++=→ 3s 1.121s 1.321s 1.431)(s 1.21)s (F 2++++−+−=∴3t t t e 12132e 43te 21)t (f −−−++−−=∴3.用拉氏变换方法解微分方程 ● 例 ：u l l r l 222...=++⎪⎩⎪⎨⎧===1(t)(t)u 011r '(0)0）（初始条件：？求=)(1t 解：s2L(s)22s s L 2=++］：［2)2s s(s 2)s(s 22s s 2)2s s(s 2L(S)222+++++=++=－2221)1(11s s 122s 2s s 1++++=+++=s s －－ 22221)1(11)1(1s s 1+++++=s s －－ 1L l(t)1cos t cos t t t e e −−=－：－－1Sin(t 45) 121cos tcos t ttt −=+o je e λ−−±⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩，特征根：＝－模态 举例说明拉氏变换的用途之一—解线性常微分方程，引出传函概念。