高中数学一轮复习-集合运算的解题技巧

集合运算的解题技巧高考对集合运算的考查是一个热点，经常考查具体的运算，多数情况下会与求函数定义域、值域、解不等式、求范围等问题联系在一起。

解答集合题目，要认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件。

简言之为三步走：第一步，对谁运算，即看清楚集合的代表元素是谁； 第二步，运算法则，即对集合进行化简； 第三步，运算结果，即进行集合的交并补运算。

例：已知集合A ＝{x |－x 2＋2x ＋3>0}，B ＝{x |x －2<0}，则A ∩B ＝_______.例题1 设函数f(x)=lg(21x -)，集合A={x|y=f(x)}，B={y|y=f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. [-1,0]B. （-1,0）C.()[),10,1-∞- D.(](),10,1-∞-解析：要求阴影部分表示的集合，首先要知道集合A 、B 分别表示什么样的集合，然后再进行集合的运算。

答案：对集合A第一步——对谁运算：对实数x 运算。

第二步——运算法则：x 需满足21x ->0。

解得-1<x<1，即A={x|-1<x<1}。

对集合B第一步——对谁运算：对实数y 运算。

第二步——运算法则：由0<21x -≤1得，lg(21x -)≤0，即y ≤0。

故B={y| y ≤0}。

第三步——运算结果：阴影部分表示的是除了集合A 与B 交集的所有元素构成的集合。

由数轴可以看到，AB={x|-1<x ≤0}。

所以阴影部分表示的是()R A B ð={x|x ≤-1，或0<x<1}。

故选D 。

点拨：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题是，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，并结合Venn 图或数轴进行直观表达，达到解题的目的。

例题2 设全集是实数集R ，A={x|22730x x -+≤}，B={x|20x a +<}，若()RA B B =ð，则实数a 的取值范围是 。

解析：解答本题要注意弄清楚集合中的元素是什么，然后对集合进行化简，并注意将集合之间的间接关系转化为直接关系进行求解。

答案：对集合A第一步——对谁运算：对实数x 进行运算。

第二步——运算法则：实数x 满足22730x x -+≤，解得132x ≤≤。

第三步——运算结果：A={x|132x ≤≤}。

对集合B第一步——对谁运算：对实数x 进行运算。

第二步——运算法则：实数x 满足20x a +<。

第三步——运算结果：不知道。

根据()R AB B =ð，可知R B A ⊆ð，即A B=∅。

（1）当B=∅，即a ≥0时，满足AB=∅；（2）当B ≠∅，即a<0时，B={x|x <，由数轴可知，要使A B=∅，12≤即可解得104a -≤<。

综上可知，实数a 的取值范围是{a|a 14≥-}。

点拨：在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观、简捷。

挖掘集合中的新定义问题以集合为背景的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力。

满分训练 已知集合A={1,2,3,4,5}，B={(x,y)|x ∈A,y ∈A,x-y ∈A}，则B 中所含元素的个数为（ ）A. 3B. 6C. 8D. 10 解析：根据新定义确定出集合B 中的元素.答案：方法一（列表法）：因为x ∈A,y ∈A ，所以x ，y 的取值只能为1,2,3,4,5。

故x ，y由题意得，x-y ∈A ，故x-y 只能取1,2,3,4，由表可知，实数对（x ，y ）的取值满足条件的共有10个，即B 中的元素个数为10，故选D 。

方法二（直接法）：因为A={1,2,3,4,5}，所以集合A 中的元素都为正数，若x-y ∈A 则必有x-y>0，即x>y 。

当y=1时，x 可取2,3,4,5，共有4个数； 当y=2时，x 可取3,4,5，共有3个数； 当y=3时，x 可取4,5，共有2个数； 当y=4时，x 可取5，共有1个数； 当y=5时，x 不能取任何值。

综上，满足条件的实数对（x ，y ）的个数为4+3+2+1=10，即集合B 中的元素共有10个，故选D 。

点拨：求解集合中的新定义问题，主要抓亮点：（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质，集合问题的基础，也是突破口，在解题时，要善于从试题中发现，可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质。

1. 已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则MN =（ ） A.{2,1,0,1}-- B.{3,2,1,0}--- C.{2,1,0}-- D.{3,2,1}---2. 已知集合A ＝｛x ｜2230x x --≥｝，B ＝｛x ｜22x -≤<｝则A B ＝（ ） A. [－2，－1] B. [－1,1] C. [)1,2- D. [)1,2**3. 集合M=3|4x m x m ⎧⎫≤≤+⎨⎬⎩⎭，N=1|3x n x n ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭，且M ，N 都是集合{}10|≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合{}b x a x ≤≤|的“长度”。

那么集合M N =的“长度”的最小值是（ ）A.13B.23 C. 112 D . 512 *4. 集合M ＝｛（x,y ）｜22x y +＝1，x ∈R ，y ∈R ｝，N ＝｛（x,y ）｜20x y -=，x ∈R ，y ∈R ｝，则集合M N 中元素的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知集合M ＝｛x ｜301x x +<-｝，N ＝｛x ｜3x ≤-｝，则集合｛x ｜1x ≥｝＝（ ） A. M N B. M N C. ()M N U ð D.()MN U ð 6. 如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合为（ ）A. ()M P SB. ()M P SC. ()()IM P S ð D. ()()I MP S ð7. 集合A ＝｛0，2，a ｝，B ＝｛1，2a ｝若A B ＝｛0，1，2，4，16｝，则a 的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.4*8.已知A ＝｛x ｜x ＞3，或x ＜－1｝，B ＝｛x ｜a x b ≤≤｝，若A B ＝R ，AB ＝{}|34x x <≤，则a ，b 的值分别为。

*9.设集合A ＝｛－2,1｝，B ＝｛－1,2｝，定义集合A ⊗B ＝(){}121212|,,x x x x x x x A xB =⋅+∈∈，则A ⊗B 中所有元素之和为 。

10. 已知集合A ＝｛4，5，7，9｝，B ＝｛3，4，7，8，9｝，全集U ＝A B ，则集合()U AB ð中的元素个数为 。

*11. 对于,a b N ∈，现规定：⎩⎨⎧⨯+=)()(*的奇偶性不同与的奇偶性相同与b a b a b a b a b a ， 集合(){},*36,,M a b a b a b N +==∈（1）用列举法表示,a b 奇偶性不同时的集合M ；（2）当a 和b 的奇偶性相同时，集合M 中共有多少个元素？**12. 定义“⊕”与“⊗”是两个运算符号，且满足如下运算法则：对任意的a ，b ∈R ，有a b ab ⊕=，2()1a ba b a b -⊗=++，设{}()(),21,,U c c a b a b a b a b Z ==⊕+⊗-<≤<∈， 2(),12,,a b A d d a b a b a b Z b ⎧⊗⎫==⊕+-<<<∈⎨⎬⎩⎭，求U C A 。

1. C 解析：因为{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，所以M N ={2,1,0}--，选C 。

2. A 解析：A ＝｛x ｜1x ≤-，或3x ≥｝，故AB ＝[－2，－1]，选A 。

3. C 解析：由“长度”定义知，当n m ,分处{}10|≤≤x x 两端，即1,0==n m 时，集合MN 的“长度”最小，此时M=3|04x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，N=2|13x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，M N =23|34x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，所以最小值是3214312-=。

4. B 解析：22x y +＝1表示圆心在坐标原点的单位圆，20x y -=表示顶点在原点、开口向上的抛物线，由数形结合可知，有两个交点，故选B 。

5. D 解析：M ＝｛x ｜301x x +<-｝＝｛x ｜－3＜x ＜1｝，M N ＝｛x ｜x ＜1｝，()MN U ð＝｛x ｜1x ≥｝，故选D 。

6. C 解析：由题图可知选C 。

7. D 解析：因为AB ＝｛0，1，2，4，16｝，所以a ＝4，2a ＝16，故选D 。

8. －1,4 解析：画出数轴可知，a ＝－1，b ＝4。

9. 0 解析：由定义可得A ⊗B ＝｛－6,0，6｝，故所有元素之和为0。

10. 3 解析：U ＝｛3,4,5,7,8,9｝，A B ＝｛4，7，9｝，则()U AB ð＝｛3，5，8｝，故集合()U AB ð中共有3个元素。

11. 解析：（1）当,a b 奇偶性不同时，*36a b a b =⨯=，则满足条件的(),a b 有()1,36，()3,12，()4,9，()9,4，()12,3，()36,1，故集合M 可表示为：()()()()()({1,36,3,12,4,9,9,4,12,3,36,1M = )()()()()()}1,36,3,12,4,9,9,4,12,3,36,1。

（2）当,a b 奇偶性相同时，*36a b a b =+=，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和为偶数，故3613523433317918181917351=+=+=+=⋅⋅⋅=+=+=+=⋅⋅⋅=+所以当,a b 奇偶性相同时，这样的元素共有35个。

12. 解析：由21a b -<≤<，且,a b Z ∈，可知1,1a b =-=-或0b =；0,0a b ==。