关于贝特朗悖论

关于贝特朗悖论从法国学者贝特朗(JoSePh Bertrand)提出贝特朗悖论"至今，已经过了一个多世纪。

在这漫长的一百多年中，贝特朗悖论得到了各层次数学爱好者的热切关注，人们穿越时空，从不同的角度对此悖论进行了争论、辨析及交流……首先来看一下贝特朗悖论：在圆内任作一弦，求其长超过圆内接正三角形边长的概率•此问题可以有三种不同的解答：⑴由f⅛⅛⅛可预先指定弦的方向・⅛⅛Sf此方向的直径，只有交直径f 1/4点与3/4点间的弦J其长才大于内接正三角形边也所有交点是等可能的'则所求概率为1/2 *(3)弦被其中点位置唯一确定. 只有当弦的中(2〕由干对■称性T可预先固定弦的—端"仅当弦与过此端点的切线的交角在60°〜120°之间，其长才合乎要求•所有方⅛⅛⅛可能的，则所求概率为1/3 *点落在半径缩小了—半的同心圆(圆内接正三角形的内切凰)内,其长才合乎要求•设中点位置都是等可能的'则所求概率为H面对同一问题的三种不同的答案。

人们往往这样来解释:得到三种不同的结果，是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设：在第一种解法中则假定弦的中点在直径上均匀分布；在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。

这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。

三个结果都正确！一一这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因。

显然这样的解释是不正确的。

上述解法看似是用了严密的理论来论述，但有的解法与问题的本质是脱节的，即理论是正确的, 但却不合题意：因为不同的解法所阐述的相应点的均匀分布只是一个必要条件，而此问题的条件是在圆内任作一条弦（或是从圆内任取一条弦），所以只有任取的弦与这些相应的均匀分布的点一一对应时，才能使整个的随机试验过程具有等可能性，否则，运用几何概型思想方法求出的结果一定是错误的。

找到了问题的本质，我们就容易分析上面三种解法中，哪种解法是错误的了，实际上，找出错误，只要举出一个反例即可，下面我们把目光指向圆心：第一种解法中，除了圆心外，圆内的点都和唯一的一条弦（与相应的直径垂直）对应，即一一对应。

但是，圆心却与无数条弦（即与直径垂直的任何方向都有过圆心的弦，其长度满足题意）对应。

这样，圆心一一这个圆内的点与相应的弦就不是一一对应了，为此，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件就不是等可能的了，所以运用几何概型思想方法求出的结果也一定是错误的。

有了这种认识，大家会马上发现第三种解法也是不正确的。

而第二种解法，所构造的均匀分布的点是在圆周上，没有圆心，用此种思想所构造的试验过程中的基本事件是等可能的，所以结果是正确的。

由贝特朗奇论谈几何概型中的等价转化— 2 置分别是x,y ,则x,y∙ [0,2二).又如图1 所示,MN 当且仅当 ：如图2,用(X ) y)表示每次实验的结果,则所有基本事件构成正方形区域 其中阴影部分为事件 A 构成的区域，符合几何概型条件，故4222-π f - I - πP(A)丄仝 「J S 正 4兀3评注：解法一是将在圆周上选取两点视为等可能事件 ，从而以面积作为测度，应用几何概型理论得出答案 •此法是从题目中的原始条件出发 作一种通法•然而用通法解题往往比较复杂，况且本题中还涉及到两个变元2.适当进行等价转化，化繁为简解法二：由于圆是具有高度对称性的图形，可认为圆内等长的弦有且只有一条•于是不失一般性，假设M 点就在图1所示位置，问题就转化为另一点 N 在半圆周上随机选取时，弦长MN-. 3的概率•那么,基本事件构成的区域为半圆周，事件A 构成的区域为从 N 1到P 的劣弧长•根据几何概型原理得，1P(A )亏解法三：与解法二思想一致，认为圆内等长的弦只有一条，进一步地，等长弦所对的圆心角也是相等的 •几何概型与古典概型都是概率论中最基础、最简单的概率类型 生的概率都是等可能的；然而前者的基本事件个数只有有限个 本事件有无限多个，人们在解题时总专注于对原始条件进行等价转化 简化概率计算过程•不可否认，有些正确的转化必然达到 最终却得到了不同的答案，使人们产生困惑•本文通过对贝特朗问题的五种正误解法进行深入剖析 的转化应注意的若干问题•贝特朗问题：在单位圆的圆周上，任意选取两点 M •二者的共同点就是每个基本事件发,后者却是无限的•正是由于几何概型的基 ,意在建构较简单的基本事件，以期"事半功倍"的效果撚而,有些看似"等价"的转化,,总结出几何概型 、N ,连结成弦•记事件A 为弦长MN . 3 ,求事件A 发生的概率.1.由原始条件出发，通法求解解法一：该圆的周长为2二.在圆上任取一点，规定它的位置是0,而圆上其余各点的位置按顺时针方向在 [0, 2二)内相应增长•设M , N 在圆周上的位,没有进行等价转化 ,计算过程显得不够简便• 4：23P图1,不易出错，算同时注意到，固定点M在图1位置,点N在自M到P的半圆周上均匀地运动时，圆心角∙MoN也均匀地从0增加到二•因此,我们可以把问题转化为图1中,过圆心O,在直径MP的右侧任意做射线ON交圆2周于点N ，求.MON 超过--的概率•此时,基本事件构成的区域为［0,二］，而事件A 构成的区域为32（亍,二］,故化为弦MN 的中点在半径 OP 上随机选取时，中点处于线段 OQ 上的 概率•从而求得M 2到P 和从N ?到P 的劣弧上等可能地选取时，弦的中点并不会相应等可能地落在半径OP 上•事实上,如果MN 在图3所示位置，不妨设.N 2ON-,,则N 2到N 的劣弧长即为：■而OE =Sin∙ N 2ON =Sin 〉，二者并不成正比•因此,此类错误转化的特点是：虽然保证了研究对象的 化是不等价的•我们再举两个类似的例子•例1如图4J ACB 是一个等腰直角三角形•过顶点C ,在直角.ACB 的内部任意引射线 CP 交斜边 AB 于点P ,求 AP ：： AC 的概率•错解：∙ ACB 内部的任一射线与射线在 AB 边的交点是一一对应 的•如图4中，当交点P 点处于D 位置时AP =AC ,故问题可转化为点 P 在AB 边上随机选取时，2 π 3兀1 3.评注：解法二和解法三是通过合理的等价转化，分别将在半圆周上选取一点和过点P(A)=O 在.MoP 内任,大大简化了概率计算•3.转化不慎，陷入误区然而,贝特朗奇论就告诉我们，有些转化却得到了错误的答案 •问题究竟出现在哪里呢？ 下文中我们就两种错解的原因给予分析.忽视等可能性的保持解法四：视圆上等长的弦为唯一的•不妨假设长度不同的弦的中点 都分布在单位圆的某条半径 OP 上，如图3所示.其中Q 为OP 的中点，故弦MN 在M 1N 1位置时，长度刚好为■. 3 .而此时每条弦的弦长与该弦中点所处的位置是相互决定的•因此，问题就转P(A) =OQ QP辨析:此种解法，在认为圆内等长的弦是唯一的前提下,将研究对象弦的两个端点转化为它的中点•此时,二者确实是■对应的 撚而,解题过程却忽视了另一个考虑要素 ：当弦的两个端点 M,N 分别在从,但是忽视了等可能性的保持，所以转对应AP < AC 的概率•于是所求概率为 —2辨析：由题意，射线CP 在.ACB 内部等可能地选取，而此时对应的交点 P 并不会在AB 边上等可能 地分布•因此,所犯错误与贝特朗问题的解法四相似 •正确的做法应是采用角度作为测π3 3 度•ACD4 = -二，故所求概率为一.284例2如图5, .IABC 是一个直角三角形，.CAB .现以A 为圆心,2为半径做圆弧DG ,且 DE 平行于AB , AB = 3.3在弧DG 上随机地取点P 连结AP ,问直线AP 与BE 相交的概率是多少？错解:在弧DG 上取点与A 连结成直线的效果和在线段 BC 上取点与A 连结成直线的效果是一样.那么，问题可以转化为在线段 BC 上任意取点，与A连结所成的直线与 BE 相交的概率.因为BE= , 3, BC= 3. 3 ,因此结果就为1 3'辨析:所犯错误与上例一样，转化过程中忽视了等可能性的保持.正确解法应该采用弧长或角度作为 测度,答案为1.2忽视研究对象转化的等价解法五：以圆内任一点为中点，可以确定一条弦.要使弦长MN ••一 3,只需该弦的中点落在图 6中的阴影小圆内.于是问题转化为以单位圆内任一点为中点作弦MN ,使得MN 3的概率.通过计算可知，当MN =3 ,即位于图6中DE 位置时 冲点B 到O 的距离为I 2P(A)=青1辨析:此法用弦的中点来代替弦的两端点作为研究对象 .我们看到，圆内除圆心外的任意一点的确唯一地确定了一条弦 .但是,以圆心为中点的弦，即直径,却有无数条.当然相应地，也有无数对的端点.因此,这个对象的转化是不 等价的.以下例3的解法也是步入了这个误区.例3甲,乙,丙三人玩游戏，游戏规则为：在不远处有一小方块，要将一枚铜3板扔到这张方块上，已知铜板的直径是方块边长的一,谁能将铜板完整地扔到这块方块上就可以晋级下関GE4一轮.现在甲一扔，铜板落在小方块上，且没有掉下来，问他能晋级下一轮的概率有多大？错解:记"甲能晋级下一轮"这个事件为c,假设小方块的边长为 1.过铜板中心O向最近的小方块的边做垂线OB ,设OB = d .依题意得，甲已将铜板扔到了1 3 1小方块上，故d [0,—].而要使铜板完整地落入方块，如图7,应使d •[-,一].因2 8 2此，1 3P （C ）= 2182辨析：由已知，铜板的中心等可能地分布在小方块上的任一处 •上面解法中， 将研究对象铜板的中心转化为铜板中心到小方块边的最短距离•如图7，A 为小方块的中心•我们知道,当 OB =d 时,铜板的中心位于以 A 为中心，1 - 2d 为边长1的正方形的边上，随着d 从0增大到一,铜板中心分布的区域长度也呈线性的递2减•所以,该转化显然是不合理的•本题正确的思路应该是，如图8, 当铜板中心位于图中阴影的正方形时，甲能晋级下一轮•而铜板的中心在小方块内的分布是等可能的，属于几何概型，故综上,在进行几何概型的概率计算时 ，要明确原始条件性的原则下，进行等价转化，实现解题过程的简化，优化•参考文献：[1] 普通高中课程标准实验教科书•数学 3（必修）[M].北京：人民教育出版社，2007. [2] 三维设计2010新课标高考总复习•数学理科（人教A 版）[M].北京:光明日报出版社，2009. [3] 魏宗舒等编•概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社，1983.[4] 徐明•"几何概型"教学释疑一兼谈"贝特朗悖论"[J].数学通讯,2009（6）（下半月）•对“贝特朗悖论”的思考几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，它的出现使很多概率问题的解决变得 简单而不用运用微积分的知识。