代数中的悖论

把△ABC 剪开，旋转 900，再使 A 与 D 重合，C 与 B 重合，即 13 8 线段 AC 与线段 BD 合并，由于 5 ≠3 ，即直线的斜率不相等，因 此三点 E、D(C)、B 并不在一条线上，因此构不成一条线段 GK。准 确图形应该如图 2-12，自 G 到 K 中间有一个细长的重叠地带，这个 重叠部分就是面积减少的原因。 2。4．3 概率统计中的悖论与谬误 概率统计中的悖论是因为对概率的直觉认识造成的，下面的几 个实例便是如此。 (1)甲有两张扑克牌：1 和 10，乙有两张牌：5 和 9，丙有两张牌：3 和 6 现在开始玩游戏：甲乙各自从自己的扑克牌中随机抽出一张， 比较数字，大者胜。请问这个游戏规则公平吗?甲丙玩游戏公平吗? 那么乙丙呢? 直觉上判断：规则是公平的。
哪里出错了? 分析可知，这两个命题的前提是不一样的。①式中的前提已经 变成了 a 与 b 是实数。而②式当中的前提还是两个复数。因此他们 两个并不是真正意义上的原命题与逆否命题。 2．4．2 几何中的悖论与谬误 在平面几何问题解决中，由于图形画法的多样性，以及一些特 殊位置的不确定性， 在几何问题解决中常常会出现一些谬误的现象。 在学生进入高中学习立体几何之前经常向学生介绍平面几何中常见 的一些谬误问题，对以后的学习有一定的辅助作用。 (1) =2 吗?
分析：无论小半圆如何加密，它的弧长总和始终是一个常量， 而这些小半圆弧越来越贴近大圆直径的过程中，我们可知那始终是 一个变量，其中体现出的是极限思想，但由此得到该极限等于大圆 直径长是错误的。 (2)“任意三角形都为正三角形”
任作一△ABC，作
的平分线与 AB 边的垂直平分线，两者交于
E 点，作 AC 与 BC 的垂线 EF，EG，连接 EA、EB。 (如图 2—8) 因为 CE 是△ CEF 与△ CEG 的公共斜边，又因 FEC= GCE ， FE=GE，则△CEF △CEG，故有 CF=CG。又因为 EO 是 AB 的垂 Rt△EGB，故 FA=GB 至此
设△ABC 是不等边三角形，顶角是最大角。自顶点 A 作 AD 使 2= 1 并作底边 BC 的垂线 AE。以 S1 及 S2 分别表示△ABC 及△ ACD 的面积，因这两个三角形是相似的， 故 S1：S2=AB2：AD2„„„„„„① 又因这两个三角形等高，故 S1：S2=BC：DC„„„„„一② 自①，②得 AB2：AD2=BC：DC„„„„„③但在任意三角形中，对锐角之边 的平方等于其他两边平方和减去其中一边与他边在此边上射影之积 的二倍，故 AB2= AC2+BC2—2BC．EC AD2=AC2+DC2—2DC．EC 代入③得
小关系是：若 a>b 则 a>c>b；若 a<b 则 a<c<b。无论 a，b，c 三者之 问的大小关系是上述哪一种情况，根据去掉绝对值的运算方法终
得到的应该是 a+b=2c。 (3)0=1 吗? 令 x=1，两边同乘 x 可得 x2=x，两边都减 l 则有 x2—1=x 一 1 再两边同除 x 一 1 就有 x+1=1，也就是说 x=0 这不就是 0=1 吗? 分析：上式中的错误在于隐秘的使用了模糊不清 的步骤。我们知道 0 是不能够做分母的，从两边同除 x 一 1 开始， 推导过程就已经出现了谬误。 (4) <1 吗?
明了第一个观点是对的，女孩赢的机会是 4／6=2／3。 综上所述，通过以数学悖论与谬误为内容的校本课程的开发， 学生通过对初等数学中的一些典型悖论或谬误问题的学习，使学生 在能够从正面解决问题的同时也能从反面分析问题。在此过程中不 仅提高了解题能力而且培养了逆向思维的能力，激发了学生学习的 兴趣，使学生的数学思维更加缜密。 第 3 章以数学悖论与谬误为中心的校本课程实施方案及其影响 校本课程的开发与实施一般包括三个步骤，即课程的计划阶段、课 程的实旋阶段、课程的评价阶段。本章在分别介绍三个阶段的实施 情况之外，对该校本课程实施对学生的影响作了论述，主要从学习 兴趣的培养和思维能力的训练进行论述的。
直平分线，故 AE=BE，所以 Rt△EFA
得 FA+CF=GB+CG ， 即 AC=CB ， 同 理 可 得 AC=AB ， 故 有 AB=BC=AC，所以任意三角形都为正三角形。 分析：上面的推理过程中出现悖论是因为作图不准确。只要把该图 画得标准，就知道 E 点根本不在△ABC 内部。 (3)线段等于其部分． 证明：如图 2-9，
我们道，直径为 2 的半圆的弧长为 ，同时我们也容易算出：在该 半圆直径上依次依次以 1、1／2、1／4、1／8„为直径作一系列小 半圆，这些小半圆的弧长之和总是 。
随着小半圆弧的加密，一方面它们的弧长之和始终为 ；另一 方面，这些小半圆弧越来越“贴近”大圆的直径，而直径长为 2。 你瞧，这不是 =2 吗?(如图 2—7)
自上式可知 BC=DC。
(4)魔术师的地毯． 一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是 1．3 米的地毯 去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成 0．8 米宽 2．1 米长 的矩形。 敬师傅对秋先生说： “你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算 术都没有学过吗?边长 1．3 米的正方形面积为 1．69 平方米，而宽 0．8 米长 2．1 米的矩形面积只有 1．68 平方米，两者并不相等啊! 除非裁去 0．01 平方米，不然没法做。" 秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说： “你先照这 张图(图 2—10)的尺寸把地毯裁成四块，然后照另一张图(图 2—11) 的样子把这四块拼在一起缝好就行了。魔术大师是从来不会错的， 你放心做吧!”敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽 0．8 米长 2．1 米。魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿： 这是怎么回事呢?那 0．01 平方米的地毯到什么地方去了?你能帮敬 师傅解开这个谜吗?
证明：下面的证法，错在哪里?
(5)原命题与逆否命题等价吗? 我们知道，实数可以比大小，而虚数不行，进而复数(实数与虚数统 称复数)也不能比大小，即使是形如 3+i 与 4+i 也不行。现己知 a，b 为两复数。 若 a>b 贝 a-b>0„„„„„„① 若 a≤6 贝 a-b≤0„„„„„„② 易知①为真命题，②为假命题，但①与②又是互为逆否命题，所以 是等价命题，但①与②又一真一假，显然又不等价!
代数中的悖论 高一刚入学的学生在初中阶段是经历了从算术到代数的阶段， 成绩一般的学生在对代数的理解还是很模糊的，为了很好地进入高 中代数知识的学习，在校本课程中加入一些代数方面由于谬误而导 致的一些误解和误证，对于学生正确理解数学内容，掌握数学概念 起到了举一反三的作用。 (1)负数大于正数． 证明： 对于任意的正数 a， 下列皆能成立： (-a)： (+a)= -1 但( -2)： (+2)亦等于一 1，故 (--2)：(+2)=(-a)：(+a)在上面的比例式中，第一 项大于第二项( +2>-2)，故第三项应大于第四项，即-a>+a． a+b (2)设 a≠b，c= 2 a=b．首先可得 a+b=2c 左右两边同乘 a-b，则 (a+a)(a-b)=2c(a—b) 即 a2 一 b2=2ac 一 2bc 移项有 a2—2ac= b2—2bc 左右两边同加 c2 得 a2—2ac + c2= b2—2bc+ c2 即(a—c)2=(b—c)2，再两边开平方 a—c=b—c 两边同加 c 就得到 a=b 与假设矛盾。为什么? 分析说明：此式出现数学“悖论”的原因是 由于进行了不允许的运算，实际上 若要给(a—c)2=(b—c)2 开平方， 得到的应该是 ，然后由题意得 a，b，c 三者之间的大
平的，但如果赌局如此公平，他又怎么能赢走钱呢?这又说明该赌局 中有骗局。其实真正的原因是三张卡片中抽一张，可抽到圆圈—— 黑点卡的概率是 i／3。这个概率不会因为你抽一张出来看了一下就 会发生变化。因此庄家赢的概率始终是 2／3。 (3)玻璃球悖论 一个男孩有一个玻璃球，一个女孩有两个玻璃球。他们向竖在 地上的一根立柱弹球，玻璃球最接近立柱者胜。假定男孩和女孩技 巧完全相同，测量也足够精确，女孩赢的概率是多少? 观点一：女孩弹两个玻璃球，男孩只弹一个，因此女孩赢的概 率是 2／3。 观点--把女孩的玻璃球叫做 A 和 B， ．把男孩的叫做 C，就有四 种可能的情况： ①A 和 B 都比 C 更接近立柱 ②仅 A 球比 C 球接近立柱 ③仅 B 球比 C 球接近立柱 ④c 球队和 B 更接近立柱这四种情况中三种都是女孩赢，所以女孩 赢的概率是 3／4。两种观点都有足够的说服力，但结果却是相互矛 盾的。问题出在哪里呢? 下面我们列出全部可能的情况，就可以发现问题所在。按三个 球接近立柱的序，使最近者在前，列表如下： ABC ACB BAC BCA CAB CBA 也就是说可能发生的情况是六种， 而不是四种。并且在这六种可能的情况中有四次是女孩赢，这就证
原因如下：当甲和乙玩这个游戏时，如果甲摸到 1，乙无论摸 到哪张都胜，如果甲摸到 10，乙无论摸到哪张都输。于是，这个游 戏就相当于甲从 1 和 10 两张牌中摸出一张，若甲摸到 l 则乙胜，若 甲摸到 10 则甲胜。于是甲乙获胜的概率都是 0．5，规则是公平的。 类似的分析也可以得出：甲和丙玩这个游戏也是公平的。既 然如此，类似于传递性，乙和丙玩游戏也似公平的。 但事实上却并非如此。当乙与丙玩这个游戏时并不公平。乙与 丙各摸一张牌，会出现四种结果：(5，3)，(5，6)，(9，3)，(9，6)．这 四种结果出现的概率是相等的，四种结果中，只有出现(5，6)这一种 结果时，丙才可以获胜。因此，在这个游戏中，丙获胜的概率为 1 ／4，而乙获胜的概率是 3／4。 (2)三张卡片的骗局 这是发生在赌场里的故事。一次赌博中，庄家手上有三张卡片。 卡片的两面分别是：圆圈——圆圈，圆圈——黑点，黑点——黑点。 庄家把三张卡片放进一个帽子里摇晃，然后让赌客抽出一张放在桌 面上。 假定赌客抽到的卡片上面是一个圆圈，此时庄家说：你抽到的 卡片不可能是黑点——点卡，因此应该是圆圈——黑点卡或是圆圈 ——圆圈卡， 而卡片下面是圆圈或是黑点的概率是一样的， 都是 0． 5。 结论就是庄家要以对等的赌金赌对方抽到的是圆圈——黑点卡。 你认为这样的赌博公平吗? 从庄家的分析过程非常符合我们的直觉经验，这次的赌局是公