关于贝特朗悖论的总结 final

关于“贝特朗悖论”的总结

齐尽欢高等研究院2014级理工创新实验班

指导教师王雄博士

摘要：简要分析人们现普遍认同的三种对“贝特朗悖论”的理解方法；介绍关于引入“密度”概念的贝特朗解法；探索解析几何概率问题中出现多解的原因；运用程序验证前两种假设。关键词：贝特朗悖论、等概率事件、随机事件的定界。

一、“贝特朗悖论”的概述

贝特朗悖论的内容如下：考虑一个内接于圆的等边三角形。若随机选方圆上的一条弦，则此弦的长度比三角形的边较长的概率为何？常见的分析有如下三种：

如图a：由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4 点与 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。此时假定弦的中心在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间Ω1。

如图b：由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。此时假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间Ω2。

如图c：弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。此时假定弦长被其中心唯一确定，弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3。

二、关于方法三的新思考

在黄晶晶《关于贝特朗悖论的新思考》一文中提到了关于方法三的质疑，创新性联想到“点的密度”的概念，并结合积分的方式，得到与传统理解答案不同的结论。但关于其结果与积分过程，个人不完全认同。

我们知道弦被其中点位置唯一确定。所以只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。但问题出在“弦的中点在大圆内分布均匀”这里，也就是中点在圆内位置都是等可能的。实际上，圆内的点是均匀分布的,但所有直径都要通过圆心O。这样圆心O是无穷多条弦(即直径)的中点, 所以点O作为弦的中点的密度最大，为+∞。而除O点之外，⊙O内其它任一点M ,以M为中点的弦有并且只有一条,这只要连接0M，再过点M作直线SS′垂直于OM且交⊙O于S，S′，易证0M是SS′的中点(存在性得证)。另外，若还有一条弦 HH′以M为中点，则由垂径定理知HH′⊥OM。这样，在平面上过M就会有两条直线与OM垂直，矛盾。所以，弦的中点在圆内的分布，在O 点是无穷多条弦（直径）的中点在这里迭加，密度为+∞；而圆内其它点都只是圆内某

一条弦的中点。个人认为简言之，圆内的所有点分布均匀，但圆内所有弦的中点构成了另一个与圆内点的不同的集合，可以类似于为圆内不同点加了不同的权重。

所以，接下来下面说明⊙O的所有弦的中点在圆内的分布是不均匀的。对于圆周上的任一点P来说，可以这样规定，它是弦PP的中点。

这样弦的中点可以覆盖整个闭圆面。如图，我们先作两

个圆⊙O(r), ⊙O(r/2)，再任作⊙O(s＊)。圆周上任取

两点 P、Q，连接OP，OQ交⊙O（r/2）于P0、Q0，交

⊙O(s＊)于 P＊、Q＊。这样，我们可以建立从⊙O(r)

到⊙O（r/2）的点的对应，P对应P0,Q对应Q0。这种对

应是可逆的，故我们可以认为⊙O(r)上的点与⊙O（r/2）

上的点是一样多的。但是⊙O(r)的周长2πr，而⊙O（r/2）

的周长是πr。所以⊙O(r/2)的密度是⊙O(r)的2倍。对于同心圆⊙O(s＊)来说（P＊为OP上之动点，0 ≤s＊≤r)，s＊越小，⊙O(s＊)上的密度越大。

至此, 关于圆的弦的中点的分布可以得出这样的结论：弦的中点(所有)覆盖整个闭圆面。其密度随它越靠近圆心O密度越大, 设该点为P＊，它离圆心的距离为O＊=s＊，与圆心O距离相同的点，其密度是相同的。一个点 P＊的密度与它至O的距离s＊成反比。故⊙O(s＊)上P＊点的密度可设为 k/s＊(k为密度常数)。

只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆⊙O（r/2）内时，其弦长才合乎要求。设弦的中点为P，PO =s，则P点的密度为k/s(k为密度常数)0 ≤s ≤r。A表示事件:在已知⊙O(r)内任作一弦，其长大于3r。P(A)表示事件A的概率。

P A=

2πs∙k

s

r

ds

2πs∙k

s

ds

r

=

ds

r

2

ds

r

=

r

2=1

我认为在笔者的意图是将“密度”定义为一个类似单位长度内中点个数的概念。从而使用积分的方法求得符合题目中条件的点的“数量”与圆内所有点的“数量”作比，求得概率。但s的取值范围并不准确，事实上s取0值极为s是圆心点，而在计算中s 取0时周长2πs为0、密度k/s则在分母为0是无意义。所以与其说圆内做任意一弦大于3r的概率为1/2，不如说“圆内做任意一弦（除直径外）大于3r的概率为1/2”更令人信服。

三、用计算机模拟上述过程

（此处添加玮玮代码吧，然后玮玮来讲编程吧，吼吼吼，个人觉得C会low一点，不过也可以作为语句对比，也可以哈）

#include "afx.h"

#include "stdlib.h"

#include "math.h"

#include "time.h"

int main()//随机生成一点，如果该点在圆内，总量total+1，然后验证是否对应弦大于根号三{

int i = 0;

float x, y;

float count = 0;

float total = 0;

srand(time(NULL));

for (; i < 10000; i++){

x = (rand() % 201) / 100.0 - 1.0;

y = (rand() % 201) / 100.0 - 1.0;

if (sqrt(pow(x, 2) + pow(y, 2)) <= 1){

total++;

if (sqrt(pow(x, 2) + pow(y, 2)) <= 0.5)

count++;

}

}

printf("%f\n", count / total);

return 0;

}

int main()

{

int i = 0;

float ang1, ang2;

float x1, y1;

float x2, y2;

float count = 0;

int sign1, sign2;

srand(time(NULL));

for (; i < 10000; i++){

ang1 = (rand() % 36001) / 100.0;

ang2 = (rand() % 36001) / 100.0;

x1 = cos(ang1) + 1.0;

x2 = cos(ang2) + 1.0;

y1 = sin(ang1);

sign1 = rand() % 2;

if (sign1 == 0) y1 = -y1;

y2 = sin(ang2);

sign2 = rand() % 2;

if (sign2 == 0) y2 = -y2;

if (sqrt(pow((((x1 + x2)) / 2) - 1, 2) + pow(((y1 + y2) / 2), 2)) <= 0.5)

count++;

}

printf("%f\n", count / 10000);

return 0;

}