贝特朗概率悖论的解释
贝特朗奇论悖论
贝特朗奇论2 . 1 “贝特朗奇论” 的 数学表示 在单位圆内随机取一条弦,弦 长超过3(单位圆内 接等 边三角形的边长)的概率是多少? 这个问题有三种解法, 答案互相矛盾 。
解法一:设弦AB 的一端A 固定于圆周上,另一端B 任意(图1)。
对于等边三角形ACD , 若B 落在劣弧CD 上,则AB > 3 ,P = CD 弧长圆周长 = 13 解法二 : 设弦 AB 垂直于直径 EF , C D = DO( 图 2) , 若 AB的中点落在线段 C D 上 , 则 AB> 3 , 故 P = CD EF = 12 。
解法三 : 作半径为 1/ 2 的 同心圆( 图 3) 。
若 A B 的中 点落在此圆内 , 则 AB> 3 , 故 P =小圆面积大圆面积= 14 。
2. 2 “贝特朗奇论” 的数学辨析同一问题有三种不同的答案, 究其原因, 是在取弦时采用了不同的等可能性的假定。
解法一假定端点在圆周上的落点处处等可能 , 解法二假定中点在直径上的落点处处等可能, 解法三假定中点在圆 内的落点处处等可能。
三种答案对于各自的假定都是正确的。
这样的解释显得似是而非, 但又找不到反驳的理由, 故名奇论。
其实弊病出在概率定义本身。
我们先看看有关概率的三个定义: 概率的统计定义: 在条件相同的n 次试验中事件 A 出现m 次, 如果加大n 时, A 的频率mn逐渐稳定在一个常数附近, 就把这个常数叫做事件 A 的概率。
概率的古典定义:如果一个试验满足两条：（1）试验只有有限个基本结果；（2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。
这样的试验，成为古典试验。
对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：P(A)= mn，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。
m表示事件A包含的试验基本结果数。
这种定义概率的方法称为概率的古典定义。
概率的几何定义:若试验结果只能出现于区域Ω内的某一点,且出现于每一点的可能性相等,又区域A包含于区域Ω中,那么试验结果出现于区域A的概率,即事件A R 的概率P( A ) =区域A的测度/区域Ω的测度。
贝特朗悖论
贝特朗悖论在第一次世界大战时，意大利军队里流行着一种反常的现象：意大利士兵受伤后不去医院治疗，而是要求服用大量的止痛片。
这使人费解，军方将领也莫衷一是。
英国海军少将贝特朗认为，这种看似矛盾的现象有它合理的一面。
因为他发现，如果不进行必要的止痛治疗，很多士兵都会在作战中牺牲。
从20世纪开始，对于贝特朗悖论产生了各种不同的观点和解释。
1909年，爱尔兰数学家波利亚最先提出，士兵因为怕被俘，宁愿死于敌手，也不愿治疗疾病。
这被称为“假死说”。
但是，美国医生杜南和拉斯马丁，为寻找原因，深入研究，终于揭开了这个奥秘：原来，当士兵受伤后，生命特征就已经消失了。
如果去治疗，那么生命活动仅存于人体的某些器官，就不能在行军或作战中发挥积极作用了。
为此，医生们便采取了“假死说”的治疗方法，让士兵不用去接受手术等治疗，可以保存下更多的体力。
1910年，德国医生冯·贝克曼德尔首先向公众宣布了这个奥秘。
这种假死说在医学上被称为“灵魂出壳说”。
这个学说的前提是，人受伤以后，其实就是“灵魂”离开身体。
这种灵魂虽然没有肉体，却仍然具有思维，并且对自己的行为负责任。
由于灵魂与肉体不在一起，当伤愈之后，对自己所造成的伤害，则难以恢复。
为此，在重伤初愈后，我们必须对伤口进行必要的处理。
1912年，英国医生洛伍德正式向公众宣布了这个奥秘，他称之为“拟态说”。
他认为，人体内每一个器官、每一根神经都相当于一个独立的人，每一个器官都有一个生命，即具有特殊性质的“灵魂”。
因此，身体各部位不应该互换，医生只能对受伤的器官进行抢救，而不能移动“灵魂”。
1916年，法国外科医生皮纳尔提出，人体有两种系统在控制人体的正常功能。
一种是靠内部神经来指挥的。
另一种则是依靠来自外界刺激来指挥的。
这两种系统既独立又相互联系，同时也相互转化。
他把这种相互转化叫做“拟态”。
他把人体分成两个不同的部分，即“身体”和“灵魂”。
灵魂处于一种休息状态，通过“拟态”来适应环境，接受指令。
第36课概率悖论 误区解密+概率统计+命题探秘第二版一题一课
课堂笔记尸
、典型考题‘
(2009 年高考福建卷文科第 14 题）点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上 随机取一点 B，则劣弧AB 的长度小于 1的概率为
李探市溯源 ‘
在普通高中课程标准实验教科书《数学 ・ 必修 3)（) 江苏教育出版社 2006 年 6 月第 4 版）第三章习题 2. 3 第 6 题（第 104 页）后有这样一段文字：
卜长～小JJ于~A~C-4的f长r ，--从-而---A'~M~的-长 --小--于--'A~C~的--长--的--概--率-为 --粤-2．'~据~此J可'""编"题~~1 题 1 （普通高中课程标准实验教科书《数学 ・ 必修 3（) 江苏教育出版社 2006 年 6 月
第 4 版）第 102 页例 3）在等腰 RtAABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，求 AM<AC 的 概率．
嵘趾
． 第 36 课 概率悖论 误区解密
假设弦长是等可能分布的． 这是各种不同的等可能假定，是不能够互相转化的．比如，当认为弦由端点决定，假
设端点在圆上等可能分布时，必然使得另外几种情况的等可能性假设失效．当作不同的 假定后，计算的结果也就不同了．所以这几种方法实际上都做到了真正的等可能取弦．
贝特朗悖论确实不奇，这并不是指它应该有唯一的答案，而是指它其实是一道开放 性的，条件并不充分的题目，当把题目补充完整后，答案就唯一了，这个不充分的条件正 是关于弦的等可能性分布的假定．只是有的人对任意作弦的方式有个人偏好，因此倾向 于某种等可能性假设，而偏向于某种解法．实际上这种假定还不限于前面所提及的 5 种， 所以贝特朗问题的答案非但不唯一，甚至是有无数个解．当然，当等可能性条件补充完整 后，贝特朗问题的解就唯一了．
走出几何概型题的理解误区——关于＂贝特朗悖论＂的一些思考
公理 化定 义使 概率论 成为 一个 严谨 的数 学 分支 ， 解 决
一
个 概率 问题 不 能 “ 凭感觉” ， 也不能死抠定义， 我 们
首先 ， 要 确定事 件发 生 的条 件 。 任何 一个 随机 事 件 的发 生 都是 要 满 足 一 定 的 前
必须 要遵 循一 定 的准则 ：
分布 情况 的测 度 此 时我 们 可 以选 择 用 角 度 。两 种情 况 的区别 就在 于 点 Ｍ 是 通 过 不 同的方 式作 出来 的 ， 不 同的前 提条 件就对 应着 不 同的处理方 式 。 在几 何概 型 的教 学 中 ， 可能 会有 教 师 只重 注解题
技巧， 却 忽视 了对 几何 概 型 问题 本 质 的 探 究 ， 这 样 就
中学 数 学 教 学 参 考
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．
表 元素对 应 唯一 的 一 个 数 值 ， 它们 都 是 等 可 能 分 布
的， 因此 也是合 理 的 。 解法 ３ ： 在 圆 内任 取 一 点 ， 作 以该 点 为 中 心 的 一 条弦， 根 据垂径 定理 ， 一个 点对应 唯一 的一 条 弦 ， 每 个 点 是等 可能分 布 的 ， 因此 对应 的每 条 弦也是 等 可能 分
提 条件 的 ， 或 者说 首 先 要 确定 试 验 方 案 ， 因为 不 同的 试 验方 案会产 生不 同 的概率空 问 。
对 于第 ３种 解法 ， 有 的教 师指 出 ： 按 照这 种方 法 ，
除圆心 外过 每个点 只能 作 出唯一 的一 条 弦 ， 但 是 过 圆
心可 以做 出无 数条 弦 ， 基 于此 种方 案得 到 的概 率 空 间 中每条 弦并 不是 等 可 能分 布 的 ， 都是“ 圆 心 惹 的祸 ” ，
贝特朗悖论注解
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确定样本空间就是选择了解决问题的思路和方法. 在单位圆中“随机地”取一条弦,问:弦长超过 该圆内接等边三角形的边长的概率为多大？
假定弦的中点在直径上/圆周上/园内均匀分布!!!
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确定样本空间就是选择了解决问题的思路和方法.
袋中有a只黑球,b只白球.随机地一只只摸出来, 问:第k次摸出的一只球是黑球的概率？
计算能力；逻辑推理能力；空间想象能力； 抽象概括能力；数据处理能力
2019/8/28
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课标中的统计与概率
高中阶段统计与概率的教学体系：
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概率知识体系
随机事件的概率；古典概型；几何概型 认识随机现象(随机试验)(样本空间) 理解随机事件(事件的关系与运算) 理解概率的意义，掌握概率的性质 掌握概率的计算(统计定义,古典定义,几何定义) 条件概率与事件的独立性
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一、随机现象
1、两种不确定性
★同种电荷会相互吸引吗？ ★抛掷一硬币，正面会出现吗？ ★25是远远大于1的实数吗？
★确定性现象 ★随机性现象 ★模糊性现象
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随机性现象：在一定条件下无法预知其结果的现象, 或者说指定的某结果是否出现具有不确定性的现象.
模糊性现象:存在于现实对象间的不分明现象 ★健康人的集合？ ★动物的集合？
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共同点:不确定性
随机现象:在一定条件下,某结果是否出现是不确定的. ——该结果在一次试验中出现的可能性大小？ ——概率论（随机数学）
模糊现象:内涵不分明,外延不确切,某对象是否属于该 事物是不确定的.
——该对象隶属于该事物的程度是多大？
贝特朗悖论(几何概型).doc
一个几何概型试题的题源探究《中学教研》2010年第09期 第38页 《福建中学数学》2010年第05期 第23页1 题目点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 .（2009年福建省数学高考文科试题）解：如图1，另一端点B 只能在优弧上运动，因此所求概率为1223B B P ==优弧长圆周长.2 题源2.1 源于历史名题初看此题以为是数学史上得一个经典的悖论——贝特朗悖论，其实这是一个根据贝特朗悖论改编的题目.贝特朗悖论：“在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，问弦长超过其内接正三角形的边长的概率是多少？”从不同方向考虑这道试题，可得不同结果：解法1 如图2，满足条件得弦为AP .不失一般性，先固定其中一点A 于圆周上，则另一端点P 只能在弧BC 上运动，因此所求概率1=3BC P =圆周长.2BB1BBB BB B 图1AC图2AB PPPP解法2 如图3，应用对称性.可预先固定直径AB ，点,C D 为AB 的四等分点.作垂直于直径AB的弦，若弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长>12≤，即弦的中点须在线段CD 上运动（弦中点与弦一一对应），故所求概率为12CD P AB ==.解法3 如图4所示，弦长要大于内接正三角形边长，则半弦长2>，于是弦心距12≤，即弦中点必须在以O 为圆心、半径为12的圆内或圆上，故所求概率21()124P ππ==. 这导致同一事件有不同概率，因此为悖论.同一问题有3中不同的答案，原因在于取弦时采取不同的等可能性假设！解法1假设端点在圆周上是均匀分布的；解法2假设弦中点在直径上是均匀分布的；解法3是假设弦的中点在圆内是均匀分布的.这3种解答是针对3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的.因此，在试验术语“随机”、“等可能”、“均匀分布”等时，应明确指明其含义，这又因试验而异.几何概率是19世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。
贝特朗悖论与概率论的公理化_冯变英
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克莱悖论的出现, 使得极限概念由模糊变得清 晰, 由直
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觉变得严密; 罗素悖论的出现, 使得建立在集合 论基础
频率反应了事件发生的可 能性大小, 但用频 率反 上的数学大厦摇摇 欲坠, 人们在 不断 的做出 努力 来构 应事件发生的可能 性大 小有不 确定的 缺点。同样 是对 建和加固数学大厦, 数学 大厦也 就在 人们的 不断 加固
概率趋于 0 来描 述。人 们不 由 的要 问: 概 率究 竟是 什
么?
3) 弦可以 由中点 唯一 确定。 当弦 的中 点落 在半 径为大圆半径一半的同心圆内时, 其长才合乎要求 (如 图 4)。设中点位于圆内哪一 点是等可 能的, 则所 求概 率为 1 /4。
此问题从三个不同的角度来考虑, 做出三种不同的 答案。这严重违背了常理。这就是贝特朗悖论。
三、概率论发展历程中的疑惑 概率论的 发 展经 历 了一 个 漫长 而 曲折 的 历史 过 程。 300 年 前, 西 方 贵族 在 利 用纸 牌、骰 子 进行 赌 博 时, 遇到了许多无法解决的问题, 例如赌博中断 问题等 等。由于输赢无法预知, 又涉及金钱得失, 人们 试图了 解其中的规律。 梅尔向 朋友 Pasca l请 教了 一些 问题, Pasca l以及当时欧洲一些有声望 的数学 家参加了 有关 讨论, 由此产生了一 些概率论 的基 本概念 ( 频率、概率 等等 )。 频率是研究事件发生可能性大小时的基本 概念之 一。当初, 人们为了研究事件发生可能性大 小的规律, 做了许多的试验。抛硬币的试验便是其中之一 [ 2] 。
贝朗特悖论的解决
理学院School of Science课程设计报告学生姓名：李凡学生学号：200701121所在班级：07数学1所在专业：数学与应用数学指导教师：樊嵘实习场所：青岛理工大学实习时间：第六学期课程设计成绩总评学习态度报告质量使用SAS统计模拟方法解决Bertrand’s paradoxBertand’s paradox 是法国数学家Bertrand于1889提出的一个概率悖论：在圆内任作一弦，其长度超过圆内内接正三角形边长的概率是多少？他在提出问题之后，给出了三种不同的解法，得到了三个不同的结果，是为悖论。
第一种解法如下：由于弦交圆于两点。
我们先固定弦的一个端点。
以此端点作一个等边三角形(如图)。
显然，只有穿过此三角形内的弦才符合要求。
而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3。
并且，不论固定的那1/3。
第二种解法如下：由于弦长只和圆心到它的距离有关。
所以固定圆内一条半径。
当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件。
并且，不论固定的是哪条半径，情况都是一样的。
所以结果为1/2。
第三种解法如下；弦被其中点唯一确定（除了圆心）。
当且仅当其中点在半径为1/2的圆内时才满足条件。
此小圆面积为大圆的1/4。
所以结果为1/4。
三种看似都有道理的解法却得到了不同的答案，所以被称为悖论。
在以前对这问题的分析中，倾向于认为得到三种结果的原因是因为采用了不同的等可能性假定。
解法一假定端点在圆上均匀分布。
解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布。
解法三假定弦的中点在圆内均匀分布。
先不论他们的假设是否合理，从这个问题的提法来看，问题考察的是圆内的随机弦问题。
我们应该从弦的本质定义出发，即圆上任意两点的连线为弦。
从这个思路，我们可以使用SAS进行统计模拟，确定问题的答案。
具体思路如下：1.先进行1000次试验，每次试验进行1000次模拟，每次模拟从圆上随机取两点，计算距离，记录d 1000个数据，数据集为cs，其中的变量只有一个x。
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贝特朗概率悖论的解释
贝特朗概率悖论是一个著名的悖论题，与其他的集合悖论不一样，这个悖论只是我们看
起来“错”而已，也并没有像集合悖论一样带来一次数学危机，正确审视它，就是让我们对
“几何概型”这一概念更加地深入了解而已。
我就不废话，我们直接来看什么是贝特朗概率悖论，百度上有很多，随便一搜就到处都是
题目是这样子滴：在圆中做弦MN，求使MN的长大于圆内接正三角形边长的概率。
这道题若从不同的角度看，就有几种不同的答案，百度百科里有，我就不想在这里多费口舌，
希望各位先到那里去看看具体的答案，我把图片下载下来，大家可以自己看：百度百科词条
解释
虽然这多种解法各有各得说法，似乎每一个都对，但是悖论毕竟是悖论，他终究是错的。概
率问题一个基本的原则就是，不管从哪个角度看，答案只能有一个，否则一件事情的概率都
不一致，这问题要么就是本身就有问题，要么就是条件不够。而对于贝特朗概率悖论所涉及
到的问题，正是如此，因为其条件不够。
首先我们看第一种“解法”。
解法1的思路是，在于AB平行的弦中，只有与PQ交点落在MN上的，弦长才大于根号3。
弦与PQ的交点肯定就是落在PQ上的，而NM=1/2PQ，所以此时概率为1/2.
这个解法其实有一个重要前提，那就是弦与PQ的交点在PQ上是均匀分布的。正正是题目中
所缺乏的条件，因为圆中任意的弦，这到底怎么个做法？是像这种解法所说的，使其与PQ
交点在PQ上均匀分布么？还是使弦与圆周的交点是任意分布？如果满足后者，就不可能满
足前者，满足前者，就不可能满足后者。一个比较明显的说法就是：做几条平行弦，使其在
PQ上均匀分布，也就是相互之间的距离相等，我们可以看见，这些弦之间的弧长并不相等，
也就是说，在PQ上均匀分布，一定不会在圆周上均匀分布。原题中没有给出这样的条件，
解法1加了这么一个条件，显然就有不一样的结果了。
再看解法2.
解法2的思路是，链接OA，在OA两边做弦AM和AN，使其和AO的夹角为30°。在圆中所
有的弦中，只有当B点落在弧MN上时，才满足条件，而MN的弧长占据整个弧长的1/3，所
以概率为1/3
看了解法1，你就知道这个解法的原因所在了，他正是采用了在圆周上均匀分布这一条件得
出的结果。
最后看解法3
解法3的思路是，在圆中任意取一点M，只有当OM<1/2的时候，以M点为位中点的弦才满
足条件，故满足条件的M点只能分布于以O为圆心，半径为1/2的圆中，而该圆的面积占据
大圆的1/4，故概率为1/4.
学夫子自己的看法来说，这种解法最牵强，他将弦的分布划归为其中点在圆中的分布，认为
“一个中点M只对应于一条弦”，显然这是错误的，因为圆心O所对应的弦有无数条，而对
于非圆心的点M，以M为中点的弦只有一条。所以这本身就不是等可能的，这种解法就是错
误，他就跟前两种解法不一样，加上条件就是对的，这种解法无论加什么条件都是错的，因
为不是条件缺与不缺的问题，而是犯了概率论中最基本的前提错误——等可能分布。
不过网络上更倾向于第二种方法的答案作为这道题的“标准答案”，因为任意给一条弦，他
应该由圆周上的两点决定。
文章来源：学夫子数学博客
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